Diskretna 3D fotonička rešetka u sustavu 2D vezanih valovoda. Mihovil Bosnar Mentor: Prof. dr. sc. Hrvoje Buljan

Σχετικά έγγραφα
1.4 Tangenta i normala

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

7 Algebarske jednadžbe

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

1 Promjena baze vektora

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

Operacije s matricama

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

#6 Istosmjerne struje

Iterativne metode - vježbe

Elementi spektralne teorije matrica

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

F (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

Teorijske osnove informatike 1

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

Fizika 2. Auditorne vježbe - 7. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Računarstvo. Elekromagnetski valovi. 15. travnja 2009.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

Sustav dvaju qubitova Teorem o nemogućnosti kloniranja. Spregnuta stanja. Kvantna računala (SI) 17. prosinca 2016.

Dijagonalizacija operatora

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

2.7 Primjene odredenih integrala

Moguća i virtuelna pomjeranja

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

( , 2. kolokvij)

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Uvod u teoriju brojeva

IZVODI ZADACI (I deo)

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava

18. listopada listopada / 13

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

5. Karakteristične funkcije

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Elektron u magnetskom polju

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

Numerička analiza 26. predavanje

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

numeričkih deskriptivnih mera.

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan

Transcript:

Diskretna 3D fotonička rešetka u sustavu 2D vezanih valovoda Mihovil Bosnar Mentor: Prof. dr. sc. Hrvoje Buljan

Problem Promatra se sustav slabo vezanih valovoda translacijski invarijantan u smjeru z te reducirane translacijske invarijantnosti u okomitoj (x-y) ravnini (fotonic ka rešetka) I Rešetke i drugi diskretni sustavi mogu imati dimenziju vec u od kontinuiranog prostora u kojem se nalaze pod odred enim uvjetima traži se kako teoretski ostvariti te uvjete u sustavu 2D valovoda i dobiti 3D rešetku u presjeku sustava I Promatrani sustav Presjek sustava

Dimenzionalnost u jednostavnim kontinuiranim sustavima Volumen u kontinutiranim sustavima: dd : V R d

Dimenzionalnost u složenim diskretnim sustavima

Matematička teorija Matematički: Rešetka graf s prostornom grupom; graf - sustav točaka (vrhova) povezan crtama (bridovima) Volumen u diskretnim sustavima broj vrhova N unutar l koraka od jednog brida Analogno kontinuiranim sustavima: dd : N l d Ekvivalentna definicija preko metode brojanja kutija: M l d M - minimalni broj kutija potrebnih za prekrivanje sustava d općenito nije jednak dimenziji kontinuiranog prostora u kojem se diskretni sustav nalazi govori o složenosti sustava

(a) 1D sustav u 1D prostoru, (b) 2D sustav u 1D prostoru, (c) 2D sustav u 2D prostoru Treba prekinuti vezu izme du bliskih valovoda i uspostaviti je izme du dalekih

Svjetlost u fotonic kim sustavima I Maxwellove jednadžbe u nemagnetskom linearnom materijalu bez slobodnih struja i naboja: ~ ( (x, y)~e) = 0 ~ = 0 ~ H ~ ~E ~ ~ H I ~ H t ~E = (x, y) t = µ0 Svod enje na dvije jednadžbe: jednu za ~E i ~ iz drugu za odred ivanje H ~ poznatog E

Rotacija Faradayevog zakona: Lijeva strana: ( E) = µ 0 t H ( E) = ( E) 2 E Desna strana prema Ampereovom zakonu: Ukupno, jednadžba za E: µ 0 t H = µ 0 ɛ(x, y) 2 E t 2 ( E) 2 E = µ 0 ɛ(x, y) 2 E t 2

Sre divanje jednadžbe za E Prema Gaussovom zakonu: (ɛ(x, y) E) = E ɛ(x, y) + ɛ(x, y) E = 0 Ako polje oscilira mnogo brže od dielektrične funkcije: ɛ(x, y) E 0 = polje je otprilike transverzalno U jednadžbi za E eliminira se prvi član: 2 E = µ 0 ɛ(x, y) 2 E t 2 Ovo je poznata valna jednadžba

Vremenska ovisnost i jednadžba za H Pretpostavi se oscilatorna vremenska ovisnost: Uz c 2 = 1 µ 0 ɛ 0 : E( r, t) = E( r)e iωt H( r, t) = H( r)e iωt 2 E = ω2 c 2 ɛ r(x, y) E (1) Uvrštavanjem ovisnosti polja H u Faradayev zakon i izražavanjem polja: H = 1 iωµ 0 E (2) Jednadžbe (1) i (2) su tražene jednadžbe.

