U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.

Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede prema nekom zadatom kriterijumu, da se pored aju u skladu sa nekim pravilom, da se odrede izvesne sličnosti izmed u objekata, i da se oni grupišu u grupe med usobno sličnih objekata, itd. U matematici se sve ovo može uraditi korišćenjem matematičkog pojma relacije, koji definišemo i bavimo se njime u daljem tekstu. Matematička logika 2 Relacije - I deo

Binarne relacije Binarnu relaciju na nepraznom skupu A definišemo kao bilo koji podskup Dekartovog kvadrata A 2 : A 2. Ako je (x, y), onda kažemo x je u relaciji sa y. Često umesto (x, y) pišemo x y. Matematička logika 3 Relacije - I deo

Primeri binarnih relacija a) Skup = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} je jedna binarna relacija na skupu {1, 2, 3}. Umesto (1, 2), piše se 1 2. Kako je to relacija manje za brojeve, uobičajeno označavanje je 1 < 2. b) Na partitivnom skupu proizvoljnog skupa A, inkluzuja je jedna binarna relacija. c) Skup {(x, x) x A} odred uje relaciju jednakosti na nepraznom skupu A; oznaka relacije je =, odnosno piše se a = a za svaki element a A. Matematička logika 4 Relacije - I deo

Primeri binarnih relacija d) Poznate binarne relacije na skupu prirodnih brojeva N, pored jednakosti, jesu i <,,, a njihove definicije su: x < y ( z)(x + z = y) x y (x = y x < y) x y ( z)(x z = y) manje (strogo manje) manje ili jednako deli, je delitelj Analogno prvim dvema definišu se i relacije > veće (strogo veće) veće ili jednako Matematička logika 5 Relacije - I deo

n-arne relacije Slično pojmu binarne relacije, za bilo koji prirodan broj n uvodimo pojam n-arne relacije na nepraznom skupu A koja se definiše kao bilo koji podskup Dekartovog stepena A n. Broj n se naziva arnost ili dužina relacije. Relacije arnosti 1 nazivamo unarne relacije. Unarne relacije su zapravo obični podskupovi skupa A. Relacije arnosti 2 su upravo binarne relacije. Relacije arnosti 3 nazivamo ternarne relacije. U matematici se najčešće radi sa binarnim relacijama. Zato, jednostavnosti radi, umesto binarna relacija mi govorimo kraće samo relacija. Matematička logika 6 Relacije - I deo

Primeri n-arnih relacija a) Ako je A skup tačaka na pravoj, onda se svojstvom x je izmed u y i z definiše jedna ternarna relacija na A. b) Skup je ternarna relacija na skupu R. {(x, y, z) x 2 + y 2 = z 2 } c) Skup N p parnih brojeva je unarna relacija na skupu N. Matematička logika 7 Relacije - I deo

Grafičko predstavljanje relacija Kao što smo ranije rekli, Dekatrov kvadrat A 2 skupa A se grafički predstavlja kvadratom čija donja i leva ivica predstavljaju skup A. Binarne relacije na A se u tom slučaju predstavljaju kao skupovi tačaka sa odgovarajućim koordinatama u tom kvadratu. U ovom primeru je (a, b), što pišemo a b, dok (c, d) /. Matematička logika 8 Relacije - I deo

Grafičko predstavljanje relacija Ako je skup A konačan, onda kvadrat A 2 predstavljamo mrežom horizontalnih i vertikalnih duži, čiji preseci predstavljaju tačke iz A 2. Relaciju A 2 predstavljamo tako što parove tačaka iz u toj mreži označavamo malim kružićima. d c b a a b c d Na primer, za A = {a, b, c, d}, gornja slika predstavlja relaciju = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b), (c, d), (d, a), (d, d)}. Matematička logika 9 Relacije - I deo

Bulove matrice Relacija na konačnom skupu A = {a 1, a 2,..., a n } može se predstaviti i Bulovom matricom α 1,1 α 1,2... α 1,n α 2,1 α 2,2... α 2,n M =............ α n,1 α n,2... α n,n gde je α i,j = { 1 ako (ai, a j ) 0 ako (a i, a j ) / Matrica se naziva Bulovom jer se sastoji samo od Bulovih vrednosti nula (oznaka za netačno) i jedinica (oznaka za tačno). Matematička logika 10 Relacije - I deo

Primer Bulove matrice Ranije razmatrana relacija = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b), (c, d), (d, a), (d, d)}, na skupu A = {a, b, c, d}, može se predstaviti Bulovom matricom: 0 1 1 0 0 1 1 0 M = 0 1 0 1 1 0 0 1 Primetimo da ova matrica veoma liči na kvadratnu mrežu (rotiranu za 90 ), kojom je ranije bila predstavljena ista ova relacija. Matematička logika 11 Relacije - I deo

