@
ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvte Mirce Oltenu
Cuprins Integrle improprii şi cu prmetri 5. Noţiuni teoretice......................... 5. Integrle improprii.........................3 Integrle cu prmetri...................... 3 Integrle duble şi triple 5. Noţiuni teoretice......................... 5. Integrle duble.......................... 8.3 Integrle triple.......................... 33 3 Integrle curbilinii şi de suprfţă 39 3. Noţiuni teoretice......................... 39 3. Integrle curbilinii........................ 45 3.3 Integrle de suprfţă...................... 54 4 Formule integrle 63 4. Noţiuni teoretice......................... 63 4. Formul Green-Riemnn..................... 65 4.3 Formul Guss-Ostrogrdski................... 7 4.4 Formul lui Stokes........................ 77 3
Cpitolul Integrle improprii şi cu prmetri. Noţiuni teoretice Integrle improprii Fie, b R şi fie f : [, b) R o funcţie locl integrbilă integrbilă pe orice intervl compct [u, v] [, b)). Integrl improprie în b) se numeşte convergentă dcă limit t lim t b fx)dx există şi este finită; ltfel, integrl se numeşte divergentă. că f : [, ) R este locl integrbilă, tunci integrl improprie l ) există şi este finită. Integrl improprie fx)dx b pote fi şi ) se numeşte bsolut convergentă dcă integrl Exemple fx)dx se numeşte convergentă dcă limit b b t lim fx)dx t b fx)dx fx) dx este convergentă.. Fie, ) şi α R. Atunci integrl 5 dx este convergentă dcă şi xα
6 CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI numi dcă α >. b. Fie, b R, < b şi α R. Atunci integrl dx este conver- b x) α gentă dcă şi numi dcă α <. emonstrţie. Fie α ; tunci: b ) t t α lim dx = lim t xα t α α < dcă şi numi dcă α >. α că α =, tunci: b. Anlog. Criterii de convergenţă Criteriul lui Cuchy t lim dx = lim ln t ln ) =. t x t Fie f : [, b) R, locl integrbilă; tunci integrl b ft)dt este convergentă dcă şi numi dcă ε >, b ε [, b) stfel încât x, y b ε, b) să y rezulte ft)dt < ε. x Criteriul de comprţie Fie f, g : [, b) R, b pote fi şi ) stfel încât f g; i. dcă integrl este convergentă. ii. dcă integrl b b gx)dx este convergentă, tunci şi integrl fx)dx este divergentă, tunci şi integrl este divergentă. Criteriul de comprţie l limită Fie f, g : [, b) [, ) stfel încât există limit: i. că l [, ) şi convergentă. ii. b că l, ) su l = şi l = lim x b fx) gx). gx)dx este convergentă, tunci şi b b b b fx)dx gx)dx fx)dx este gx)dx este divergentă, tunci şi
.. NOŢIUNI TEORETICE 7 b fx)dx este divergentă. Criteriul de comprţie cu x α Fie R şi f : [, ) [, ), locl integrbilă stfel încât există i. că α > şi l <, tunci ii. că α şi < l, tunci l = lim x xα fx). fx)dx este convergentă. fx)dx este divergentă. Criteriul de comprţie cu b x) α Fie < b şi f : [, b) [, ), locl integrbilă stfel încât există i. că α < şi l <, tunci ii. că α şi < l, tunci l = lim x b b x) α fx). b b Criteriul lui Abel Fie f, g : [, ) R cu proprietăţile: f este de clsă C, lim fx) =, x g este continuă, ir funcţi Gx) = Atunci integrl x fx)gx)dx este convergentă. fx)dx este convergentă. fx)dx este convergentă. f x)dx bsolut convergentă, ft)dt este mărginită pe [, ). Integrle cu prmetri Fie A şi [, b] R un intervl compct. Fie f : [, b] A R o funcţie de două vribile rele) stfel încât pentru orice y A plicţi [, b] x fx, y) R este integrbilă Riemnn. Funcţi definită prin: F : A R, F y) = b fx, y)dx,
8 CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI se numeşte integrlă cu prmetru. Continuitte integrlei cu prmetru că f : [, b] A R este continuă, tunci integrl cu prmetru F y) = b fx, y)dx este funcţie continuă. Formul lui Leibniz de derivre Fie f : [, b] c, d) R o funcţie continuă stfel încât derivt prţilă f există şi este continuă pe [, b] c, d). Atunci integrl cu prmetru y F y) = b fx, y)dx este derivbilă şi F y) = b f x, y)dx, y c, d). y Formul generlă de derivre Fie f : [, b] c, d) R o funcţie continuă stfel încât derivt prţilă f y există şi este continuă pe [, b] c, d) şi fie ϕ, φ : c, d) [, b) două funcţii de clsă C. Atunci funcţi Gy) = G y) = φy) ϕy) φy) ϕy) fx, y)dx este derivbilă şi: f y x, y)dx + fφy), y)φ y) fϕy), y)ϕ y), y c, d). Schimbre ordinei de integrre Fie f : [, b] [c, d] R o funcţie continuă; tunci: b d c fx, y)dy ) dx = d b c fx, y)dx ) dy. Integrle improprii cu prmetri Fie f : [, b) A R o funcţie cu propriette că pentru orice y A, plicţi [, b) x fx, y) R este locl integrbilă şi integrl improprie) b fx, y)dx converge. Se pote defini în cest cz funcţi F x, y) = b fx, y)dx,
.. NOŢIUNI TEORETICE 9 numită integrlă improprie cu prmetru. Integrl b mulţime A dcă fx, y)dx se numeşte uniform convergentă în rport cu y) pe ε >, b ε, b) stfel încât b fx, y)dx t < ε, t b ε, b), y A. Continuitte integrlei improprii cu prmetru că f : [, b) A R este continuă şi dcă integrl uniform convergentă pe A, tunci funcţi F : A R, F y) = b fx, y)dx este b fx, y)dx este continuă. erivre integrlei improprii cu prmetru Fie f : [, b) c, d) R o funcţie continuă stfel încât derivt prţilă f există şi este continuă pe [, b) c, d) şi pentru orice y c, d) fixt y b b f integrl fx, y)dx este convergentă. că integrl x, y)dx este y uniform convergentă pe c, d), tunci integrl improprie cu prmetru F y) = b fx, y)dx este derivbilă şi F y) = b f x, y)dx, y c, d). y Schimbre ordinei de integrre în integrl improprie că f : [, b) [c, d] R este continuă şi dcă integrl uniform convergentă pe c, d), tunci : d ) b fx, y)dx dy = c b d c fx, y)dy ) b dx. fx, y)dx este Criterii de uniform convergenţă Criteriul lui Cuchy Fie f : [, b) A R o funcţie cu propriette că pentru orice y A, plicţi [, b) x fx, y) R este locl integrbilă. Atunci următorele firmţii sunt echivlente: i. integrl improprie b fx, y)dx este uniform convergentă pe A.
CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI ii. ε >, b ε, b) stfel încât pentru orice u, v b ε, b) rezultă v fx, y)dx < ε, y A. u Criteriul de comprţie Fie f : [, b) A R o funcţie cu propriette că pentru orice y A, plicţi [, b) x fx, y) R este locl integrbilă şi fie g : [, b) R stfel încât fx, y) gx), x [, b), y A. că integrl este convergentă, tunci integrl b Funcţiile lui Euler Fie şi B funcţiile integrlele) lui Euler: Bp, q) = α) = b gx)dx fx, y)dx este uniform convergentă. x α e x dx, α >, x p x) q dx, p >, q >. Proprietăţile uzule le funcţiilor şi B. ) =. b. α + ) = αα). c. Bp, q) = Bq, p). π d. α) α) =, α, ). sinαπ) e. Bp, q) = p)q) p + q). f. Bp, q) = y p dy. + y) p+q g. n) = n )!, n N. h. ) = π. i. n + ) = 3 5...n ) n π.. Integrle improprii Aplicnd criteriile de comprţie cu x α şi, să se studieze b x) α ntur integrlelor următore exerciţiile -):
.. INTEGRALE IMPROPRII. dx x +. lim x x x =, deci integrl este divergentă. +. x x dx. lim x) x = x x, deci integrl este convergentă. 3. sin x x dx. sin x x) lim x = sin x, deci integrl este divergentă. Următorele integrle sunt improprii în mbele cpete. 4. lim x x x x 3 dx. x x 3 este convergentă). 5. =, deci integrl este divergentă, deşi în x = integrl ln x x 3 dx. Integrl este convergentă: lim x 6. dx x x. ln x x 3 =, lim x x, ln x x 3 =. lim x 3 x x =, deci integrl este convergentă l infinit, dr este divergentă în x = : lim x ) x x x x = 3, deci integrl este divergentă.
CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI 7. x n e x dx, n N. + x Integrl este convergentă pentru orice n N: lim + x) x n e x = e, x + x lim x x xn e x =. + x 8. dx xln x) α, α >. Cu schimbre de vribilă ln x = u, obţinem integrl du, cre este di- uα vergentă pentru orice α >. 9. x m dx, m N {}. ln x Integrl este convergentă: lim x x m x ln x =, lim x ) x m x ln x =.. rctgx) x m dx, >, m N {}. că m =, integrl este divergentă; dcă m >, integrl este convergentă.. Să se rte că integrl bsolut convergentă. sin x dx este convergentă, dr nu este x
.3. INTEGRALE CU PARAMETRI 3 Convergenţ l ) rezultă plicând criteriul lui Abel: fx) = x şi sin x gx) = sin x. În integrl este convergentă deorece funcţi x se pote prelungi prin continuitte. Presupunem cum prin bsurd c integrl dx r fi bsolut convergentă. Atunci, din ineglitte: sin x x cos x = sin x sin x, r rezult plicând criteriul de comprţie) că integrl este convergentă; de ici, r rezult întrucât integrl convergentă, conform criteriului lui Abel), că şi integrl dx r fi con- x vergentă, cee ce constituie o contrdiţie. cos x x cos x x dx dx este.3 Integrle cu prmetri. Să se studieze continuitte funcţiei F y) = sin xy dx, y R. + x sin xy Fie fx, y) =, x, y) [, ) R. Evident, f este funcţie continuă. +x emonstrăm cum că integrl improprie) cu prmetru fx, y)dx este uniform convergentă în rport cu y pe R şi deci funcţi F este continuă. Evident, re loc ineglitte: fx, y), x, y) [, ) R. + x
4 CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI Integrl improprie dx este convergentă şi deci, conform criteriu- + x lui de comprţie, integrl dtă este uniform convergentă. 3. Fie f : [, ], ) R, fx, y) = x e ) x y y şi fie integrl prmetru F y) = fx, y) dx. Să se clculeze: i. lim fx, y), y ii. lim fx, y) dx. y i. Pentru orice y >, vem: F y) = În consecinţă, rezultă: lim ii. Pe de ltă prte: fx, y)dx = ) e x y y fx, y)=. = e y. lim fx, y) dx = dx =. y { ln x + y dcă x, y) [, ], ) ln x dcă x, y), ] {} 4. Fie fx, y) = fx, y)dx dcă y > şi fie F y) = dcă y = i. Să se demonstreze că funcţi F este continuă. ii. Să se clculeze F ). iii. Să se clculeze f x, ) dx. y i. Pentru orice y >, integrând prin părţi, obţinem: F y) = Pentru y =, obţinem F ) = fx, y)dx = x ln x + y x x + y dx = = ln + y + y rctg y. fx, )dx = )dx =.
.3. INTEGRALE CU PARAMETRI 5 Funcţi F este continuă în : lim F y) = lim ln + y + y rctg y + y + y =. ii. erivt F ) se clculeză cu definiţi: F F y) F ) ) = lim = lim y + y y + y ln + y + rctg ) = π y. iii. Pentru orice x, ], vem: Rezultă f ln x x, ) = lim + y ln x ln + y x = lim y y + y y + f x, )dx =. y ) y x) y x =. 5. Fie f : [, ) [, ] R, fx, y) = ye xy şi fie integrl cu prmetru F y) = fx, y)dx, y [, ]. Să se studieze continuitte funcţiei F. Evident, F ) = ; pentru orice y, ], vem: F y) = deci F nu este continuă în. 6. Fie α >. Să se clculeze ye xy dx = e xy =, sin αx x dx. Considerăm integrl cu prmetrul y > ): F y) = yx sin x e x dx. Sunt verificte ipotezele teoremei de derivre sub integrlă şi obţinem: F y) = e yx sin xdx = y +.
6 CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI Rezultă deci F y) = rctgy + π ; în concluzie: sin x x dx = lim F y) = π y. Se rtă simplu printr-o schimbre de vribilă) că: sinαx) dx = π x, α >. sin αx Anlog, dcă α <, tunci x dx = π. sin αx cos βx 7. Fie α, β R; să se clculeze dx. x Se trnsformă produsul sin αx cos βx în sumă şi poi se plică rezulttul din exerciţiul nterior. 8. Să se clculeze integrl J = prmetru F α) = α ln + αx) + x dx, α >. Prin derivre în rport cu α, obţinem: F α) = ln + α ) + α ) + α + α rctgα. ln + x) dx, folosind integrl cu + x Primitivele cestei funcţii sunt: rctg α ln+α )+k, k R. r F ) = şi deci k =. Rezultă J = F ) = π 8 ln. 9. Să se clculeze integrl: F y) = π că y =, tunci, evident, F ) =. Fie y >, y ; tunci: F y) = π lncos x + y sin x)dx, y >. y sin π x cos x + y sin x dx = y tg x + y tg x dx =
.3. INTEGRALE CU PARAMETRI 7 = y y = y u + y u ) + u ) du = + y u + u ) = π + y. Rezultă F y) = π ln + y) + k, unde k este o constntă ce se determină din condiţi F ) = ; se obţine k = π ln, şi deci F y) = π ln +y.. Pentru orice >, b >, să se clculeze J = Integrl J se pote scrie şi sub form: J = x b x ln x x b x ) b ln x cosln x)dx = cosln x) x y dy dx = = b Vom clcul mi întâi integrl: J = ) x y cosln x)dx dy. de vribilă: t = ln x ;obţinem: J = y+ +y+). Să se clculeze integrlele: Jα) = J α) = π π rctgαtgx) dx, α >, α şi I = tgx cosln x)dx. x y cosln x)dx, folosind schimbre, şi deci J = π x tgx dx. ln +b+) ++). dx + α tg. Pentru clcul ultim integrl fcem schimbre x de vribilă t = tgx ; în finl obţinem Jα) = π ln + α) şi I = π ln.. Să se clculeze integrlele: π + cos x ln cos x. F ) = b. G) = rctgx) x + x ) ) dx, <. cos x dx, R,.
8 CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI. F ) = F ) = π şi deci F ) = π rcsin. b. G ) = cos dx; cu schimbre de vribilă t = tgx, obţinem: x t + ) dt = rctg t dx + x ) + x ) = π + ) şi deci G) = π 3. Să se clculeze integrlele:. J, b) = b. F ) = ln + x ) b + x dx, >, b >, b. ln x ) x dx, <. x. erivând în rport cu, obţinem: = J = + x )b + x ) dx = b + x b + x )dx = π b + b). = π, ln + ). Rezultă deci J = π b ln + b) + Kb). Pentru clcul Kb), clculăm Jb, b) = lnb + x ) b + x dx = π π lnb + b tg t) b + b tg b + tg t)dt = t b cos t dt = π b ln b π ln cos tdt. b = ln b Ultim integrlă se pote clcul cu schimbre de vribilă t = π y şi se obţine π ln cos tdt = π ln. Rezultă Jb, b) = π b lnb) şi deci Kb) =. b. erivând în rport cu, obţinem: F ) = x ) x dx =
.3. INTEGRALE CU PARAMETRI 9 = π sin dt = t du u + = π, ) deci F ) = π + k ; dr F ) =, deci F ) = π ). 4. Să se clculeze integrl: erivt funcţiei J este: Rezultă: J ) = J) = dx + x ) x = = rctg x) x dx, R. x π du + + ) u = π +. J) = π ln + + ) + C, cos t + sin t) cos t dt = constnt C clculându-se din J) =. În finl se obţine: J) = ln + ) +. 5.Formul lui Froullni Fie < < b şi fie f : [, ) R o funcţie continuă şi mărginită stfel încât integrl ft) dt este convergentă. Să se demonstreze eglitte: t Vom demonstr mi întâi eglitte: u fbx) fx) dx = f) ln x b. fbx) fx) dx = x u bu ft) dt, u >. ) t Fie u > ; cu schimbre de vribilă bx = t, obţinem: u fbx) x dx = bu ft) dt. t
CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI Anlog, se demonstreză şi eglitte: u fx) x dx = u ft) dt. t Prin scădere membru cu membru celor două eglităţi rezultă eglitte ). emonstrăm cum formul lui Froullni; folosind eglitte ), vem: fbx) fx) dx = lim x u u fbx) fx) u dx = lim x u bu Pentru clcul ultim integrlă considerăm funcţi hu) = sup ft) f). t [u,bu] in continuitte funcţiei f, rezultă lim u hu) =. Evident, vem: u bu ft) u dt = t bu Prim integrlă tinde l pentru u : În concluzie: u bu u bu ft) f) t ft) f) u dt + t bu u dt hu) dt = hu) ln t b fbx) fx) u dx = lim x u bu bu f) dt. t ft) f) dt t tunci când u. ft) u dt = lim t u bu ft) dt. t f) dt = f) ln t b. 6. Fie < < b; să se clculeze integrlele: e x e bx. dx. x cos x cos bx b. dx. x Se plică formul lui Froullni.
