Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17

Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija iz skupa A u skup B je "pravilo" kojim se svakom elementu skupa A pridružuje tačno jedan element skupa B. Example Vezu izme du skupa( A ={1, 2, 3, 4} ) i skupa B ={a, b, c} uspostavimo 1 2 3 4 pridruživanjem f = što možemo shvatiti kao skup b a b c f ={(1, b),(2, a),(3, b),(4, c)}. {(1, b),(2, c),(4, a)} nije funkcija iz A u B. {(1, a),(2, b),(3, c),(4, b),(1, b)} nije funkcija. {(1, a),(2, b),(3, a),(4, a)} jeste funkcija () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 2 / 17

Definicija funkcije Definicija Skup f je preslikavanje (funkcija) skupa A u skup B, u oznaci f : A B, ako je ispunjeno tj. 1 f A B, 2 za svaki element x iz A postoji tačno jedan element y B tako da (x, y) f. ( x A)( 1 y B) (x, y) f. Ta umesto (x, y) f pišemo y = f(x) ili f : x y skup A je domen ili oblast definisanosti (koristi se i oznaka D f ) x A je original skup B je kodomen ili oblast vrednosti y = f(x) B je slika elementa x f(a) ={f(x) x A} B je slika skupa A. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 3 / 17

Definicija Funkcije f : A B i g : C D su jednake, u oznaci f = g, ako imaju isti domen, tj. A = C imaju isti kodomen, tj. B = D i f(x) = g(x) za svaki element x A. Definicija Funkcija 1 A : A A data sa 1 A (x) def = x za sve x A, zove se identičko preslikavanje skupa A. Ako f : A B i C A, tada funkcija f C : C B data sa f C (x) def = f(x) za sve x C, se zove restrikcija (suženje) funkcije f na skup C. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 4 / 17

Injekcija, sirjekcija, bijekcija Definicija (a) Funkcija f : A B je "1-1" funkcija ( injekcija), ako različitim originalima odgovaraju različite slike, tj. važi ( x 1, x 2 A) (x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 )). što se može napisati i u ekvivalentnom obliku ( x 1, x 2 A) (f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 ) (b) Funkcija f : A B je "na" funkcija ( sirjekcija) ako je svaki element skupa B slika bar jednog elementa skupa A, tj. važi ( y B)( x A) y = f(x) (c) Funkcija f : A B je bijekcija ili obostrano jednoznačno preslikavanje ako je "1-1" i "na", tj. svaki element skupa B je slika tačno jednog element skupa A, što se može zapisati formulom ( y B)( 1 x A) y = f(x). () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 5 / 17

Example (1) Za A ( ={1, 2, 3, 4} i) B ={a, b, c} 1 2 3 4 f = slika A "na" B, nije "1-1". b a b c Nijedna ( funkcija) iz A u B nije "1-1". a b c g = slika B u A "1-1", ali nije "na". 2 3 4 Nijedna funkcija iz B u A nije "na". Ne postoji bijekcija iz A u B. (2) Za A ( ={1, 2, 3, 4} i) B ={a, b, c, d} 1 2 3 4 f = je bijekcija skupa A na skup B. b a d c (3) Linearna funkcija f : R R, f(x) = 3x + 2 je bijekcija. (4) f : R R, f(x) = x 2 nije "1-1" (npr. f(-1)=f(1)), nije "na" (npr. 1 f(x), x R). g : R R +, g(x) = 0 x2 (gde je R + ={x R x 0}) je "na", ali nije 0 "1-1". g R + : R + 0 0 R+, g 0 R + (x) = x 2 je bijekcija. 0 () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 6 / 17

operacija nije komutativna, tj. f g g f, u opštem slučaju. Kompozicija funkcija Definicija Ako su f : A B i g : B C funkcije, tada se funkcija g f : A C definisana sa g f (x) def = g(f(x)), za sve x A, zove kompozicija (proizvod, slaganje) preslikavanja f i g. Example (1) Ako A ={a, b, c}, B ={1, 2, 3, 4}, C ={P, Q, R, S} i ( ) ( ) a b c 1 2 3 4 f =, g =, onda je 1 3 2 R P R Q ( ) a b c g f =, f g ne postoji. R R P (2) Ako f : R R, f(x) = 2x + 1; g : R R, g(x) = 3x 2, onda g f (x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = 3(2x + 1) 2 = 6x + 1 f g(x) = f(g(x)) = f(3x 2) = 2(3x 2)+1 = 6x 3

