Ispunjenost uslova za primenu teoreme Nehoroševa na asteroidni prsten

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET Rde Pvlović Ispunjenost uslov z pimenu teoeme Nehoošev n steoidni psten DOKTORSKA DISERTACIJA Beogd 2008

Ideju z ovu tezu dli su d Zon Knežević i d Mssimilino Guzzo. Zhvljujem se ko mentoim d Zonu Kneževiću i d Mikeu Kuzmnovskom i d Slobodnu Ninkoviću, ko člnu komisije, n koisnim svetim i sugestijm. Mssimilino Guzzo mi je svojim svetim i poveom jednog del izvod pomogo pi izdi ove teze n čemu mu se posebno zhvljujem. Tkode - bih se zhvlio kolegi Bojnu Novkoviću koji je tkode - poveio neke od izvod. Rde Pvlović Beogd, 20.02.2008.

Sdžj Uvod 1 Zdtk i sdžj teze............................ 2 1 Hotično ketnje steoid 3 1.1 Poincé-ov pesek........................... 3 1.2 Mksimlni kkteistični eksponent Ljpunov................................ 3 1.3 Anliz fekvencij........................... 6 1.4 Ostli indiktoi hos......................... 7 1.5 Hos u ketnju steoid....................... 9 1.5.1 Bliski pilzi plnetm.................... 9 1.5.2 Pelzi peko septis.................... 9 1.5.3 Peklpnje ezonnsi..................... 10 2 Teoem Nehoošev 11 2.1 Fomulcij teoeme.......................... 11 2.2 Definicij konveksnosti, kvzi konveksnosti i 3 jet uslov...... 15 2.3 Algoitm z poveu uslov konveksnosti, kvzi konveksnosti i 3 jet 16 3 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 19 3.1 Elimincij ktkopeiodičnih člnov i integbilni Hmiltonijn.. 20 3.2 Dinmik Kozijevog Hmiltonijn.................. 21 3.3 Pomenljive dejstvo ugo Kozijevog Hmiltonijn K 0....... 23 3.4 Rčunnje izvod Kozijevog Hmiltonijn po pomenljivim L, G, H i g................................. 24 3.4.1 Izvodi pvog ed........................ 26 3.4.2 Izvodi dugog ed....................... 28 3.4.3 Izvodi tećeg ed........................ 31 3.4.4 Izvodi četvtog ed...................... 63 3.5 Izvodi Kozijevog Hmiltonijn po pomenljivim Λ, P, x i y... 85 3.6 Izvodi integbilnog Hmiltonijn po momentim Λ, Z, i J.... 98 iii

4 Rezultti 113 4.1 Fmilij Koonis............................ 117 4.2 Fmilij Veits............................. 131 5 Zključci 145 Litetu................................... 147

... još uvek ne znmo d li je steoidni pojs veliko hotično moe čije je veme difuzije ed milijdi godin ili poseduje stuktuu u smislu teoeme Nehoošev z kvzi integbilne Hmiltonove sisteme. Ovo nije smo čisto kdemsko pitnje, već može imti neke veom vžne stonomske implikcije. U pvom slučju, steoidni pojs bi bio mginlno stbiln, steoidi koje sd posmtmo bi bili oni, peostli od mnogo veće populcije, koji g još nisu npustili. U dugom slučju, dinmičk slik steoidnog pojs bi bil zmznut u veom dugom vemenskom intevlu, koji bi pemšivo stost sunčevog sistem. Tko bi ono što mi dns posmtmo bilo, u pvom slučju smo pelzn dinmičk fz, dok bi, u dugom slučju, to bil nek vst pemnentne konfigucije steoidnog pojs Mobidelli i Guzzo, 1997.

Uvod Do sd je publikovno više dov koji se bve pimenom teoeme Nehoošev n zličite, često veom upošćene dinmičke sisteme u stonomiji. Tko, n pime, Celletti i Giogilli 1991 diektno pimenjuju teoemu u poksimciji ogničenog poblem ti tel s kužnim putnjm u Lgngeovim vnotežnim tčkm. Rzvijenu teoiju pimenjuju n sisteme Zemlj Mesec i Sunce Jupite. Medutim, - poedenjem - teoijski dobijene oblsti u kojoj se može pimeniti teoem Nehoošev n pime s elnom oblšću koju zposedju steoidi, dolzi do neslgnj z nekoliko edov veličine videti Tblicu 3 pomenutog d. Celletti i Fe 1996 pimenjuju je n sistem Sunce Jupite Cees, li opet n upošćenu dinmiku. Ko ezultt dobijju stbilnost u dugim vemenskim intevlim ed stosti Sunčevog sistem 4.9 10 9 godin li z odnos ms Jupite i Sunc 10 6, što je oko 1000 put mnje od elne vednosti. Poslednjih godin Efthymiopoulos 2005 čini npoe d poboljš pethodne pocene egion stbilnosti, pimenom model mpinj z upošćeni kužni poblem ti tel n Tojnce. Tkode, - Efthymiopoulos i Sándo 2005 poboljšvju pocenu domen stbilnosti Tojnc pimenom simplektičkog model mpinj z koobitlno ketnje, ponovo medutim, - u poksimciji kužnog ogničenog poblem ti tel. Dobili su d se oko 35% steoid iz ktlog AstDys 1 s sopstvenim ngibom mnjim od 5 nlzi unut oblsti čije veme stbilnosti od 10 10 godin pemšuje stost Sunčevog sistem. Guzzo i d. 2002 pimenjuju spektlnu fomulciju teoeme Nehoošev n elne steoide iz glvnog psten. Nlze numeičke indikcije d se neki steoidi nlze u tzv. ežimu Nehoošev. Tkode, - nlizijući ketnje steoid iz zličitih oblsti psten nlze, poed pomenute stbilnosti u smislu Nehoošev, stbilnost koju opisuje KAM teoij ko i nestbiln hotičn ežim u kome se može detektovti difuzij u fznom postou. Ov tez je komplementn du Guzzo i d. 2002 je povev ispunjenost uslov z pimenu teoeme Nehoošev n steoide iz glvnog psten, što nedostje u pomenutom du. Dkle, u svim nvedenim dovim pimenjuje se diektno teoem Nehoošev n neki dinmički sistem, li uvek bez pethodne neposedne povee uslov z 1 Nlzi se n desi http://hmilton.dm.unipi.it/stdys 1

2 UVOD koje je teoem dokziv konveksnost, kvzi konveksnost, 3 jet ili geneički uslov stmosti engl. steepness. Do sd je objvljen smo jedn d koji se bvi poveom ispunjenosti uslov i, ztim, pimenom teoeme Nehoošev z elne sisteme u stonomiji. Benettin i d. 1998 dju detljnu nlizu Hmiltonijn z ogničeni slučj ti tel u Lgnge-ovim tčkm L 4 i L 5 u smislu ispunjenosti uslov konveksnosti, kvzi konveksnosti ili 3 jet. Me - dutim, oni nisu odedili oblst oko Lgnge-ovih tčk L 4 i L 5 gde bi uslovi z pimenu teoeme Nehoošev bili ispunjeni već su nlizili ispunjenost uslov u ovim Lgnge-ovim tčkm u zvisnosti od odnos ms dv tel teće telo u ogničenom poblemu im znemljivu msu. Zdtk i sdžj teze U ovoj tezi se dje nliz ispunjenosti uslov konveksnosti, kvzi konveksnosti ili 3 jet z Hmiltonijn sistem koji se sstoji od steoid čije je kepleovsko ketnje poemećeno pod uticjem velikih plnet. Disetcij se sstoji iz sledećih delov: u pvom poglvlju su dte osnovne veličine kojim se mei hotično ketnje. Ztim sledi ktk opis uzok hos u ketnju steoid. U dugom poglvlju je izložen teoem Nehoošev, posebno nglšvjući sledeće uslove z njenu pimenu: konveksnost, kvzi-konveksnost i 3 jet nedegeneisnost. Sledi definicij ovih uslov i lgoitm z njihovo čunnje. U tećem poglvlju se opisuje Kozijev Hmiltonijn i njegov dinmik. Dju se eksplicitni izzi z izvode do četvtog ed pvo po Deluny-ovim pomenljivim, ztim po momentim. Četvto poglvlje pikzuje oiginlne ezultte dobijene ispitivnjem ispunjenosti uslov z pimenu teoeme Nehoošev n steoide. Anlizi se fzni posto u smislu ispunjenosti uslov konveksnosti, kvzi konveksnosti ili 3 jet u oblstim koje zuzimju fmilije Koonis i Veits. Ztim se ti ezultti upoedjuju s ezulttim Guzzo i d. 2002 koji su dobijeni pimenom spektlne fomulcije teoeme Nehoošev. U zvšnom poglvlju su istknuti oiginlni ezultti ove teze i dti pedlozi z budući d.

