Uvod - linearne jednadžbe - direktne metode - Gaussova eliminacija - Gauss-Jordanova metoda - iterativne metode - Gauss-Seidlova metoda - Jacobijeva metoda - nelinearne jednadžbe - iterativne metode - Jacobijeva nelinearna iteracija - Wegsteinova metoda - Newton-Raphsonova metoda (metoda tangente) - metoda sekante (regula falsi)
Uvod - obične diferencijalne jednadžbe - analitičke metode - numeričke metode - Taylorova metoda - Eulerova metoda - Rungeova metoda (drugog, trećeg i četvrtog stupnja) - Runge-Kutta metoda - parcijalne diferencijalne jednadžbe - numeričke metode - metoda konačnih razlika potpuna diskretizacija - metoda linija djelomična diskretizacija - kolokacije
LINEARNE JEDNADŽBE
Gaussova eliminacija Sustav on n-jednadžbi u matričnom obliku r r Ax = b... n a a a3 a x b a a a3... an x b a3 a3 a33... a 3n x 3 = b 3......... an an an3... a nn x n b n A matrica koeficijenata r x vektor nepoznanica r b vektor rješenja (vektor desne strane) Primjer (sustav od tri nezavisne jednadžbe s tri nepoznanice) x+ y 3 z = 0 3 x 0 x y+ 4 z = 5 4 y = 5 3 x+ y z = 3 z
Gaussova eliminacija - kreiranje proširene matrice Ab vektor rješenja se pripisuje kao četvrti stupac matrici koeficijenata a a a3... a n b a a a... a b a a a... a b... a a a... a b 3 n 3 3 33 3n 3 n n n3 nn n Primjer (sustav od tri nezavisne jednadžbe s tri nepoznanice) 3 0 4 5 3
Gaussova eliminacija - na retke proširene matrice primijeniti elementarne transformacije da bi se ispod glavne dijagonale matrice Ab dobile sve nule - elementarne transformacije se ne primjenjuju na stupce, njima je jedino moguće zamijeniti mjesta a a3... a n b 0 a3... an b 0 0... a3n b 3... 0 0 0... b n Primjer - elemente prvog retka prepisati - elemente drugog retka umanjiti za vrijednost elemenata prvog retka pomnoženog sa - elemente trećeg retka umanjiti za vrijednost elemenata prvog retka pomnoženih sa 3 3 0 3 0 4 5 : 0 5 0 5 3 0 5 8
Gaussova eliminacija Primjer - elemente prvog i drugog retka prepisati - elemente trećeg retka umanjiti za elemente drugog retka 3 0 3 0 0 5 0 5 : 0 5 0 5 0 5 8 0 0 3 - prvi redak prepisati - drugi redak podijeliti sa -5 - treći redak podijeliti sa - 3 0 3 0 0 5 0 5 : 0 0 0 3 0 0,5 *
Gaussova eliminacija - iz n-tog reda a nn = b n Primjer - iz trećeg reda matrice z =,5 3 0 0 0 0,5 - uvrštavanjem a nn u n- red dobiva se a n-n-. Primjer - uvrštavanjem vrijednosti z =,5 u drugi red matrice y z = - slijedi y = - + 3 = - uvrštavanjem vrijednosti y = i z =,5 u prvi red matrice x + y 3 z = 0 slijedi x = 0 4 + 4,5 = 0,5
Gauss-Jordanova metoda - elementarne transformacije provedene kod Gaussove metode eliminacije* proširuju se sve dok se članovi glavne dijagonale matrice nisu jedinice, a ostali elementi ispod i iza dijagonale ne poprime vrijednost nule 0 0... 0 b 0 0... 0 b 0 0... 0 b 3... 0 0 0... b n Primjer - treći red pomnožiti sa i dodati drugom redu - treći red pomnožiti sa 3 i dodati prvom redu * 3 0 0 4,5 0 : 0 0 0 0,5 0 0,5
Gauss-Jordanova metoda Primjer - drugi red pomnožiti sa - i dodati prvom redu 0 4,5 0 0 0,5 0 0 : 0 0 0 0,5 0 0,5 - kako su elementi glavne dijagonale jedinice, a elementi iznad i ispod dijagonale nule, rješenje je moguće očitati direktno iz matrice - x = 0,5; y =, z =,5
