Stohastičke diferencijalne jednačine

UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU Stohastičke diferencijalne jednačine Master rad Mentor Prof. dr Svetlana Janković Student Miljana Stanković Niš, 2014.

Sadržaj Uvod... 2 1 Uvodni pojmovi... 3 1.1 Stohastički procesi... 3 1.2 Brownovo kretanje... 8 2 Stohastički integral Itôa... 11 2.1 Konstrukcija stohastičkog integrala Itôa... 11 2.2 Neodređeni stohastički integral Itôa... 17 2.3 Formula Itôa... 21 2.4 Nejednakosti sa momentima... 27 3 Stohastičke diferencijalne jednačine... 32 3.1 Motivacija... 32 3.2 Osnovni pojmovi i definicija... 32 3.3 Egzistencija i jedinstvenost rešenja... 34 3.4 L p -ocene rešenja... 40 4 Linearne stohastičke diferencijalne jednačine... 44 4.1 Uvod... 44 4.2 Vektorske homogene linearne SDJ... 45 4.3 Vektorske nehomogene linearne SDJ... 47 4.4 Posebni slučajevi... 48 4.5 Reducibilne SDJ... 53 Zaključak... 60 Literatura... 61 Biografija... 62 1

Uvod Poznato je da realni sistemi koje istražuju različite nauke obiluju neizvesnošću, tako da se u većini slučajeva njihovo ponašanje ne može matematički opisati determinističkim modelima. Adekvatno rešenje zahteva uvođenje slučajnosti u deterministički model. Zbog toga se opisivanje posmatranog sistema u terminima verovatnoće, odnosno u terminima vrednosti stohastičkog sistema, često zasiva na modelu oblika f (x(t),t) + g (x(t), t)ξ(t), t x(t 0 ) x 0, gde je x(t), t nepoznati stohastički proces, a ξ(t), t, dati stohastički proces uveden kao faktor slučajnosti. Za početni uslov x 0 se pretpostavlja da je u opštem slučaju slučajna promenjiva. Ovakav stohastički model predstavlja precizniju matematičku reprezentaciju posmatranog sistema u odnosu na deterministički sistem i opisan je stohastičkom diferencijalnom jednačinom koja će biti glavni predmet ovog izlaganja. U prvoj glavi se uvode osnovni pojmovi i rezultati teorije stohastičkih procesa, a zatim se analiziraju osnovna svojstva Brownovog kretanja, koja će u daljem radu biti motivacija za uvođenje pojma stohastičkog integrala i zasnivanje teorije stohastičkih diferencijalnih jednačina. Navode se neke od mnogobrojnih osobina Brownovog kretanja, kao što su neprekidnost Brownovog kretanja, nediferencijabilnost trajektorija, neograničenost varijacije trajektorija, martingalnost Brownovog kretanja itd. Kada je reč o Brownovom kretanju, nemoguće je izbeći Gaussov beli šum jer, iako ovaj proces u prirodi ne postoji, on ima značajnu ulogu pri matematičkoj apstrakciji nekih slučajnih pojava. U drugoj glavi se postupno definiše stohastički inegral Itôa, uvodi se pojam stepenastog stohastičkog procesa i za njega se definiše integral Itôa, a onda se ovaj integral proširuje na širu klasu slučajnih procesa, tako što se posmatrani proces aproksimira stepenastim slučajnim procesima. Navode se najvažnija svojstva integrala Itôa, kao i formula Itôa za stohastičko diferenciranje. U trećoj glavi su izloženi osnovni rezultati teorije stohastičkih diferencijalnih jednačina. Dokazuje se teorema egzistencije i jedinstvenosti rešenja stohastičke diferencijalne jednačine i daju se -ocene rešenja. U četvrtoj glavi se detaljnije analiziraju linearne stohastičke diferencijalne jednačine, koje su od izuzetne važnosti zbog njihove rešivosti. Razmatraju se homogene stohastičke diferencijalne jednačine i nehomogene linearne stohastičke diferencijalne jednačine kao i neki posebni slučajevi. Kroz nekoliko primera se interpretira primena linearnih stohastičkih diferencijalnih jednačina, kao i postupak svođenja nekih jednačina na linearne radi njihovog rešavanja. Zahvaljujem mentoru, prof. dr Svetlani Janković, na velikoj pomoći i strpljenju pri izradi ovog rada. 2

1 Uvodni pojmovi U ovoj glavi su izloženi osnovni pojmovi iz teorije stohastičkih procesa, sa posebnim osvrtom na Brownovo kretanje. Ovi pojmovi su neophodni za definisanje stohastičkog integrala Itôa i zasnivanje teorije stohastičkih diferencijalnih jednačina. 1.1 Stohastički procesi Zamislimo da se u svakom vremenskom trenutku t T, posmatra neka karakteristika x koja uzima vrednosti na slučajan način. U tom smislu x(t) je slučajna promenljiva za svako t T, a skup svih slučajnih promenljivih predstavlja slučajnu veličinu koja se menja u vremenu, tj. dobija se slučajna funkcija vremena. Za opisivanje stohastičkog procesa neophodno je zadati prostor verovatnoća (Ω, F, P) i parametarski skup T. Skup T je obično poluprava [0, ), ali može biti i [0,T] ili [t,t] [0, ). Definicija 1.1 Stohastički (slučajan) proces {x(t)} t T je familija F-merljivih slučajnih promenljivih x(t) sa vrednostima u R d, definisanih na istom prostoru verovatnoća (Ω, F,P). Skup T je parametarski skup, a realni prostor R d je skup stanja procesa. Ovakav proces se naziva stohastički proces sa vrednostima u R d ili d-dimenzionalan proces. Za stohastički proces, pored oznake {x(t)} t є T koristi se još i {x t } t є T ili samo x t, ako se zna šta je parametarski skup T. Kako je stohastički proces za fiksirano t T slučajna promenljiva, a svaka slučajna promenljiva je funkcija od ω Ω, sledi da je stohastički proces funkcija od dva argumenta, tj. {x(t,ω) t T, ω Ω}. Ukoliko je fiksirano t T, dobija se slučajna promenljiva x(t) : Ω R d koja se naziva zasek stohastičkog procesa u trenutku t. Za fiksirano ω Ω, dobija se realna funkcija vremena t x t (ω) R d, t T, koja se naziva trajektorija ili realizacija stohastičkog procesa. Ako je T diskretan skup, T={0,1,2, }, familija {x(t) t ili stohastičkim procesom sa diskretnim vremenom. T} se naziva slučajnim nizom, Definicija 1.2 Familija funkcija raspodela {F n (t 1,,t n ; x 1,,x n ) n N, t i T, x i R d, i=1,,n} naziva se familijom konačno-dimenzionalnih funkcija raspodele stohastičkog procesa {x(t) t T}. Teorema 1.1 Konačno-dimenzionalne funkcije raspodela stohastičkog procesa {x(t) t T} imaju osobine da za svako n N i sve t 1,,t n T, x 1,,x n R d važi: (i) ΔF n (t 1,,t n ; x 1,,x n ) 0 (nenegativnost); (ii) F n je neprekidna sa leva po svakom argumentu x 1,,x n ; (iii) 0 (asimptotika) = 1; 3

(iv) F n (t 1,,t n ; x 1,,x n ) = F n (,, ;,, ), gde je (i 1,,i n ) bilo koja permutacija skupa {1,2,,n} ; (v) = F n-1 (t 1,,t n-1 ; x 1,,x n-1 ). Teorema 1.2 (Kolmogorov) Za svaku familiju funkcija raspodela koja zadovoljava uslove (i)-(v) postoji prostor verovatnoća (Ω, F, P) i na njemu definisana familija d-dimenzionalnih slučajnih promenljivih {x(t,ω) t T, ω Ω} tako da je za svako n N i sve t 1,,t n T, i x 1,,x n R d, F n (t 1,,t n ; x 1,,x n ) funkcija raspodele stohastičkog vektora (x(t 1 ),...,x(t n )). Definicija 1.3 Stohastički process {x(t) t T} je merljiv ako je funkcija x(t,ω) merljiva u odnosu na B T F, gde je B T Borelova -algebra na T, tj. ( S B d ) ( {(t,ω) x(t,ω) S} B T F). Neka je {x(t) t T} stohastički proces sa vrednostima R d. Definicija 1.4 Stohastički proces je {x(t) t T} stohastički neprekidan u tački t 0 T ako x(t) konvergira u verovatnoći ka x(t 0 ) kada t t 0, tj. ( 0) (P{ x(t) x(t 0 ) } 0, t t 0 ). Ako je proces stohastički neprekidan u svakoj tački segmenta [ ] onda je proces stohastički neprekidan na segmentu [ ]. Definicija 1.5 Stohastički proces {x(t) t T} je neprekidan (skoro izvesno neprekidan) na skupu S T ako su skoro sve njegove trajektorije neprekidne na S. Teorema 1.3 (Kriterijum Kolmogorova) Stohastički proces je {x(t) t neprekidan na T ako postoje pozitivni brojevi p, q i k tako da za sve t, s T} skoro izvesno T važi E x(t) x(s) p k t s q+1. Definicija 1.6 Stohastički proces {x(t) t T} je srednje-kvadratno neprekidan u tački t 0 T ako je E x(t) x(t 0 ) 2 0, t t 0. Definicija 1.7 Stohastički procesi {x(t) t T} i {y(t) t T}, definisani na istom prostoru verovatnoća (Ω, F, P) i istom parametarskom skupu T, su stohastički ekvivalentni ako je ( t T) (P{x(t) y(t)}=0), odnosno, ako za svako t T postoji Λ t F sa P(Λ t )=0 tako da je x(t,ω)=y(t,ω), za svako ω. Definicija 1.8 Stohastički proces {x(t) t T} je separabilan ako postoji prebrojiv svuda gust skup S T i fiksiran događaj Λ F sa P(Λ) = 0, tako da se za svaki otvoren skup Q T i svaki zatvoren skup F R, skupovi {ω : x t (ω) F, t Q} i {ω : x t (ω) F, t Q S} razlikuju na podskupu od Λ. 4

