Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Analiza vremenskih serija Zorica Mladenović Srukura Uvodne napomene Vremenska serija i slučajan proces Sacionarnos i osnovni modeli Uzroci nesacionarnosi. Jedinični koren Relevannos prisusva jediničnog korena i regresiona analiza nesacionarnih vremenskih serija Tes jediničnog korena Koinegracija Tes koinegracije Ekonomski fakule, Beograd, 7.
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Vrse podaaka Podaci vremenskih serija Godišnji, kvaralni mesečni, dnevni, kako se obavi ransakcija. Podaci preseka (srukure) Vrednosi različiih promenljivih koje definišu srukuru u daom renuku vremena. Podaci panela Kombinacija podaaka vremenskih serija i podaaka preseka. 3 Osnovno svojsvo vremenske serije: auokorelacija Vremenska serija je niz podaaka koji je uređen u odnosu na vreme To uređenje se obično osvaruje u jednakim vremenskim inervalima: godina, mesec, dan, čas,... Primer: podaak o indeksu cena u maju 7. dolazi nakon podaka o daom indeksu u prehodnom mesecu, aprilu 7. Uključivanjem novih podaaka proširuje se dai niz, dok se posojeći redosled u nizu ne menja. 4 Ekonomski fakule, Beograd, 7.
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Osnovno svojsvo vremenske serije: auokorelacija(ii) Uobičajena noacija:,,,,t linearni rend: indeks koji uzima vrednosi od o T i T je ukupan broj podaaka (obim uzorka) Skraćenica za skup opservacija:,,, T. Vrlo je verovano da - (bar delimično) određuje nivo : ima smisla analizirai - pre nego šo se prisupi analizi. Podaci okom vremena su korelisani. Korelisanos okom vremena se uobičajeno naziva auokorelacija. Osnovni svrha analize vremenskih serija: okrii ip auokorelacije u daoj vremenskoj seriji. 5 Osnovna razlika između ekonomerijskog i prisupa analize vremenskih serija Sandardni ekonomerijski prisup: Yf(,, ), gde su,, promenljive koje sugeriše ekonomska eorija. Prisup analize vremenskih serija: Y f(y -, Y -, ) Ignorišu se objašnjavajuće promenljive koje sugeriše eorija Ono šo se dešavalo sa Y u prošlosi je dovoljno za modeliranje. Uobičajeni ermin za -, -, id., je docnja prvog reda, docnja drugog reda i sl. 6 Ekonomski fakule, Beograd, 7. 3
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Ključna svojsva ekonomskih vremenskih serija Posojanje renda Posojanje sezonskih varijacija Posojanje nesandardnih opservacija srukurni lom Nesabilna varijansa 7 Trend Označava dugoročnu komponenu u kreanju. Podaci najvećeg broja makroekonomskih vremenskih serija sisemaski rasu ili padaju okom vremena. Ova endencija rasa (pada) može bii sohasička ili deerminisička. Sohasički rend: u renuku - ne možemo znai nivo promenljive u renuku. Deerminisički rend: funkcija oblika ab (a,bcons) određuje kreanje vremenske serije u svakom renuku vremena. 8 Ekonomski fakule, Beograd, 7. 4
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Primeri sohasičkog renda: mesečni podaci privrede Srbije (3: 4:, 9:-5:7),,96 8,9 6,88 4,84,8,76 8,7 6 3 4 5 6 7 8 9 3 4 Indeks porosackih cena (5),68 9 3 4 5 Ukupan broj zaposlenih (u hiljadama), procena RZS 9 Primer deerminisičkog renda: konsolidovani javni prihodi (milioni din.) u Srbiji (: 7:) 8, 6, 4,,, 8, 3 4 5 6 Konsolidovani javni prihodi (milioni dinara) Ekonomski fakule, Beograd, 7. 5