Relacije i grafovi Još jedan način grafičkog predstavljanja relacija je uz pomoć grafova. Orijentisani graf ili digraf je ured eni par (G, E) za koji važi: G je neprazan skup, koji nazivamo skupom čvorova, a njegove elemente čvorovima grafa; E G 2 je neprazan skup koji nazivamo skupom grana, a njegove elemente granama grafa. Jasno, E je ništa drugo do binarna relacija na skupu čvorova G. Za granu e = (a, b) E kažemo da počinje u čvoru a a završava se u čvoru b, što grafički predstavljamo na sledeći način: a b Matematička logika 12 Relacije - I deo

Primer grafa Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu, umesto digraf kažemo i samo graf. Neka je graf G = (G, E) zadat sa: G = {a, b, c}, E = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b)}. Ovaj graf (relaciju) grafički predstavljamo na sledeći način: Matematička logika 13 Relacije - I deo

Primer grafa Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu, umesto digraf kažemo i samo graf. Neka je graf G = (G, E) zadat sa: G = {a, b, c}, E = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b)}. Ovaj graf (relaciju) grafički predstavljamo na sledeći način: c a b Matematička logika 13 Relacije - I deo

Primer grafa Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu, umesto digraf kažemo i samo graf. Neka je graf G = (G, E) zadat sa: G = {a, b, c}, E = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b)}. Ovaj graf (relaciju) grafički predstavljamo na sledeći način: c a b Matematička logika 13 Relacije - I deo

Primer grafa Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu, umesto digraf kažemo i samo graf. Neka je graf G = (G, E) zadat sa: G = {a, b, c}, E = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b)}. Ovaj graf (relaciju) grafički predstavljamo na sledeći način: c a b Matematička logika 13 Relacije - I deo

Primer grafa Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu, umesto digraf kažemo i samo graf. Neka je graf G = (G, E) zadat sa: G = {a, b, c}, E = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b)}. Ovaj graf (relaciju) grafički predstavljamo na sledeći način: c a b Matematička logika 13 Relacije - I deo

Primer grafa Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu, umesto digraf kažemo i samo graf. Neka je graf G = (G, E) zadat sa: G = {a, b, c}, E = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b)}. Ovaj graf (relaciju) grafički predstavljamo na sledeći način: c a b Matematička logika 13 Relacije - I deo

Primer grafa Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu, umesto digraf kažemo i samo graf. Neka je graf G = (G, E) zadat sa: G = {a, b, c}, E = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b)}. Ovaj graf (relaciju) grafički predstavljamo na sledeći način: c a b Matematička logika 13 Relacije - I deo

Još jedan primer grafa Neka je graf (G, E) grafički prikazan sa c Tada je G = {a, b, c} i a b E = {(a, b), (a, c), (b, b), (c, a), (c, c)}. Napomenimo da granu oblika (a, a) zovemo petlja. Matematička logika 14 Relacije - I deo

Malo o terminologiji Naziv graf potiče upravo od grafičkog načina njihovog predstavljanja. Naziv orijentisani graf ističe činjenicu da kod svake grane razlikujemo njen početni i njen završki čvor. U grafičkom predstavljanju grafa, orijentacija je odred ena strelicom. Digraf je skraćenica naziva orijentisanog grafa na engleskom jeziku directed graph. U matematici se takod e izučavaju i neorijentisani grafovi. Za razliku od orijentisanih grafova, kod kojih je grana ured eni par čvorova, kod neorijentisanih grafova grana je neured eni par čvorova. Matematička logika 15 Relacije - I deo

Predstavljanje relacija - primeri Zadatak 1.1. Neka je A = {2, 4, 5, 8, 9, 10} i neka je relacija na A definisana sa a b def a deli b u skupu N. (a) Predstaviti relaciju kao skup ured enih parova. (b) Predstaviti relaciju grafom. (c) Predstaviti relaciju Bulovom matricom. Rešenje: a) Imamo da je = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 10), (4, 4), (4, 8), (5, 5), (5, 10), (8, 8), (9, 9), (10, 10)}. Matematička logika 16 Relacije - I deo

Predstavljanje relacija - primeri (b) Kako je = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 10), (4, 4), (4, 8), (5, 5), (5, 10), (8, 8), (9, 9), (10, 10)}, se može predstaviti grafom na jedan od sledećih načina: 5 4 5 4 8 2 8 2 9 10 9 10 Matematička logika 17 Relacije - I deo

Predstavljanje relacija - primeri (c) Kako je = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 10), (4, 4), (4, 8), (5, 5), (5, 10), (8, 8), (9, 9), (10, 10)}, se može predstaviti sledećom Bulovom matricom: 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 Matematička logika 18 Relacije - I deo

Predstavljanje relacija - primeri Kako se iz ovog predstavljanja ne vidi baš jasno koja vrsta, odnosno kolona, odgovara odred enom elementu iz A, to relaciju možemo predstaviti i tablicom 2 4 5 8 9 10 2 1 1 0 1 0 1 4 0 1 0 1 0 0 5 0 0 1 0 0 1 8 0 0 0 1 0 0 9 0 0 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 1 Matematička logika 19 Relacije - I deo

