DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011).

DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU dr. Dženis F. Pučić TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011).

Predgovor prvom izdanju Ova skripta nastala su kao rezultat potrebe da se studentima studijskog programa Matematika na Državnom univerzitetu u Novom Pazaru obezbedi osnovna literatura za predmet Topologija. Napisane su prema važećem nastavnom programu za čiju realizaciju je nastavnim planom predvideno dva časa predavanja i dva časa vežbanja nedeljno, tokom jednog semestra. Skripta su napisana, najvećim delom, na osnovu predavanja prof. dr Ljubiše Kočinca na Prirodno-matematičkom fakultetu u Prištini šk. 1993/1994. godine, a osim toga korišćena je i sledeća literatura: 1. Miloslav Marjanović, Topologija, Matematički fakultet u Beogradu, 1990; 2. Ljiljana Gajić, Miloš Kurilić, Stevan Pilipović, Bogoljub Stanković, Zbirka zadataka iz funkcionalne analize, Univerzitet u Novom Sadu, 2000; 3. Nebojša Ralević, Ilija Kovačević, Zbirka rešenih zadataka iz funkcionalne analize, FTN izdavaštvo, Novi Sad, 2004; 4. Olga Hadžić, Stevan Pilipović, Uvod u funkcionalnu analizu, Novi Sad, 1996; 5. Miloš Kurilić, Osnovi opšte topologije, Izdavač DMI, Novi Sad, 1998; Imajući u vidu da se studenti kojima je namenjena ova skripta prvi put sreću sa ovom relativno složenom materijom, autor je nastojao da dokazi teorema i postupci rešavanja zadataka budu što detaljniji. Kao ilustraciju konstrukcije podnizova kod metričkih prostora efektivno je konstruisao podniz pomoću koga je dokazao da su skupovi F m = {x n : n m} ( m N) zatvoreni (lema 6.2.2). Autor srdačno zahvaljuje akademiku prof. dr Stevanu Pilipoviću na korisnim sugestijama, kako u vezi sa izvodenjem nastave, tako i u vezi sa priredivanjem ovih skripata, naročito zbog navike priredivača da pretera u zahtevima. Celokupnu pripremu teksta na računaru, kao svoje seminarske radove, uradili su studenti Čuljević Zijad i Mahmutović Mirsena. Autor se iskreno nada da će ova skripta korisno poslužiti studentima u pripremi ispita i kompletiranju njihovog matematičkog obrazovanja. Istovremeno, spreman je da prihvati sve dobronamerne sugestije i primedbe, unapred znajući da je on odgovoran za eventualne nedostatke knjige. U Novom Pazaru, 15.6.2011. Autor

Predgovor drugom izdanju Drugo izdanje ove skripte bitno se razlikuje od prethodnog po tome što je proširena sa putnom povezanošću i nekim zadacima sa novijih ispitnih rokova sa uputstvima za rešavanje i delimičnim rešenjima. Kod nekih zadataka proširene su informacije već obradenih pojmova u skripti i date smernice za njihovo rešavanje na više načina. U ovom izdanju je, na osnovu iskustva autora, promenjen i proširen pristup povezanosti topoloških prostora na kvalitetniji metodički i više pedagoški način. Autor se posebno zahvaljuje studentu matematike, Mandak Seadu koji je u sklopu seminarskog rada i u toku pripremanja ispita, sa velikom pažnjom i entuzijazmom, tehnički poboljšao skriptu, ispravljajući slogovne i druge greške, čak i na pojedinim mestima dajući korisne sugestije. Naravno, za sve ono što nije dobro, a čega sigurno ima, odgovornost snosi autor. U Novom Pazaru, 26.11.2014. Autor

Sadržaj 1 Skupovi, funkcije, kardinalnost 4 1.1 Pojam skupa............................... 4 1.2 Osnovne operacije sa skupovima.................... 5 1.3 Kolekcije (familije) skupova....................... 6 1.4 Funkcije (preslikavanja)......................... 7 1.5 Osobine slike i inverzne slike....................... 9 1.6 Kardinalnost............................... 10 2 Topološki prostori 12 2.1 Osnovni pojmovi i primeri........................ 12 2.2 Baza. Lokalna baza. Predbaza (subbaza)............... 16 2.3 Podskupovi topološkog prostora i operacije sa njima......... 23 3 Neprekidnost 35 3.1 Pojam neprekidnosti u topološkim prostorima............. 35 3.2 Topološki potprostor i relativna topologija............... 38 3.3 Topološki proizvod............................ 40 4 Aksiome separacije 49 4.1 Osnovni pojmovi i primeri........................ 49 5 Konvergencija 56 5.1 Osnovni pojmovi i primeri........................ 56 6 Kompaktnost 61 6.1 Pokrivači i potpokrivači......................... 61 6.2 Kompaktnost u metričkim prostorima................. 62 6.3 Kompaktnost u topološkim prostorima................. 68 7 Povezanost (Koneksnost) 78 7.1 Otvorena i zatvorena diskoneksija.................... 78 7.2 Definicija povezanosti.......................... 79 7.3 Komponente povezanosti......................... 86 7.4 Putna povezanost............................. 86 8 Dodatak 90 8.1 Odabrani ispitni zadaci sa rešenjima.................. 90 8.2 Odabrani ispitni zadaci sa uputstvima................. 98 8.3 Ispitni rokovi............................... 109

Glava 1 Skupovi, funkcije, kardinalnost Da bi student mogao uspešno pratiti sadržaj ove skripte neophodno je, pre svega, obnoviti neke od najvažnijih rezultata iz matematičke logike. U ovoj glavi najpre uvodimo neke osnovne pojmove iz teorije skupova i dajemo kratak pregled njenih najvažnijih posledica. Zatim uvodimo pojam preslikavanja i njihove najbitnije osobine. Na kraju je, u kratkim crtama, predstavljena elementarna teorija kardinalnih brojeva. 1.1 Pojam skupa Pojam skupa smatra se osnovnim pojmom u matematici pa se, kao takav, ne definiše, to jest ne svodi se na još jednostavnije pojmove. Svaki skup se sastoji od njegovih elemenata i on je njima potpuno odreden. Ako neki element x pripada skupu X tada pišemo x X, u suprotnom pišemo x / X. Elemente skupova često nazivamo tačkama kao što je to slučaj za elemente skupova realnih ili prirodnih brojeva. Skup X najčešće se opisuje sa nekim svojstvom P, tako da elementima od X smatramo sve one objekte x, koji u datim okolnostima dolaze u obzir, a imaju svojstvo P. Tada pišemo X = {x : x ima svojstvo P } ili X = {x : P (x)}, a čitamo: X je skup svih elemenata x sa svojstvom P. Najvažnije relacije na skupovima su relacija inkluzije i relacija jednakosti = izmedu dva proizvoljna skupa A i B koje definišemo na sledeći način: A B def ( x A)x A x B A = B def A B B A Ove dve relacije imaju posebnu ulogu u dokazivanju mnogih tvrdenja u topologiji. Dakle, ako za skupove A X i B X treba dokazati da je A = B tada je dovoljno dokazati da za svako x X, za koje je x A, proizilazi x B, i obrnuto, da za svako x X, za koje je x B, proizilazi x A. 4

GLAVA 1. SKUPOVI, FUNKCIJE, KARDINALNOST 5 Posmatrajmo sada skup svih podskupova skupa X (uključujući prazan skup koji obeležavamo sa i skup X). Takav skup zovemo partitivni skup od X i označavamo sa P (X), tj. P (X) def = {A : A X} Dakle, svi elementi partitivnog skupa P (X) su podskupovi skupa X što možemo napisati kao: A P (X) A X Može se pokazati da je (P (X), ) parcijalno ureden skup i da je relacija jednakosti = izmedu podskupova skupa X jedna relacija ekvivalencije na partitivnom skupu P (X). 1.2 Osnovne operacije sa skupovima Neka su A X i B X proizvoljni skupovi. Unija, presek i razlika \ skupova A i B su, redom, dati sa: A B def = {x X : x A x B} A B def = {x X : x A x B} A \ B def = {x X : x A x / B} Komplement podskupa A X u skupu X je definisan sa: X \ A def = {x X : x / A} U slučaju da nema opasnosti od zabune komplement podskupa A X u skupu X označavamo sa A C ili CA. Za uniju, presek i razliku \ kažemo da su osnovne operacije na skupovima. Ako su A X, B X i C X proizvoljni podskupovi skupa X tada se jednostavno mogu dokazati (za vežbu) sledeće formule: (1) (A B) C = A (B C) (2) (A B) C = A (B C) (3) A B = B A (4) A B = B A (5) A (A B) = A (6) A (A B) = A (7) A (B C) = (A B) (A C) (8) A (B C) = (A B) (A C) (9) A (X \ A) = X (10) A (X \ A) = (11) A = A (12) A = (13) X \ (A B) = (X \ A) (X \ B) (14) X \ (A B) = (X \ A) (X \ B) (15) X \ X = (16) X \ = X (17) A A = A (18) A A = A Primetimo da su formule (1)-(8) dualne, u smislu da zamenom znaka sa u levoj koloni dobijamo desnu kolonu. Takode, iz formula (7) i (8) zaključujemo da su operacije i medusobno distributivne. Formule (13) i (14), koje pokazuju odredenu distributivnost operacije komplementiranja u odnosu na i obrnuto, zovu se De Morganove formule.

