I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 1.. Funkcije više realnih promjenljivih opšta svojstva i predstavljanje 1..1. Pojam funkcije on n realnih promjenljivih Definicija 1..1. Realna funkcija od n (n N) realnih promjenljivih je svako preslikavanje f : X Y, gdje je X R n, Y R. Tačka x X je uređena n torka *) x : = (x 1,..., x n ), (x i R, i = 1, n ), pa je = f (x) = = f ((x 1,..., x n )) = f (x 1, x,..., x n ), pri čemu je Y. Ovo i predstavlja objašnjenje naziva realna funkcija od n realnih promjenljivih. Tom funkcijom preslikavamo proizvoljnu tačku x čije su koordinate x 1,..., x n ( R) u broj f (x 1,..., x n ) ( R) i često pišemo (x 1,..., x n ) a f (x1,..., x n ), ((x 1,..., x n ) X ). Ako je n = 1, preslikavanje f predstavlja realnu funkciju jedne realne promjenljive (mi ćemo, u daljnjem, ako drugačije ne bude naznačeno, pretpostaviti da je n ). Definicija 1... Svako preslikavanje f : X Y ; gdje je X R n, Y R m, pri čemu za x X, f (x) je neka uređena m torka: (ϕ 1(x), ϕ (x)..., ϕ m(x)) Y i ϕ j (x) = ϕ j (x 1,..., x n ) R za j = 1,,..., m, naziva se vektorskom funkcijom od n realnih promjenljivih. Primjer 1..1. Funkcije definirane na realnom Euklidovom prostoru E formulama (x, ) a x, (x, ) a zovemo prva odnosno druga projekcija. Te se funkcije poopštavaju na realni Euklidov prostor E n (= R n ) tako da je i ta projekcija (i = 1,..., n) zadana izrazom (x 1,..., x n ) a x i. Očito da su te funkcije definirane na cijelom skupu R n, a funkcijska vrijednost može biti svaki realni broj. Graf(ik) realne funkcije f : D K od n realnih promjenljivih je skup G( f ) : = {((x 1,..., x n ), f (x 1,..., x n )) (x 1,..., x n ) D} ( D x K) i isti se često označava i sa Γ ( f ), G f i dr. Funkcije dvije ili više promjenljivih mogu biti zadane formulom (analitičkim izrazom), tablično, grafički i dr. Ako je realna funkcija f od n realnih promjenljivih zadana eksplicitnom formulom, onda se (ako drugačije nije potpuno specificirano / naznačeno) pod domenom D( f ) obično podrazumijeva prirodni domen, tj. skup svih tačaka (x 1,..., x n ) R n za koje svaki od izraza u toj formuli ima smisla (uzima realnu / konačnu / i određenu vrijednost) i koji zadovoljava, eventualno, postavljene uslove, a pod kodomenom se uvijek podrazumijeva skup R (ili, ako je u datom slučaju od interesa sirjektivnost funkcije f, pod kodomenom se podrazumijeva skup Im( f ), tj. skup svih vrijednost funkcije f ), osim kada se posebno istakne drugačije. Grafik G( f ) realne funkcije z = f (x, ) dviju realnih promjenljivih x, je skup svih tačaka X (x,, z) R 3 koje zadovoljavaju sljedeće uslove: ( i ) Svaka tačka X (x,, z) tog skupa ima apscisu i ordinatu koje predstavljaju koordinate neke tačke M(x, ) D( f ) i ima aplikatu z = f ( M ); ( ii ) Svaka tačka X (x,, z) R 3 za koju tačka M(x, ) pripada domenu D( f ), a aplikata je jednaka vrijednosti funkcije f u tački M, pripada grafiku funkcije f. Dakle, geometrijski (grafički) se funkcija (x, ) a z = f (x, ) predstavlja (predočuje) s površi u prostoru R 3 (sl. 1..1). No, analogno kao i u slučaju funkcija jedne promjenljive, ne može se ni svaka realna funkcija dviju realnih promjenljivih grafički predstaviti. *) Umjesto f : X Y, često se piše f : D K, ili f : D R ako je K R. Takođe, umjesto x : = (x 1,..., x n ), pišemo X : = (x 1,..., x n ) ili T : = (x 1,..., x n ).
