( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )

Σχετικά έγγραφα
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

1.4 Tangenta i normala

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

Trigonometrijske funkcije

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

IZVODI ZADACI (I deo)

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA

Definicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

MATEMATIČKA ANALIZA II

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

15. domaća zadaća. Matematika 1 (preddiplomski stručni studij elektrotehnike)

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

Izrada Domaće zadaće 4

( , 2. kolokvij)

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

4.1 Elementarne funkcije

METODA SEČICE I REGULA FALSI

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

Nizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Sadržaj: Diferencijalni račun Tangenta na krivulju Definicija derivacije Derivacija i neprekinutost Osnovna pravila deriviranja

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Predavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

1 Neprekidne funkcije na kompaktima

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

Granične vrednosti realnih nizova

Niz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.

1. Trigonometrijske funkcije

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

2.6 Nepravi integrali

Uvod u diferencijalni račun

Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2.

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Diferencijalni račun

2.7 Primjene odredenih integrala

radni nerecenzirani materijal za predavanja

1 Promjena baze vektora

DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješenja 1. kolokvija (16. studenog 2015.)

18. listopada listopada / 13

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

( ) δ = δ ε ) tako da vrijedi ( ) Predavanja iz predmeta Matematika za ekonomiste: IV dio

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

1 FUNKCIJE. Pretpostavljamo poznavanje prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,... },

6. poglavlje (korigirano) PRIMJENA DERIVACIJA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

7 Algebarske jednadžbe

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

Elementi spektralne teorije matrica

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:

( ) ( ) ( ) ( ) x y

Mjera i integral. bilješke s vježbi ak. god /13. Aleksandar Milivojević

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Vodič za pokušaj polaganja drugog parcijalnog ispita iz Inženjerske Matematike 2

IZVODI ZADACI (I deo)

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Operacije s matricama

Transcript:

Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija kostate Derivacija kostate fukcije c jedaka je uli c Derivacija ezavise varijable jedaka je jeda Derivacija umoška kostatog faktora i fukcije (c f()) c f () Derivacija zbroja ili razlike dviju ili više fukcija jedaka je zbroju ili razlici derivacija tih fukcija (f() + g() h()) f () + g () h () Derivacija umoška dviju fukcija (f() g()) f () g() + f() g() Derivacija umoška tri fukcije (f() g() h()) f () g() h() + f() g () h() + f() g() h () Derivacija kvocijeta (razlomka) f f g f g, g ( ) g ( g ) ( g ) c c g, g ( ) g Derivacija složee fukcije (kompozicija fukcija) dy df dg y f ( g) d dg d pri čemu su f f(g) i g g() derivabile s obzirom a svoje argumete Derivacije osovih fukcija c,, ( ) -,,, > ( a ) a l a, a, +,, e e, e e, ( a ) a l a, a > l, >, >, (si ) cos, (cos ) si, ctg,, si k π k Z arccos, <,, ( arctg) + log a, a, > l a π tg,, cos k + k Z arcsi, <, ( arc ctg) +, (sh ) ch

ch, sh (ch ) sh, ( th ), ( cth ), ( Arsh ) ( Arch ), > Derivacija fukcije izosi: Arth,, < (( f ) ) ( f ) f, ( c + d) ( c + d) Arcth, l f f, f > f a + b c + d a + b c + d b c + d a + b d f c + d c + d bc + bd ad bd bc ad Vježba 5 Nađite derivaciju fukcije f() e 5 5 e Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() l Rješeje l Derivacija kvocijeta: f f g f g, g ( ) g ( g ) f () Vježba Nađite derivaciju fukcije f() 5 8 + 5 + l l l l +, > Zadatak (Maja, gimazija) Nađite derivaciju fukcije Rješeje y m m m m a a, a a a +

8 - -5 5 - - - -8 Prije deriviraja trasformirat ćemo izraz: 8 + y Sada deriviramo po pravilu za derivaciju potecije: 8 5 8 5 djelomičo 8 8 8 8 8 y korjeovaje Vježba Nađite derivaciju fukcije y y Zadatak (Aa, gimazija) Nađi jedadžbu tagete krivulje y u točki s apscisom Rješeje Budući da točka D pripada krivulji, uvrstit ćemo apscisu u jedadžbu krivulje da dobijemo ordiatu točke: Tražea točka ima koordiate D(, ) y Jedadžba tagete u točki D(, y ) krivulje y f() glasi: Nađemo derivaciju fukcije: y y f ( ) ( ) f i izračuamo jeziu vrijedost za f ( ) f () y D y y + Jedadžba tagete je:

Vježba y y f ( ) y y Nađi jedadžbu tagete krivulje y y + Zadatak 5 (Aa, gimazija) Izračuaj derivaciju fukcije Rješeje 5 Fukciju apišemo u obliku: y + y + u točki s apscisom f a b a b c c c, f Uporabom pravila: m m a a i a a zadau fukciju koačo apišemo: f Derivacija izosi: f Vježba 5 Izračuaj derivaciju fukcije f Zadatak (Aa, gimazija) Nađi derivaciju fukcije f() ( + ) Rješeje Ako je y f(u) i u g(), tj y f(g())), a fukcije y i u imaju derivacije, tada je dy dy du y yu u ili d du d

iačica Uporabom formule za kvadrat zbroja: zadau fukciju pišemo u obliku polioma: Tada je derivacija jedaka: iačica Koristimo pravilo za derivaciju složee fukcije: (a + b) a + a b + b f() ( + ) + + 9 f () + ( + ) f() ( + ) > f () ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Vježba Nađi derivaciju fukcije f() ( + 9) f () ( + 9) Zadatak 7 (Aa, gimazija) Nađi derivaciju fukcije f() (cos si ) Rješeje 7 si cos cos si iačica Uporabom formule za kvadrat razlike: (a b) a a b + b i trigoometrijskih fukcija dvostrukog argumeta: zadau fukciju pišemo u obliku: cos cos si, si si cos f() (cos si ) cos cos si + si (cos + si ) cos si Tada je derivacija jedaka: [cos + si ] si f() si > f () cos cos iačica Koristimo pravilo za derivaciju složee fukcije: f() (cos si ) > f () (cos si ) (cos si ) (cos si ) ( si cos ) (cos si ) (cos + si ) [(a b) (a + b) a b ] (cos si ) cos Vježba 7 Nađi derivaciju fukcije f() (si + cos ) f () cos Zadatak 8 (Aa, gimazija) Odredi prve dvije derivacije fukcije f() l Rješeje 8 Neka su f i g derivabile fukcije a istom itervalu I Fukcija f g je derivabila i vrijedi: 5

(f g) f g + f g (derivacija umoška) l cos Derivacija zadae fukcije glasi: f l + ( l ) l + l + Druga derivacija fukcije f derivacija je prve derivacije Zato je: f [ f ] [ l + ] Vježba 8 Odredi prve dvije derivacije fukcije f() 5 f () 5, f () Zadatak 9 (Aa, gimazija) Odredi je li u točki s apscisom fukcija f() + rastuća ili opadajuća Rješeje 9 Fukcija f raste a itervalu <a, b> oda i samo oda ako je f () u svakoj točki tog itervala Fukcija f pada a itervalu <a, b> oda i samo oda ako je f () u svakoj točki tog itervala Odredimo derivaciju zadae fukcije: f () + Izračuamo vrijedost derivacije u točki : Zbog f () > fukcija je rastuća u toj točki f () + > Vježba 9 Odredi je li u točki s apscisom fukcija f() + rastuća ili opadajuća opadajuća Zadatak (Aa, gimazija) Odredi stacioare točke za fukciju f() Rješeje Točka u kojoj je vrijedost derivacije jedaka uli zove se stacioara točka U toj točki tageta je paralela s osi y 8 Tageta y + -5 5 5 - Tageta - - Izračuamo derivaciju f : f () Riješimo jedadžbu f () Njezia rješeja su stacioare točke > / : > >, Vježba Odredi stacioare točke za fukciju f(),

Zadatak (Natalija, hotelijerska škola) 7 + + log + Odredite f () Zadaa je fukcija f ( ) Rješeje ( ) a a l a ( log ) a l a cos 7 + 7 + f log log + ( + ) + ( + ) Deriviramo fukciju: 7 + + f + l + l 7 ( + ) l 7 7 ( + ) l Sada je: Vježba 5 f + l + 9 l 7 l 7 l + log + Odredite f () Zadaa je fukcija f ( ) l l Zadatak (Natalija, hotelijerska škola) Odredite jedadžbu tagete a graf fukcije f Rješeje Odredimo ordiatu točke T(, y ) koja leži a grafu fukcije: Nađemo derivaciju fukcije: u točki y f T (, y ) T (, ) y f l ( l ) ( l ) f f l l l e l e Jedadžba tagete glasi: Vježba y y f y l y l l + e e e e e y l l l e y l l e + + e + Odredite jedadžbu tagete a graf fukcije f u točki 7

l e y ( ) Zadatak (Marija, gimazija) Nađite derivaciju fukcije y l tg Rješeje Poovimo derivacije elemetarih fukcija: y l y, y tg y, y y cos Budući da je zadaa složea fukcija, vrijedi: dy du dv ako je y f(u), u g(v), v h(), tada je y du dv d Derivacija fukcije je: y l tg y co cos si s si cos tg si cos cos [ siα cosα si α ] si Vježba Nađite derivaciju fukcije y l Zadatak (Marija, gimazija) Nađite derivaciju fukcije y si + cos Rješeje Derivacija zbroja glasi: y u + v y u + v Derivacije elemetarih fukcija su: { y si y cos, y cos y si Budući da je zadaa složea fukcija, vrijedi: ako je y f(u), u g(), tada je y dy du du d Derivacija fukcije je: y si + cos y si 5 cos + cos 5 si si 5 cos cos 5 si ( ) ( si + cos ) ( ) si cos si cos si cos si cos ( cos s ) si cos si cos si cos i si cos cos cos 8