Glv 1 Hotično ketnje steoid Ketnje steoid, tel koj se u velikoj većini nlze izmedu - Ms i Jupite glvni pojs, je veom složeno. Jvlj se u šiokom spektu pojv od egulnog kvzi peiodičnog ketnj p sve do jko hotičnog. Z pepoznvnje i meenje hos zvijeni su zličiti lti koji su zsnovni n numeičkoj integciji jednčin ketnj i izčunvnju pogodnih veličin. 1.1 Poincé-ov pesek Jko hotičn ketnj se mogu lko pepoznti posmtnjem vemenskih seij dobijenih integcijom obitlnih element, n pime velike poluose Slik 1.1. Npomenimo d je n slici pikzn sopstven velik poluos, koj je dobijen uklnjnjem ktkopeiodičnih oscilcij i zdžvnjem sekulnih. Td se n gfiku mogu lkše uočiti eltivno velike, bze i skokovite pomene izzvne zličitim dinmičkim ežimim. Kod kvzi peiodičnih ketnj nem nikkvih skokovitih pomen sopstvene velike poluose već smo egulne kvzipeiodične vijcije Slik 1.2. Tkode, - z kvlittivno zlikovnje egulnog od hotičnog ketnj koisti se Poincé-ov pesek Poincé sufce of section. Poincé-ov pesek je pogodn z sisteme s dv stepen slobode, dok u slučju kd immo više od dv stepen hipepovšine nije moguće gfički pikzti. 1.2 Mksimlni kkteistični eksponent Ljpunov D bi se n neki nčin uspostvil me hotičnosti ketnj često se čun tzv. Mksimlni kkteistični eksponent Ljpunov Mximum Lypunov Exponent MLE. On, zpvo, pedstvlj meu bzine zilženj dve inicijlno veom 3

4 Hotično ketnje steoid i njegovo meenje 2.9033 Chotic obit 2.9032 2.9031 Pope semimjo xis AU 2.903 2.9029 2.9028 2.9027 2.9026 2.9025 2.9024 2.9023 0 500000 1e+06 1.5e+06 2e+06 2.5e+06 3e+06 3.5e+06 4e+06 4.5e+06 5e+06 Time y - Obit8v integtion Slik 1.1: Vemensk seij sopstvene velike poluose z hotičnu obitu. Nepvilne vijcije su jsno vidljive i izzvne su čestom pomenom dinmičkog stnj Knežević, 2000. 2.9021 Stble obit 2.90208 2.90206 Pope semimjo xis AU 2.90204 2.90202 2.902 2.90198 2.90196 0 500000 1e+06 1.5e+06 2e+06 2.5e+06 3e+06 3.5e+06 4e+06 4.5e+06 5e+06 Time y - Obit8v integtion Slik 1.2: Vemensk seij sopstvene velike poluose z stbilnu obitu. N gfiku se smo mogu videti pvilne vijcije usled kvzipeiodičnog oscilovnj Knežević, 2000.

Hotično ketnje steoid i njegovo meenje 5 bliske obite. Ukoliko je hos jči bž će biti divegencij, smim tim, veći MLE. MLE možemo čunti n sledeći nčin: nek su δpt = p 2 t p 1 t i δqt = q 2 t q 1 t zlike koodint dve tjektoije čiji je Hmiltonijn Hp, q, p i q konjugovne pomenljive dimenzije n. Lineizovne jednčine eltivnog ketnj možemo npisti u obliku δp i = δq i = n [ ] 2 H δp j + 2 H δq j p j q i q j q i n [ ] 2 H δp j + 2 H δq j p j p i q j p i j=1 j=1 1.1 gde je n boj stepeni slobode. MLE se definiše 1 δpt, δqt χ = lim ln t t δp0, δq0, 1.2 gde je.,. euklidsk nom. Pktičn ecept z čunnje MLE dt je u du Benettin i d. 1980 i sstoji se od sledećih kok: 1. izbti poizvoljne vednosti z δp0, δq0 2. čunti tok δpt, δqt sve do pogodno izbnog vemen T tko d se izbegne čun s suviše velikim bojevim 3. izčunti s 1 = δpt,δqt δp0,δq0 i δp 1 = δpt /s 1 i δq 1 = δqt /s 1 4. z nove početne uslove uzeti δp 1 i δq 1 i nstviti čun Benettin i d. 1980 su pokzli d je χ = lim l i d ezultt ne zvisi od izbo T. Ljpunov T L koj se definiše ko l j=1 ln s j, 1.3 lt U pksi se često koisti veličin veme T L = 1 χ, 1.4 i pedstvlj veme koje je potebno d se stojnje izme - du obit poveć e put. Pime MLE z hotičnu obitu dt je n Slici 1.3.

6 Hotično ketnje steoid i njegovo meenje Slik 1.3: Pomen log χ u funkciji od log t, z egulnu obitu 1 i hotičnu 2. Ngib kive log χ/ log t teži 1 z egulnu obitu, dok z hotičnu teži d postne konstnt Contopoulos, 2002. Dob pocen vednosti MLE zhtev numeičku integciju jednčin ketnj z intevl vemen koji je b 6 10 put duži od T L. U slučju slbog hos integcije će tošiti jko mnogo čunskog vemen. Zbog tog su uvedeni ltentivni indiktoi ili mee hos koji će se mnogo efiksnije čunti, biće u tom slučju isto toliko pouzdni ko MLE. 1.3 Anliz fekvencij Lsk 1990, 1992, 1993 je pedložio jedn tkv novi metod nlizu fekvencij, koji se sstoji u pimeni modifikovne Fuijeove tnsfomcije, u smislu poketnog pozo, n vemenske seije dobijene ko izlz iz numeičkih integcij jednčin ketnj usednjenog sistem tzv. sekulni sistem. Nlženjem ešenj tih jednčin i odgovjućih sopstvenih modov z integbilnu poksimciju to su moment ugo pomenljive i, ztim, pimenom Fuijeove nlize n te sopstvene modove čunju se fundmentlne fekvencije sistem. Z eguln ketnj n KAM tousu ove fekvencije su konstntne, dok se z hotičn ketnj one menjju s vemenom. Pem tome, odstupnje fekvencij od konstntne vednosti se koisti z identifikciju hos, pocenu njegovog intenzitet, p čk se može i izmeiti veličin hotične zone. Tkode, - umesto d se pti vemensk pomen fekvencije jedne obite Slik 1.4, može d se postvi mež početnih uslov u onoj oblsti fznog posto koji ns inteesuje i d se čun fekvencij z svki tkv početni uslov u unped zdtom intevlu vemen. N gfiku zvisnosti fekvencij početni uslov lko se uočvju egulne i hotične

Hotično ketnje steoid i njegovo meenje 7 Slik 1.4: Vemensk evolucij fekvencije z obite koje su bliske ezonnsi 1/6 z stnddnu mpu. Obite čij je fekvencij pibližno konstntn leže n KAM tousu, dok su ostle hotične Lsk i d., 1992. zone Slik 1.5. 1.4 Ostli indiktoi hos Rzni utoi su uvodili duge numeičke lte z detekciju hos ko zne vijcije eksponent Ljpunov ili nlize fekvencij. Me - du tkvim, siguno spd bzi indikto Ljpunov Fst Lypunov Indicto FLI koji je uveden i iskoišćen z ispitivnje dinmičke evolucije svih numeisnih steoid Foeschlé i d., 1997 ukzvši n vžnost ezonnsi izme - du ti tel. Bzi indikto Ljpunov je, zpvo, veme T z koje δpt, δqt dostigne neku poizvoljno veliku unped fiksinu vednost R pi dinmičkoj evoluciji polzeći od početne vednosti δp0, δq0. Me - dutim, ko fiksimo početne uslove δp0, δq0 i vednosti R td FLI može poslužiti d se upoedi dinmičko ponšnje zličitih obit. U tom smislu, FLI se može posmtti ko indikto hotičnosti jedne obite u odnosu n dugu. D bi posto psolutni indikto neophodno je uditi klibciju, tj. izčunti n pime MLE z neke efeentne obite. Ovj indikto je intenzivno koistil Todoović 2007 u mgistskoj tezi z istživnje dinmičke stuktue i difuzije četvoodimenzione simplektičke mpe.

8 Hotično ketnje steoid i njegovo meenje Slik 1.5: Fekvencij u funkciji početnih uslov y moment p 1 z obite bliske ezonnsi 1/6 z stnddnu mpu. Gltki deo kive n gfiku odgov oblsti egulnih obit, dok štkne tčke odgovju hotičnoj zoni oko septise Lsk i d., 1992. Contopoulos i Voglis 1996 su uveli helikoidne i twist uglove. Z dti sistem lineizovnih jednčin 1.1 se čun oijentcij vekto δpt, δqt u funkciji vemen. Z sistem s n stepeni slobode oijentcij je definisn s n 1 helikoidnim uglom: Φ 1,..., Φ n 1. Njihove sednje vednosti po vemenu su: < Φ 1 >,..., < Φ n 1 > i zvise smo od obite oko koje su čunte lineizovne jednčine ketnj, dok ne zvise od izbo početnog vekto δp0, δq0. Contopoulos i Voglis su pokzli d u hotičnim oblstim sednj vednost helikoidnih uglov je invijntn, dok se z egulne obite vnomeno menj u zvisnosti od početnih uslov. Poed helikoidnih uglov, Contopoulos i Voglis su koistili njihove izvode po vemenu twist uglove. Tko n pime, sednj vednost twist uglov omogućv d se zdvoje egulne od hotičnih obit, tj. ovi uglovi su jednki nuli z obite n KAM tousu z koje svi uglovi vše cikulciju, z obite koje leže n ezonntnom invijntnom tousu jednki su libcionoj fekvenciji, z hotične obite postju invijntni.