Funkcija z = f (x, ) često se grafički prikazuje i pomoću nomograma ili pomoću nivo linija. Nivo linije ili nivoske linije ili izolinije (izoterme, izobare, ekvipotencijalne linije, ekviskolarne linije i sl.) funkcije f su krive (odnosno, skupovi tačaka) date jednačinama z = f (x, ), z = C (C R). Projekcija nivo linija na ravan Ox su krive date jednačinom *) f (x, ) = C (C R). M Duž svake krive f (x, ) = C 1, f (x, ) = C,..., gdje su C 1, C,... x realne konstante, skalar z ostaje konstantan i mijenja se samo pri Slika 1..1. prelazu tačke (x, ) s jedne krive na drugu. Mjesta gdje se takve uzastopne krive približavaju, pokazuju da se tu funkcija f brže mijenja. Pomoću ovih krivih može se ispitati oblik površi date jednačinom z = f (x, ). Na mjestima gdje su krive guste, površ ima veći pad, a na mjestima gdje su rijetke, površ ima manji pad. Metod(a) reprezentiranja realne funkcije f od dvije realne promjenljive pomoću (projekcija) nivookih linija u ravni(ni) sastoji se u sljedećem: zada se nekoliko realnih brojeva C 1, C,... i nacrtaju krive (u ravni Ox) f (x, ) = C 1, f (x, ) = C,... z z = f (x,) Realna funkcija od tri i više realnih promjenljivih predstavlja se najzgodnije nomogramom. Funkcija u = f (x,, z) može se predstaviti i nivo površima (nivoskim površima, ekviskalarnim površima): u = f (x,, z), u = C ( R). Za razne vrijednosti realnog parametra C dobijemo razne nivo površi, koje predočuju kako se mijenja vrijednost funkcije ako se mijenjaju nezavisne promjenjljive x,, z. Ako su negdje u prostoru nivo površi (numerisane u jednakim razmacima za vrijednosti od u) guste (rijetke), znači da će se tamo vrijednost od u mijenjati naglo (sporo) ako se vrijednosti od x,, z mijenjaju tako kako to odgovara pomjeranju tačke (x,, z) u smjeru normalnom na nivo površ na tom mjestu. Napomenimo da se realna funkcija od tri i više realnih promjenljivih ne može geometrijski predočiti (predstaviti), jer se za n 3 ne može dati odgovarajuća geometrijska interpretacija Euklidovog prostora R n+1, već se u takvim slučajevima odgovarajući problemi analiziraju analitički na osnovu definicije prostora R m. Primjer 1... Odrediti nivo linije (nivo skupove) i nacrtati grafik realne funkcije f dviju realnih promjenljivih zadane formulom f (x, ) = x +. Rješenje: Nivo linije funkcije z = f (x, ) zadane su jednačinama z = f (x, ), z = C ( R). Njihove projekcije na ravan Ox imaju jednačinu f (x, ) = C (C R), odnosno, u posmatranom slučaju te projekcije su zadane izrazom x + = C (C [, + )), jer se za C < dobije prazan skup. **) Kako je x + =, 1,, M za za za M to za C = projekcija nivo skupa na ravan Ox je otvoreni krug zadan izrazom x + < 1; za C = 1 projekcija nivo skupa na ravan Ox je prsten zadan formulom 1 x + < 4, dok za C = projekcija nivo skupa na ravan Ox predstavlja prsten dat izrazom 4 x + < 9, itd. (sl. 1..). *) Ponekad se na ovaj način definira pojam nivo linije. **) Poteškoće koje nastaju u vezi sa definicijom krive, odnosno površi, kao i uslova za funkciju f, pa da izraz f (x, ) = C (odnosno f (x,, z) = C ) definira krivu (odnosno površ), mogu se u definiciji pojmova nivo linija (odnosno nivo površi) izbjeći upotrebom termina nivo skup umjesto nivo linija (odnosno nivo površi) i, dalje, upotrebom termina skup umjesto naziva krivih (odnosno površi). 1 x x x + + + M < 1, <, < 3, X(x,,z) 13