Teorema 1.4 (Doob) Za svaki stohastički proces {x(t) t T} postoji stohastički proces {y(t) t T} definisan na istom prostoru verovatnoća tako da je : 1) {y(t) t T} separabilan proces; 2) {x(t) t T} i {y(t) t T} su stohastički ekvivalentni. Ako je {x(t) t T} stohastički neprekidan, onda je {y(t) t T} merljiv. Prethodna teorema pokazuje da se neseparabilnost procesa jednostavno može prevazići kompletiranjem prostora verovatnoća, tj. dodavanjem -algebri F sve podskupove događaja čija je verovatnoća jednaka nuli. Definicija 1.9 Neka je (Ω, F, P) kompletan prostor verovatnoća. Filtracija {F t t [0,T]} je familija -algebri tako da za sve 0 s t T važi F s F t F. Ako je T=[0, ), onda je F = { F t }. Definicija 1.10 Prostor verovatnoća (Ω, F, P) snabdeven filtracijom F={F t t oznaci (Ω, F, F, P), naziva se stohastički bazis. [0,T]}, u Filtracija F={F t t [0,T]} je: (i) neprekidna sa desna ako je F t = = s i = F T ; (ii) neprekidna sa leva ako je F t = = ( s ) i = F 0 ; (iii) neprekidna ako je F t = =, t [0,T]. (iv) filtracija {F t t 0} zadovoljava uobičajene uslove ako je neprekidna sa desna i F 0 sadrži sve skupove P-mere nula. Definicija 1.11 Stohastički proces {x(t) t [0,T]} je adaptiran u odnosu na filtraciju F= {F t t [0,T]} ako je za svako t [0,T] slučajna promenljiva x(t) F t -merljiva, tj. ( t [0,T]) ( S B d ) ({ω x(t,ω) S} F t ). Definicija 1.12 Familija -algebri F x ={ t [0,T]} je prirodna filtracija za proces {x(t) t [0,T]} ako je = {x(s) 0 s t, t [0,T]}. To znači da je za svako s [0,T] zasek x(s) -merljiva slučajna promenljiva. Ako je F={F t t [0,T]} proizvoljna filtracija u odnosu na koju je proces {x(t) t [0,T]} adaptiran, mora biti F t, t [0,T]. Prema tome, je minimalna filtracija u odnosu na koju je proces {x(t) t [0,T]} adaptiran. Teorema 1.5 (Fubinijeva teorema) Neka je {x(t) t na kompletnom prostoru verovatnoća (Ω, F, P). Tada: T} merljiv stohastički proces definisan a) Skoro sve trajektorije su merljive funkcije po t T. b) Ako postoji očekivanje Ex(t) za svako t T, onda je u(t) = Ex(t) merljiva funkcija po t T. 5

c) Ako je S merljiv skup na T=[0, ) i (t) dt <, onda je (t) dt < sa verovatnoćom jedan, tj. skoro sve trajektorije su integrabilne na S i (t)dt = E (t)dt. Definicija 1.13 Stohastički proces {x(t) t 0} je progresivno merljiv ako za svako T 0 i svaki S B d važi {(t,ω) t T, ω Ω, x(t,ω) S} B([0,T]) F T, pri čemu je B([0,T]) Borelova -algebra na [0,T]. Svaki progresivno merljiv proces je merljiv i adaptiran u odnosu na filtraciju {F t t 0}. Definicija 1.14 Neka je (Ω,F,F,P) stohastički bazis sa filtracijom F={F t t 0}. Slučajna promenljiva τ : Ω [0,+ ] je vreme zaustavljanja u odnosu na filtraciju F ako je {ω:τ(ω) t} F t za svako t 0. Za vremena zaustavljanja τ i ρ definišemo stohastički interval na sledeći način: [[τ,ρ[[={(t,ω) R + Ω:τ(ω) t ρ(ω)}. Slično možemo definisati: [[τ,ρ]], ]]τ,ρ]] i ]]τ,ρ[[. Ako je τ vreme zaustavljanja i važi P{ω τ(ω) < }=1, definišemo -algebru Očigledno, F τ F. F τ = {A F A {τ t} F t }. Lema 1.6 Ako su τ i ρ vremena zaustavljanja tako da je τ ρ skoro izvesno, onda F τ F ρ. Definicija 1.15 Stohastički proces {x(t), F t, t {F t t 0} ako važi: 0} je martingal u odnosu na filtraciju (i) E x(t) < za svako t ; (ii) E(x(t) F s ) = x(s) s.i. za 0 s t. Ako se u uslovu (ii) znak jednakosti zameni znakom supermartingalu, dok je u slučaju, reč o submartingalu., onda je reč o Definicija 1.16 Za stohastički proces {x(t)} t 0 i vreme zaustavljanja, stohastički proces x τ ={x t τ } t 0 je zaustavljen proces od {x(t)} t 0, pri čemu je x t τ = { Teorema 1.7 Zaustavljen proces je martingal u odnosu na filtraciju F, tj. E(x τ t F s ) = x τ s s.i. za 0 s < t <. 6

Teorema 1.8 (Doob) Neka je {x(t), F t t 0} neprekidan sa desna martingal i neka je E x(t) p <, za svako t 0. Neka je [a,b] [0, ] ograničen interval. Tada važi: (i) ako je p 1, onda je P{ω: x(t) c} za svako c > 0; (ii) ako je p 1, onda je E( x(t) p ) ( ) E x(b) p. Definicija 1.17 Stohastički process {x(t) t E za svako t 0. 0} je kvadratno integrabilan, ako je Definicija 1.18 Martingal {x(t) t 0} je L p -martingal, p 1, ako je E x(t) p <, za svako t 0. Definicija 1.19 Martingal {x(t) t 0} je L p -ograničen za p 1 ako je x(t) p <. Ako je {x(t)} t 0 realan kvadratno integrabilan neprekidan martingal, može se pokazati da postoji jedinstven neprekidan integrabilan adaptiran rastući proces {<x,x> t } takav da je 2 {x t <x,x> t } t 0 neprekidan martingal i <x,x> 0 = 0. Proces {<x,x> t } se naziva kvadratna varijacija martingala {x(t)} t 0. Definicija 1.20 Nepekidan sa desna process {x t, F t t 0} se naziva lokalnim martingalom ako postoji rastući niz {τ k k 1} vremena zaustavljanja, τ k skoro izvesno, tako da je zaustavljen proces { x 0 } t 0 martingal. Jasno, svaki martingal je lokalni martingal, prema Teoremi 1.12. Teorema 1.9 Svaki ograničeni lokalni martingal je martingal. Definicija 1.21 Stohastički proces {x(t) t T} je proces sa nezavisnim priraštajima ako su za svako n i sve t 0 < t 1 < < t n iz T slučajne promenljive x(, x( x( ),...,x( ) x( ) nezavisne. Definicija 1.22 Stohastički proces {x(t) t T} je Gaussov proces ako je svako njegovo n- dimenzionalno sečenje Gaussova slučajna promenljiva. Definicija 1.23 a) Stohastički proces {x(t) t 0} je strogo stacionaran ako su sve njegove konačno-dimenzionalne funkcije raspodela invarijantne u odnosu na translaciju vremena, tj. ( n N) ( t 1,,t n R) ( h R) (F n (t 1 +h,,t n +h ; x 1,,x n ) = F n (t 1,,t n ; x 1,,x n )). b) Stohastički proces {x(t) t T} je slabo stacionaran ako je: (i) E x(t) 2 <, t T; (ii) Ex(t) = m, m = const. ; (iii) k(t,s) = E[x(t) m)( ] = β(t s). Definicija 1.24 Stohastički proces {x(t) t 0} je proces Markova ako za svaki B d, n sve 0 i x 1,..., x n R d važi 7

