Predikatska logika - III deo Jelena Ignjatović
Termi i formule Matematički izrazi i formule Matematičke izraze i formule gradimo od raznorodnih elemenata. Osnovni elementi matematičkih izraza i formula su: Konstante su oznake za pojedinačne objekte. To mogu biti znaci nekih polaznih simbola, kao što je broj 0 ili 1, elementi, i sl. Promenljive su zajednička imena za objekte iste vrste. Označavamo ih simbolima x, y,...,x, Y,... (mala i velika slova, ponekad sa indeksima). Osim konstanti i promenljivih, razlikujemo i znake kojima označavamo razne operacije i ti znaci se nazivaju funkcijski znaci. Arnost funkcijskog znaka Operacije iste vrste na različitim skupovima označavaju se istim funkcijskim simbolom, pri čemu je veoma važno da se odredenim funkcijskim znakom uvek označavaju operacije iste dužine (arnosti). Svakom funkcijskom znaku unapred zadajemo njegovu arnost ili dužinu i tim simbolom označavamo samo operacije te dužine. Na primer, znak+se obično koristi za označavanje binarnih operacija (operacija dužine 2), tj.+ se koristi kao binarni funkcijski znak.
Termi i formule Term Koristeći konstante, promenljive i funkcijske znake, i poštujući izvesna unapred zadata pravila, možemo formirati izraze koje nazivamo termi. Na primer, term je izraz Šta je šta u ovom termu? Šta su konstante? Konstanta je 5. x 2 + y 2 5. Šta su promenljive? Promenljive su x i y. Koji se operacijski znaci javljaju u ovom termu? + - binarni operacijski znak - binarni operacijski znak 2 - unarni operacijski znak Napomena Term predstavlja formalni izraz koji nema realno značenje sve dok mu ne damo neku konkretnu interpretaciju. To činimo tako što uzmemo neki konkretan skup A sa konkretnim operacijama na njemu.
Termi i formule Primer A skup celih brojeva. Znake konstanti interpretiramo kao neke fiksirane elemente iz A. (konstantu 5 bi smo interpretirali kao broj 5). Promenljive interpretiramo kao proizvoljne elemente skupa A, tako bi x i y mogli da budu bilo koji celi brojevi. Funkcijske znake interpretiramo kao konkretne operacije na A odredene arnosti. + može biti sabiranje a oduzimanje celih brojeva, a 2 može da bude unarna operacija na kvadrat. Dakle, u termu x 2 + y 2 5 smo svim elementima dali konkretnu interpretaciju, čime taj term zapravo odreduje još jednu binarnu operaciju naz. Ako promenljive x i y uzmu neke konkretne vrednosti, recimo 2 i 3, tada term dobija vrednost 2 2 + 3 2 5, što je jednako 8, a to znači da se pri pomenutoj operaciji par (2, 3) slika u broj 8.
Termi i formule Suma sumarum Term može postati nešto konkretno samo ako konstante i promenljive koje se javljaju u njemu postanu neki konkretni elementi nekog skupa A, a operacijski znaci u njemu postanu neke konkretne operacije (naravno, odgovarajuće dužine) na skupu A. U tom slučaju term može da postane samo jedan konkretan element iz skupa A. Iz svega zaključujemo da su termi takvi izrazi za koje nema smisla govoriti o tome da li su istiniti ili ne, kako god ih interpretirali. U svakoj interpretaciji oni mogu da postanu samo izvesne vrednosti iz nekog skupa. Primedba Postoje, kao što smo videli, izrazi za koje u datoj interpretaciji možemo da govorimo o tome da li su istiniti ili ne. Na primer, izraz x 2 + y 2 5>0, u nekim interpretacijama jeste, a u nekim nije istinit, ali se u svakoj interpretaciji može govoriti o njegovoj istinitosti ili neistinitosti. To je zato što ovaj izraz, pored napred navedenih elemenata, sadrži i relacijski znak >, koji mu daje ovu osobinu. Pitanje Kako gradimo matematičke izraze koji imaju osobinu da se može govoriti o njihovoj istinitosti ili neistinitosti u odredenim interpretacijama?
