Predavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun

Predavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler

Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?

Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta? Tangenta je pravac

Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta? Tangenta je pravac koji se od svih pravaca koji prolaze kroz diralište najbolje priljubljuje uz krivulju oko dirališta.

De Fermat-ova metoda odredivanja tangente y = x 2 Tražimo tangentu u točki P = (c, c 2 ). PT = QQ = E RQP PTS RQ : QP = PT : TS

De Fermat-ova metoda odredivanja tangente y = x 2 Tražimo tangentu u točki P = (c, c 2 ). PT = QQ = E RQP PTS RQ : QP = PT : TS Ako je P = (c + E, (c + E) 2 ) blizu P, onda se S i P približno poklapaju i E 0 pa je RQ : c 2 E : TP.

De Fermat-ova metoda odredivanja tangente y = x 2 Tražimo tangentu u točki P = (c, c 2 ). PT = QQ = E RQP PTS RQ : QP = PT : TS Ako je P = (c + E, (c + E) 2 ) blizu P, onda se S i P približno poklapaju i E 0 pa je RQ : c 2 E : TP. TP = Q P Q T = (c + E) 2 QP = (c + E) 2 c 2 = 2cE + E 2 RQ c2 E 2cE+E 2 = c2 2x+E c2 2c = c 2

De Fermat-ova metoda odredivanja tangente y = x 2 Tražimo tangentu u točki P = (c, c 2 ). PT = QQ = E RQP PTS RQ : QP = PT : TS Ako je P = (c + E, (c + E) 2 ) blizu P, onda se S i P približno poklapaju i E 0 pa je RQ : c 2 E : TP. TP = Q P Q T = (c + E) 2 QP = (c + E) 2 c 2 = 2cE + E 2 RQ c2 E = c2 2cE+E 2 2x+E c2 2c = c 2 y y1 = k(x x1) k = c2 c/2 = 2c y = 2c(x c) + c 2 = 2cx c 2

U različitim trenutcima bilježene su pozicije točke koja se giba po pravcu: t/s 0 10 20 30 40 50 60 d/cm 0 5 7 12 17 18 20 v(20 s) =?

U različitim trenutcima bilježene su pozicije točke koja se giba po pravcu: t/s 0 10 20 30 40 50 60 d/cm 0 5 7 12 17 18 20 Slijedi da su (prosječne) brzine u pojedinim vremenskim intervalima t/s 0 10 20 30 40 50 60 v/(cm/s) 0 1/2 1/5 1/2 2/5 1/10 3/10 v(20 s) =?

C 4 H 9 Cl(aq) + H 2 O(l) C 4 H 9 OH(aq) + HCl(aq) c = c(c 4 H 9 Cl) Trenutna brzina reakcije = koeficijent smjera tangente na graf ovisnosti c o t, podijeljen sa stehiometrijskim koeficijentom

I, kolika je početna brzina? 0,905 1 50 0 mol/l s = 1,9 10 3 mol L 1 s 1

Što je zajedničko prethodnim trima problemima?

Što je zajedničko prethodnim trima problemima? Imamo različite realne funkcije jedne varijable, ali u svim slučajevima gledamo neprecizirano malu (blisku nuli) promjenu nezavisne varijable u odnosu na neku njenu zadanu (fiksiranu) vrijednost i efekt te promjene na zavisnu varijablu.

Derivacija kao opis relativne promjene iznosa funkcije: Derivacija f (c) je procjena relativne promjene funkcije f ako je promjena varijable ( x) približno jednaka nuli: f (x) f x. Koliko iznosi derivacija afine funkcije u zadanoj točki njene domene?

Derivacija kao opis relativne promjene iznosa funkcije: Derivacija f (c) je procjena relativne promjene funkcije f ako je promjena varijable ( x) približno jednaka nuli: f (x) f x. Koliko iznosi derivacija afine funkcije u zadanoj točki njene domene? Za mali razmak x omjer f x neće biti bitno različit od koeficijenta smjera tangente povučene na graf funkcije f u točki s apscisom c Derivacija kao koeficijent smjera tangente: f (c) je koeficijent smjera tangente na graf funkcije f (prikazan u Kks-u) povučene u točki s apscisom c. Kakva je veza derivacije i rasta ili pada funkcije? Koja je jednadžba tangente na graf funkcije u zadanoj točki grafa?

Derivacija kao opis relativne promjene iznosa funkcije: Derivacija f (c) je procjena relativne promjene funkcije f ako je promjena varijable ( x) približno jednaka nuli: f (x) f x. Koliko iznosi derivacija afine funkcije u zadanoj točki njene domene? Za mali razmak x omjer f x neće biti bitno različit od koeficijenta smjera tangente povučene na graf funkcije f u točki s apscisom c Derivacija kao koeficijent smjera tangente: f (c) je koeficijent smjera tangente na graf funkcije f (prikazan u Kks-u) povučene u točki s apscisom c. Kakva je veza derivacije i rasta ili pada funkcije? Koja je jednadžba tangente na graf funkcije u zadanoj točki grafa? Derivacija kao trenutna brzina: Derivacija f (c) funkcije čija je nezavisna varijabla vrijeme je trenutna brzina promjene zavisne varijable u trenutku c.

