3.4 Iegrre fucţiilor rigoomerice ) R( si,cos ) d Susiuţi recomdă ese: uei fucţii rţiole. g =, (, ) şi iegrl dă se reduce l iegrre si cos si cos g si + cos + g = = = + cos si g cos + si + g = = = + = rcg d = d + R ( si,cos ) d= R, d = R () d + + + Eemplu: d si = g rcg + = d = d d + = d = d = + C = g + C l l si + Lisăm rei ipuri de iegrle ce po fi rezolve cu susiuţii mi simple. ) ( si ) R cos d = si d = cos d
( si ) cos = ( ) R d R d Eemplu: cos d si d = = rcg + C = rcg + C + + 4 si 4 ) ( cos ) R si d = cos d = si d ( cos ) si = ( ) R d R d Eemplu: si d d = = l + + C = l ( + cos ) + C + cos + c) cos. ( si,cos ) R d ude fucţi de su iegrlă implică umi pueri pre î si şi = g si si g = = = si + cos + g + cos cos = = = cos + si + g + = rcg d = d + R ( si,cos ) d= R, d = R () d + + + Eemplu: d = g si + 4cos +
rcg si d = + = d = cos = + + d d = d = si + 4cos + + + 4+ + + 4 + + + ( ) d d = = = rcg + C 3 3 + 6 + 3 α β ) si cos d, α, β Cosiderăm două czuri: ) α su β ese umăr poziiv impr. De eemplu, β = +, cu > îreg. α + = α ( ) α ( ) si cos d si cos cos d= si si cos d = si d = cos d ( ) α + α d= d si cos Aplicăm eorem iomilă şi oţiem fucţii puere uşor iegrile. Eemple: 5 4 ) = = ( ) si cos d si cos cos d si si cos d = si d = cos d 5 4 6 si cos ( ) ( ) d= d= + d= 3 5 7 3 5 7 = + + C = si si + si + C 3 5 7 3 5 7
) 3 si si cos d = si d = si d cos cos cos = cos d = si d 3 si cos d = d = d = + + C = cos + + C cos 3) 3 cos si d = cos d si si = si d = cos d 5 3 3 5 d d d C C cos = = = + = si si + si 5 5 ) α şi β su umere poziive pre, α = m β =, m, Mipulăm fucţi de su iegrlă plicâd formulele rigoomerice: cos si = + cos cos = peru m si cos = si peru m= m m si cos ( si ) ( cos ) m cos + cos d= d= d= m = ( cos ) ( + cos ) d m+ Aplicăm eorem iomilă fcorilor ( cos ) m şi ( + cos), îmulţim poliomele sfel oţiue şi jugem l iegrle di pueri pre su impre de cos. Termeilor cu pueri impre î cos, le plicăm ehic precedeă, ir ermeilor cu pueri pre î cos, le plicăm ir + cos4 cos = m
Coiuăm procedeul pâă câd jugem l iegrle de form cos d. m= = ( ) = = si cos d si cos d si d si d 4 ( si ) ( cos 4 ) cos4 = d = d = = d 4 4 8 Se plică eorem iomilă ec. Eemple: 4 cos + cos si cos d= d ( cos )( cos ) d = + 8 = + + d 8 ( cos )( cos cos ) 3 ( cos cos cos cos cos ) = + + d 3 ( cos cos cos ) = + d ( ) + cos4 = cos si cos d 8 + cos 4 si cos = d 8 + 3 si = si 4+ + C 8 8 3 cos4 d d d d 4 4 ( ) si cos = si cos = si = = si 4 C 8 + 4, cosα cos βd, siαsi βd, α β 3) siα cos βd Peru clcul cese iegrle su uile urmăorele ideiăţi rigoomerice:
siα cos β = si ( α + β) + si ( α β) cosα cos β = cos( α + β) + cos( α β) siαsi β = cos( α β) cos( α + β) De eemplu, ( α + β) cos( α β) cos siα cos βd= si ( α β) si ( α β) d C + + = + α + β α β cos3 cos d= cos( 3 ) cos( 3 ) d ( cos 4 cos ) d + + = + = si 4 si si 4 si + C C 4 + = + + 8 4 3.5 Iegrl defiiă Defiiţie: Fie f ( ) o fucţie defiiă pe u iervl îchis [, ]. Împărţim iervlul [, ] suiervle, legâd pucele: î = < < < < < < = Acesă mulţime de suiervle o umim priţie pe [, ]. Fie Δ = > lugime suiervlului şi fie ξ u puc rirr di suiervlul. Î cesă mieră cosruim o mulţime de puce iermedire ξ, ξ,, ξ socie priţiei de. Fiid dă o priţie pe [, ] şi o mulţime de puce iermedire pe cesă priţie puem evlu sum ( ξ) ( ξ) ( ξ ) ( ξ ) S = f Δ + f Δ + f Δ = f Δ =
ude f ( ξ ) ese vlore lui f ( ) î pucul ξ [, ]. Acesă sumă o umim sumă iegrlă Riem peru f ( ) deermiă de priţi dă pe [, ] şi de pucele iermedire lese. Figur 3. Oservţie: Sum Riem depide de modul de împărţire l iervlului [, ] î suiervle [ ] ξ î cese suiervle., şi de legere pucelor iermedire Fie λ ce mi mre lugime suiervlelor [, ] λ = Δ m,,,, =, dică Defiiţie: Spuem că umărul I ese limi sumelor iegrle f ( ξ) Δ peru f ( ) pe = [, ], dcă ε >, eisă u umăr δ ( ε ) > sfel îcâ = peru orice priţie pe [, ] cu peru orice puce iermedire Scriem: lim ( ξ) I = f Δ λ = ( ξ ) f Δ I < ε Δ < δ,,,, ξ, =,,,. =, dică peru orice priţie cu λ < δ şi Dcă eisă, cesă limiă se umeşe iegrl defiiă su iegrl Riem şi se oeză ( ) lim ( ξ) I = f d = f Δ λ =
= limi iferioră = limi superioră = vriil de iegrre f ( ) = iegrd f ( ) d = eleme de iegrre Os: Iegrl defiiă rămâe eschimă dcă vlore fucţiei f ( ) se modifică îr-u puc c [, ]. Adică, dcă fucţi f ( ) rece î fucţi ( ), [, ] { } f c g( ) = A, = c ude, A f ( c), uci ( ) = ( ) f d g d Acesă propriee rămâe vlilă dcă f ( ) ese modific îr-u umăr fii de puce di [, ]. Os: I defiiţi iegrlei defiie s- cosider <. Icludere czurilor = şi > se fce cosiderâd: f ( ) d = peru = f ( ) d = f ( ) d peru > Eemplu: Clculţi d d = lim f Δ = lim Δ = lim ( ξ) ( ) λ λ λ = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = lim + + = lim = lim = λ λ λ Teorem : Dcă o fucţie f ( ) ese iegrilă (re iegrlă defiiă) pe u iervl îchis [, ], uci f ( ) ese mărgiiă pe [, ]. Remrcă: O fucţie poe fi mărgiiă pe [, ], dr să u fie iegrilă pe [ ],.
Eemplu: Fucţi Dirichle f ( ), =, ese mărgiiă pe iervlul [,] deorece f ( ) peru [,], dr ( ) iegrilă pe [,]. Îr-devăr, sum iegrlă ( ξ ) iermedire ξ, =,, devie = f u ese S = f Δ peru orice şir rţiol de puce ( ) S = Δ = = = = = ir peru orice şir irţiol de puce iermedire ese S = Δ = = Auci peru orice λ = m Δ zero. Î cesă siuţie pe [,]., oricâ de mic, sum iegrlă S ese eglă fie cu uu fie cu f u ese iegrilă S u re limiă peru λ, deci fucţi ( ) Teorem : Dcă o fucţie f ( ) ese coiuă pe u iervl îchis [, ], uci ( ) iegrilă pe [, ]. Eemplu: f ( ) = e ese coiuă pe [,], deci ese iegrilă pe [,] iegrl defiiă e d f ese, dică eisă Teorem 3: Dcă o fucţie f ( ) ese defiiă şi moooă pe u iervl îchis [ ] f ( ) ese iegrilă pe [, ].,, uci Teorem 4: Dcă fucţi f ( ) ese mărgiiă pe iervlul îchis [, ] şi dcă ( ) umăr fii de puce de discoiuie pe [, ], uci f ( ) ese iegrilă pe [ ] f re u,.