14 Na osnovu toga, zaključujemo da je grafik zadane funkcije amfiteatar sa beskonačno mnogo stepenica (sl. 1..3). z 1 x + = C (C =, 1,,...) 1 3 x Z = x + 1 x Slika 1... Slika 1..3. 1... Neka svojstva realne funkcije više realnih promjenljivih Niz pojmova, definicija i teorema koji se odnosi na realne funkcije jedne realne promjenljive prenose se bez promjene ili sa neznatnom promjenom na realne funkcije više realnih promjenljivih. Ovdje navodimo samo neke od njih: 1) Funkciju f : D K (D R n, K R) (1..1) možemo posmatrati na svakom podskupu E skupa D. ) Kako je skup vrijednosti funkcije date sa (1..1) podskup skupa R, to ostaju očuvani pojmovi: funkcija ograničena odozgo (ili odozdo), funkcija neograničena odozgo (ili odozdo), ograničena funkcija i neograničena funkcija na skupu E ( D). 3) Ostaju očuvani pojmovi veće, manje i jednako u skupu vrijednosti funkcije zadane izrazom (1..1). 4) Pojam složene funkcije uvodi se na sljedeći način : Neka je u 1 : = u 1 (x), u = u (x),..., u m = u m (x) sistem od m funkcija koje su zadane na nekom skupu E x R n i neka je = f (u 1, u,..., u m ) = f (u) funkcija zadana na nekom skupu E u ( R m ). Funkcija F (x) : = f [u 1 (x), u (x),..., u m (x)] naziva se složenom funkcijom sa međuargumentima u 1, u,..., u m koja je definirana na skupu tačaka E * x E x za koje tačka (u 1 (x), u (x),..., u m (x)) pripada skupu E u. 5) Elementarnim funkcijama nazivaju se sve one realne funkcije više realnih promjenljivih koje se mogu dobiti iz osnovnih elementarnih realnih funkcija više realnih promjenljivih konačnom primjenom algebarskih operacija +,,, : i operacije slaganja (kompozicije) funkcija, pri čemu se pod osnovnim elementarnim funkcijama više promjenljivih podrazumijevaju stepene, eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske i inverzne trigonometrijske funkcije (analogno kao i u slučaju realnih funkcija jedne realne promjenljive). Na primjer, funkcija f (x 1, x,..., x n ) posmatrana na skupu tačaka koje pripadaju krivoj (L) zadanoj (parametarski) jednačinama x 1 = x 1 (t ), x = x (t ),..., x n = x n (t ), a koja pripada definicionom području funkcije f, predstavlja složenu funkciju: F(t ) = f (x 1 (t ), x (t ),..., x n (t )) jednog argumenta t. Ako je funkcija F(t ) konstantna na hiperkrivoj (L), onda se ta kriva naziva nivo hiperlinija (ili nivo - linija) funkcije f.
15 Funkcija f može biti posmatrana i na skupu tačaka neke hiperpovrši zadane jednačinom F(x 1, x,..., x n ) = koja pripada definicionom području funkcije f. Ako je funkcija f konstantna na nekoj hiperpovrši, onda se ta površ naziva nivo hiperpovrš (ili nivo - površ) funkcije f. Kao i funkcije jedne promjenljive, tako i funkcije od dvije, tri ili n promjenljivih mogu biti racionalne ili iracionalne, algebarske ili transcendentne, eksplicitne, implicitne, jednoznačne ili višeznačne, parne, neparne (u odnosu na sve neprazne podskupove skupa {x 1,..., x n } argumenata x 1,..., x n funkcije f (x 1,..., x n ) ),... 1.3. Granična vrijednost realne funkcije više realnih promjenljivih 1.3.1. Pojam i osnovna svojstva esa funkcije više promjenljivih Definicija 1.3.1. Okolinom beskonačno daleke tačke naziva se skup svih tačaka x R n d( O R n, x) > r, pri čemu je r proizvoljan broj iz R +. za koje je Kako su R i R n metrički prostori u kojima je definiran pojam okoline tačke kao i pojam konvergencije, to se pojam granične vrijednosti za realnu funkciju više realnih promjenljivih može definirati po Cauchju ili Heineu. Dokazuje se (analogno kao i za ese realnih funkcija jedne