Svojstva metoda Runge-Kutta KP: y x = fx,y, yx 0 = y 0, x 0 x X. Na segmentu [x 0,X] uzimamo niz ekvidistantnih tačaka x 0 < x 1 < x 2 < < x N < x N+1 = X gde je x n = x 0 +nh, n = 0,1,2,...,N +1, h = X x 0 N+1 Opšti eksplicitni jednokoračni metod je oblika:. Neka je ϕx tačno rešenje KP. 1 y n+1 = y n +hφ f x n,y n,h, i = 1,2,... y 0 = yx 0 Definicija 1 Lokalna greška odsecanja metode 1 u tački x n+1 definisana je sa: E n+1 h = ϕx n+1 ŷ n+1 = ϕx n+1 [ ϕx n +hφ f xn,ϕx n,h ]. Lokalna greška diskretizacije meri kako dobro tačno rešenje zadovoljava rekurzivnu jednačinu jednokoračne metode. Pod pretpostavkom da je y n = ϕx n je E n+1 h = ϕx n+1 y n+1. Definicija 2 Lokalna greška odsecanja metode 1 je reda p ako se može predstaviti kao E n+1 h = ψx n,ϕx n h p+1 +Oh p+2, pri čemu se funkcija ψx,y naziva glavna funkcija greške, a ψx n,ϕx n h p+1 se naziva glavni član lokalne greške odsecanja. Metod 1 je reda tačnosti p ako je lokalna greška odsecanja metode reda p. Odredimo glavnu funkciju greške za eksplicitni metod Runge-Kutta reda m = 2. y n+1 = y n + h [ ] 2α 1Ψ1 +Ψ 2 2α Ψ 1 = fx n,y n, Ψ 2 = f x n +αh,y n +αhψ 1 U prethodnom poglavlju dobili smo oblik lokalne diskretizacione greške 11 koji za m = 2 gde je c 3 = 0 i c 1 +c 2 = 1, c 2 a 2 = 1 je oblika: E n+1 h = h3 6 ] [1 3a 2 G+f y F +Oh 4 x=x n,y=ϕx n 1 ψx,y = 6 1 2 a 2 G+ 1 6 f yf Definicija 3 Metod 1 je konzistentan ako za svako za svako x [x 0,X] važi lim Φ f x,ϕx,h = fx,ϕx h 0 Za Eulerov metod imamo da je Φ f = fx,y. 1
Definicija 4 Metod 1 je konvergentan ako lim n e nx,h n = 0, gde je e n x,h n = y n ϕx, h n = x n za svako x [0,X] i za svaku funkciju f neprekidnu sa neprekidnim parcijalnim izvodima prvog reda na [0,X] R. Teorema 1 Neka je funkcija Φ f x,y,h neprekidna na D = {x,y,h : 0 x X, y R, 0 < h < h 0 } i zadovoljava Lipšicov uslov po y,h na D. Metod 1 je konvergentan ako i samo ako je konzistentan. Dokaz. Neka je Φ f = gx,y. Funkcija g zadovoljava uslove TEJR, tako da Košijev problem z = gx,z, zx 0 = z 0 ima jedinstveno rešenje zx. Dokazaćemo da y n zx, n za svako x [0,X]. 2 zx n+1 = zx n +hgx n +θh,zx n +θh, 0 < θ < 1 Oduzimanjem 1i 2 dobija se ε n = y n zx n ε n+1 = ε n +h[φ f x n,y n,h gx n +θh,zx n +θh] ε n+1 = ε n +h[φ f x n,y n,h±φ f x n,zx n,h±φ f x n,zx n,0 gx n +θh,zx n +θh] Φ f x n,y n,h Φ f x n,zx n,h L 2 y n zx n = L 2 ε n Φ f x n,zx n,h Φ f x n,zx n,0 L 3 h Φ f x n,zx n,0 gx n +θh,zx n +θh = gx n,zx n gx n +θh,zx n +θh c = max 0 x b z x. = z x n z x n +ξθh cξθh = L 4 h ε n+1 ε n +hl 2 ε n +h 2 L 3 +L 4 = 1+hL 2 ε n +Lh 2 Kao u dokazu kovergencije eksplicitnog Ojlerovog metoda primenom Leme 1. dobija se ε n+1 L L 2 h [ e L 2b 1 ] 0, h 0 y n zx, n : Metod 1 je konvergentan, tako da y n yx, n za svako x [0,X]. Prema prethodno dokazanom, y n zx, n za svako x [0,X], pa je yx = zx za svako x [0,X]. Tada je fx,y = gx,y za svako x [0,X], y R. Ako pretpostavimo da je fx α,y α gx α,y α za neku tačku x α,y α, za KP u toj tački biće y x α = fx α,yx α gx α,yx α = gx α,zx α = z x α, što je kontradikcija. : Metod 1 je konzistentan, tako da je Φ f = fx,y. Tada prema prethodno dokazanom, y n yx, n, što pokazuje da je metod kovergentan. Može se pokazati da ako funkcija f zadovoljava Lipšicov uslov po y na [0,X] R onda će za sve izvedene metode Runge-Kutta funkcija Φ f zadovoljavati Lipšicov uslov po y,h na D. 2