GLAVA 1. SKUPOVI, FUNKCIJE, KARDINALNOST 6 Napomenimo i sledeći važan rezultat (dokazati): X \ (X \ A) = A Direktni (ili Kartezijev) proizvod dva skupa X i Y, u oznaci, jeste skup svih uredenih parova (x, y) tako da x X i y Y, tj.: X Y def = {(x, y) : x X y Y } Ovaj pojam možemo proširiti i na konačan broj skupova. Naime, Direktni (ili Kartezijev) proizvod skupova X 1, X 2,..., X n je definisan na sledeći način: X 1 X 2 X n = n j=1 X j def = {(x 1, x 2,..., x n ) : x j X j, j {1, 2,..., n}} Napomenimo da je direktni proizvod dva skupa prazan ako i samo ako je bar jedan od skupova koji učestvuju u njemu prazan skup. Takode se može dokazati (za vežbu) da važi: (A B) (C D) = (A C) (B D) 1.3 Kolekcije (familije) skupova Ako svakom elementu α nepraznog skupa A pridružimo skup A α, tada se skup čiji su elementi A α naziva kolekcija (familija) skupova i označava sa {A α : α A} Skup A zove se indeksni skup. U ovom kursu često ćemo govoriti o tzv. kolekcijama (familijama) podskupova skupa X. Naime, svi podskupovi U partitivnog skupa P (X) zovu se kolekcije (familije) podskupova skupa X. Drugim rečima, ako je U P (X) tada je U kolekcija podskupova skupa X. Ako za indeksni skup uzmemo skup U i stavimo U U = U ( U U) tada kolekciju U podskupova skupa X možemo zapisati u obliku: U = {U U : U U} P (X) Odavde zaključujemo da kolekciju podskupova nekog skupa možemo smatrati kao poseban slučaj familije skupova. Neka je {A α : α A} P (X) kolekcija podskupova skupa X. Unija i presek ove kolekcije definisani su na sledeći način: A α = {A α : α A} def = {x X : ( α A)x A α } A α = {A α : α A} def = {x X : ( α A)x A α }

GLAVA 1. SKUPOVI, FUNKCIJE, KARDINALNOST 7 Za kolekcije {A α : α A} i {B β : β B} podskupova skupa X važi: ( ) ( ) A α B β = (A α B β ) (1.1) ( ( ( β B ) ( ) A α B β = β B ) ( ) A α B β = β B ) ( ) A α B β = β B (α,β) A B (α,β) A B (α,β) A B (α,β) A B (A α B β ) (1.2) (A α B β ) (1.3) (A α B β ) (1.4) Dokazaćemo prvu jednakost, a ostale jednakosti se mogu dokazati na sličan način (dokazati za vežbu). ( ) ( ) ( x X) x A α B β x A α x β B β B ( α A)x A α ( β B)x B β ( (α, β) A B)x A α B β x (A α B β ) (α,β) A B Takode se na jednostavan način mogu dokazati (za vežbu) i De Morganove formule: ( ) X \ A α = (X \ A α ) (1.5) ( ) X \ A α = (X \ A α ) (1.6) 1.4 Funkcije (preslikavanja) Neka su X i Y dva neprazna skupa. Pod funkcijom (preslikavanjem) f skupa X u skup Y podrazumevamo neko pravilo po kojem se svakom elementu x X pridružuje jedinstveni element y Y (koji zavisi od x). Pridruženi element zovemo vrednost (slika) elementa x i označavamo sa f(x). Funkciju (preslikavanje) najčešće označavamo sa f : X Y. Neka su data dva preslikavanja f 1 : X 1 Y 1 i f 2 : X 2 Y 2. Tada važi: f 1 = f 2 X 1 = X 2 Y 1 = Y 2 ( x X 1 = X 2 )f 1 (x) = f 2 (x) Kompozicija preslikavanja f : X Y i g : Y Z, u oznaci, jeste preslikavanje h : X Z takvo da važi: h = g f Graf funkcije f predstavlja skup def ( x X)h(x) = g(f(x)) G(f) = {(x, f(x)) : x X} B β

GLAVA 1. SKUPOVI, FUNKCIJE, KARDINALNOST 8 Restrikcija preslikavanja f : X Y na skup A X (A ) je preslikavanje f A : A Y takvo da važi ( x A) f A (x) = f(x) Za preslikavanje f : X Y kažemo da je: (a) sirjektivno ( na ) ako je (b) injektivno ( 1-1 ) ako je f(x) = Y ili ( y Y )( x X)y = f(x) ( x 1, x 2 X)f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 ili ( x 1, x 2 X)x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) (c) bijektivno ako je f sirjektivno i injektivno preslikavanje. Najjednostavniji primer bijektivnog preslikavanja je identičko preslikavanje id x : X X definisano sa id x (x) = x. Ako je dato preslikavanje f : X 1-1 Y (f je bijekcija) tada postoji jedinstveno na preslikavanje f 1 : Y X koje zovemo inverzno preslikavanje dato sa Za inverzno preslikavanje važi f 1 (y) = x y = f(x) f 1 f = id x f f 1 = id y Neka je dato preslikavanje f : X Y i podskupovi A X i B Y. (a) Tada skup f(a) = {f(x) Y : x A} zovemo slika skupa A. elemente ovog skupa važi: Dakle, za y f(a) ( x A) y = f(x) (b) Tada skup f 1 (B) = {x X : f(x) B} zovemo inverzna slika 1 skupa B. Dakle, za elemente ovog skupa važi: x f 1 (B) f(x) B (c) Ako je y Y tada skup f 1 (y) = {x X : f(x) = y} zovemo f-fibra (f-vlakno). 1 Skrećemo pažnju čitaocu da napravi razliku izmedu inverzne slike i inverznog preslikavanja

GLAVA 1. SKUPOVI, FUNKCIJE, KARDINALNOST 9 1.5 Osobine slike i inverzne slike Neka je dato preslikavanje f : X Y, podskupovi A X, A 1 X, A 2 X, B Y, B 1 Y, B 2 Y i kolekcije podskupova {A α : α A} P (X) i {B β : β B} P (Y ). Tada važe sledeće jednakosti: (1) f( ) = (2) f 1 ( ) = (3) f(x) Y (4) f 1 (Y ) = X (5) A 1 A 2 f(a 1 ) f(a 2 ) (6) B 1 B 2 f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) (7) f 1( ) B β = f 1 (B β ) (8) f 1( ) B β = f 1 (B β ) β B β B ( ) (9) f A α = f(a α ) β B β B ( ) (10) f A α f(a α ) ( ) (11) f je 1-1 : f(a B)=f(A) f(b) (12) f je 1-1 : f A α = f(a α ) (13) f 1 (B 1 ) \ f 1 (B 2 )=f 1 (B 1 \ B 2 ) (14) f 1 (Y \ B) = X \ f 1 (B) (15) f 1 (f(a)) A (16) f(f 1 (B)) B (17) f 1 (f(a)) = A ako je f 1-1 (18) f(f 1 (B)) = B ako je f na Dokazaćemo jednakosti (5), (7), (13), (15) i (17), a ostale jednakosti se dokazuju na sličan način (dokazati za vežbu). (5) A 1 A 2 ( y Y ) ( y f(a 1 ) ( a A 1 A 2 ) y = f(a) ) ( y Y ) ( y f(a 1 ) y f(a 2 ) ) f(a 1 ) f(a 2 ) (7) ( x X) x f 1( ) B β f(x) B β ( β B) f(x) B β β B β B ( β B) x f 1 (B β ) x f 1 (B β ) f 1( ) B β = f 1 (B β ) β B β B β B (13) ( x X) x f 1 (B 1 ) \ f 1 (B 2 ) x f 1 (B 1 ) x / f 1 (B 2 ) f(x) B 1 f(x) / B 2 f(x) B 1 \ B 2 x f 1 (B 1 \ B 2 ) f 1 (B 1 ) \ f 1 (B 2 ) = f 1 (B 1 \ B 2 ) (15) (( a A) a A f(a) f(a) a f 1 (f(a))) A f 1 (f(a)) (17) Dokažimo da u prethodnoj jednakosti umesto stoji = ako je f 1-1 : ( b f 1 (f(a))) b f 1 (f(a)) f(b) f(a) ( a A) f(b) = f(a) b = a, jer je f 1-1 b = a A, odnosno f 1 (f(a)) A što zajedno sa A f 1 (f(a)) daje f 1 (f(a)) = A, ako je f 1-1.

