6 Svojstvee vredosti mtrice 6. LINERN TRNSFORMCIJ VEKTOR ko je... eki skup promeljivih y y... y drugi skup promeljivih koje su s prvim veze ekim relcijm: ili u vektorskoj formi: (... ) i y f... i i y f() prelz od... ove promeljive y y... y zivmo trsformcijom (preslikvje). Trsformcij je lier (LT) ko su fukcije f liere i homogee: (... ) + +... + i yi fi i i i... (6.) p se LT u mtričoj formi može prikzti ko: y (6.) Jedči (6.) defiiše LT vektor u vektor y tj. vektorskog prostor u smog sebe ili u svoj potprostor. Mtric se ziv mtric liere trsformcije. Rešvje sistem o lierih jedči s epoztih: b (6.) se može iterpretirti ko lžeje oog vektor koji se pomoću dte mtrice liero trsformiše u dti vektor b. Ko što zmo jedistveo rešeje postoji ko i smo ko je mtric esigulr i može se prikzti u obliku: - b (6.) 6
Posledj jedči defiiše LT vektor b u vektor p je iverz (obrt) u odosu trsformciju u b (Jed. 6.). Tko se mtric - ziv mtric iverze liere trsformcije. ko je mtric liere trsfomcije (6.) regulr t trsformcij -preslikvje je bijektiv (obostro jedozč) i ziv se regulr. U suprotom trsformcij je sigulr. Primer : Mtric trsformcije projektovj dvodimezioog vektor osu je: To zči d koordite vektor y : y y ko horizotle projekcije vektor dobijmo možejem vektor mtricom : y Ov trsformcij je sigulr jer je mtric sigulr (det()). Tko o preslikv - dimezioi vektorski prostor u jegov potprostor dimezije (vektori osi). To zči d e postoji jedozč iverz trsformcij: dtu projekciju osu im beskoč broj vektor u Oy rvi. y y y 6. SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VREDNOSTI ko se eulti vektor lierom trsformcijom s mtricom trsformiše u sebi kolier vektor: (6.5) o predstvlj svojstvei sopstvei ili krkterističi vektor mtrice. Sklr se ziv svojstve sopstve ili krkteristič vredost mtrice koj odgovr svojstveom vektoru. Primer : Posmtrjmo mtricu projektovj iz Primer : 7
8 Svi eulti vektori koji leže osi su jei svojstvei vektori s svojstveom vredošcu jer se trsformišu u smi sebe: Svi eulti vektori y y osi se projektuju u ul vektore p su i oi svojstvei vektori posmtre mtrice i to s svojstveom vredošcu : y y Primer : Svojstvei vektori i odgovrjuće svojstvee vredosti mtrice su: ; () () Prover: Krkteristič jedči i krkterističi poliom mtrice Pošto je defiicio jedči (6.5) ekvivlet jedčii: ( ) E (6.6) svojstvei vektori predstvljju rešej homogeog SLJ (6.6) s mtricom sistem: E (6.7) koj se ziv svojstve ili krkteristič mtric. D bi homogei sistem (6.6) imo eult rešej potrebo je i dovoljo d mtric sistem bude sigulr tj.: ( ) det E (6.8) Jedči (6.8) se ziv krkteristič jedči kd se je lev str rzvije dobije se poliom tog stepe po koji se ziv krkterističi poliom mtrice : ( ) p p p p P ) ( ) ( ) ( det + + + + E
Koeficijet p krkterističog poliom jedk je trgu mtrice : p tr ii i ( ) 6. IZRČUNVNJE SVOJSTVENIH VREDNOSTI Rzličiti korei krkterističog poliom (koji ko što zmo im ukupo kore)... m ( m ) predstvljju tržee svojstvee vredosti mtrice. Skup svih sopstveih vredosti se ziv spektr mtrice. Primer : Primer 5: Odredićemo svojstvee vredosti mtrice iz prethodog primer: det( E) det ( ) P Krkteristič jedči mtrice je: - +5 i je rešej su kompleks: + i i Svojstvee vredosti imju primeu u hemijskom ižejerstvu pri: ( ) ± litičkom rešvju sistem običih homogeih diferecijlih jedči s kosttim koeficijetim. lizi stbilosti dimičkih sistem opisih običim lierim dif. jedčim. Rešvju ekih optimizcioih problem Numeričke metode odredivj svojstveih vredosti dele se klse: metode geerisj krkterističog poliom i lžej jegovih kore itertive metode bez prethodog formirj krkterističog poliom 6.5 ODREĐIVNJE SVOJSTVENIH VEKTOR Z svku od prethodo đeih svojstveih vredosti j svojstvei vektor se dobij rešvjem homogeog SLJ (6.6). Kko je det(- j E) rg mtrice sistem r je mji od i z svojstveu vredost j 9