P{x(t) B x(t 1 ) x 1,...,x(t n ) x n } P{ x(t) B x(t n ) x n } Proces Markova je homogen ako njegove verovatnoće prelaza zavise samo od razlike vremenskih trenutaka. Sledeći rezultat će biti neophodan za dalji rad. Teorema 1.10 (Gronwallova nejednakost) Neka je T>0 i c 0. Neka je u( ) Borel-merljiva ograničena nenegativna funkcija na [0,T], i neka je v( ) nenegativna integrabilna funkcija na [0,T]. Ako je tada je 1.2 Brownovo kretanje u(t) c+ (s)u(s)ds, 0 t T, u(t) c exp( (s)ds), 0 t T. Brownovo kretanje je naziv za haotično kretanje čestica polena u vodi koje je uočio škotski botaničar Robert Brown 1828. Njegovo zapažanje je uglavnom ostalo na nivou percepcije. Međutim, on je ipak zaključio da je reč o sudaranju mikroskopski malih čestica materijala sa molekulima vode. A. Einstein je 1905. godine postavio fizičko-matematički model Brownovog kretanja, ali ga nije u potpunosti matematički opisao. Zaključio je da je haotično kretanje rezultat sudaranja polenovog praha sa molekulima vode, pri čemu čestice polena i molekuli vode imaju istu kinetičku energiju. Strogu matematičku formulaciju Brownovog kretanja uveo je Robert Wiener 1922. godine. Zahvaljujući njegovim rezultatima Brownovo kretanje se smatra matematičkim pojmom, a ne samo fizičkom pojavom, i često se naziva Wienerov proces. Definicija 2.1 Jednodimenzionalan stohastički proces B={B(t) t 0} je Brownovo kretanje sa parametrom 0 ako važi: (i) B(0) = 0 s.i. ; (ii) proces je sa nezavisnim priraštajima, tj. za svako n N i sve 0 t 0 < t 1 < < t n, slučajne promenljive B(t 0 ), B(t 1 ) B(t 0 ),...,B(t n ) B(t n-1 ) su nezavisne; (iii) B(t) B(s) : N(0 ; 2 t s ) za s t, s,t 0. Parametar 2 naziva se koeficijentom difuzije. Specijalno, za Brownovo kretanje. Ako je dat prostor verovatnoća (Ω, F, P) sa filtracijom {F t t drugačija definicija Brownovog kretanja. 2 = 1 dobija se standardno 0}, onda se može uvesti Definicija 2.2 Standardno jednodimenzionalno Brownovo kretanje je realan, neprekidan {F t }- adaptiran proces {B(t)} t 0 sa sledećim svojstvima: (i) B(0) = 0 s.i. ; 8

(ii) B(t) B(s) : N(0 ; t-s ), s t, s, t 0; (iii) za 0 s < t <, priraštaj B(t) B(s) je nezavisan od F s. B Ako je F t {B(s) 0 s t} za t 0, filtracija {F B t } t 0 se naziva prirodnom filtracijom. Jasno, Brownovo kretanje {B(t)} je adaptirano u odnosu na prirodnu filtraciju {F B t } t 0. Takođe je F B t F t za svako t 0. Nadalje se, ukoliko drugačije nije naglašeno, pretpostavlja da je prostor verovatnoća (Ω, F, P) kompletan sa filtracijom {F t } koja zadovoljava uobičajene uslove (neprekidna je sa desna i F 0 sadrži sve skupove P-mere nula) i da je na njemu definisano Brownovo kretanje. U nastavku su navedene neke od osobina Brownovog kretanja. 1) B(t) B(s) ima gustinu g (t s ; x) =, x R, t s. 2) Konačno-dimenzionalne gustine su: za n N, 0 t 1 t 2... t n, x 1, x 2,..., x n R, g n (t 1,..., t n ;x 1,,x n ) ( ) ( ) 3) Brownovo kretanje je homogen proces Markova (sledi iz osobine 2)). 4) Brownovo kretanje je srednje-kvadratno neprekidan proces, jer E B(t) B(t 0 ) 2 = t t 0 kad t t 0. 5) Brownovo kretanje je skoro izvesno neprekidan proces na [0, ) (sledi na osnovu Teoreme Kolmogorova 1.3; E 3 ). 6) Brownovo kretanje je martingal ( E(B(t) F s ) E(B(t) B(s) F s ) E(B(s) F s ) B(s) skoro izvesno za 0 s ). 7) Ako je B={B(t), F t t 0} standardno Brownovo kretanje, onda su Brownova kretanja i procesi: (i) {Z(t), F t t 0}, gde je Z(t) = B(t+s) B(s), t 0, za svako s [0,+ ); (ii) {U(t), F t t 0}, gde je U(t) = c B( ), c=const. 0; (iii) {V(t), F t t 0}, V(t) = t B( ), t > 0 i V(0) = 0 skoro izvesno. 8) = 0 s.i. (na osnovu strogog zakona velikih brojeva). 9) Važi nejednakost Dooba (na osnovu Teoreme 1.8): E{ [ ] 2 } 4 EB 2 (t) = 4t, t 0, kao i E{ [ ] B(s)} 2 }. 10) Koristeći zakon ponovljenog logaritma ocenjuje se ponašanje trajektorija: = 1 s.i., = 1 s.i. 11) Na osnovu (7)(iii) sledi = 1 s.i.,. = 1 s.i., 9

iz čega se zaključuje da Brownovo kretanje ima beskonačno mnogo nula (beskonačno mnogo puta seče t-osu) na proizvoljnom segmentu [ ] 12) Trajektorije Brownovog kretanja su skoro izvesno nediferencijabilne funkcije. Za fiksirano t količnik priraštaja procesa i priraštaja argumenta ima N 0; raspodelu. Ova normalna raspodela divergira kada h 0 u smislu da za svaki skup B B 1, P{ } 0 kada h 0. 13) Skoro sve trajektorije Brownovog kretanja su neograničene varijacije na proizvoljnom konačnom vremenskom intervalu, u sledećem smislu: Za proizvoljnu particiju s zatvorenog vremenskog intervala [ ] takvu da 0 kada n i za proizvoljno M 0, P { } 1 kada n. 14) Kada se govori o Brownovom kretanju, ne treba izostaviti Gaussov beli šum kojim se modelira veliki broj pojava iz bioloških, fizičkih, tehničkih i ekonomskih nauka. Definicija 2.3 Gaussov beli šum je slabo stacioniran Gaussov proces {ξ(t)} t 0 srednje vrednosti jednake nuli i konstantne spektralne gustine g(λ) = S 0, R. (g(λ) = (λτ)k(τ), gde je K(τ) korelaciona funkcija). Reč beli šum u nazivu potiče iz radiotehnike i ima smisla ako se ima u vidu da je za ξ(t) spektralni sastav nepromenjen, kao i kod bele svetlosti. Za Gaussov beli šum vrednosti ξ(t) i ξ(s) su međusobno nekorelirane za t s, a pošto se radi o Gaussovom procesu, one su i nezavisne. Prema tome, Gaussov beli šum je proces sa nezavisnim vrednostima beskonačne disperzije i kao takav ne postoji u prirodi, ali se u primenama često koristi kao pogodna matematička apstrakcija. Gaussov beli šum ξ(t) se može posmatrati kao uopšten stohastički proces koji predstavlja formalan izvod Brownovog kretanja, tj. ξ(t) = samo u integralnom obliku, B(t) = (s). = Ḃ(t), a koristi se 15) Definicija 2.4 Stohastički proces {B(t), t 0}={(B 1 (t),,b d (t)) t 0} je d-dimenzionalno Brownovo kretanje ako su zadovoljeni sledeći uslovi: 1) B(0) = 0 s.i. ; 2) ima nezavisne priraštaje; 3) B(t) B(s) : N(0; 2 (t s)i), 0 s < t, gde je I jedinična matrica reda d. Koordinate d-dimenzionalnog Brownovog kretanja su nezavisna Brownova kretanja. Za njega važe iste osobine kao za jednodimenzionalan slučaj. 10