Sre divanje jednadžbe za E Pretpostavka oblika za E: E = ψ(x, y, z)e ikzê Uvrštavanjem u (1) i sre divanjem: 2 ψ + 2ikẑ ψ k 2 ψ = ω2 c 2 ɛ r(x, y)ψ Indeks loma: n(x, y) = ɛ r (x, y) = n 0 + δn(x, y) Pretpostavimo n 0 >> δn(x, y) = ostavljaju se samo doprinosi prvog reda u δn = ɛ r (x, y) n 2 0 + 2n 0δn(x, y) ω i k se mogu povezati disperzijskom relacijom za homogeni dielektrik: ω = c k n 0 Najniži red varijacije omjera k n je najmanje drugi pa se odbacuje

Paraaksijalna aproksimacija Eliminacijom ω i ɛ r te sre divanjem: 2 ψ x + 2 ψ 2 y + 2 ψ ψ + 2ik 2 z2 z Paraaksijalna aproksimacija: i ψ z = 1 2k δn = 2k2 ψ n 0 2 ψ 2ik z << ψ 2 z ( ) 2 x + 2 ψ k δn ψ 2 y 2 n 0 Jednadžba za ψ, a time i E svodi se na 2D vremenski ovisnu Schrödingerovu jednadžbu mogućnost modeliranja QM sustava

Presjek sustava valovoda δn L = δn L0 mn ( r Rmn) 2 e 2σ 2 + (δn L0 + ) ( r Rmn b) 2 mn e 2σ 2 Jačina vezanja mjesta mn i m n u aproksimaciji slabog vezanja valovoda: J (mn) jk χ j δnχ (m n ) k dv

Ideja Treba pronac i konstante potencijala takve da je veza jaka samo izmed u elemenata baze te izmed u elemenata baze na istim mjestima u razlic itim c elijama rešetka je ekvivalentna sloju tetragonskih c elija I Veza slabi s udaljenošc u (manji preklop) i razlikom u indeksu loma (izlazak iz rezonancije) I Shema traženog presjeka rešetke Ekvivalentni sloj tetragonskih c elija

Konstante Izaberu se konstante i prati intenzitet I E 2 ψ 2 u ovisnosti o z: Valna duljina: λ = 500 10 3 µm k = 2πn 0 28.9µm 1 n0 = 2.3 (indeks loma stroncij-barij niobata Sr x Ba 1 x Nb 2 O 6 ) δn L0 = 2 10 3 a = 10µm σ = 0.1a bx = b y = 0.25a z0 = 0 z max = 20mm z = 1µm Evolucija se računa numerički u Pythonu implementacijom Split step FFT metode λ

Split-step FFT metoda Operator evolucije: i ψ(x, y, z) = Ĥψ(x, y, z) z ψ(x, y, z 0 + z) = e iĥ z ψ(x, y, z 0 ) Ĥ = 1 2k 2 kδn n 0 Prvi član operatora dijagonalan je u recipročnom prostoru, dok je drugi dijagonalan u direktnom prostoru Split step metoda: 1. Pola koraka u direktnom prostoru 2. FFT 3. Cijeli korak u recipročnom prostoru 4. IFFT 5. Pola koraka u direktnom prostoru Metoda je stabilna i unitarna; rastavljanje operatora daje pogrešku reda veličine z 3

Evolucija za = 0 Početni uvjet: ψ(x, y, z = 0) = 1 2πσ 2 e (x 4a) 2 2σ 2 (y 4a)2 2σ 2

z = 2.5mm z = 5mm z = 7.5mm z = 10mm

z = 12.5mm z = 15mm z = 17.5mm z = 20mm

Evolucija za = n L0 Početni uvjet: ψ(x, y, z = 0) = 1 2πσ 2 e (x 4a) 2 2σ 2 (y 4a)2 2σ 2

z = 2.5mm z = 5mm z = 7.5mm z = 10mm

z = 12.5mm z = 15mm z = 17.5mm z = 20mm

Evolucija za = n L0 Početni uvjet: ψ(x, y, z = 0) = 1 (x 4a bx ) 2 2πσ 2 e 2σ 2 (y 4a b y ) 2 2σ 2

z = 2.5mm z = 5mm z = 7.5mm z = 10mm

z = 12.5mm z = 15mm z = 17.5mm z = 20mm

Komentar Podizanje indeksa loma jednog od valovoda daje dobro tuneliranje izme du valovoda s nižim indeksom loma Tuneliranje izme du valovoda s višim indeksom loma ne postoji za = δn L0 Za = 0.5n L0, 0.4n L0, 0.25n L0 tuneliranje se bitno pojačava samo izme du elemenata baze Moguće riješenje promoću grating assissted tunnelinga rešetka periodična u z smjeru vraća tuneliranje analogno laserski potpomognutom tuneliranju u sustavu hladnih atoma Ako se postigne željeno tuneliranje, u sustavu 2D vezanih valovoda mogla bi se konstruirati rešekta bigrafena (bilayer graphene) i pročavati njena svostva ili pak proučavati solitone u 3D Wei Han, Roland K. Kawakami, Phys. Rev. Lett. 107, 047207 (2011)

Literatura J. D. Joannopoulos, S. G. Johnson, J. N. Winn, R. D. Meade Photonic Crystals - Molding The Flow Of Light Princeton University Press, Princeton, 2008 D. Jukić, H. Buljan Four-dimensional photonic lattices and discrete tessaract solitons, Phys. Rev. A 87, 013814 (2013) C. Song, L. K. Gallos, S. Havlin, H. A. Makse How to calculate the fractal dimension of a complex network: the box covering algorithm, J. Stat. Mech. Theo. Exp. 03, P03006 (2007) T. Dubček et al. The Harper - Hofstadter Hamiltonian and conical diffraction in photonic lattices with grating assisted tunneling New J. Phys. 17, 125002 (2015) H. Miyake et al. Realizing the Harper Hamiltonian with Laser - Assisted Tunneling in Optical Lattices, Phys. Rev. Lett. 111, 185302 (2013) T. Nikšić Seminar iz kvantne fizike - zimski semestar P. W. Milonni, J. H. Eberly Laser Physics, J. Wiley & Sons, Inc., Hoboken, 2010