Hotično ketnje steoid i njegovo meenje 9 1.5 Hos u ketnju steoid Mehnizmi koji dovode do hos u ketnju steoid su: i bliski pilzi plnetm, ii pelzi peko septis ezonnsi niskog ed, iii peklpnje ezonnsi. 1.5.1 Bliski pilzi plnetm Bliski pilzi plnetm se dešvju kd steoid pide - dovoljno blizu plneti tko d petpi dstične pomene svog ketnj. U slučju bliskog pilz unut uticjne sfee 1 velike plnete poemećji su toliko veliki d obit može peći iz Kepleove elipse obično veom ekscentične u hipeboličnu obitu i supotno. Ponvljnjem ovih bliskih pilz nstju hotične putnje, tj. tkvo ketnje se ne može opisti uobičjenim mtemtičkim ltim, je čk i vlo mle pomene u početnim uslovim dovode do eksponencijlne divegencije obit, sm obitln evolucij postje nepedvidiv. Izbcivnj iz sunčevog sistem, sudi s plnetm ili Suncem i višestuk pesecnj obit plnet su neke od posledic bliskih pilz i sve one, mtemtički posmtno, pedstvljju singulitete jednčin ketnj. Tko, n pime, vemen Ljpunov steoid čije obite seku Zemljinu putnju su veom ktk, ed nekoliko desetin do stotinu godin Whipple, 1995. 1.5.2 Pelzi peko septis Nš plnetni sistem je ispesecn mnogobojnim ezonnsm zličitih vst, posebno u njegovom unutšnjem delu i u oblsti steoidnog psten Knežević i d, 1991; Nesvoný i Mobidelli, 1998. Izuzimjući ezonnse niskog ed u sednjem ketnju do ed K ln ε, gde je ε ms Jupite u jedinicm mse Sunc, tj. ε 10 3 i vlo jke ν 6 sekulne ezonnse 2 Guzzo i Mobidelli 1997 su pokzli d je glvni psten steoid u dinmičkom ežimu koji opisuje teoem Nehoošev. Pem Nehooševu, fzni posto se može podeliti n zličite zone: neezonntne domene, domene s jednom ezonnsom i domene s dve ezonnse, medutim - detljnije o tome videti u sledećem poglvlju. Npomenimo d je glvni uzok hos pelz peko septis ezonnsi. Septise pedstvljju neku vstu gnice zdvjjući oblsti u fznom postou izvn ezonnci, gde ezonntni kitični ugo vši cikulciju, od oblsti unut ezonnse gde se vši libcij. Obično su septise okužene tnkim stohstičkim slojem, peiodičnim 1 Polupečnik uticjne sfee se definiše ρ = d 5 m M 2, gde su m i M mse tel, d je njihovo medusobno - stojnje. N pime, z Jupite u odnosu n Sunce m M 1 1047.35 polupečnik uticjne sfee iznosi ρ = 0.30665 AU. 2 Rezonns koj je posledic szmenosti fekvencij peihel steoid i Stun.

10 Hotično ketnje steoid i njegovo meenje pesecnjem tkvog sloj pojčvju se hotični efekti. 1.5.3 Peklpnje ezonnsi Peklpnje ezonnsi se jvlj izme - du zličitih tipov ezonnsi sekulnih i/ili u sednjem ketnju ili izme - du multiplet iste ezonnse u sednjem ketnju višeg ed. U oblstim fznog posto gde dolzi do peklpnj ezonnsi ne može se definisti neezonntni domen, svi invijntni tousi bivju uništeni i čitv oblst se kkteiše bzom difuzijom Knežević, 2000.

Glv 2 Teoem Nehoošev Nehoošev je teoemu do z kvzi integbilne nedegeneisne sisteme. Pod kvzi integbilnim sistemim podzumevmo one sisteme čiji se Hmiltonijn može pikzti u obliku sume integbilnog del H 0 i mle petubcije ɛh 1. Hmiltonijn je nedegeneisn ko im smo onoliko pvih integl koliko stepeni slobode. Me - dutim, degeneisni integbilni sistemi imju veći boj pvih integl od boj stepeni slobode. Tipičn pime je Kepleov poblem dv tel. On im 5 pvih integl: velik poluos, ekscentičnost e, inklincij i, i uglovi longitud peihel ϖ i longitud čvo Ω. Dkle, poed konstntnih moment još i neki uglovi bivju konstnte ketnj Mobidelli, 2002. Z nedegeneisne sisteme vži KAM teoem Kolmogoov, 1954; Anold, 1963; Mose, 1962. On tvdi d ko je petubcij dovoljno ml ond postoji veliki boj invijntnih tous n kojim će se nlziti kvzi peiodične tjektoije z sve početne uslove iz zdtog domen. Poteklih decenij više gup je dilo n ovoj poblemtici. Ispitivni sistem je bio njpostiji ogničeni slučj ti tel s kužnim obitm Celletti i Chiechi, 1998. 2.1 Fomulcij teoeme Nehoošev 1977 je postvio teoemu z utonomne Hmiltonove sisteme tip Hp, q = H 0 + ɛh 1, gde su p, q moment ugo pomenljive definisne n domenu D G T n. Ovde je G posto moment n domenu IR n, dok je T n posto uglov n dimenzioni tous. Osnovn petpostvk je d je Hmiltonijn nlitičk funkcij, tj. d se može zviti u konvegentn ed u okolini neke tčke p, q D. S G oznčvmo skup svih tčk p koje su sdžne u G zjedno s okolinom. Sd možemo fomulisti teoemu Nehoošev: Nek je Hp, q = H 0 + ɛh 1 eln i nlitički u D G T n, gde je 11

12 Teoem Nehoošev G IR n otvoen i ogničen i H 1 1. Nek je mtic Cp definisn s C ij = 2 H 0 p p i p j i nek postoje pozitivne konstnte M i m tkve d Cpv M v, p G, v IR n 2.1 Cpv v mv v, p G, v IR n. 2.2 Td postoje pozitivne konstnte ɛ,α, β, i b tkve d z svko ɛ ɛ vži z svko p0 G i z svko t T ɛ gde je pt p0 αɛ 2.3 T ɛ = β 1 exp ɛ b 1. 2.4 ɛ Teb istći d teoem Nehoošev ne isključuje mogućnost hotičnog ketnj tj. momenti p se mogu menjti n hotičn nčin li je veličin tih pomen ogničen s sve do istek vemen T ɛslik 2.1. Ovo veme stbilnosti T ste eksponencijlno kd ɛ opd. Kd je ɛ veom mlo blisko nuli td T može biti izuzetno dug peiod tj. može pemšiti fizičko veme tjnj dinmičkog sistem. N ovj nčin se dokzuje efektivn stbilnost sistem. Teb posebno istći d ovj ezultt vži unifomno z svki izbni početni uslov p, q kd je p G. Medutim, - ko bi početni uslov izbli blizu gnice n odstojnju mnjem od td bi se moglo desiti d moment pobegne iz domen G z veme kće od T. Vžn petpostvk teoeme je nlitičnost Hmiltonijn, dok se uslov konveksnosti 2.2 može ublžiti u geneički uslov stmosti engl. steepness z koji je Nehoošev dokzo teoemu. D bi vžil teoem Nehoošev, fzni posto mo d poseduje specifičnu stuktuu stuktuu Nehoošev iz koje se lko izvodi eksponencijln stbilnost. U čemu se sstoji ov stuktu? Rdi jednostvnosti petpostvićemo d se di o sistemu s ti stepen slobode. S ω = H 0 / p oznčićemo fekvencije koje će poslužiti d se definiše stuktu. Eliminišimo iz petubcije ɛh 1, pimenom knonskih tnsfomcij, hmonijski čln ɛh 1,k e ik q. To je moguće smo izvn pogodno odbne okoline ezonntne vni k ω = 0. Nvno, blizu ezonntne vni se ne može ukloniti ovj čln. Tkode, - poznto je d je skup svih ezonnsi geneisnih celobojnim vektoim k Z 3 \0 gust u IR 3, tko d n svkom otvoenom podskupu G nije moguće eliministi iz petubcije neogničen boj hmonik. N ovoj činjenici se zsniv Poincé-ov 1892 dokz neintegbilnosti sistem. Medutim, - idej Nehoošev je

Teoem Nehoošev 13 Slik 2.1: Skic evolucije moment p pem Nehooševu. Pomene moment mogu biti hotične, li su ogničene n usku oblst oko početne vednosti. Moment može izći iz oblsti tek po isteku eksponencijlno dugog vemenskog intevl T. d se ogniči n ezonnse smo do nekog ed K. 1 Ovkv pistup je veom vžn je je boj ezonnsi do dtog ed končn, dok svki otvoeni skup moment može d sdži končn boj ezonntnih vni. Pokzuje se d su člnovi kojim odgovju ezonnse višeg ed od K eksponencijlno mli i mogu se znemiti. Njpe, pem Nehooševu, možemo definisti neezonntni domen ko skup onih tčk koje su dovoljno dleko od svih ezonnsi ed K Slik 2.2. Peciznije ečeno, neezonntni domen se definiše ko skup fekvencij ω tkvih d je k ω > ɛ z svko k z koje je k K. Ovo je tkozvni Diofntov uslov, gde se tetiju smo one tčke u fznom postou z koje vži k ω γ k τ, k Zn, k 0, 2.5 z neko pozitivno γ i τ Todoović, 2007. U neezonntnom domenu se mogu eliministi svi hmonijski člnovi u petubciji ɛh 1 ed mnjeg od K, što im z posledicu d se Hmiltonijn H 0 +ɛh 1 može integliti ko se znemi osttk R K koji je eksponencijlno mli. Pem tome, u neezonntnom domenu fekvencije momenti će biti konstnte sve do ed koji može d sdži znemeni eksponencijlno mli čln R K. Deo fznog posto gde je pisutn smo jedn ezonns do ed K nziv se domen jednostuke ezonnse Slik 2.2b. Ko i u pethodnom slučju svi neezonnsni člnovi se mogu eliministi. Td se Hmiltonijn svodi smo n jedn ezonnsni čln ed mnjeg od K i osttk R K koji je opet eksponencijlno mli. Ovkv Hmiltonijn se može, pogodnim knonskim tnsfomcijm, učiniti d 1 Red ezonnse tip k ω k 1 ω 1 +... + k n ω n = 0 se definiše ko k = Σ n i=1 k i.