Ukoliko bismo na neki način uspjeli odrediti f (c)-ove za sve moguće c, derivaciju bismo mogli shvatiti shvatiti kao novu funkciju f : I R (c f (c), c I ). Ako (skalarna) veličina f ovisi o vremenu i ako smo našli njezinu derivaciju, te ju ponovno deriviramo, što možemo zaključiti iz te druge derivacije?

Ukoliko bismo na neki način uspjeli odrediti f (c)-ove za sve moguće c, derivaciju bismo mogli shvatiti shvatiti kao novu funkciju f : I R (c f (c), c I ). Ako (skalarna) veličina f ovisi o vremenu i ako smo našli njezinu derivaciju, te ju ponovno deriviramo, što možemo zaključiti iz te druge derivacije? Deriviranjem funkcije f dobivamo drugu derivaciju f, deriviranjem druge derivacije treću derivaciju itd. Oznake za prvu, drugu i treću derivaciju su redom f, f, f. Daljnje derivacije (n-ta za n > 3) u pravilu se označavaju s f (n).

Tablica derivacija f (x) f (x) C 0 x n n x n 1 a x a x ln a 1 log a x x ln a sin x cos x cos x sin x 1 tg x cos 2 x ctg x 1 sin 2 x f (x) f (x) arcsin x 1 1 x 2 arccos x 1 1 x 2 1 arctg x 1+x 2 arcctg x 1 1+x 2 sh x ch x ch x sh x

f (x) f (x) koef. smjera tangente u (0, f (0)) x

f (x) f (x) koef. smjera tangente u (0, f (0)) x 1 1 1 x 3

f (x) f (x) koef. smjera tangente u (0, f (0)) x 1 1 1 3x 4 x 3 x

f (x) f (x) koef. smjera tangente u (0, f (0)) x 1 1 1 3x 4 x 3 x x 1/2 /2 (x 0) x 2

f (x) f (x) koef. smjera tangente u (0, f (0)) x 1 1 1 3x 4 x 3 x x 1/2 /2 (x 0) x 2 e x 2x 2 1 0

f (x) f (x) koef. smjera tangente u (0, f (0)) x 1 1 1 3x 4 x 3 x x 1/2 /2 (x 0) x 2 2x 2 1 0 e x e x 1 ln x

f (x) f (x) koef. smjera tangente u (0, f (0)) x 1 1 1 3x 4 x 3 x x 1/2 /2 (x 0) x 2 2x 2 1 0 e x e x 1 ln x 1/x ln 2

f (x) f (x) koef. smjera tangente u (0, f (0)) x 1 1 1 3x 4 x 3 x x 1/2 /2 (x 0) x 2 2x 2 1 0 e x e x 1 ln x 1/x ln 2 0 0

Ako je f : R R, f (x) = x 2, vidjeli smo da je f (c) = 2c za svaki c R. Dakle je f : R R dana formulom f (x) = 2x. Temeljem proizvoljno odabrane medu danim definicijama derivacije argumentirajte zašto je f (x) = 2 za sve x.

Ako je f : R R, f (x) = x 2, vidjeli smo da je f (c) = 2c za svaki c R. Dakle je f : R R dana formulom f (x) = 2x. Temeljem proizvoljno odabrane medu danim definicijama derivacije argumentirajte zašto je f (x) = 2 za sve x. Što možete reći o f?

Ako je f : R R, f (x) = x 2, vidjeli smo da je f (c) = 2c za svaki c R. Dakle je f : R R dana formulom f (x) = 2x. Temeljem proizvoljno odabrane medu danim definicijama derivacije argumentirajte zašto je f (x) = 2 za sve x. Što možete reći o f? A o f (0)?

Ako je f : R R, f (x) = x 2, vidjeli smo da je f (c) = 2c za svaki c R. Dakle je f : R R dana formulom f (x) = 2x. Temeljem proizvoljno odabrane medu danim definicijama derivacije argumentirajte zašto je f (x) = 2 za sve x. Što možete reći o f? A o f (0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u točki s apscisom 0? Koji je koeficijent smjera te tangente?

Ako je f : R R, f (x) = x 2, vidjeli smo da je f (c) = 2c za svaki c R. Dakle je f : R R dana formulom f (x) = 2x. Temeljem proizvoljno odabrane medu danim definicijama derivacije argumentirajte zašto je f (x) = 2 za sve x. Što možete reći o f? A o f (0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u točki s apscisom 0? Koji je koeficijent smjera te tangente? Ako je derivacija jednaka 0 ona a) ne postoji, b) postoji. Je li a) ili b) točno? Zašto?