2 Stohastički integral Itôa U ovoj glavi se definiše stohastički integral u odnosu na Brownovo kretanje B={B(t) t 0}. Kako su skoro sve trajektorije Brownovog kretanja skoro svuda nediferencijalne funkcije i nisu ograničene varijacije, ovaj integral ne može biti definisan na uobičajen način. Međutim, može se definisati integral za široku klasu stohastičkih procesa koristeći stohastičku prirodu Brownovog kretanja. Ovaj integral je prvi definisao K. Itô 1949. godine i danas je poznat kao stohastički integral Itôa. 2.1 Konstrukcija stohastičkog integrala Itôa Neka je (Ω, F, P) kompletan prostor verovatnoća sa filtracijom {F t t 0} i B={B(t), F t t 0} jednodimenzionalno Brownovo kretanje definisano na ovom prostoru verovatnoća. Definicija 1.1 Za 0 a < b <, sa M 2 ([a,b] ; R) je označena klasa stohastičkih procesa = { (t) t [a,b]} za koje važi: je B([a,b]) F-merljiv, tj.( S B 1 ) ({(t,ω) (t,ω) S} B([a,b]) F); je adaptiran u odnosu na familiju {F t t [a,b]}; 2 = (t) 2 <. Prostor ( M 2 ( [a,b] ; R), ) je Banachov i u tom prostoru se i poistovećuju ako je =0. Za stohastički proces M 2 ([a,b]; R) postupno se definiše integral Itôa (t) (t). Najpre se ovaj integral definiše za klasu stepenastih slučajnih procesa. Zatim se pokazuje da se svaki stohastički proces M 2 ([a,b];r) može aproksimirati nizom stepenastih slučajnih procesa { }, da bi na kraju integral (t) (t) bio definisan kao srednje-kvadratni limes integrala (t) (t). U nastavku, generalno se pretpostavlja da su procesi i Brownovo kretanje nezavisni. Definicija 1.2 Realan stohastički proces = { (t) t [a,b]} je stepenast stohastički proces ako postoji particija a = t 0 < t 1 <... < t k = b segmenta [a,b] i ako postoje ograničene slučajne promenljive ξ i, 0 i k 1 takve da su ξ i -merljive i nezavisne od Brownovog kretanja i (t) = ξ 0 [ ] (t) + ](t). (1.2) Označimo sa M 0 ([a,b]; R) familiju takvih procesa. Jasno, M 0 ( [a,b]; R) M 2 ([a,b];r). Definicija 1.3 Za stepenast proces M 0 ([a,b];r) slučajna promenljiva I( ) = (t) (t) = i (B(t i+1 ) B(t i )) 11

se naziva stohastički integral procesa Itôa. u odnosu na Brownovo kretanje {B(t)}, ili integral Očigledno je I( ) F b -merljiva slučajna promenljiva. Lema 1.1 Ako je M 0 ([a,b]; R), onda je E (t) (t) 0, (1.3) E (t) (t) 2 E (t) 2 (1.4) Dokaz. Kako su ξ i -merljive i ne zavisi od, to je Kako je E (t) (t) = [ i (B(t i+1 ) B(t i )] = i ) E[B(t i+1 ) B(t i )] = 0. E[ ][ ( ) ( )] { {, sledi da je E (t) (t) 2 = E = = E (t) 2. Lema 1.2 Neka 1, 2 M 0 ([a,b]; R) i c 1, c 2 R.Tada c 1 1 + c 2 2 M 0 ([a,b]; R) i [c 1 1 (t) + c 2 2 (t)] B(t) = c 1 1(t) B(t) + c 2 2(t) B(t). Dokaz. Kako je 1 M 0 ([a,b]; R), to postoji particija segmenta [a,b] i postoje ograničene slučajne promenljive ξ i, 0 i k 1 koje su -merljive, tako da je 1(t) = ξ 0 [ ] + i I ]. Za 2 M 0 ([a,b]; R) u odnosu na istu particiju segmenta [a,b] postoje ograničene slučajne promenljive Θ i koje su -merljive, tako da je 2(t) = Θ 0 I [ ] + i I ]. Tada je c 1 1(t)+c 2 2(t) = c 1 [ ξ 0 I [ ] + i I ] ]+c 2 [Θ 0 I [ ] + i I ] ] = (c 1 ξ 0 +c 2 Θ 0 ) I [ ] + c 1 ξ i + c 2 Θ i ) I ], 12

pri čemu su c 1 ξ i + c 2 Θ i ograničene slučajne promenljive za 0 i k 1 koje su merljive. Prema tome, c 1 1 + c 2 2 M 0 ([a,b];r). Sada je c 1 1(t) + c 2 2(t)) B(t) c 1 1+c 2 2 B(t) c 1 ξ i + c 2 Θ i )(B(t i+1 ) B(t i )) c 1 i (B(t i+1 ) B(t i ))+c 2 i(b(t i+1 ) B(t i )) c 1 1(t) (t)+c 2 2(t) (t). Teorema 1.3 Neka je B={B(t), F t t 0} Brownovo kretanje i M 2 ([a,b]; R).Tada: a) postoji niz stepenastih slučajnih procesa { n n N} tako da = (t) n(t) 2 0 kada n ; b) ako niz stepenastih procesa { n n N} aproksimira u smislu da 0, kada n i ako je I( ) definisano kao u Definiciji 1.3, tada je niz slučajnih promenljivih {I( n) n N} srednje-kvadratno konvergentan kada n ; c) ako su { n n N} i { n N} dva niza stepenastih slučajnih procesa koji aproksimiraju, tada je s.k. ( ) = s.k. ( ). Dokaz. a) Najpre pretpostavimo da je srednje-kvadratno neprekidan proces. Tada je E (t) 2 neprekidna funkcija, tako da niz stepenastih procesa { n n N} može biti konstruisan (n) (n) (n) (n) proizvoljnim razbijanjem segmenta [a,b]: a = t 0 < t 1 < < t k = b. Za t j t <t (n) j+1, j, stavimo n(t) = (t (n) (n) j ) s.i. i max 0 j k-1 (t j+1 t (n) j ) 0 kada n. Pošto je srednje- kvadratno neprekidan proces, sledi da je E (t) n(t) 2 0, n, za svako t [a,b]. Na osnovu Teoreme o dominantnoj konvergenciji 1 sledi da (t) n(t) 2 0, kada n. U opštem slučaju, ako M 2 ([a,b]; R) nije srednje-kvadratno neprekidan proces, možemo ga postupno aproksimirati nizom stepenastih procesa u smislu date norme. Najpre ćemo aproksimirati nizom ograničenih skoro izvesno neprekidnih stohastičkih procesa { m m N}, gde je m(ω,t) = max{ m, min{ (ω,t), m}}. Jasno, m M 2 ([a,b];r) za svaki m N i m(ω,t) = (ω,t) za one (ω,t) za koje je (ω,t) < m s.i. Pošto je (t) n(t) 2 (t) 2 <, na osnovu Teoreme o dominantnoj konvergenciji sledi 1 Neka je p 1,,k, i Y. Pretpostavimo da je s.i. i { } konvergira u verovatnoći ka X. Tada je X, { } konvergira ka X u i 13

= (t) m(t) 2 0, m. (1.4) Kako je m(t) skoro izvesno ograničen proces i ima Lebesgue-merljive trajektorije, onda je m(t) 2 < skoro izvesno i m(ω,t+h) m(ω,t) 2 0 s.i. kada h 0. (1.5) Sada za svako m možemo definisati niz procesa { g k k N} na sledeci način g k (ω,t) = k m(ω,s). Kako je φ m M 2 ([a,b]; R) i skoro izvesno ograničeno za svako t [ ], proces g k je B F-merljiv i g k (ω,t) je F t -merljiv za svako t [a,b]. g k (ω,t) m (1 ) skoro izvesno, onda je E g k (t) 2 konačno i integrabilno na [a,b]. Dakle, g k M 2 ([a,b]; R). Štaviše, trajektorije od g k zadovoljavaju g k (ω,t) g k (ω,s) m, tako da su one skoro izvesno neprekidne. Pokažimo sada da {g k k N} aproksimira φ m u smislu norme. Zaista, = m(t) g k (t) 2 = k [ m(t) m(s)] + m(t) 2 2 m(t) m(t ) 2 +2 m(t) 2. Koristeći (1.5) i Teoremu o dominantnoj konvergenciji zaključujemo da iz čega sledi da je m(t) m(t ) 2 0 kada k, 0, k. (1.6) Kako je g k srednje-kvadratno neprekidan proces, može se aproksimirati nizom stepenastih procesa { n, n N} kao u prvom delu dokaza, tj. 0 kada n. Iz ove činjenice i iz (1.4) i (1.6), sledi da se za bilo koje > 0 i dovoljno velike m, k i n može izabrati m, g k i n tako da je, <, <, pa je, prema tome,, odnosno 0, n. b) Neka 0, n. Treba pokazati da niz {I( n), n N} srednje-kvaratno konvergira. 14