Termi i formule Načini Postoji tri načina: Prvi način - upotrebom relacijskih znaka; Drugi način - upotrebom logičkih veznika; Trći način - upotrebom kvantifikatora. Formalne definicije Da bi smo formalno i precizno definisali pojmove terma i formule u predikatskoj logici, najpre moramo precizno da definišemo jezik, tj. skup simbola od kojih polazimo pri izgradnji terma i formula. Polazni simboli su: pomoćni znaci: zagrade ( i ), zarez, logički veznici:,,,,, kvantifikatori:, promenljive: x 1, x 2, x 3,... znaci konstanti: a 1, a 2, a 3,... funkcijski znaci: f 1 1, f 1 2,..., f 2 1,..., f j i,... relacijski znaci: R 1 1, R1 2,..., R2 1,..., Rj i,...
Termi i formule Objašnjenje U funkcijskom znaku f j i, odnosno relacijskom znaku Rj, gornji indeks označava arnost i (dužinu, broj argumenata) tog znaka, a donji služi za razlikovanje znakova iste dužine, kada radimo sa više takvih znakova. Primer U strogom zasnivanju strukture prirodnih brojeva, sa operacijama sabiranja i množenja i uobičajenom relacijom poretka, imamo sledeće: Simbol konstante je samo broj 1, Operacijski znaci su f 2 1 i f 2, i označavaju se redom sa+(plus) i (puta), 2 Relacijski znaci su R 2 1 i R2, a njihove uobičajene oznake su redom=i. 2 Dakle, ovde uzimamo da je jedina konstanta 1, dok ostale prirodne brojeve dobijamo na sledeći način: 2 def = 1+1, 3 def = 2+1, 4 def = 3+1,... U manje formalnom (ali češćem) izlaganju, konstantom se smatra oznaka svakog prirodnog broja. Isto važi i za druge strukture brojeva, pa ćemo to prihvatiti.
Termi i formule Definicija terma (i) Promenljive i znaci konstanti su termi. (ii) Ako je f n m funkcijski znak, a t 1,..., t n su termi, onda je term i izraz f n m(t 1,...,t n ). (iii) Termi su oni i samo oni izrazi koji se mogu formirati konačnim brojem primena pravila (i) i (ii). Primeri terma f 1 1 (x 1), f 3 1 (x 1, x 2, f 1 1 (x 2)), f 2 2 (x 1, f 2 1 (x 2, a 1 )) Na primer, term f 2 2 (x 1, f 2 1 (x 2, a 1 )) može da se beleži sa x(y+1). Atomične formule Kada se termi povežu odgovarajućim relacijskim znakom, dobijaju se najjednostavnije formule koje nazivamo atomarnim formulama ili atomičnim formulama.