Ako je f : R R, f (x) = x 2, vidjeli smo da je f (c) = 2c za svaki c R. Dakle je f : R R dana formulom f (x) = 2x. Temeljem proizvoljno odabrane medu danim definicijama derivacije argumentirajte zašto je f (x) = 2 za sve x. Što možete reći o f? A o f (0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u točki s apscisom 0? Koji je koeficijent smjera te tangente? Ako je derivacija jednaka 0 ona a) ne postoji, b) postoji. Je li a) ili b) točno? Zašto? Kako geometrijski interpretirati podatak da je f (c) = 0 za neki c iz domene od f?

Ako je f : R R, f (x) = x 2, vidjeli smo da je f (c) = 2c za svaki c R. Dakle je f : R R dana formulom f (x) = 2x. Temeljem proizvoljno odabrane medu danim definicijama derivacije argumentirajte zašto je f (x) = 2 za sve x. Što možete reći o f? A o f (0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u točki s apscisom 0? Koji je koeficijent smjera te tangente? Ako je derivacija jednaka 0 ona a) ne postoji, b) postoji. Je li a) ili b) točno? Zašto? Kako geometrijski interpretirati podatak da je f (c) = 0 za neki c iz domene od f? A u kontekstu derivacije kao brzine?

Ako je f : R R, f (x) = x 2, vidjeli smo da je f (c) = 2c za svaki c R. Dakle je f : R R dana formulom f (x) = 2x. Temeljem proizvoljno odabrane medu danim definicijama derivacije argumentirajte zašto je f (x) = 2 za sve x. Što možete reći o f? A o f (0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u točki s apscisom 0? Koji je koeficijent smjera te tangente? Ako je derivacija jednaka 0 ona a) ne postoji, b) postoji. Je li a) ili b) točno? Zašto? Kako geometrijski interpretirati podatak da je f (c) = 0 za neki c iz domene od f? A u kontekstu derivacije kao brzine? A u kontekstu derivacije kao relativne promjene?

Za koje c R je f (c) = 0 ako sljedeća slika prikazuje graf funkcije f? Na kojim intervalima je f (x) < 0?

Što biste rekli o f ( 5/2), f ( 2), f (0) i f (1) za funkciju f čiji je graf prikazan sljedećom slikom? Argumentirajte!

Uzmimo funkciju trećeg korijena. Kako izgleda njen graf? Što je njena prirodna domena?

Uzmimo funkciju trećeg korijena. Kako izgleda njen graf? Što je njena prirodna domena? Izračunajte derivaciju te funkcije. Što primjećujete?

Uzmimo funkciju trećeg korijena. Kako izgleda njen graf? Što je njena prirodna domena? Izračunajte derivaciju te funkcije. Što primjećujete? Ako je c element domene funkcije f, onda f (c) ne postoji u sljedećim slučajevima: U c graf ima špicu ; U c se graf razdvaja; U c je tangenta vertikalna; c je rub nekog od disjunktnih intervala koji u uniji čine domenu.

U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = 3 x i g(x) = 2 3 x. Temeljem te skice procijenite f (0), g (0), f (1) i g (1) na prve dvije značajne znamenke.

U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = 3 x i g(x) = 2 3 x. Temeljem te skice procijenite f (0), g (0), f (1) i g (1) na prve dvije značajne znamenke. U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = x 2 i g(x) = 0,5x 2. Temeljem te skice procijenite f ( 10), g ( 1), f (2) i g (2) na prve dvije značajne znamenke.

U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = 3 x i g(x) = 2 3 x. Temeljem te skice procijenite f (0), g (0), f (1) i g (1) na prve dvije značajne znamenke. U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = x 2 i g(x) = 0,5x 2. Temeljem te skice procijenite f ( 10), g ( 1), f (2) i g (2) na prve dvije značajne znamenke. Koliko iznosi f (x) ako je f (x) = 3 2x? A koliko je g (x) za g(x) = 30 20x?

U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = 3 x i g(x) = 2 3 x. Temeljem te skice procijenite f (0), g (0), f (1) i g (1) na prve dvije značajne znamenke. U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = x 2 i g(x) = 0,5x 2. Temeljem te skice procijenite f ( 10), g ( 1), f (2) i g (2) na prve dvije značajne znamenke. Koliko iznosi f (x) ako je f (x) = 3 2x? A koliko je g (x) za g(x) = 30 20x? Što primjećujete?

U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = 3 x i g(x) = 2 3 x. Temeljem te skice procijenite f (0), g (0), f (1) i g (1) na prve dvije značajne znamenke. U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = x 2 i g(x) = 0,5x 2. Temeljem te skice procijenite f ( 10), g ( 1), f (2) i g (2) na prve dvije značajne znamenke. Koliko iznosi f (x) ako je f (x) = 3 2x? A koliko je g (x) za g(x) = 30 20x? Što primjećujete? Kakav je odnos izmedu derivacije funkcije i funkcije dobivene njezinim množenjem s konstantom?

