9. STABILITATEA SISTEMELOR

9. STABILITATEA SISTEMELOR 9.. Itroducere Stbilitte uui item ete u ditre proprietăţile importte le cetui. Noţiue de tbilitte ete îtâlită şi liztă l tote ctegoriile de iteme: mecice, electrice, termice etc. Petru îţelegere cetei oţiui e pot prezet divere exemple edifictore. Stbilitte uui item utomt u ete dor o problemă de tipul D/ Nu (Stbil/ Itbil). Dcă u item utomt ete lb tbil, o mică creştere uui prmetru l itemului l-r pute împige pete griţă, î zo de itbilitte. Or, iteţi ete de proiect iteme cu o umită rezervă ( mrgie ) de tbilitte. De cee, ete eceră şi o defiire uei măuri tbilităţii. 9.. Noţie de tbilitte. Exemple Ete îdeju de cuocută problem tbilităţii echilibrului î mecic corpurilor rigide. Dcă u corp e pote rezem î diferite poziţii pe o uprfţă, echilibrul ete tbil tuci câd î urm uei deplări rbitrr de mici el revie l poziţi iiţilă. De exemplu, bil di figur 9. ete î echilibru itbil î poziţi şi î echilibru tbil î poziţi. Dcă upr bilei, fltă î poziţi, itervie u impul exter cet execută o erie de mişcări ociltorii î jurul poziţiei de echilibru. Acete mişcări e vor mortiz dtorită frecării şi bil v revei î poziţi de echilibru tbil. Fig, 9. Stbilitte uei fere pe o uprfţă cilidică

6 9. - Noţie de tbilitte. Exemple Coul di figur 9. ete îtr-o poziţie itbilă. Coul îşi pierde cetă poziţie l orice timul exter şi u mi pote revei î poziţi iiţilă după îcetre cetui. Poziţi di figur 9.b (coul e prijiă pe geertore ) ete o poziţie de tbilitte eutră (l limită). U timul exter provocă coului o uşoră rulre făr c cet ă-şi părăecă cotctul relizt cu olul pri geertore. Poziţi di figur 9.c ete poziţi tbilă. Orice timul exter uşor cote coul di poziţi iiţilă dr cet revie l cet după îcetre timulului. ) b) c) Fig, 9. Stbilitte uui co Teorem Lgrge-Dirichlet decrie mtemtic problem echilibrului tbil petru u item de pucte mterile. Î plul (ω, M) e pot defii limitele dmie petru cuplu şi viteză î cdrul uui item de cţiore (SA). Acetă zoă v defii domeiul dmiibil de fucţiore (fig.9.). Fig, 9. Domeiul de fucţiore Î cet item (ω, M) î cre -u trt crcteriticile mecice motore şi rezitete, regimul de fucţiore tţior petru SA corepude puctului A de iterecţie l celor două crcteritici (fig.9.). Puctul A trebuie ă îdepliecă următorele codiţii: ) - ă fie u puct rel de fucţiore, dică ă corepudă uui et de vlori (ω, M) cre ă igure o fucţiore igură şi corectă tehologic, mecic, electric, etc. şi ă prţiă domeiului dmiibil; b) - ă fie u puct de fucţiore tbil. Petru liz tbilităţii e prezită clittiv î figur 9. cele două crcteritici mecice (rezitetă şi motore) şi puctul de fucţiore A. Itereeză dcă echilibrul obţiut ete tbil u itbil. Se pue că fuctiore ete tbilă dcă după dipriţi oricărei perturbţii, cre cuzeză vriţi vitezei ughiulre ω,

