VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič

VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva Martin Raič OSNUTEK

Kazalo 1. Ponovitev 2 2. Ravninska in prostorska geometrija 5 3. Linearna algebra 7 4. Ponavljanje pred kolokvijem 8

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO) 2 1. Ponovitev Množice. Izjavna logika. Kombinatorika. Trigonometrija.(3 ure) 1. Dane so naslednje izjave: A : 1jenaravnoštevilo. B : 1 1 C : 1 < 1 D : 1 = 2 Katereodnaslednjihizjavsopravilne: A, B, C, D, A B, A C, C D, A B, A C, C D, A B, A C, C A, C D, A B, B C, C D? 2.Danistamnožici A = {1,2,3,4,5}in B = {2,4,6,8,10}.Zapišinaslednjemnožice: C := A B D := A B E := A\B F := B \A G := {x A;x > 3} H := {x A;x > 5} I := {x A;5 x} Katere od prej definiranih množic so si podmnožice? 3.Danesoistemnožicekotvprejšnjinalogi,polegtegapašenaslednjipredikati: P(x) : xjedeljivs5 Q(x) : x > 4 R(x) : x > 5 Katere od naslednjih izjav so pravilne: S(x) : xjesodoštevilo ( x A)S(x) ( x B)S(x) ( x H)S(x) ( x A)S(x) ( x B)S(x) ( x H)S(x) ( x A)R(x) ( x A)P(x) Q(x) ( x B)P(x) Q(x) ( x A)Q(x) P(x) ( x B)Q(x) P(x) ( x A)P(x) Q(x) ( x B)P(x) Q(x) 4.Danajemnožica A = {1,3,5}.Določite A c,čeje U = {1,2,3,4,5}. 5.Katereodnaslednjihizjavsopravilne: 3 [2,4],5 [2,4],2 [2,4],2 (2,4],2 (,2]? 6.Nakolikonačinovlahkodamo3knjigev5torb,čeniomejitevinsovseknjigein torberazlične?kajpa,čegrestaprvidveknjigilevprvidvetorbi,zadnjapalev zadnje tri? Za ta primer zapišite vse možnosti.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO) 3 7.Nakolikonačinovlahkoizkupa13različnihkartizvlečemo4karte: a)čejevrstniredpomembeninkartevračamo? b)čejevrstniredpomembeninkartnevračamo? c)čevrstnirednipomembeninkartnevračamo? Kako je ta naloga povezana s prejšnjo? 8. Na koliko načinov lahko sestavimo posadimo drevored iz treh kostanjev, petih platan in dveh topolov? Posameznih dreves iste vrste med seboj ne ločimo. 9. Na koliko načinov lahko razvrstimo šest otrok(ki jih razločujemo) na vrtiljak s šestimisedeži(kijihločimolegledenanjihovomedsebojnolego)? Kajpana vrtiljak z desetimi sedeži? Na vsak sedež gre največ en otrok. sin 2 x+cos 2 x = 1 sin ( π 2 x) = cosx 10.Narišiteenotskikroginnanjemoznačitekote 0, π 6, π 4, π 3, π 2, 2π 3, π, 3π 2, 11π 6, π 6 in π 2.Kakosetikotiizražajovstopinjah?Kateriizmedtehkotovsovpadajo? 11. Za kote iz prejšnje naloge tabelirajte funkcije sin, cos, tg in ctg ter narišite njihove grafe! sin(x±π) = sinx sin(x±2π) = sinx sin( x) = sinx cos(x±π) = cosx cos(x±2π) = cosx cos( x) = cosx tg(x±π) = tgx tg(x±2π) = tgx tg( x) = tgx ctg(x±π) = ctgx ctg(x±2π) = ctgx ctg( x) = ctgx 12.Zuporabozgornjihformulizračunajte sin ( ) 5π 6, cos(660 ), tg( 600 )in ctg(2003π). Čeje π 2 α π 2 in 1 x 1,velja: sinα = x α = arcsinx 13.Gledena αrešiteenačbo sinα = x,kjerje x = 0,± 1 2 arcsin. in ±1.Narišitegraffunkcije