postoji beskočo mogo rešej homogeog SLJ (6.6) sistem tj. svojstveih vektor koji se dobijju ko lier kombicij ekih k r odbrih liero ezvisih vektor. Dkle svi svojstvei vektori koji odgovrju svojstveoj vredosti j obrzuju k dimezioi vektorski potprostor ( dimezioog vektorskog prostor) odbri liero ezvisi vektori predstvljju jedu bzu tog potprostor. TEOREM : Svojstvei vektori koji odgovrju rzličitim svojstveim vredostim su međusobo lieri ezvisi lgoritm z dobijje jedog od k bzih vektor vektorskog potprostor svojstveih vektor koji odgovrju svojstveoj vredosti j je:. Odrediti r rg( - i E). Odbrti vredosti (e smeju biti sve ule) ekih k r od ukupo promeljivih... (slobode promeljive) i ueti te vredosti u podsistem od r liero ezvisih jedči. Rešvjem rezultujućeg sglsog ehomogeog sistem od r jedči odrediti vredosti preostlih r promeljlivih Povljjući korke. i. z ukupo k rzličitih kombicij vredosti odbrih slobodih promeljivih dobijju se svi bzi vektori. Primer 6: Odredićemo svojstvee vektore mtrice iz Primer : ) Z :. Mtric homogeog SLJ (6.6) je: ( E) čiji je rg r p je od dve jedčie ezvis smo jed: - +. Birmo proizvoljo (izuzimjući ) vredost jede od promeljivih recimo. Iz gorje jedčie z drugu promeljivu dobijmo: Tko se ko svojstvei vektor koji odgovr dtoj svojstveoj vredosti može uzeti (). i o predstvlj bzu -dimezioog potprostor svih svojstveih vektor mtrice s svojstveom vredošću (vektori prvoj ). Tko svojstvee vektore mtrice koji odgovrju dobijmo proizvoljim izborom ( ) relog broj µ u vektoru:
() b) Z µ µ. Mtric homogeog S.L.J.je : ( E) čiji je rg r p je od dve jedčie ezvis smo jed: +. Birmo proizvoljo vredost jede od promeljivih recimo -. Iz gorje jedčie. Svojstvei vektor: odoso: (). () µ µ TEOREM : ko je j m tostruk svojstve vredost (m-tostruki kore krkterističog poliom) od je rg krkterističe mtrice veći ili jedk m odoso dimezij k odgovrjućeg potprostor svojstveih vektor je jviše jedk m: k m. Drugim rečim broj liero ezvisih svojstveih vektor k koji odgovrju višestrukoj svojstveoj vredosti jviše je jedk jeoj višestrukosti m. U specijlom slučju m dimezij potprostor svojstveih vektor je k m. Primer 7: det( E) det Svojstvee vredosti: ) Z dvostruki kore : 6 + 9
) ( r E Immo smo jedu ezvisu jedčiu: + + dimezij vektorskog potprostor krkterističih kore je : k r ( m) Bze vektore dobijmo povljjući dv put korke. i. u dtom lgoritmu. Tko z vredosti slobodih promeljivih: rčumo iz gorje jedčie: - p je prvi bzi vektor: b Z vredosti slobodih promeljivih: rčumo iz gorje jedčie: - p je drugi bzi vektor: b Tko se svi svojstvei vektori z dtu dvostruku svojstveu vredost dobijju ko: + µ µ ()() ltertivo bzu smo mogli dobiti sledeći či. Nek su: µ µ Iz jedčie: - - -µ - µ Zči d je svojstvei vektor:
+ µ µ ()() Geometrijski svi svojstvei vektori leže u rvi određeoj bzim vektorim: b) Z jedostruki kore ) ( E.5.5.5.5.5.5 m r k r Nek je: µ. Iz. jedčie -.5 +.5 µ Iz. jedčie: + + µ Tko su svojstvei vektori koji odgovrju : () µ µ b b