Neka je n+m, n M 2 ([a,b]; R). Tada je n+m n M 2 ([a,b]; R). Primenom Leme 1.1 i Leme 1.2 sledi E I( n+m) I( n) 2 = E I( n+m n) 2 = n+m(t) n(t) 2 = n+m(t) n(t) (t) + (t) 2 2 n+m(t) (t) 2 + 2 n(t) (t) 2 = 2 + 2 0, kada n, m. Prema tome, {I( n) n N} je Cauchyjev niz u L 2 (Ω;R), pa srednje-kvadratno konvergira. To znači da postoji slučajna pomenljiva I( ) takva da je E I( ) 2 < i E I( ) I( n) 2 0 kada n. c) Prema pretpostavci, 0 kada n i 0 kada n. Kako je, M 0 ([a,b]; R) za svaki n N, to je n M 0 ([a,b]; R). Primenom Leme 1.1, dobija se E I( n) I( ) 2 = E I( n ) 2 odnosno s.k. ( n) = s.k. ( ). = ( n )(t) 2 = ( n(t) (t) 2 ( n(t) (t) 2 + ( (t) (t) 2 2 + 2 0, n, Na osnovu Teoreme 1.3 može se uvesti sledeća definicija integrala Itôa. Definicija 1.4 Integral Itôa stohastičkog procesa M 2 ([a,b]; R) u odnosu na Brownovo kretanje B={Bt t } je srednje-kvadratna granična vrednost niza slučajnih promenljivih {I( n), n N}, tj. I( ) = (t) (t):= s.k. n(t) (t). Ova granična vrednost je jedinstveno određena u srednje-kvadratnom smislu i ne zavisi od izbora niza stepenastih procesa { n, n N}. Teorema 1.4 Neka su, Ψ M 2 ([a,b]; R) i α, β R. Tada važi: a) I( ) je F b -merljiva slučajna promenljiva; b) I(α + β Ψ) = α l( ) + β I(Ψ); c) EI( ) = 0; d) E I( ) 2 = (t) 2. 15

Dokaz. a) i b) slede neposredno iz definicije integrala Itôa. c) važi ako je stepenast proces. Ako nije stepenast proces, onda postoji niz stepenastih procesa koji aproksimira φ, tj. E 0, kada n na [a,b]. Na osnovu Teoreme 1.3 je pa je EI( ) = 0. 0 (EI( ) EI( n)) 2 E 0, n, (1.7) (d) Ako je stepenast proces, dokaz sledi na osnovu Leme 1.1. Ako nije stepenast proces, onda postoji niz { n, n N} stepenastih procesa koji aproksimira. Tada je E E E 2E[ ] E. Primenom nejednakosti (1.7) i teoreme o dominantnoj konvergenciji sledi da je E = n(t) 2 = (t) 2. Teorema 1.5 Neka M 2 ([a,b]; R). Tada je: E( (t) (t) F a ) 0, (1.8) i E( ) E( ) = (t) 2 F a ) t. (1.9) Za dokaz ove teoreme, neophodno je prethodno dokazati naredno tvrđenje. Lema 1.6 Ako je M 2 ([a,b]; R) i realna ograničena F a -merljiva slučajna promenljiva, onda je ξ M 2 ([a,b];r) i φ(t) (t) = ξ (t) (t). (1.10) Dokaz. Jasno, ξ M 2 ([a,b]; R). Ako je stepenast proces, tada (1.10) sledi neposredno iz definicije stohastičkog integrala. Uopšte, za M 2 ([a,b]; R) neka je { n n N} niz stepenastih procesa koji aproksimira. Sada se jednostavno zaključuje da važi (1.10) ako (1.10) primenimo na svako n i pustimo da n, odmah dobijamo (1.10). Dokaz Teoreme 1.5 Prema osobini uslovnog očekivanja, (1.8) važi akko 16

E( ) = 0 za sve skupove A F a. Primenjujući Lemu 1.6 i Teoremu 1.4, onosno osobinu c) integrala Itôa, zaključujemo da je Slično, E( ) E φ(t) (t)=0. E( ) E( ) E( ) E( ) E( ) ( (t) ). 2.2 Neodređeni stohastički integral Itôa Neka je T > 0 i M 2 ([0,T]; R). Za sve 0 a < b T je {φ(t) t [a,b]} M 2 ([a,b]; R), tako da je (t) (t) dobro definisan. Lako je pokazati da važi (t) (t) + (t) (t) = (t) (t) za 0 a b c T. (2.1) Ova osobina integrala Itôa omogućava uvođenje pojma nedređenog integrala Itôa. Definicija 2.1 Neka je I {s<t} indikator skupa [t 0,t], t 0 s < t < T. Neodređeni stohastički integral Itôa procesa M 2 ([t 0,T]; R) je stohastički proces {x(t) t [t 0,T]}, definisan kao x(t):= {s<t} (s) (s)= (s) (s), t [t 0,T]. Neodređeni stohastički integral Itôa ima sledeća svojstva: 1) x(t) je F t -adaptiran; 2) {x(t), F t, t [t 0,T]} ima separabilnu i merljivu verziju; 3) x(t 0 ) = 0 s.i. ; 4) x(t) x(s) = (u) (u), s, t [t 0,T]; 5) Ex(t) = 0; 6) E x(t) 2 = (s) 2. Osobina 3) sledi trivijalno, osobina 4) na osnovu (2.1), a osobine 1), 5) i 6) na osnovu Teoreme 1.4. Dokažimo samo 2). 17

Za t, t+h [t 0,T] je E x(t+h) x(t) 2 = [I {s < t+h} I {s < t} ] (s) 2 = [I {s <t+h} I {s < t} ] (s) 2 0, h 0. Dakle, x(t) je srednje-kvadratno neprekidan, pa je neprekidan u verovatnoći. Prema Teoremi 1.4 iz prve glave (teorema Dooba) postoji stohastički proces koji je separabilna i merljiva verzija procesa x(t) i jedinstven je do stohastičke ekvivalencije. Teorema 2.1 Ako je M 2 ([t 0,T];R), onda je neodređeni integral Itôa {x(t), F t, t [t 0,T]} kvadratno integrabilan marginal u odnosu na filtraciju {F t }. Pored toga je E[ ] 4E φ(s) 2. (2.2) Dokaz. Proces X={x(t), t [t 0,T]} je kvadratno integrabilan jer je E x(t) 2 = E φ(s) 2 <. Da bismo pokazali svojstvo martingalnosti, uzmimo t 0 s < t T. Prema (1.10) i Teoremi 1.5 je E(x(t) F s ) = E(x(s) F s ) + E( (r) (r) F s ) = x(s) s.i. Nejednakost (2.2) sledi iz nejednakosti Dooba za martingale, tj. na osnovu Teoreme 1.8 iz prve glave, E[ (s) (s) 2 ] ( ) E (s) (s) 2 = 4 E φ(s) 2. Teorema 2.2 Ako je φ M 2 ([t 0,T]; R), onda je neodređeni integral Itôa {x(t); F t, t [t 0,T]} skoro izvesno neprekidan. Dokaz. Neka je φ stepenast proces, t 0 < t 1 < < t n < t, i ξ i ograničene promenljive. Tada je -merljive slučajne x(t) = (s) (s) = ξ 0 (B(t 1 ) B(t 0 ))+ +ξ n [B(t) B(t n )], tako da skoro izvesna neprekidnost za x(t) sledi iz skoro izvesne neprekidnosti Brownovog kretanja. Ako φ nije stepenast proces, onda postoji niz stepenastih procesa { n n aproksimira φ u smislu da je N} koji (t) n(t) 2 za sve n N. Primenom Čebiševljeve nejednakosti i nejednakosti (2.2) dobija se P{ } 18

E[ ] n 2 4 n 2 φ(s) φ n (s) 2 4n 2 = 4 / n 2. Kako je { } <, na osnovu Borel-Cantellijeve leme 2 sledi da je skup B= { } P-mere nula, tj. za sve ω nejednakost (s) (s) n(s) (s) može važiti za najviše konačno mnogo n. Tada, za ω Ω \ B, (s) (s) n(s) (s) 0 s.i. kada n. Kako su trajektorije integrala Itôa stepenastih procesa {φ n n N} skoro izvesno neprekidne i kako je integral (s) (s) skoro izvesno uniformna granična vrednost tih integrala na [t 0,T], to je i on sam skoro izvesno neprekidan. Teorema 2.3 Neka φ M 2 ([t 0,T]; R). Tada je neodređeni integral Itôa kvadratno integrabilan martingal i njegova kvadratna varijacija je <x,x> t = φ(s) 2, t 0 t T. (2.3) Dokaz. Kako martingalnost neoređenog integrala Itôa sledi iz Teoreme 2.1, treba samo pokazati jednakost (2.3). Prema definiciji kvadratne varijacije, treba pokazati da je {x 2 (t) <x,x> t } neprekidan martingal koji se anulira za t = t 0. Očigledno je. Štaviše, ako je t 0 r t T, primenom Teoreme 1.5 sledi E(x 2 (t) <x,x> t F r ) E[( ) ] E[( ) ( ) ] 2 Borell- Cantellijeva lema. Ako F, k N, i, onda P( ) 0, tj. postoji događaj F tako da je P( ) 1 i postoji celobrojna slučajna promenljiva k 0 takva da za svako sledi da za k. 19