U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = 3 x i g(x) = 2 3 x. Temeljem te skice procijenite f (0), g (0), f (1) i g (1) na prve dvije značajne znamenke. U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = x 2 i g(x) = 0,5x 2. Temeljem te skice procijenite f ( 10), g ( 1), f (2) i g (2) na prve dvije značajne znamenke. Koliko iznosi f (x) ako je f (x) = 3 2x? A koliko je g (x) za g(x) = 30 20x? Što primjećujete? Kakav je odnos izmedu derivacije funkcije i funkcije dobivene njezinim množenjem s konstantom? Ovisi li to o točki domene u kojoj tražimo derivaciju?

U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = 3 x i g(x) = 2 3 x. Temeljem te skice procijenite f (0), g (0), f (1) i g (1) na prve dvije značajne znamenke. U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = x 2 i g(x) = 0,5x 2. Temeljem te skice procijenite f ( 10), g ( 1), f (2) i g (2) na prve dvije značajne znamenke. Koliko iznosi f (x) ako je f (x) = 3 2x? A koliko je g (x) za g(x) = 30 20x? Što primjećujete? Kakav je odnos izmedu derivacije funkcije i funkcije dobivene njezinim množenjem s konstantom? Ovisi li to o točki domene u kojoj tražimo derivaciju? Homogenost deriviranja: (Cf (x)) = Cf (x). Slijedi li iz toga da je (x e x ) = x (e x ) = x e x? Zašto?

U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = x 2, g(x) = x 3, h(x) = f (x) + g(x). Temeljem te skice procijenite f (2), g (2), h (2) na prve dvije značajne znamenke.

U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = x 2, g(x) = x 3, h(x) = f (x) + g(x). Temeljem te skice procijenite f (2), g (2), h (2) na prve dvije značajne znamenke. Koliko iznosi f (x) ako je f (x) = a(x) + b(x), a(x) = 2x, b(x) = 1 x?

U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = x 2, g(x) = x 3, h(x) = f (x) + g(x). Temeljem te skice procijenite f (2), g (2), h (2) na prve dvije značajne znamenke. Koliko iznosi f (x) ako je f (x) = a(x) + b(x), a(x) = 2x, b(x) = 1 x? Što primjećujete?

U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = x 2, g(x) = x 3, h(x) = f (x) + g(x). Temeljem te skice procijenite f (2), g (2), h (2) na prve dvije značajne znamenke. Koliko iznosi f (x) ako je f (x) = a(x) + b(x), a(x) = 2x, b(x) = 1 x? Što primjećujete? Kakav je odnos izmedu derivacija dviju funkcija i derivacije njihova zbroja?

U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = x 2, g(x) = x 3, h(x) = f (x) + g(x). Temeljem te skice procijenite f (2), g (2), h (2) na prve dvije značajne znamenke. Koliko iznosi f (x) ako je f (x) = a(x) + b(x), a(x) = 2x, b(x) = 1 x? Što primjećujete? Kakav je odnos izmedu derivacija dviju funkcija i derivacije njihova zbroja? Ovisi li to o točki domene u kojoj tražimo derivaciju?

U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcija zadanih formulama f (x) = x 2, g(x) = x 3, h(x) = f (x) + g(x). Temeljem te skice procijenite f (2), g (2), h (2) na prve dvije značajne znamenke. Koliko iznosi f (x) ako je f (x) = a(x) + b(x), a(x) = 2x, b(x) = 1 x? Što primjećujete? Kakav je odnos izmedu derivacija dviju funkcija i derivacije njihova zbroja? Ovisi li to o točki domene u kojoj tražimo derivaciju? Aditivnost deriviranja: (f (x) + g(x)) = f (x) + g (x). Linearnost deriviranja je zajedničko ime za aditivnost i homogenost deriviranja.

Komentirajte sljedeći zadatak i njegovo predloženo rješenje: Derivirajte f (x) = x 5 π sin x + 5. f (x) = x 5 π sin x + 5 = (x 5 ) π(sin x) + ( 5) = 5x 4 π cos x + 1 5.

Komentirajte sljedeći zadatak i njegovo predloženo rješenje: Derivirajte f (x) = x 5 π sin x + 5. f (x) = x 5 π sin x + 5 = (x 5 ) π(sin x) + ( 5) = 5x 4 π cos x + 1 5. Što biste rekli o 4. derivaciji polinoma stupnja 1? 2? 3? 4? 5?

Komentirajte sljedeći zadatak i njegovo predloženo rješenje: Derivirajte f (x) = x 5 π sin x + 5. f (x) = x 5 π sin x + 5 = (x 5 ) π(sin x) + ( 5) = 5x 4 π cos x + 1 5. Što biste rekli o 4. derivaciji polinoma stupnja 1? 2? 3? 4? 5? Možete li donijeti kakav zaključak o višim derivacijama polinomâ?

Kako biste utvrdili je li istinita sljedeća tvrdnja: Derivacija razlike funkcija jednaka je razlici njihovih derivacija.