6.6 NEKE TEOREME Nvešćemo još eke stvove (teoreme) u vezi s svojstveim vredostim i vektorim:. Mtrice i T imju jedke svojstvee vredosti.. Regulr mtric im sve svojstvee vredosti rzličite od ule i obrto.. Svojstvee vredosti iverze mtrice - jedke su iverzim svojstveim vredostim mtrice : /... / svojstvei vektori jedki svojstveim vektorim mtrice.. Simetrič mtric im sve svojstvee vredosti rele svojstvei vektori su medusobo ortogoli. Dimezij potprostor svojstveih vektor jedk je tčo višestrukosti odgovrjuće svojstvee vredosti : k m 5. ko su svojstvei vektori mtrice red liero ezvisi od i smo od se o može dijgolizovti (prevesti u dijgolu formu) trsformcijom sličosti: - P P gde je P kvdrt mtric red čije su koloe svojstvei vektori mtrice : P [... ] 6. ko su... krkterističi korei mtrice od: tr ( ) i det( ) i i i 6.7 MTHCD FUNKCIJE U Mthcd-u su rspolgju sledeće fukcije: eigevls(m) - dje vektor svojstveih vredosti kvdrte mtrice M eigevec(m z) - dje (jediiči) svojstvei vektor koji odgovr svojstveoj vredosti z mtrice M eigevecs(m) - dje mtricu svih (jediičih) svojstveih vektor mtrice M koji odgovrju svojstveim vredostim dobijeim fukcijom eigevls U skldu s teorijskim izvodim fukcij eigevecs(m) u slučju d mtric M im eku m - to struku (m > ) svojstveu vredost dje k liero ezvisih svojstveih vektor (k m) z tu svojstveu vredost. U tkvim slučjevim fukcij eigevec(m z) ije pogod z lžeje svojstveih vektor jer dje smo jed svojstvei vektor z višestruku svojstveu vredost.
5 ZDCI 6. ) Uveriti se d mtric: 7 6 liero trsformiše (preslikv) vektore: 5 redom u vektore: b b b b) Proveriti d li je trsformcij regulr i ko jeste ći mtricu iverze liere trsformcije. c) U koje vektore preslikv mtric dobije u b) dte vektore b b i b? d) Koji vektor preslikv dt mtric u vektor c: c 6. Dt je mtric: ) Pomoću fukcij eigevls i eigevecs proći jee svojstvee vredosti i odgovrjuće svojstvee vektore. b) Proveriti rezultte u ) koristeći defiiciou jedčiu (6.5) c) D li su dobijei svojstvei vektori jedistvei? Kko se mogu dobiti svi svojstvei vektori dte mtrice koji odgovrju jedoj svojstveoj vredosti i koliko ih im? Proveriti zključk primerim koristeći defiiciou jedčiu (6.5). d) Proveriti T u Pogl. 6.5. 6. ) Dokzti teoremu polzeći od teoreme 6 b) Koristeći Mthcd lte i fukcije primeru mtrice iz prethodog zdtk proveriti sve teoreme (izuzev.) dte u Pogl. 6.6
6. Dt je mtric: ) Odrediti jee svojstvee vredosti i uveriti se d im trostruku svojstveu vredost. b) Proveriti d li je mtric simetrič i od predvideti dimeziju vektorskog potprostor svojstveih vektor koji odgovrju jeoj trostrukoj svojstveoj vredosti osovu odgovrjuće teoreme. c) Pomoću fukcije eigevecs odrediti jee svojstvee vektore od koristeći fukcije submtri i rk proveriti rezultt iz b) d) Uporediti jedii svojstvei vektor koji se z trostruku svojstveu vredost mtrice može dobiti fukcijom eigevec s tri svojstve vektor dobije fukcijom eigevecs. Uveriti se d je vektor dobije fukcijom eigevec lier kombicij tri svojstve vektor dobije fukcijom eigevecs. e) Kko se mogu dobiti svi svojstvei vektori koji odgovrju trostrukoj svojstveoj vredosti? Proveriti zključk ekom primeru koristeći defiiciou jed.(6.5) f) Proveriti isprvost. stv u Pogl. 6.6. 6.5 Z mtricu: 5 ći ortogolu mtricu P tkvu d je mtric P - P dijgol. Rešeje: Mthcd: P : eigevecs ( ) 6.6 Z mtricu: ći dve trsformišuće mtrice koje je trsformcijom sličosti prevode u dijgolu formu. Rešeje: Mthcd P : eigevecs ( ) P : ugmet c P c P c P c -c proizvolje kostte rzličite od 6