GLAVA 1. SKUPOVI, FUNKCIJE, KARDINALNOST 10 1.6 Kardinalnost Za dva skupa kažemo da imaju isti kardinalni broj (ili da su iste moći, kardinalnosti) ako postoji bijekcija sa jednog skupa na drugi. Često kažemo da su takvi skupovi ekvipotentni ili ekvivalentni. Kažemo još da su podskupovi nekog skupa u relaciji imati isti kardinalni broj ili da su ekvipotentni ako postoji bijekcija sa jednog skupa na drugi. Ovu relaciju označavamo sa. Dakle: ( A, B P (X)) A B def postoji bijekcija f : A 1-1 B na Pokazuje se da je relacija relacija ekvivalencije. Poznato je da svaka relacija ekvivalencije definisana na nekom skupu razlaže taj skup na medusobno disjunktne podskupove koji se zovu klase ekvivalencije. U našem slučaju klasu ekvivalencije koja sadrži skup A zovemo kardinalni broj (moć, kardinalnost) skupa A i označavamo sa A (ili card(a)). Ako postoji injekcija sa skupa A u skup B, onda to označavamo sa A B, a ako postoji injekcija koja nije sirjekcija onda pišemo A < B. Za ovu relaciju važe sledeća tvrdenja: (a) Ako za date skupove A, B, C važi A B C tada je: A = C B = C Uputstvo: Neka je f : C 1-1 A bijekcija (postoji jer je A = C ) na Indukcijom definišimo preslikavanja f n : C C sa: f 0 (c) = c, f n (c) = f(f n 1 (c)) za svako c C. Dalje, definišimo funkciju g : C B na sledeći način: f(c), c f n (C \ B) n=0 g(c) = c, c / f n (C \ B) n=0 Može se pokazati 2 da je g bijekcija pa sledi B = C. (b) (Kantor - Barnštajn) relacija je antisimetrična u skupu kardinalnih brojeva to jest važi: A B B A A = B Dokaz: A B postoji funkcija f : A 1-1 B B A postoji funkcija g : B 1-1 A Tada je g f takode 1-1, pa je g f : A g(f(a)) bijekcija, tj: A = g(f(a)) (1.7) 2 Za detalje videti: Matematička analiza u n-dimenzionalnom realnom prostoru, prvi dio, Sibe Mardešić

GLAVA 1. SKUPOVI, FUNKCIJE, KARDINALNOST 11 Dalje, imamo f(a) B, g(b) A i g(f(a)) g(b), pa je g(f(a)) g(b) A (1.8) Iz tvrdenja pod (a) na osnovu (1.7) i (1.8) sledi g(b) = A. Po pretpostavci je g : B 1-1 A pa je g : B g(b) bijekcija tj. B = g(b). Odavde, i iz g(b) = A, sledi A = B što je i trebalo dokazati. (c) Ako je f : A B sirjekcija ( na ) onda je B A. Za skup A kažemo da je konačan ako postoji n N tako da je A = {1, 2,..., n} ili ako postoji bijekcija f : A {1, 2,..., n}. Pišemo A = n. U suprotnom, za skup A kažemo da je beskonačan. Ako je kolekcija U podskupova skupa X konačna onda pišemo U = {U 1, U 2,..., U n }. Za skup A kažemo da je prebrojiv ako je A N, odnosno ako postoji bijekcija f : N A. Tada kažemo da se A može poredati u niz i pišemo: A = {x 1, x 2,..., x n,... } = {x n : n N} (svi x j, j N su različiti medu sobom) Na isti način, kolekciju U podskupova skupa X za koju znamo da je prebrojiva pišemo u obliku U = {U 1, U 2,..., U n,... } ili U = {U n : n N}. Za skup A koji je konačan ili prebrojiv kažemo da je najviše prebrojiv. Kardinalni broj prebrojivih skupova označavamo sa ℵ 0. Dakle, ako postoji bijekcija f : N A tada je A = N = ℵ 0. Može se pokazati da svaki beskonačan skup sadrži prebrojiv podskup. Primer 1.6.1. Preslikavanje φ : N 2N = {2, 4, 6,... } definisano sa φ(n) = 2n je bijekcija (dokazati), pa je 2N = ℵ 0 iako je 2N N. Primer 1.6.2. Neka je f : N Z preslikavanje dato sa: { k 1, ako je n = 2k f(n) = k, ako je n = 2k 1 Dokazuje se da je f bijekcija, pa je Z = ℵ 0 to jest skup Z je prebrojiv. Takode se može pokazati da je i skup Q racionalnih brojeva prebrojiv. Skup (0, 1) R nije ekvivalentan skupu prirodnih brojeva (Za takav skup kažemo da je neprebrojiv i za njega važi ℵ 0 < (0, 1) ), dok je skup Q (0, 1) prebrojiv. Primer 1.6.3. Funkcija φ : R (0, 1) definisana sa φ(x) = 1 π arctg x + 1 2 je bijekcija, pa je R = (0, 1). Dakle R je neprebrojiv i važi ℵ 0 < R. (d) Svaki podskup prebrojivog skupa je konačan ili prebrojiv. Unija najviše prebrojivo mnogo prebrojivih skupova je prebrojiv skup. Ako je A prebrojiv tada je i A k = A A A A prebrojiv. }{{} k Napomena: Kardinalnost (kardinalni broj, moć) skupa je, dakle, zajednička karakteristika svih medusobno ekvipotentnih skupova. Kod konačnih skupova kardinalni broj se poklapa sa brojem elemenata skupa, dok kod beskonačnih, dva skupa mogu imati isti kardinalni broj, iako je jedan od njih pravi podskup drugog (primer 1.6.1: 2N = N iako je 2N N).

Glava 2 Topološki prostori 2.1 Osnovni pojmovi i primeri Podsetimo se, najpre, pojma metričkog prostora. Ako je X proizvoljan skup i ako postoji funkcija d : X X R koja ispunjava uslove: 1 ( x, y X) d(x, y) 0 2 ( x, y X) d(x, y) = 0 x = y 3 ( x, y X) d(x, y) = d(y, x) 4 ( x, y, z X) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) tada uredeni par (X, d) zovemo metrički prostor. Funkcija d zove se rastojanje ili metrika na skupu X. Često metrički prostor (X, d), ako ne postoji opasnost od zabune, obeležavamo samo sa X. Neka je ε > 0 i x 0 X, gde je X metrički prostor. Tada skup B(x 0, ε) = {x X : d(x 0, x) < ε} (2.1) zovemo ε-okolina sa centrom u x 0 X ili otvorena lopta sa centrom u tački x 0 poluprečnika ε. Sledećom definicijom uvodimo pojam otvorenog skupa. Definicija 2.1.1. Neka je X metrički prostor. otvoren u X ako je prazan ili ako važi: Za skup U X kažemo da je ( x U)( ε > 0)B(x, ε) U Drugim rečima, podskup metričkog prostora je otvoren ako je prazan ili ako sadrži svaku svoju tačku zajedno sa nekom ε-okolinom sa centrom u toj tački. Teorema 2.1.1. Svaka ε-okolina jeste otvoren skup. Dokaz. Treba dokazati: ( y B(x, ε))( δ > 0)B(y, δ) B(x, ε) 12

