D Miomi Jovanović OPTIMIZACIJA (autoiovana pedavanja) PREDAVANJE- Geneacija 007 Optimalno pojektovanje u mašinstvu GRADIJENTNE METODE Najopštija ideja postupka a minimiaciju nelineane funkcije cilja asniva se na daljem ketanju ka ekstemumu, shodno osobinama funkcije cilja i pethodnog stanja (tačke). Te osobine su vednosti funkcije cilja FC i neavisni paameti i. Poedjenje vednosti funkcije cilja u pethodnoj i tenutnoj tački omogućuje ibo pavca dalje pomene neavisnih paametaa. Na bai ovog genealnog pistupa avijene su bojne metode a minimiaciju. Najopštija podela klasifikuje sve metode u dve gupe: A. METODE BEZUSLOVNE MINIMIZACIJE SA TRAŽENJEM IZVODA (GRADIJENTA) Metoda najbžeg spuštanja na bai lineane apoksimacije funkcije FC (Cauchy, Cuy, Goldstein, Poljak, Kaнтoрoвич, Aкилов) [38]. Newton-ova i modifikovana Newton-ova metoda na bai kvadatne apoksimacije (Poljak, Goldstein, Ritte, Rite & Mc Comick ) [38]. Metode konjugovanih gadijenata: (Fleche & Reeves, Pilak & Ribiee, Poljak,Wolfe)[38]. Metode pomenjive metike (Davidon, Fletche & Powell, Bans i dugi ) [38]. B. METODE BEZUSLOVNE MINIMIZACIJE BEZ TRAŽENJA IZVODA [38] (Pimenjuje se a nalaženje minimuma funkcija nepogodnih a difeencianje.) Metoda lokalnih vaijacija (Баничук, Petov & Чeрноуско ). Powell-Zangwill-ova metoda (Powell, Zangwill ). МАТЕMATIČKE OSNOVE Pvi paameta - Paameta pavca: Zadžavajući se na gadijentnim metodama, može se pokaati avijanjem u Tayle-ov ed, da je naveća vednost funkcije cilja u pavcu gadijenta. Zato se neavisno-pomenljive menjaju u pavcu n (k) (3.6.6b), koji se odedjuje iačunavanjem gadijenta funkcije cilja FC u tački (k) : G n FC ( k) = gad(fc) = FC = e0i i= i (3.6.6a) gad(fc) n ( k) = ( 3.6.6b) gad(fc) U ovoj jednačini, sa e 0i su onačeni jedinični vektoi u koodinatnim pavcima. Osobina gadijenta je da ima pavac ka maksimalnoj vednosti posmatane funkcije. Zato se ketanjem u pavcu gadijenta najbže dolai do ekstemuma funkcije cilja FC. Geometijska intepetacija je data na slici 3.9. Dugi paameta kojim se definiše taženje ekstemuma je koak τ(k). Dovoljno malim koakom se vlo tačno može pići ekstemumu, ali to uslovljava duge ačunske pocedue. Veće vednosti koaka pomene τ(k) smanjuju tačnost a često dovode do beskajnog iteianja u oni ekstemuma. To se u dvodimenionom koodinatnom sistemu može gafički intepetiati povšinom funkcije cilja FC, pikaanom posedstvom iolinija (FC()=const.), slika 3.0. U n-dimenionom euklidskom postou, povšina funkcije cilja se naiva "hipe" povšina.
