Repetitorij matematike zadaci za maturu 008 Izračunaj : 7 : 5 + : = 5 5 8 Izračunaj : a ( 05 y ) = y b 8 n 7 9 n+ n n Rastavi na faktore : 5 a + a 8a 6= Skrati razlomke : a ( ) + + a b a b a + a b+ ab = b 8 8 + + = + 5 Izračunaj i skrati : a y + y + = y y b a 5 : a + a a+ a 9 = 6 Pojednostavi : a a b + b : + = b + a a b 7 Podijeli polinome i rezultat provjeri: ( ) :( ) 5 5 + 8 Riješi jednadžbu: + = 9 + 9 Riješi jednadžbe: a + = = + + b ( a) = b( a ) 0 Površine dvaju sličnih trokuta odnose se kao :9 Osnovica manjeg trokuta je 6 cm, a visina na nju 8 cm Izračunaj površinu, osnovicu i visinu na osnovicu većeg trokuta Jedan se par stranica tetivnog četverokuta odnosi kao :5, a drugi kao : Koliki su kutovi tog tetivnog četverokuta? Riješi jednadžbu + = Izračunaj a a a a + a a 6 Pravokutni trokut ima katetu b= cm i ortogonalnu projekciju katete a na hipotenuzu p=cm Koliki je opseg i površina trokuta? 5 Riješi jednadžbu u skupu realnih brojeva: = y = 5 6 Riješi u skupu realnih brojeva sustav jednadžbi: y = 6
7 Izračunaj z Re + 5 z w ako su z= + i, w= i 8 Odredi realne brojeve a i b ako je( a+ b) i+ a= + b i 9 Odredi z ako je ( i) z= i ( i) 9 0 Prikaži u Gaussovoj ravnini Riješi jednadžbe: z z+ i a 9 9 + = 0 b 5 + 5 = 0 Odredi realni broj k tako da jednadžba ( k) k( ) a+ b + 6ab Faktoriziraj ( ) = + nema kompleksnih rješenja i Odredi kvadratnu jednadžbu kojoj je jedno rješenje + i 5 Skrati razlomak = + 6 7 6 Izračunaj oplošje i obujam pravilne četverostrane piramide pobočnog brida 5 cm i visine pobočke 0 cm 7 Jednakostranični valjak ima površinu plašta 69π cm Izračunaj oplošje i obujam 8 Visina uspravnog stošca je cm, a volumen π cm Koliko je oplošje i središnji kut kružnog isječka u plaštu stošca? 9 Pravilna uspravna šesterostrana piramida ima pobočni brid dvostruko veći od osnovnog brida Odredi kut pobočke i osnovke + + 0 Riješi jednadžbu 5 + 5 = 6 5 + 5 Riješi u skupu R jednadžbu : = + Odredi Re i 5 ( i)( + i) Za koji m R, jednadžba log m = 0, ima realna rješenja? Zadana je jednadžba 5 = 0 Odrediti : a) + b) 5 Riješi jednadžbu = 0 + + 6 Nacrtaj graf funkcije f ( ) = +
7 Za koji realni broj m funkcija ( ) cijelom području definicije funkcije? f( ) = m + + m+ ima negativne vrijednosti na 8 Odredi polinom drugog stupnja ako je f () = 0, f() =, f( ) = 9 Riješi nejednadžbe: a + 0 Riješi simetričnu jednadžbu + + + = 0 b + Riješi sustav nejednadžbi: 0 9< 0 Riješi jednadžbu + 5 6 = Riješi jednadžbu Riješi jednadžbu 9 5 + 5 + 5 = + + + + + + + + 5 9 5 + + + = 5 Riješi logaritamske jednadžbe: a log 0 log 0= log b = log 8 log 8 log 6 c ( ) log 9 + log = log = d ( ) 6 Riješi sustave jednadžbi: y+ 5 = 00 = log b a ( y) log( + 5 6) + 7 Riješi jednadžbu 0 = + log ( 5+ 7) 8 Riješi nejednadžbu < 9 Pojednostavi izraz 7 ( ) log 5 7 log7 5 log log y 5 + = log log y 5 + 8 = 9 50 Baza prizme je pravokutan trokut čije se katete odnose kao :, a površina mu je 96 Kako se odnose volumeni toj prizmi opisanog i upisanog valjka 5 Odredi obujam pravilne trostrane krnje piramide u kojoj su duljine bridova osnovki 0 i 0, a pobočje je jednako sumi površina osnovki 5 Trokut stranica a = 6 cm i kutova β = 5 i γ = 0 rotira oko poznate stranice Odredi obujam i oplošje tako dobivenog rotacijskog tijela 5 Kugli volumena 88π upisan je stožac s kutom pri vrhu osnog presjeka od 75 Odredi obujam stošca