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 13 Stavimo δ = ε d(x, y). Neka je z B(y, δ) proizvoljan. Iz (2.1) sledi d(y, z) < δ. Tada je: d(x, z) d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + δ = d(x, y) + ε d(x, y) = ε odnosno d(x, z) < ε, tj. z B(x, ε). Dakle, B(y, δ) B(x, ε) što je i trebalo dokazati. Teorema 2.1.2. Skup U X je otvoren u metričkom prostoru X akko je jednak uniji neke kolekcije otvorenih lopti. Dokaz. Neka je U proizvoljan otvoren skup. Tada, po definiciji, imamo: ( x U)( ε x > 0)B(x, ε x ) U Lako je proveriti (dokazati za vežbu) da iz prethodnog iskaza sledi: U = {B(x, ε x ) : x U} Obrnuta implikacija se takode dokazuje na jednostavan način. Teorema 2.1.3 (Teorema o otvorenim skupovima u metričkom prostoru). Neka je U d kolekcija svih otvorenih skupova metričkog prostora X. Tada za ovu kolekciju važi: 1 Skup X i prazan skup su otvoreni, tj. X, U d ; 2 Unija proizvoljne kolekcije otvorenih skupova je otvoren skup, tj. {U α : α A} U d {U α : α A} U d 3 Presek bilo koja dva otvorena skupa je otvoren skup, tj. Dokaz. U, V U d U V U d 1 Neka je ε > 0 proizvoljan broj. Tada, za svako x X, važi B(x, ε) X, a odatle sledi: B(x, ε) X (2.2) x X S druge strane, važi: ( x X) x B(x, ε) Iz (2.2) i (2.3) dobijamo: X X = x X x X x X B(x, ε), pa je B(x, ε) (2.3) B(x, ε) U d jer se može predstaviti kao unija neke kolekcije otvorenih lopti (teorema 2.1.2). Prazan skup možemo shvatiti kao unija prazne kolekcije otvorenih lopti, pa je U d.

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 14 2 Skupovi U α (α A) su otvoreni pa se mogu predstaviti kao unija neke kolekcije otvorenih lopti. Tada je i {U α : α A} takode unija neke kolekcije otvorenih lopti, pa je otvoren, tj: {Uα : α A} U d 3 Neka su U i V otvoreni skupovi. Treba dokazati: ( x U V )( ε > 0)x B(x, ε) U V Neka je x U V proizvoljan. Tada je x U i x V. Iz definicije 2.1.1 sledi: ( ε 1 > 0)x B(x, ε 1 ) U ( ε 2 > 0)x B(x, ε 2 ) V Uzmimo ε = min{ε 1, ε 2 }. Tada je: B(x, ε) B(x, ε 1 ) U B(x, ε) B(x, ε 2 ) V B(x, ε) U V Ove tri osobine metričkih prostora poslužile su nam za definisanje apstraktnijih prostora koji se nazivaju topološki prostori. Njih uvodimo sledećom definicijom. Definicija 2.1.2. Neka je X proizvoljan skup. Kolekciju τ podskupova skupa X nazivamo topologijom na X ako zadovoljava sledeće uslove: (T 1) Skup X i prazan skup su otvoreni, tj. X, τ ; (T 2) Unija proizvoljne kolekcije elemenata iz τ je element iz τ, tj. {U α : α A} τ {U α : α A} τ (T 3) Presek bilo koja dva elementa iz τ je element iz τ, tj. U, V τ U V τ Tada uredeni par (X, τ ) nazivamo topološki prostor, a elemente topologije τ otvorenim skupovima. Često topološki prostor (X,τ), ako ne postoji opasnost od zabune i ako se topologija τ podrazumeva, obeležavamo samo sa X. Primer 2.1.1. Iz teoreme 2.1.3 (Teorema o otvorenim skupovima u metričkom prostoru) vidimo da svi metrički prostori zadovoljavaju uslove iz prethodne definicije, pa zaključujemo da su metrički prostori primeri topoloških prostora. Primer 2.1.2. Neka je X. Posmatrajmo sledeće kolekcije skupova: (a) D = P (X) (b) I = {, X} (a) Lako se pokazuje (proveriti) da je (X, D) topološki prostor. Topologiju D zovemo diskretna topologija na X, a odgovarajući prostor - diskretan topološki prostor. Primetimo da je diskretna topologija najbogatija otvorenim skupovima.

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 15 (b) Još jednostavnije je pokazati da je (X, I) topološki prostor. Topologiju I zovemo indiskretna topologija na X, a odgovarajući prostor - indiskretan topološki prostor. Iz ovog primera zaključujemo da na svakom nepraznom skupu postoje bar dve topologije. Primer 2.1.3 (Obična topologija na skupu R). Posmatrajmo sledeću kolekciju skupova: τ o = {U R : ( x U)( (a, b) R) x (a, b) U, < a < b < + } { } Imajući u vidu da za (a, b) (c, d) važi (dokazati) (a, b) (c, d) = (max{a, c}, min{b, d}) bez teškoća se dokazuje da je τ o topologija na R koju zovemo obična ili uobičajena topologija. Na R ćemo uvek, osim ako to ne kažemo drugačije, podrazumevati ovu topologiju. Skupove oblika (a, b) = {x R : a < x < b} zovemo otvorenim intervalima. Iz definicije obične topologije zaključujemo da važi sledeća teorema: Teorema 2.1.4. Skup U R je otvoren u R akko je jednak uniji neke kolekcije otvorenih intervala. Dakle, na skupu R odmah imamo tri topologije: D, I, i τ o za koje važi: I τ o D. Topologije na istom skupu uporedujemo na sledeći način: Definicija 2.1.3. Neka su τ 1 i τ 2 dve topologije na skupu X. Ako je τ 1 τ 2 onda kažemo da je τ 1 grublja (siromašnija, slabija, sa manje otvorenih skupova) od τ 2, a za τ 2 kažemo da je finija (bogatija, jača, sa više otvorenih skupova) od τ 1.

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 16 2.2 Baza. Lokalna baza. Predbaza (subbaza) Da bismo proučavali osobine neke topologije nije potrebno posmatrati sve njene elemente, već se njene osobine mogu dobiti i na osnovu posebno izabranih podskupova te topologije. Definicija 2.2.1. Neka je (X, τ ) topološki prostor. Tada, za kolekciju B τ kažemo da je baza topologije τ ako se svaki otvoren skup iz X može predstaviti kao unija neke kolekcije elemenata iz B, tj. ( U τ ) U = {B : B B 1 B} = B B B 1 B Iz skupovne ekvivalencije (dokazati za vežbu) A = A α ( x A)( α A) x A α A (2.4) A pokazuje se da je sledeća definicija ekvivalentna prethodnoj. Definicija 2.2.2. Neka je (X, τ ) topološki prostor. Tada, za kolekciju B τ kažemo da je baza topologije τ ako ( U τ )( x U)( B B) x B U Ako u prethodnoj definiciji uzmemo fiksirano x dobijamo sledeću definiciju. Definicija 2.2.3. Neka je (X,τ) topološki prostor i x X proizvoljan fiksiran element prostora X. Tada, za kolekciju B x τ kažemo da je lokalna baza topologije τ u x ako ( U τ, U x)( B B x ) x B U Primer 2.2.1. Iz definicije 2.1.1 otvorenih skupova u metričkom prostoru zaključujemo da kolekcija svih otvorenih lopti predstavlja bazu za metričku topologiju U d, tj. B = {B(x, r) : (x, r) X (0, + )} je baza za U d. Takode, za svako fiksirano x X, dobija se i lokalna baza u x: B x = {B(x, r) : r (0, + )} Za svako r (0, + ) postoji dovoljno veliko n tako da važi 1 n < r, pa sledi: B(x, 1 ) B(x, r) n Odavde nije teško pokazati da u metričkim prostorima imamo i prebrojivu lokalnu bazu: { ( B x = B x, 1 ) } : n N n