Eemplu: f ( ) si, =, =, deci ese mărgiiă şi fucţi re u sigur puc de discoiuie de speţ dou î =. ese iegrilă pe iervlul îchis [,], deorece f ( ), [,] pe [,] Proprieăţi: Presupuem oe fucţiile coiue şi deci iegrile pe u iervl îchis [, ].. Iegrl defiiă depide umi de limiele sle iferioră şi superioră, de f şi ese idepedeă de vriil de iegrre iegrdul ( ). Liirie 3. Adiivie ( ) d = f ( ) d f ( u) f = ( ) d A f ( ) Af = d du f ( ( ) + f ( ) ) d = f ( ) d f ( ) + c ( ) d = f ( ) d f ( ) f + 4. Moooie: Fie f ( ) şi g ( ) două fucţii iegrile pe [ ] relţi f ( ) g( ) pe [, ], uci ( ) d g( )d f 5. Dcă f ( ) ese iegrilă pe [, ] uci şi fucţi f ( ) [, ] şi re loc ieglie: c d d,, peru cre re loc ese iegrilă pe
( ) ( ) f d f d 6. Fie m şi M miimul şi mimul lui f ( ) pe [, ] ( ) ( ) ( ) m f d M. Auci Figur 3. Eemplu: Evluţi iegrl d + 6si m = mi = = + 6si + 6si 4 = M = m = = + 6si + 6si 3 = Cu propriee 6. vem: d 4 + 6si ( ) ( ) d + 6si
3.6 Teoreme fudmele peru iegrl defiiă Teorem de medie: Fie f ( ) o fucţie coiuă pe u iervl îchis [, ] cel puţi u puc ξ [, ] sfel îcâ Ierprere geomerică: f ( ) d= ( ) f ( ξ ), ξ [, ]. Auci, eisă Figur 3.3 Pe grficul fucţiei coiue y = f( ), eisă pucul Cc (, f()) c, sfel îcâ riile AB şi MN su egle. [, ]. Numărul ( ) ( ) ( ) = se umeşe vlore medie fucţiei f ( ) M f f d pe Eemplu: Clculţi vlore medie fucţiei f ( ) = si pe [, ].
M ( si ) = si d= ( cos + cos ) = Fie f ( ) o fucţie coiuă pe u iervl îchis [, ] de vriil de iegrre ( ) = ( ) Cosiderăm u puc rirr [, ] f d f d şi cosruim o fucţie ( ) ( ) F = f d. Iegrl defiiă u depide Aces ese defiiă [, ], deorece dcă iegrl lui f ( ) pe [, ] eisă şi iegrl lui f ( ) pe [, ] peru [, ]. eisă, Prim eoremă fudmelă de clcul: Fie f ( ) o fucţie coiuă pe u iervl îchis [, ]. Auci, fucţi F( ) = f ( ) d ese derivilă î orice puc [, ] F ( ) f ( ) şi =. Cu le cuvie, deriv iegrlei defiie î rpor cu limi s superioră ese eglă cu vlore iegrdului î pucul limiă superioră iegrlei. = f () d f ( ), [, ] Demosrţie: Fie ese: Δ, sfel îcâ [, ] +Δ. Creşere corespuzăore fucţiei +Δ ( ) ( ) () () Δ F = F +Δ F = f d f d +Δ +Δ eorem de medie () () () ( ) ( θ ) = f d+ f d = f d = +Δ f + Δ Δ F = f + Δ Δ ( θ ), θ [,] ΔF F = = f Δ Δ ( ) lim ( ) doriă coiuiăţii lui f ( ).