STABILITATEA SISTEMELOR - 9 65 u gregt tide ă rămâă l mişcre iiţilă. Î cz cotrr, câd după o perturbţie oricât de mică, vitez ughiulră e îdepărteză de vlore de regim permet e pue că fucţiore ete itbilă. Fig, 9. Puct tbil şi itbil de fucţiore Creştere, dtorită uei perturbţii, vitezei ughiulre l vlore ω'' implică o relţie de legătură ître momete de form M m < M r şi deci o tediţă de cădere vitezei îpre vlore ω (fig.9.). L o cădere vitezei ughiulre ub ce de regim permet ω' < ω exită relţi M m > M r şi deci pre tediţ de creştere vitezei ughiulre pre vlore de regim. Puctul de fucţiore "A" ete tfel u puct de fucţiore tbil. Î celşi mod e pote cocluzio că puctul "B" ete u puct de fucţiore itbil (fig.9b). Di puct de vedere mtemtic, codiţi de tbilitte uui puct de fucţiore e exprimă pri relţi: dm r dω A dm m > dω A Acet îemă că petru ve u puct de fucţiore tbil ete ecer c pt crcteriticii mecice motore ă fie mi mică decât pt crcteriticii mecice rezitete î cel puct. Î liz uor iteme mecice mobile e pue deeori problem deformţiilor eltice şi echilibrului. O erie de lucrări lizeză problem tbilităţii eltice [9.]. U exemplu î cet e ete prezett î figur 9.5. Î ul 9 fot cotruit u pod pete râul Tcom (ttul Whhigto). S- cott de fiecre dtă că podul re ocilţii ub cţiue uor vâturi mi puterice. După lui u vât puteric produ o ocilţie cu mplitudie ridictă cuzâd o cttrofă (fig.9.5b). Aliz tbilităţii di itemele hidrulice, itemele electrice etc. fce obiectul uui tudiu tet şi ecer petru o proiectre optimlă. Scopul oricărui item utomt ete de reliz o relţie de depedeţă ître două vribile (fucţie de timp) ître cre u exită relţii de iterdepedeţă, rezultte di legi fizice bolute. Altfel pu, o mărime de ieşire y(t) trebuie ă urmărecă, cât mi fidel poibil, vriţiile mărimii de itrre u(t) oricre r fi vriţiile mărimilor perturbtore. Fucţiore uui item ub cţiue mărimilor di exterior ete crcteriztă pri două regimuri: regimul tţior şi regimul trzitoriu. ( 9.)

66 9. - Noţie de tbilitte. Exemple ) b) Fig, 9.5 Cttrof de l podul Tcom Sitemele î cre e pote reliz u regim tţior e umec iteme tbile.

STABILITATEA SISTEMELOR - 9 67 Î cercetre tbilităţii uui item itereeză tbilitte bolută, cre rtă dcă itemul ete u u tbil şi tbilitte reltivă, cre rtă grdul de tbilitte, repectiv modul î cre itemul tide pre regimul tţior. 9.. Stbilitte itemelor şi poziţi polilor 9 Stbilitte şi ecuţi crcteritică U item ete defiit c fiid tbil dcă: după plicre uui impul l itrre itemului, mărime de ieşire revie l vlore origilă; orice mărime de itrre fiită geereză / cuzeză o mărime de ieşire fiită. Dtorită modului diferit î cre răpude u item l emle de itrre diferite, u mod geerl de crcteriz tbilitte u itbilitte itemului ete liz răpuului l eml treptă uitră ( răpuul idicil ). Sitemul utomt cărui i e plică l itrre u eml treptă uitră ete tbil, dcă compoet trzitorie răpuului e uleză. Fiid dtă fucţi de trfer uui item, G (), î czul cel mi geerl, răpuul idicil l itemului î domeiul ete dt de relţi: Y G( ) C i i k q ( ) G( ) U ( ) + + ( 9.) q k k q ( i ) ude umitorul re rădăcii (rele şi imgire), ditre cre i ut multiple. Aplicâd trformt Lplce iveră emlului de ieşire Y (), e obţie răpuul itemului lizt l eml treptă uitră î domeiul timp: C i - kt i L [ Y ( )] C + Ck e + ( A + At + + At i it e ( 9.) k y ( t) Λ ) Răpuul iclude două compoete: Compoet h ( t ) de regim forţt î cdrul cărui vriţi mărimii de ieşire ete determită umi de mărime de itrre; Compoet h t (t) de regim liber î cre vriţi mărimii de ieşire depide dor proprietăţile fizice le itemului; h( t) h( t ) + ht ( t) ( 9.) Regimul tţior (regimul permet câd mărime de itrre şi de ieşire rămâ ivribile î timp) ete crcterizt pri lip compoetei libere h t ( t). Atfel, h( t ) C S ( t) ( 9.5) ete vlore de regim tţior răpuului, ir C