D Miomi Jovanović OPTIMIZACIJA (autoiovana pedavanja) Slika 3.9 Geometijska intepetacija gadijenta G Najpovoljnije ketanje ka ekstemnim vednostima se postiže pomenljivim koakom koji je popocionalan pomeni funkcije cilja FC. Kada se koisti konstantan koak, vednost pomene neavisnog paameta (k) u tački k se odedjuje: i(k) = τ cos FC(k) i(k) ( G ) = τ, ( i = n) i(0) n FC(k) i= i(k) (4.6.7) U paktičnim taženjima ekstemuma, ačunski model obično ne adovoljava teoijski definisan uslov a austavljanje pocedue taženja (3.6.8). Zato se uvodi toleancija pomene gadijenta u dvema uastopnim iteacijama taženja ε o (3.6.9). FC (3.6.8) ( i ) = 0, ( i = - n) i n FC i= ( i ) i < ε 0 (3.6.9) Paalelno sa ovim kiteijumom, postavljaju se i dugi kiteijumi kao kiteijum pomene funkcije cilja u uastopnim iteacijama ε ili gupi iteacija. Time se poudano austavlja iteianje koje ne daje pomenu funkcije cilja FC. FC i(k+ ) FC i(k) < ε (3.6.0) Slika 3.0 Iteativno nalaženje optimuma Kod inženjeskih konstukcija, ponatog i poučavanog tipa, unaped je siguno postojanje optimuma. Kod nekih novih modela, manje iučenih i matematički složenih, potebno je poveiti egistenciju ekstemuma. U tu svhu se obično koisti povea uslova Khun-Tucke-a, kojim se utvdjuje egistencija sedlaste tačke, odnosno, dokauje konvegencija ešenja. Pednost gadijentnih metoda je u njihovoj jednostavnosti i mogućnosti minimiacije aličitih klasa funkcija cilja. Kako se odlikuju spoom konvegencijom, a njih su avijene metode a ubanje pocedue. Kombinacijom sa dugim metodama a taženje oblasti ešenja, ove metode omogućavaju nalaženje kvalitetnih minimuma u pavcu antigadijenta.
D Miomi Jovanović OPTIMIZACIJA (autoiovana pedavanja) 3 Konjugovani gadijentni metod Konjugovani gadijentni metod postavili su R. Fletche i C. M. Reeves 964. Njihovom metodom se odedjuje pavac taženja (s) lineanom apoksimacijom - FC(). Vednost antigadijenta definiše pavac i sme iteativne pomene funkcije cilja - minimiacije FC. Koekcija pavca se vši na osnovu tenutne i pethodne vednosti gadijenta funkcije cilja FC, odedjivanjem težinskog faktoa koekcije pavca ω k. Gadijent funkcije cilja u polanoj tački (0) je: (3.6.) s (0) = FC ( 0) Gadijent funkcije cilja u novoj tački () je: () s = FC (0) () s + ω ω je skalana vednost težinskog faktoa pomene pavca i on se iačunava: (3.6.) T (3.6.3) FC () FC () ω = T FC ( 0) FC ( 0) Pocedua se avšava kada je ispunjen uslov: s ( k) < ε. (3.6.4) PRIMER: Glavni pogam GRAD i Potpogam MINI definišu Fleche-Reevs-ov algoitam minimiacije. Potpogam odedjuje težinske faktoe pomene (konjugacije) pavca. Ovim potpogamom se kontoliše tok minimiacije i daju iveštaji o situaciji adatka u ealiaciji. Potpogam CONVRG kontoliše stanje konvegencije i utvdjuje pomene funkcije cilja na kaju svakog iteativnog koaka. Potpogam SEARCH upotebljen je a bedimeniono taženje metodom latnog peseka. Potpogam FUN služi a definisanje funkcije cilja FC(i). Potpogam DER služi a definisanje analitičkih iaa ivoda funkcije cilja Gi=dFC/di. Data je funkcija cilja C. F. Wood-a, WESTINGHOUSE RESEARCH LABORATORY (COLVILLE, IBM N. Y. Sci. Cente Rept. 30-949, June, 968.): FC =00. [() - () ()] + [. - ()] + 90. [(4) - (3) (3)] + [.-(3)] + Polana tačka: Z()o=-3. Z()o=-. Z(3)o=-3. Z(4)=-. FZ(o)=9.9 + 0. [()-.] + 0. [(4) -.] + 9.8 [() -.] [(4) -.] REZULTAT: Veme poačuna: T= 56 sec, Računa: PC 386 DX-40 MH, Boj iteacija: N= 8 Nadjen minimum funkcije: FC =0.690E-08, Tačan minimum funkcije: FC = 0.0000000 Tačne vednosti paametaa: Z()=.000060 ()=.0000000 Z()=.000050 ()=.0000000 Z(3)= 0.999974 (3)=.0000000 Z(4)= 0.9999447 (4)=.0000000 Optimalne vednosti paametaa: Slika C. Globalni koncept pogama GRAD