Gauss-Seidlova metoda Sustav on n-jednadžbi u matričnom obliku a a a3... a n x b a a a3... an x b a3 a3 a33... a 3n x 3 = b 3......... an an an3... a nn x n b n - zapis sustava n-linearnih jednadžbi u eksplicitnom obliku x = b a x a x a x (... ) 3 3 n a x = b a x a x a x (... ) 3 3 n a x = b a x a x a x... (... ) 3 3 3 3 3n a33 x = b a x a x a x a (..., ) n n n n n n n nn n n n
Gauss-Seidlova metoda - pretpostavka za prvi korak, k, x = x = x 3 = = x n = 0 - u idućem koraku, k+ x = b a x a x a x 3 a ( ) 3... n k+ k k k x = b a x a x a x 3 a ( ) 3... n k+ k+ k k x = b a x a x a x 3 a... ( ) 3 3 3... 3n k+ k+ k+ k 33 x = b a x a x a x n a ( ) n n n... n, n k+ k+ k+ k+ nn - u općenitom obliku n i n k+ k+ k xi = bi aij x a, za,..., j ij x i= n j aii j= j= i+ n n n
Gauss-Seidlova metoda Primjer x+ y 3 z = 0 x y+ 4 z = 5 3 x+ y z = x= y+ 3 z y = x+ 4 z 5 z = 3 x+ y - izračunati vrijednost x pomoću prve jednadžbe za y = z = 0 x = 0 + 30 = 0 - izračunati vrijednost y iz druge jednadžbe pomoću x i z = 0 y = 0 + 40 5= 5 - izračunati vrijednost z iz druge jednadžbe pomoću x i y z = 30 + ( 5) = 7
Gauss-Seidlova metoda - izračunati vrijednost x pomoću prve jednadžbe za y i z ( ) ( ) x = 5 + 3 7 = - izračunati vrijednost y iz druge jednadžbe pomoću x i z ( ) ( ) y = + 4 7 5= 55 - izračunati vrijednost z iz druge jednadžbe pomoću x i y ( ) ( ) z = 3 + 55 = 90 - za k = 0 k x y z 0 0 0 0-5 -7 - -55-90 3-60 -685-67 4-3 -8935-5330 5-80 -7565-097 6-37065 -54905-660970 7-4884880 -E+07-3.5E+07 8-6.4E+07 -.7E+08-4.6E+08 9-8.5E+08-3.5E+09-6.E+09 0 -.E+0-4.7E+0-8E+0 OPREZ SUSTAV MORA KONVERGIRATI RJEŠENJU!
Gauss-Seidlova metoda x+ y 3 z = 0 x y+ 4 z = 5 3 x+ y z = x= y+ z+ 3 3 3 3 y = x+ z 5 z = x+ y+ 4 4 - za k = 0 (analitička rješenja, x = 0,5, y =, z =,5) k x y z 0 0 0 0.666667-0.33333 0.833333.055556 0.7 0.90778 3 0.7685 0.99074.3459 4 0.74506.34436.878 5 0.685.59064.3858 6 0.596365.679055.3758 7 0.56475.77584.4733 8 0.545483.844859.438473 9 0.5305.8907.45744 0 0.577.955.47046
Jacobijeva metoda (iteracija) Sustav on n-jednadžbi u matričnom obliku a a a3... a n x b a a a3... an x b a3 a3 a33... a 3n x 3 = b 3......... an an an3... a nn x n b n - zapis sustava n-linearnih jednadžbi u eksplicitnom obliku x = b a x a x a x (... ) 3 3 n a x = b a x a x a x (... ) 3 3 n a x = b a x a x a x... (... ) 3 3 3 3 3n a33 x = b a x a x a x a (..., ) n n n n n n n nn n n n
Jacobijeva metoda (iteracija) - pretpostavka za prvi korak, k, x = x = x 3 = = x n = 0 - u idućem koraku, k+ x = b a x a x a x 3 a ( ) 3... n k+ k k k x = b a x a x a x 3 a ( ) 3... n k+ k k k x = b a x a x a x 3 a... ( ) 3 3 3... 3n k+ k k+ k 33 x = b a x a x a x n a ( ) n n n... n, n k+ k k k nn - u općenitom obliku n n k+ k xi = bi aij x, za i=,..., n j aii j i n n n
Jacobijeva metoda (iteracija) Primjer x+ y 3 z = 0 x y+ 4 z = 5 3 x+ y z = x= y+ 3 z y = x+ 4 z 5 z = 3 x+ y - izračunati vrijednost x pomoću prve jednadžbe za y = z = 0 x = 0 + 30 = 0 - izračunati vrijednost y iz druge jednadžbe pomoću x = z = 0 y = 0 + 40 5= 5 - izračunati vrijednost z iz druge jednadžbe pomoću x = y = 0 z = 30 + 0 =
Jacobijeva metoda (iteracija) - izračunati vrijednost x pomoću prve jednadžbe za y i z ( ) ( ) x = 5 + 3 = 4 - izračunati vrijednost y iz druge jednadžbe pomoću x i z ( ) y = 0 + 4 5= 3 - izračunati vrijednost z iz druge jednadžbe pomoću x i y ( ) z = 30 + 5 = 7 - za k = 0 k x y z 0 0 0 0-5 - 4-3 -7 3 5-5 -3 4 4-7 - 5-9 4 6 84 407-39 7-93 407 57 8 957 36-388 9-3486 -3643 030 0 43376 43-4403 OPREZ SUSTAV MORA KONVERGIRATI RJEŠENJU!