Termi i formule Primeri: (a) Atomične formule su, na primer R 3 1 (f1 1 (x 2), x 1, f 2 1 (x 2, x 3 )), R 2 2 (a 1, f 1 1 (x 2)), R 1 1 (f3 1 (x 1, x 1, x 2 )). U jeziku teorije skupova jedna atomična formula je X Y Z, a u strukturi prirodnih brojeva je to na primer x y+z. Prema dogovorima o označavanju, obe ove formule su uobičajeni zapisi, u odgovarajućem jeziku, jedne iste formule R 2 1 (x 1, f 2 1 (x 2, x 3 )) (b) U jeziku algebarskih struktura obično postoji relacijski znak dužine 2, koji se označava sa=iinterpretira se kao jednakost. Atomična formula t 1 = t 2, gde su t 1 i t 2 termi naziva se identitet ili algebarski zakon. Identiteti su, na primer, x+y=y+x i x(y+z)=xy+xz (za brojeve), kao i A (B A)= A (za skupove) i sl. Predikatske formule - drugi pristup (i) Svaka atomična formula je predikatska formula. (ii) Ako su F i G predikatske formule, a x je promenljiva, onda su i sledeći izrazi predikatske formule:
Predikatske formul Predikatske formule - drugi pristup (ii) F, (F G ), (F G ), (F G ), (F G ), (( x)f ), (( x)f ). (iii) Prediktske formule su oni i samo oni izrazi koji se mogu formirati konačnim brojem primena pravila (i) i (ii). Domen interpretacije Termi i formule dobijaju konkretan smisao tek kada se interpretiraju u nekoj matematičkoj strukturi. Svaka interpretacija formule ili grupe formula vezuje se za neku operacijsko-relacijsku strukturu. Pod tim pojmom podrazumevamo neki neprazan skup, označimo ga sa D, koji nazivamo domen interpretacije, zajedno sa nekim sistemom relacija i operacija raznih dužina definisanih na njemu. Te relacije i operacije neophodne su za interpretaciju relacijskih i funkcijskih simbola koji se javljaju u tim formulama, dok se konstante interpretiraju kao neki fiksirani elementi domena D. Promenljive koje se javljaju u tim formulama će uzimati vrednosti u skupu D.
Interpretacija Interpretacija Sada se interpretacija formule ili skupa formula definiše kao uredeni par D= (D,φ), gde je D domen interpretacije, aφje pridruživanje izvršeno na sledeći način: Uoče se svi znaci konstanti, funkcijski i relacijski simboli koji učestvuju u izgradnji tih formula, i onda (a) svakom znaku konstanti se pridruži neki fiksirani element iz D (interpretacija konstanti); (b) svakom funkcijskom simbolu dužine n se pridruži neka n-arna operacija na D, tj. funkcija iz D n u D (interpretacija funkcijskih simbola); (c) svakom relacijskom znaku dužine n se pridruži neka n-arna relacija na D, odnosno podskup iz D n (interpretacija relacijskih simbola). Kada se formula interpretira, onda ona postaje rečenica kojom se nešto tvrdi o elemetima domena interpretacije. Primer Neka su date formule R 2 1 (f2 1 (x 1, x 2 ), a 2 ) ( x 2 )R 2 2 (f2 1 (x 1, x 2 ), a 2 ) ( x 1 )(R 2 1 (x 1, a 1 ) ( x 2 )(R 2 1 (f2 1 (x 1, x 2 ), a 1 ))) i neka je domen interpretacije skup realnih brojevar.
Interpretacija Primer Konstantama a 1 i a 2 pridružimo redom brojeve 0 i 1, funkcijskom simbolu f 2 1 dužine 2 operaciju množenja, a relacijskim simbolima R2 1 i R2 2 dužine 2 redom relaciju manje,<, i relaciju jednakosti,=. Interpretaciju gornjih formula tako čini skup R i navedeno pridruživanje, tj. uredeni par D= (R,φ), gde je ( a1 a φ= 2 f 2 R 2 R 2 ) 1 1 2. 0 1 < = Gornje formule u ovoj interpretaciji postaju redom rečenice proizvod brojeva x 1 i x 2 je manji je od 1, tj. x 1 x 2 < 1 postoji broj x 2 tako da je x 1 x 2 = 1, za svaki broj x 1 manji od 0 postoji broj x 2 takav da je x 1 x 2 < 0. Primedba Kako je već rečeno, polazni simboli mogu i sami upućivati na interpretaciju. Tako se formule iz poslednjeg primera obično formulišu redom na sledeći način: x y<1, ( y)(x y=1), ( x)(x<0 ( y)(x y<0)). Sve što je rečeno o interpretiranju odnosi se i na ovako zapisane formule.