68 9. - Stbilitte itemelor şi poziţi polilor t i - kt i L [ H ( )] Ck e + ( A + At + + At i it e ( 9.6) k h ( t) Λ ) ete compoet trzitorie, de cre depide comportre itemului î regim dimic. Să lizăm regimul liber pe bz coiderţiilor referitore l rădăciile ecuţiei crcteritice. Tote rădăciile i ut rele şi diticte Dcă cete rădăcii ut egtive tuci t t e e Λ ( 9.7) (fiecre terme tide periodic cu timpul l zero) şi compoet trzitorie e uleză petru că fiecre di compoetele le e uleză. Î cet cz itemul ete tbil. Dcă pritre rădăcii exită o igură rădăciă pozitivă, de exemplu k >, tuci e k t v tide cu timpul l ifiit şi implicit compoet liberă răpuului v tide periodic l ifiit câd t. Î cet cz itemul ete itbil. Ecuţi re o pereche de rădăcii complex cojugte k σk + jωk ; k+ σk jωk ; tote celellte rădăcii ut rele, diticte şi egtive. Î cet cz um termeilor repectivi i compoetei libere răpuului devie: ( σk + jωk ) t ( σk jωk ) t σkt ( ( jωk ) t ( jωk ) t Ck e + Ck+ e e Ck e + Ck+ e )(9.9) Utilizâd relţiile lui Euler, eglitte terioră e pote trform ub form: ude: σ kt h C e i( ω t + ϕ ) ( 9.8) lk, k+ k, k+ k k ( 9.) ( Ck + Ck+ ) ( Ck Ck+ ) CkC C k, k+ k+ ( 9.) C + ϕ k C tg k + ( 9.) Ck Ck + Dcă prte relă σ k rădăciilor complexe ete egtivă, tuci relţi (9.) reprezită ocilţii mortizte (de pulţie cottă şi mplitudie decrecătore î timp). Dcă îă, prte relă ete pozitivă relţi ete crcteritică ocilţiilor mplificte. Rezultă tfel că dcă ecuţi crcteritică dmite rădăciile,, rele şi complex cojugte, tuci răpuul ete periodic mortizt şi deci itemul ete tbil umi î czul câd rădăciile rădăciile rele u emul egtiv, ir prte relă rădăciilor complex cojugte ete egtivă. Se obervă că liz tbilităţii itemului codu l o liză emului rădăciilor ecuţiei crcteritice, dică emului vlorilor cre uleză umitorul fucţiei de trfer, polii fucţiei de trfer.

STABILITATEA SISTEMELOR - 9 69 Ecuţi crcteritică dmite rădăcii multiple Admitem că ecuţi crcteritică re o rădăciă multiplă de ordiul i ir retul rădăciilor ut rele, diticte şi egtive. Î cet cz compoet răpuului liber corepuzătore celor i rădăcii re exprei (di 9.6): i t h k t, i ( t) ( A + At + + Ai t ) e ( 9.) Î relţi terioră termeul e k t ete cel cre defieşte comportmetul î timp expreiei şi implicit l itemului. Dcă rădăci multiplă ete relă şi egtivă tuci e k t câd t. Atfel, exprei terioră v tide l zero şi deci itemul ete tbil imptotic. O liză emăătore e pote reliz şi petru czul uei perechi de rădăcii multiple complexe cojugte ir cocluzi ete emăătore: itemul ete tbil imptotic dcă rădăci re prte relă egtivă. Î fig.9.6-9.7 ut reprezette vriţiile compoetei trzitorii, î fucţie de emul şi vlore rădăciilor k şi k+. Dcă toţi polii fucţiei de trfer ut complex cojugţi şi u prte relă egtivă, (dică σ k < ), deci ut loclizţi î emiplul tâg l plului, itemul ete tbil (czul ); l cţiue uei perturbţii, efectueză ocilţii cre e mortizeză î timp. Dcă toţi polii fucţiei de trfer ut reli (dică ω k ) şi ut egtivi (dică σ k < ), itemul ete de emee tbil; mortizre compoetei trzitorii e relizeză fără ocilţii (czul b). Atât î czul, cât şi î czul b, durt regimului trzitoriu ete determită de exiteţ compoetei x etk cu σ k cel mi mic, dică polii cei mi propiţi de x jω, umiţi poli domiţi. Dcă di cei poli, cel puţi o pereche re σ k <, itemul ete itbil; el efectueză ocilţii cu mplitudie crecătore, teoretic, pâă l ifiit (czul c). Dcă di cei poli, cel puţi uul ete rel şi pozitiv, ( σ k >, ω k ), tuci itemul ete de emee itbil, dr mplitudie compoetei trzitorii tide l ifiit fără ocilţii (czul d). Pot ă pră şi două ituţii prticulre: câd di totlul rădăciilor, cel puţi u ete ulă, k, (poli î origie), u cel puţi o pereche de poli complex cojugţi u σ k (poli pe x imgiră) şi retul de poli u σ k < (fig. 9.7). Î primul cz ( k ), după mortizre celor - compoete, compoet trzitorie rezulttă ete: h ( t) h C ( 9.) t tk k şi vem de fce cu o tbilitte eimptotică. Î fucţie de codiţiile iiţile, compoet pote lu orice vlore şi u tfel de item utomt ete iutil. Sitemul ete l limit periodică de tbilitte, dică ete tbil eutru. Î l doile cz, câd polii ut pe x imgiră, ( k ± jωk ), compoet trzitorie ete:

7 9. - Stbilitte itemelor şi poziţi polilor ht ( t) Ck i( ω kt + ψ k ) ( 9.5) Sitemul efectueză ocilţii emortizte de mplitudie cottă, itemul flâdu-e l limit ociltă de tbilitte; el ete de emee tbil eutru. Sitemele utomte cu poli î origie u pe x imgiră e umec iteme peudo-tbile. k jω x etk σ C k t -σ k ) k+ jω x etk C k k -σ k σ t -σ k b) jω k x etk σ C k t σ k c) k+ jω x etk σ C k k σ k d) t Fig, 9.6 Poziţi polilor şi tbilitte itemului (czul I)

STABILITATEA SISTEMELOR - 9 7 jω k σ ) jω x etk +jω k σ C k t -jω k b) Fig, 9.7 Poziţi polilor şi tbilitte itemului (czul II) 9 Criteriul geerl de tbilitte Avâd î vedere cele expue terior, e pote euţ u criteriu geerl referitor l tbilitte itemelor liire: Petru c itemul utomt ă fie tbil, ete ecer şi uficiet c toţi polii fucţiei de trfer ă fie loclizţi î emiplul tâg l plului complex. Î prctică, determire polilor fucţiei de trfer itemului utomt u ete totdeu o operţie implă. De cee, fot eceră formulre uor criterii de tbilitte prctice, cre ă permită liz tbilităţii itemului fără fi eceră cuoştere polilor fucţiei de trfer. Î plu, î problemele de iteză itemelor trebuie determită iflueţ upr tbilităţii diferitelor cotte fizice ce crcterizeză itemul. Se cere de emee determire modului î cre pot fi modificte diferite cotte fizice le itemului, tfel îcât, tbil fiid, itemul ă fucţioeze cu umiţi prmetri de clitte î regim trzitoriu şi tţior. 9 Locul rădăciilor (root locu) Locul geometric l puctelor (î egleză locu) e defieşte c mulţime tuturor puctelor cre tifc u et de codiţii. Termeul root e referă l tote rădăciile ecuţiei crcteritice cre ut polii fucţiei de trfer itemului î circuit îchi. Polii fucţiei de trfer defiec prmetrii de răpu itemului şi tfel performţ şi tbilitte itemului. Î cete codiţii, root-locu defieşte grficul polilor fucţiei de trfer itemului îchi.

7 9. - Stbilitte itemelor şi poziţi polilor Petru itemul cu recţie di figur 9.8, fucţi de trfer ete: W ( ) Y ( ) G( ) X ( ) + G( ) H ( ) ( 9.6) X () + Y () G - ( ) H ( ) Fig, 9.8 Sitem cu recţie Coiderăm ecuţi crcteritică criă ub form: + u ( + z )( + z )..( + z )( + z ) ( + p )( + p )..( + p )( + p ) K ( 9.7) m m um + de K ( 9.8) ude: um ete umărătorul formei poliomile; de ete umitorul formei poliomile ir K ete mplificre ( K > ). Vectorul K iclude tote vlorile mplificărilor petru fiecre buclă îchiă. Locul rădăciilor ete deet pri utilizre fucţiei di Mtlb rlocu(um,de). U exemplu de fişier, r_loc.m, ete prezett î figur 9.9. Rezulttul obţiut, locul rădăciilor, pri rulre progrmului ete prezett î figur 9.. Selectre mulă uui puct de pe grfic coduce l dechidere uei cete cre prezită prmetrii itemului petru puctul repectiv de fucţiore. Fig, 9.9 Fişier de lucru petru geerre locului rădăciilor Petru reprezetre rădăciilor e pote utiliz şi fucţi: r rlocu(um,de) plot(r, ) ude î itx fucţiei (î ) e v itroduce emul dorit petru reprezetre grfică ( x u o u *, etc.).

STABILITATEA SISTEMELOR - 9 7 Fig, 9. Locul rădăciilor Vectorul de mplificre ete itrodu de utiliztor. Î cet mod e mi pot utiliz şi fucţiile: [r,k] rlocu(um,de) [r,k] rlocu(um,de,k) [r,k] rlocu(a,b,c,d) ( 9.9) [r,k] rlocu(a,b,c,d,k) [r,k] rlocu(y) 9 Poli şi performţe Comportre itemului de reglre utomtă î timpul proceului trzitoriu, ce re loc după priţi cuzei cre-l provocă, e umeşte clitte dimică itemului. Priciplii idici cre crcterizeză clitte dimică ut: uprreglre, durt regimului trzitoriu, durt dimeiolă regimului trzitoriu [9.5]. Idicii de clitte i itemului depid de poziţi polilor şi zerourilor. Cottele fizice le itemului determiă cet comportmet. Î celşi timp, o liză modului de depedeţă cetor idici de cottele fizice permite defiire uui domeiu î cre trebuie ă e găecă polii tfel îcât idicii de clitte ă fie relizţi.