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Posojanje sezonskih varijacija Vremenske serije ispoljavaju pravilnosi u kreanju u oku jedne kalendarske godine. Kvaralni ili mesečni podaci, sezona: kvaral ili mesec Slično ponašanje u isoj sezoni Veća korelisanos između podaaka isih kvarala (meseci) različiih godina nego između susednih kvarala (meseci) ise godine. Sezonske varijacije mogu bii sohasičke ili deerminisičke Posojanje sezonskih varijacija u mesečnim podacima privrede Srbije Indeks indusrijske proizvodnje (:-7:) Prosečne bruo plae (5:-8:) 55, 9 5, 45, 4, 35, 3, 8 5, 7 3 4 5 6 7 Indeks indusrijske proizvodnje, 5, 5M 5M7 6M 6M7 7M 7M7 8M 8M7 Nominalne bruo plae (mesecni prosek, u dinarima) Ekonomski fakule, Beograd, 7. 6
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Posojanje sezonskih varijacija u mesečnim podacima privrede Srbije II Indeks proizvodnje elekrične energije (5:-3:) 3 9 8 7 6 5 6 7 8 9 3 Indeks snabdevanja elekricnom energijom, gasom i parom (6) Posojanje srukurnog loma Egzogeni događaji mogu uicai na promenu u kreanju vremenske serije (zv. inervencija) Primeri egzogenih događaja: promena režima ekonomske poliike (devalvacija value i promena poliike dev. kursa, liberalizacija spoljno-rgovinskog poslovanja) globalna recesija promena cene sirove nafe na sveskom ržišu poliički događaji promena obračuna ekonomske veličine, id. Rezula: pojava srukurnog loma (engl. ouliers) Srukurni lom: jedna ili više opservacija koje nisu saglasne sa prehodnim skupom podaaka 4 Ekonomski fakule, Beograd, 7. 7
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Vrse srukurnog loma (II) Jednokrana promena Trajna promena deerminisičke komponene renda Odsečka funkcije renda Nagiba funkcije renda Odsečka i nagiba funkcije renda 5 Primer jednokranog srukurnog loma: indeks snabdevanja el. energijom, gasom i parom u Srbiji (5:-7:) Indeks snabdevanja elekricnom energijom, gasom i parom (6) 3 9 8 7 6 Poplave 5 5 6 7 8 9 3 4 5 6 6 Ekonomski fakule, Beograd, 7. 8
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Trajna promena odsečka funkcije renda: indeks indusrijske proizvodnje u Srbiji (:-7:) 9 8 7 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 Indeks indusrijske proizvodnje (6) 7 8, Trajna promena odsečka i verovano nagiba funkcije renda: prosečne bruo plae u Srbiji (5: 7:) 7, 6, 5, 4, 3,, 5 6 7 8 9 3 4 5 6 Nominalne bruo plae, mesečni prosek u dinarima 8 Ekonomski fakule, Beograd, 7. 9
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Trajna promena odsečka i nagiba funkcije renda: nominalni devizni kurs u Srbiji (: - 6:) 3 9 8 7 6 5 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 Nominalni devizni kurs dinara prema evru (kraj perioda) 9 6 Trajna promena odsečka i nagiba funkcije renda: indeks promea u rgovini na malo u Srbiji (3: - 7:) 4 8 6 4 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 Indeks promea u rgovini na malo, salne cene, 6 (bez privanih radnji) Ekonomski fakule, Beograd, 7.
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Nesabilna (vremenski promenljiva) varijansa Svojsvo vremenskih serija na finansijskim ržišima (cena finansijskih insrumenaa). Učesnici na berzi reaguju na svaku novu informaciju ako šo prodaju posojeće ili kupuju nove akcije. To dovodi do promene cene. Dealjnije sagledavanje nove informacije može uicai na smirivanje berze, odnosno na pad obima ransakcija. Dolazak nove vesi uiče na ras varijabiliea, koji se poom smanjuje, a ponovni ras varijabiliea se može očekivai sa pojavom nove informacije. Termin: uslovna varijansa (sandardna devijacija) volailnos. Nedeljna cena nafe (dolar/barel) i sopa rasa (%) Londonska berza, ip bren januar/i nedelja/5 januar/ii nedelja/ 7 6 Nedeljna cena nafe (u dolarima po barelu) 3 Nedeljna sopa rasa (u %) 4 8 6 4-5 6 7 8 9 3 4 5 6-5 6 7 8 9 3 4 5 6 8 6 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 Ocenjena uslovna sandardna devijacija - volailnos Ekonomski fakule, Beograd, 7.