Interpretacija Napomena Uočimo da se ovde oznake polaznih simbola poklapaju sa oznakama matematičkih objekata iz domena, skupar: konstantnim simbolima 0 i 1 odgovaraju u interpretaciji brojevi 0 i 1; funkcijskom simbolu označenom tačkom odgovara isto označena operacija množenja; relacijskim simbolima < i = pridružuju se relacije manje i jednako, koje se označavaju na isti način. Zato se najčešće rečenica koja u interpretaciji odgovara ovako zapisanoj formuli identifikuje sa samom formulom. Formula u interpretaciji može biti tačna ili netačna rečenica. To zavisi od vrednosti koje njeni termi imaju u toj interpretaciji. A vrednosti terma se izračunavaju pomoću elemenata koji zamenjuju promenljive. Valuacija u datoj interpretaciji D = (D, φ) Niz v=(c 1, c 2, c 3,...) elemenata iz D zove se valuacija domena D. Kao i u iskaznoj logici, svrha valuacije je da pridruži odredene vrednosti promenljivama koje se javljaju u formuli, tako da promenljivoj x i treba da bude pridružena vrednost c i, gde je i N.
Interpretacija Valuacija u datoj interpretaciji D = (D, φ) Valuacija je preslikavanje koje skup svih promenljivih{x 1, x 2,...,x n,...} slika u domen interpretacije D, tako da proizvoljnoj promenljivoj x i dodeljuje vrednost v(x i )=c i D. Budući da u konačnom skupu formula učestvuje konačno mnogo promenljivih x 1,...,x n, valuacija može biti i konačan niz, uredena n-torka v=(c 1,...,c n ) elemenata iz D. Vrednost terma t u valuaciji v, u oznaci t v, (i) Ako je t promenljiva x i, onda je t v = c i. (ii) Ako je t simbol konstante a i, onda je t v element koji je u datoj interpretaciji dodeljen simbolu a i (interpretacija tog znaka konstante). (iii) Ako je t=f(t 1,...,t n ), gde je f operacijski znak dužine n, a t 1,...,t n su termi, onda je t v = f D ((t 1 ) v,...,(t n ) v ), gde je f D operacija na skupu D kojom je interpretiran funkcijski simbol f.
Interpretacija Primeri: a) Neka je dat term f(a, g(x, y)) i interpretacija D = (R, φ), gde je R skup realnih brojeva, ( ) a f g φ=. 5 + Jasno, u ovoj interpretaciji ovaj term postaje 5 + x y. Neka je data i valuacija v = (2, 3). Tada vrednost gornjeg terma za ovu valuaciju iznosi 5+2 3, dakle broj 11. b) Term x 2 +3y 3 5 u uobičajenoj interpretaciji u skupur, za valuaciju (1, 2) ima vrednost 1 2 + 3 2 3 5=20. Tačnost formule u valuaciji v iz domena interpretacije. (1) Neka je F = R(t 1,...,t n ) atomična formula i neka jeρn-arna relacija koja u datoj interpretaciji odgovara relacijskom simbolu R. Tada je formula F tačna u valuaciju v ako i samo ako su vrednosti terma t 1,...,t n za valuaciju v, tim redom, u relacijiρ, tj. važi ρ((t 1 ) v,...,(t n ) v ) ili ((t 1 ) v,...,(t n ) v ) ρ. (2) F je tačna u valuaciji v ako i samo ako F nije tačna u v.