Kako biste utvrdili je li istinita sljedeća tvrdnja: Derivacija razlike funkcija jednaka je razlici njihovih derivacija. A za tvrdnju: Derivacija produkta funkcija jednaka je produktu njihovih derivacija.

Kako biste utvrdili je li istinita sljedeća tvrdnja: Derivacija razlike funkcija jednaka je razlici njihovih derivacija. A za tvrdnju: Derivacija produkta funkcija jednaka je produktu njihovih derivacija. Osmislite primjer kojim se vidi da derivacija kvocijenta funkcija općenito nije jednaka kvocijentu derivacija.

Kako biste utvrdili je li istinita sljedeća tvrdnja: Derivacija razlike funkcija jednaka je razlici njihovih derivacija. A za tvrdnju: Derivacija produkta funkcija jednaka je produktu njihovih derivacija. Osmislite primjer kojim se vidi da derivacija kvocijenta funkcija općenito nije jednaka kvocijentu derivacija. Formula za derivaciju produkta funkcija glasi (f (x) g(x)) = f (x)g (x) + f (x)g(x). Temeljem te formule izvedite formulu za derivaciju kvocijenta funkcija!

Kako biste utvrdili je li istinita sljedeća tvrdnja: Derivacija razlike funkcija jednaka je razlici njihovih derivacija. A za tvrdnju: Derivacija produkta funkcija jednaka je produktu njihovih derivacija. Osmislite primjer kojim se vidi da derivacija kvocijenta funkcija općenito nije jednaka kvocijentu derivacija. Formula za derivaciju produkta funkcija glasi (f (x) g(x)) = f (x)g (x) + f (x)g(x). Temeljem te formule izvedite formulu za derivaciju kvocijenta funkcija! ( ) f (x) = f (x)g(x) f (x)g (x) g(x) g 2. (x)

Je li funkcija zadana formulom a(x) = (e x ) 3 eksponencijalna?

Je li funkcija zadana formulom a(x) = (e x ) 3 eksponencijalna? S kojom bazom?

Je li funkcija zadana formulom a(x) = (e x ) 3 eksponencijalna? S kojom bazom? a(x) = ( e 3) x Derivirajte ju!

Je li funkcija zadana formulom a(x) = (e x ) 3 eksponencijalna? S kojom bazom? a(x) = ( e 3) x Derivirajte ju! a (x) = ( e 3) x ln e 3 = 3 ( e 3) x = 3e 3x.

Je li funkcija zadana formulom a(x) = (e x ) 3 eksponencijalna? S kojom bazom? a(x) = ( e 3) x Derivirajte ju! a (x) = ( e 3) x ln e 3 = 3 ( e 3) x = 3e 3x. Derivirajte funkciju zadanu formulom b(x) = (sin x) 2 = sin x sin x koristeći pravilo za derivaciju produkta:

Je li funkcija zadana formulom a(x) = (e x ) 3 eksponencijalna? S kojom bazom? a(x) = ( e 3) x Derivirajte ju! a (x) = ( e 3) x ln e 3 = 3 ( e 3) x = 3e 3x. Derivirajte funkciju zadanu formulom b(x) = (sin x) 2 = sin x sin x koristeći pravilo za derivaciju produkta: b (x) = cos x sin x + sin x cos x = 2 sin x cos x = sin(2x).

Je li funkcija zadana formulom a(x) = (e x ) 3 eksponencijalna? S kojom bazom? a(x) = ( e 3) x Derivirajte ju! a (x) = ( e 3) x ln e 3 = 3 ( e 3) x = 3e 3x. Derivirajte funkciju zadanu formulom b(x) = (sin x) 2 = sin x sin x koristeći pravilo za derivaciju produkta: b (x) = cos x sin x + sin x cos x = 2 sin x cos x = sin(2x). No, što da smo trebali derivirati c(x) = (ln x) 1000? Ili: kako derivirati d(x) = (cos x) π?

Opišite funkcije zadane formulama a(x) = (e x ) 3, b(x) = (sin x) 2 = sin x sin x, c(x) = (ln x) 1000 i d(x) = (cos x) π kao kompozicije po dviju funkcija!

Opišite funkcije zadane formulama a(x) = (e x ) 3, b(x) = (sin x) 2 = sin x sin x, c(x) = (ln x) 1000 i d(x) = (cos x) π kao kompozicije po dviju funkcija! Što im je zajedničko?