.3. INTEGRALE CU PARAMETRI. b. c. 7. Să se clculeze, folosind funcţiile şi B, integrlele: e xp dx, p >. x 4 x + ) dx. dx x 3 + dx.. Cu schimbre de vribilă x p = y,obţinem: e xp dx = p y p p e y dy = ) p p În czul prticulr p =, obţinem: 3 π e x dx = = ). b. Folosind proprietăţile funcţiilor lui Euler, obţinem: x 4 5 x + ) dx = B 4, 3 ) 4 ) ) 3 4 = 5 4 ) c. Cu schimbre de vribilă x 3 = y,obţinem: dx x 3 + = 3 = 4 4 y 3 + y dy = 3 B 3, ) 3 ) = p +. ) 3 = 4) π 4. = 3π. 9. b. c. 8. Să se clculeze integrlele: π sin p x cos q x dx, p >, q >. x p+ x m ) q dx, p >, q >, m >. x p e xq dx, p >, q >.
CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI d. ln p x ) dx, p >. dx e., n N. x n ) n. Cu schimbre de vribilă sin x = y, obţinem: π sin p x cos q xdx = y p q p + y) dy = B, q + ). b. Cu schimbre de vribilă x m = y, obţinem: x p+ x m ) q dx = ) p + m B m, q. c. Cu schimbre de vribilă x q = y, obţinem: x p e xq dx = q y p+ q e y dy = p + q q d. Cu schimbre de vribilă ln x ) = y, obţinem: ) ln p dx = y p e y dy = p + ). x e. Cu schimbre de vribiă x n = y, obţinem: dx = y x n ) n y) n dy = n n n B n, ) n ). = π n sin π. n 9. Să se clculeze integrl e x cos xdx. Folosind dezvoltre în serie de puteri în jurul lui ) funcţiei cos şi teorem de integrre termen cu termen seriilor de puteri, obţinem: = n ) n n)! e x cos xdx = n ) n n)! e x x n dx = yn e y dy = ) n n n)! + ) = n
.3. INTEGRALE CU PARAMETRI 3 = n ) n n)! 3 5...n ) π π = n+ n π = n! 4) e 4. n 3. Să se clculeze în funcţie de B integrlele: I = dx x 3 şi J = dx x 3. Pentru I se fce schimbre de vribilă x = t 3 ; rezultă: I = 3 t 3 t) dt = 3 B 3, ). Pentru clculul lui J se fce schimbre de vribilă x. = t 3 ; rezultă: J = 3 t 5 6 t) dt = 3 B 6, ). 3. Să se clculeze integrlele lui Fresnel: I = cos x dx şi J = sin x dx. Convergenţ celor două integrle rezultă din criteriul lui Abel şi cu schimbre de vribilă x = y. Clculăm cum: J ii = e ix dx. Cu schimbre de vribilă x = it şi folosind relţi ) =, obţinem I = J = π.
4 CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI
Cpitolul Integrle duble şi triple. Noţiuni teoretice Măsur Lebesgue Fie R k spţiul euclidin k-dimensionl şi fie i b i, i =,..., k. Un prlelipiped în R k este orice mulţime de form: P = {x, x,..., x k ) i x i b i, i =,,..., k}. Ineglităţile nestricte pot fi înlocuite şi de ineglităţi stricte. Prin definiţie, mulţime vidă şi R k sunt prlelipipede. Măsur Lebesgue) unui prlelipiped este definită prin: µ P ) = Π n i=b i i ). În czurile prticulre k =,, 3 se obţin noţiunile uzule de lungime, rie, volum. O submulţime E R k se numeşte elementră dcă există P, P,..., P n n prlelipipede stfel încât E = P i. i= Notăm cu E fmili mulţimilor elementre din R k. Orice mulţime elementră se pote scrie c reuniune de prlelipipede disjuncte două câte două. că E = P i este o stfel de descompunere, n i= n tunci măsur Lebesgue lui E este: µe) = µp i ). Se pote răt că i= µe) nu depinde de descompunere considertă. 5
6 CAPITOLUL. INTEGRALE UBLE ŞI TRIPLE Proprietăţile plicţiei µ pe fmili mulţimilor elementre sunt: i. dcă A, B E tunci A B, A B, A \ B sunt mulţimi elementre. ii. dcă A, B E stfel încât A B = tunci µa B) = µa) + µb). iii. pentru orice A E şi ε > există F, G E, F închisă şi G deschisă stfel încât: F A G µg) ε < µa) < µf ) + ε. Aplicţi µ se prelungeşte l tote părţile lui R k ; fie A R k şi fie µ A) = inf{ µa n ) A A n, A n E, A n deschisă n N}. n N n N Aplicţi µ se numeşte măsură exterioră; principlele proprietăţi sunt: i. µ A), A R k. ii. dcă A A tunci µ A ) µ A ). iii. dcă E E ) tunci µ E) = µe). iv. µ A n µ A n ), A n R k. n N n N Se demonstreză că există o σ-lgebră de părţi le lui R k, nottă M stfel încât restricţi µ : M [, ] este măsură. Măsur stfel obţinută nottă µ) se numeşte măsur Lebesgue în R k ), ir elementele lui M se numesc mulţimi măsurbile Lebesgue. ) Principlele proprietăţi le spţiului cu măsură R k, M, µ sunt: i. M conţine mulţimile Boreliene. ii. dcă A M tunci µa) = inf{µ) deschisă şi A}. iii. dcă A M tunci µa) = sup{µk) K compctă şi K A}. iv orice mulţime compctă re măsură Lebesgue finită. v. dcă A M, µa) = şi B A tunci B M şi µb) =. vi. dcă A M tunci pentru orice x R k mulţime trnslttă) A + x = { + x A} este măsurbilă Lebesgue şi µa + x) = µa). Integrl Lebesgue că f este o funcţie integrbilă în rport cu măsur Lebesgue în R k ), tunci integrl corespunzătore pe o mulţime A) se noteză fx, x,..., x k )dx dx...dx k. A În czurile prticulre uzule) k =,, 3 se folosesc notţiile: fx)dx, fx, y)dxdy, fx, y, z)dxdydz. A A A
.. NOŢIUNI TEORETICE 7 Legătur cu integrbilitte în sens Riemnn i. că f : [, b] R este o funcţie integrbilă Riemnn pe intervlul compct [, b]), tunci f este şi integrbilă în rport cu măsur Lebesgue şi cele două integrle sunt egle. ii. că f : [, b] R este o funcţie mărginită tunci e este integrbilă Riemnn dcă şi numi dcă mulţime punctelor sle de discontinuitte re măsur Lebesgue nulă se spune că f este continuă.p.t.). iii. Există funcţii cre sunt integrbile Lebesgue dr nu sunt integrbile Riemnn; de exemplu, funcţi lui irichlet pe intervlul [, ]) nu este integrbilă Riemnn dr este integrbilă Lebesgue integrl s este, pentru că funcţi este nulă.p.t.). iv. că b fx)dx este o integrlă Riemnn improprie bsolut convergentă tunci f este integrbilă Lebesgue şi integrlele sunt egle. Există însă integrle Riemnn improprii convergente b fx)dx dr nu bsolut convergente) pentru cre funcţi f nu este integrbilă Lebesgue; de exemplu fx) = sin x x pe intervlul, ). Teorem lui Fubini În continure notăm x, y) R k+p, măsur Lebesgue în R k cu dx, măsur Lebesgue în R p cu dy şi măsur Lebesgue în R k+p cu dxdy. Fie f : R k+p R o funcţie integrbilă Lebesgue; tunci: R k ) fx, y)dy = fx, y)dxdy = R p R k+p R p ) fx, y)dx dy. R k Următorele czuri prticulre le rezulttului de mi sus sunt frecvent utilizte în plicţii. i. Fie ϕ, φ : [, b] R două funcţii continue stfel încât ϕ φ şi fie mulţime K = {x, y) R x [, b], ϕx) y φx)}. că f : K R este o funcţie continuă, tunci f este integrbilă Lebesgue pe K şi: b ) φx) fx, y)dxdy = fx, y)dy dx. În prticulr, ri mulţimii K este: K µk) = K dxdy = b ϕx) φx) ϕx)) dx.