Interpretacija Tačnost formule u valuaciji v iz domena interpretacije. (3) F G je tačna u valuaciji v ako i samo ako su i F i G tačne u v. (4) F G je tačna u valuaciji v ako i samo ako je F ili G tačna u v. (5) F G je tačna u valuaciji v ako i samo ako važi: ako je F tačna u v onda je i G tačna u v. (6) F G je tačna u valuaciji v ako i samo ako važi: F je tačna u v ako i samo ako je G tačna u v. (7) ( x i )F je tačna u valuaciji v ako i samo ako je F tačna u svakoj valuaciji koja se od v razlikuje najviše u i-toj komponenti. Ovo znači da je formula F tačna u svakoj valuaciji v koja je dobijena iz valuacije v zamenom i-te komponente c i bilo kojim elementom domena D. Drugim rečima, formula F treba da ostane tačna za bilo koje dodeljivanje vrednosti promenljivoj x i iz domena D. (8) ( x i )F je tačna u valuaciji v ako i samo ako postoji valuacija koja se od v razlikuje najviše u i-toj komponenti i za koju je formula F tačna. Zadovoljivost formule Da je formula F tačna u valuaciji v zapisuje se kraće D = v F, a kaže se da valuacija v zadovoljava formulu F.
Interpretacija Primer a) Za formule R(y, f(x, a)) i ( y)r(x, y) data je interpretacija D= (N,φ), gde jenskup prirodnih brojeva, a ( ) a f R φ=. 1 + > Valuacija (1, 3) zadovoljava prvu formulu jer je tačna rečenica 3 je veće od 1+1, ali ne zadovoljava drugu: nije tačno da postoji prirodan broj b takav da je 1>b. Sa druge strane, u valuaciji (2, 3) nije tačna prva, a tačna je druga formula i sl. b) Posmatrajmo formulu ( x)(x y=y) u interpretaciji čiji je domen skupzcelih brojeva, a operacijski i relacijski znaci imaju uobičajena značenja. Formula je tačna u svakoj valuaciji oblika (b, 0), gde je b proizvoljan realan broj. c) Ako je domen interpretacije skup R, a osnovni simboli se interpretiraju uobičajeno, onda formulu ( x)(x 0 ( y)(x y=1)) zadovoljava svaka valuacija. FormulaF za datu valuaciju v postaje tačan ili netačan iskaz nakon što se njene slobodne promenljive zamene odgovarajućim komponentama u valuaciji. Označimo taj iskaz sa F v. Očito, formula F je tačna u valuaciji v ako i samo ako je iskaz F v tačan.
Interpretacija Tačnost formule u interpretaciji D= (D,φ) Formula F je tačna u interpretaciji D ako je tačna u svakoj valuaciji iz D. Formula je zatvorena ako u njoj nema slobodnih promenljivih. Zatvorena formula u svakoj interpretaciji jeste tačna ili netačna rečenica, dakle iskaz, bez obzira na valuaciju. Ako je formula F tačna u interpretaciji D, onda kažemo da je D model formule F. To označavamo sa D = F. Analogna definicija važi za neki skup formula S : Ako je svaka formula iz S tačna u interpretaciji D, onda je D model skupa S, u oznaci Primer D = S. Formula ( x)(x < y), uz uobičajeno tumačenje simbola, je tačna u strukturi (Z, <) celih brojeva sa relacijom<. Dakle, ta struktura je model ove formule. Struktura (N,<) je, takode, jedna interpretacija ove formule, ali to nije i njen model. Formula ( x)(x < y) iz poslednjeg primera ima u interpretaciji isto značenje kao zatvorena formula ( y)( x)(x < y).
Interpretacija Teorema Formula F je tačna u interpretaciji D ako i samo ako je u toj interpretaciji tačna formula ( x i )F. Dokaz. D = F ako i samo ako je D = v F za svaku valuaciju v iz D, uključujući i svaku valuaciju koja se od v razlikuje najviše u i-toj komponenti, a ovo važi ako i samo ako D = ( x i )F. Zatvorenje formule F ( x ik )...( x i1 )F, gde su x i1,...,x ik, redom po pojavljivanju, sve slobodne promenljive iz F. Posledica Formula je tačna u nekoj interpretaciji ako i samo ako je njeno zatvorenje tačno u toj interpretaciji.