Neke važne relacije Prazna relacija definiše se kao prazan podskup od A 2. Puna ili univerzalna relacija definiše se kao ceo skup A 2. Relacija jednakosti na skupu A naziva se često i dijagonalna relacija ili dijagonala i označava se sa. Dakle, = {(x, x) x A} Matematička logika 20 Relacije - I deo

Operacije sa relacijama Kako relacije na skupu A predstavljaju podskupove od A 2, to se pojmovi presek relacija, unija relacija i komplement relacije definišu kao preseci skupova: θ = {(x, y) A 2 (x, y) (x, y) θ}; θ = {(x, y) A 2 (x, y) (x, y) θ}; = {(x, y) A 2 (x, y) }. Matematička logika 21 Relacije - I deo

Jednakost i inkluzija relacija Jednakost relacija takod e definišemo kao jednakost skupova, = θ def ( (x, y) A 2 ) (x, y) (x, y) θ ), a inkluziju relacija kao inkluziju skupova: θ def ( (x, y) A 2 ) (x, y) (x, y) θ ). Matematička logika 22 Relacije - I deo

Inverzna relacija Inverzna relacija relacije na skupu A, u oznaci 1, je relacija na skupu A definisana sa: 1 = {(y, x) A 2 (x, y) }. Na slici se vidi da se inverzna relacija 1 dobija rotacijom relacije oko dijagonale. Matematička logika 23 Relacije - I deo

Primeri operacija sa relacijama Razmatramo relacije na skupu prirodnih brojeva N. a) Presek relacija i je relacija jednakosti, a njihova unija je puna relacija, tj. N 2. b) Komplement relacije < je relacija, a inverzna relacija za < je relacija >. c) Relacija jednakosti je sama sebi inverzna, a njen komplement je relacija. d) Relacija deli,, je podskup relacije. Matematička logika 24 Relacije - I deo

Kompozicija relacija Kompozicija ili proizvod relacija i θ na skupu A je relacija θ na A, definisana na sledeći način: θ = {(x, y) A 2 ( z A)((x, z) (z, y) θ)} odnosno θ = {(x, y) A 2 ( z A)( x z z θ y )} Drugim rečima, relacija θ se nastavlja (nadovezuje) na. To nadovezivanje može se grafički prikazati na sledeći način θ x z y Matematička logika 25 Relacije - I deo

Primer kompozicije relacija Neka je A = {a, b, c, d}, i = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, d)}, θ = {(b, a), (b, c), (d, c)}. Tada je θ = {(a, a), (a, c), (b, c)}, θ = {(b, b), (b, c), (b, d)}. Matematička logika 26 Relacije - I deo

Isti primer drugi način Neka je ponovo A = {a, b, c, d}, i = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, d)}, θ = {(b, a), (b, c), (d, c)}. Ove relacije možemo grafički predstaviti tako da relaciji odgovaraju plave strelice, a relaciji θ crvene. Tada relacijama θ i θ odgovaraju kombinacije strelica: θ: plava crvena; θ : crvena plava Dakle, c a d b θ = {(a, a), (a, c), (b, c)}, θ = {(b, b), (b, c), (b, d)}. Matematička logika 27 Relacije - I deo

Asocijativnost kompozicije Tvrd enje 1: Za proizvoljne relacije, θ i σ na skupu A važi: (θ σ) = ( θ) σ, tj. kompozicija relacija je asocijativna operacija. Dokaz: Dokazaćemo samo da važi inkluzija (θ σ) ( θ) σ, jer se obratna inkluzija dokazuje na potpuno isti način. Matematička logika 28 Relacije - I deo

Asocijativnost kompozicije (θ σ) a b (a, b) (θ σ) Matematička logika 29 Relacije - I deo

Asocijativnost kompozicije (θ σ) a x b (a, b) (θ σ) ( x A) Matematička logika 29 Relacije - I deo

Asocijativnost kompozicije (θ σ) a x b (a, b) (θ σ) ( x A)(a, x) Matematička logika 29 Relacije - I deo

Asocijativnost kompozicije (θ σ) θ σ a x b (a, b) (θ σ) ( x A)(a, x) (x, b) θ σ Matematička logika 29 Relacije - I deo

Asocijativnost kompozicije (θ σ) θ σ a x b (a, b) (θ σ) ( x A)(a, x) (x, b) θ σ ( x A) (a, x) Matematička logika 29 Relacije - I deo

Asocijativnost kompozicije a (θ σ) x θ σ y b (a, b) (θ σ) ( x A)(a, x) (x, b) θ σ ( x A)( y A)(a, x) ( ) Matematička logika 29 Relacije - I deo

Asocijativnost kompozicije a (θ σ) x θ θ σ y b (a, b) (θ σ) ( x A)(a, x) (x, b) θ σ ( x A)( y A)(a, x) ( (x, y) θ ) Matematička logika 29 Relacije - I deo

Asocijativnost kompozicije a (θ σ) x θ θ σ y σ b (a, b) (θ σ) ( x A)(a, x) (x, b) θ σ ( x A)( y A)(a, x) ( (x, y) θ (y, b) σ ) Matematička logika 29 Relacije - I deo