8 CAPITOLUL. INTEGRALE UBLE ŞI TRIPLE ii. Fie R o mulţime compctă, fie ϕ, φ : R două funcţii continue stfel încât ϕ φ şi fie Ω = {x, y, z) R 3 x, y), ϕx, y) z φx, y)}. că f : Ω R este o funcţie continuă, tunci f este integrbilă Lebesgue pe Ω şi: ) φx,y) fx, y, z)dxdydz = fx, y, z)dz dxdy. Ω În prticulr, volumul lui Ω este: µω) = dxdydz = Ω ϕx,y) φx, y) ϕx, y)) dxdy. Formul schimbării de vribile Fie A R n o mulţime deschisă şi fie Λ : A ΛA) R n un difeomorfism. Pentru orice funcţie continuă f : ΛA) R, vem: fx)dx = f Λ)y) J Λ y) dy, ΛA) unde J Λ este icobinul difeomorfismului Λ. A. Integrle duble. Săse clculeze următorele integrle duble:. xy dxdy, unde = [, ] [, 3]. b. xydxdy, unde = {x, y) R ; y [, ], y x y}. c. ydxdy, unde = {x, y) R ; x ) + y }.. b. c. xy dxdy = xydxdy = ydxdy = y 3 3 dx xy dy = xydx = y x ) dx ydy =. x ) 9 3 x dx = 9 6. y 3 y 5) dy = 4.
.. INTEGRALE UBLE 9. b. c.. Să se clculeze integrlele duble: x+3y)dxdy, fiind mulţime plnă mărginită de curbele de ecuţii y = x +, y = x, x =, x = 3. e x+y dxdy, fiind mulţime plnă măginită de curbele de ecuţii x + y = 3, x + y = 3, y =, y = 3. xdxdy, fiind mulţime plnă mărginită de curb de ecuţie Soluţii. x + 3y)dxdy = 3 x + y = 9, x. x + dx x + 3y)dy. x b. Fie = {x, y) ; x + y } şi = \. Atunci = şi: c. e x+y dxdy = e x y dxdy + e x+y dxdy = = xdxdy = 3 3 3 y 3 3 y dy e x y dx + dy e x+y dx. 3 y y 9 y dy xdx. 3. Folosind coordontele polre, să se clculeze integrlele:. e x +y dxdy, = {x, y) R ; x + y }. ) b. + x + y dxdy, = {x, y) R ; x + y y, x }. c. ln + x + y )dxdy, fiind mărginit de curbele de ecuţii x + y = e, y = x 3, x = y 3, x. Coordontele polre sunt x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, icobinul este ρ, ir domeniul mxim pentru coordontele ρ şi ϕ este ρ, ϕ) [, ) [.π).
3 CAPITOLUL. INTEGRALE UBLE ŞI TRIPLE. In coordonte polre domeniul de integrre este dreptunghiul ρ, ϕ) [, π) [, ], şi deci: e x +y dxdy = π dϕ ρe ρ dρ = π e ρ dϕ = πe ). b. Înlocuind pe x şi y în condiţiile ce definesc domeniul, obţinem ρ sin ϕ, cos ϕ şi deci ϕ [, π ), ρ [, sin ϕ]. Rezultă: ) π + x + y sin ϕ dxdy = dϕ ρ + ρ)dρ = π 8 + 9. c. omeniul de integrre în coordonte polre este dreptunghiul ρ, ϕ) [, e] [ π 6, π 3 ], deci: ln + x + y )dxdy = = π + e ) e π 3 dρ ρ ln + ρ )dϕ = π 6 ) ln + e ) + π. 4. Să se clculeze cu o erore mi mică decât integrlele: dxdy. A + xy, A = [, ] [, ]. lnx + y ) b., dxdy, unde: B x + y )x + y ) Soluţii. = A B = {x, y) ; x + y e ) }. dxdy + xy = dx dy + xy = ln + xy) x dx = ln + x) ) n dx = x n + xn dx = ) n n + ) n n n+ = 65 44.
.. INTEGRALE UBLE 3 b. Folosim coordontele polre: B lnx + y ) x + y )x + y ) = 4π e e = 4π ln + u) e du = 4π u = 4π n n ) n e ) n+ n + ). ln ρ ρ dρ = ) n n + ρn dρ = În continure se proximeză sum seriei lternte obţinute. 5. Fie R şi fie f : [, ) o funcţie continuă. Să se clculeze volumul mulţimii Ω = {x, y, z) R 3 ; x, y), z fx, y)}, în următorele czuri:. = {x, y) R ; x + y y}, fx, y) = x + y. b. = {x, y) R ; x + y x, y > }, fx, y) = xy. c. = {x, y) R ; x + y x + y }, fx, y) = y. Volumul mulţimii Ω este dt de formul volω) = fx, y)dxdy. Trecând l coordonte polre, se obţine: volω) = x + y )dxdy = b. Cu ceeşi metodă, se obţine: volω) = xydxdy = c. Cu schimbre de vribile: π π sin ϕ dϕ ρ 3 dρ = 3 π. cos ϕ dϕ ρ 3 cos ϕ sin ϕ dρ = 4. x = + ρ cos ϕ, y = + ρ sin ϕ, ρ, ϕ) [, ] [.π), rezultă: volω) = ydxdy = π dϕ ρ + ρ sin ϕ)dρ = π.
3 CAPITOLUL. INTEGRALE UBLE ŞI TRIPLE 6. Să se clculeze riile mulţimilor plne mărginite de curbele de ecuţii:. x + y =, şi b fiind două constnte pozitive. b b. x + y ) = x y ), x >, fiind o constntă pozitivă. c. x + y ) = xy, fiind o constntă pozitivă. Soluţii. Ecuţi elipsei în coordonte polre generlizte, x = ρ cos ϕ, y = bρ sin ϕ, este ρ = şi deci obţinem: π ri) = dxdy = dϕ bρdρ = πb. b. Ecuţi curbei în coordonte polre este ρ = cos ϕ sin ϕ), su ρ = cos ϕ, şi deci domeniul de integrre în coordonte polre este ϕ π 4, π ), ρ, cos ϕ). 4 Rezultă: ri) = dxdy = π 4 π 4 cos ϕ dϕ ρdρ =. c. Ecuţi lemnisctei în coordonte polre este ρ = cos ϕ sin ϕ. omeniul de integrre este ϕ, π ) π, 3π ), ρ, sin ϕ); obţinem: π sin ϕ ri) = dxdy = dϕ ρdρ =. 7. Fie α R şi fie discul unitte închis. Să se clculeze integrlele: dxdy. I = x + y ) α dxdy b. J = R \ x + y ) α. I = J = π π dϕ dϕ { dρ π ρ α = α dcă α < dcă α dρ ρ α = { π α dcă α > dcă α
.3. INTEGRALE TRIPLE 33.3 Integrle triple 8. Fie mulţime: Ω = {x, y, z) R 3 ; x + y 4, x + y, x, y, z 5} yz Să se clculeze integrl dxdydz prin două metode: Ω x + y. proiectând Ω pe plnul xoy şi b. folosind coordontele cilindrice.. Proiecţi mulţimii Ω pe plnul xoy este Obţinem: = {x, y) R ; x [, ], x y x } Ω yz x + y dxdydz = = 5 5 yz dxdy x + y dz = y x + y dxdy, integrlă cre se clculeză folosind coordonte polre. b. Coordontele cilindrice sunt x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z, domeniul mxim fiind ρ, ϕ, z) [, ) [, π) R, ir icobinul J = ρ. Pentru Ω, domeniul de integrre în coordonte cilindrice este z [, 5], ϕ [, π ], ρ [, ] şi deci: Ω 3 cos ϕ+ yz 5 x + y dxdydz = = 5 π 3 cos ϕ) 3 cos ϕ + 9. Să se clculeze integrlele:. y x) dxdydz, π dz dϕ = {x, y, z) R 3 ; x + y + z, y > } ) 3 b. x y 9 z dxdydz, 4 Ω 3 cos ϕ+ sin ϕ dϕ = 5 8 4 3π 9). Ω = {x, y, z) R 3 ; y, z, x + y 9 + z 4 }. zρ sin ϕ ρ dρ = ρ
34 CAPITOLUL. INTEGRALE UBLE ŞI TRIPLE c. Π z dxdydz, Π = {x, y, z) R 3 ; x + y + z ) }. Coordontele sferice sunt domeniul mxim fiind: x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos θ, ρ, θ, ϕ) [, ) [, π] [, π), ir icobinul J = ρ sin θ.. Pentru, domeniul în coordonte sferice este şi vem: ρ [, ], θ [, π], ϕ [, π] y x)dxdydz = π π = dρ dθ ρ 3 sin θsin ϕ cos ϕ)dϕ = π 4. b. Coordontele sferice generlizte sunt: x = ρ sin θ cos ϕ, y = bρ sin θ sin ϕ, z = cρ cos θ, vând celşi domeniu mxim c mi sus şi icobinul J = bcρ sin θ. Pentru domeniul Ω vom lu =, b = 3, c =, şi onţinem: = = π = 3π π π dρ dθ = 6π π Ω u 3 + u ) 3 ) 3 x y 9 z dxdydz = 4 6ρ ρ ) 3 sin θdϕ = 6π sin t cos 4 t dt = 6π du + u ) + u ρ ρ ) 3 dρ = + u ) 4 du = ) du 3 + u ) 3 = π ) = 3 4 π u + u ) 3 du du + u ) 3 = du + u ) = 3 6 π.