Opišite funkcije zadane formulama a(x) = (e x ) 3, b(x) = (sin x) 2 = sin x sin x, c(x) = (ln x) 1000 i d(x) = (cos x) π kao kompozicije po dviju funkcija! Što im je zajedničko? Radi se o kompozicijama nekih elementarnih funkcija s potenciranjem na fiksnu potenciju, tj. o funkcijama oblika f k (gdje je f neka funkcija, a broj k konstanta). Temeljem izračunatih derivacija za a i b probajte zaključiti kakvo je pravilo za deriviranje funkcija tipa f k : (f k (x)) =

Opišite funkcije zadane formulama a(x) = (e x ) 3, b(x) = (sin x) 2 = sin x sin x, c(x) = (ln x) 1000 i d(x) = (cos x) π kao kompozicije po dviju funkcija! Što im je zajedničko? Radi se o kompozicijama nekih elementarnih funkcija s potenciranjem na fiksnu potenciju, tj. o funkcijama oblika f k (gdje je f neka funkcija, a broj k konstanta). Temeljem izračunatih derivacija za a i b probajte zaključiti kakvo je pravilo za deriviranje funkcija tipa f k : (f k (x)) = k f k 1 (x) f (x).

Opišite funkcije zadane formulama a(x) = (e x ) 3, b(x) = (sin x) 2 = sin x sin x, c(x) = (ln x) 1000 i d(x) = (cos x) π kao kompozicije po dviju funkcija! Što im je zajedničko? Radi se o kompozicijama nekih elementarnih funkcija s potenciranjem na fiksnu potenciju, tj. o funkcijama oblika f k (gdje je f neka funkcija, a broj k konstanta). Temeljem izračunatih derivacija za a i b probajte zaključiti kakvo je pravilo za deriviranje funkcija tipa f k : (f k (x)) = k f k 1 (x) f (x). Derivirajte funkciju zadanu formulom h(x) = ln x 2 koristeći samo osnovnu tablicu i linearnost deriviranja:

Opišite funkcije zadane formulama a(x) = (e x ) 3, b(x) = (sin x) 2 = sin x sin x, c(x) = (ln x) 1000 i d(x) = (cos x) π kao kompozicije po dviju funkcija! Što im je zajedničko? Radi se o kompozicijama nekih elementarnih funkcija s potenciranjem na fiksnu potenciju, tj. o funkcijama oblika f k (gdje je f neka funkcija, a broj k konstanta). Temeljem izračunatih derivacija za a i b probajte zaključiti kakvo je pravilo za deriviranje funkcija tipa f k : (f k (x)) = k f k 1 (x) f (x). Derivirajte funkciju zadanu formulom h(x) = ln x 2 koristeći samo osnovnu tablicu i linearnost deriviranja: (ln x 3 ) = (3 ln x) = 3(ln x) = 3 x. Što zaključujete, je li (ln f (x)) = 1 f (x)?

Opišite funkcije zadane formulama a(x) = (e x ) 3, b(x) = (sin x) 2 = sin x sin x, c(x) = (ln x) 1000 i d(x) = (cos x) π kao kompozicije po dviju funkcija! Što im je zajedničko? Radi se o kompozicijama nekih elementarnih funkcija s potenciranjem na fiksnu potenciju, tj. o funkcijama oblika f k (gdje je f neka funkcija, a broj k konstanta). Temeljem izračunatih derivacija za a i b probajte zaključiti kakvo je pravilo za deriviranje funkcija tipa f k : (f k (x)) = k f k 1 (x) f (x). Derivirajte funkciju zadanu formulom h(x) = ln x 2 koristeći samo osnovnu tablicu i linearnost deriviranja: (ln x 3 ) = (3 ln x) = 3(ln x) = 3 x. Što zaključujete, je li (ln f (x)) = 1 f (x)? Koja je pravilna formula?

Opišite funkcije zadane formulama a(x) = (e x ) 3, b(x) = (sin x) 2 = sin x sin x, c(x) = (ln x) 1000 i d(x) = (cos x) π kao kompozicije po dviju funkcija! Što im je zajedničko? Radi se o kompozicijama nekih elementarnih funkcija s potenciranjem na fiksnu potenciju, tj. o funkcijama oblika f k (gdje je f neka funkcija, a broj k konstanta). Temeljem izračunatih derivacija za a i b probajte zaključiti kakvo je pravilo za deriviranje funkcija tipa f k : (f k (x)) = k f k 1 (x) f (x). Derivirajte funkciju zadanu formulom h(x) = ln x 2 koristeći samo osnovnu tablicu i linearnost deriviranja: (ln x 3 ) = (3 ln x) = 3(ln x) = 3 x. Što zaključujete, je li (ln f (x)) = 1 f (x)? Koja je pravilna formula? (ln f (x)) = f (x) f (x).

Opišite funkcije zadane formulama a(x) = (e x ) 3, b(x) = (sin x) 2 = sin x sin x, c(x) = (ln x) 1000 i d(x) = (cos x) π kao kompozicije po dviju funkcija! Što im je zajedničko? Radi se o kompozicijama nekih elementarnih funkcija s potenciranjem na fiksnu potenciju, tj. o funkcijama oblika f k (gdje je f neka funkcija, a broj k konstanta). Temeljem izračunatih derivacija za a i b probajte zaključiti kakvo je pravilo za deriviranje funkcija tipa f k : (f k (x)) = k f k 1 (x) f (x). Derivirajte funkciju zadanu formulom h(x) = ln x 2 koristeći samo osnovnu tablicu i linearnost deriviranja: (ln x 3 ) = (3 ln x) = 3(ln x) = 3 x. Što zaključujete, je li (ln f (x)) = 1 f (x)? Koja je pravilna formula? (ln f (x)) = f (x) f (x). Potpitanje: Koja je domena derivacije funkcije h?