Vježba si cos cos si cos si cos si si si Nađite derivaciju fukcije si y si cos Zadatak 5 (Ivaa, Gora, Jelea, Edita, ekoomski fakultet) Dokažite da je derivacija siusa jedaka kosiusu istog argumeta: (si ) cos Rješeje 5 ( si ) koristimo trasformaciju si ( + ) si lim α + β α β siα si β cos si + + + + cos si cos si lim lim + cos si si + limes produkta jedak lim lim cos je produktu limesa si + si + lim cos lim lim cos cos cos Vježba 5 Dokažite da je: (cos ) si Sliča dokaz Zadatak (Ivaa, Gora, Jelea, Edita, ekoomski fakultet) Dokažite da je derivacija siusa jedaka kosiusu istog argumeta: (si ) cos Rješeje ( si ) koristimo trasformaciju si ( + ) si lim α + β α β siα si β cos si + + + + cos si cos si lim lim + cos si si + limes produkta jedak lim lim cos je produktu limesa si + si + lim cos lim lim cos cos cos Vježba Dokažite da je: (cos ) si Sliča dokaz 9

Zadatak 7 (Ivaa, Gora, Jelea, Edita, ekoomski fakultet) f + 5 + Nađite derivaciju fukcije Rješeje 7 Derivacija zbroja : ( f + g ) f + g Derivacija umoška kostatog faktora i fukcije: (c f()) c f () Derivacija potecije : koristimo pravilo koristimo pravilo za umožak + + derivacije zbroja + + kostate i fukcije ( f ) ( 5 ) ( ) ( 5 ) Vježba 7 koristimo 5 + + tabliče derivac + 5 + + 5 ije Nađite derivaciju fukcije 8 + f + + Zadatak 8 (Ivaa, Gora, Jelea, Edita, ekoomski fakultet) Nađite derivaciju fukcije ( ) y + 8 Rješeje 8 Derivacija zbroja : ( f + g ) f + g Derivacija umoška kostatog faktora i fukcije: (c f()) c f () Derivacija potecije : dy dy du Derivacija složee fukcije: il i y y ( u) u d du d Složea fukcija derivira se tako da se ajprije derivira po posredoj fukciji kao argumetu i dobivei rezultat pomoži derivacijom posrede fukcije iačica ( 8) y + ( ) y + y u y u u u + 8 u u + 8 iačica 8 ( 8 ) ( 8 ) ( 8) ( 8 ) y + y + y + + y + 8 Vježba 8 Nađite derivaciju fukcije y + 5 5 5 y ( + ) ( )

Zadatak 9 (Ivaa, Gora, Jelea, Edita, ekoomski fakultet) y l + Nađite derivaciju fukcije Rješeje 9 Derivacija zbroja : ( f + g ) f + g Derivacija umoška kostatog faktora i fukcije: (c f()) c f () Derivacija potecije : dy dy du Derivacija složee fukcije: il i y y ( u) u d du d Složea fukcija derivira se tako da se ajprije derivira po posredoj fukciji kao argumetu i dobivei rezultat pomoži derivacijom posrede fukcije iačica u y ( ) y l + y l u y u + u + u + u + + iačica ( ) ( ) + + y y + + y l + y l + y + y + + + Vježba 9 Nađite derivaciju fukcije y ( + ) ( ) ( ) y + + ( ) ( ) + + y y + + l Zadatak (Ivaa, Gora, Jelea, Edita, ekoomski fakultet) y a si b + c + d Nađite derivaciju fukcije Rješeje Derivacija zbroja : ( f + g ) f + g Derivacija umoška kostatog faktora i fukcije: (c f()) c f () Derivacija potecije : dy dy du Derivacija složee fukcije: il i y y ( u) u d du d Složea fukcija derivira se tako da se ajprije derivira po posredoj fukciji kao argumetu i dobivei rezultat pomoži derivacijom posrede fukcije iačica y a si b + c + d y a si u + d y a cos u u + y a cos u u u b + c u b + c u b + u b

y a cos b + c b y a b cos b + c iačica y a si b + c + d y a si b + c + d y a cos b + c b + c + Vježba ( ) Nađite derivaciju fukcije y a ( b ) y a b cos ( b ) y a cos b + c b y a b cos b + c si