.3. INTEGRALE TRIPLE 35 c. Pentru Π, domeniul în coordonte sferice este ϕ [, π), θ [, π ], ρ [, cos θ) şi deci: Π zdxdydz = π π cos θ dϕ dθ ρ 3 sin θ cos θ dρ = π 8π cos 5 θ sin θ dθ = 4 3 π.. Fie < k < R; să se clculeze volumul mulţimii: Ω = {x, y, z) R 3 x + y + z R, z k}. Mulţime Ω este interiorul clotei sferice situte desupr plnului z = k. Pentru clcul volumul, trecem l coordonte sferice. Fie θ [, π ] stfel încât R cos θ = k, deci cos θ = k R ; rezultă domeniul pentru coordontele sferice): k ϕ [, π), θ [, θ ], ρ [ cos θ, R]. Se obţine: π 3 θ Ω R 3 dxdydz = ) k3 cos 3 θ = π 3 π dϕ dθ = π 3 θ dθ R k cos θ R 3 cos θ R 3 3 r k + k3 ρ sin θ dρ = ) k3 cos θ. Să se clculeze volumele mulţimilor Ω mărginite de suprfeţele de ecuţii:. x + y + z =, x + y z =, z. b. z = x + y, z = x y. c. z = 4 x y, z = 5 + x + y. d. x + y =, z = x + y, z. e. x + y = 4, x + y y =, x + y + z = 3, x, z,, ). f. x + y + z =, y + z = x, x. ). θ =
36 CAPITOLUL. INTEGRALE UBLE ŞI TRIPLE. Curb de intersecţie dintre elipsoid şi con este elips de ecuţii 4x + y =, z =. Proiecţi pe plnul xoy lui Ω este Rezultă: = volω) = = π dρ = {x, y) ; 4x + y }. Ω dxdydz = x y dxdy x +y dz = ) x y x + y dxdy = ρ ) ρ ρ dϕ = π 3 ). b. Curb de intersecţie celor doi prboloizi este cercul de ecuţii Proiecţi pe plnul xoy lui Ω este şi deci obţinem: volω) = x + y = 3, z =. = {x, y) ; x + y 3 }, = Ω dxdydz = 3 π dρ 3 ρ )ρ dϕ. x y dxdy dz = x +y c. Curb de intersecţie dintre cei doi prboloizi este cercul x + y = situt în plnul z = 3. Notând cu = {x, y) R x + y }, rezultă: volω) = Ω dxdydz = 4 x y dxdy dz = +x +y )
.3. INTEGRALE TRIPLE 37 = 3 x y ) dxdy = 3 π dρ ρ )ρ dϕ = 3 4 π. d. Curb de intersecţie dintre cilindru şi con este cercul x + y = situt în plnul z =. Notând cu = {x, y) R x + y }, rezultă: volω) = dxdydz = dxdy dz = x +y = Ω ) x + y dxdy = e. Proiecţi lui Ω pe plnul xoy este dρ π ρ) ρ dϕ = π 3. = {x, y) ; x + y 4, x + y ), x > }, şi deci obţinem: volω) = = π Ω dxdydz = 3 x y dxdy dz = dϕ ρ3 ρ cos ϕ ρ sin ϕ) dρ. sin ϕ f. Curb de intersecţie dintre sferă şi con este cercul y + z =, situt în plnul x =. Proiecţi mulţimii Ω pe plnul yoz este discul = {y, z) R y + z }; rezultă: = vol = Ω dxdydz = y + z ) dydz = 4 π dydz dx = y +z π dρ ρ dϕ = π.. Să se clculeze volumele mulţimilor Ω mărginite de suprfeţele de ecuţii:. x + y + z ) 3 = x. b. x + y ) 3 = z, z =, z = 8. c. x + y b = z, z c, >, b >, c >. c. Folosim coordontele sferice. Obţinem domeniul: θ [, π], ϕ [ π, π ], ρ [, 5 sin θ cos ϕ] şi deci: volω) = Ω dxdydz = π π 5 sin θ cos ϕ dθ dϕ ρ sin θ dρ = π
38 CAPITOLUL. INTEGRALE UBLE ŞI TRIPLE = π π dθ sin θ sin 3 3 π ) π 5 θ cos 5 ϕ dϕ = sin 8 5 θ dθ 3 π 3 π Clculăm prim integrlă; mi întâi, observăm că: π sin 8 5 θ dθ = π sin 8 5 θ dθ + π π sin 8 5 θ dθ = π sin 8 5 θ dθ, cos 3 5 ϕ dϕ ) cu schimre de vribilă t = θ π în dou integrlă. Vom clcul cum integrl π sin 8 5 θ dθ folosind funcţi B lui Euler se vede şi exerciţiul 8) din cpitolul 5). Cu schimbre de vribilă sin θ = y, rezultă: = π Clculăm cum integrl rezultă: π π sin 8 5 θ dθ = y 3 y) dy = π π cos 3 5 ϕ dϕ = π = În concluzie, volumul cerut este: y 4 5 y y dy = 3 B, ). cos 3 5 ϕ dϕ cu ceeşi metodă: fie sin ϕ = y; cos 3 5 ϕ dϕ = y) 5 y dy = B 4 5, volω) = B y) 3 y y dy = ). 3, ) 4 + B 5,. ) b. Folosim coordontele cilindrice; obţinem: 8 volω) = dxdydz = dz Ω π c. Folosim coordonte cilindrice generlizte: şi obţinem: volω) = x = ρ cos ϕ, y = bρ sin ϕ, z = z Ω dxdydz = c π dz dϕ 3 z dϕ ρ dρ = 3π. z c bρ dρ = π 3 bc..
Cpitolul 3 Integrle curbilinii şi de suprfţă 3. Noţiuni teoretice rumuri prmetrizte Fie J un intervl rel; se numeşte drum prmetrizt pe J cu vlori în R n orice plicţie continuă γ : J R n. că notăm γt) = γ t), γ t),..., γ n t)), tunci relţiile x = γ t), x = γ t),..., x n = γ n t) se numesc ecuţiile prmetrice le drumului γ. că J = [, b], tunci γ) şi γb) se numesc cpetele extremităţile) drumului. rumul se numeşte închis dcă γ) = γb). Opusul drumului γ : [, b] R n este, prin definiţie, γ : [, b] R n, γ t) = γ + b t). Evident, γ şi γ u ceeşi imgine. că γ : [, b] R n şi γ : [b, c] R n sunt două drumuri prmetrizte, tunci drumul conctent γ γ : [, c] R n este definit prin γ γ t) = { γ t), t [, b] γ t), t [b, c] Imgine lui γ γ este reuniune imginilor drumurilor γ şi γ. 39
4 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ Un drum γ : J R n se numeşte neted dcă plicţi γ este de clsă C şi γ t), t J. Un drum se numeşte neted pe porţiuni dcă este conctenre unui număr finit de drumuri netede. ouă drumuri γ : I R n şi γ : J R n se numesc echivlente cu ceeşi orientre notăm γ γ ) dcă există un difeomorfism strict crescător φ : I J stfel încât γ = γ φ. că difeomorfismul de mi sus este strict descrescător, tunci cele două drumuri se numesc echivlente cu orientări opuse. În czurile prticulre n = pln) şi n = 3 spţiu) notţiile uzule sunt γt) = xt), yt)) şi respectiv γt) = xt), yt), zt)). Lungime unui drum neted γ : [, b] R 3 este: Lγ) = b x t)) + y t)) + z t)) dt. Integrl curbilinie de prim speţă Fie γ : [, b] R 3 un drum neted şi fie f : R o funcţie continuă stfel încât γ[, b]). Integrl curbilinie de prim speţă funcţiei f pe drumul γ este, prin definiţie: γ fx, y, z)ds = b fxt), yt), zt)) x t)) + y t)) + z t)) dt. că γ şi γ sunt două drumuri prmetrizte echivlente indiferent de orientre) tunci fds = γ fds. γ Aplicţii i. că f este funcţi constntă, tunci se obţine lungime drumului γ. ii. că imgine lui γ este un fir mteril vând densitte f, tunci ms M şi coordontele centrului de greutte G sunt dte de formulele: x G = M M = γ xfds, y G = M γ fds, γ yfds, z G = M γ zfds.