7 9. - Stbilitte itemelor şi poziţi polilor Exemplificăm problem bordtă petru idicele de clitte l itemului defiit pri uprreglre dmiibilă σ σ. Petru u item de ordiul doi uprreglre e pote defii pri relţi: πξ ξ σ e ( 9.) Itroducâd şi codiţi < ξ < e pote determi vlore dmiibilă coeficietului de mortizre: ξ l σ coϕ π + l σ ( 9.) Rezultă î cet mod că polii trebuie ă fie loclizţi î domeiul ehşurt (fig.9.6) î tâg treului A-O-B. A Im ξω p x ϕ ω ξ ω r ϕ O Re p x B Fig, 9. Limitre zoei permie petru poziţi polilor Î celşi cotext ete ecer ă mi itroducem o oţiue de utiliztă î domeiul itemelor utomte. Coiderăm î cet e itemul cu fucţi de trfer: Y ( ) G ( ) ( 9.) X ( ) ( + ) ( + ) Răpuul itemului l u eml de tip treptă uitră ete decri de fucţi: t t y( t) e + e ( 9.)

STABILITATEA SISTEMELOR - 9 75 Se obervǎ cǎ fucţi de trfer re poli î puctele p şi p. Î t cdrul rǎpuului itemului, fucţi expoeţilǎ e ete ocitǎ lui p şi t e lui p. t Î plu, di reprezetre grficǎ ete evidet cǎ petru t, e tide t mi let î rport cu e. Se pue cǎ polul p ete mi rpid c polul p. Cu cât polul ete mi prope / mi deprte fţǎ de x imgirǎ, e pue cǎ ete mi let / rpid. Polul let ete domit fţǎ de polul rpid. e t e t Fig, 9. Vriţi fucţiilor expoeţile cu expoeţi diferiţi 9.. Criterii lgebrice de tbilitte 9 Criteriul de tbilitte Hurwitz Criteriul de tbilitte Hurwitz e bzeză pe relţi cre trebuie ă exite ître coeficieţii uei ecuţii difereţile, petru c rădăciile cetei ă fie loclizte î emiplul complex tâg. De cee, criteriul Hurwitz ete criteriu lgebric şi e mi umeşte criteriul coeficieţilor. Fie umitorul fucţiei de trfer, Q() şi rădăciile cetui,,,. Q ( ) + + + + ( )( ).( ) ( 9.)

76 9. - Criterii lgebrice de tbilitte ete: Dcă tote rădăciile k ut loclizte î emiplul tâg, form lor geerlă k σk + jωk k+ σk jωk cu σ k >. Produul rădăciilor ete: ( ) ( ) (9.5) k k+ [ ( σk + jωk )][ ( σk jωk )] ( 9.6) ( + σk ) + ωk şi ete pozitiv, c umă de două pătrte. Rezultă că petru > şi coeficieţii poliomului Q(), >, ut pozitivi. Rezulttul ete reformult pri criteriul k Stodol [9.]: petru c u poliom ă ibă tote rădăciile cu prte relă egtivă ete ecer c: g g. g ( 9.7) Reciproc u ete devărtă decât petru iteme de ordiul uu ( ) şi doi ( ). Petru iteme cu ut ceere codiţii uplimetre. Exemplu Fie ecuţi poliomilă cu coeficieţi pozitivi: Q ( ) + + + Ecuţi e pote recrie, fucţie de rădăciile le, ub form: Q ( ) ( + )( + ) ( + )( j) + j) Se obervă că rădăciile j u prte relă pozitivă., ± ( ) Poliomele cre u tote rădăciile i ( i,,., ) cu prte relă egtivă e umec poliome Hurwitz. Î cord cu cele pecificte, u item liir ete tbil imptotic dcă poliomul crcteritic ete de tip Hurwitz. Petru iteme de ordi uperior, pe lâgă ceriţ c toţi coeficieţii poliomului crcteritic ă fie pozitivi, e dugă şi lte ceriţe, formulte pri criteriul Hurwitz. Petru cet lucru, recoiderăm poliomul crcteritic: Q( ) + + + + ( 9.8) Pe bz cetui e pote cotrui determitul lui Hurwitz, cu liii şi coloe, cu jutorul coeficieţiloe k, tfel: e formeză digol priciplă di coeficieţii de l -, -, :