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Slučajan proces i vremenska serija Slučajan proces: niz slučajnih promenljivih koje su uređene u odnosu na vreme Uobičajena oznaka:,,...,,,... Vremenska serija: I koncep: jedna realizacija slučajnog procesa II koncep: ne posoji razlika između vremenske serije i slučajnog procesa Termine korisimo kao sinonime: vremenski niz slučajnih promenljivih. 3 Sacionarnos I Sacionarnos vremenske serije: vremenska serija se kreće po prepoznaljivoj puanji okom vremena Dva koncepa: sroga i slaba sacionarnos Definicija slabe sacionarnosi:. E(.v 3. ) µ cons,,,... ( ) E( µ ) cons,,,... cov(, ) E( µ )( µ ) f ( k ),,,..., k,,... k -k 4 Ekonomski fakule, Beograd, 7.
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Sacionarnos II Očekivana vrednos i varijansa slabo sacionarne vremenske serije su invarijanne u odnosu na vreme. Transliranjem u vremenu ove dve veličine se ne menjaju. Kovarijansa između članova vremenske serije zavisi samo od rasojanja (docnje), a ne od vremenskog renuka. To znači da je za dau docnju k kovarijansa isa: (, ) cons za dao k i,,... cov k, 5 Najjednosavniji primer sacionarne vremenske serije: beli šum (engl. whie noise) E( ),,,... v ( ) E( ) σ cons,,,... (, ) E( ),,..., k,,... cov k k, Niz nekorelisanih slučajnih promenljivih nule srednje vrednosi i sabilne varijanse 6 Ekonomski fakule, Beograd, 7. 3
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Gausov beli šum E( ),,,... v ( ) cov : Ν E( ) (, ) k (, σ ) σ E(,,,... cons,,,... Članovi vremenskeserije su nezavisne sl. promenljive k ),,,..., k,,... Niz nezavisnih slučajnih promenljivih koje su normalno raspodeljene sa nulom srednjom vrednošću i sabilnom varijansom 7 Gausov beli šum: grafički prikaz 3. G e n e r is a n i G a u s o v be l i s u m (e ). 5.. 5. 6 4 8 Series: e Sample Observaions Mean.88759 Maximum.75893 Minimum -.6497 Sd. Dev..95387. 5. -. 5 6 4 -. 8 -. 5 6 -. 4 -. 5-3. 5 5 75 5 5 75 - - 3 8 Ekonomski fakule, Beograd, 7. 4
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Beli šum - dodano Bela svelos disperzijom kroz krisalnu prizmu dobijaju se osnovne boje spekra koje se javljaju sa jednakim ponderom Spekar bele svelosi: komponene na nižim i višim frekvencijama imaju ideničan udeo. 9 Osnovni modeli sacionarnih vremenskih serija Auoregresioni modeli (AR) Modeli pokrenih sredina (PS, engl. MA) Auoregresioni modeli pokrenih sredina (ARPS, engl. ARMA) 3 Ekonomski fakule, Beograd, 7. 5
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 AR(p) model PS(q) model ARPS(p,q) model Opše forme modela sacionarnih vremenskih serija Parameri modela su: 3... p p φ φ φ φ θ θ... θ φ φ θ φ θ φ, φ, φ,..., φ p, θ, θ,..., θq q... φ... θ q q p q p Jednosavni modeli: AR(): φ φ AR(): φ φ φ PS(): PS(): θ θ θ ARPS(,): φ φ θ ARPS(,): 3 φ φ φ θ Ekonomski fakule, Beograd, 7. 6
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Značaj modela Nisu operećeni posavkama ekonomske eorije Jednosavni su za ocenjivanje, jer obično ne sadrže veliki broj parameara Pouzdani za prognoziranje budućeg kreanja vremenske serije za horizon predviđanja do godine dana 33 Primer AR() modela 5.7 * - e 5 -.7 * - e 4 4 3 3 - - - - - 3-3 - 4-4 - 5-5 5 5 5 3 3 5 4 5 5 5 3 3 5 4 34 Ekonomski fakule, Beograd, 7. 7
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Primer PS() modela 4 e. 8e- 4. e-.8e- 3.5 3 3..5..5..5. - -.5 -. - -.5-3 -. -.5-4 -3. -3.5-5 5 5 5 3 35 4-4. 5 5 5 3 35 4 35 Uslov sacionarnosi kod AR() modela: auoregresioni paramear je po modulu srogo manji od jedan, < φ... φ v( ) v φ - [ φ - ] [ φ ] φ { 3 4 6 ( φ φ φ... φ ) σ ( φ φ φ...) -3 Da bi var ijansa bila konacna, neophodno je da vazi φ <. Tada je: 4 6 σ ( φ φ φ...). v( ) σ 444 444 3 φ φ φ φ φ 3 3... φ 3 φ φ inicijaln a 36 Ekonomski fakule, Beograd, 7. 8
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Ekonomski fakule, Beograd, 7. 9 37 Ša se dešava za? ( ) Vremenska serija je nesacionarna!!! ). ( f σ... v ) v(...... j j - 3 3 3 3 φ φ φ φ φ φ 38 Najjednosavnija nesacionarna v. serija: slučajan hod (klasičan) Prva diferenca serije je sacionarna. σ σ ) ( ), ) ), ) j j v v( E( v( E(
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Klasičan slučajan hod II: grafički prikaz -e 4 -- e 8 3 4-4 - - -8-3 5 5 5 3 5 5 5 3 39 Alernaivni ermini za slučajan hod Vremenska serija sa sohasičkim rendom Inegrisano-sacionarna vremenska serija Vremenska serija sa jediničnim korenom 4 Ekonomski fakule, Beograd, 7.