realne promjenljive) da su ove dvije definicije ekvivalentne: Definicija 1.3.. (Po Cauchju). Neka je D R n i tačka x = (x 1, x,..., x n ) R n tačka gomilanja skupa D koja mu može, a ne mora pripadati. Neka je funkcija f zadana izrazom (1..1). Kažemo da funkcija f u tački x ima graničnu vrijednost (es) jednaku B R ako za svaku okolinu V(B) tačke B postoji okolina U(x ) tačke x takva da vrijednost funkcije f pripada okolini V(B) za svaku vrijednost argumenta x U(x ), tj. za svaki x D ( U(x )\{x }) (= U o D (x)). Definicija 1.3.3. (Po Heineu). Kažemo da funkcija f zadana izrazom (1..1) ima graničnu vrijednost jednaku B ( R ) u tački x ( R n ) ako za proizvoljan niz (x n ), x n D za n N, x n x (x je tačka gomilanja skupa D koja mu može a ne mora pripadati) x n x za n, odgovarajući niz ( f (x n )) ima graničnu vrijednost B. U svakoj od definicija 1.3. i 1.3.3. kratko pišemo B = f (x) ili B = f (x1, x,..., x n ). x x Primijetimo da u datim definicijama esa funkcije f tačka x može biti i beskonačno daleka tačka u R n, a B može biti iz proširenog skupa R realnih brojeva. Napomenimo da se često za okolinu pomenute tačke x R n, umjesto kugline okoline, uzima okolina koju čini n dimenzionalni paralelopiped (kvadar) ili n dimenzionalna kocka sa centrom u x. Sve teoreme o graničnim vrijednostima koje važe za funkcije jedne realne promjenljive (njihovi analogoni) važe i za realne funkcije više realnih promjenljivih (jasno, o pojmovima i svojstvima koja imaju smisla za funkcije više promjenljivih). Na primjer, vrijede: teorema o jedinstvenosti granične vrijednosti, teorema o graničnoj vrijednosti složene funkcije, teoreme o nejednakostima za ese, teoreme o algebarskim operacijama sa graničnim vrijednostima, Cauchjev kriterij koji predstavlja potreban i dovoljan uslov postojanja granične vrijednosti. x1 x1 x x M x n x n
1.3.. Uzastopni esi 16 U dijelu 1.3.1. uveli smo pojam esa funkcije kad argument x = (x 1,..., x n ) teži ka x = (x 1,..., x n ). Drugim riječima, razmatrali smo ponašanje funkcije kad sve koordiante x 1,..., x n vektorskog argumenta x teže istovremeno ka odgovarajućim koordinatama x 1,..., x n tačke x. No, pojavljuje se potreba da se ispita ponašanje funkcija u slučaju kad najprije pustimo da jedna od koordinata teži ka nekoj fiksiranoj vrijednosti, a ostale koordinate se smatraju nepromijenjenim; zatim puštamo da neka druga koordinata teži ka nekoj (obično drugoj) fiksiranoj vrijednosti itd. Ako poslije svega dobijemo neku fiksiranu vrijednost nazivamo je uzastopnim (ili sukcesivnim) esom. Limes, odnosno granična vrijednost u prijašnjem smislu ponekad se zove n esom (ili n terostrukim esom ili simultanim esom). Kad je n =, 3,... kaže se dvojni (ili dvostruki), trojni (ili trostruki) itd. es. Mi ćemo es u ovom smislu u kojem je bio najprije definiran, zvati prosto esom ili graničnom vrijednošću, a es koji sada posmatramo uzastopnim esom. Uzastopni es ispitivaćemo detaljnije u slučaju n =, tj. kad imamo slučajeve funkcija koje zavise od dvije nezavisne (skalarne) promjenljive. U slučaju proizvoljnog n ( N) postupak je sličan, ali uz nešto glomaznije označavanje. Kad funkcija zavisi od dvije nezavisne promjenljive, onda se te promjenljive često označavaju sa x i (umjesto x 1 i x ). Neka je, dakle, (x, ) R, tj. neka je (x, ) neka tačka u x ravni. Označimo sa Q pravougaonik u R (tj. dvodimenzionalni kvadar) definiran izrazom Q = {(x, ) R : x < x < x + a, < < + b}, gdje