Jacobijeva metoda (iteracija) x+ y 3 z = 0 x y+ 4 z = 5 3 x+ y z = x= y+ z+ 3 3 3 3 y = x+ z 5 z = x+ y+ 4 4 - za k = 0 (analitička rješenja, x = 0,5, y =, z =,5) k x y z 0 0 0 0.666667 0.5.083333.54667 0.96667 3 0.458333 0.833333.09375 4 0.75347.4458.967 5 0.605903.46704.68 6 0.58637.5364.3380 7 0.595.67757.340875 8 0.55445.7505.3739 9 0.55689.78453.40537 0 0.539695.8596.4969
NELINEARNE JEDNADŽBE
Jacobijeva nelinearna iteracija - zadana nelinearna jednadžba ( ) x e x= 0, f x = 0 - funkciju izraziti eksplicitno po x x= e x - pretpostaviti početnu vrijednost xa i uvrstiti u iterativni oblik funkcije x = k e + x k Primjer x 0 = x e x e... = 0 = = x e x e 0,353 = = = x e x e 0,8734 3 = = = 0,353 0,8734 0, 475 x = x - rješenje x = x = 0,567 k+ k 8 9
Jacobijeva nelinearna iteracija - grafičko određivanje rješenja nelinearne jednadžbe
Wegsteinova metoda - zadana nelinearna jednadžba ( ) x e x= 0, f x = 0 - funkciju izraziti eksplicitno po x ( ) x x= e, g x = x - pretpostaviti početnu vrijednost xa i uvrstiti u Jacobijev iterativni oblik funkcije x = k + e x k - vrijednost za x odrediti kao presjek pravca y = x i sekante kroz točke (x 0, f(x 0 )) i (x, f(x )) na krivulju koja predstavlja funkcija u eksplicitnom obliku, g(x) ( 0) x = f x x = x + x x x f x 0 ( ) ( ) 0 0 x f x - opći oblik Wegsteinove metode x k+ = x + k xk x x f x k ( k ) ( ) k x f x k k
Wegsteinova metoda Primjer x 0 = x e x e... = 0 = = x e x e 0,353 = = = x e x e 0,8734 3 = = = 0,353 0, 664 0,575 x = x - rješenje x = x = 0,567 k+ k 5 6
Wegsteinova metoda - grafičko određivanje rješenja nelinearne jednadžbe
Newton-Raphsonova metoda (metoda tangente) - implicitno zadana funkcija ili naknadno prevedena u implicitni oblik - opći oblik metode x = k+ x k ( ) ( ) x f x = e x f f ( xk ) '( x ) Primjer - zadana nelinearna jednadžba x f ' x = e k - opći iterativni oblik za zadanu nelinearnu jednadžbu x xk e xk = x k e k+ k x
Newton-Raphsonova metoda (metoda tangente) Primjer x 0 = x x... x0 e x0 e 0,3576 x0 e e x 0,3576 e x e x e e = x = = 0 0,3576 = x = 0,3576 = 0,5587 0,3576 x = x - rješenje x = x = 0,567 k+ k 3 4
Newton-Raphsonova metoda (metoda tangente) - grafičko određivanje rješenja nelinearne jednadžbe