Asocijativnost kompozicije a (θ σ) x θ θ σ y σ b (a, b) (θ σ) ( x A)(a, x) (x, b) θ σ ( x A)( y A)(a, x) ( (x, y) θ (y, b) σ ) ( y A)( x A) Matematička logika 29 Relacije - I deo

Asocijativnost kompozicije a (θ σ) x θ θ σ y σ b (a, b) (θ σ) ( x A)(a, x) (x, b) θ σ ( x A)( y A)(a, x) ( (x, y) θ (y, b) σ ) ( y A)( x A) ( (a, x) (x, y) θ ) (y, b) σ Matematička logika 29 Relacije - I deo

Asocijativnost kompozicije a (θ σ) x θ θ σ y σ b (a, b) (θ σ) ( x A)(a, x) (x, b) θ σ ( x A)( y A)(a, x) ( (x, y) θ (y, b) σ ) ( y A)( x A) ( (a, x) (x, y) θ ) (y, b) σ ( y A) (y, b) σ Matematička logika 29 Relacije - I deo

Asocijativnost kompozicije a (θ σ) x θ θ θ σ y σ b (a, b) (θ σ) ( x A)(a, x) (x, b) θ σ ( x A)( y A)(a, x) ( (x, y) θ (y, b) σ ) ( y A)( x A) ( (a, x) (x, y) θ ) (y, b) σ ( y A)(a, y) θ (y, b) σ Matematička logika 29 Relacije - I deo

Asocijativnost kompozicije (θ σ) a x θ θ σ y σ b θ ( θ) σ (a, b) (θ σ) ( x A)(a, x) (x, b) θ σ ( x A)( y A)(a, x) ( (x, y) θ (y, b) σ ) ( y A)( x A) ( (a, x) (x, y) θ ) (y, b) σ ( y A)(a, y) θ (y, b) σ (a, b) ( θ) σ Matematička logika 29 Relacije - I deo

Asocijativnost kompozicije (θ σ) a x θ θ σ y σ b θ ( θ) σ (a, b) (θ σ) ( x A)(a, x) (x, b) θ σ ( x A)( y A)(a, x) ( (x, y) θ (y, b) σ ) ( y A)( x A) ( (a, x) (x, y) θ ) (y, b) σ ( y A)(a, y) θ (y, b) σ (a, b) ( θ) σ Ovim smo dokazali da je (θ σ) ( θ) σ. Matematička logika 29 Relacije - I deo

Druga svojstva kompozicije Tvrd enje 2: Postoji skup A i relacije i θ na A takve da je θ θ. tj. da kompozicija relacija ne mora biti komutativna operacija. Dokaz: U primeru kompozicije relacija koji smo dali napred je θ θ, što dokazuje naše tvrd enje. Matematička logika 30 Relacije - I deo

Druga svojstva kompozicije Tvrd enje 3: Za proizvoljnu relaciju na skupu A važi = =. Dokaz: Neka je (x, y). To znači da postoji z A takav da je (x, z) i (z, y), odnosno (x, z) i z = y, odakle dobijamo da je (x, y). Prema tome, dokazali smo da je. Sa druge strane, ako je (x, y), tada imamo da je (x, y) i (y, y), pa prema definiciji kompozicije relacija dobijamo da je (x, y). Ovim smo dokazali da je, pa konačno zaključujemo da je =. Na isti način dokazujemo da je =. Matematička logika 31 Relacije - I deo

Druga svojstva kompozicije Tvrd enje 3: Za proizvoljne relacije ρ, θ i σ na skupu A važi: (a) ρ (θ σ) = (ρ θ) (ρ σ); (b) ρ (θ σ) (ρ θ) (ρ σ); (ρ θ) σ = (ρ σ) (θ σ); (ρ θ) σ (ρ σ) (θ σ); (c) (ρ θ) 1 = ρ 1 θ 1 ; (d) (ρ θ) 1 = ρ 1 θ 1 ; (e) (ρ θ) 1 = θ 1 ρ 1 ; (f) (ρ 1 ) 1 = ρ; (g) (ρ) 1 = (ρ 1 ). Dokaz: Ostavlja se za vežbu. Matematička logika 32 Relacije - I deo

Druga svojstva kompozicije Tvrd enje 3: Za proizvoljne relacije ρ, θ i σ na skupu A važi: ρ θ σ ρ σ θ, ρ θ ρ σ θ σ. Dokaz: Neka je ρ θ. Ako (x, y) σ ρ, tada postoji z A takav da je (x, z) σ i (z, y) ρ. Kako je ρ θ, to imamo da je (x, z) σ i (z, y) θ, što znači da je (x, y) σ θ. Prema tome, dobili smo da je σ ρ σ θ, čime je dokazana prva implikacija. Druga implikacija se dokazuje analogno. Matematička logika 33 Relacije - I deo