Lančano pravilo Općenito, pravilo za deriviranje kompozicije funkcija glasi (g f ) (x) = g (y) f (x), gdje je y = f (x). To se pravilo često piše u obliku (g f ) (x) = g (f (x)) f (x). Derivirajte f (x) = sin cos sin x!

Lančano pravilo Općenito, pravilo za deriviranje kompozicije funkcija glasi (g f ) (x) = g (y) f (x), gdje je y = f (x). To se pravilo često piše u obliku (g f ) (x) = g (f (x)) f (x). Derivirajte f (x) = sin cos sin x! U poglavlju o općoj potenciji susreli smo se s funkcijom zadanom formulom f (x) = x 1/x. U koji tip elementarnih funkcija ona spada?

Lančano pravilo Općenito, pravilo za deriviranje kompozicije funkcija glasi (g f ) (x) = g (y) f (x), gdje je y = f (x). To se pravilo često piše u obliku (g f ) (x) = g (f (x)) f (x). Derivirajte f (x) = sin cos sin x! U poglavlju o općoj potenciji susreli smo se s funkcijom zadanom formulom f (x) = x 1/x. U koji tip elementarnih funkcija ona spada? Kako biste ju derivirali pomoću lančanog pravila?

Lančano pravilo Općenito, pravilo za deriviranje kompozicije funkcija glasi (g f ) (x) = g (y) f (x), gdje je y = f (x). To se pravilo često piše u obliku (g f ) (x) = g (f (x)) f (x). Derivirajte f (x) = sin cos sin x! U poglavlju o općoj potenciji susreli smo se s funkcijom zadanom formulom f (x) = x 1/x. U koji tip elementarnih funkcija ona spada? Kako biste ju derivirali pomoću lančanog pravila? (x 1/x ) = (e 1 x ln x ) = e 1 x ln x ( 1 x ln x ) = x 1/x 1 ln x x 2.

Logaritamsko deriviranje Ako prvo logaritmiramo f, što dobijemo?

Logaritamsko deriviranje Ako prvo logaritmiramo f, što dobijemo? ln f (x) = ln x x. Koliko iznosi derivacija od ln f (x)?

Logaritamsko deriviranje Ako prvo logaritmiramo f, što dobijemo? ln f (x) = ln x x. Koliko iznosi derivacija od ln f (x)? (ln f (x)) = 1 ln x x 2. Kakva je veza te derivacije s derivacijom funkcije f?

Logaritamsko deriviranje Ako prvo logaritmiramo f, što dobijemo? ln f (x) = ln x x. Koliko iznosi derivacija od ln f (x)? (ln f (x)) = 1 ln x x 2. Kakva je veza te derivacije s derivacijom funkcije f? (ln f (x)) = f (x)/f (x), odnosno f (x) = f (x) (ln f (x)). Odredivanje derivacije funkcije tako da ju prvo logaritmiramo, pa onda deriviramo logaritmiranu funkciju, zove se logaritamsko deriviranje.

Navedite par medusobno inverznih bijekcija!

Navedite par medusobno inverznih bijekcija! Varijablu jedne od njih označite s x, a druge s y. Sad derivirajte te funkcije. Možete li što zaključiti od vezi tih derivacija?

Navedite par medusobno inverznih bijekcija! Varijablu jedne od njih označite s x, a druge s y. Sad derivirajte te funkcije. Možete li što zaključiti od vezi tih derivacija? f (x) = e x, f (x) = e x, g(y) = ln y, g (y) = 1 y,

Navedite par medusobno inverznih bijekcija! Varijablu jedne od njih označite s x, a druge s y. Sad derivirajte te funkcije. Možete li što zaključiti od vezi tih derivacija? f (x) = e x, f (x) = e x, g(y) = ln y, g (y) = 1 y, g = f 1, g(f (x)) = x, y = f (x),

Navedite par medusobno inverznih bijekcija! Varijablu jedne od njih označite s x, a druge s y. Sad derivirajte te funkcije. Možete li što zaključiti od vezi tih derivacija? f (x) = e x, f (x) = e x, g(y) = ln y, g (y) = 1 y, g = f 1, g(f (x)) = x, y = f (x), (g f ) (x) = g (f (x)) f (x),

Navedite par medusobno inverznih bijekcija! Varijablu jedne od njih označite s x, a druge s y. Sad derivirajte te funkcije. Možete li što zaključiti od vezi tih derivacija? f (x) = e x, f (x) = e x, g(y) = ln y, g (y) = 1 y, g = f 1, g(f (x)) = x, y = f (x), (g f ) (x) = g (f (x)) f (x), 1 = g (y) f (x),

Navedite par medusobno inverznih bijekcija! Varijablu jedne od njih označite s x, a druge s y. Sad derivirajte te funkcije. Možete li što zaključiti od vezi tih derivacija? f (x) = e x, f (x) = e x, g(y) = ln y, g (y) = 1 y, g = f 1, g(f (x)) = x, y = f (x), (g f ) (x) = g (f (x)) f (x), 1 = g (y) f (x), (f 1 ) (y) = 1 f (x), za x D f, y D f 1 = K f. Npr. 1 y = 1 e x.