E[ ] x 2 (r) <x,x> r + 2 x(r) E( ) E( ) E( ) x 2 (r) <x,x> r. Neka je τ vreme zaustavljanja u odnosu na { }. Tada je {I [[ ]] } t 0 ograničen neprekidan sa desna {F t }-adaptiran proces. Štaviše, za svako t 0 je {ω : I [[0,τ]] (t,ω) r} = {{ } Ω, Prema tome, I [[0,τ]] (t) je F t -merljiv. Definicija 2.2 Neka je φ M 2 ([0,T]; R) i neka je τ vreme zaustavljanja u odnosu na {F t }, takvo da je 0 τ T. Tada {I [[ ]] φ(t)} 0 t T M 2 ([0,T]; R). Definišimo (s) (s) = [[o,τ]] (s)φ(s) (s). Sada ćemo proširiti stohastički integral Itôa na višedimenzionalan slučaj. Neka je {B(t) = (B 1 (t),,b m (t)) T } t 0 m - dimenzionalno Brownovo kretanje definisano na kompletnom prostoru verovatnoća (Ω, F, P) i adaptirano u odnosu na filtraciju {F t t 0}. Neka je M 2 ([0,T]; R dxm ) familija merljivih {F t }-adaptiranih procesa φ = { } sa vrednostima u prostoru matrica formata d oznaka za trag matrice φ 2 = ij 2 = tr (φφ ). m, takvih da je 2 = φ(t) 2 dt <, gde je Definicija 2.3 Neka φ M 2 ([0,T];R dxm ). Višedimenzionalni neodređeni integral Itôa je d- dimenzionalan vektor-kolona, (s)db(s)= ( ) ( ) čija je i-ta komponenta sledeća suma jednodimenzionalnih integrala Itôa, ij(s)db j (s). Višedimenzionalni integral Itôa ima sve osobine jednodimenzionalnog integral Itôa. 20

Integral Itôa može biti definisan pod slabijim uslovima. Neka je L 2 ([ ], ) klasa zajednički merljivih i adaptiranih stohastičkih procesa koji zadovoljavaju uslov Očigledno, M 2 [ ] L 2 [ ]. P{ } 1. Teorema 2.4 Neka je { } Brownovo kretanje i L 2 ([ ], ). Neka je [ ] definisano na sledeći način, { i I(. Tada, { } konvergira u verovatnoći kada n. Dokaz. Za proizvoljne m,n N i svako takve da je { }, važi [ ] 0. Tada je skoro izvesno. Sledi da je za svako 0, P{ } { { }} kada m, n. Stoga je { } Caushyjev niz koji konvergira u verovatnoći. Za L 2 ([ ], ) postoji slučajna promenljiva I( ) takva da I( ) u verovatnoći kada n. U ovom slučaju integral Itôa se definiše kao I( ) u verovatnoći. Primetimo da svojstvo d) u Teoremi 1.4 ne važi za ovaj tip stohastičkog integrala. 2.3 Formula Itôa U prethodnom odeljku je definisan stohastički integral Itôa. Međutim, nije pogodno efektivno rešavanje ovog integrala na osnovu njegove definicije. Ovo je slučaj i kod klasične integracije, gde se za određivanje vrednosti integrala primenjuju pravila integralnog računa. U ovom delu će se razmatrati stohastička verzija smene promenljivih za rešavanje integrala Itôa, poznata kao formula Itôa. Formula Itôa nije korisna samo za rešavanje integrala Itôa, već igra ključnu ulogu u stohastičkoj analizi i rešavanju stohastičkih diferencijalnih jednačina. Najpre ćemo dati jednodimenzionalnu formulu Itôa, a onda je uopštiti na višedimenzionalan slučaj. Neka je {B(t)} t 0 jednodimenzionalno Brownovo kretanje definisano na kompletnom prostoru verovatnoća (Ω, F, P) i adaptirano u odnosu na filtraciju {F t t 0}. Označimo sa 21

L 1 (R + ; R d ) i L 2 (R + ; R d ) familije svih {F t }-adaptiranih merljivih procesa f = {f(t)} t 0 i g { }, respektivno, sa vrednostima u R d tako da je za svako T 0, f(t) dt < s.i. i s.i. Definicija 3.1 Jednodimenzionalan proces Itôa je neprekidan adaptiran proces {x(t)} t 0 oblika x(t) = x(0) + (s)ds + (s)db(s), (3.1) gde f L 1 (R + ; R), i g L 2 (R + ; R). Proces x(t) ima stohastički diferencijal dx(t) za t 0, oblika dx(t) = f(t)dt + g(t)db(t). Jasno, proces Itôa x(t) i njegov stohastički diferencijal dx(t) se mogu zadati na bilo kom segmentu [a,b] R. Prvi integral u izrazu (3.1) je Lebesgueov integral, dok je drugi integral Itôa. Oba integrala su merljiva, F t -adaptirana i skoro izvesno neprekidna, pa i proces Itôa ima ove osobine. Označimo sa C 2,1 (R R + ; R) familiju realnih funkcija V(x,t) definisanih na R R +, dva puta neprekidno diferencijalnih po x i jednom po t. Teorema 3.1 (Formula Itôa) Neka je {x(t)} t 0 proces Itôa sa stohastičkim diferencijalom dx(t) = f(t)dt + g(t)dbt, gde je f L 1 (R + ; R) i g L 2 (R + ; R). Neka je V C 2,1 (R R + ; R). Tada je i V(x(t),t) proces Itôa sa stohastičkim diferencijalom dv(x(t),t) = [V t (x(t),t) + V x (x(t),t)f(t) + V xx (x(t),t)g 2 (t)]dt + V x (x(t),t)g(t)db(t) s.i. (3.2) Dokaz. Zbog dužine dokaza izvešćemo dokaz u više koraka. 1. Pretpostavimo da je proces x(t) ograničen, na primer konstantom k, tako da vrednost funkcije V(x,t) za x [-k,k] zanemarujemo. Za svako n 1, definišemo vreme zaustavljanja τ n = inf {t 0: n}. Jasno, τ n skoro izvesno. Takođe, definišimo stohastički proces x n (t) = [ n x(0)] n + (s) (s)ds + (s) (s)db s, t 0. Kako je x n (t) n, tj. x n (t) je ograničen proces, za svako t 0 i skoro svako ω broj n 0 n 0 (t,ω) tako da je Ω postoji ceo x n (s,ω) = x(s,ω) za 0 s t i n n 0. 22

Dakle, ako (3.2.) važi za ograničen niz x n (t), tj. ako je V(x n (t),t) V(x(0),0) = [V t (x n (s),s) + V x (x n (s),s)f(s) (s) + V xx (x n (s),s)g 2 (s) (s)]ds+ x (x n (s),s)g(s) (s)db(s), do izraza (3.2) dolazimo kada pustimo da n. 2. Pretpostavimo dalje da je V(x,t) C 2,2 (R R + ; R), tj. da je dva puta neprekidno diferencijalna po obe promenljive (x,t). Sa druge strane možemo naći niz {V n (x,t)} C 2,2 (R R + ; R) tako da važi V n (x,t) V(x,t), V n (x,t) V x (x,t), V n (x,t) V t (x,t), V n (x,t) V xx (x,t) uniformno na svakom kompaktnom podskupu od R R +. Ako možemo da pokažemo formulu Itôa za svako V n, tj. V n (x(t),t) V n (x(0),0) = [ V n (x(s),s) + V n (x(s),s)f(s) + V n (x(s),s)g 2 (s)]ds + V n (x(s),s)g(s)db(s), Do željenog rezultata dolazimo kada pustimo da n. Prema koracima 1. i 2. možemo pretpostaviti bez gubitka opštosti da su V,V t,v tt,v x,v tx i V xx ograničene funkcije na R [0,t], za svako t 0. 3. Pokazaćemo (3.2.) u slučaju da su f i g stepenasti stohastički procesi, pošto se procesi u L 1 (R + ; R) mogu aproksimirati stepenastim procesima. Fiksiramo t > 0 i pretpostavimo da su V, V t,v tt,v x,v tx,v xx ograničene funkcije na R Neka je ={t 0,t 1,,t k } particija na [0,t], (0 = t 0 < t 1 < <t k = t) i neka je [0,t]. f(s) = f i, g(s) = g i, ako s (t i,t i+1 ]. Primenom Taylorove formule dobijamo V(x(t),t) V(x(0),0) = [V(x(t i+1 ),t i+1 ) V(x(t i ),t i )] = t (x(t i ),t i ) t i + x (x(t i ),t i ) x i + tt (x(t i ),t i )( t i ) 2 + tx (x(t i ),t i ) t i x i + xx (x(t i ),t i )( x i ) 2 + i, (3.3) gde je t i = t i+1 t i, x i = x(t i+1 ) x(t i ), R i = (( t i ) 2 + ( x i ) 2 ). Neka je = t i. Lako je videti da kada 0, onda sa verovatnoćom 1, t (x(t i ),t i ) t i t (x(s),s)ds, (3.4) 23