su a, b > neke pozitivne realne konstante (sl. 1.3.1). Neka je na Q definirana skalarna funkcija f (x, ). Ako uzmemo po volji (, + b) i držimo ga fiksiranim, a +b puštamo da se x mijenja u intervalu (x, x + a), onda je f (x, ) funkcija jednog argumenta x (definirana na (x, x + a)). Uzimajući razne (, + b) dobijemo, uopšte uzev, razne M = (x, ) funkcije argumenta x. Možemo se, prema tome, pitati da li postoji f (x, ). x x +a x Pretpostavimo da za svaki (, + b) postoji i da je Sl. 1.3.1. konačan f (x, ). Jasno je da ovaj es zavisi od toga koji smo (, + b) uzeli. Znači, taj es je neka funkcija od. Označimo je sa ϕ ( ): ϕ ( ) def. = f (x, ), (, + b). Funkcija ϕ ( ) je definirana na (, + b) pa se možemo pitati da li postoji ϕ ( ). Ako ovaj posljednji es postoji, nazivamo ga uzastopnim esom i označavamo izrazom ( f (x, )) ili f (x, ) (: = L1, ). Naravno, mi možemo u prethodnom razmatranju zamijeniti uloge x i. Možemo, naime, najprije x (x, x + a) držati fiksiranim i posmatrati ψ (x) = f (x, ). Ako ovaj es postoji i ako je konačan za sve x (x, x + a), onda možemo tražiti ψ (x). U slučaju da taj es postoji, dobijemo novi uzastopni es x x ( f (x, )) ili f (x, ) (: = L, 1). x x Odmah se postavlja pitanje odnosa ova dva uzastopna esa L 1, i L, 1, i njihovog odnosa sa esom L : = f (x, ) u običnom smislu, ako ovaj posljednji es postoji. U vezi sa ovim ( x, ) ( x, ) dokazaćemo sljedeću teoremu. x x
17 Teorema 1.3.1. Neka je na pravougaoniku Q definirana funkcija f (x, ) i neka su zadovoljeni sljedeći uslovi : ( i ) postoji granična (konačna ili beskonačna) vrijednost x L : = f (x, ) = f ( x, ) ; (1.3.1) (, ) ( x, ) ( ii ) za svaki (, + b) postoji konačan es ( po x) ϕ ( ) = f (x, ). (1.3.) Tada postoji i ϕ ( ), tj. postoji uzastopni es f (x, ) i vrijedi L = ϕ ( ) (= f (x, ) ). x x Dokaz: Neka je, npr., L konačan broj. Po pretpostavci f (x, ) L, (x, ) (x, ). Zbog toga za svaki ε > postoji δ = δ (ε ) > takav da za sve (x, ) Q, za koje je x x < δ, < δ, vrijedi f (x, ) L < ε. Smanjujući δ, ako je potrebno, možemo smatrati, i smatraćemo da je δ < a, δ < b. U tom slučaju možemo reći da vrijedi f (x, ) L < ε čim je x (x, x + δ ), (, + δ ). (1.3.3.) Uzmimo po volji (, + δ ) i fiksirajmo ga, a pustimo x da teži ka x (x (x, x + δ )). Tada, na osnovu pretpostavke ( ii ) lijeva strana u (1.3.3) teži ka ϕ ( ) L. Na taj način dobijemo da vrijedi ϕ ( ) L ε < ε, (, + δ ). (1.3.4) Dakle, za svaki ε > postoji δ = δ (ε ) > takav da vrijedi (1.3.4), pa možemo pisati da ϕ ( ) L, kad (ustvari ovdje ). Ovim je tvrdnja u slučaju konačnog L dokazana. Neka je sada L beskonačan, npr. L = +. Tada za svaki E >, zbog f (x, ) + kad (x, ) (x, ), postoji δ = δ (E ) > tako da je f (x, ) > E + 1 čim je x x < δ, < δ i (x, ) Q. Kao i u prethodnom razmatranju, možemo smatrati da je δ < a, δ < b, pa imamo f (x, ) > E + 1 za sve x (x, x + δ ), (, + δ ). (1.3.5) Ako u (1.3.5) smatramo (, + δ ) čvrstim, a putimo da x x dobijemo (po pretpostavci ( ii )), ϕ ( ) E + 1 > E. Znači, za svaki E > postoji δ = δ (E ) > takav da je ϕ ( ) > E čim je (, + δ ). Ovo znači da ϕ ( ) +, (zapravo ) i teorema 1.3.1. je dokazana. Da smo umjesto pretpostavke ( ii ) u teoremi 1.3.1. uzeli pretpostavku ( ii )' za svaki x ( x, x + a) postoji konačan es ψ (x) = f (x, ), dobili bi, na sličan način, da vrijedi L = teoremi 1.3.1. takođe zadovoljen. f (x, ). Pretpostavlja se, naravno, da je uslov ( i ) u Ako su pored uslova ( i ) zadovoljena oba uslova ( ii ) i ( ii )', onda dobijemo f (x, ) = f (x, ) = f (x, ), tj. L = L1, = L, 1. ( x, ) ( x, ) Mi smo u teoremi 1.3.1. razmatrali, ustvari, samo desne ese po x i. Jasno je da sve ostaje da vrijedi i u osta slučajevima. Zapravo, lako se vidi da teorema 1.3.1. ostaje da važi i kada se funkcija f (x, ) definirana na pravougaoniku Q zamijeni funkcijom f : D K, pri čemu je D R, (K, ρ) metrički prostor *), (x, ) R tačka gomilanja skupa D, s tim da se uslov ( ii ) zamijeni uslovom: postoji okolina V( ) tačke takva da za svaki V( ) postoji f (x, ) = ϕ ( ). Zaista, iz ( x, ) ( x, ) f (x, ) = L slijedi da za svaki ε > postoji takav δ > da < x x < δ, < < δ *) Pri tome treba voditi računa da u proizvoljnom metričkom prostoru ne mora da postoji relacija poretka, pa se u opštem slučaju ne definira pojam beskonačnosti (u takvim prostorima). To znači da se u takvim prostorima ne razmatraju beskonačne granične vrijednosti, a ni pojmovi monotone funkcije (i specijalno, monotonog niza), jer ti pojmovi u takvim prostorima nemaju smisla. x x
18 povlači ρ ( f (x, ), L) < ε. Fiksirajmo neki takav i pretpostavimo pri tome da je δ dovoljno mali broj da je ujedno i V( ). Prelazom na es x x u ρ ( f (x, ), L) < ε i koristeći neprekidnost metričke funkcije ρ dobijemo ρ (ϕ ( ), L ) ε, što znači i da je ϕ ( ) = L. Primjeri 1.3.1. a) Neka je f funkcija iz R u R definirana formulom f (x, ) : = x x +. Tada je njen prirodni domen D( f ) zadan izrazom D( f ) : = R \{(, )}. Iz f (, ) = f (x, ) za (x, ) (, ) slijedi f (x, ) = i f (x, ) =. Međutim, iz x x f (x, ) = x = kx = x x (1 + k ) 1+ k k slijedi da dvojni es L : = od načina približavanja tačke (x, ) ka (, )). *) x = kx f (x, ) ne postoji (jer zavisi od k, odnosno b) Za realnu funkciju f dviju realnih promjenljivih koja je definirana formulom f (x, ) = 4 4 x = je f (x, ) = 1, f (x, ) = 1, tj. uzastopni esi postoje ali su različiti, pa ne 4 4 x + x x može postojati dvojni es f (x, ). ( x, ) (,) c) Neka je funkcija f : {(x, ) R } R definirana izrazom f (x, ) = + x sin 1. Tada je f (x, ) =, jer vrijedi f (x, ) + x sin ( x, ) (,) 1 x + za D( f ) (x, ) (, ). Međutim, ne postoji uzastopni es f (x, ) jer ne postoji već f (x, ) ( = x 1 ( + x sin )) za x. Otuda slijedi da postojanje pravog (tj. dvojnog) esa ne obezbjeđuje postojanje i jednakost uzastopnih esa. (Veza između uzastopnih i f (x, ) ( x, ) ( x, ) dvojnih esa funkcija više promjenljivih iskazana je teoremom 1.3.1. i njenom posljedicom prema kojoj ako postoje uzastopni esi L1, i L, 1 i dvojni es L funkcije f u nekoj tački gomilanja njenog domena, onda je L = L 1, = L, 1.) 1.4. Neprekidnost realne funkcije više realnih promjenljivih Definicija 1.4.1. Za funkciju f : D R (D R n ) (1.4.1) kažemo da je neprekidna u tački x D ako je a) tačka x tačka gomilanja skupa D i ispunjen je jedan od sljedeća četiri ekvivalentna uslova **) : 1) f (x) = f (x); ) Za svaki ε > postoji broj δ = δ (ε) > takav ad je f (x) f (x ) < ε za sve vrijednosti argumenta x za koje je d (x, x ) < δ (d metrička funkcija u Euklidovom prostoru R n ); x *) Da ne postoji dvojni es možemo zaključiti i primjenom Heineove definicije esa. Naime, ( x, ) (,) x + 1 dovoljno je posmatrati nizove 1 1, i n 1, koji konvergiraju ka tački (, ) a nizovi vrijednosti n n f, i n 1 1 f, ne konvergiraju ka istoj vrijednosti. n n **) Ekvivalentnost ovih uslova provjerava se analogno kao i u slučaju neprekidnosti realnih funkcija jedne realne promjenljive.