3.. NOŢIUNI TEORETICE 4 Integrl curbilinie de speţ dou Fie α = P dx+qdy +Rdz o -formă diferenţilă cu funcţiile P, Q, R continue pe un deschis R 3 şi fie γ : [, b] R 3, γt) = xt), yt), zt)) un drum prmetrizt neted cu imgine inclusă în. Integrl curbilinie formei diferenţile α de- lungul drumului γ este, prin definiţie: b α = P γt))x t) + Qγt))y t) + Rγt))z t) ) dt. γ efiniţi se generlizeză evident l n vribile. e exemplu, în două vribile: b P dx + Qdy = P γt))x t) + Qγt))y t) ) dt. γ că γ şi γ sunt două drumuri prmetrizte echivlente cu ceeşi orientre, tunci integrlele corespunzătore sunt egle: α = α. γ γ γ că cele două drumuri prmetrizte sunt echivlente dr cu orientări opuse, tunci integrlele corespunzătore diferă prin semn. Notţii vectorile Unei -forme diferenţile α = P dx + Qdy + Rdz i se sociză în mod cnonic) câmpul de vectori V : R 3, V = P, Q, R). că γ este un drum prmetrizt neted cu imgine inclusă în ) tunci integrl α se γ mi noteză şi V dr, numindu-se circulţi câmpului V de- lungul dru- mului γ. În prticulr, dcă V = F este un câmp de forţe, tunci circulţi F dr este lucrul mecnic efectut de forţ F pe drumul γ. γ Forme diferenţile excte O -formă diferenţilă α = P dx+qdy+rdz se numeşte exctă pe mulţime dcă există f o funcţie numită potenţil sclr su primitivă) de clsă C ) stfel încât f = α, su, echivlent: f f = P, x y = Q, f z = R, în orice punct din. Câmpul de vectori V = P, Q, R) socit formei diferenţile α se numeşte în cest cz câmp de grdienţi.
4 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ O -formă diferenţilă α = P dx + Qdy + Rdz se numeşte închisă pe dcă sunt verificte în orice punct din ) eglităţile: P y = Q x, Q z = R y, R x = P z. efiniţiile de mi sus se generlizeză în mod evident l n vribile. Importnţ formelor diferenţile excte este dtă de următorul rezultt: Independenţ de drum integrlei curbilinii Fie α = f o -formă diferenţilă exctă pe şi fie γ un drum prmetrizt neted cu imgine inclusă în vând extremităţile p, q ; tunci: i. f = fq) fp). γ ii. dcă în plus drumul γ este închis, tunci f =. in teorem de simetrie lui Schwrz rezultă că orice formă diferenţilă exctă cu potenţilul sclr de clsă C ) este în mod necesr şi închisă; reciproc cestei firmţii este, în generl, flsă. e exemplu, form diferenţilă α = y x + y dx + x x + y dy este închisă pe R \ {, )} dr nu este exctă pe cestă mulţime. Are loc totuşi următorul rezultt fundmentl: Teorem lui Poincre Fie α o -formă diferenţilă de clsă C inchisă pe deschisul R n. Atunci pentru orice x există o vecinătte deschisă s U şi o funcţie f C stfel încât f = α pe U. Într-o formulre succintă teorem firmă că orice -formă diferenţilă închisă este locl exctă. Există mulţimi pe cre teorem de mi sus este devărtă globl. e exemplu, dcă mulţime este steltă dică există un punct x cu propriette că segmentul [x, x], x ) tunci orice -formă diferenţilă închisă pe este exctă pe. Pânze prmetrizte Fie R o mulţime deschisă şi conexă; o pânză prmetriztă pe este orice plicţie de clsă C, Φ : R 3. Pânz prmetriztă Φ se numeşte simplă dcă plicţi Φ este injectivă. ouă pânze prmetrizte Φ : R 3 şi Φ : R 3 se numesc echivlente dcă există un difeomorfism θ : stfel încât Φ = Φ θ. γ
3.. NOŢIUNI TEORETICE 43 Se spune că difeomorfismul θ păstreză orientre dcă icobinul său este pozitiv; în cest cz se spune Φ şi Φ u ceeşi orientre; în cz contrr se spune că pânzele prmetrizte u orientări opuse. Evident, două pânze prmetrizte echivlente u ceeşi imgine în R 3 ), numită simplu pânză su porţiune de suprfţă). Fie Φ : R 3, Φu, v) = Xu, v), Y u, v), Zu, v)) o pânză prmetriztă; pânz Φ se numeşte regultă dcă vectorii Φ Φ şi u v sunt liniri independenţi în orice punct din. În cest cz plnul genert de ei se numeşte plnul tngent l pânză în punctul respectiv); vectorul norml l pânză în punctul Φu, v) indus de prmetrizre Φ este: N Φ u, v) = Φ u Φ v. că Φ şi Φ sunt două pânze prmetrizte simple, regulte echivlente cu ceeşi orientre, tunci versorii normlelor induse coincid: n Φ u, v) = N Φ u, v) N Φ u, v) = N Φ u, v) N Φ u, v) = n Φ u, v). Integrl de suprfţă de prim speţă Fie Φ : R 3 o pânză prmetriztă, fie = Φ) imgine ei şi fie F : U R o funcţie continuă pe imgine pânzei. Integrl de suprfţă de prim speţă lui F pe este, prin definiţie: F x, y, z)dσ = F Φu, v)) Φ u Φ v dudv. că pânz este prmetriztă crtezin, z = fx, y), x, y) R, tunci formul de mi sus devine: f ) ) f F x, y, z)dσ = F x, y, fx, y)) + dxdy. x y că Φ şi Φ sunt două prmetrizări echivlente nu nepărt cu ceeşi orientre) tunci integrlele corespunzătore sunt egle. Aplicţii i. În czul prticulr F = se obţine ri suprfeţei : ri ) = dσ.
44 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ ii. că F reprezintă densitte unei plăci, tunci ms ei este: M = F dσ, ir coordontele centrului de greutte sunt: x G = xf dσ, y G = yf dσ, z G = M M M zf dσ. iii. Fie V un câmp vectoril şi fie n versorul normlei indus de pânz prmetriztă fixtă; fluxul câmpului V prin suprfţ în rport cu orientre lesă dtă de versorul n) este, prin definiţie: F V ) = V n dσ. Integrl de suprfţă de speţ dou Prin definiţie, dcă este o -formă diferenţilă şi ω = P dy dz + Qdz dx + Rdx dy Φ : R 3, Φu, v) = Xu, v), Y u, v), Zu, v)) este o pânză prmetriztă, tunci integrl pe suprfţ orienttă) formei diferenţile ω este: ) Y, Z) X) Y ) ω = P Φ) + Q Φ)Z, + R Φ)X, dudv, u, v) u, v) u, v) Y, Z) Z, X) unde,, u, v) u, v), X, Y ) sunt icobienii funcţiilor X, Y, Z în rport cu vribilele u şi v. u, v) că Φ şi Φ sunt două pânze prmetrizte echivlente cu ceeşi orientre, tunci integrlele corespunzătore sunt egle; dcă prmetrizările u orientări opuse, tunci integrlele diferă prin semn. Notţii vectorile Unei -forme diferenţile ω = P dy dz + Qdz dx + Rdx dy i se sociză în mod cnonic) câmpul de vectori V = P, Q, R); dcă Φ : R 3 este o pânză prmetriztă cu imgine orienttă cu versorul normlei n), tunci: ω = V n dσ.
3.. INTEGRALE CURBILINII 45 3. Integrle curbilinii. Fie R şi fie P, Q : R R, P x, y) = x + 6y, Qx, y) = 3x 4y. Să se fle stfel încât ω = P dx + Qdy să fie o -formă diferenţilă exctă pe R şi poi să se determine f C R ) cu propriette df = ω. Spţiul R este mulţime steltă, deci este suficient c ω să fie -formă diferenţilă închisă, dică P y = Q ; rezultă =. O primitivă potenţil x sclr) lui ω se clculeză fie integrând sistemul f f = P, = Q, fie x y direct cu formul x y fx, y) = P x, y o )dx + Qx, y)dy, unde x o şi y o sunt rbitrri fixţi; x o y o obţinem fx, y) = x3 3 + 6xy y + k, k R.. Fie P, Q : R R, definite prin: P x, y) = x + y x, Qx, y) = x + y + x şi fie ω = P dx + Qdy. Să se găsescă un domeniu mximl pe cre form diferenţilă ω să fie exctă. Funcţiile P şi Q sunt de clsă C pe R \ {, )} şi: Q x = x + x + y, P x + y y = y Q y x. Mulţime = {x, y) R ; y > } este steltă şi Q x = P y este mximlă cu ceste proprietăţi. pe ; evident, 3. Folosind definiţi, să se clculeze următorele integrle curbilinii orientre curbei nu este preciztă):. x + y)dx + x y)dy, = {x, y) x + y = 4, y }. y b. dx + dy, este triunghiul ABC, A, ), B, ), C, ). x + c. xdy ydx, = {x, y) x + y b = }.