STABILITATEA SISTEMELOR - 9 77 H ( 9.9) e completeză coloele î celulele uperiore digolei cu coeficieţi î ordie decrecătore, ir î celulele iferiore digolei priciple, cu coeficieţi î ordie crecătore; î locul coeficieţilor i căror idici ut mi mici c zero, u mi mri c, e crie vlore zero: 5 6 7 5 H ( 9.) e cotruiec toţi determiţii miori de ord-vet, dică cei miori cre u lii uperioră şi colo di tâg î coicideţă cu cele le determitului Hurwitz: 5 H H H ( 9.) Dcă toţi determiţii miori H,H ut pozitivi, poliomul crcteritic ete de tip Hurwitz şi tuci tote rădăciile ecuţiei poliomile ) ( Q ut loclizte î emiplul tâg l plului complex Im) (Re,. Sitemul vâd fucţi de trfer ) ( ) ( ) ( Q P G ete tbil. Exemplificăm criteriul petru u item cu poliomul crcteritic ) ( Q + + +. Codiţiile Hurwitz petru tbilitte itemului ut: > H ( 9.) > H ( 9.)

78 9. - Criterii lgebrice de tbilitte ( ) H > ( 9.) Criteriul Hurwitz permite liz itemului şi î codiţiile uor coeficieţi liberi petru ecuţi crcteritică. Î cet mod e pote reliz şi itez ubitemelor compeete tfel c itemul ă fie tbil. Exemplu Se coideră u item petru cre e prezită chem bloc (fig.9.8). Se cere ă e determie codiţiile pe cre trebuie ă le îdepliecă coeficiţii utilizţi tfel c itemul ă fie tbil. U () K Y () τ + τ + + - Fig, 9. Aliz tbilităţii uui item cu recţie uitră K K G ( ) ( + τ )( ) + τ + ( τ + τ ) + ττ ( 9.5) Y ( ) G G( ) ( 9.6) U ( ) + G K K G( ) ( + τ )( ) + τ K + + ( τ + τ ) + ττ ( 9.7) ( τ + τ ) + τ τ Q( ) K + + ( 9.8) Î cord cu criteriul Stodol şi Hurwitz ete ecer ă fie îdepliite următorele codiţii petru exiteţ uei tbilităţi mptotice: Coeficieţii ecuţiei crcteritice: ττ ( 9.9) τ + τ ( 9.) ( 9.) K ( 9.) trebuie ă pozitivi. Rezultă tfel că ete ecer c: K > ( 9.) Ete ecer c miorii crcteritici ă fie pozitivi: ( ) > ( 9.)

STABILITATEA SISTEMELOR - 9 79 Îlocuid vlorile coeficieţilor liberi, e obţie: τ + τ ττ K > ( 9.5) τ + τ K < ( 9.6) ττ Di codiţiile teriore e pote cocluzio petru cott K : τ + τ < K < ( 9.7) ττ Exemplu de clcul Se coideră itemul dechi vâd fucţi de trfer: ( ) + S + + G (9.8) Ce vlore trebuie ă ibă eibilitte mecică S itemului dechi, petru c itemul cu feed-bck uitr ă fie tbil Se obervă că itemul dechi ete tbil, idiferet de vlore eibilităţii mecice S. Polii fucţiei de trfer petru itemul dechi ut: + j, j, (9.9) Fucţi de trfer itemului cu feedbck uitr ete: G( ) S G f ( ) ( 9.5) + G( ) + + + + S Sitemul îchi fiid de ordiul trei, o codiţie eceră petru fi tbil ete cee c toţi coeficieţii k ă fie pozitivi. Sigurul coeficiet cre depide de S ete : + S ( 9.5) Coform criteriului Hurwitz, ete ecer î primul râd c cet coeficiet ă fie pozitiv, deci: S > ( 9.5) Se cotruieşte determitul Hurwitz şi miorii ăi de ord-vet: + S H H + S ( 9.5) + S H 6 S 6 S Petru c miorii ă fie pozitivi (vezi criteriul Hurwitz), di relţi (9.5) rezultă că ete ecer ă exite: S < 6 ( 9.5) Combiâd determiările (9.5) şi (9.5), rezultă că, petru c itemul cu