sin 5 5 Odredi temeljni period funkcije f ( ) = + π tg( + π ) 55 Izračunaj, svođenjem na prvi kvadrant, vrijednost izraza: 8 sin π π ctg = 6 56 Zadana je trigonometrijska funkcija f( ) = sin π + Odredi minimume i nultočke 57 Riješi jednadžbu 58 Pojednostavi izraz 59 Odredi tg ( α β ) 60 Odredi tg ( ) 6 Izračunaj 6 Dokaži identitet: sin π + = 6 + ako je ako je 7π π sin cos = sin sin + sin = cos + cos cos na intervalu ( 0,π ) 7π cos α =, < α < π i sin = i 5 π < < 5π π sin β =, < β < π 5 + + = b sin a ( ctg) ( ctg) sin α ( cos α sin α) = 6 Odredi jednadžbu tangente i normale povučenih iz A (, y < 0) na parabolu y = 6 Odredi površinu trokuta kojem su vrhovi fokus parabole, sjecišta direktrise i osi te točka A 6 Pod kojim se sijeku krivulje + + = 8 i y y = 8? 65 Odredi jednadžbe tangenata povučenih iz točke T (,) na elipsu + = y 8 66 Odredi jednadžbu hiperbole kojoj je jedan fokus u točki( 5,0 ), a pravac + y = 0 asimptota 67 Odredi jednadžbu istostrane hiperbole konfokalne (isti fokusi) elipsi + = 5 7y 5 68 Odredi kut između krivulja + = i 9 5y 5 = y 69 Odredi duljinu one tetive parabole pravcem y = y = 8, koja prolazi točkom A(, ) i koja je paralelna s 70 Kraci trapeza čije su paralelne stranice 70 cm i 0 cm, a neparalelne 0 cm i 0 cm, produže se do presjeka Kako se odnosi površina dopunskog trokuta prema površini trapeza? 7 Površina trokuta iznosi kvadratne jedinice Dva su njegova vrha A(,) i B(, ), a treći vrh C nalazi se na osi apscisa Odredi jednadžbu visine na stranicu c ( v c )
7 Koliki je kut između vektora a = e+ e, b = e+ e, ako su e, e jedinični vektori i ako je ϕ = 0, kut između tih jediničnih vektora 7 Odredi jednadžbu kružnice koja dodiruje os i ima polumjer 5 π 7 Ako je sin( π ) f cos π = + +, koliko je f π? 75 Oko pravokutnog trokuta kojemu su duljine kateta a = 5cm i b = 5 cm, opisana je kružnica Kolika je površina kružnog odsječka nad katetom AC tog trokuta? 76 Odrediti interval na kojem je funkcija ( ) ( ) 075 77 Odredi zbroj rješenja jednadžbe ( ) = + + + uvijek pozitivna f m m + = 78 Riješi trigonometrijsku jednadžbu sin sincos cos + + = 79 Riješi trigonometrijsku nejednadžbu 80 Izračunaj + sin, ako je cos tg = sin cos 0 < 8 Kut uz osnovicu jednakokračnog trokuta je β = 5, a duljina simetrale tog kuta s= 8cm Koliki je opseg trokuta? 8 Pravac prolazi kroz točku M(,7) i raspolavlja dužinu čije su krajnje točke A(,) i B(8,) Kako glasi jednadžba pravca i pod kojim kutom on sječe danu dužinu? 8 Odredi jednadžbe zajedničkih tangenata krivulja + y = 8 i + y = 8 Riješi nejednadžbu + 5 < 85 Izračunaj sin 5 bez upotrebe računala 86 Izračunaj sin π α, ako je tgα = ako je π < α < π 87 Riješi pravokutni trokut ako su zadani a = 6cm i v = 0cm 88 Osnovice jednakokračnog trapeze su a=6 cm, c = cm, a površina P = unutrašnje kutove u tom trapezu i njegov opseg 8 cm Izračunaj 89 Točke P i S nalaze se sa suprotnih strana jezera Odrediti širinu jezera (PS), ako je PT = km, ST =,6 km, STP = 50 90 Stranice paralelograma su cm i 7 cm, a duljina manje dijagonale iznosi 6 cm Kolika je duljina veće dijagonale? 5
9 Stranice nekog trokuta odnose se kao 5:7:8, a površina trokuta je polumjer upisane i opisane kružnice trokuta 90 cm Izračunaj 9 Osnovka prizme je trokut kojemu je zadano a+ c= cm, b= 5 cm, α = 60 Odredi obujam i oplošje prizme, ako je njena visina jednaka trećini opsega osnovice 9 U kosom stošcu najdulja izvodnica duljine S= 6 cm i najkraća izvodnica duljine s= 6cm, zatvaraju kut od 0 Izračunaj obujam stošca 9 Osnovica uspravne piramide je trokut kojemu je a= 8 cm, b= 0 cm, γ = 0 Bočni bridovi nagnuti su prema ravnini osnovice pod kutom ϕ = 0 Odredi obujam piramide 95 Visina pravilne krnje četverostrane piramide jednaka je cm, a njezin obujam 8cm Površine baza ove piramide u omjeru su 9: Izračunaj površinu pobočja ove piramide 96 Odredi R a = t i+ t j bude jednaka t, tako da duljina vektora ( ) ( ) 97 Zadane su točke A(,) i B(,) C(5,) Odredi a r + b r r uuur r uuur ako je a= AB i b= BC 98 Neka su a i