46 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ. Cu prmetrizre xt) = cos t, yt) = sin t, t [, π] obţinem: x + y)dx + x y)dy = π 4 cos t 4 sin t) =. b. = [AC] [CB] [BA]; prmetrizăm fiecre segment: obţinem: [AC] : xt) = t, yt) = t, t [, ] [CB] : xt) =, yt) = t, t [, ] [BA] : xt) = t, yt) =, t [, ]; y x + dx + dy = ) t t 3 + dt dt = 3 ln 3. c. Prmetrizre cnonică elipsei de semixe şi b este xt) = cos t, yt) = b sin t, t [, π); obţinem: xdy ydx = π bdt = πb. 4. Fie P x, y) = e x +y cosxy), Qx, y) = e x +y sinxy) şi fie. Să se rte că ω = P dx + Qdy. ω = pentru orice curbă închisă. b. Fie α R. Să se clculeze integrl e t cosαt)dt, plicând rezulttul de l punctul dreptunghiului = ABC, unde A, ), B, ), C, α),, α).. eorece P y = Q, rezultă că ω este -formă diferenţilă închisă pe R x
3.. INTEGRALE CURBILINII 47 şi deci şi exctă; în consecinţă, ω =, pentru orice curbă închisă. b. Prmetrizând = [AB] [BC] [C] [A], obţinem: α = ω = e t dt + e +t sint)dt e t +α cosαt)dt. Pentru, obţinem: e t cosαt)dt = π e α, deorece π α e t dt = şi lim e +t sinαt)dt =. 5. Să se clculeze ω în următorele czuri:. ω = x yzdx + xy zdy + xyz dz, ir este intersecţi suprfeţelor x =, y + z =. b. ω = zz y)dx + xzdy xydz, = 3, unde, şi 3 sunt intersecţiile conului x + y = z ) cu plnele x =, y =, şi, respectiv, z =, cu restricţiile x, y, z. c. ω = y z)dx + x z)dy + x y)dz, fiind intersecţi suprfeţelor x + y + z = r, x y + z =. d. ω = ydx + x + z)dy + x dz, fiind intersecţi suprfeţelor x + y x =, x + z = 4. Integrlele se clculeză cu definiţi.. este un cerc situt în plnul x = ; o prmetrizre este: Rezultă: ω = x =, y = cos t, z = sin t, t [, π). π ) cos t sin t + cos t sin t dt =. b. În plnul x = obţinem drept de ecuţie y + z =, în plnul y = obţinem drept x + z =, ir în plnul z = obţinem sfertul de cerc
48 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ x + y =, x >, y >. Rezultă prmetrizările: : xt) =, yt) = t, zt) = t, t [, ]. : xt) = t, yt) =, zt) = t, t [, ]. 3 : xt) = cos t, yt) = sin t, zt) =, t [, π ). În continure se plică definiţi. c. Curb este o elipsă sitută în plnul x y + z = ; înlocuind z = y x în ecuţi sferei obţinem: x +y +y x) = r. Pentru duce ecuţi cestei conice l form cnonică, fcem schimbre de vribile: x y = u, x+y = v; obţinem ecuţi: u ) + v ) =. 3 r r Rezultă prmetrizre: ut) = xt) yt) = r cos t, 3 Se obţine: vt) = xt) + yt) = r sin t, zt) = yt) xt) = r cos t, t [, π). 3 xt) = r 3 cos t + ) sin t, yt) = ) r sin t 3 cos t, zt) = 3 r cos t, t [, π). În continure se plică definiţi. d. Ecuţi cnonică cilindrului este x ) + y = şi deci xt) = cos t, yt) = sin t, zt) = 3 cos t, t [, π). În continure se plică definiţi. 6. Să se clculeze ydx+xdy pe un drum cu cpetele A, ) şi B, 3). Form diferenţilă α = ydx + xdy este închisă pe R şi deci este exctă. Rezultă că integrl este independentă de drumul prticulr cre uneşte
3.. INTEGRALE CURBILINII 49 punctele A şi B. Integrl se clculeză pe un drum prticulr, de exemplu pe segmentul [AB], cărui prmetrizre este: xt) = 5 t, yt) = t, t [, 3]. O ltă metodă constă în determin un potenţil sclr f pentru -form diferenţilă α: fx, y) = x x y dx + y y xdy = xy + k, k fiind o constntă rbitrră. Integrl cerută în enunţ este: α = fb) fa) =, fiind un drum rbitrr vând cpetele A şi B. 7. Fie P, Q, R : Ω = {x, y, z) ; y >, z } R, P x, y, z) = x yz + Qx, y, z) = y zx Rx, y, z) = z xy. y x + y, x x + y, Notând cu ω = P dx + Qdy + Rdz, să se clculeze ω, unde este un drum prmetrizt rbitrr inclus în Ω) ce uneşte punctele A,, ) şi B,, ). Observăm că ω este o -formă diferenţilă închisă: P y = x y x + y ) z = Q x, R x Q z = y = P z, = x = R y. omeniul Ω este stelt, şdr ω este exctă pe Ω. Rezultă că ω nu depinde de drumul prmetrizt, ci dor de extremităţile A şi B şi de
5 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ orientre de l A către B). Fie prmetrizre xt) = t, yt) =, zt) =, t [, ]; obţinem: ω = t + ) t dt = + 3 π. Să mi fcem observţi că rţionmentul de mi sus nu mi este corect dcă drumul nu r fi inclus în Ω, deorece, pe un stfel de domeniu ω nu r mi fi exctă şi deci integrl nu r mi fi independentă de drum. e exemplu, să considerăm punctele C,, ),,, ) şi drumul formt prin conctenre segmentelor orientte) [AC] [C] [B]. Atunci ω ω. Într-devăr, cu prmetrizre: [AC] : xt) =, yt) = t, zt) =, t [, ], [C] : xt) t, yt) =, zt) =, t [, ], [B] : xt) =, yt) = t, zt) =, t [, ]. se obţine: ω = π 3 + π 3 + π + 3 = 3 + 3π. 8. Fie P, Q : R \ {x, y) xy = } R, P x, y) = y x, Qx, y) = + xy + xy şi fie α = P dx + Qdy. Să se clculeze integrl α, unde este un drum rbitrr vând cpetele A, ) şi B3, 3) şi nu intersecteză hiperbol xy =. Form diferenţilă α este închisă: P y = + xy) = Q x, x, y) R, xy. Mulţime Ω = {x, y) R xy > } este steltă, deci pe Ω α este exctă. Rezultă că integrl este independentă de drumul prticulr inclus în Ω) cre uneşte punctele A şi B. Un potenţil sclr pentru α pe mulţime Ω este: fx, y) = x y dx + x + xy y y x dy = ln + xy) + k, xy >, + xy
3.. INTEGRALE CURBILINII 5 şi deci integrl este: α = fb) fa) = ln 5. 9. Să se clculeze circulţi câmpului de vectori V de- lungul curbei în următorele czuri:. V = x + y )i x y )j, = {x, y) R ; x +y = 4, y < } {x, y) R ; x +y x =, y }. b. V = xi + xyj + xyzk, = {x, y, z) R 3 ; x + y = } {x, y, z) R 3 ; x + z = 3}. Câmpului de vectori V = P i + Qj + Rk i se sociză, prin definiţie, -form diferenţilă ω = P dx + Qdy + Rdz; circulţi lui V de- lungul lui este, prin definiţie integrl curbilinie: V dr = ω.. Notăm: = {x, y) R ; x + y = 4, y < }, = {x, y) R ; x + y x =, y }. O prmetrizre în sens trigonometric pozitiv) pentru se obţine stfel: : xt) = cos t, yt) = sin t, t [π, π), : xt) = + cos t, yt) = sin t, t [, π]. b. Prmetrizre este: xt) = cos t, yt) = sin t, zt) = 3 cos t, t [, π).. Să se clculeze următorele integrle curbilinii de prim speţă:. yds, : xt) = lnsin t) sin t, yt) = sin t, t [ π 6, π 4 ]. b. xyds, : xt) = t, yt) = t, t [, ]. c. x y, : xt) = cos t, yt) = sin t, t [, π].. Cu definiţi, obţinem: yds = π 4 π 6 sin t ctgt sin t) + cos t dt = = π 4 π 6 cos t ) sin tdt = 3 5.