Valjane formule Zadovoljiva formula Formula F je zadovoljiva ako postoji interpretacija i valuacija u njoj u kojoj je formula F tačna. Valjana formula Formula F je valjana ili opšte-važeća ako je tačna u svakoj interpretaciji. To ćemo označiti sa = F. Teorema Formula F je valjana ako i samo ako F nije zadovoljiva. Formula F je zadovoljiva ako i samo ako F nije valjana. Primer Valjane su sve formule oblika ( x i )F ( x i )F. Zaista, ako neka valuacija v u proizvoljnog interpretaciji zadovoljava formulu ( x i )F, onda je formula F tačna za sve valuacije koje se od v razlikuju najviše na i-tom mestu. Jasno je da onda u tom domenu postoji element b tako da je za odgovarajuću valuaciju (dobijenu iz v uvrštavanjem elementa b na i-to mesto) formula F tačna.
Valjane formule Primer To znači da je za valuaciju v tačna formula ( x i )F. Dakle, v zadovoljava gornju formulu. Kako to važi za proizvoljnu valuaciju proizvoljne interpretacije, ova formula je valjana. Napomena Kao i tautologije, valjane formule opisuju isključivo pravila logičkog zaključivanja. Za razliku od formula koje su tačne samo u nekim interpretacijama, valjane formule dakle ne govore ništa o pojedinim osobinama modela. Izvod iskazne formule Izvod iskazne formule A je predikatska formula dobijena iz A zamenom svih iskaznih slova predikatskim formulama, pri čemu se isto slovo zamenjuje istom formulom. Teorema Izvod tautologije je valjana formula.
Valjane formule Dokaz. Neka je A(p 1,...,p n ) tautologija i neka je F predikatska formula dobijena iz A zamenom nevedenih slova redom formulama F 1,...,F n. Neka je data interpretacija D formule F i neka je v jedna valuacija. Za tu valuaciju, formule F 1,...,F n su prema napred uvedenoj oznaci redom iskazi (F 1 ) v,...,(f n ) v, čije istinitosne vrednosti obrazuju n-torku simbola 1, 0, pa kada se pridruže slovima p 1,...,p n, odreduju jednu interpretaciju iskazne formule A. Budući da je A tautologija, ona je tačna u svakoj, pa dakle i u ovoj interpretaciji. Prema tačkama (1) - (6) definicije zadovoljivosti formule, iskaz F v je tačan, tj. valuacija v zadovoljava formulu F. Ovo važi za ma koju valuaciju proizvoljne interpretacije formule F, pa je ona valjana. Primer Formula oblika ( x)f ( ( x)g ( x)f ) je valjana, jer je izvod tautologije p (q p). F G, F G Formule F i G su logički ekvivalentne ako je F G valjana formula, a F logički implicira G odnosno G je logička posledica formule F, ako je formula F G valjana.
Valjane formule Teorema Ako su F i G proizvoljne predikatske formule, onda su formule sa narednog spiska valjane. (a) ( x)f ( x)f (b) ( x)( y)f ( y)( x)f (c) ( x)( y)f ( y)( x)f (d) ( x)( y)f ( y)( x)f (e) ( x) F ( x)f (f) ( x) F ( x)f (g) ( x)(f G ) ( x)f ( x)g (h) ( x)(f G ) ( x)f ( x)g (i) ( x)f ( x)g ( x)(f G ) (j) ( x)(f G ) ( x)f ( x)g (k) ( x)(f G ) (( x)f ( x)g ) (l) ( x)(f G ) (( x)f ( x)g ) (m) ( x)(f G ) (( x)f ( x)g ).