b vektori, takvi da je a =, b =, ( a, b) = 0 Odredi : a) ab b) 99 Odredi realan parametar λ, tako da su pravci λ + y+ 7 = 0 i + λy+ 5= 0: a usporedni b okomiti 00 Napiši jednadžbe elipse kojoj je linearni ekscentricitet, a numerički Fokusi elipse nalaze se na osi apscisa 0 Kako glasi jednadžba hiperbole koja prolazi točkom (, ) njezina asimptota? a T, a pravac y = 6 je jedna 0 Odredi jednadžbu tangente i normale povučene u točki D( 0, y > 0) hiperbole y = 6 0 Odredi vrijednost parametra m, tako da pravac m y + m + 7 = 0, bude tangenta parabole y = 8 0 Riješi trigonometrijske jednadžbe: sin cos sin + cos + = 0 a ( ) b + = sin sin cos 5cos c sin ( sin ) = cos ( sin + ) d e + = sin cos sin π = 6
05 Odredi jednadžbu tangente na kružnicu ( ) ( ) + y = u točkama sjecišta kružnice i pravca y+ 5= 0 06 Odredi jednadžbu kružnice koja prolazi točkama ( 6, ) i (0,6), a središte joj se nalazi na pravcu + y+ 6= 0 07 Vrhovi trokuta ABC su A(,),B(,5) i C( 6,0)Odredi kut pod kojim se sijeku težišnice iz vrhova A i B 08 Pod kojim se kutom sijeku krivulje + y = 5 i y 9 =? 09 Dan je trapez stranica a= 7 cm, c = cm i kutovaα = 0, β = 5 Odredi površinu trapeza 0 Odredi koordinate ortocentra i težišta trokuta A(,0), B(,) i C(7, 6) Dokaži matematičkom indukcijom da je izraz n n+ n+ 5 + djeljiv sa za svaki prirodni broj n Dokaži matematičkom indukcijom da vrijedi nn ( ) Riješi jednadžbu ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) +!! =!! Odredi član u razvoju binoma a a 5 Odredi w ako je zadan kompleksni broj 5 ( + )( n+ 7) nn + + + + = 6, koji ne sadrži nepoznanicu a 5π π w= cos + isin 6 6 6 Riješi jednadžbu z + i = 0 te rješenja prikaži grafički 7 Stranice trokuta čine aritmetički niz s razlikom, a površina trokuta iznosi su stranice trokuta? 8 Odredi inverznu funkciju funkcije f( ) = log + log 05 8cm Kolike 9 Bridovi kvadra, čije je oplošje 8, čine geometrijski niz Odredi prostornu dijagonalu 0 U jednakokračni trapez, duljine osnovice a = 8 cm i duljine kraka b = cm, može se upisati kružnica Izračunaj površinu trapeza Odredi član u razvoju binoma n 9, ako je binomni koeficijent trećeg člana 05 Dokazati da je n N, vrijednost izraza n n+ n 6 + + djeljiva s 7
Odredi prirodnu domenu funkcije f( ) = log + Zbroj prva tri člana geometrijskog niza iznosi Ti su brojevi prvi, drugi i šesti član rastućeg aritmetičkog niza Nađi te brojeve, te odredi sumu nizova 5 Izračunaj: a lim + ( + ) ( ) b lim + + + 6 Odredi jednadžbu normale i na krivulju y = ln, koja je paralelna s y+ = 0 7 Riješi jednadžbu + + + + + = + + + + + + 8 Riješi jednadžbu ( f o g)( ) =, ako su zadane f ( ) ( 075) + = i g ( ) log ( ) = + 9 Tri su broja uzastopni članovi geometrijskog niza Ako od trećega oduzmemo, dobit će se tri uzastopna člana aritmetičkog niza Ako zatim od drugoga i trećega oduzmemo po, opet dobijemo tri uzastopna člana geometrijskog niza Koji su to brojevi? 0 Riješi nejednadžbu( f o g)( ) =, ako su zadane funkcije f ( ) =, g( ) = log + Deriviraj slijedeće funkcije : a f ( ) = ( )( + )( + ) ( ) c f ( ) = ln ln( sin ) b f ( ) = + + ( ) Riješi nejednadžbu f ( ) > g ( ), ako su zadane funkcije f ( ) = i ( ) ( ) g = i Zapiši kompleksan broj z = u trigonometrijskom obliku π 7π cos i sin 6 6 Odredi domenu funkcije: a f( ) = log b f ( ) = + 5 Riješi jednadžbu f ( ) = g ( ) ako su 6 Odredi inverznu funkciju i f ( ) 5 c f( ) = + log ( + ) d f( ) = + + ( ) = cos, ( ) = cos cos f g ako je f( ) = ln( ) + 8
7 U sjecištu krivulje y = i osi y položena je tangenta na krivulju Kolika je udaljenost tangente od ishodišta? 8 Riješi jednadžbe : a b z + = 0 z + = 6 0 c 9 Ako su z = 8 0 f = i g( ) = + odredi f o f o g, f ( ), g ( ) ( ) 5 9