8 9. - Criterii lgebrice de tbilitte feedbck uitr corepuzător itemului dechi crcterizt pri fucţi de trfer (9.8) ă fie tbil, ete ecer c eibilitte mecică cetui ă tifcă relţi: < S < 6 ( 9.55) 9 Criteriul de tbilitte Routh. Aplicbilitte şi exemple. 9. Itroducere î criteriul Routh Acet criteriu oferă o metodă o metodă implă şi directă petru tbilire umărului de rădăcii cu prte relă pozitivă dică, rădăciile loclizte î emiplul drept. Îtr-o formă geerlă, trformt Lplce uui item, e pote reprezet pri rportul două poliome î : P( ) P( ) X ( ) Q( ) + + + + ( 9.56) î cre toţi coeficieţii i ut prezeţi î ecuţie, ut reli şi pozitivi. Dcă u coeficiet ete ul tuci poliomul Q() re rădăcii î emiplul drept u pe x imgiră şi itemul ete fie itbil fi tbil l limită. Pe bz coeficieţilor ecuţiei teriore e pote cotrui tbel lui Routh cu + liii şi + coloe, cu jutorul coeficieţiloe k, tfel: 6 5 7 b b b b c c c c i j Fig, 9. Tbel lui Routh î cre cottele îcepâd cu lii, coeficieţii e determiă pri relţii de form: b b 5 ( 9.57) b 6 7 Se cotiuă şirul de clcul pâă câd ultimul b ete ul. Cottele c e determiă îtr-u mod emăător, pe bz cottelor di râdurile teriore:

STABILITATEA SISTEMELOR - 9 8 7 5 b b c b b c b b c ( 9.58) Celellte liii de cotte di tbel lui Routh (fig.9.) e determiă î mod log pâă l râdul. Fiecre di ultimele două liii coţie u terme diferit de zero. După completre tbelei e determiă umărul rădăciilor di emiplul drept pe bz criteriului Routh-Hurwitz: umărul rădăciilor cu prte relă pozitivă le ecuţiei crcteritice ete egl cu umărul de chimbări de em î prim coloă coeficieţilor. Exemplu Se coideră ecuţi crcteritică petru u item: 7 ) ( 5 6 + + + + + + Q ( 9.59) Se cere ă e lizeze tbilitte itemului pri plicre criteriului Routh. Se pote cotrui tbel coeficieţilor: 8) ( 8) ( 8) ( 6 8 8 6 8 6 ) ( 6 ) ( 8 ) ( 6 ) ( 7 7 5 6 Fig, 9.5 Tbel lui Routh clcultă Di liz rezulttelor di tbel terioră rezultă că î prim coloă coeficieţilor exită chimbări de em. Acet îemă, î coformitte cu criteriul uţt, că itemul ete itbil. Utilizâd mediul Mtlb e pot determi rădăciilor ecuţiei crcteritice tfel că vlorile cetor cofirmă fptul că itemul u ete tbil..8 +.6i.8 -.6i -.989 +.96i ( 9.6) -.989 -.96i -.55 +.8i -.55 -.8i

8 9. - Criterii lgebrice de tbilitte Exemplu Petru u item dt ecuţi crcteritică ete: 5 Q ( ) + + + 5 + + ( 9.6) Coform cu metodologi prezettă terior, e pote cotrui tbel coeficieţilor: 5 5 5. 5 Fig, 9.6 Tbel lui Routh clcultă Exiteţ chimbărilor de em (două chimbări) î prim coloă cofirmă itbilitte itemului Petru cofirmre itbilităţii itemului, prezetăm rădăciilor ecuţiei crcteritice: -. + 5.i -. - 5.i.966 +.98i ( 9.6).966 -.98i -.97 Tbel Routh permite liz itemului şi î codiţiile uor coeficieţi liberi petru ecuţi crcteritică. Î cet mod e pote reliz şi itez ubitemelor compeete tfel c itemul ă fie tbil. Exemplu Se coideră chem bloc uui item şi e cere ă e determie mplificre K ( K > ) tfel îcât itemul ă fie tbil. U () + K Y () ( + )( + ) - Fig, 9.7 Sitem propu petru liz tbilităţii Fucţi de trfer itemului echivlet (după plicre lgebrei chemelor bloc) ete: K G( ) + 5 + 5 + K ( 9.6)