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Alernaivni ermini: Vremenska serija sa sohasičkim rendom Na osnovu informacije o prehodnom kreanju vremenske serije ne možemo predvidei njeno kreanje u budućnosi. U supronom, kada bi rend bio deerminisički, ada bi i prognoza bila pouzdana. 4 Alernaivni ermini II: Inegrisano-sacionarna vremenska serija Vremenska serija dobija se na osnovu zbira članova belog šuma. Operaciji sabiranja u diskrenom prosoru odgovara posupak inegraljenja neprekidnih veličina. Reč je o inegrisanom procesu prvog reda, gde red pokazuje koliko pua reba diferencirai seriju da bi se dobila njena sacionarna reprezenacija. Ako je prva diferenca sacionarna, ada je vremenska serija inegrisana reda. Oznaka: ~I(). Za sacionarnu vremensku seriju kažemo da je inegrisana reda. Beli šum: ~I(). 4 Prva diferenca serije ~I(): ~I(). Ekonomski fakule, Beograd, 7.
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Alernaivni ermini III: Vremenska serija sa jediničnim korenom Česo se korisi operaor docnje prvog reda L: AR() model: φ φ L Rešenje (koren) polinoma je jedan kod slučajnog hoda : Polinom : ( φ L) L Ouda poiče naziv jedinični koren. Broj jediničnih korena odgovara nivou inegrisanosi vremenske serije, odnosno broju posupaka diferenciranja porebnih za sacionarnu reprezenaciju vremenske serije. 43 ( φl) Za φ, koren je jedan. φ L Rezime uvedenih ermina Ako vremenska serija ima d jediničnih korena, onda je ona inegrisana reda d, i reba je diferencirai d pua da bi se obezbedila njena sacionarna reprezenacija. Serija ima d ~ I( d jedinicnih korena d ) ~ I( ) 44 Ekonomski fakule, Beograd, 7.
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Ekonomski fakule, Beograd, 7. 3 Dva ipa slučajnog hoda Naziv Forma E( ) Slučajan hod klasični - Slučajan hod sa konsannim prirasom - β β 45 46 Slučajan hod sa konsannim prirasom {. ) ( ), ),,,,,.........,, ), ), ), k σ β β β β β β β β β β σ β β > v v( E( : se nesacionarnos Primenom operaora prve diference eliminise vrednos vremenske serije se uvecava za clana svakog narednog komponena Deerminisicka id. priras konsanni. k E( v( E( 4 4 3 4 4
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Slučajan hod sa konsannim prirasom: grafički prikaz generisanih podaaka 5.7-e 4 --.7e 3 5 5 - - -3 5 5 5 3 5 5 5 3 47 Zašo je važno uvrdii prisusvo jediničnog korena? Posoje dva osnovna razloga koji čine relevannom podelu na sacionarne i nesacionarne veličine Saisički Ekonomski 48 Ekonomski fakule, Beograd, 7. 4
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Saisički razlozi Primena sandardne saisičke procedure nepouzdana je u regresionoj analizi vremenskih serija sa jediničnim korenom. Ocene parameara regresionog modela dobijene primenom meoda ONK su prisrasne i nekonzisenne. Ocene parameara regresionog modela dobijene primenom meoda ONK nemaju normalnu raspodelu. To znači da saisičko zaključivanje zasnovano na -odnosu i F-esu značajnosi koeficijena deerminacije nije ačno. Moguća je pojava besmislene regresije. Ovim pojmom označava se regresija sa visokim vrednosima koeficijena deerminacije i -odnosa (po modulu) između vremenskih serija sa jediničnim korenom, ali koje su popuno nezavisne. 49 Značajna israživanja Yule (96) Empirijska analiza; Udeo broja brakova sklopljenih u Engleskoj crkvi u odnosu na ukupan broj i moralie na osoba prema godišnjim podacima Engleske i Velsa u periodu: 866-9. (R.9) Granger and Newbold (974) Simulaciona analiza Hendry (98) Empirijska analiza; Inflacija i kumulisana količina padavina u V. Brianiji prema kvaralnim podacima u periodu: 964-975. (R.99) Phillips (986) TEORIJSKI 5 DOKAZI Ekonomski fakule, Beograd, 7. 5