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 17 Definicija 2.2.4 ((prva) C 1 - aksioma prebrojivosti). Za topološke prostore koji u svakoj svojoj tački imaju prebrojivu lokalnu bazu kažemo da zadovoljavaju (prvu) C 1 - aksiomu prebrojivosti. Definicija 2.2.5 ((druga) C 2 - aksioma prebrojivosti). Za topološke prostore koji imaju prebrojivu bazu kažemo da zadovoljavaju (drugu) C 2 - aksiomu prebrojivosti. Primer 2.2.2. Neka je (X, D) diskretan topološki prostor (primer 2.1.2). Neposredno se vidi da je ( A D)A = {{x} : x A} pa je kolekcija {{x} : x A} baza za diskretnu topologiju. Očigledno, ako je X neprebrojiv, onda diskretan prostor (X, D) nema prebrojivu bazu. Primer 2.2.3. Iz definicije obične topologije na R (primer 2.1.3) sledi da je kolekcija svih otvorenih intervala baza te topologije. Drugim rečima: podskup skupa R je otvoren akko se može predstaviti kao unija neke kolekcije otvorenih intervala. Neka je (a, b) proizvoljan otvoren interval i x (a, b) proizvoljan element. Koristeći poznatu činjenicu da izmedu svaka dva realna broja postoji racionalan broj, dobijamo: Izmedu a i x postoji racionalan broj p; Izmedu x i b postoji racionalan broj q; Odavde je x (p, q) (a, b), odakle zaključujemo da je kolekcija {(p, q) : (p, q) Q Q, p < q} takode baza za običnu topologiju. Pošto otvorenih intervala sa racionalnim koeficijentima ima prebrojivo mnogo ( Q Q = ℵ 0 ) zaključujemo da obična topologija ima prebrojivu bazu (tj. zadovoljava drugu aksiomu prebrojivosti). Takode, za x (a, b) postoji dovoljno malo ε > 0 tako da važi (x ε, x+ε) (a, b), pa dobijamo još jednu bazu obične topologije: B = {(x ε, x + ε) : x R, ε > 0} Za fiksirano x dobijamo lokalnu bazu obične topologije τ o u tački x: B x = {(x ε, x + ε) : ε > 0} Za proizvoljno ε > 0 i dovoljno veliko n važi (x 1 n, x + 1 n ) (x ε, x + ε), pa na taj način dobijamo i prebrojivu lokalnu bazu ove topologije u tački x: {( B x = x 1 n, x + 1 ) } : n N n Na osnovu prethodnog, zaključujemo da skup realnih brojeva R sa običnom topologijom τ o ima i prebrojivu lokalnu bazu, i prebrojivu bazu, odnosno da zadovoljava i prvu, i drugu aksiomu prebrojivosti.

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 18 Analogno kao i u metričkim prostorima, zatvorene skupove u topološkim prostorima definišemo na sledeći način. Definicija 2.2.6. Neka je (X,τ) topološki prostor. Tada je F X zatvoren ako je X \ F otvoren (X \ F τ ). Kolekciju svih zatvorenih skupova obeležavamo sa F, tj. F = {F X : X \ F τ } Teorema 2.2.1. Kolekcija svih zatvorenih skupova F u topološkom prostoru (X, τ ) zadovoljava sledeće uslove: 1 Skup X i prazan skup su zatvoreni, tj. X, F; 2 Presek proizvoljne kolekcije zatvorenih skupova je zatvoren skup, tj. {F α : α A} F {F α : α A} F 3 Unija bilo koja dva zatvorena skupa je zatvoren skup, tj. F 1, F 2 F F 1 F 2 F Uputstvo. Koristiti De Morganove formule (poglavlje 1.3, formule 1.5 i 1.6) i definiciju topologije. Zadatak 1. U običnoj topologiji τ o na R, jednoelementni podskupovi {x} su zatvoreni. Rešenje. Skup R\{x} = (, x) (x, + ) je otvoren, jer su skupovi (, x) = n N (x n, x) (x, + ) = n N(x, x + n) otvoreni (mogu prikazati kao unije neke kolekcije otvorenih intervala). Kako je skup R\{x} otvoren, izdefinicije 2.1.6 zaključujemo da je skup {x} zatvoren. Na isti način pokazuje se da je segment [a, b]={x R : a x b} zatvoren jer je njegov komplement R\[a, b] = (, a) (b, + ) otvoren skup u običnoj topologiji τ o. Da presek proizvoljne kolekcije otvorenih skupova ne mora da bude otvoren, pokazuje sledeći primer: {x} = ( x 1 n, x + 1 ) n n N

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 19 Zadatak 2. Neka je dat skup X = {a, b, c, d, e}. Ispitati da li su sledeće kolekcije podskupova od X topologije na X: (a) τ 1 = {, X, {a}, {a, b}, {a, e}, {a, b, c}} (b) τ 2 = {, X, {a}, {a, b}, {a, c}, {a, c, d}, {a, b, c}, {a, b, c, d}} Rešenje. (a) X, τ 1 pa je uslov (T 1) zadovoljen. Medutim {{a, b}, {a, e}} τ 1, ali {a, b} {a, e} = {a, b, e} / τ 1, pa zaključujemo da τ 1 nije topologija na X. (b) X, τ 2 pa je uslov (T 1) zadovoljen. Kolekcija τ 2 podskupova od X ima konačno mnogo elemenata, pa je bilo koja kolekcija podskupova iz τ 2 konačna. Odavde sledi da unija bilo koje kolekcije elemenata iz τ 2 pripada τ 2 akko unija bilo koja dva elementa iz τ 2 pripada τ 2 (dokazati indukcijom). Na osnovu toga treba proveriti da li su presek i unija bilo koja dva elementa iz τ 2 takode u τ 2. Ako taj uslov važi onda je τ 2 topologija. U slučaju da za podskupove A i B iz τ 2 važi A B (B A) tada je: A B = B τ 2 (A B = A τ 2 ) A B = A τ 2 (A B = B τ 2 ) pa je uslov zadovoljen. U ostalim slučajevima imamo: {a, b} {a, c} = {a, b, c} τ 2 {a, b} {a, c} = {a} τ 2 {a, b} {a, c, d} = {a, b, c, d} τ 2 {a, b} {a, c, d} = {a} τ 2 {a, c, d} {a, b, c} = {a, b, c, d} τ 2 {a, c, d} {a, b, c} = {a, c} τ 2 Svi navedeni podskupovi su iz τ 2 pa, na osnovu prethodnog, zaključujemo da je τ 2 topologija na X. Zadatak 3. Neka je dat skup X i τ = {, X, A, B}, A X, B X, A, B, A B. (a) Koje uslove moraju zadovoljavati podskupovi A i B da bi τ bila topologija na X? (b) Na skupu {a, b, c} naći sve topologije prethodnog tipa. Rešenje. (a) Zbog (T 3) mora biti A B τ. Treba razmotriti sledeće slučajeve: 1 A B = 2 A B = X 3 A B = A 4 A B = B

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 20 1 A B =. Tada, iz uslova A B τ ostaje samo jedna mogućnost A B =X (A B = ne može biti jer su A i B neprazni skupovi, A B ne može biti jednako ni A ni B jer bi tada npr. bilo A B =A B A A B =B ). Dakle, jedan od traženih uslova je: A B = A B = X (2.5) 2 A B = X. Ovaj slučaj je nemoguć. Naime, iz A B = X sledi X A i X B, pa je A=X =B što je u suprotnosti sa pretpostavkom A B datom u zadatku. 3 A B = A. Odavde je B A, ali i A B (pretpostavka). Tada važi A B =B τ. Dakle, još jedan traženi uslov je: A B X (2.6) 4 A B =B. Ovaj slučaj je analogan prethodnom. Njegovo rešenje je: B A X (2.7) (b) Neka student samostalno korišćenjem uslova (2.5), (2.6) i (2.7) reši ovaj deo zadatka. Zadatak 4. Neka je X i (Y,τ) topološki prostor. Ako je dato preslikavanje f :X Y dokazati da je kolekcija τ = {f 1 (U) : U τ } topologija na X. Rešenje. Dokažimo da τ zadovoljava uslove definicije 2.1.2: (T 1) Kako je Y, τ to je X = f 1 (Y ) τ i = f 1 ( ) τ pa je ovaj uslov ispunjen. (T 2) Neka je {f 1 (U α ) : α A} proizvoljna kolekcija podskupova iz τ. Tada je, po definiciji τ, {U α : α A} kolekcija otvorenih skupova u Y, pa imamo: Odavde sledi: {U α : α A} τ {U α : α A} = {f 1 (U α ) : α A} = f 1 (U α ) = f 1 ( U α τ U α ) τ tj. unija neke kolekcije elemenata iz τ je element iz τ pa je i ovaj uslov ispunjen. (T 3) Neka su V 1 i V 2 proizvoljni elementi iz τ. Tada postoje otvoreni skupovi U 1, U 2 τ tako da važi V 1 =f 1 (U 1 ) i V 2 =f 1 (U 2 ). Kako je U 1, U 2 τ tada je i U 1 U 2 τ pa imamo: tj. dokazati. V 1 V 2 = f 1 (U 1 ) f 1 (U 2 ) = f 1 (U 1 U 2 ) τ presek bilo koja dva elementa iz τ je element iz τ što je i trebalo