x (x(t i ),t i ) x i x (x(s),s)dx(s) = x (x(s),s)f(s)ds + x (x(s),s)g(s)dbs, (3.5) tt (x(t i ),t i )( t i ) 2 0, i i 0. (3.6) Primetimo da je tx (x(t i ),t i ) t i x i = tx (x(t i ),t i )f i ( t i ) 2 + tx (x(t i ),t i )g i t i B i gde je B i = B B. Kada 0, prvi član teži 0 skoro izvesno dok drugi član teži 0 u L 2 -smislu pošto je E( tx (x(t i ),t i )g i t i B i ) 2 = [V tx (x(t i ),t i )g i ] 2 ( t i ) 3 0. Drugim rečima, (uz pretpostavku o ograničenosti) sledi Takođe, tx (x(t i ),t i ) t i x i 0 u L 2. (3.7) xx (x(t i ),t i )( x i ) 2 = xx (x(t i ),t i )[f i 2 ( t i ) 2 + 2f i g i t i B i ] + xx (x(t i ),t i )g i 2 ( B i ) 2. Prvi član teži 0 u L 2 -smislu kada 0, a drugi član teži ka xx (x(s),s)g 2 (s)ds u L 2 - smislu iz istih razloga kao prethodno. i ocenimo Označimo sa h(t) = V xx (x(t),t)g 2 (t), h i = V xx (x(t i ),t i )g i 2 E( i ( B i ) 2 i t i ) 2 = E( i h j [( B i ) 2 t i ][( B j ) 2 t j ]) = (h i 2 [( B i ) 2 t i ] 2 ) = h i 2 E[( B i ) 4 2( B i ) 2 t i +( t i ) 2 ] = h i 2 [3( t i ) 2 2( t i ) 2 + ( t i ) 2 ] = 2 h i 2 ( t i ) 2 0, gde je korišćena poznata činjenica da je E( B i ) 2n = (2n )!!( t i ) n. Otuda, i ( B i ) 2 (s)ds u L 2 -smislu. (3.8) Drugim rečima, xx (x(t i ),t i )( x i ) 2 xx (x(s),s)g 2 (s)ds u L 2 -smislu. Stavljajući (3.4) - (3.8) u (3.3), dobija se 24

V(x(t),t) V(x(0),0) [V t (x(s),s) + V x (x(s),s)f(s) + V xx (x(s),s)g 2 (s)]ds + x (x(s),s)g(s)db s.i., odnosno važi formula Itôa (3.2) u integralnom obliku. Kako su stepenasti procesi ograničeni, dokaz konačno sledi na osnovu koraka 1. i 2. Sada ćemo proširiti jednodimenzionalnu formulu Itôa na višedimenzionalan slučaj. Neka je B(t) = (B 1 (t),, B m (t)) T, t 0 m-dimenzionalno Brownovo kretanje definisano na kompletnom prostoru verovatnoća (Ω, F, P), adaptirano u odnosu na filtraciju {F t } t 0. Definicija 3.2 d-dimenzionalan proces Itôa je neprekidan adaptiran proces x(t)=(x 1 (t),...,x d (t)) T, t 0, oblika x(t) = x(0) + (s)ds + (s)db(s), gde je f = (f 1,...,f d ) T L 1 (R + ; R d ) i g = (g ij ) dxm L 2 (R + ; R dxm ). Proces x(t) ima stohastički diferencijal dx(t) za t 0, oblika dx(t) = f(t)dt + g(t)db(t). Označimo sa C 2,1 (R d R + ; R) familiju realnih funkcija V(x,t) definisanih na R d R + takvih da su dva puta neprekidno diferencijalne po x i jednom po t. Ako V C 2,1 (R d R + ; R), onda V t =, V x = (,..., ), V xx = ( ) dxd = ( ). Teorema 3.2 (Višedimenzionalna formula Itôa) Neka je {x(t)} t 0 d-dimenzionalan proces Itôa sa stohastičkim diferencijalom dx(t) = f(t)dt + g(t)db(t), gde f L 1 (R + ; R d ) i g L 2 (R + ; R dxm ). Neka V C 2,1 (R d R + ; R). Tada je V(x(t),t) proces Itôa sa stohastičkim diferencijalom dv(x(t),t) = [V t (x(t),t)+v x (x(t),t)f(t) + tr(g T (t)v xx g(t))]dt + V x (x(t),t)g(t)db(t) s.i. (3.9) Dokaz je sličan kao u jednodimenzionalnom slučaju. Sledeća tabela olakšava primenu višedimenzionalne formule Itôa, Na primer, d t d t =0, db i db i =dt db i dt=0 db i db j =0, ako je i j 25

dx i (t)dx j (t) = ik (t)g jk (t)dt. (3.10) Primetimo da formula Itôa može biti zapisana u obliku dv(x(t),t) = V t (x(t),t)dt + V x (x(t),t)dx(t) + dx T (t) V xx (x(t),t)dx(t) (3.11) Kada bi x(t) bilo neprekidno diferencijabilno po t, onda (prema klasičnoj formuli za totalni diferencijal) izraza dx T (t) V xx (x(t),t)dx(t) ne bi bilo u poslednjoj jednakosti. Na primer, za V(x,t) je d[ ]. (3.12) Postoji stohastička verzija formule parcijalne integracije koja je slična klasičnoj. Teorema 3.3 (Formula parcijalne integracije) Neka je {x(t)} t 0 jednodimenzionalan proces Itôa sa stohastičkim diferencijalom gde je dx(t) = f(t)dt + g(t)db(t), f L 1 (R + ; R) i g L 2 (R + ; R 1xm ). Neka je {y(t)} t 0 realan neprekidan adaptiran proces ograničene varijacije. Tada je tj. d[x(t)y(t)] = y(t)dx(t) + x(t)dy(t), (3.13) x(t)y(t) x(0)y(0) = (s)[f(s)ds+g(s)db(s)] + (s)dy(s), (3.14) gde je poslednji integral Lebesgue - Stieltjesov. Dokaz ove teoreme sledi na osnovu (3.12), pri čemu je poslednji sabirak u jednakosti jednak nuli, pošto je {y(t)} t 0 realan proces, ali ne proces Itôa. Primer 3.1 Neka je B(t) jednodimenzionalno Brownovo kretanje. Za određivanje stohastičkog integrala db(s) primenjuje se formula Itôa na B 2 (t) (tj. neka V(x,t) = x 2, x(t) = B(t)). Kako je db(t) = 0 dt + 1 db(t), to je tj. odakle je d(b 2 (t)) = 2B(t)dB(t)+dt, B 2 (t) = 2 (s)db(s) + t, (s)db(s) = [B 2 (t) t]. 26

Primer 3.2 Neka je B(t) jednodimenzionalno Brownovo kretanje.treba izračunati stohastički integral db(s). Neka je V(x,t) = e - t/2 + x i x(t) = B(t). Prema formuli Itôa sledi d[e -t/2 + B(t) ] = e -t/2 + B(t) dt + e -t/2 + B(t) db(t) + e -t/2 + B(t) dt = e -t/2 + B(t) db(t), pa je db(s) = 1. Primer 3.3 Neka je B(t) jednodimenzionalno Brownovo kretanje. Odredimo integral po trajektoriji Brownovog kretanja na vremenskom intervalu [0,t], odnosno, (s)ds. odnosno Na osnovu formule parcijalne integracije imamo d[tb(t)] = B(t)dt + tdb(t), (s)ds = tb(t) db(s). Sa druge strane, može se primeniti formula Itôa na B 3 (t), odakle je db 3 (t) = 3B 2 (t)db(t) + 3B(t)dt, (s)ds = B 3 (t) 2 (s)db(s). Primer 3.4 Neka je x(t) d-dimenzionalan process Itôa iz definicije 3.2 i neka je Q konstantna matrica dimenzije d d. Primenjuje se formula Itôa na V(x,t). Kako je V t 0, V x i V xx, tada je x T (t)qx(t) x T (0)Qx(0) [ ] 2.4 Nejednakosti sa momentima. U ovom delu se primenjuje formula Itôa u izvođenju nekoliko veoma važnih nejednakosti za momente stohastičkih integrala. Neka je B(t) = (B 1 (t),,b m (t)) T, t 0 m - dimenzionalno Brownovo kretanje definisano na kompletnom prostoru verovatnoća (Ω, F, P) i adaptirano u odnosu na filtraciju {F t } t 0. 27

Teorema 4.1. Neka je p 2, g M p ([0,T]); R dxm ) i E p ds <. Tada je E ( ) E p ds. (4.1.) Specijalno, za p =2 važi jednakost. Dokaz. Za p = 2 jednakost važi na osnovu svojstva integrala Itôa, E E. Neka je p 2. Za 0 t < T stavimo x(t) = (s)db(s). Neka je V(x,t), x R. Tada je V t 0, V x i V xx. Na osnovu formule Itôa se dobija E E [ ]ds (4.2) E ds. (4.3) Primenom Hölderove nejednakosti za i, gde je,, sledi E (E ds) (p-2)/p (E p ds) 2/p ( p ds) (p-2)/p ( ) 2/p. Iz (4.2) sledi da je E x(t) p neopadajuće po t, tako da je E (p-2)/p ( ) 2/p, odakle je E ( ) t (p-2)/2 E g(s) p ds. Tražena nejednakost se dobija za t T. Teorema 4.2 Pri istim uslovima kao u Teoremi 4.1 važi E( ) ( ) T (p-2)/2 E g(s) p ds. (4.4) 28