14 Teoem Nehoošev b neezonntni domeni domeni jedne ezonnse c domeni dve ezonnse Slik 2.2: Podel fznog posto pem Nehooševu: neezonntni domeni, domeni jedne ezonnse b i domeni dve ezonnse c. zvisi smo od jednog ugl ezonntni ugo, ko tkv je integbiln. Sd fekvencije nisu više konstntne već se mogu menjti u pvcu tzv. bzog dift. Hipotez konveksnosti 2.2 gntuje d će pvc bzog dift biti nomln n ezonnsne linije, time i ovo ketnje mo biti ogničeno. Mest gde se pesecju ezonnse nzivju se domeni dvostuke ezonnse Slik 2.2c. U ovim domenim edukovni Hmiltonijn im dv nezvisn ezonntn čln ed mnjeg od K i, u opštem slučju, nije integbiln. Fekvencije u ovim domenim se mogu zntno menjti, što znči, d ovde očekujemo izzito hotično ketnje. Ono što teb imti u vidu je d je ovj fzni posto ogničen i d se fekvencije ne mogu peviše udljiti od tčke pesek ezonnsi je bi zšle u domen jednostuke ezonnse ili u neezonnsni domen. Može se zključiti d, znemujući eksponencijlno mli osttk R K, z sve početne uslove, ketnje će biti ogničeno jednim od pomenutih domen. To im z posledicu d se fekvencije momenti mogu menjti njviše z veličinu jednku dijusu domen dvostuke ezonnse. Tj dijus je popocionln ɛ, gde je 0 < < 1 opd kd boj stepeni slobode ste.

Teoem Nehoošev 15 ω ω b Slik 2.3: Izolinije u vni nomlnoj n pvc vekto fekvencije ω kvzi konveksnog Hmiltonijn i kd uslov kvzi konveksnosti nije ispunjen b. 2.2 Definicij konveksnosti, kvzi konveksnosti i 3 jet uslov Uslov konveksnosti 2.2 se može zmeniti blžim uslovom kvzi konveksnosti ili još lbvijim uslovom 3 jet. Svi ovi uslovi spdju u geneički tip koji Nehoošev nziv stmost engl. steepness, us. kuto. Niedemn 2003 dje sledeću definiciju stmosti: Nek je P otvoeni skup u IR n. Z elnu nlitičku funkciju h : P IR se kže d je stm u tčki I P duž nekog finog podposto Π, koji sdži I, ko postoje konstnte C > 0, δ > 0 i p > 0 tkve d duž svke nlitičke egulne kive γ u Π, koj povezuje I s nekom dugom tčkom n stojnju d < δ, nom pojekcije gdijent hi n pvc Π bude već od C d p ; C, δ i p se nzivju koeficijenti i indeks stmosti espektivno. Pod nvedenim petpostvkm, funkcij h je stm u tčki I P ko I nije kitičn tčk h i ko, z svko k {1,..., n 1}, postoje konstnte C k, δ k i p k tkve d je h stm u I duž m kog finog podposto dimenzije k koji sdži I unifomno u odnosu n koeficijente C k, δ k i indeks p k. Kkv je smiso ovih uslov i kko ih možemo poveiti? Kvzi konveksnost znči d će estikcij Hessin Hmiltonijn H 0 n hipevn otogonlnu n vekto fekvencije ω pem tome, i n vn bzog dift koj sdži ω imti kvdtni minimum ili mksimum u tčki tčne ezonnse. N Slici 2.3 je pikzn ovj slučj z n = 3 i tčku dvostuke ezonnse, tko d je vn bzog dift dvodimenzionln. Kd uslov kvzi konveksnosti nije ispunjen ko n Slici 2.3b stuktu nivoovskih linij je hipeboličk umesto eliptičke ko u pethodnom slučju i u vni bzog dift postoje pvci, simptote hipebole, gde je Hessin jednk nuli. Dkle, pove kvzi konveksnosti u nekoj tčki se

16 Teoem Nehoošev svodi n poveu d li je Hessin zličit od nule u toj tčki. Mtemtički to se fomuliše n sledeći nčin Hmiltonijn H 0 je konveksn u tčki I 0 R n, ko z svko u R n vži n i=1 H 0 I i I 0 u i = 0, 2.6 kvzi konveksn, ko poed 2.6, vži i elcij n i,j=1 2 H 0 I i I j I 0 u i u j = 0, 2.7 dok z 3 jet moju biti ispunjene elcije 2.6, 2.7 i n i,j,k=1 3 H 0 I i I j I k I 0 u i u j u k = 0, 2.8 tko d sistemi nemju dug ešenj osim tivijlnih. Dkle, z poveu kvzi konveksnosti moju se čunti izvodi Hmiltonijn do dugog ed, dok su z poveu 3 jet uslov potebni izvodi tećeg ed. 2.3 Algoitm z poveu uslov konveksnosti, kvzi konveksnosti i 3 jet Z poveu uslov konveksnosti potebno je d sve fekvencije imju isti znk pozitivn ili negtivn, dok z ostl dv uslov teb fomiti Hesijn, tj. mticu dugih izvod integbilnog del Hmiltonijn H 0 po kcijm I = I 1, I 2, I 3 A = 2 H 0 I1 2 2 H 0 2 H 0 I 1 I 2 2 H 0 2 H 0 I 1 I 3 2 H 0 I 2 I 1 2 H 0 I2 2 2 H 0 I 2 I 3 2 H 0 I 3 I 1 I 3 I 2 I3 2. 2.9 Ztim, odedimo sopstvene vednosti λ 1, λ 2, λ 3 Hesijn 2.9. Hmiltonijn H 0 je konveksn u dtoj tčki ko su sve ti sopstvene vednosti istog znk. Ukoliko sopstvene vednosti Hesijn nisu istog znk, ond teb nći estikciju Hesijn 2.9 n vn nomlnu n vekto fekvencij

Teoem Nehoošev 17 ω = ω 1, ω 2, ω 3 = H 0 I 1, H 0 I 2, H 0 I 3. 2.10 Postupk čunnj estikcije Hesijn je peuzet iz Benettin i d. 1998. On se sstoji od otcije koodint I sve dok se vekto fekvencij ω ne poklopi s pvom koodintnom osom. Zpvo, tžen estikcij B je odgovjuć otin blok mtic 22. Hmiltonijn H 0 je kvzi-konveksn ko obe sopstvene vednosti estikcije B imju isti znk. Nek su sopstvene vednosti estikcije B zličitog znk, oznčimo ih s b + > 0 > b i nek su w ± odgovjući sopstveni vektoi jedinične nome. Dv pvc u vni nomlnoj n vekto fekvencij gde je Hesijn 2.9 jednk nuli su plelni vektoim u ± = b w + ± b + w. 2.11 Z poveu 3 jet uslov dovoljno je izčunti izz s leve stne jednčine 2.8 z vektoe u ± i ko je zličit od nule, z ob vekto, kžemo d je Hmiltonijn H 0 3 jet nedegeneisn. Zpvo, izbn je nivo od 10 2 u jedinicm sednjeg ketnj Jupite 2 ispod kog se može smtti d uslov nije ispunjen. 2 Vednost je peuzet od Lemite i Mobidelli 1994 koj je koišćen ko gničn veličin šiine ezonnse z detekciju sekulnih ezonnsi što odgov oko 3 csec/y.