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 21 Definicija 2.2.7. Ako presek konačno mnogo elemenata neke kolekcije otvorenih skupova obrazuje bazu za topologiju τ, onda se ta kolekcija zove predbaza (subbaza). Primer 2.2.4. U običnoj topologiji τ o, kolekcija {(, b), (a, + ) : a, b R} jeste predbaza za običnu topologiju, jer se svaki otvoren interval (a, b) može predstaviti u obliku: (a, b) = (, b) (a, + ) Teorema 2.2.2 (Teorema o bazi). Neka je X neki skup i B kolekcija podskupova skupa X. Kolekcija B je baza neke jedinstvene topologije τ na X akko za B važi: 1 X = B = {B : B B} B B 2 ( B 1, B 2 B)( x B 1 B 2 )( B 3 B) x B 3 B 1 B 2 Dokaz. (= ): Neka je B baza za neku topologiju τ na X. τ je topologija na X, pa sledi X τ, a B je baza topologije τ, pa se X predstavlja kao unija neke potkolekcije kolekcije B: X = B B 1 B B B B B X = B B Dokažimo sada da važi uslov (2 ). Neka su B 1, B 2 B i x B 1 B 2. Kako je B 1, B 2 B τ tada je i B 1 B 2 τ i kako je B baza za τ, to iz definicije 2.2.2 sledi: ( x B 1 B 2 )( B 3 B) x B 3 B 1 B 2 što je i trebalo dokazati. ( =): Neka kolekcija B podskupova skupa X zadovoljava uslove (1 ) i (2 ). Dokažimo da postoji topologija τ kojoj je B baza. Definišimo kolekciju τ na sledeći način: B τ = {U : U je unija neke kolekcije elemenata iz B} τ = {U P (X) : ( B 1 B) U = B B 1 B} (2.8) Dokažimo da je τ topologija na X: (T 1) Iz (1 ) sledi X τ. Prazan skup shvatamo kao uniju prazne kolekcije, pa je i τ. (T 2) Neka je {U α : α A} proizvoljna kolekcija elemenata iz τ. Tada se, za svako α A, U α predstavlja kao unija neke kolekcije elemenata iz B, pa se i skup {Uα : α A} predstavlja kao unija neke kolekcije elemenata iz B, tj. {U α : α A} τ {U α : α A} τ dakle, kolekcija τ ispunjava i uslov (T 2) definicije topologije.

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 22 (T 3) Neka su V 1 i V 2 proizvoljni elementi iz τ. Tada se oni mogu prikazati kao unije neke kolekcije elemenata iz B. Treba dokazati da se i V 1 V 2 takode može prikazati kao unija neke kolekcije elemenata iz τ. Iz skupovne ekvivalencije (2.4) zaključujemo da važi V 1 V 2 = B B 1 B B ( x V 1 V 2 )( B B) x B V 1 V 2 (2.9) Dokažimo desnu stranu prethodnog iskaza. Neka je x V 1 V 2 proizvoljan. Tada postoje B 1, B 2 B takvi da je x B 1 V 1 i x B 2 V 2 (sledi iz 2.8), tj. da je x B 1 B 2 V 1 V 2. Odavde, i iz (2 ), sledi da postoji B 3 B takvo da je x B 3 B 1 B 2 V 1 V 2, odnosno x B 3 V 1 V 2. Time je desna strana u (2.9) dokazana, a odatle sledi traženi rezultat. Ostaje još dokazati jedinstvenost topologije τ. Neka je τ topologija kojoj je B takode baza. Svaki element U τ predstavlja se kao U = {B : B B 1 B}. Medutim, B je baza i za topologiju τ, pa U τ, odnosno τ τ. Na isti način pokazujemo i da je τ τ, što zajedno sa τ τ daje τ = τ. Drugim rečima, topologija τ sa bazom B je jedinstvena. Definicija 2.2.8. Okolina neke tačke jeste svaki otvoren skup koji sadrži tu tačku. Napomena 2.2.1. U nekim udžbenicima se pod okolinom tačke x podrazumeva svaki skup A za koji postoji neki otvoren skup U takav da važi x U A. U ovom slučaju, ako je A otvoren (zatvoren), za njega kažemo da je otvorena (zatvorena) okolina tačke x. Tada takode važi: Skup A je otvoren akko je okolina svake svoje tačke. Mi ćemo pod okolinom neke tačke podrazumevati prethodnu definiciju. Teorema 2.2.3 (Teorema o lokalnoj bazi). Neka je (X,τ) topološki prostor i B X lokalna baza topologije τ u tački x. Tada su zadovoljeni sledeći uslovi: 1 ( B B x ) x B 2 B 1, B 2 B x B 1 B 2 B x 3 ( B B x )( y B)( B B y ) y B B Iz prethodne teoreme zaključujemo sledeće: 1 Svaka bazna okolina tačke x sadrži tu tačku; 2 Presek dve okoline neke tačke je okolina te tačke; 3 Okoline tačaka su otvoreni skupovi; Definicija 2.2.9. Neka je (X, τ ) topološki prostor. Za topološki prostor (X, τ ) kaže se da je metrizabilan ako postoji metrika d takva da je topologija U d, koja je indukovana ovom metrikom, upravo topologija τ (tj. U d = τ ).

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 23 2.3 Podskupovi topološkog prostora i operacije sa njima Definicija 2.3.1. Neka je (X, τ ) topološki prostor i A X. Tada, za tačku x X kaže se da je: (a) tačka zatvaranja (adherentna tačka) skupa A ako svaka okolina tačke x ima neprazan presek sa skupom A, tj. ( okolinu U x) U A Skup svih tačaka zatvaranja skupa A zovemo zatvaranje (adherencija) skupa A i označavamo sa A (ili ClA, ili Cl X A), tj. A = {x X : x je tačka zatvaranja skupa A} (b) tačka nagomilavanja skupa A ako svaka okolina tačke x, bez te tačke, ima neprazan presek sa skupom A, tj. ( okolinu U x) U \ {x} A Skup svih tačaka nagomilavanja skupa A zovemo izvodni skup skupa A i označavamo sa A, tj. A = {x X : x je tačka nagomilavanja skupa A} (c) unutrašnja tačka skupa A ako postoji okolina U tačke x koja je podskup skupa A, tj. ( okolina U x) x U A Skup svih unutrašnjih tačaka skupa A zovemo unutrašnjost (interior) skupa A i označavamo sa inta (ili int X A, ili A ), tj. inta = {x X : x je unutrašnja tačka skupa A} (d) granična (rubna) tačka skupa A ako svaka okolina U tačke x ima neprazan presek sa skupom A i sa njegovim komplementom, tj. ( okolinu U x) U A U (X \ A) Skup svih graničnih (rubnih) tačaka skupa A zovemo granica (rub) skupa A i označavamo sa A (ili fra), tj. A = {x X : x je granična tačka skupa A} Primetimo odmah da iz (a) i (d) prethodne definicije sledi A = A (X \ A) Teorema 2.3.1 (Teorema o zatvaranju). Za proizvoljan podskup A topološkog prostora važi: A = {F X : A F, F zatvoren} = F (2.10) A F,F zat

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 24 Dokaz. Pošto X {F X : A F, F zatvoren} zaključujemo da je familija na desnoj strani u (2.10) neprazna. Treba dokazati: A F i A F F X,F zat A F,F zat Prelaskom na komplement u poslednjim inkluzijama dobijamo: X \ A X \ F i X \ A X \ F (2.11) Neka x X \ F = A F,F zat A F,F zat A F,F zat A F,F zat (X \ F ). Tada postoji zatvoren skup F A tako da važi x X \ F. Odavde sledi da je U = X \ F x otvoren i da važi U A (X \ F ) F = Dakle, postoji okolina U x takva da je U A =. Odavde sledi da je x / A, tj. x X \ A pa je prva inkluzija u (2.11) dokazana. Dokažimo sada drugu inkluziju u (2.11). Neka je x X \ A. Tada postoji okolina U x takva da važi U A =. Odavde sledi da je A X \ U, X \ U zatvoren i x / X \ U, pa x / F, tj. x X \ F što je i trebalo dokazati. A F,F zat A F,F zat Iz prethodne teoreme možemo zaključiti sledeće. Posledica 2.3.1. Za podskup A topološkog prostora X važi: (a) A jeste zatvoren skup. (b) A jeste najmanji (u smislu inkluzije) zatvoren skup koji sadrži A, tj. (c) A je zatvoren A = A ( F A, F zatvoren) A F (2.12) Posledica 2.3.2. Za proizvoljne podskupove A, B topološkog prostora X važi: (a) = (b) A A (c) A B = A B Dokaz. Dokaz pod (a) i (b) sledi neposredno iz definicije tačke zatvaranja. (c) Prvo dokažimo da je A B A B. Iz A A i B B sledi A B A B, a skup A B je zatvoren, pa iz (2.12) sledi A B A B. Sada dokažimo da je A B A B, ili ekvivalentno X \(A B) X \(A B). Za svako x X \ (A B) postoji okolina U x tako da je U (A B) =. Tada je = U (A B) = (U A) (U B), pa dobijamo U A = i U B =, odnosno x / A B, tj. x X \ (A B), što je i trebalo dokazati. Iz A B A B i A B A B sledi skupovna jednakost pod (c).