Refleksivne relacije Relacija na skupu A je refleksivna ako za svaki x A važi (x, x). Drugim rečima, relacija je refleksivna ako i samo ako je tj., ako sadrži dijagonalu. Prema tome, dijagonala je refleksivna relacija. Za relaciju na A, relacija je najmanja refleksivna relacija na A koja sadrži, i zovemo je refleksivno zatvorenje relacije. Matematička logika 34 Relacije - I deo

Simetrične relacije Relacija na A je simetrična ako za sve x, y A važi (x, y) (y, x). Drugim rečima, je simetrična relacija ako je 1, što je ekvivalentno sa = 1. Naziv simetrična potiče iz činjenice da su to relacije simetrične u odnosu na dijagonalu, što je prikazano na sledećoj slici: Matematička logika 35 Relacije - I deo

Antisimetrične relacije Relacija na A je antisimetrična ako za sve x, y A važi (x, y) (y, x) x = y, Ovaj uslov je ekvivalentan sa 1. Drugim rečima, antisimetrična relacija ne može sadržati nijedan par različitih tačaka u A 2 simetričan u odnosu na dijagonalu. Odatle i potiče naziv antisimetrična relacija. Matematička logika 36 Relacije - I deo

Tranzitivne relacije Relacija na A je tranzitivna ako za sve x, y, z A važi (x, y) (y, z) (x, z). Ekvivalentna formulacija ovog uslova je. Tranzitivnost se grafički može predstaviti na sledeći način ako je x u relaciji sa y, i y je u relaciji sa z, onda se trougao može zatvoriti relacijom izmed u x i z: z x y Matematička logika 37 Relacije - I deo

Tranzitivno zatvorenje relacije Neka je relacija na skupu A. Za n N 0, n-ti stepen relacije, u oznaci n, definišemo sa: 0 def = 1 def = def n+1 = n Takod e, relacije + i definišemo na sledeći način: + def = n def = n N n N 0 n a) + je najmanja tranzitivna relacija na A koja sadrži, i zovemo je tranzitivno zatvorenje relacije ; b) je najmanja refleksivna i tranzitivna relacija na A koja sadrži, i zovemo je refleksivno-tranzitivno zatvorenje relacije. Matematička logika 38 Relacije - I deo

Putevi u grafu Neka je dat graf (G, E), čvorovi a, b G i neka je e 1 = (a 1, b 1 ), e 2 = (a 2, b 2 ),..., e n = (a n, b n ) E niz grana za koje važi a = a 1 (a je početni čvor); b n = b (b je završni čvor); b k = a k+1 (grana e k+1 se nadovezuje na granu e k ), za svaki k, 1 k n 1. Tada za ovaj niz grana kažemo da je put iz čvora a u čvor b, a broj n grana u nizu nazivamo dužinom tog puta. e 1 e 2 e n... a=a 1 b 1 =a 2 b 2 =a 3 b n 1 =a n b n =b Matematička logika 39 Relacije - I deo

Putevi u grafu Tranzitivno zatvorenje relacije na skupu A može se predstaviti pomoću puteva u grafu (A, ), na sledeći način: (a, b) + ako i samo ako postoji put iz a u b. Takod e, za n N važi: (a, b) n ako i samo ako postoji put dužine n iz a u b. Na ovaj način bi smo mogli izraziti i tranzitivnost relacije: Relacija na skupu A je tranzitivna ako i samo ako svaki put u grafu (A, ) ima prečicu dužine 1, tj., postoji grana koja spaja početnu i krajnju tačku tog puta. Matematička logika 40 Relacije - I deo

Primeri a) Relacije =,, i na skupu N prirodnih brojeva su refleksivne. Sve te relacije su i tranzitivne, = je simetrična a, i su antisimetrične. Ako relaciju deljenja posmatramo na skupu celih brojeva, tada ona nije antisimetrična. Na primer, za svaki ceo broj n 0 važi: n n i n n, pri čemu je n n. b) Relacija = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)} je refleksivna na skupu {1, 2}, ali nije na skupu {1, 2, 3}, jer ne sadrži dijagonalu ovog poslednjeg. Matematička logika 41 Relacije - I deo

Primeri c) Relacija = {(x, y) x y < 1} na skupu realnih brojeva R je refleksivna i simetrična, ali nije tranzitivna. d) Relacija paralelnosti za prave u ravni: p q def p i q se ne seku ili se poklapaju je refleksivna, simetrična i tranzitivna. Relacija ortogonalnosti je samo simetrična. p q def p i q se seku pod pravim uglom Matematička logika 42 Relacije - I deo

Primeri Zadatak 1.2. Neka je na skupu celih brojeva zadata sledeća relacija x y ( u Z) x = yu. Koja od sledećih svojstava ima ova relacija: (a) refleksivna (b) simetrična (c) anti-simetrična (d) tranzitivna Rešenje: ostala svojstva. Dokazaćemo da ova relacija ima svojstva (a) i (d), a nema (a) Relacija je refleksivna jer za svaki x Z važi da je x = x 1, što znači da je x x. Matematička logika 43 Relacije - I deo