18 Teoem Nehoošev

Glv 3 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi Model koji koistimo se sstoji od steoid, tel znemljivo mle mse, koji se keće po Kepleovoj obiti oko Sunc i čije ketnje petubuju velike plnete sunčevog sistem. Koistimo sledeće, uobičjene oznke z eliptičke oskultone elemente steoid: velik poluos, e ekscentičnost, i ngib, ω gument peihel, Ω longitud uzlznog čvo i M sednj nomlij meen u heliocentičnom sistemu. Odgovjuće veličine s pimom odnosiće se n poemećjnu plnetu, dok je njen ms m. Tkode, - koistićemo knonske pomenljive Deluny- L = Gm 0 + m = µ, G = L 1 e 2, H = G cos i = L 1 e 2 cos i, l = M g = ω h = Ω, 3.1 ili knonske pomenljive Poincé- Λ = L = µ, Γ = L G = L1 1 e 2, Z = G H = 2G sin 2 i 2, λ = l + g + h = M + ϖ, γ = g h = ϖ, z = h = Ω. 3.2 gde je s µ oznčen poizvod mse Sunc m 0 i gvitcione konstnte G. Hmiltonovu funkciju H z steoid možemo npisti u sledećem obliku Lemite i Mobidelli, 1994: 19

20 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi gde je H = H 0 L + H 1 L, G, H, l, g, h,, e, i, l, g, h 3.3 H 0 L = µ2 2L 2 3.4 tj. Hmiltonijn poblem dv tel Sunce steoid, H 1 poemećj koji vši plnet n steoid i koji je popocionln msi m. Ukoliko uključujemo uticj više plnet H 1 uzimmo ko sumu poemećj. 3.1 Elimincij ktkopeiodičnih člnov i integbilni Hmiltonijn Hmiltonove jednčine sdže ktkopeiodične člnove, tj. člnove čiji peiodi odgovju vemenim evolucije l i l oko Sunc. Elimincij ktkopeiodičnih člnov u Hmiltonijnu 3.3 se vši pimenom petubcione teoije Hoi-j 1966 koj se zsniv n konstukciji pogodnih knonskih tnsfomcij. Ovkv tnsfomcij je do pvog ed po msi plnete ekvivlentn usednjvnju Hmiltonijn 3.3 po uglovim l i l. Schubt 1964 je pokzo d se to može uditi numeički tko d se vednost zmtne funkcije čun z ekvidistntne tčke u intevlu peiodičnosti ktkopeiodičnog gument, dok kitični i dugi dugopeiodični gumenti ostju konstntni. Dkle, možemo pisti gde je < H >= 1 2Λ 2 + < H 1 > 3.5 < H 1 >= 1 2π 2π 0 H 1 dl dl. 3.6 Usednjeni Hmiltonijn < H > je sd funkcij sednjih Deluny-ovih pomenljivih L,G,H,g,h dok pmetski zvisi od element plnet,e,i,g,h. Kko su ekscentičnost i inklincij plnet mle veličine Willims, 1969 možemo Hmiltonijn 3.5, uzimjući u obzi 3.6, zviti u Tejloov ed po pomenljivim e i i u okolini nule. Td, Hmiltonijn 3.5 postje H = 1 2Λ 2 + εk 0 + ε 2 K 1 + ε 3 K 2 + 3.7

Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 21 gde indeks i u K i oznčv stepen odgovjućeg polinom po e i i. Pem tome, K 0 je petubcij koju izzivju plnete kd se keću po kužnim putnjm u istoj vni. Ovde teb istći d nije nikkv zvoj všen po elementim steoid tko d će izveden teoij vžiti z sve vednosti ekscenticitet i inklincije. Čln K 0 se nziv Kozijev Hmiltonijn Kozi, 1962, čunmo g iz K 0 =< H 1 > e =0,i =0. 3.8 Pokzuje se d je Kozijev Hmiltonijn funkcij smo jednog ugl gument peihel g, ko tkv je integbiln. Zto ćemo ksnije dti njegov detljniji opis. Dkle, integbilni Hmiltonijn se sstoji od pv dv čln 3.7 tj. H int = 1 2Λ 2 + εk 0L, G, H, g 3.9 gde je ε ed veličine mse poemećjne plnete 10 3. 3.2 Dinmik Kozijevog Hmiltonijn D bi opisli dinmički potet Kozijevog Hmiltonijn pogodno je peći n modifikovne knonske Poincé-ove pomenljive, zdžvjući g ko jedini ugo Λ = L =, P = L H = 1 1 e 2 cos i, Q = G H = 1 e 2 1 cos i, λ = l + g + h, p = g h, q = g. 3.10 Npomenimo d je izbn tkv sistem jedinic u kome je µ = 1. S ovim novim skupom pomenljivih Kozijev Hmitonijn možemo simbolički pikzti K 0 = K 0 q, Q,, P,, Λ. 3.11 Kko K 0 ne zvisi od uglov p i λ to će z konjugovne momente vžiti P = const i Λ = const. Zbog tog što je P = const ekscenticitet i inklincij steoid više neće biti nezvisni. N svkoj povšini P = const može se odediti mksimln vednost inklincije i mx = ccosh/ kojoj odgov e = 0. S duge stne mksimln vednost ekscenticitet je e mx = 1 H 2 / i dobij se z i = 0. Z mle vednosti inklincije izolinije K 0 se vlo mlo zlikuju od kužnice Slik 3.1. To znči d gument peihel g vši cikulciju dok je ekscenticitet pktično konstntn. S povećnjem ngib izolinije se postepeno izdužuju u pvcu e sin g. Agument peihel još uvek vši cikulciju li ekscenticitet osciluje polzeći koz mksimum z g = 90 ili g = 270, dok inklincij td

22 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi Slik 3.1: Kozijev Hmiltonijn z zne vednosti inklincije. Velik poluos je iml fiksinu vednost 3 AJ.

Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 23 im minimlnu vednost Slik 3.1b. Iznd neke kitične vednosti inklincije dinmik Kozijevog Hmiltonijn se dstično menj Slik 3.1c. Tčk e = 0 postje nestbiln vnotežn tčk. Pojvljuju se septise koje dele fzni posto n ti oblsti: dve oblsti kkteiše libcij g oko 90 ili 270 i u tećoj oblsti g i dlje vši cikulciju. Ovkv stuktu omogućv pojvu ezonnse Kozi-jeve ezonnse. Zpvo, to je 1 : 1 ezonns izme - du pecesione fekvencije longitude peihel i longitude čvo steoid. Z još veće vednosti inklincije Kozi-jev ezonns postje jč, u smislu d šiin oblsti libcije ste Slik 3.1d. Tčk e = 0 je uvek nestbiln vnotežn tčk što z posledicu im d svk obit s početnim mlim ekscenticitetom se pinudi, ovkvim ezonntnim mehnizmom, d dostigne veće i veće vednosti. To znči, d tkv steoid tokom svoje sekulne evolucije može peseći obitu neke unutšnje plnete. Kitičn vednost inklincije zvisi od velike poluose steoid. Z slučj pikzn n Slici 3.1 kitičn vednost inklincije iznosi oko 33. 3.3 Pomenljive dejstvo ugo Kozijevog Hmiltonijn K 0 Kko je Kozijev Hmiltonijn integbiln može se pogodnom tnsfomcijom pomenljivih npisti u fomi d ne zvisi od uglov već smo od dejstv. To se postiže pimenom Hend 1990 seminumeičke metode i sledeće knonske tnsfomcije q = q Λ, J, Z, ψ, Q = Q Λ, J, Z, ψ, p = z + ϱ z Λ, J, Z, ψ, P = Z, λ = λ + ϱ λ Λ, J, Z, ψ, Λ = Λ, 3.12 gde su Λ, λ, P, p, Q, q ste, Λ, λ, Z, z, J, ψ nove knonske pomenljive. Ov tnsfomcij se ne može pikzti eksplicitnim fomulm, li se može čunti numeički. Moment J je popocionln povšini koju zhvt obit. Ugo ψ je linen funkcij vemen i mei položj n obiti. Pošto su dejstv P i Λ konstnte ketnj, zdžni su ko nove pomenljive, li zbog očuvnj knoničnosti tnsfomcije konjugovni uglovi z i λ moju dobiti knonske koekcije ϱ z Λ, J, Z, ψ i ϱ λ Λ, J, Z, ψ.

24 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi Umesto pomenljivih Q i q možemo uvesti pvougone knonske pomenljive x i y Lemite i Mobidelli, 1994 elcijm x = 2Q cos q, y = 2Q sin q. 3.13 Tjektoiju ili kivu dobijmo numeičkom integcijom Hmiltonovih jednčin z Kozijev Hmiltonijn dx dt dy dt = K 0 y, = K 0 x. 3.14 Nvno, kd n - demo efeentnu obitu, izvode pvog i višeg ed po momentim Λ, J i Z čunmo numeički. 3.4 Rčunnje izvod Kozijevog Hmiltonijn po pomenljivim L, G, H i g Kozijev Hmiltonijn z steoid 3.8 se može pikzti u eksplicitnom obliku, peko pomenljivih Deluny- 3.1: K 0 L, G, H,, g, = k 2 m 2π 2π 1 1 2 0 0 x x + y y + z z 3 dl dl 3.15 gde su koišćene sledeće oznke

Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 25 x = cos g cos h H G sin g sin hl2 cos E e + sin g cos h H cos g sin hl G sin E, G y = cos g sin h + H G sin g cos hl2 cos E e + sin g sin h + H cos g cos hl G sin E, G z = 1 H2 G sin g 2 L2 cos E e + 1 H2 cos g L G sin E, G2 = L 2 1 e cos E = 2 + 2 2x x + y y + z z l = E e sin E, dl = 1 e cos EdE x = cos l y = sin l z = 0. 3.16 k 2 Guss-ov konstnt, m ms petubujuće plnete 1, E ekscentičn nomlij steoid. K 0 je funkcij L kko diektno tko i peko e, tj. mo se voditi čun pi nlženju izvod N pime, izvod L = L + e L e = 2L + G2 e L 3 e. 3.17 E L = G2 sin E e L 3 1 e cos E, 3.18 dok je izvod podinteglne funkcije Kozijevog Hmiltonijn 3.15 K 0 L = 1 1 2 3/2 L 1 3 x L x + y L y + z L z 3.19 gde je 1 U izzu 3.9 z integbilni Hmiltonijn upotebljen je oznk ε z msu poemećjne plnete izženu u jedinicm mse Sunc.