A dou eoremă fudmelă de clcul: Fie f ( ) o fucţie coiuă pe u iervl îchis [, ]. Auci, f ( ) re o primiivă pe [, ] şi î coseciţă f ( ) re iegrlă edefiiă. Demosrţie: Deorece f ( ) ese coiuă pe [, ], uci eisă f () d, [, ], dică eisă fucţi F( ) = f ( ) d sfel îcâ F ( ) = f ( ), [, ]. Deci ( ) o primiivă lui f ( ) pe [, ]. Iegrl edefiiă fucţiei f ( ) pe [, ] poe fi reprezeă î form ( ) ( ) f d= f d+ C F ese Teorem Newo-Leiiz: Fie f ( ) o fucţie coiuă pe u iervl îchis [, ] F ( ) o primiivă lui f ( ) pe [, ], uci şi fie ( ) = ( ) ( ) f d F F Demosrţie: Fie ( ) ( ) Φ = f d, [, ] Φ ( ) ese o primiivă peru f ( ) ( ) ( ) Φ = F + C f () d = F( ) + C, [, ] C = F( ) = f () d = F( ) + C () = ( ) ( ) f d F F, = f () d = F( ) F( ) f ( ) d= F( ) F( )
Eemple: 4 4 4 d = = 6 si d= cos = cos ( cos ) = Figur 3.4 f ( ) = si si d= cos = cos ( cos ) = Oservţie: Iegrl repreziă sum riilor de su cură, desupr ei O, mius riile de su O. Figur 3.5 f ( ) = si
Iergere pri susiuţie Cosiderăm iegrl f ( ) d î cre ( ) f ese coiuă pe [, ] şi fie ϕ() Presupuem că ϕ () sisfce codiţiile: ϕ () i vlori îre şi uci câd vriză pe[ α, β ].î. ϕ( α ) = şi ( ) ϕ () ese coiuă pe [ α, β ]. Auci: β ( ) ϕ() ϕ () f d= f d α ϕ β =. =. Eemple: ) d, > = si d = cosd = si = = si = + cos d= si cos d= cos d= d = + = + = 4 si si ) e l d = e d = e d = e = e= e =
e 3 d e d d e l = = = = 3 3 Ueori ese coveil să folosim susiuţi = ψ ( ) î loc de ϕ() 3) ( ) 3 4 + d =. 4 = + ( 4 3 3 ) ( ) d = d = d 3 4 ( ) 3 + d = d = = 3 3 Oservţie: Fie ( ) Auci: f o fucţie iegrilă pe u iervl îchis simeric [, ] f ( ) d f ( ) d, dc f ( ) ese pr = ( ), dc f ese impr cu >. Eemplu: 3 cos si e d= deorece iegrdul ese fucţie impră Iegrre pri părţi Fie fucţiile u( ) şi v( ) cu derive u ( ) şi v ( ) coiue pe [, ]. Auci re loc: = udv u v vdu Eemple: ) ( ) si d
u = dv = si d du = d v = cos ( ) si d ( ) cos cos d ( ) cos si = = = l ) d e u l d = dv = du = d v = e e e e e l l l d = + d = = + = e e e Iegrle improprii Pâă cum domeiul de iegrre l uei fucţii er u iervl mărgii. Aumie plicţii di fizică duc l iegrre uor fucţii pe domeii emărgiie. Defiiţie: O iegrlă improprie, defiiă pri + def ( ) = lim ( ) f d f d + se spue că ese covergeă dcă limi eisă şi divergeă dcă limi u eisă. Eemple + ) Iegrl improprie coverge şi ese eglă cu. Îr-devăr, d + + d = lim d = lim rcg = lim rcg = + + + + +
Figur 3.6 f ( ) = g( ) ) Iegrl improprie + cos d ese divergeă. Îr-devăr, + cos d = lim cos d = lim si = lim si limiă ce u eisă. + + +