Teorema 2 [Red tačnosti eksplicitnih metoda Runge-Kutta] Za eksplicitni metod Runge- Kutta reda tačnosti p minimalan red m je dat u sledećoj tabeli red tačnosti p minimalan red m 1,2,3,4 1,2,3,4 5 6 6 7 7 9 8 11 Teorema 3 [Red tačnosti implicitnih metoda Runge-Kutta] Implicitni metod Runge- Kutta reda m je reda tačnosti p = 2m. Numerička stabilnost metoda Runge-Kutta U ispitivanju numeričke stabilnosti linearnih jednokoračnih metoda videli smo da primenjeni na y = λy imaju oblik y n+1 = Phλy n, gde je P polinom stepena n ili racionalna funkcija oblika Px = qx/rx, gde su q,r polinomi stepena n. Npr. kod eksplicitnog Ojlerovog metoda, implicitnog Ojlerovog metoda i trapezne formule je P EOM hλ = 1+hλ n, P IOM hλ = 1 1 hλ n, P TFhλ = n 2+hλ. 2 hλ Analogno svi RK metodi eksplicitni i implicitni primenjeni na y = λy imaju oblik y n+1 = Rhλy n, gde je Rx polinom stepena nkod eksplicitnih metoda ili racionalna funkcija kod implicitnih metoda. R se naziva funkcija stabilnosti metode RK. Ako je R funkcija stabilnosti RK metode, onda je oblast apsolutne stabilnosti metode D = {z C : Rz < 1} Označimo sa R a,b skup svih racionalnih funkcija oblika Px/Qx gde su P,Q polinomi stepena a,b, redom, tj. P P a, P P b. Teorema 4 Za svaki IRK reda m postoji R R m,m takva da je 3 y n = [Rhλ] n y 0, n = 1,2,.... Specijalno, za ERK je R P m. Dokaz. Primenimo IRK metod 4 y n+1 = y n +h m c i fx n +a i h,φ i i=1 3
gde su 5 φ i = y n +h m A ij fx n +a j h,φ j, i = 1,2,...,m na linearan test model y = λy, y0 = 1. Ako označimo sa imamo iz 5 i iz 4 dobijamo j=1 Φ = φ 1,φ 2,...,φ m T, 1 = 1,1,...,1 }{{} T, c = c 1,c 2,...,c m T, m Φ = 1y n +hλaφ Φ = I hλa 1 1y n, y n+1 = y n +hλc T Φ. [ ] 6 y n+1 = 1+hc T I ha 1 1 y n = Rhy n, h = hλ. Znamo da je I za 1 = adji za deti za gde je adjb adjungovana matrica matrice B. Svaki element matrice adji za je determinanta reda m 1 m 1, odnosno iz P m 1. Prema tome, hc T adji ha1 P m, i kako je deti za P m, biće zaista R P m,m. Za ERK matrica A je donja trougaona matrica, I za je gornja trougaona matrica sa jedinicama na glavnoj dijagonali. Zato je deti za 1, pa je R P m. Slika 1: Oblasti stabilnosti ERK metoda reda m =1,2,3,4,5. Za ERK II, III i IV reda funkcije stabilnosti su Rz = 1+z + z2 2 z2, Rz = 1+z + 2 + z3 z2, Rz = 1+z + 6 2 + z3 6 + z4 24, 4
što predstavlja Tejlorov razvoj funkcije e z tačnog rešenja linearnog test-problema do II, III odnosno IV reda. Teorema 5 1. Ne postoji A-stabilan ERK metod. 2. Za svako s postoji A-stabilan IRK metod reda m i reda tačnosti p = 2m. Dokaz. Prema Teoremi 4 funkcija stabilnosti ERK je polinom Rz za koji prema 6 važi R0 = 1. Ne postoji polinom stepena n 1, izuzev konstantnog polinoma Rz r 1,1, za koji je Rz < 1 u C, pa prema tome ERK nije A-stabilan metod. Uzevši u obzir prethodnu teoremu postavlja se pitanje zašto se implicitni metodi Runge- Kutta ne koriste isključivo kod krutih problema. Odgovor leži u činjenici da za rešanje KP sistema DJ od K nepoznatih funkcija, primena implicitinog LVM zahteva rešavanje sistema K jednačina u svakom koraku, dok implicitni metodi Runge-Kutta reda m zahtevaju rešavanje sistema od m K jednačina. Na Slici 1. prikazane su oblasti stabilnosti eksplicitih metoda Ringe-Kutta reda m = 1,2,3,4. Napomenimo da bez obzira na izbor koeficijenata svi metodi Runge-Kutta istog reda imaju istu oblast stabilnosti. Crtanje oblasti stabilnost metoda RK : Rub oblasti stabilnosti je skup svih z C za koje Rz leže na jediničnoj kružnici, što znači da je Rz = e iθ za neko θ [0,2π]. Jedan način za crtanje ruba oblasti stabilnosti je da se reši jednačina Rz = e iθ za razne vrednosti θ [0,2π] i da se zatim spoje dobijene tačke. Ovakav postupak je prilično komplikovan u praksi, pa se zato primenjuje jednostavniji postupak crtanja krivih Rz = 1 kao funkcija od x = Rez i y = Imz. Mathematica Code - 1: z = x+iy; p1 = 1+z; p2 = 1+z +1/2z 2; p3 = 1+z +1/2z 2+1/3z 3; p4 = 1+z +1/2z 2+1/6z 3+1/24z 4; ContourPlot[{Abs[p1]==1, Abs[p2]==1, Abs[p3]==1, Abs[p4]==1},{x, 3, 2},{y, 4, 4}, AspectRatio Automatic, Frame False, Axes True] Mathematica Code - 2: p[z,n ]:=Normal@Series[Exp[w],{w,0,n}]/.w z; ContourPlot[Evaluate@Table[Abs[p[x + Iy, n]] == 1,{n, 1, 5}],{x, 4, 1},{y, 4, 4}, AspectRatio Automatic, Frame False, Axes True] 5