STABILITATEA SISTEMELOR - 9 8 Tbel Routh cotruită petru cet cz ete prezettă î figur 9.8. 5 5 5 K 75 K 5 5 K Fig, 9.8 Tbel Roth Impuâd codiţi iexiteţei chimbării de em pe prim coloă, e determiă uşor că itemul ete tbil petru K > 75. 9. Czuri prticulre î plicbilitte criteriului Routh Exită czuri câd criteriul Routh u pote fi plict î mod direct uei ecuţii crcteritice. Se impue tfel utilizre uei proceduri pecifice prticulrităţii repective. ) Exiteţ uui zero î prim coloă tbelei Routh Prezeţ uui zero î prim coloă coduce, coform cu relţiile de clcul, l o vlore ifiită î lii imedit următore. Petru e pute plic criteriul Routh, e multiplică poliomul crcteritic Q() cu u fctor ( + ). Ete ecer petru fctorul de multiplicre c vlore α > şi ă u fie rădăciă lui Q(). Se plică criteriul Routh oului poliom rezultt Q ( ) Q( ) ( + ). Cocluziile rezultte di ou plicţie ut vlbile şi petru poliomul origil Q(). Exemplu Se coideră poliomul crcteritic Q ( ) + + + + ( 9.6) petru cre e cere plicre criteriului Routh. Aplicre criteriului coduce l obţiere tbelei Routh î cre e cottă exiteţ uui zero şi implicit vlorii ifiite î prim coloă tbelei. Fig, 9.9 Tbel lui Routh Coform cu procedur liztă, e îmulţeşte poliomul crcteritic cu fctorul ( +) rezultâd oul poliom: 5 Q ( ) + + + + 5 + ( 9.65) Aplicâd criteriul Routh pe oul poliom, e obţie ou tbelă: 5 K

8 9. - Criterii lgebrice de tbilitte 5.5.5 Fig, 9. Tbel clcultă lui Routh Se cotă pe prim coloă două chimbări de em. Sitemul cu poliomul crcteritic dt ete itbil. b) Exiteţ uei liii zero î tbel Routh Î cet cz tbel Routh u pote fi complettă dtorită edetermiărilor cre e creză (exiteţ uor termei ( ) ). Ete ecer ă e plice o procedură cre ă elimie edetermiările pecificte:. form poliomului crcteritic uxilir q() e plică liiei cre precede lii zero ;. e clculeză form derivtivă de ordiul uu poliomului q() şi e îlocuieşte () lii zero cu coeficieţii poliomului q () ;. e plică cotrucţi tbelei Routh î procedur clică. Exemplu Alizăm tbilitte uui item cu poliomul crcteritic: 5 Q ( ) + + + + + ( 9.66) Cotrucţi iiţilă tbelei Routh coduce l ituţi euţtă: 5 Fig, 9. Tbel lui Routh clcultă Se cottă că lii de zero coicide cu ce de trei liie tbelei. Poliomul uxilir î cet cz e idetifică cu: q ( ) + + ( 9.67) corepuzător coeficieţilor di lii dou. 5

STABILITATEA SISTEMELOR - 9 85 Derivt îtâi poliomului uxilir v fi î cet cz: () q ( ) + ( 9.68) îlocuiec lii zero di tbel Routh iiţilă. Se completeză î cotiure ou tbelă: 5 Coeficieţii formei derivtive [,,] 8 Fig, 9. Tbelă lui Routh clcultă Sitemul crcterizt de poliomul crcteritic dt ete itbil (două chimbări de em î prim coloă tbelei Routh). 9 Exemplu de liz tbilităţii Robotul idutril cotituie u item mectroic şi ocupă u loc importt î viţ de zi cu zi. Proiectre uui tfel de item e îcdreză î precierile relizte terior. Se coideră chem bloc ub-itemului de poziţiore puctului crcteritic l uui robot de udură (fig.9.)[9.]. Ecuţi crcteritică itemului ete: K( + ) + G ( ) + ( + )( + )( + ) ( 9.69) u: Q ( ) + 6 + + ( K + 6) + K ( 9.7) U () K( + ) Y () + ( + )( + ) + - Fig, 9. Schem bloc itemului de poziţiore Pe bz relţiei (9.7) e pote cotrui tbel Routh di figur 9.. K 6 K + 6 b K c K Fig, 9. Tbel Routh petru relţi (9.7)

86 9.5 - Bibliogrfie ude coeficieţii b şi c u vlorile: 6 K b > ( 9.7) 6 ( K + 6) b 6K c > ( 9.7) b Di relţi (9.7) rezultă că ete ecer c K < 6. Îlocuid relţi (9.7) î (9.7) e pote deduce că ete ecer ă fie îdepliită codiţi: ( K 6) ( 6 K) + ( 9.7) 6K 9.5. Bibliogrfie [9.]Boretei, J., Kore, Y., Motio cotrol lyi of mobile robot, Tr. of ASME, J. of Dymic, Meuremet d Cotrol, vol. 9, o., p.7-79 [9.]Dorf, R., Bihop, R., Modere regelugyteme, Pero Studium, ISBN -87-76-7 [9.]Schmid,C., The Hurwitz criterio, http://www.tp.ruhr-ui-bochum.de/rt /ycotrol/ode.html [9.]Timoheko, S.P., Gere, M., Theory of eltic tbility, ISBN 86778 [9.5]Voicu, M., Itroducere î utomtică, http://mvoicu.itr-utomtic.c.tuii.ro