Teorema (a) Ako f : A B, onda f 1 A = f, 1 B f = f. (b) Ako h : A B, g : B C, f : C D onda f (g h) = (f g) h (tj. je asocijativna operacija). (c) Ako su f : A B i g : B C bijekcije, onda je i g f : A C bijekcija. Dokaz (a) Neka f : A B, 1 A : A A, 1 B : B B. Tada f 1 A : A B i f 1 A (x) = f(1 A (x)) = f(x) za svako x A, pa je f 1 }{{} A = f =x (b) Neka h : A B, g : B C, f : C D. Tada f (g h) : A D, (f g) h : A D i za svako x A važi f (g h)(x) = f(g h(x)) = f(g(h(x))) (f g) h(x) = f g(h(x)) = f(g(h(x))) odakle je f (g h) = (f g) h () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 8 / 17

Inverzna funkcija Definicija Neka f : A B. Ako postoji preslikavanje f 1 : B A takvo da važi f 1 f = 1 A i f f 1 = 1 B onda se ono zove inverzna funkcija od f. Funkcija može imati najviše jednu inverznu funkciju: ako su g i f 1 inverzne funkcije od f onda g = 1 A g = (f 1 f) g = f 1 (f g) = f 1 1 B = f 1. Teorema (a) Funkcija f : A B ima inverzno preslikavanje f 1 akko je bijekcija. U tom slučaju i inverzna funkcija je bijekcija. (b) Ako su f : A B i g : B C bijekcije, tada (f 1 ) 1 = f, (g f) 1 = f 1 g 1. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 9 / 17

Dokaz (a) ( ) Neka postoji f 1 : A B takvo da f 1 f = 1 A i f f 1 = 1 B. Dokažimo da je f bijekcija. f je "1-1": f je "na": f(x 1 ) = f(x 2 ), x 1, x 2 A f 1 (f(x 1 )) = f 1 (f(x 2 )) f 1 f(x 1 ) = f 1 f(x 2 ) 1 A (x 1 ) = 1 A (x 2 ) x 1 = x 2. f 1 : B A ( y B)( x A) x = f 1 (y) ( y B)( x A) f(x) = f(f 1 (y)) ( y B)( x A) f(x) = f f 1 (y) ( y B)( x A) f(x) = 1 B (y) ( y B)( x A) f(x) = y. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 10 / 17

nastavak dokaza ( ) Neka je f : A B bijekcija. Definišimo f 1 : B A na sledeći način def f 1 (y) = x f(x) = y. ( ) Pokažimo da je f 1 (dobro definisana) funkcija. f je bijekcija ( y B)( 1 x A) y = f(x) ( y B)( 1 x A) f 1 (y) = x f 1 je funkcija (iz ( )) Iz ( ) je očigledno: f 1 f = 1 A i f f 1 = 1 B,pa je f 1 inverzna funkcija od f. Dokažimo još da je f 1 bijekcija. f je funkcija iz A u B ( x A)( 1 y B) y = f(x) ( x A)( 1 y B) f 1 (y) = x f 1 je bijekcija. (iz ( )) () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 11 / 17