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Ekonomski razlozi Razlika između vremenske serija sa i bez jediničnog korena ima jasnu ekonomsku implikaciju: Uicaj slučajnih šokova na nivo sacionarne vremenske serije slabi okom vremena Efeka šoka na nivo vremenske serije sa jediničnim korenom ima rajno dejsvo za neodređeni period vremena. Ova razlika posebno dolazi do izražaja u eoriji poslovnih ciklusa: ako vremenska serija BDP sadrži jedinični koren, ada njeno odsupanje od dugoročnog renda neće bii povremeno, kako naglašava radicionalna eorija, već permanenno za neodređeni period vremena. Prisusvo jediničnog korena sugeriše da negaivni šokovi iz faze recesije mogu rajno redukovai nivo BDP. 5 Ekonomski razlozi: pionirski rad Nelson and Plosser(98), Journal of Moneary Economics Jedan od prvih radova provere posojanja jediničnih korena u makroekonomskim veličinama Realni i nominalni BDP privrede SAD poseduju jedinični koren Ukupno je posmarano 4 vremenskih serija i u većini je deekovano prisusvo jediničnog korena Godišnji podaci u periodu: 86.(99.) 97. 5 Ekonomski fakule, Beograd, 7. 6
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Slučajan hod u ekonomskim analizama: analiza efikasnosi finansijskog ržiša Koncep (slabe) efikasnosi finansijskog ržiša: prehodno kreanje sopa prinosa finansijskih insrumenaa ne uiče na njihovo buduće kreanje. Na efikasnom finansijskom ržišu cene u svakom renuku inkorporiraju sve fakore na srani ponude i poražnje, pa se menjaju samo sa pojavom nove vesi. Koncep efikasnog ržiša čini model slučajnog hoda relevannim za opisivanje kreanja logarima cena finansijskih insrumenaa: ln P ln P ln P ln P ln P Ukoliko logariam cena prai puanju slučajnog hoda, ada je odgovarajuća sopa prinosa (prva diferenca logarima daih cena) jednaka procesu beli šum. To znači da do promene cena dolazi slučajno, i o isključivo kao rezula nove informacije. 53 Tada možemo smarai da je finansijsko ržiše efikasno. Slučajan hod u ekonomskim analizama: analiza dosignuog sepena konvergencije Teorija privrednog rasa: nivoi BDP per capia u dve zemlje međusobno konvergiraju ako je njihov količnik (razlika) sacionarna vremenska serija sa nulom srednjom vrednošću. U supronom, prisusvo j. korena sugeriše odsusvo endencije ka konvergenciji. Monearna ekonomija: za zemlje EMU (sa jedinsvenom valuom) konvergencija sopa inflacija značajna je kako bi jedinsvena monearna poliika ECB bila delovorna na različiim ržišima. Prisusvo jediničnog korena u razlici parova sopa inflacije sugeriše da efikasnos monearne poliike nije obezbeđena. 54 Ekonomski fakule, Beograd, 7. 7
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Kako prevazići problem primene regresione analize kod serija sa jediničnim korenom? Transformišemo vremenske serije u sacionarne i ocenjujemo zavisnosi prvih diferenci. Problem: gde su nam ocene dugoročnih ravnoežnih veza? Dugoročne ravnoežne veze odražavaju sisemske odnose u ekonomiji. Njihova analiza je bina. Rešenje problema: koinegracija (engl. co-inegraion) Rezula vredan Nobelove nagrade za ekonomiju koja je dodeljena Grejndžeru (engl. Granger) 3. godine. Fundamenalni okvir modeliranja međuzavisnosi ekonomskih veličina Ekonomski fakule, Beograd, 7. 8