auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: ( Q P(x, y)dx + Q(x, y)dy = x P ) dxdy y int i auchy Riemannovih uvjeta. (Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 1 / 11
auchyjev teorem Višestruko povezana oblast može se pogodno izabranim razrezima u kompleksnoj ravni pretvoriti u prosto povezanu oblast. Pozitivan smjer obilaska konture - pri obilasku po konturi koja je ograničava, oblast ostaje lijevo. (Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 2 / 11
Neodre deni integral Neka je f (z) neprekidna funkcija u jednostruko povezanoj oblasti D, i neka je f (z)dz = 0 za svaku konturu unutar te oblasti. Definiramo c z funkciju F(z) = f (ζ)dζ. z o (Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 3 / 11
auchyjeva integralna formula Teorem: Neka je f (z) regularna u jednostruko povezanoj oblasti D, zatvorena kontura unutar te oblasti, a z o tačka unutar te konture. Tada vrijedi f (z o ) = 1 2πi f (z) z z o dz. (Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 4 / 11
Posljedice auchyjeve formule Teorem: Neka je f (z) regularna u oblasti D ograničenoj zatvorenom konturom i neprekidna u zatvorenoj oblasti D. Tada je u unutrašnjim tačkama oblasti D funkcija f (z) beskonačno diferencijabilna i njen n ti izvod je f (n) (z) = n! 2πi f (ζ) dζ. (ζ z) n+1 (Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 5 / 11
Posljedice auchyjeve formule Teorem (Morera): Neka je f (z) neprekidna f-ja kompleksne promjenljive z u jednostruko povezanoj oblasti D, i neka je f (z)dz = 0 za svaku zatvorenu konturu u oblasti D. Tada je f (z) regularna u oblasti D. Ovaj teorem se još naziva obrnuti auchyjev teorem. Teorem (Liouville): Neka je f (z) regularna i ograničena u cijeloj kompleksnoj ravni. Dakle, M > 0 takvo da je f (z) M z. Tada je funkcija f (z) konstantna. (Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 6 / 11
Redovi sa kompleksnim članovima Redovi sa kompleksnim članovima c n, S N = N c n (N ta parcijalna suma) Red c n konvergira i ima sumu S ako S N S 0, N. Neka je a n = Re c n, b n = Im c n. Red c n konvergira akko konvergiraju redovi a n i b n. auchyjev kriterij: ε > 0 N(ε) takvo da je n > N(ε) p > 0. n+p k=n+1 c k < ε (Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 7 / 11
Redovi sa kompleksnim članovima Redovi sa kompleksnim članovima Brojni redovi. Primjer: Geometrijski red Za c < 1 vrijedi n=0 c n = 1 1 c c n n=0 Funkcionalni red: red čiji su članovi funkcije w n (z): Primjer: Stepeni red w n (z) = f (z). c n kompleksne konstante. c n z n, ili, općenito c n (z z o ) n, (Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 8 / 11
Redovi sa kompleksnim članovima Ravnomjerno konvergentni funkcionalni redovi n ta parcijalna suma funkcionalnog reda: f n (z) = n k=1 w k (z). Funkcionalni red w n (z) ravnomjerno (uniformno) konvergira u oblasti D ka f (z), ako ε > 0 N(ε) takvo da f n (z) f (z) < ε n > N(ε) z D. (N zavisi samo od ε, a ne i od z.) Weierstrassov kriterij: Ako za svako n i z D vrijedi w n (z) < a n i brojni red a n konvergira, onda funkcionalni red w n (z) konvergira ravnomjerno u D. (Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 9 / 11
Redovi sa kompleksnim članovima Ravnomjerno konvergentni funkcionalni redovi Ravnomjerno konvergentni funkcionalni red neprekidnih funkcija ima kao sumu neprekidnu funkciju. Ravnomjerno konvergentan funkcionalni red neprekidnih funkcija može se integrirati član po član. [ w n (z)]dz = w n (z)dz c c Suma ravnomjerno konvergentnog reda regularnih f-ja je regularna f-ja. Ravnomjerno konvergentan funkcionalni red regularnih funkcija može se derivirati član po član. d dz w n (z) = dw n (z) dz (Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 10 / 11
Redovi sa kompleksnim članovima Razvoj funkcije u red Razvoj regularne funkcije u Taylorov red. f (z) = a n (z z o ) n, a n = 1 2πi n=0 f (z) (z z o) n+1 dz Razvoj funkcije oko izolovane singularne tačke u Laurentov red. f (z) = a n (z z o ) n, a n = 1 2πi n= f (z) (z z o) n+1 dz (Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 11 / 11