Metoda sekante (regula falsi) - implicitno zadana funkcija ili naknadno prevedena u implicitni oblik - varijacija Newton-Raphsonove metode u kojem je derivacija funkcije zamijenjena izrazom: f ' ( x) ( +Δ) ( ) f x f x Δ - Δ - korak iteracije - metoda sekante sporije konvergira od Newton-Raphsonove metode - opći oblik metode ( k) ( ) ( k) ( +Δ) ( ) f x f x x = + x = x Δ k k k f ' xk f xk f xk Primjer - zadana nelinearna jednadžba x ( ) f x = e x
Metoda sekante (regula falsi) - opći iterativni oblik za zadanu nelinearnu jednadžbu x Primjer x 0 =, Δ = 0,00 x x... e x = Δ ( k ) k e Δ e xk k k+ xk x +Δ x x0 e x e = Δ= Δ= 0,3575 ( x0 ) x0 ( + ) e Δ e e 0,00 e 0 x0 +Δ 0,00 x e x e 0,3575 = Δ= 0,3575 Δ= 0,5587 0,3575 x 0,3575 0,00 0,3575 ( x ) x ( ) +Δ + e Δ e e 0,00 e x = x - rješenje x = x = 0,567 k+ k 3 4
Metoda sekante (regula falsi) - grafičko određivanje rješenja nelinearne jednadžbe
OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
Analitička metoda obične diferencijalne jednadžbe - red obične diferencijalne jednadžbe, n - obična diferencijalna jednadžba n-tog reda sadrži n konstati n potrebnih rubnih i/ili početnih uvjeta - nemaju sve obične diferencijalne jednadžbe analitička rješenja, ali je sve obične diferencijalne jednadžbe moguće riješiti numeričkim metodama - obična diferencijalna jednadžba. reda i zadani početni uvjet dy = x y y( 0) = dx - opće analitičko rješenje x ( ) y x = C e + x - analitičko rješenje uz uvažavanje početnog uvjeta x ( ) 3 y x = e + x
Taylorova metoda razvoj u Taylorov red - Taylorova formula reda n tražene funkcije oko početne točke x 0 = 0 n ( k ) y ( x0 ) y( x0 + h) = h( k) + R * h korak, R n n pogreška aproksimacije k = 0 k! Primjer dy y' = = x y y( 0) = dx k = 0 y x = y 0 = ( 0 ) ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( 0) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) k = y' x = y' 0 = x y = x y x = 0 = k = y'' x = y'' 0 = y' = = 3 k = 3 y''' x = y''' 0 = y'' = 3 k = 4 y'''' x = y'''' 0 = y''' = 3 0 - uvrštavanjem u jednadžbu * y x h h h h R 3 4 4 ( ) = +,5 + 0,5 0,5 +
Taylorova metoda - usporedba analitičkog i numeričkog rješenja obične diferencijalne jednadžbe za različite redove, n, Taylorove formule dy dx ( ) = x y y 0 = y 0 - -4 analitièko rješenje Taylorova metoda k= Taylorova metoda k= Taylorova metoda k=3 Taylorova metoda k=4-6 0 x
Domaća zadaća Za običnu diferencijalnu jednadžbu dy 3 x y( 0) dx = + = čije je analitičko rješenje y= + 3 x+ x grafički usporediti analitičko i numeričko rješenje primjenom Teylorove metode.,., 3. i 4. reda za korak h = 0, i područje rješenja 0 x.