19 3) Za proizvoljan niz (x n ), x n D za svaki n N, koji konvergira ka tački x odgovarajući niz ( f (x n )) vrijednosti funkcije f konvergira ka f (x ) za n ; 4) Za svaki ε > postoji broj δ = δ (ε) > takav da je f (K(x, δ )) ( f (x ) ε, f (x ) +ε ), ili b) tačka x je izolovana tačka skupa D (domena od f ). Analogno, ako i u slučaju realne funkcije jedne realne promjenljive, lako se vidi da je definiciji 1.4.1 ekvivalentna sljedeća definicija pojma neprekidnosti realne funkcije više realnih promjenljivih: Definicija 1.4.1.' Neka je f : D K realna funkcija od n realnih promjenljivih. Za funkciju f kažemo da je neprekidna u tački x D ako za svaku okolinu V tačke f (x ) postoji okolina U tačke x takva da je f (U ) V, tj. ako za svaki ε > postoji takav δ > da je f (x) f (x ) < ε (*) za svaki x D za koji je *) d (x, x ) < δ, gdje je d euklidska metrika u R n. Napomenimo da se definicija 1.4.1.' pojma neprekidnsoti realne funkcije od n realnih promjenljivih proširuje **) i na pojam neprekidnosti proizvoljne funkcije f : D K, (D X, K Y ), pri čemu su (X, d ) i (Y, ρ) proizvoljno zadani metrički prostori. Definicija 1.4.. Za funkciju f zadanu izrazom (1.4.1) kažemo da je neprekidna na skupu E( D) ako je neprekidna u svakoj tački tog skupa. Teoreme o neprekidnim funkcijama jedne promjenljive prenose se i na funkcije više realnih promjenljivih, kao na primjer teorema o operacijama nad neprekidnim funkcijama, teorema o neprekidnosti složene funkcije, teoreme kojima su data lokalna svojstva neprekidnih funkcija itd. Takođe vrijedi i svojstvo da je svaka elementarna funkcija više realnih promjenljivih neprekidna gdje je i definirana. Z funkcije od n argumenata tačke prekida mogu imati različita svojstva, pa se pitanjem klasifikacije tačaka prekida nećemo ni baviti jer skup tačaka prekida može imati različitu strukturu. Tako, na primjer, tačke prekida mogu obrazovati linije ili površi, pa se nazivaju linijama ili površima prekida. Međutim, pojam tačke otklonjivog prekida i princip produženja po neprekidnsoti prenosi se sa funkcija jedne promjenljive na funkcije više promjenljivih. Pa neka je tačka x funkcije f zadane izrazom (1.4.1) tačka gomilanja. Tada se tačka x naziva singularnom tačkom funkcije f ako x D. Imamo sljedeću klasifikaciju singularnih tačaka: 1) Ako postoji konačan f (x), onda se tačka x naziva singularnom tačkom funkcije f koja se može otkloniti. ) Ako je f (x) = + (ili ), onda se tačka x naziva polom funkcije f. 3) Ako granična vrijednost funkcije f u tački x ne postoji, onda se singularna tačka x naziva esencijalnim singularitetom funkcije f. Ako je x singularna tačka funkcije f koja se može otkloniti, onda, analogno kao i u slučaju tačke prekida koja se može otloniti, postoji funkcija g : D { x } R koja je neprekidna u tački x a definirana je formulom: f ( x), x D, g(x) = f ( x), x = x. Za skup E R n kažemo da je povezan (koneksan) ako proizvoljne dvije njegove tačke možemo spojiti linijom koja se cijela sadrži u skupu E. *) Umjesto za svaki x D za koji je d (x, x ) < δ, gdje je d euklidska metrika u R n može se, ekvivalentno, iskazati za svaki x : = (x 1,..., x n ) D za koji je x i x i < δ za i = 1,..., n, gdje je x : = (x 1,..., x n )( D). **) S tim, da, jasno, u nejednakosti (*) umjesto izraza f (x) f (x ) imamo izraz ρ ( f (x), f (x )).