26 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi L = 2 L 2 x L x + y L y + z L z 3.20 L = 2 L1 e cos E + L2 e E cos E + e sin E L L = 2 L1 e cos E L 2 e cos E e L 1 e cos E. 3.21 Izvodi x, y i z se svode n čunnje izvod L L L L L2 cos E e i L sin E L L 2 cos E e = 2Lcos E e + L 2 sin E E L L e L E L sin E = sin E + L cos E L L 3.22 Končno se dobij uključujući znk koji stoji isped integl 3.15 K 0 L = 1 3/2 + 1 3 L x L x y L y z x L x + y L y + z L z L z. 3.23 3.4.1 Izvodi pvog ed Zpvo elcij 3.23 je smo skćeni zpis izvod K 0 je ćemo u svim ostlim izzim podzumevti d teb čunti dvostuki integl po sednjim L nomlijm steoid i plnete. Dkle, potpun izz je K 0 L = k2 m + 1 3 2π 2π 0 0 [ 1 3/2 L x L x y x L x + y L y + z L z L y z ] dldl. L z 3.24

Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 27 N sličn nčin dobijju se izvodi po G K 0 G = 1 1 2 3/2 G 1 3 G = 2 G 2 G = L2 e G = G e L, 2 x G x + y G y + z x G x + y G y + z e E cos E + e sin E G G E G = e G z G z = L 2 e cos E e G 1 e cos E sin E G 1 e cos E 3.25 K 0 G = 1 3/2 + 1 3 G x G x y G y z x G x + y G y + z G z G z 3.26 po H K 0 H = 1 1 2 3/2 H 1 x 3 H x + y H y + z H z H = 2 x H x + y H y + z H z x H = 1 G sin g sin h L2 cos E e 1 cos g sin h L G sin E, G y H = 1 G sin g cos h L2 cos E e + 1 cos g cos h L G sin E, G z H = H G 2 sin i sin g L2 cos E e H cos g L G sin E, G 2 sin i 3.27 K 0 H = 1 ko i po g 3/2 + 1 3 x H x + y H y + z x H x + y H y + z H z H z, 3.28

28 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi K 0 g g x g y g z g = 1 1 2 3/2 g 1 = 2 3 x g x + y x g x + y g y + z g z g y + z g z = sin g cos h H G cos g sin hl2 cos E e + cos g cos h + H sin g sin hl G sin E, G = sin g sin h + H G cos g cos hl2 cos E e = + cos g sin h H sin g cos hl G sin E, G 1 H2 G cos g 2 L2 cos E e 1 H2 sin g L G sin E, G2 3.29 K 0 g = 1 3/2 + 1 3 x g x + y g y + z g z x g x + y g y + z g z, 3.30 3.4.2 Izvodi dugog ed Dugi izvodi su: 2 K 0 = 3 L 2 5/2 L x L x y L y z 2 L z [ + 1 2 2 + 3/2 L L 2 x 2 L 2 x 2 y L 2 y 2 z + 1 3 2 x L 2 x + 2 y L 2 y + 2 z L 2 z, L 2 z ] 3.31

Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 29 2 K 0 = 3 G 2 5/2 G x G x y G y z G z [ + 1 2 2 + 3/2 G G 2 x 2 G 2 x 2 y G 2 y 2 z + 1 3 2 x G 2 x + 2 y G 2 y + 2 z G 2 z, 2 G 2 z ] 3.32 2 K 0 = 3 x H 2 5/2 H x + y H y + z 2 H z 1 2 x 3/2 H 2 x + 2 y H 2 y + 2 z H 2 z }{{} =0 + 1 2 x 3 H 2 x + 2 y H 2 y + 2 z H 2 z, }{{} =0 3.33 2 K 0 L G = 3 5/2 + 1 3/2 L x L x y L y z L z G x G x y G y z G z L G + 2 L G 2 x L G x + + 1 3 2 y L G y 2 z L G z 2 x L G x + 2 y L G y + 2 z L G z 3.34, 2 K 0 L H = 3 5/2 L x L x y L y z L z x H x + y H y + z H z 1 2 x 3/2 L H x + 2 y L H y + 2 z L H z + 1 2 x 3 L H x + 2 y L H y + 2 z L H z, 3.35

30 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 2 K 0 G H = 3 5/2 G x G x y G y z G z x H x + y H y + z H z 1 2 x 3/2 G H x + 2 y G H y + 2 z G H z + 1 2 x 3 G H x + 2 y G H y + 2 z G H z, 3.36 2 K 0 = 3 x g 2 5/2 g x + y g y + z 1 2 x 3/2 + 1 3 g z g 2 x + 2 y g 2 y + 2 z 2 g 2 z 2 x g 2 x + 2 y g 2 y + 2 z g 2 z, 3.37 2 K 0 L g = 3 5/2 L x L x y L y z L z x g x + y g y + z g z 1 2 x 3/2 L g x + 2 y L g y + 2 z L g z + 1 2 x 3 L g x + 2 y L g y + 2 z L g z, 3.38 2 K 0 G g = 3 5/2 G x G x y G y z G z x g x + y g y + z g z 1 2 x 3/2 G g x + 2 y G g y + 2 z G g z + 1 2 x 3 G g x + 2 y G g y + 2 z G g z, 3.39

Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 31 2 K 0 H g = 3 x 5/2 H x + y H y + z 1 2 x 3/2 + 1 3 x H z g x + y g y + z H g x + 2 y H g y + 2 z H g z 2 x H g x + 2 y H g y + 2 z H g z, g z 3.40 3.4.3 Izvodi tećeg ed Teći izvodi: 3 K 0 = 15 L 3 7/2 L x L x y L y z 9 5/2 L x L x y [ + 1 3/2 + 1 3 L L z L y z 3 L z 2 + 2 L 2 2 x L 2 x 2 y L 2 y 2 z L 2 z 3 L 2 L + 3 2 3 x L 3 x + 3 y L 3 y + 3 z L 3 z L 3 x 3 L 3 x 3 y L 3 y 3 z, ] L 3 z 3.41 3 K 0 = 15 G 3 7/2 G x G x y G y z 9 5/2 G x G x y [ + 1 3/2 + 1 3 G G z G y z 3 G z 2 + 2 G 2 2 x G 2 x 2 y G 2 y 2 z G 2 z 3 G 2 G + 3 2 G 3 x 3 G 3 x 3 y G 3 y 3 z, 3 x G 3 x + 3 y G 3 y + 3 z G 3 z ] G 3 z 3.42

32 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 3 K 0 = 15 H 3 7/2 = 15 7/2 }{{ H} =0 x H x y H y z x H x + y H y + z H z H z 3, 3 3.43 3 K 0 L 2 G = 15 7/2 L x L x y L y z 2 L z G x G x y G y z G z 6 5/2 L x L x y L y z L z L G + 2 L G 2 x L G x 2 y L G y 2 z L G z 3 5/2 G x G x y G y z G z [ ] 2 2 + L L 2 x 2 L 2 x 2 y L 2 y 2 z L 2 z + 1 3/2 2 L 3 x L 2 G x + 1 3 3 x L 2 G x + 2 L G + 2 G 3 y L 2 G y 3 y L 2 G y + L + 3 2 L 2 G + 3 z L 2 G z 3 z L 2 G z, 3.44

Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 33 3 K 0 = 15 L G 2 7/2 G x G x y G y z 2 G z L x L x y L y z L z 6 5/2 G x G x y G y z G z L G + 2 L G 2 x L G x 2 y L G y 2 z L G z 3 5/2 L x L x y L y z L z [ ] 2 2 + G G 2 x 2 G 2 x 2 y G 2 y 2 z G 2 z + 1 3/2 2 G 3 x L G 2 x + 1 3 3 x L G 2 x + 2 L G + 2 L 3 y L G 2 y 3 y L G 2 y + G + 3 2 L G + 2 3 z L G 2 z 3 z L G 2 z, 3.45

34 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 3 K 0 L 2 H = 15 7/2 L x L x y L y z L z 2 x H x + y H y + z H z + 6 5/2 L x L x y L y z L z 2 x L H x + 2 y L H y + 2 z L H z + 3 x 5/2 H x + y H y + z H z [ ] 2 2 + L L 2 x 2 L 2 x 2 y L 2 y 2 z L 2 z 1 3 x 3/2 L 2 H x + 3 y L 2 H y + 3 z L 2 H z + 1 3 x 3 L 2 H x + 3 y L 2 H y + 3 z L 2 H z, 3.46 3 K 0 = 15 L H 2 7/2 6 5/2 x H x + y H y z 2 H z L x L x y L y z x H x + y H y + z H z 2 x L H x + 2 y L H y + L z 2 z L H z, 3.47

Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 35 3 K 0 G 2 H = 15 7/2 G x G x y G y z G z 2 x H x + y H y + z H z + 3 5/2 G x G x y G y z G z 2 x G H x + 2 y G H y + 2 z G H z + 3 x 5/2 H x + y H y + z H z [ ] 2 2 + G G 2 x 2 G 2 x 2 y G 2 y 2 z G 2 z 1 3 x 3/2 G 2 H x + 3 y G 2 H y + 3 z G 2 H z + 1 3 x 3 G 2 H x + 3 y G 2 H y + 3 z G 2 H z, 3.48 3 K 0 = 15 G H 2 7/2 x H x + y H y z 2 H z 6 5/2 G x G x y G y z x H x + y H y + z H z 2 x G H x + 2 y G H y + G z 2 z G H z, 3.49

36 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 3 K 0 L G H = 15 7/2 L x L x y L y z L z G x G x y G y z G z x H x + y H y z H z + 3 5/2 G x G x y G y z G z 2 x L H x + 2 y L H y + 2 z L H z + 3 5/2 L x L x y L y z L z 3.50 2 x G H x + 2 y G H y + 2 z G H z + 3 x 5/2 H x + y H y + z H z L G + 2 L G 2 x L G x 2 y L G y 2 z L G z 1 3 x 3/2 L G H x + 3 y L G H y + 3 z L G H z + 1 3 x 3 L G H x + 3 y L G H y + 3 z L G H z, 3 K 0 = 15 x g 3 7/2 g x + y g y + z 3 g z 9 x 5/2 g x + y g y + z 2 y g z g 2 y + 2 z 2 x g 2 x + 2 y g 2 y + 2 z g 2 z 1 3/2 + 1 3 3 x g 3 x + 3 y g 3 y + 3 z g 3 z 3 x g 3 x + 3 y g 3 y + 3 z g 3 z, g 2 z 3.51

Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 37 3 K 0 L 2 g = 15 7/2 L x L x y L y z x g x + y g y + z g z + 6 5/2 L x L x y L y z 2 x L g x + 2 y L g y + 2 z L g z + 3 x 5/2 g x + y g y + z g z [ L z L z 2 2 2 + L L 2 x 2 L 2 x 2 y L 2 y 2 z L 2 z 1 3 x 3/2 L 2 g x + 3 y L 2 g y + 3 z L 2 g z + 1 3 x 3 L 2 g x + 3 y L 2 g y + 3 z L 2 g z, ] 3.52 3 K 0 L g 2 = 15 7/2 x g x + y g y + z 2 g z L x L x y L y z x g x + y g y + z g z L z 6 5/2 2 x L g x + 2 y L g y + 2 z L g z + 3 2 x 5/2 g 2 x + 2 y g 2 y + 2 z g 2 z L x L x y L y z L z 1 3 x 3/2 L g 2 x + 3 y L g 2 y + 3 z L g 2 z + 1 3 x 3 L g 2 x + 3 y L g 2 y + 3 z L g 2 z, 3.53

38 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 3 K 0 G 2 g = 15 7/2 G x G x y G y z x g x + y g y + z g z + 6 5/2 G x G x y G y z 2 x G g x + 2 y G g y + 2 z G g z + 3 x 5/2 g x + y g y + z g z [ 2 2 + G 1 3 x 3/2 G 2 g x + 3 x G 2 g x + + 1 3 G z G z 2 G 2 2 x G 2 x 2 y G 2 y 2 z G 2 z 3 y G 2 g y + 3 y G 2 g y + 3 z G 2 g z 3 z G 2 g z, ] 3.54 3 K 0 G g 2 = 15 7/2 x g x + y g y + z 2 g z G x G x y G y z x g x + y g y + z g z G z 6 5/2 2 x G g x + 2 y G g y + 2 z G g z + 3 2 x 5/2 g 2 x + 2 y g 2 y + 2 z g 2 z G x G x y G y z G z 1 3 x 3/2 G g 2 x + 3 y G g 2 y + 3 z G g 2 z + 1 3 x 3 G g 2 x + 3 y G g 2 y + 3 z G g 2 z, 3.55

Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 39 3 K 0 H 2 g = 15 7/2 x H x + y H y + z x g x + y g y + z 6 5/2 g z H z x H x + y H y + z H z 2, 2 x H g x + 2 y H g y + 2 z H g z 3.56 3 K 0 = 15 x H g 2 7/2 g x + y g y + z 2 g z x H x + y H y + z H z 6 x 5/2 g x + y g y + z g z 2 x H g x + 2 y H g y + 2 z H g z 3 x 5/2 H x + y H y + z H z 2 x g 2 x + 2 y g 2 y + 2 z g 2 z 1 3 x 3/2 H g 2 x + 3 y H g 2 y + 3 z H g 2 z + 1 3 x 3 H g 2 x + 3 y H g 2 y + 3 z H g 2 z, 3.57

40 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 3 K 0 L G g = 15 7/2 L x L x y L y z L z G x G x y G y z G z x g x + y g y z g z + 3 5/2 G x G x y G y z G z 2 x L g x + 2 y L g y + 2 z L g z + 3 5/2 L x L x y L y z L z 3.58 2 x G g x + 2 y G g y + 2 z G g z + 3 x 5/2 g x + y g y + z g z L G + 2 L G 2 x L G x 2 y L G y 2 z L G z 1 3 x 3/2 L G g x + 3 y L G g y + 3 z L G g z + 1 3 x 3 L G g x + 3 y L G g y + 3 z L G g z,

Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 41 3 K 0 L H g = 15 7/2 L x L x y L y z L z x H x + y H y + z H z x g x + y g y z g z 3 x 5/2 H x + y H y + z H z 2 x L g x + 2 y L g y + 2 z L g z + 3 5/2 L x L x y L y z L z 2 x H g x + 2 y H g y + 2 z H g z 3 x 5/2 g x + y g y + z g z 2 x L H x + 2 y L H y + 2 z L H z 1 3 x 3/2 L H g x + 3 y L H g y + 3 z L H g z + 1 3 x 3 L H g x + 3 y L H g y + 3 z L H g z, 3.59

42 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 3 K 0 G H g = 15 7/2 G x G x y G y z G z x H x + y H y + z H z x g x + y g y z g z + 3 5/2 G x G x y G y z G z 2 x H g x + 2 y H g y + 2 z H g z 3 x 5/2 H x + y H y + z H z 2 x G g x + 2 y G g y + 2 z G g z 3 x 5/2 g x + y g y + z g z 2 x G H x + 2 y G H y + 2 z G H z 1 3 x 3/2 G H g x + 3 y G H g y + 3 z G H g z + 1 3 x 3 G H g x + 3 y G H g y + 3 z G H g z, 3.60 Pomoćne veličine z čunnje izvod po L su: e L = G2 el, 3 2 e = G4 L 2 e 3 L 3G2 6 el, 4 3 e = 3G6 L 3 e 5 L + 9G4 9 e 3 L + 12G2 7 el, 5 3.61

Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 43 e e cos E = L L E L = e L L sin E L = E cos E L = e cos E = sin E E L = e E cos E e sin E L = e cos E e L 1 e cos E, sin E 1 e cos E sin 2 E L 1 e cos E, sin E cos E L 1 e cos E, 3.62 L 2 L e cos E = 2 e 2 L 2 cos E e 1 e cos E = cos E e 1 e cos E + e L L cos E e, 1 e cos E cos E e L 1 e cos E + cos E e 1 e cos E 2 L e cos E, 3.63 L L 2 L cos E = 2 e sin 2 E 2 L 2 1 e cos E e L 2 L sin E = 2 e sin E cos E 2 L 2 1 e cos E + e L sin 2 E 1 e cos E sin E cos E 1 e cos E sin 2 E L 1 e cos E sin E cos E L 1 e cos E, = 2 e sin 2 E cos E L 1 e cos E, 2 sin 2 E + e cos E, 1 e cos E 2 L = e sin Ecos 2 E sin 2 E L 1 e cos E 2 sin E cos E + e cos E, 1 e cos E 2 L, 3.64 3 L cos E = 3 e 3 L 3 sin 2 E 1 e cos E 2 2 e L 2 sin 2 E e L 1 e cos E L 2 L 2 sin 2 E, 1 e cos E 3 L sin E = 3 e sin E cos E 3 L 3 1 e cos E +2 2 e L 2 L sin E cos E + e 1 e cos E L 2 L 2 sin E cos E, 1 e cos E