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO) 4 Čeje 0 α πin 1 x 1,velja: cosα = x α = arccosx 14.Gledena αrešiteenačbo cosα = x,kjerje x = 0,± 1 2 arccos. in ±1.Narišitegraffunkcije Čeje π 2 α π 2 in x R,velja: tgα = x α = arctgx 15.Gledena αrešiteenačbo ctgα = x,kjerje x = 0in ±1.Narišitegraffunkcije arctg. Čeje 0 α πin x R,velja: ctgα = x α = arcctgx 16.Gledena αrešiteenačbo ctgα = x,kjerje x = 0in ±1. Narišitegraffunkcije arcctg.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO) 5 2. Ravninska in prostorska geometrija Geometrijsko seštevanje in odštevanje vektorjev. Skalarni produkt, kot med vektorjema, pravokotnost. Vektorski produkt, ploščina prostorskega trikotnika in paralelograma. Mešani produkt, prostornina piramide in paralelepipeda. Kolinearnost in komplanarnost. Ravnina v prostoru. Najosnovnejše o premici.(4 ure) 1. Dan je pravilni šesterokotnik ABCDEF. Izrazite vektorje CD, BF, BA, BCin ADzvektorjema a := AFin b := AB. Skalarni produkt geometrijska in računska definicija. 2.Določitekoteprostorskegatrikotnikazoglišči A(1,1,1), B(5,3,5)in C(4,1,7). 3.Danastaenotskavektorjema ain b,pričemerjevektor a+3 bpravokotennavektor 2 a b.določitekotmed ain b. Vektorski produkt geometrijska in računska definicija. 4.Danjeparalelogram ABCDzoglišči A(1,1,1), B(5,3,5)in C(4,1,7). Določite oglišče D ter izračunajte ploščini trikotnika ABC in paralelograma ABCD. 5.Dokažite,davvsakemparalelogramu ABCDvelja AB BC = AB AD. Mešani produkt geometrijska in računska definicija. 6.Izračunajte prostornino piramide z oglišči A(0,1,0), B(2,1,2), C(3,1,1) in D( 2,2,3). 7. Izračunajte prostornino pravilnega oktaedra s stranico a. Namig: Koordinatni sistem postavite tako, da bodo oglišča oktaedra na njegovih oseh. Kolinearnost: vektorji so kolinearni, če ležijo na isti premici. Računska karakterizacija:vektorja ain bstakolinearna,čeobstajatak k R,daje a = k b, alipatak l R,daje b = l a. Večvektorjevjekolinearnih,česobodisivsi ničelni ali pa so vsi večkratnik kakega(vsakega) neničelnega med njimi. 8. Katere družine vektorjev so kolinearne: a) (1, 2,3)in ( 2,4,5); b) (6,12,15), ( 4, 8, 10), (10,20,25)in (0,0,0)? 9.Določite x, y, uin vtako,dabodovektorji(x,2,4), (0,y,6)in (u,v, 24)kolinearni.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO) 6 Komplanarnost: vektorji so komplanarni, če ležijo na isti ravnini. Računska karakterizacija: vektorji a, bin csokomplanarni, čeje [ a, b, c] = 0. Več vektorjev je komplanarnih, če so vsi kolinearni ali pa je mešani produkt nekih (poljubnih) dveh nekolinearnih vektorjev s poljubnim tretjim vektorjem med njimi enak 0. 10.Določite xtako,dabodovektorji (1,1,3), (2, 1,5)in (5, 1,x)komplanarni. Vektorska in koordinatna enačba ravnine. 11.Poiščiteravnino,nakateriležijotočke A(0,1, 1), B(1,2,0)in C(2,2, 1). 12.Poiščiteravnino,kigreskozitočko T(0,1,1)injevzporednaravnini x y z = 0. 13.Kakšenobjektvprostorujemnožicatočk {(t,2t,3t + 7); t R}? Določitenjen presekzravnino x+2y +z = 3. 14.Poiščitepravokotniprojekcijitočk A( 3,3, 1)in B(1,7, 3)naravnino 2x+2y z = 1.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO) 7 3. Linearna algebra Matrike. Množenje in transponiranje matrik. Identična in inverzna matrika. Obračanje matrik 2 2. Rangmatrike. LinearnaneodvisnostvektorjevvR n. Baza. Sistemilinearnihenačb. Gauss Jordanova metoda obračanja matrik. x 1 x 2 (x 1,x 2,...x n ) =. = [x 1,x 2,...x n ] T x n 1. Dani sta matriki: 1 2 A = 1 3 in B = 2 0 [ ] 0 1 2 2 2 0 inševektorja u = [1, 2] T in v = [1,2,3] T.Izračunajtetisteodvektorjevinmatrik Au, Av, Bu, Bv, AB, BA, AA T, A T A, AB T in BA T,kiobstajajo. 2.Danesomatrike A, Bin C,zakaterevelja AB = BC.Matrika Aima144,matrika Bpa36elementov.Določitedimenzijematrik A, Bin C. Identična in inverzna matrika. Inverz matrike 2 2. 3. Dane so matrike: A = [ ] 3 2 8 5 1 2, B = 0 3 in C = 1 5 [ ] 4 2 2 3 1 3 Izračunajte A 1 terpoiščitematrike X, X, Y in Y,zakaterevelja AX = B, AY = C, X A = Bin Y B = C(čeobstajajo). 4. Dana je matrika: A = [ ] 1 1 0 0 Poiščitevsematrike X,zakaterevelja AX = A 2.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO) 8 4. Ponavljanje pred kolokvijem 1.Poiščitekotmedravninama x y +z = 42in 2x+y +2z = 24. 2. Dana je matrika: Določite a, bin c,takodabo B 1 = B T. 0 0 1 B = a b 0 0 c 0 3.Izračunajterangmatrike [a ij ] 4 4,podanepopredpisu a ij = i+j ij.