Valjane formule Dokaz. Poći ćemo od proizvoljne interpretacije D i proizvoljne valuacije v domena D i dokazati da je cela formula tačna za tu valuaciju, pa kako su interpretacija i valuacija proizvoljni, sledi da je formula valjana. Svuda pretpostavljamo da je x i-ta, a y j-ta promenljiva. (a) Napred dokazano. (d) Formula ( x)( y)f je tačna za valuaciju v ako i samo ako u domenu postoji b tako da je formula ( y)f tačna za valuaciju v dobijenu iz v zamenom i-te komponente sa b. A ( y)f je tačna za v ako je F tačna za svaku valuaciju koja se od v razlikuje na najviše j-tom mestu. Element b figuriše na i-tom mestu svake od tih valuacija, pa je formula ( x)f tačna za svaku valuaciju koja se od v razlikuje na j-tom mestu. Dakle, formula ( y)( x)f tačna je za valuaciju v. (f) Formula ( x) F je tačna za valuaciju v ako i samo ako je F tačna za sve valuacije koje se od v razlikuju na najviše i-tom mestu, što je ekvivalentno sa tim da formula F nije tačna ni za jednu od tih valuacija. Poslednje važi ako i samo ako ne postoji element koji bi mogao stajati na i-tom mestu valuacije v tako da formula F bude tačna, odnosno ako i samo ako je ( x)f tačna za valuaciju v.
Zamena promenljive termom Dokaz. (h) Ako je formula ( x)(f G ) tačna za valuaciju v, onda postoji element b u domenu tako da je formula F G tačna za valuaciju v dobijenu iz v zamenom i-te komponente sa b. Sledi da su za v tačne formule F i G, pa su za valuaciju v tačne i formule ( x)f i ( x)g, odnosno za istu valuaciju tačna je i njihova konjunkcija. Da se pokaže kako obrnute implikacije u formulama (a), (d), (h), (i), (k) i (m) ne važe, dovoljno je naći kontra primer. U slučaju (d), to je, na primer, formula ( y)( x)(y x) ( x)( y)(y x) koja nije tačna na skupun(ilir, svejedno): tačno je da od svakog prirodnog broja postoji veći, ali ne i da postoji najveći prirodan broj. Formula dakle nije valjana. Zamena promenljive termom Zamenimo sva slobodna pojavljivanja promenljive x u formuli F (x) termom t. Dobijenu formulu označimo sa F (t). Oznaka F (x) treba samo da istakne slobodno pojavljivanje promenljive x u formuli F. Takvo pojavljivanje uopšte ne mora da postoji (i tada se F (t) poklapa sa F (x)).
Zamena promenljive termom Zamena promenljive termom Pitamo se da li je gornja zamena ispravna, odnosno da li je valjana formula ( x)f (x) F (t)? Bez dodatnih uslova nije, što se vidi iz sledećeg primera. Primer Zamena gornjeg tipa izvršena je u formuli ( x) ( y)α(x, y) ( y)α(f(y), y). } {{ }} {{ } F (x) F (t), za t=f(y) Kada se oznake prilagode jeziku prirodnih brojeva tako daαbude<, a f(y) da je 2y, gornja formula postaje ( x)( y)(x<y) ( y)(2y<y). Ako je interpretacija skupn, ovo očigledno nije tačno. U gornjem primeru, zamena x sa f(y) dovela je do toga da novo pojavljivanje promenljive y bude vezano u F (t). Takva zamena pokazuje se kao neispravna. Imajući to u vidu, definišemo uslov uz koji formula ( x)f (x) F (t) postaje valjana.
Zamena promenljive termom Nezavisnost terma od promenljive Term t je nezavisan od promenljive x u formuli F, ako nijedno slobodno pojavljivanje promenljive x u F ne leži u oblasti dejstva kvantifikatora ( x i ) ili ( x i ), gde je x i neka promenljiva iz t. Kaže se još i da je term t slobodan za promenljivu x u F (x). Primer a) Promenljiva x je kao term nezavisna od y u formuliα(x, y), ali nije nezavisna od y u ( x)α(x, y). b) Promenljiva x je nezavisna od y u svakoj formuli. c) Term f(x, y) nezavisan je od y u ( x)α(x, z) β(y), gde suαiβrelacijski znaci dužine redom 2 i 1. Isti term nije nezavisan od y u formuli ( x)(β(x) α(y, z)). Pretpostavimo da su x 1,...,x n promenljive terma t koji je nezavisan od x u formuli F (x). Ako se t uvrsti umesto x u F (x), onda su sva pojavljivanja promenljivih x 1,...,x n u F (t), kojih nema u F (x), slobodna. Zaista, ta pojavljivanja su posledica zamene t umesto x, a t je nezavisan od x. To znači da nijedno novo pojavljivanje bilo koje od ovih promenljivih nije u oblasti dejstva kvantifikatora koji se na tu promenljivu odnosi.