Eulerova metoda - primjena Taylorove formule. reda oko početne točke x 0 = 0 y ''( ) y( x0 + h) = y( x0) + y' ( x0) h+ ξ h za ξ između x0 i x0+ h - kriterij točnosti mali korak, h ( 0 ) '( 0) = ( 0, 0) '( ) = (, ) y x početni uvjet y x f x y y x f x y - Eulerova metoda (, ) y = y + h f x y n n n n x = x + h n n y y 0 h y(x) x 0 x
Eulerova metoda Primjer dy y' = = x y y0 = h= 0, dx x = x = 0 y n 0 n 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 = + ( ) = + = ( ) ( ) (, ) 0,07 0 0 0 = y = f x, y = x y = h f x, y = 0, x = x + h= 0+ 0,= 0, y y h f x, y 0, 0,9 f x, y = x y = 0, 0,9 = 0,7 h f x y = 0 0 x = x + h= 0,+ 0, = 0, y y h f x = + ( y ) = + = ( ) ( ) (, ) 0,043... 0 0, 0,9 0,07 0,83 f x, y = x y = 0,4 0,83 = 0,43 h f x y =
Eulerova metoda - usporedba analitičkog i numeričkog rješenja obične diferencijalne jednadžbe za različite korake, h, Eulerove metode dy dx ( ) = x y y 0 = y -0.5 -.0 -.5 -.0 -.5 analitièko rješenje Eulerova metoda, h = 0, Eulerova metoda, h = 0,0-3.0 0.0 0.5.0.5.0 x
Rungeova metoda srednje točke - Runge-Kutta metoda drugog stupnja (, ) g = f x y n n h y = y + g h g = f x +, y y = y + h g n / n n n / n n y n- nagib = g y n h/ h/ x n- x n
Rungeova metoda srednje točke Primjer dy y' = = x y y0 = h= 0, dx x = x = 0 y n 0 = y = n 0 ( ) ( ) g = f x, y = x y = 0 = 0 0 0 0 h 0, y/ = y0+ g= + = 0,95 h h g = f x0 +, y /= x0 + y / = 0, 05 ( 0,95) = 0,85 y = y + h g = + 0, 0,85 = 0,95 0
Rungeova metoda srednje točke - usporedba analitičkog i numeričkog rješenja obične diferencijalne jednadžbe usporedba Eulerove i Rungeove metode srednje točke za isti korak, h = 0, dy = x y y( 0) = dx y -0.5 -.0 -.5 -.0 -.5 analitièko rješenje E ulerova metoda, h=0, Rungeova metoda srednje toèke, h=0, -3.0 0.0 0.5.0.5.0 x
Rungeova metoda trećeg stupnja - a) - b) g = h f x, y g = h f x y ( ) n n h g g = h f xn +, yn + g = h f x + h y g + g (, ) 3 n n yn = y + g + g + g 6 ( ) n 3 (, ) n n h g g = h f xn +, yn + 3 3 h g g3 = h f xn +, yn + 3 3 yn = yn + ( g+ 3 g3) 4
Rungeova metoda četvrtog stupnja - Runge-Kutta IV (, ) g = h f x y n n h g g = h f xn +, yn + h g g3 = h f xn +, yn + g = h f x + h y + g (, ) 4 n n 3 yn = y + g + g + g + g 6 ( ) n 3 4 y n- x n- g g 3 h y n g 4 x n
Sustav običnih diferencijalnih jednadžbi Primjer Smanjenje koncentracije otopljenog kisika u rijeci nizvodno od mjesta ispuštanja otpadne vode opterećeno onečišćenjem organskog podrijetla. Mikroorganizmi postupno razgrađuju organsko onečišćenje duž sliva rijeke. Većina mikroorganizama uključenih u razgradnju preferira aerobne uvjete, odnosno njihov učinak ovisan je o koncentraciji otopljenog kisika. Promjena koncentracije organskog onečišćenja i koncentracije otopljenog kisika duž riječnog estuarija može se opisati slijedećim jednadžbama (sustavom običnih diferencijalnih jednadžbi): d c dt d co dt BPK = q k c BPK ( ) = ka c c kc L O,zas. O BPK BPK biološka potrošnja kisika (mjera koncentracije organskog onečišćenja), O kisik, c koncentracija, c O,zas. koncentracija zasićenja kisikom, t vrijeme, k konstanta brine reakcije, q protok otpadne vode
Sustav običnih diferencijalnih jednadžbi Primjer - početni uvjeti ( ) ( ) c t = 0 = c = 7,33 mg dm BPK O O,0 BPK,0 c t = 0 = c = 8,5 mg dm -3 - parametri procesa i procesni uvjeti: k = 0,3 h -, k L a = 0,4 h -, c O,zas. = mg dm -3, q = kg m -3 h -, t MAX = 5 h - Eulerova metoda: h = 0, = + (,, ) c c h f t c c BPK, n BPK, n n BPK, n O, n (,, ) -3 (,, ) c = c + h g t c c O, n O, n n BPK, n O, n f t c c = q k c n BPK, n O, n BPK, n- (,, ) ( ) g t c c = k a c c k c n BPK, n O, n L O,zas. O, n- BPK, n-