D Miomi Jovanović OPTIMIZACIJA (autoiovana pedavanja) 4 Metode taženja fleksibilnim poliedima Metoda Nelde-Mead (964.), ponata kao metoda fleksibilnih poliedaa, (savitljivih, gipkih poliedaa) pokaala se efektivnom na adacima beuslovnih minimiacija, bog dobe pimenljivosti a ačuna. Zasniva se na fomianju lanca poliedaa pomenljivog pavca u smeu ekstemuma funkcije cilja FC(). Ideja se može sagledati na slici, ispitivanjem dvodimenionalnog postoa avanskog poblema: Slika 4.3 Osnovni polieda i fleksibilni polieda Polane vednosti pomenljivih se poivoljno usvajaju (,, n=). Položaj tačke i 3 odedjuje se na podjednakom astojanju od tačke tako da je fomian jednakostaničan tougao, adate stanice t. Na ovaj način je fomian osnovni polieda sa 3 čvoa a kod n-dimenionog poblema, boj čvoova polieda je (). Na osnovu ove ti tačke, fomian je tougao (sa temenima --3), koji u opštem slučaju n-dimenionog poblema je polieda. Za ketanje ka ekstemumu fomiaju se još dve tačke: težište tougla T (opšteg indeksa ) i peslikana tačka B (opšteg indeksa 3). Tačka B dobija se peslikavanjem jednog od čvoova polieda (A=,, 3) ko njegovo težište T. Ibo čvoa i koga se vši peslikavanje nije slučajan i avisi od vednosti funkcije cilja u čvoovima polieda FC (), FC (),..., FC (). Ibo tansfomacije peslikavanja je takav da novodobijena tačka B (u opštem slučaju indeksa 3) daje manju vednost funkciji cilja FC (3) od vednosti funkcija FC u tačkama pethodnog polieda. Realiacija algoitma ahteva definisanje kiteijuma po kome se nalai pavac peslikavanja. Taj kiteijum je uspostavljen na osnovu vednosti funkcije cilja FC u () osnovnih tačaka polieda. Naime, ako se indeksom k onači boj iteacije (simpleksa), tada se najpe odedjuje najmanja i najveća vednost funkcije cilja u poliedu. Tako se nalai vednost neavisnih paametaa Z H a koje u k-tom poliedu dobijamo najveću vednost funkcije cilja FC (k) (ZH) i Z L koja daje najmanju vednost funkcije cilja FC (k) (ZL) : (k) (k) (k) { (Z),FC (Z),...,FC (Z ) }, (k) (k) (k) { FC,FC,...,FC } (k) FC (ZH) = max FC (4.6.3) (k) FC (ZL) = min (Z) (Z) (Z ) Koodinate težišta k-tog polieda () a svaki neavisni paameta J je: (4.6.33) (k) (k) (k),j =, (J = - n), I,J H,J I= Peslikavanje tačke A u tačku B (tačka 3) daje manje vednosti funkcije cilja FC(). Postupak peslikavanja se ivodi ko sledeće četii tansfomacije:. REFLEKSIJA Ovom opeacijom se vši peslikavanje čvoa (temena) polieda u pavcu vektoa ko njegovo težište ( n +) na astojanju popocionalnom koeficijentu efleksije α, (pepoučeno: α=.0):