Dokaz. Na osnovu Teoreme 2.1 i Teoreme 2.2 stohastički integral (s)db(s) je neprekidan martingal, pa primenom nejednakosti Dooba za martingale (Teorema 1.8 iz prve glave) sledi E( (s)db(s) p ) ( ) E. Sada se neposredno primenom Teoreme 4.1 dobija. (4.4). Teorema 4.3 (Burkholder Davis Gundy) Neka g L 2 (R + ; R dxm ). Neka je za t 0 x(t) = (s)db(s) i A(t) = g(s) 2 ds. Tada, za svako p > 0 postoje jedinstvene pozitivne konstante c p i C p (koje zavise samo od p), takve da je c p E p/2 E( x(s) p ) C p E p/2, t 0 (4.5) gde je c p = (p/2) p, C p = (32/p) p/2 ako je 0 < p < 2, c p = 1, C p = 4 ako je p = 2, c p = (2p) -p/2, C p = [p p+1 /2(p-1) p-1 ] p/2 ako je p > 2. Dokaz. Pretpostavimo bez gubitka opštosti da su x(t) i A(t) ograničeni procesi. U suprotnom, za svaki n 1 se definiše vreme zaustavljanja τ n = inf {t 0: } i pokazuje da (4.5) važi za zaustavljane procese x(t τ n ) i A(t τ n ), a onda se oslobađamo pretpostavke o ograničenosti puštajući da n. Uvedimo oznaku x*(t)= x(s). 1) Neka je p = 2. Primenom svojstva integrala Itôa i nejednakosti Dooba dobija se E E E E E( ) E( 4E 4E. 2) Neka je p > 2. Iz (4.3), primenom Hölderove nejednakosti za i, sledi E E[ x*(t) p-2 A(t)] [E x*(t) p ] (p-2)/ p [E A(t) p/2 ] 2/ p. (4.6) Prema nejednakosti Dooba za martingale i ocene (4.6) je E ( ) E p [ ], 29

što je desna strana nejednakosti (4.5). Da bismo dokazali levu stranu nejednakosti (4.5), stavimo Tada je E 2 = E y(t) = A(s) (p-2)/4 g(s)db(s). (p-2)/2 2 ds = E Sa druge strane, primenom formule parcijalne integracije je tako da je x(t) A(t) (p-2)/4 = A(s) (p-2)/4 dx(s) + (s)d( A(s) (p-2)/4 ) = y(t) + (s)d( A(s) (p-2)/4 ), (p-2)/4 + d( Iz ove ocene i (4.7), primenom Hӧlderove nejednakosti se dobija (p-2)/2 da(s) = E A(t) p/2. (4.7) (p-2)/4 ) 2x*(t) A(t) (p-2)/4. E A(t) p/2 4E[ x*(t) 2 A(t) (p-2)/2 ] 4[E x*(t) p ] 2/p [E A(t) p/2 ] (p-2)/p, odakle sledi da važi i leva strana nejednakosti (4.5), jer je 1/(2p) p/2 E A(t) p/2 E x*(t) p. 3) Neka je 0 < p < 2. Za proizvoljno 0 definišimo proces i označimo ɳ*(t) = E ɳ(t) = [ɛ+a(s)] (p-2)/4 g(s)db(s) ɳ(s).Tada je Primenom formule parcijalne integracije je 2 = E [ɛ+a(s)] (p-2)/2 da(s) E[ɛ+A(t)] p/2. (4.8) ɳ(t) [ɛ+a(t)] (2-p)/4 = (s)db(s) + (s)d([ɛ+a(s)] (2-p)/4 ) = x(t) + (s)d([ɛ+a(s)] (2-p)/4 ). Odavde je [ɛ+a(t)] (2-p)/4 + d([ɛ+a(s)] (2-p)/4 ) 2ɳ*(t)[ɛ+A(t)] (2-p)/4. Kako ovo važi za svako t 0 i desna strana nejednakosti je neopadajuća, primenom Hӧlderove nejednakosti se dobija E 2 p E[ p [ɛ+a(t)] p(2-p)/4 2 p [E 2 ] p/2 [E[ɛ+A(t)] p/2 ] (2-p)/2. (4.9) Na osnovu nejednakosti Dooba za martingale i (4.8) sledi E 2 4E 2 E[ɛ+A(t)] p/2. Iz ove ocene i (4.9) dobija se ocena E ( ) E[ɛ+A(t)] p/2. Kada ɛ 0, dobija se desna strana nejednakosti (4.5). Da bismo pokazali levu stranu nejednakosti, za svako fiksirano A(t) p/2 = ( A(t) p/2 [ɛ+x*(t)] -p(2-p)/2 ) [ɛ+x*(t)] p(2-p)/2. Primenom Hölderove nejednakosti se dobija stavimo 30

E A(t) p/2 [E(A(t)[ +x*(t)] p-2 )] p/2 (E[ +x*(t)] p ) (2-p)/2. (4.10) Neka je ξ(t) = [ɛ+x*(s)] (p-2)/2 g(s)db(s). Tada je E ξ(t) 2 = E [ɛ+ x*(s)] p-2 da(s) E([ɛ+x*(t)] p-2 A(t)). (4.11) Sa druge strane, primenom formule parcijalne integracije je x(t)[ɛ+x*(t)] (p-2)/2 = ξ(t) + (s)d([ɛ+x*(s)] (p-2)/2 ) = ξ(t) + (s)[ɛ+x*(s)] (p-4)/2 d[ɛ+x*(s)]. Prema tome, ξ(t) x*(t)[ɛ+x*(t)] (p-2)/2 + *(s)[ɛ+x*(s)] (p-4)/2 d[ɛ+x*(s)] [ɛ+x*(t)] p/2 + Ovo zajedno sa (4.11) daje [ɛ+x*(t)] p/2. [ɛ+x*(s)] (p-2)/2 d[ɛ+x*(s)] E([ɛ+x*(t)] p-2 A(t)) ( ) E[ɛ+x*(t)] p. Zamenom ove ocene u (4.10) dobija se E A(t) p/2 ( ) E[ɛ+x*(t)] p. Konačno, kada ɛ 0 dobija se tražena ocena, ( ) E A(t) p/2 E x*(t) p, čime je ova teorema u potpunosti dokazana. 31

3 Stohastičke diferencijalne jednačine Mnoge pojave iz mehanike, fizike, biologije i finansija se matematički modeliraju stohastičkim diferencijalnim jednačinama što ukazuje na njihov značaj. U ovoj glavi uvešćemo osnove teorije stohastičkih diferencijalnih jednačina i izložiti fundamentalne rezultate, koji se odnose na njihovu rešivost. Glavni akcenat je na dokazu teoreme o egzistenciji i jedinstvenosti rešenja stohastičkih diferencijalnih jednačina. 3.1 Motivacija Razmotrimo jednostavan model rasta populacije., t 0, sa početnom vrednošću N(0) N 0, gde je N(t) veličina populacije u vremenskom trenutku t, a r(t) stopa rasta u vremenskom trenutku t. Međutim, u realnosti najčešće r(t) zavisi od nekih slučajnih uticaja iz okoline, tj. r(t) a(t) ξ(t), pri čemu se pretpostavlja da su a(t) i Gaussovog belog šuma. Kako je ξ(t) će biti oblika neslučajne funkcije, a ξ(t) je slučajna funkcija u smislu formalnog izvoda, posmatrana jednačina dn(t) = a(t)n(t)dt + (t)n(t)db(t), t 0, gde je B(t) Brownovo kretanje, a N(t) stohastički proces. Ovo je stohastička diferencijalna jednačina tipa Itôa, a njen integralni oblik je N(t) N 0, t 0. 3.2 Osnovni pojmovi i definicija Neka je (Ω, F, P) kompletan prostor verovatnoća sa filtracijom {Ft} t 0 koja zadovoljava uobičajene uslove, neprekidna je sa desna i F 0 sadrži sve skupove P-mere 0. Neka je B(t) = (B 1 (t),...,b m (t)) T, t 0 m-dimenzionalno Brownovo kretanje definisano na ovom prostoru verovatnoća. Za 0 t 0 < T <, neka je x 0 -merljiva slučajna promenljiva sa vrednostima u R d i nezavisna Brownovog kretanja. Neka su f: R d [t 0,T] R d i g: R d [ ] R date Borel-merljive funkcije. Jednačina dx(t) = f(x(t),t)dt + g(x(t),t) db(t), t 0 t T (2.1) 32