Izvedimo pravilo za derivaciju arkus-tangensa. Kojoj je on funkciji inverzna funkcija?

Izvedimo pravilo za derivaciju arkus-tangensa. Kojoj je on funkciji inverzna funkcija? arctg = Tg 1.

Izvedimo pravilo za derivaciju arkus-tangensa. Kojoj je on funkciji inverzna funkcija? arctg = Tg 1. Koja je domena od Tg?

Izvedimo pravilo za derivaciju arkus-tangensa. Kojoj je on funkciji inverzna funkcija? arctg = Tg 1. Koja je domena od Tg? A od arctg?

Izvedimo pravilo za derivaciju arkus-tangensa. Kojoj je on funkciji inverzna funkcija? arctg = Tg 1. Koja je domena od Tg? A od arctg? Uvrstite te funkcije u formulu (f 1 ) (y) = 1 f (x) i zabilježite na koje x i y se ona odnosi.

Izvedimo pravilo za derivaciju arkus-tangensa. Kojoj je on funkciji inverzna funkcija? arctg = Tg 1. Koja je domena od Tg? A od arctg? Uvrstite te funkcije u formulu (f 1 ) (y) = 1 f (x) i zabilježite na koje x i y se ona odnosi. (arctg y) = 1 1/ cos 2 x = cos2 x, x π 2, π 2, y R Imate li ideju kako desnu stranu formule preoblikovati u oblik koji sadrži (samo) varijablu y?

Izvedimo pravilo za derivaciju arkus-tangensa. Kojoj je on funkciji inverzna funkcija? arctg = Tg 1. Koja je domena od Tg? A od arctg? Uvrstite te funkcije u formulu (f 1 ) (y) = 1 f (x) i zabilježite na koje x i y se ona odnosi. (arctg y) = 1 1/ cos 2 x = cos2 x, x π 2, π 2, y R Imate li ideju kako desnu stranu formule preoblikovati u oblik koji sadrži (samo) varijablu y? tg x = sin x cos x = ± 1 cos 2 x, tg 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x, cos x

Izvedimo pravilo za derivaciju arkus-tangensa. Kojoj je on funkciji inverzna funkcija? arctg = Tg 1. Koja je domena od Tg? A od arctg? Uvrstite te funkcije u formulu (f 1 ) (y) = 1 f (x) i zabilježite na koje x i y se ona odnosi. (arctg y) = 1 1/ cos 2 x = cos2 x, x π 2, π 2, y R Imate li ideju kako desnu stranu formule preoblikovati u oblik koji sadrži (samo) varijablu y? tg x = sin x cos x = ± 1 cos 2 x, tg 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x, cos x cos 2 x = 1 1 + tg 2 x, cos x = 1 ± 1 + tg 2 x. Koji predznak treba uzeti u nazivniku?

Izvedimo pravilo za derivaciju arkus-tangensa. Kojoj je on funkciji inverzna funkcija? arctg = Tg 1. Koja je domena od Tg? A od arctg? Uvrstite te funkcije u formulu (f 1 ) (y) = 1 f (x) i zabilježite na koje x i y se ona odnosi. (arctg y) = 1 1/ cos 2 x = cos2 x, x π 2, π 2, y R Imate li ideju kako desnu stranu formule preoblikovati u oblik koji sadrži (samo) varijablu y? tg x = sin x cos x = ± 1 cos 2 x, tg 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x, cos x cos 2 x = 1 1 + tg 2 x, cos x = 1 ± 1 + tg 2 x. Koji predznak treba uzeti u nazivniku? (arctg y) = cos 2 1 x = 1 + tg 2 x = 1 za sve y R. 1 + y 2

f : I R, c I : f (c), ḟ (c), df dx (c)

f : I R, c I : f (c), d(y + z) dx d(yz) dx d y dx ḟ (c), df dx (c) = dy dx + dz dx, = z dy dx + y dz dx, z = z dy dz dx = dz dy dx y dz dx z 2, dy dx, dy dx = 1. dy dx

f : I R, c I : Koliko iznosi f (c), d(y + z) dx d(yz) dx d y dx ḟ (c), df dx (c) = dy dx + dz dx, = z dy dx + y dz dx, z = z dy dz dx = dz dy dx y dz dx z 2, dy dx, dy dx = 1. dy dx dx 2 dexp(x)?