D Miomi Jovanović OPTIMIZACIJA (autoiovana pedavanja) 5. EKSPANZIJA (k) (k) (k) (k) = + α n + 3 n + H (4.6.34) U slučaju da je FC( (k) 3 ) FC(ZL) (k), poba se poduženje vektoa TB ( (k) - (k) 3 ) sa ekspanionim koeficijentom (3.0<γ>.8): (k) (k) (k) (k) = + γ (4.6.35) 4 3 Ukoliko je FC( (k) 4) FC (k) (ZL), uslov ketanja ka minimumu je ispunjen a ekspanijom je poboljšan minimum. Pocedua se nastavlja eliminacijom čvoa H i uvodjenjem čvoa (k) 4 u novi polieda (k+). 3. SABIJANJE (KONTRAKCIJA) Može se desiti da a sve vednosti neavisnih paametaa (I) u istom poliedu (k), bude vednost funkcije cilja u tački (3) (dobijena efleksijom) veća od vedosti u ostalim tačkama (I, I H): FC( 3) (k) > FC (ZI) (k), U tom slučaju se moa ivšiti sabijanje (je se manja vednost FC nalai na kaćem astojanju od peslikavanja definisanog efleksijom). U tom slučaju se skaćuje vekto imedju tačaka (H) i () posedstvom koeficijenta kontakcije β, ( 0<β<). Najbolji eultati se postižu vednostima 0.4<β<0.6. Pocedua se odvija pema elaciji (4.6.36): (k) (k) + β (k) (k) = 5 H (4.6.36) 4. SMANJENJE (REDUKCIJA) Peostala je još mogućnost da se vednost minimuma nadje imedju polieda i efleksijom dobijene tačke, bog čega je FC( 3 ) (k) > FC (ZH) (k). U tom slučaju, autoi su pedložili dvostuko smanjenje dimenije polieda u odnosu na koodinatu ( L ), i pelaak na nov polieda (k+): (k) (k) (k) (k) I = L + 0.5 I L, (I =,n +) Pocedua minimiacije se okončava kada je dostignut adat kiteijum ε: n + FC (k) FC (k) < ε n + I = (Z ) (Z ) I n + (4.6.37) (4.6.38) METODA FLEKSIBILNE TOLERANCIJE Tehnički adaci pojektovanja optimalnih konstukcija definišu se funkcijom cilja FC () a u pisustvu aličitih oganičenja. Oganičenja mogu biti lineane i nelineane funkcije tipa jednačina H I() i nejednačina G I(). Tada se opšti adatak uslovljenog nelineanog pogamianja može definisati: Minimiiati FC (),, E n, Sa oganičenjima u vidu jednačina H I = 0, I=,, 3,..., m, (4.6.39) Sa oganičenjima u vidu nejednačina G I 0, I=m+,..., p. Metod fleksibilne toleancije definiše ti osnovna postoa:. Dopustiv posto (A), u kome su adovoljena sva oganičenja G I i H I.. Toleantni posto (B), šii od dopustivog a iačunatu vednost dopustivog odstupanja od dovoljenog postoa - toleancije Φ (k). 3. Nedopustiv posto (C).
D Miomi Jovanović OPTIMIZACIJA (autoiovana pedavanja) 6 Slika 4.4 Ti osnovna postoa u metodi fleksibilne toleancije PROCEDURA: U dopustivom A i toleantnom postou B, minimiacija FC () se ivodi pimenom pethodno opisane metode Nelde-Mead-a, koišćenjem poliedaa pomenljive metike. Za ivodjenje minimiacije u pisustvu oganičenja H I i G I fomian je toleantni posto, šiih ganica od dovoljenog postoa. Položaj ganica toleantnog postoa odedjen je u odnosu na ganice dopustivog postoa, vednostima kiteijuma toleancije Φ (k) u svakom koaku iteacije (poliedu) k: Φ (k) = min Φ (k ), m + + + n (k) (k) ( I,J +,J ) I= J= t m (k) I,J - početna vednost stane polieda, - indeks boja uslova tipa jednakosti, - vekto I-tog čvoa polieda, J-tog paameta u k-tom poliedu, (k) +,J - vekto težišta polieda (+), J-tog paameta u k-tom poliedu, Φ (0) - početni kiteijum toleancije (k=0), Φ (k-) - kiteijum toleancije u pethodnoj iteaciji (poliedu). Kiteijum toleancije pomenljiv i elacijom (4.6.40) je uslovljeno njegovo neposedno smanjenje, pa je: Φ (0) > Φ () > Φ () >... > Φ (k-) > Φ (k) > 0 (4.6.4) Pekoačenje dopustivog postoa T () definiše se u obliku funkcionala vednosti funkcija oganičenja: m p T ( ) = H I() + UI G I() I= I= m+ (4.6.4) Heaviside-ov opeato se