Example (1) Ako A ={1, 2, 3, 4}, B ={a, b, c, d} funkcija f = bijekcija, pa postoji f 1 : B A i f 1 = ( a b c d 2 1 4 3 ). ( ) 1 2 3 4 je b a d c (2) Funkcija f : R R, f(x) = 2x + 1 je bijekcija, pa postoji inverzna funkcija f 1 : R R. Odredimo je: f 1 f = 1 R f 1 (f(x)) = x, x R f 1 (2x + 1) = x } {{ } =t f 1 (t) = t 1 2,. Dakle, f 1 : R R, f 1 (x) = x 1 2 je inverzna funkcija funkcije f. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 12 / 17

Ekvipotentni skupovi Izme du dva konačna skupa možemo uspostaviti bijekciju akko oni imaju isti broj elemenata. To nas motiviše da istobrojnost bilo koja dva skupa shvatimo kao mogućnost uspostavljanaja bijekcije izme du ta dva skupa. Definicija Skupovi A i B su istobrojni (ekvipotentni, iste kardinalnosti), u oznaci A = B (ili A B), ako postoji bijekcija f : A B. Example A ={1, 2, 3, 4}, B ={a, b, c} A B jer ne postoji bijekcija izme du ova dva skupa (f : A B nije "1-1", g B A nije "na") N = 2N, jer je f : N 2N, f(n) = 2n, bijekcija. Bilo koje dve duži AB i CD su ekvipotentne (centralno projektovanje). ( π 2,π 2 ) = R, jer je f : ( π 2,π 2 ) R, f(x) = tgx, bijekcija. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 13 / 17

Example Me du brojevima 0,1,2,...,999 ima jednak broj onih sa zbirom cifara 11 i onih sa zbirom cifara 16. Svaki od ovih brojeva posmatramo kao reč abc gde su a, b, c cifre (2 je 002, 17 je 017). Neka je A ={abc a, b, c {0, 1,..., 9}, a + b + c = 11}, B ={abc a, b, c {0, 1,..., 9}, a + b + c = 16}. Neka je f : A B dato sa f(abc) = a b c gde a = 9 a, b = 9 b, c = 9 c f je dobro definisano, jer abc A a + b + c = 11 a + b + c =9 a + 9 b + 9 c = 27 (a + b + c) = 16 } {{ } =11 f(abc) = a b c B Funkcija f je bijekcija, jer za svako a b c B (a +b +c =16) postoji jedinstveno a = 9 a, b = 9 b, c = 9 c tako da a + b + c = 9 a + 9 b + 9 c = 27 16 = 11, tj. abc A i f(abc) = a b c. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 14 / 17.

Operacije Neka je A in N. Definicija Svaka funkcija f : A n A zove se n arna operacija skupa A. Specijalno, za n = 1, f : A A je unarna operacija na skupu A, za n = 2, f : A 2 A je binarna operacija na skupu A. Za binarne operacije se umesto slovnih oznaka obično koriste znaci,+,,,+ 3,... Umesto z = (x, y) ouobičajeno je pisati z = x y. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 15 / 17

Example (1) + : N 2 N, + : (2, 3) 5. (2) A ={a, b, c}, : A 2 A data je Kejlijevom tablicom a b c a a a b tj. b b c a a a c a = ( (a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c) a a b b c a a c a ). (3) Z 4 ={0, 1, 2, 3}, + 4, 4 -sabiranje i množenje po modulu 4. + 4 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 4 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1

Osobine operacija Definicija (1) Binarna operacija skupa A je komutativna akko za sve x, y A važi x y = y x. (2) Binarna operacija skupa A je asocijativna akko za sve x, y, z A važi (x y) z = x (y z). (3) Binarna operacija skupa A je distributivna prema binarnoj operaciji skupa A akko za sve x, y, z A važi x (y z) = (x y) (x z), (x y) z = (x z) (y z). Example Sabiranje prirodnih brojeva je komutativna i asocijativna operacija, jer važi x + y = y + x, (x + y)+z = x +(y + z). Množenje prirodnih brojeva je komutativna i asocijativna operacija: x y = y x, (x y) z = x (y z) Množenje je i distributivno prema sabiranju: x (y + z) = x y + x z. Operacije + 4 i 4 su komutativne i asocijativne.