Definicija 1.4.3. Za skup E R n kažemo da je otvorena oblast (ili, kraće, oblast) ako je E otvoren povezan skup. Za skup E kažemo da je zatvorena oblast ako je E zatvoren povezan skup u (Euklidovom prostoru) R n. Važe sljedeće teoreme o globalnim svojstvima neprekidnih funkcija koje navodimo bez dokaza, jer se dokazuju analogno kao i za realne funkcije jedne realne promjenljive. Teorema 1.4.1. (Prva Weierstrassova teorema). Ako je funkcija f : D R, D R n. (1.4.) neprekidna na zatvorenoj ograničenoj oblasti E ( D), onda je ona ograničena na toj oblasti. Teorema 1.4.. (Druga Weierstrassova teorema). Ako je funkcija f, zadana izrazom (1.4.) neprekidna na zatvorenoj ograničenoj oblasti E ( D), onda postoji najmanje jedan par tačaka ξ,η E takvih da je f (ξ ) = sup { f (x)} i f (η ) = inf { f (x)}. x E Napomenimo da se može govoriti o neprekidnosti realne funkcije više realnih promjenljivih i samo po jednom broju njenih argumenata, tj. ako je ona neprekidna kao funkcija jednog broja argumenata za svaki dozvoljeni zadan skup vrijednosti njenih argumenata, tj. pri fiksiranim osta promjenljivim. Specijalno, za funkciju f : D K (D R n, K R) se kaže da je neprekidna po promjenljivoj x i u tački x = (x 1,..., x n ) D ako je ona neprekidna u tački x i, shvaćena kao funkcija od x i pri fiksiranim osta promjenljivim x j = x j, j i. Lako se vidi, međutim, da funcija f može biti neprekidna po svakoj od promjenljivih ponaosob, ali da pri tom ne bude neprekidna u smislu definicije x 1.4.1. Naime, funkcija f : R, ( x, ) (,), R definirana formulom f (x, ) = x +, ( x, ) = (,) je očito neprekidna i po promjenljivoj x i po promjenljivoj u tački (, ) budući da je f (x, ) = = f (, ) = f (, ), ali nije neprekidna u (, ) jer ne postoji f (x, ) (v. primjer 1.3.1.a)) x E ( x, ) (,) Definicija 1.4.4. Za funkciju f zadanu izrazom (1.4.) kažemo ad je ravnomjerno (ili uniformno) neprekidna na oblasti E( D) ako za svaki ε > postoji broj δ = δ (ε ) > takav da je f (x) f ( ) < δ za sve x, E za koje je d (x, ) < δ, gdje je d euklidska metrika u R n. Važi sljedeća teorema koju navodimo bez dokaza, jer se dokazuje analogno kao i za funkcije jednog argumenta. Teorema 1.4.3. (Cantorov stav o ravnomjernoj neprekidnsoti funkcija više promjenljivih). Ako je funkcija f koja je zadana izrazom (1.4.) neprekidna na zatvorenoj ograničenoj oblasti E ( D), onda je ona ravnomjerno neprekidna na toj oblasti. Teorema 1.4.4. (Stav o međuvrijednosti funkcija više promjenljivih). Ako je funkcija f koja je zadana izrazom (1.4.) neprekidna na otvorenoj ili zatvorenoj oblasti E( D) i ako su a i b proizvoljni elementi skupa vrijednosti Im( f ), onda za proizvoljnu tačku c između a i b postoji bar jedna tačka ξ E takva da je f (ξ ) = c. x Napomenimo da teoreme 1.4.1. 1.4.3. vrijede i ako se izostavi svojstvo povezanosti skupa E, tj. ako je E zatvoren i ograničen skup u Euklidovom prostoru R n (ne nužno i povezan). Primjer 1.4.1. Ispitati ravnomjernu neprekidnost funkcije f iz R R zadane formulom f (x, ) = x x + arc cosec ( x + -4x-6). Rješenje: Prirodni domen D( f ) funkcije f zadan je izrazom D( f ) = {(x, ) R : x x x + 4x 6 1} = = {(x, ) R : (x 1) + ( + 1) }, u 1 x 1 D( f ) Sl. 1.4.1.
tj. D( f ) je zatvoreni krug u ravni Ox sa centrom u tački (1, 1) radijusa (sl. 1.4.1). 1 Budući da je D( f ) zatvorena i ograničena oblast i da je funkcija f neprekidna na toj oblasti (jer je f (x, ) = f (x ( x, ) ( x,, ) za svaki x : = (x, ) D( f ); neprekidnost funkcije slijedi i iz očite činjenice ) da je f elementarna funkcija pa je ona neprekidna gdje je i definirana), zaključujemo da je zadana funkcija f i ravnomjerno neprekidna na toj oblasti.