definiše: U=0, a G I() 0 i U=, a G I() <0. Kada polieda iadje i dopustive oblasti A i udje u toleantni posto B (maka i jednim temenom), pekida se minimiacija funkcije cilja FC i istom metodom počinje minimiacija funkcionala pekoačenja T sa ciljem vaćanja polieda u dopustivu oblast A. Kako je kiteijum toleancije Φ (k) mea dovoljenog odstupanja od dopustive oblasti A, a funkcional T() mea stvanog odstupanja od adatih oganičenja, moguće je pefomulisati uslove oganičenja osnovnog adatka minimiacije: Minimiiatii FC(), En, Sa oganičenjem Φ(k) - T() 0. (4.6.43)
D Miomi Jovanović OPTIMIZACIJA (autoiovana pedavanja) 7 Ovim oganičenjem je definisano dovoljeno odstupanje paametaa optimiacije. U svakoj iteaciji se vši povea čvoova polieda u odnosu na dopustiv i toleantni posto. Kako se taženje pibližava stacionanoj vednosti, tako se kiteijum toleancije Φ smanjuje, a taženje se avšava egulano kada je sednje astojanje težišta od čvoova polieda manje od adate tačnosti ε: Φ (k) < ε. Na osnovu ove ideje, pomena paametaa (k) (k+) se ealiuje: u dovoljenom postou kada je T k = 0, + u toleantnom postou kada je 0 T k k, + Φ u nedopustivom postou kada je T k k. + > Φ Pime: OPTIMIZACIJA REŠETKE GEOMETRIJSKOM SINTEZOM Dat je am pema slici 4.0. Centalna sila dejstvuje u globu, inteniteta P=94 KN. Debljina ida je t=0.003 m, aspon nosača je R=.54 m. Mateijal je modula elastičnosti E=.07 0 8 KN/m, specifične težine γ=8.55 kn/m 3. Odediti pečnik cevi D i visinu nosača H tako da je am minimalne mase. Raspoloživ posto a ugadnju ama je maksimalne visine H max =.5 m i minimalne visine H min =0.50 m. Slika 4.0 Pime: Model ama a optimiaciju sopstvene mase Kitična sila ivijanja globno oslonjenog i pitisnutog štapa: π E I F min KRIT = l Apoksimativna vednost momenta inecije i povšina peseka štapa: 3 Imin (D + t) π t,a 8 0 = Sila u štapu ama: P P F0 = = cos( ϕ) (H + R ) H ( D + t) π t Funkcija cilja: FC A L D t (H R ).537 D (H ( D,H) = γ 0 γ π + = + 0.5806) Oganičenje napona pitiska u štapu je maksimalni napon ivijanja: F F G KRIT 0 (D,H) = σkrit σ0 = 0 A0 A0
D Miomi Jovanović OPTIMIZACIJA (autoiovana pedavanja) 8 π E (D + t) P H + R G(D,H) = 0 8 (R + H ) (D + t) π t H 5597 (H 5537604 (D + 0.003) + 0.5806) G(D,H) = 0 0.5806 + H D H Peostale dve funkcije oganičenja definišu dopustivu oblast visine H: G (D,H) = HMAX H =.5 H 0, G3(D,H) = H HMIN = H 0.50 0 Ovako fomulisan adatak može se ešiti i gafički u D postou, isctavanjem kiva funkcije cilja u oblasti ešenja (FC=0.050 0.00) i kiva funkcija oganičenja G, G, G 3. Naime, pesek kiva konstantnih vednosti funkcije cilja (FC=const.) i funkcija oganičenja definiše oganičenu oblast ešenja. Najmanja vednost funkcije cilja u tom postou odedjuju vednosti optimalnih paametaa posmatanog adatka. Rešenje adatka je pokaano na slici 4.. Pibližna ešenja su: FC = V min = 0.0635 m 3 = FC min, neavisno-pomenljivi paameti optimiacije su: D = 0.04375 m, H = H min = 0.50 m. Poačun i gafička intepetacija je ivšena na PC 386/40, pošto su u FORTRAN-u napisani pogami a osnovne iae FC i Gi. Dobijene datoteke funkcija su numeički vednovane i gafički intepetiane na monitou. Sa slike su očitane optimalne vednosti. Slika 4. Gafička intepetacija ešenja pimea optimiacije mase ama