Sustav običnih diferencijalnih jednadžbi Primjer 0 c [mg dm -3 ] 8 6 4 BPK O 0 0 5 0 5 0 5 t [h]
PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
Numeričko rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi - definiraju međusobno ovisnost dvaju ili više procesnih veličina - uobičajeno drugog ili višeg stupnja - primjena - prijenos topline - tok fluida - difuzija tvari - metoda konačnih razlika - metoda linija
Metoda konačnih razlika u u = - potpuna diskretizacija parcijalne diferencijalne jednadžbe x y - ako je funkcija u x i njena derivacija konačna, kontinuirana i funkcija jedne varijable može biti razvijena u Taylorov red u okolišu točke x 3 du h d u h d u u( x+ h) = u( x) + h + + +...* 3 dx! dx 3! dx 3 du h d u h d u u( x h) = u( x) h + +...** 3 dx! dx 3! dx - kombinacijom * i ** aproksimacija u centralnoj točki diferencijalne jednadžbe prvog reda ( + ) ( ) u x u x h u x h + 0 x h ( h )
Metoda konačnih razlika - iz * unaprijedna aproksimacija ( + ) ( ) u x u x h u x + x h ( ) ( ) u x u x u x h + x h 0( h) - iz ** povratna aproksimacija 0( h) - h korak - pogreška aproksimacije u centralnoj točki reda veličine h, pogreška unaprijedne i povratne aproksimacije reda veličine h
Metoda konačnih razlika δ u x δ x - funkcija u x i njena derivacija konačna, kontinuirana i funkcija jedne varijable - kombinacijom * i ** ( + ) ( ) + ( ) δ u x u x h u x u x h + 0 δ x h ( h )
Metoda konačnih razlika Primjer Vremenska promjena temperature u vrućem štapu. Prijenos topline u štapu definiran je parcijalnom diferencijalnom jednadžbom koja govori o vremenskoj (t) promjeni temperature (T(x,t)) u točki štapa, x, dužine, L = m, pri čemu je 0 x L i t 0. (κ - termalna difuzivnost, uz pretpostavku da su termalna difuzivnost, gustoća i toplinski kapacitet konstantni) T t T = κ x Početni uvjeti 00 x;0 x< t = 0, f ( x) = 00 ( x) ; x Rubni uvjeti t 0 x= 0; T = 0 x= L; T = 0
Metoda konačnih razlika Δ x= h= 0,5 Δ t = k = 0, 06 - iz uvjeta stabilnosti (, ) (, ) (, ) T x t T x t T x t = t k i j i j+ i j (, ) (, ) (, ) (, ) T xi tj T xi+ tj T xi tj + T xi tj - unaprijedna aproksimacija = - centralna aproksimacija x h ( ) k κ T x, ( ) ( ) i tj+ = T x i+, tj + T xi, t j + T( x ) k κ h i, t j h uz k κ = 0,5 ( 0,5 - uvjet stabilnosti) slijedi h (, ) T x t i j+ (, ) + (, ) T x t T x t = i+ j i j
Metoda konačnih razlika početni uvjeti rubni uvjeti 0 0 0,5 0,50 0,75,00,5,50,75,00 T = 0 T = 5 T = 50 T = 75 T = 00 T = 75 T = 50 T = 5 T = 0 x i 0,06 0,4 0,68 0,84 T = 0 T = 0 T = 0 T = 0 T = 5 T = 50 (, ) T x t i j+ = (, ) + (, ) T x t T x t i+ j i j T = 0 T = 0 T = 0 T = 0,030 T = 0 T = 0,36 T = 0 T = 0,44 T = 0 T = 0 T i
Metoda konačnih razlika 00 00 80 80 60 t [h] 0 3 4 5.0.6. 0.8 0.4 60 40 0 0 T [ o C] 40 0 0 0.4 0.8. x [m].6.0 0 3 4 5 t [h]
Metoda linija u u = - djelomična diskretizacija parcijalne diferencijalne jednadžbe x y - metoda konačnih razlika problem uvjet stabilnosti un un+ un + un = + 0 x h ( h ) - rješavanje sustava od n- običnih diferencijalnih jednadžbi