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 25 Teorema 2.3.2 (Teorema o unutrašnjosti). Za podskup A topološkog prostora X važi: inta = {U X : U A, U otvoren} = U Dokaz. Ostavljamo studentu za vežbu. Posledica 2.3.3. Za podskup A topološkog prostora X važi: (a) inta jeste otvoren skup. U A,Uotv (b) inta jeste najveći (u smislu inkluzije) otvoren podskup skupa A, tj. (c) A je otvoren A = inta ( U A, U otvoren) U inta (2.13) Napomena 2.3.1. Iz stavke (c) prethodne posledice sledi da je podskup A topološkog prostora X otvoren ako i samo ako je jednak svojoj unutrašnjosti. Kako inta A uvek važi, to je za dokazivanje otvorenosti skupa A dovoljno dokazati A inta ili simbolički: A = inta A inta ( x A)( okolina U x) x U A Poslednja relacija ima praktičan značaj u ispitivanju da li je neki skup otvoren ili ne. Posledica 2.3.4. Za proizvoljne podskupove A i B topološkog prostora X važi: (a) X = intx (b) inta A (c) int(a B) = inta intb (c) int(inta) = inta Teorema 2.3.3. Za podskup A topološkog prostora X važi: Dokaz. Dokažimo prvo inta X \ (X \ A): inta = X \ (X \ A) ( x X) x inta ( okolina U x) U A ( okolina U x) U (X \ A) = x / X \ A x X \ (X \ A) Sada dokažimo inta X\(X \ A). Iz posledice 2.3.2 pod (b) imamo X\A X \ A, pa je prelaskom na komplement X \ (X \ A) X \ (X \ A) = A. Skup X \ (X \ A) je otvoren (zašto?), pa iz posledice 2.3.3 pod (b) imamo X \ (X \ A) inta što je i trebalo dokazati.

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 26 Definicija 2.3.2. Tačka x X je izolovana tačka podskupa A topološkog prostora X ako postoji okolina U x takva da je U A = {x}. Napomena 2.3.2. Ako x / A (nije tačka nagomilavanja) tada postoji okolina U x takva da je U A {x}, pri čemu je U A = {x} samo u slučaju kada x A. Primer 2.3.1. Za A = [0, 1) {2} R (u običnoj topologiji) 2 / A, ali 2 A, pa je 2 izolovana tačka skupa A. Primer 2.3.2. Posmatrajmo skup celih brojeva Z = {0, ±1, ±2,... } u topološkom prostoru (R,τ o ). Intervali ( n 1 2, n + 1 2), n Z ne sadrže ni jedan ceo broj osim n, pa su svi celi brojevi izolovane tačke skupa Z u topološkom prostoru (R,τ o ). Definicija 2.3.3. Podskup nekog topološkog prostora čije su sve tačke izolovane naziva se diskretan podskup. Zadatak 5. Za podskup A topološkog prostora X važi: 1 A = A A 2 A = A A 3 A = inta A 4 A je zatvoren A A 5 A je zatvoren A A 6 (A B) = A B Rešenje. Uradićemo zadatak pod 1, 2, i 4, a ostalo ostavljamo za vežbu. 1 Prvo dokažimo A A A, ili tome ekvivalentno X \ (A A ) X \ A. Za svako x X \ (A A ) = (X \ A) (X \ A ) važi x / A i x / A. Iz x / A sledi da postoji okolina U x takva da važi U A {x} (Napomena 2.3.1). Ali x / A pa je U A =. Dokazali smo: ( okolina U x) U A = tj. x / A, odnosno x X \ A što je i trebalo dokazati. Sada dokažimo A A A. Znamo da važi A A, a lako se pokazuje da je A A (dokazati). Odavde imamo A A A A = A. Iz A A A i A A A sledi 1. 2 Prvo dokažimo A A A. Za svako x A i za svaku okolinu U x važi U A. Ako za svaku takvu okolinu U x važi i U (X \ A) onda je x A. U suprotnom, ako postoji okolina U 0 x takva da je U 0 (X \ A) = tada je i x U 0 X \ (X \ A) = A, tj. x A. Dakle, u oba slučaja sledi x A A pa važi A A A. Sada dokažimo A A A. Znamo da uvek važi A A, a iz A = A (X \ A) sledi A A pa imamo A A A A = A odakle sledi traženi rezultat.

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 27 4 (= ) Neka je A zatvoren (A = A). Tada imamo: ( a A )( okolinu U a) U \ {a} A U A pa je U A, a odavde sledi a A = A, tj. a A. Time smo dokazali A A. ( =) Neka važi A A. Treba dokazati da je A zatvoren, odnosno A = A. Pošto A A važi uvek, treba još pokazati A A, ili ekvivalentno tome X \A X \ A. Po pretpostavci je A A, odnosno X \ A X \ A. Odavde, za svako x X \ A sledi da x X \ A, a odatle da postoji okolina U 0 x takva da je U 0 A {x}. Medutim, x / A (jer x X \A), pa je U 0 A =, tj. x X \A. Zadatak 6. Neka su A, B, A α (α A) podskupovi topološkog prostora X. Proveriti tačnost sledećih relacija: 1 A B A B 2 int(a \ B) int(a \ intb) inta \ intb 3 ClA \ ClB Cl(A \ ClB) Cl(A \ B) 4 Clint A = Cl(A int A) = Cl(int A \ A) 5 A B = (A B) 6 inta α int ( ) A α 7 8 9 inta α int ( ClA α Cl ( ClA α Cl ( A α ) A α ) A α ) 10 inta = X \ Cl(X \ A) = A \ A Rešenje. Ostavljamo studentu za vežbu. Zadatak 7. Neka je dat topološki prostor (X,τ), X = {a, b, c, d}, gde je τ = {, X, {a}, {a, b}, {a, c}, {a, c, d}, {a, b, c}} Za podskupove A = {a, b, d} i B = {b, c, d} naći A, B, inta, intb, A, B, A i B. Rešenje. Iz topologije τ dobijamo kolekciju F svih zatvorenih skupova: F = {, X, {b, c, d}, {c, d}, {b, d}, {b}, {d}} Skup A je presek svih zatvorenih skupova koji su nadskup od A (Teorema 2.3.1), pa je A = X (iz kolekcije F je samo X A). Skup B je zatvoren, pa je B = B = {b, c, d}. inta je unija svih otvorenih (teorema 2.3.2) podskupova skupa A, pa je inta = {a} {a, b} = {a, b}. Na isti način dobijamo intb =.

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 28 Iz A = A A = {a, b, d} {c} sledi c A. Treba još proveriti koje od tačaka a, b, d pripadaju skupu A. Kako je skup {a} otvoren, to odmah sledi a / A. Sve okoline tačke b sadrže tačku a, pa presek tih okolina sa skupom A\{b} nije prazan. Odavde zaključujemo da b A. Iz istih razloga je i d A, pa je A = {b, c, d}. Kako je B = B = B B treba proveriti koje su od tačaka b, c i d tačke nagomilavanja. Imamo b / B (jer {{a, b} \ {b}} B = ) i c / B (jer {{a, c} \ {c}} B = ). Okoline tačke d, bez te tačke, imaju neprazan presek sa B, pa je B = {d}. Za nalaženje skupova A i B koristimo skupovnu jednakost A = A (X \ A): X \ A = {c} = X {b, c, d} {c, d} = {c, d}, X \ B = {a} = X Odavde je A=A (X \A)=X {c, d}={c, d} i B =B (X \B)=B X =B. Definicija 2.3.4. Za podskup A topološkog prostora X kažemo da je: (a) svuda gust (raće gust) u X ako je ClA = X (ili A = X); (b) gust u odnosu na skup B ako je ClA B (ili A B); (c) nigde gust u X ako je intcla = (ili inta = ); Napomena 2.3.3. Iz prethodne definicije neposredno zaključujemo: A je gust u X ( otvoren skup U )U A Primer 2.3.3. U zadatku 7 primeri pravih gustih podskupova u X su {a, b, d} i {a}. Neka student samostalno pronade još takvih podskupova. Teorema 2.3.4. Neka je A podskup metričkog prostora (X, d). Tada važi: A je gust u X ( x X) d(x, A) = 0 1 Dokaz. Pretpostavljajući da student ima potrebno predznanje iz metričkih prostora, dokaz ove teoreme ostavljamo za vežbu. Definicija 2.3.5. Za topološki prostor X kaže se da je separabilan ako postoji prebrojiv i svuda gust podskup u X. Primer 2.3.4. Svaki otvoreni interval realne prave sadrži racionalan broj, pa je skup racionalnih brojeva svuda gust (Q = R) u skupu realnih brojeva (sa običnom topologijom). Kako je skup racionalnih brojeva prebrojiv zaključujemo da je skup realnih brojeva sa običnom topologijom separabilan. Zadatak 8. Neka je τ kolekcija podskupova skupa R sastavljena od R, i svih neograničenih intervala oblika (a, + ), a R. Dokazati da je τ topologija na R. Rešenje. (T 1) Iz definicije kolekcije τ sledi R, τ. 1 Realan broj d(x, A)=inf{d(x, y) : y A} zove se rastojanje tačke x od skupa A.