Zamena promenljive termom Lema Neka je term t nezavisan od x u formuli F (x). Neka je data interpretacija te formule i jedna valuacija. Ako se vrednost terma t poklapa sa vrednošću promenljive x, onda je formula F (x) tačna ako i samo ako je F (t) tačna. Dokaz. Setimo se da istinitost formule za datu valuaciju zavisi samo od vrednosti koje se pridružuju slobodnim promenljivima formule. Obzirom da, prema gornjem, sve promenljive terma t imaju slobodna pojavljivanja u F (t), vrednost koju term t dobija u toj formuli za valuaciju v je t v. Kako je po pretpostavi t v = x v, sledi da v zadovoljava F (x) ako i samo ako zadovoljava F (t), što je i trebalo dokazati. Teorema Ako je term t nezavisan od promenljive x u formuli F (x), onda jeste valjana formula ( x)f (x) F (t).
Zamena promenljive termom Dokaz. Ako gornja formula nije valjana, onda postoji interpretacija i u njoj valuacija v koja zadovoljava formulu ( x)f (x), a ne zadovoljava F (t). Tada svaka valuacija koja se od v razlikuje najviše na mestu promenljive x zadovoljava formulu F (x). To se odnosi i na valuaciju koja na mestu promenljive x ima vrednost terma t za valuaciju v. Prema datoj Lemi je i F (t) tačna za valuaciju v, što je suprotno gornjoj pretpostavci da v ne zadovoljava tu formulu. Formula ( x)f (x) F (t) je dakle valjana. Budući da je svaki konstantan simbol c nezavisan od bilo koje promenljive u formuli, neposredno iz gornjeg tvrdenja zaključujemo da je valjana i formula ( x)f (x) F (c). Neka je term t nezavisan od promenljive x u formuli F (x). On je očito nezavisan od x i u F (x). Tada je valjana formula ( x) F (x) F (t). Na osnovu zakona kontrapozicije i valjanih formula (e) i (f) iz navedene Teoreme, valjana je i formula Odavde sledi da je valjana i formula gde je c proizvoljan simbol konstante. F (t) ( x)f (x). F (c) ( x)f (x),
Zamena promenljive termom Primer a) Za formulu F (x) uzmimo da je ( y)((α(x, y) α(z, y)), a za term t uzmimo f(x, z), gde suαifredom relacijski i operacijski simbol dužine 2. Term t je nezavisan od z, pa je formula ( x)( y)(α(x, y) α(z, y)) ( y)(α(x, y) α(f(x, z), y)) valjana. Na primer, ova formula se može formulisati na jeziku brojeva, zamenjujući α bilo kojom binarnom relacijom za brojeve (=,,<, i sl.), a f bilo kojom binarnom operacijom (+, i sl.). Slično se može učiniti i na jeziku teorije skupova, ili nekom trećem. Dobijena rečenica biće, razume se, uvek tačna. b) U formuli f(c)=d ( x)(f(x)=d) c i d su simboli konstanti a f unarni operacijski simbol. Ako se binarni relacijski simbol = prihvati kao jednakost, onda ova formula, koja je prema napred dokazanom valjana, iskazuje opšte pravilo: ako postoji konstanta koja zadovoljava datu jednakost, onda je odgovarajuća jednačina rešiva.