Metoda linija Primjer Vremenska promjena temperature u vrućem štapu. Prijenos topline u štapu definiran je parcijalnom diferencijalnom jednadžbom koja govori o vremenskoj (t) promjeni temperature (T(x,t)) u točki štapa, x, dužine, L = m, pri čemu je 0 x L i t 0. (κ - termalna difuzivnost, uz pretpostavku da su termalna difuzivnost, gustoća i toplinski kapacitet konstantni) T t T = κ x Početni uvjeti 00 x;0 x< t = 0, f ( x) = 00 ( x) ; x Rubni uvjeti t 0 x= 0; T = 0 x= L; T = 0
Metoda linija Δ x= h= 0, T T T + T = t h n 0 n n+ n n T0 = 0 dt T T+ T 0 = d t h dt T3 T + T = d t h... dt9 T0 T9 + T8 = d t h T0 = 0 rješavanje sustava običnih diferencijalnih jednadžbi metodom Runge-Kutta IV
Usporedba metode konačnih razlika i metode linija 00 80 x =,0 m metoda konaènih razlika metoda linija 60 T [ o C] 40 x = 0,5 m 0 0 0 3 4 5 t [h]
Metoda linija Primjer U spalionici otpada spaljuje se plinoviti otpad koji sadrži benzen. Koncentracija benzena u ulaznoj struji otpadnog plina je mol dm -3. Brzina strujanja otpadnog plina je 5 m s -, a dužina peći je m. Peć je oblika cijevi promjera 0, m. Pretpostaviti da su gustoća reakcijske smjese, brzina strujanja otpadnog plina i temperatura u peći konstantni. Reakcija oksidacije benzena je prvog reda, a u peći je strujanje idealno u aksijalnom smjeru (nema aksijalne disperzije čepoliko strujanje). Zadani su sljedeći parametri procesa: A = 0 s -, E a = 5 kj mol -, T = 00 K. Grafički prikazati vremensku promjenu koncentracije benzena po duljini peći, te u stacionarnom stanju izračunati konverziju benzena na izlazu iz peći. c 0 = mol dm -3 c =? mol dm -3 z = L = m c n- n c n
Metoda linija Bilanca tvari diferencijalnog elementa n cijevnog reaktora c n- n c n množina tvari A unijeta u dif. vremenu u dif. volumen reaktora - množina tvari A iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena reaktora ± množina tvari A nastala kemijskom reakcijom u dif. vremenu u dif. volumenu = akumulacija tvari A u dif. vremenu u dif. volumenu d c ΔV = cn qvn cn qvn + rn ΔV* dt Δ V = A Δz c koncentracija, V volumen, q V protok, r brzina reakcije, A površina, z -duljina
Metoda linija Uz pretpostavku konstantne gustoće q Vn- = q Vn = q V i dijeljenjem * sa ΔV: d c dt Δ ( cq ) V = + q V ΔV c c = k c** t A z t r = 0, c= mol dm n Uz ΔV = A dz, Δc = dc, r = - k c (reakcija prvog reda) i konstantan protok slijedi: Početni uvjet: Rubni uvjet: d c x= L, = 0 d x -3 k konstanta brzine reakcije
Metoda linija Primjenom metode linija uz povratnu aproksimaciju na jednadžbu **: ( c c ) ( c c ) dcn qv n n n n = + k cn = v k c dt A h h Za h = 0, m, i za n 9, te uvažavanjem početnih i rubnih uvjeta slijedi: c 0 d c dt = d c dt... 0 9 ( c c ) 0 = v h ( c c ) = v h ( c c ) k c k c d c9 9 8 = v k c9 dt h c = c h - korak n E a k A e RT = = - 4 s
Metoda linija Rješavanjem sustava običnih diferencijalnih jednadžbi metodom Runge-Kutta IV.0 0.8 c [mol dm -3 ] 0.6 0.4 x = 0 x = 0, x = 0,4 0. x = 0,6 x = 0,8 x =,0 0.0 0.0 0. 0.4 0.6 0.8.0 t [s]
Metoda linija U stacionarnom stanju jednadžba ** postaje: c = 0 t d c A = k c *** d z q V Jednadžba *** rješava se metodom Runge-Kutta IV za početni uvjet c = za z = 0
Metoda linija Usporedba koncentracija u stacionarnom stanju za različite položaje u peći dobivenih metodom linija (rješavanjem jednadžbe **) i metodom Runge-Kutta IV (rješavanje jednadžbe ***).0 0.8 c [mol dm -3 ] 0.6 0.4 metoda linija metoda konaènih razlika 0. 0.0 0.0 0. 0.4 0.6 0.8.0 x [z]