Primeri (b) Relacija nije simetrična jer je, na primer, 6 2, a nije 2 6. Naime, postoji u Z tako da je 6 = 2 u (u = 3), ali ne postoji v Z tako da je 2 = 6 v. (c) Relacija nije anti-simetrična, jer su, na primer, 2 i 2 različiti elementi iz Z za koje važi da je 2 2 i 2 2. Naime, 2 = ( 2) ( 1) i 2 = 2 ( 1). (d) Relacija je tranzitivna jer ako su x, y, z Z elementi takvi da je x y i y z, odnosno postoje u, v Z tako da je x = yu i y = zv, tada je x = yu = (zv)u = z(vu), i kako je jasno da je vu Z, to dobijamo da je x z. Matematička logika 44 Relacije - I deo

Primeri Zadatak 1.3. Neka je S = {1, 2, 3} i neka je relacija R na S zadata sa R = {(2, 1), (1, 2), (3, 3), (2, 2), (1, 1)}. Koja od sledećih svojstava ima ova relacija: (a) refleksivna (b) simetrična (c) anti-simetrična (d) tranzitivna Rešenje: Dokazaćemo da R ima svojstva (a), (b) i (d), a nema (c). Matematička logika 45 Relacije - I deo

Primeri (a) Relacija R = {(2, 1), (1, 2), (3, 3), (2, 2), (1, 1)} je refleksivna jer sadrži sve parove (1, 1), (2, 2) i (3, 3) sa dijagonale Dekartovog kvadrata skupa S. (b) Relacija R je i simetrična, jer van dijagonale sadrži samo parove (1, 2) i (2, 1), koji su med usobno simetrični. (c) Relacija R nije anti-simetrična, jer sadrži parove (1, 2) i (2, 1), pri čemu je 1 2. Matematička logika 46 Relacije - I deo

Primeri (d) Kako su za R = {(2, 1), (1, 2), (3, 3), (2, 2), (1, 1)} tačne sledeće implikacije (1, 1) R (1, 1) R (1, 1) R (1, 1) R (1, 2) R (1, 2) R (1, 2) R (2, 1) R (1, 1) R (1, 2) R (2, 2) R (1, 2) R (2, 1) R (1, 1) R (2, 1) R (2, 1) R (1, 2) R (2, 2) R (2, 2) R (2, 1) R (2, 1) R (2, 2) R (2, 2) R (2, 2) R (3, 3) R (3, 3) R (3, 3) R to zaključujemo da je R tranzitivna relacija. Matematička logika 47 Relacije - I deo

Primeri Primetimo da je zadatak bilo moguće uraditi i na drugi način. Naime, možemo uočiti da su svi elementi iz skupa {1, 2} med usobno u relaciji R, dok je 3 u relaciji samo sa samim sobom. Prema tome, kolekcija koja se sastoji od skupova {1, 2} i {3} je particija skupa S, i dva elementa iz S su u relaciji R ako i samo ako su u istom bloku te particije, odakle zaključujemo da je R relacija ekvivalencije koja odgovara toj particiji. Iz toga potom dalje sledi da R ima svojstva (a), (b) i (d), a nema svojstvo (c). Matematička logika 48 Relacije - I deo

Relacije ekvivalencije Relacija na skupu A je relacija ekvivalencije na A ako je ➊ refleksivna ➋ simetrična ➌ tranzitivna Umesto relacija ekvivalencije ponekad kažemo samo ekvivalencija. Glavni primer relacija ekvivalencije je jednakost, tj. dijagonalna relacija. To je najmanja relacija ekvivalencije na A, u smislu da svaka relacija ekvivalencije na A mora da je sadrži, dok nijedan pravi podskup od nema svojstvo refleksivnosti, pa nije relacija ekvivalencije na A. I univerzalna relacija je relacija ekvivalencije. Matematička logika 49 Relacije - I deo

Primeri relacija ekvivalencije Primer 1.1. Neka je n proizvoljan prirodan broj, i neka je relacija n na skupu Z svih celih brojeva definisana sa ili, ekvivalentno, sa x n y def n x y, x n y def x i y imaju isti ostatak pri deljenju sa n. Dokazati da je n relacija ekvivalencije. Napomena 1.1. Relacija n poznata je pod nazivom kongruencija po modulu n. Dokaz: (1) Za svaki x Z imamo da n 0 = x x, odakle je x n x, što znači da je relacija n refleksivna. Matematička logika 50 Relacije - I deo

Primeri relacija ekvivalencije (2) Za proizvoljne x, y Z imamo da je x n y n x y n (x y) n y x y n x, i dakle, relacija n je simetrična. (3) Neka su x, y, z Z elementi takvi da je x n y i y n z, tj. n x y i n y z. Tada n (x y) + (y z) = x z, pa je x n z, što znači da je n tranzitivna relacija. Prema tome, n je relacija ekvivalencije. Primer 1.2. Relacija paralelnosti za prave u ravni, paralelnost za ravni u prostoru, sve su to primeri relacija ekvivalencije. Matematička logika 51 Relacije - I deo