5 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ b. Integrl se descompune într-o sumă de două integrle: xyds = tdt + tdt =. c. Aplicând definiţi, obţinem: π x y ds = cos t sin t dt = 4 ).. Să se clculeze lungime L rcului de prbolă x = p y, y [ p, p]. p Cu prmetrizre vem: Rezultă: = p L = p yt) = t, xt) = p t, t [ p, p ], p ds = p p + t p dt = p p t + p p t + p dt = p dt t + p + p = 4p ln + ) = 4p ln + ) + t p p + t p p t + p p t + p dt = p t t + p dt = ) L = p + ln + ). t t + p dt = ) t + p dt.. Să se clculeze coordontele centrului de greutte l unui rc de cerc de rză R şi de măsură α, π), presupus omogen. Coordontele centrului de greutte G le unei curbe plne omogene sunt: x G = xds, y G = ds, L L unde L este lungime firului. Considerăm origine xelor de coordonte în centrul cercului şi fie A şi B două puncte simetrice fţă de x Ox cu măsur
3.. INTEGRALE CURBILINII 53 rcului AB eglă cu α. Cu prmetrizre xt) = R cos t, yt) = R sin t, t α, α ), obţinem: x G = α α α R cos tdt = R α sin α, y G =. 3. Să se clculeze ms firului mteril de ecuţii prmetrice: xt) = t, yt) = t, zt) = 3 t3, t [, ], şi vând densitte F x, y, z) = y. Conform formulei msei: M = = = 3 F x, y, z)ds = t + t + t 4 dt = u + 3 4 u + 3 4 = du = 3 8 = 3 u 8 ln + u + 3 4) 3 3 y ds = 3 t + t + t 4 ) dt = t t + ) + 3 4 dt = u + 3 4 du = du + u + 3 4 + u u + 3 4 3 3 Ultim integrlă este M, deci după clcule) se obţine: M = 3 8 ln 3 + 3 3 + 4 u u + 3 4 3 3 ) 3. du = u + 3 4 du. 4. Să se clculeze ms şi coordontele centrului de greutte le firului mteril cu prmetrizre: xt) = t, yt) = cht, t [, ]
54 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ şi densitte fx, y) = y. Ms firului este: M = yds = = + cht) dt = Coordontele centrului de greutte: = M cht + sh t dt = ch tdt = t + ) sht = + sh). 4 x G = t ch tdt = t + t cht) dt = M M t + t sht shtdt = 3 + sh ch). 8M y G = ch 3 tdt = M M = sht + ) M 3 sh3 t = M ) + sh t shtdt = sh + ) 3 sh3. 3.3 Integrle de suprfţă 5. În fiecre din exemplele următore se dă o pânză prmetriztă u, v) Φu, v) = Xu, v), Y u, v), Zu, v)) R 3. Să se clculeze vectorii tngenţi l suprfţă şi versorul normlei l suprfţă. Să se găsescă în fiecre cz şi ecuţi în coordonte crteziene.. Sfer; fie R > ; Φ : [, π] [, π) R 3, Φθ, ϕ) = R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ). b. Prboloidul; fie >, h > ; Φ : [, h] [, π) R 3, Φu, v) = u cos v, u sin v, u ). c. Elipsoidul; fie >, b >, c > ; Φ : [, π] [, π) R 3, Φθ, ϕ) = sin θ cos ϕ, b sin θ sin ϕ, c cos θ).
3.3. INTEGRALE E SUPRAFAŢĂ 55 d. Conul; fie h > ; Φ : [, π) [, h] R 3, Φu, v) = v cos u, v sin u, v). e. Cilindrul; fie >, h h ; Φ : [, π) [h, h ] R 3, Φϕ, z) = cos ϕ, sin ϕ, z). f. Prmetrizre crtezină; fie R şi fie f : R, f C ). Φ : R 3, Φx, y) = x, y, fx, y)). g. Suprfţă de rotţie în jurul xei Oz: Fie < r < r şi fie f : [r, r ] R, f C ). Φ : [r, r ] [, π) R 3, Φr, ϕ) = r cos ϕ, r sin ϕ, fr)). h. Torul; fie < < b; Φ : [, π) [, π) R 3, Φu, v) = + b cos u) cos v, + b cos u) sin v, b sin u). Vectorii tngenţi l suprfţă sunt Φ u Φ Φ u Φ v u Φ v. Φ şi, ir versorul normlei este v 6. În continure, ω = P dy dz + Qdz dx + Rdx dy este o -formă diferenţilă ir este imgine unei pânze prmetrizte; să se clculeze integrl de suprfţă ω.. ω = ydy dz + zdz dx + xdx dy, : Xu, v) = u cos v, Y u, v) = u sin v, Zu, v) = cv, u, v) [, b] [, π). b. ω = xdy dz + ydz dx + zdx dy, : x + y + z = R. c. ω = yzdy dz + zxdz dx + xydx dy, : x + y b + z c =. d. ω = xdy dz + ydz dx, : x + y = z, z [, ]. e. ω = y + z)dy dz + x + y)dx dy, : x + y =, z [, ].
56 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ Aplicăm definiţi integrlei de suprfţă de speţ dou.. Icobienii: Y, Z) u, v) = c sin v, Z, X) u, v) = c cos v, X, Y ) u, v) = u, şi deci: ω = b π ) du cu sin v c v cos v + u cos v dv = b πc ) b. Prmetrizăm sfer de centru O şi rză R: Xθ, ϕ) = R sin θ cos ϕ, Y θ, ϕ) = R sin θ sin ϕ, Zθ, ϕ) = R cos θ, domeniul prmetrizării θ, ϕ) = [, π] [, π). Rezultă ω = 4πR 3. Y, Z) θ, ϕ) = R sin θ cos ϕ, Z, X) θ, ϕ) = R sin θ sin ϕ, X, Y ) θ, ϕ) = R sin θ cos θ c. Prmetrizre cnonică elipsoidului este: Xθ, ϕ) = R sin θ cos ϕ, Y θ, ϕ) = br sin θ sin ϕ, Zθ, ϕ) = cr cos θ, θ [, π], ϕ [, π). În continure clculul este semănător cu cel de l punctul nterior. d. Prmetrizre cnonică conului este: Icobienii: Xu, v) = v cos u, Y u, v) = v sin u, Zu, v) = v, u, v) = [, π) [, ]. Y, Z) u, v) = v cos u, Z, X) u, v) = v sin u, X, Y ) u, v) = v.
3.3. INTEGRALE E SUPRAFAŢĂ 57 Rezultă integrl: ω = ) v cos u + v sin u dudv = 4 3 π. e. Prmetrizre cnonică cilindrului este: ϕ, z) = [, π) [, ], Icobienii: Xϕ, z) = cos ϕ, Y ϕ, z) = sin ϕ, Zϕ, z) = z,. Y, Z) ϕ, z) = cos ϕ, Z, X) ϕ, z) = sin ϕ, X, Y ) ϕ, z) =. Rezultă integrl: ω = sin ϕ + z) cos ϕ dϕdz =. 7. Să se clculeze integrlele de suprfţă:. xzdy dz + yzdz dx + x + y)dx dy, = {x, y, z) ; x + y =, x >, y >, < z < h}. b. xdy dz + ydz dx + zdx dy, = {x, y, z) ; x + y + z = R, x >, y >, z > }.. Prmetrizre lui o submulţime unui cilindru) este: Xϕ, z) = cos ϕ, Y ϕ, z) = sin ϕ, Zϕ, z) = z, domeniul prmetrizării fiind ϕ, z) =, π ), h). Rezultă: xzdy dz + yzdz dx + x + y)dx dy = b. Porţiune de sferă re prmetrizre: zdϕdz = h 4 π. Xθ, ϕ) = R sin θ cos ϕ, Y θ, ϕ) = R sin θ sin ϕ, Zθ, ϕ) = R cos θ, domeniul prmetrizării θ, ϕ) = [, π ] [, π ). În continure clculul este similr cu cel din exerciţiul nterior punctul b).
58 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ 8. Să se clculeze integrl de suprfţă de prim speţă F x, y, z)dσ în următorele czuri:. F x, y, z) = xyz, : z = x + y, z [, ]. b. F x, y, z) = y z, : x + y = 6z, z [, ]. x + y, x + y 6y.}. c. F x, y, z) = z, = {x, y, z) ; z = Se plică definiţi integrlei de suprfţă de prim speţă.. Prmetrizre crtezină conului este: Rezultă: z = fx, y) = xyz dσ = x + y, = {x, y) ; x + y }. xy x + y + x x + y + y x + y dxdy = = xy x + y dxdy = 4 5. b. Prmetrizre crtezină prboloidului este: Rezultă: z = fx, y) = 6 x + y ), = {x, y) R x + y }. y zdσ = = 6 π y 6 x + y ) + 9 x + y ) dxdy = dϕ ρ 3 + ρ 9 sin ϕ =. c. Cu prmetrizre crtezină z = x + y, x, y) = {x, y) x + y 6y}. rezultă: = z dσ = π dϕ 6 sin ϕ x + y )dxdy = ρ 3 dρ = 43 π.