44 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 2 sin 2 E L 2 1 e cos E + L = 2 2 e L 2 sin 2 E 1 e cos E 2 sin 2 E cos E 1 e cos E + 2 e sin 2 E cos E + 2 L L 1 e cos E 2 sin 2 E 2 e cos E + L 1 e cos E 2 e cos E, L2 2 L 2 sin E cos E = 2 e sin Ecos 2 E sin 2 E + e sin Ecos 2 E sin 2 E + 1 e cos E L 2 1 e cos E 2 L L 1 e cos E 2 + sin E cos E sin E cos E 2 e cos E + e cos E, L 1 e cos E 2 L 1 e cos E 2 L2 sin 2 E cos E L 1 e cos E 2 = e sin 2 E3 cos 2 E 1 + 2 sin2 E cos E e cos E, L 1 e cos E 3 1 e cos E 3 L sin 2 E L 1 e cos E 2 = e 2 sin 2 E cos E L 1 e cos E + 2 sin 2 E e cos E, 3 1 e cos E 3 L L sin Ecos 2 E sin 2 E 1 e cos E 2 = e 2 sin E cos E1 + 2 sin 2 E + L 1 e cos E 3 +2 sin Ecos2 E sin 2 E e cos E, 1 e cos E 3 L sin E cos E L 1 e cos E 2 = e sin Ecos 2 E sin 2 E sin E cos E + 2 e cos E, L 1 e cos E 3 1 e cos E 3 L

Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 45 e cos E e = 2L1 e cos E L2 e cos E = 2L1 e cos E L2 L L 1 e cos E L x L = 2cos g cos h H sin g sin hlcos E e + G cos g cos h H G sin g sin hl2 cos E e + L sin g cos h H cos g sin hg sin E + G sin g cos h H cos g sin hl G sin E G L y L = 2cos g sin h + H sin g cos hlcos E e + G cos g sin h + H sin g cos hl2 cos E e + G L sin g sin h + H cos g cos hg sin E + G sin g sin h + H cos g cos hl G sin E, G L

46 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 2 L 2 = 21 e cos E + 4L L 2 e cos E L2 e cos E L2 2 x = 2cos g cos h H sin g sin hcos E e + L 2 G 4cos g cos h H G sin g sin hl cos E e + L cos g cos h H 2 sin g sin hl2 cos E e + G L2 2 sin g cos h H cos g sin hg sin E + G L sin g cos h H G 2 y L 2 = 2cos g sin h + H sin g cos hcos E e + G 4cos g sin h + H G 2 cos g sin hl G sin E L2 sin g cos hl cos E e + L cos g sin h + H 2 sin g cos hl2 cos E e + G L2 2 sin g sin h + H cos g cos hg sin E + G L sin g sin h + H G 2 cos g cos hl G sin E, L2 3.65

Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 47 3 L 3 = 6 2 3 e cos E 6L e cos E L2 e cos E L L2 L3 3 x L 3 = 6cos g cos h H sin g sin h cos E e + G L 6cos g cos h H G cos g cos h H G 3 sin g cos h H G 2 sin g sin hl cos E e + L2 3 sin g sin hl2 cos E e + L3 2 cos g sin hg sin E + L2 sin g cos h H 3 cos g sin hl G sin E G L3 3 y L 3 = 6cos g sin h + H sin g cos h cos E e + G L 6cos g sin h + H G cos g sin h + H G 3 sin g sin h + H G sin g sin h + H G 2 sin g cos hl cos E e + L2 3 sin g cos hl2 cos E e + L3 2 cos g cos hg sin E + L2 3 cos g cos hl G sin E. L3 3.66 Slično, pomoćne veličine z čunnje izvod po G su: e G = G el 2 2 e = G2 G 2 e 3 L 1 4 el 2 3 e = 3G3 G 3 e 5 L 3G 3.67 6 e 3 L 4

48 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi e e cos E = G G E G = e G G sin E G = E cos E G = e cos E = sin E E G = e E cos E e sin E G = e cos E e G 1 e cos E sin E 1 e cos E sin 2 E G 1 e cos E sin E cos E G 1 e cos E 3.68 G 2 G e cos E = 2 e 2 G 2 cos E e G 1 e cos E cos E e 1 e cos E 2 = = cos E e 1 e cos E + e G G cos E e 1 e cos E cos E e G 1 e cos E + cos E e e cos E 1 e cos E 2 G cos E e G 1 e cos E + 2 cos E e e cos E 2 1 e cos E 3 G 3.69 G G 2 G cos E = 2 e sin 2 E 2 G 2 1 e cos E e G 2 G sin E = 2 e sin E cos E 2 G 2 1 e cos E + e G sin 2 E 1 e cos E sin E cos E 1 e cos E sin 2 E G 1 e cos E sin E cos E G 1 e cos E = 2 e sin 2 E cos E G 1 e cos E 2 sin 2 E + e cos E 1 e cos E 2 G = e sin Ecos 2 E sin 2 E G 1 e cos E 2 sin E cos E + e cos E 1 e cos E 2 G 3.70

Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 49 sin E cos E G 1 e cos E 2 sin 2 E cos E G 1 e cos E 2 sin 2 E G 1 e cos E 2 = e sin E cos 2E G 1 e cos E 3 sin E cos E +2 e cos E 1 e cos E 3 G = e sin 2 E3 cos 2 E 1 G 1 e cos E 3 + sin2 E cos E e cos E 1 e cos E 3 G = 2 e sin 2 E cos E G 1 e cos E 3 sin 2 E +2 e cos E 1 e cos E 3 G 3.71 3 G 3 cos E = 3 e G 3 sin 2 E 1 e cos E 2 2 e G 2 e 2 sin 2 E G G 2 1 e cos E 3 G sin E = 3 e sin E cos E 3 G 3 1 e cos E + 2 2 e G 2 2 sin 2 E G 2 1 e cos E 2 G 2 G sin 2 E 1 e cos E 2 + e 2 G G 2 = 2 2 e G 2 sin E cos E 1 e cos E sin 2 E + G 1 e cos E G, sin 2 E cos E 1 e cos E + 2 e 2 G sin e cos E + G sin E cos E + 1 e cos E sin 2 E cos E + G 1 e cos E 2 2 E 2 e cos E, 1 e cos E 2 G2 sin E cos E = 2 e sin E cos 2E 1 e cos E G 2 1 e cos E + [ 2 e 1 e sin Ecos E 3 cos 3E sin E cos 2E + 2 G 2 G 1 e cos E 3 1 e cos E 3 G sin E cos E sin E cos E 2 e cos E + G 1 e cos E 2 G 1 e cos E 2 ] e cos E + e cos E G2

50 Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 3 G 3 e cos E = 3 e G 3 cos E e 1 e cos E + 2 2 e G 2 e 2 cos E e, G G 2 1 e cos E cos E e + G 1 e cos E cos E e G 1 e cos E = cos E e G 1 e cos E + cos E e e cos E, 1 e cos E 2 G 2 cos E e G 2 1 e cos E = cos E e 2 e cos E + cos 1 e cos E 2 G2 2 cos E e G 2 1 e cos E + 2 cos E e e cos E G G + 1 e cos E 2 2, E e 1 e cos E 3 e cos E G G = e cos E e L2 e cos E = L2, G G 1 e cos E x G = H G sin g sin h 2 L2 cos E e + cos g cos h H sin g sin hl2 cos E e + G G sin g cos h L sin E + sin g cos h H cos g sin hl G sin E, G G y G = H G sin g cos h 2 L2 cos E e + cos g sin h + H sin g cos hl2 cos E e + G G sin g sin h L sin E + sin g sin h + H cos g cos hl G sin E, G G 2 = L 2 2 e cos E, G 2 G2 2 x = 2 H G 2 G sin g sin h 3 L2 cos E e + 2 H sin g sin h L2 cos E e + G2 G cos g cos h H sin g sin 2 hl2 cos E e + G G2 2 H cos g sin h L G G sin E + 2 sin g cos h H cos g sin hl sin E + G G sin g cos h H G 2 cos g sin hl G sin E, G2

Kozijev Hmiltonijn i njegovi izvodi 51 2 y = 2 H G 2 G sin g cos h 3 L2 cos E e 2 H sin g cos h L2 cos E e + G2 G cos g sin h + H sin g cos 2 hl2 cos E e + G G2 2 H cos g cos h L G G sin E + 2 sin g sin h + H cos g cos hl sin E + G G sin g sin h + H G 2 cos g cos hl G sin E, G2 H G 3 H G 3 = L 2 3 e cos E, G 3 G3 3 x = 6 H G 3 G sin g sin h 4 L2 cos E e 6 H sin g sin h L2 cos E e + G3 G sin g sin h 2 L2 G cos E e + cos g cos h H sin g sin 3 2 hl2 cos E e + G G3 cos g sin h L 2 G 2 sin E + 3 sin g cos h H G sin g cos h H G 3 cos g sin hl G sin E, G3 2 cos g sin hl sin E + G2 3 y = 6 H G 3 G sin g cos h 4 L2 cos E e + 6 H sin g cos h L2 cos E e + G3 G 3 H sin g cos h 2 L2 G G cos E e + cos g sin h + H sin g cos 3 2 hl2 cos E e + G G3 3 H G cos g cos h L 2 G 2 sin E + 3 sin g sin h + H G 2 cos g cos hl sin E + G2 sin g sin h + H 3 cos g cos hl G sin E, G G3 Pomoćne veličine z čunnje mešovitih izvod po L i G 2 e L G = G3 e 3 L + 2G 5 el 3 3 e L 2 G = 3G5 e 5 L 7G3 8 e 3 L 6G 6 el 4 3 e = 3G4 L G 2 e 5 L + 5G2 7 e 3 L + 2 3.72 5 el 3