Klase ekvivalencije Neka je relacija ekvivalencije na A i a A. Klasa ekvivalencije elementa a u odnosu na relaciju ekvivalencije definiše se kao skup svih elemenata iz A koji su u relaciji sa a, tj. [a] def = {x A a x}. Takod e govorimo i -klasa elementa a, ili kraće samo klasa elementa a, u slučajevima kada je jasno o kojoj se relaciji ekvivalencije radi. Matematička logika 52 Relacije - I deo

Osnovna svojstva klasa Tvrd enje 1. 1) Svaka klasa je neprazna - klasa elementa x sadrži makar taj element. Dokaz: Za svaki x A, zbog refleksivnosti imamo da je x x, pa je x [x]. 2) Ukoliko su dva elementa x i y u relaciji, tada su njihove klase jednake, tj. oni odred uju jednu istu klasu: [x] = [y]. Dokaz: Neka je a [x], tj. a x. Prema pretpostavci, x y, pa na osnovu tranzitivnosti dobijamo da je a y, tj. a [y]. Odavde zaključujemo da je [x] [y]. Na isti način dokazujemo i obratnu inkluziju, čime dobijamo da je [x] = [y]. Matematička logika 53 Relacije - I deo

Osnovna svojstva klasa 3) Ukoliko x i y nisu u relaciji, tada su njihove klase disjunktne. Dokaz: Pretpostavimo da postoji a [x] [y]. Tada je a x i a y, pa na osnovu simetričnosti i tranzitivnosti dobijamo da je x y, što je u suprotnosti sa polaznom pretpostavkom. Odavde zaključujemo da klase [x] i [y] moraju biti disjunktne. Iz 2) i 3) sledi da ako dve klase [x] i [y] nisu disjunktne, tj. imaju neprazan presek, onda moraju da budu jednake. Matematička logika 54 Relacije - I deo

Osnovna svojstva klasa 4) Unija svih -klasa je jednaka celom skupu A. Dokaz: Kako su sve -klase sadržane u A, to je i njihova unija sadržana u A. Obratno, kako je svaki element x A sadržan u nekoj -klasi, tj. x [x], to je jasno da je A sadržan u uniji svih -klasa. Prema tome, dokazali smo da je A jednak uniji svih -klasa. Kada neku -klasu zapišemo u obliku [x], tada kažemo da je x predstavniik te klase. Kako je [x] = [y], za svaki y [x] (prema 2)), to ravnopravno sa x i y može predstavljati tu klasu, tj., klasu ekvivalencije može označavati (predstavljati) svaki njen član. Matematička logika 55 Relacije - I deo

Primeri klasa a) Neka je relacija na skupu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} zadata sa 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 ili matricom M = Tada je relacija ekvivalencije sa klasama 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 [1] = [2] = [4] = {1, 2, 4}, [3] = [6] = {3, 6}, [5] = {5}. Matematička logika 56 Relacije - I deo

Primeri klasa b) Klase ekvivalencije za relaciju 3 na N 0 su skupovi brojeva sa istim ostatkom pri deljenju sa 3: {1, 4, 7,... }; {2, 5, 8,... }; {0, 3, 6, 9,... }. c) Dijagonala na proizvoljnom skupu A ima jednočlane klase: svaki element je samo sa sobom u relaciji pa je i sam u klasi. d) Relacija paralelnosti razbija skup svih pravih u ravni na pravce: u istoj klasi su sve med usobno paralelne prave. Matematička logika 57 Relacije - I deo

Razbijanje skupa na klase Kao što smo videli, relacija ekvivalencije razbija skup na med usobno disjunktne klase ekvivalencije. Relacija ekvivalencije grupiše, udružuje u jednu klasu sve one elemente koje objedinjuje zajedničko svojstvo - ono koje opisuje ta relacija. Na primer, kod relacije 3, to je svojstvo da imaju isti ostatak pri deljenju sa 3. Matematička logika 58 Relacije - I deo

Razbijanje skupa na klase Zadatak 1.4. Neka je A = {1, 2, 3}. Odrediti koje od sledećih relacija definisanih na A su relacije ekvivalencije, i za one koje su relacije ekvivalencije odrediti njihove klase: (a) R 1 = {(2, 2), (1, 1)} (b) R 2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} (c) R 3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 1), (1, 3)} (d) R 4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (3, 2), (2, 1)} (e) R 5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)} Rešenje: Dokazaćemo da relacije (b) i (e) jesu relacije ekvivalencije, a ostale nisu. (a) Relacija R 1 = {(2, 2), (1, 1)} očito nije refleksivna, jer ne sadrži par (3, 3), zbog čega nije ni relacija ekvivalencije. Matematička logika 59 Relacije - I deo