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 29 (T 2) Neka je {(a, + ) : a A} proizvoljna kolekcija elemenata iz τ. Treba dokazati da i skup {(a, + ) : a A)} = (a, + ) pripada kolekciji τ. Označimo sa inf A infimum skupa A. U skupu realnih brojeva R svaki podskup ima infimum koji je konačan (tj. realan broj) ako je podskup ograničen odozdo, odnosno jednak je ako podskup nije ograničen odozdo. Dakle inf A. Iz definicije infimuma (infimum je najveće donje ograničenje) imamo: a A 1 ( a A)a inf A (infimum je donje ograničenje) 2 ( b R) b > inf A ( a A) inf A a < b (Uvećani infimum to više nije) Za svako x (a, + ) postoji a A takvo da je x (a, + ), tj. da je a A x > a. Pošto je a inf A (sledi iz 1 ) i x > a dobijamo x > inf A, odnosno x (inf A, + ). Time smo dokazali da važi (a, + ) (inf A, + ). Sada dokažimo obrnutu inkluziju. Za svako x (inf A, + ) važi x > inf A, pa iz 2 sledi da postoji a A takvo da je inf A a < x, odnosno x (a, + ). Time smo dokazali i obrnutu inkluziju, pa zaključujemo da je (a, + ) = (inf A, + ) a A Razmotrimo sledeća dva moguća slučaja: (i) Ako je inf A =, tada je (inf A, + ) = (, + ) = R τ. (ii) Ako je inf A >, tada je inf A R, pa iz definicije topologije τ sledi a A (a, + ) = (inf A, + ) τ a A U oba slučaja smo pokazali da (a, + ) τ, što je i trebalo dokazati. a A (T 3) Za bilo koja dva neograničena intervala (a, + ) τ i (b, + ) τ imamo: (a, + ) (b, + ) = (max{a, b}, + ) τ (dokazati) Zadatak 9. Neka je τ kolekcija podskupova od N sastavljena od praznog skupa i svih skupova oblika: (a) Dokazati da je τ topologija na N; N k = {k, k + 1, k + 2,... }(k N) (b) Navesti sve otvorene skupove koji sadrže broj 7; (c) Naći izvodni skup skupa A = {10, 17, 24, 27}; (d) Naći kolekciju zatvorenih skupova ove topologije i naći zatvaranje (adherenciju) skupova B = {7, 19, 21, 57} i C = {2, 4, 6,... };

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 30 Rešenje. (a) Dokažimo da kolekcija τ zadovoljava uslove definicije topologije: (T 1) Iz pretpostavki zadatka imamo τ i N = N 1 = {1, 2, 3,... } τ pa je ovaj uslov zadovoljen. (T 2) Neka je {N l : l L}, ( L N) proizvoljna kolekcija elemenata iz τ. Treba dokazati da i skup {N l : l L} = l L N l τ. Znamo da je skup N dobro ureden, tj da svaki njegov neprazan podskup ima minimalni element. Neka je l 0 = min L. Tada je ( l L) l l 0 i l 0 L. Za svako m l L N l postoji l L tako da je m N l = {l, l+1, l+2,... }, tj. da je m l. Iz m l i l l 0 dobijamo m l 0, odnosno m N l0 = {l 0, l 0 + 1, l 0 + 2,... }. Time smo dokazali l L N l N l0, a kako l 0 L, to sledi i N l0 N l. Odavde sledi N l = N l0 τ. l L l L (T 3) Neka su k, l N i k l. Tada je: N k = {k, k + 1, k + 2,..., l, l + 1, l + 2,... } {l, l + 1, l + 2,... } = N l tj. ( k, l N) k l N k N l. Odavde dobijamo da za svako N k, N l τ (k, l N) važi N k N l = N max{k,l} τ. Topologija τ zadovoljava sva tri uslova definicije topologije, pa zaključujemo da je τ topologija na N. (b) Svi otvoreni skupovi koji sadrže broj 7 su N 1, N 2,..., N 7 (Objasniti). (c) Kako za svako n N važi n N n N k ( k N, k n) zaključujemo da su sve okoline tačke n skupovi N 1, N 2,..., N n. Tada imamo: ( n < 27) 27 N n \ {n} A N n \ {n} A, n = 27 N 27 \{27} A = Odavde sledi da je skup svih tačaka nagomilavanja skupa A (tzv. skup A ) jednak A = {1, 2,..., 26}. indeksni (d) Kolekcija zatvorenih skupova F topologije τ je data sa F = {, N, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3},... } pa je B = {1, 2,..., 57} i C = N (tj. C je gust u N).

GLAVA 2. TOPOLOŠKI PROSTORI 31 Zadatak 10 (Kofinitna topologija). Neka je τ kolekcija podskupova od R data sa: τ k = {U R : R \ U je konačan} { } (a) Dokazati da je τ k topologija na R. (b) Dokazati da topološki prostor (R,τ k ) ne zadovoljava C 1 -aksiomu prebrojivosti. Rešenje. (a) Dokažimo da kolekcija τ k zadovoljava uslove definicije topologije: (T 1) Iz definicije kolekcije τ k sledi τ k. Kako je R \ R = (prazan skup je skup sa nula elemenata, pa je konačan) zaključujemo R τ k. (T 2) Neka je {U α : α A} proizvoljna kolekcija elemenata iz τ k. Treba dokazati da je i {U α : α A} = U α element iz τ k. Posmatrajmo skup: ( R \ ) U α = (R \ U α ) Po pretpostavci U α τ k ( α A), pa su skupovi R\U α (α A) konačni i važi: (R \ U α ) R \ U α ( α A) Kako konačan skup ne može biti nadskup beskonačnog, iz prethodne inkluzije zaključujemo da je (R\U α ) konačan, pa je U α τ k što je i trebalo dokazati. (T 3) Neka su U i V proizvoljni podskupovi kolekcije τ k. Tada su skupovi R \ U i R \ V konačni, pa je i njihova unija R \ U R \ V = R \ (U V ) konačna. Odavde možemo zaključiti da je U V τ k, pa je i ovaj uslov ispunjen. Kolekcija τ k ispunjava sva tri uslova definicije topologije pa je njom definisana topologija na R. Zovemo je kofinitna topologija. (b) Pretpostavimo suprotno, da topološki prostor (R,τ k ) zadovoljava C 1 - aksiomu prebrojivosti (videti definiciju 2.2.4). Neka je {B n : n N} prebrojiva lokalna baza u nuli. Iz definicije topologije τ k sledi da su skupovi R \ B n (n N) konačni, pa je skup A = {R \ B n : n N}, kao prebrojiva unija konačnih skupova, prebrojiv. Tada je prebrojiv i skup A {0}. Skup R je neprebrojiv, a skup A {0} R je prebrojiv, pa je R \ (A {0}). Neka je a R \ (A {0}) = R \ ( n N (R \ B n ) {0}) == n N (B n ) (R \ {0}) Drugim rečima, postoji realan broj a 0 takav da je ( n N) a B n. Skup R \ {a} je otvoren u τ k i zbog a 0 sadrži nulu (0 R \ {a}). Kako je kolekcija {B n : n N} lokalna baza u nuli i R \ {a} otvoren skup koji sadrži