Razbijanje skupa na klase (b) Relacija R 2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} je očigledno relacija ekvivalencije čije su klase jednoelementne: {1}, {2}, {3}. (c) Relacija R 3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 1), (1, 3)} je očito refleksivna i simetrična, ali nije tranzitivna, pa nije relacija ekvivalencije. Naime, imamo da je (2, 1) R 3 i (1, 3) R 3, ali (2, 3) / R 3. (d) Relacija R 4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (3, 2), (2, 1)} nije relacija ekvivalencije, jer nije simetrična. Zaista, (3, 2) R 4, ali (2, 3) / R 4. (e) U slučaju relacije R 5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)} imamo da su svi elementi iz skupa A med usobno u toj relaciji, što znači da je to univerzalna relacija na A, odnosno, R 5 je relacija ekvivalencije sa samo jednom klasom: {1, 2, 3}. Matematička logika 60 Relacije - I deo

Particije Dakle, relacija ekvivalencije odred uje jednu particiju (razbijanje) skupa A na med usobno disjunktne skupove čija je unija ceo skup A. To nas dovodi do sledeće formalne definicije: Familiju {A i } i I podskupova skupa A zovemo particija ili razbijanje skupa A ako za tu familiju važi sledeće: sledeće uslove: 1) Za svaki i I je A i ; 2) Za sve i, j I je ili A i A j = ili A i = A j ; 3) {A i i I} = A. Skupove A i nazivamo blokovima particije Π. Matematička logika 61 Relacije - I deo

Particije Ako je relacija ekvivalencije na skupu A, tada prema Tvrd enju 2, familija svih -klasa jeste jedna particija skupa A. Tu particiju označavamo sa Π, tj. Π def = {[x] x A}. Obratno, ako je data particija Π = {A i i I} skupa A, tada možemo definisati relaciju Π na A na sledeći način: (x, y) Π def ( i I) x, y A i, tj. ako x i y pripadaju istom bloku particije Π. Matematička logika 62 Relacije - I deo

Relacije ekvivalencije i particije Tvrd enje 2: a) Za svaku relaciju ekvivalencije na skupu A, Π je particija od A. b) Za svaku particiju Π skupa A, Π je relacija ekvivalencije na A. c) Štaviše, važi i sledeće: (Π ) = i Π ( Π) = Π. Matematička logika 63 Relacije - I deo

Relacije ekvivalencije i particije Jednakosti iz Tvrd enja 3, pod c), mogu se pojasniti na sledeći način: c1) Ako za relaciju ekvivalencije formiramo odgovarajuću particiju Π, a potom za tu particiju formiramo odgovarajuću relaciju ekvivalencije, onda dobijamo relaciju ekvivalencije od koje smo krenuli. (Π ) Π (Π ) = c2) Ako za particiju Π formiramo odgovarajuću relaciju ekvivalencije Π, a potom za tu relaciju ekvivalencije formiramo odgovarajuću particiju Π ( Π), onda dobijamo particiju od koje smo krenuli. Π Π Π ( Π) = Π Matematička logika 64 Relacije - I deo

Relacije ekvivalencije i particije Zadatak 1.5. Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Odrediti koje od sledećih kolekcija skupova predstavljaju particije skupa A. Za one koje nisu particije navesti razlog zbog čega to nisu. (a) {{1, 2},, {3, 4, 5}, {6, 7}} (b) {{1, 4}, {2, 3, 7}, {5, 6}} (c) {{1, 7}, {3, 4, 6}} (d) {{1, 5}, {3, 4, 5}, {2, 6, 7}} (e) {{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}} Rešenje: Dokazaćemo da kolekcije (b) i (e) jesu particije skupa A, dok ostale nisu. Potsetićemo se da kolekcija podskupova od A jeste particija tog skupa ako se sastoji od nepraznih skupova, koji su po parovima disjunktni i unija im je ceo skup A. Matematička logika 65 Relacije - I deo

Relacije ekvivalencije i particije (a) Kolekcija {{1, 2},, {3, 4, 5}, {6, 7}} nije particija skupa A jer se ne sastoji od nepraznih skupova. (b) Kolekcija {{1, 4}, {2, 3, 7}, {5, 6}} je particija jer se sastoji od nepraznih, med usobno disjunktnih skupova čija je unija jednaka celom skupu A. (c) Kolekcija {{1, 7}, {3, 4, 6}} se sastoji od nepraznih, disjunktnih podskupova od A, ali unija tih podskupova nije ceo skup A (2 i 5 nisu u toj uniji), pa ni to nije particija skupa A. (d) Kolekcija {{1, 5}, {3, 4, 5}, {2, 6, 7}} nije particija od A jer skupovi {1, 5} i {3, 4, 5} iz te kolekcije nisu med usobno disjunktni. (e) Kolekcija {{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}} je particija skupa A sa samo jednim blokom - celim tim skupom A. Matematička logika 66 Relacije - I deo

Faktor skup Particiju koja odgovara relaciji ekvivalencije na skupu A nazivamo takod e i faktor skupom skupa A u odnosu na. Drugim rečima, faktor skup skupa A u odnosu na relaciju ekvivalencije je skup svih klasa ekvivalencije skupa A u odnosu na. Taj faktor skup označavamo sa A/. Kao što se vidi sa slike desno, faktor skup se zapravo dobija tako što se svaka -klasa sažme u jedan element. Matematička logika 67 Relacije - I deo