SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu. Moramo da napravimo da osan samo jdna npoznaa! d 7 d d 5 d 7 5 7 5 prvo uvdmo oznak i da bi lakš radili...naravno da j i iz prv jdnačin izrazimo 7, a nju difrniramo sad zamnimo u prvu jdnačinu, a i ovo šo smo izrazili 7 7 5 7 5 7 5 7 7 55 7 7 7 0 oarasili smo s od, pa sad radimo kao d.j. drugog rda, dakl prvo karakrisičnu jdnačinu 7 0 ± i i, i, Da vas podsimo malo orij iz ovog dla...
LINEARNA HOMOGENA D.J. SA KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA a a o Njoj najpr pridružujmo karakrisičnu jdnačinu: 0 a a U zavisnosi od ršnja karakrisičn jdnačin razlikujmo ri slučaja: i su ralna i različia, onda j : i su ralna i jdnaka ršnja, onda j : i su konjugovano komplksni brojvi : abi, a-bi, onda j : a osb a b Pošo su naša ršnja i i,, očigldno j a - i b, pa j ršnj: os Da nađmo sada. Vć smo izrazili 7 ali ovd rba, pa ćmo dobijno ršnj po difrnirai i o zamnii u ovo. os os os zamnimo u 7 os os 7 os os os 7 7 os os os os os Dakl, konačno ršnj j : os os os
. Rši sism jdnačina: d d d d Ršnj: n zaboravimo: i Kao i malopr, prvu jdnačinu ćmo difrnirai, i zamnii iz drug jdnačin. Y moramo izrazii iz prv i o zamnii u. srdimo... ovo j nhomogna linarna d.j. podsi s... 0 0, 4, ± pa j homogno ršnj po jdnako: H Sada imamo opij: Modu varijaij konsanaa ili modu nodrđnih kofiijnaa. Mislimo da j boljlakš ići na nodrđn kofiijn. X A B X A Ovo zamnimo u X 0
- A AB - A A-B -A A-B pa j odavd -A i -A-B pa j A i B, o js X Dakl : j ršnj po Kako j, naći ćmo izvod od i o zamnii u. [ - - ] srdimo... Dakl, konačno ršnj j :. Rši sism jdnačina: z d z d d 4
Ršnj: z z 4 z ovd j zz i Izrazimo z iz prv jdnačin z z Difrnirajmo prvu jdnačinu: z i zamnimo ovd z i z 4 z 4 z 4 4 srdimo... 5 ovo j nhomogna linarna d.j. drugog rda 0 0 ± 0,, H našli smo homogno ršnj, op biramo modu nodrđnih kofiijnaa Y AB Y A ovo mnjamo u 5 Y 0 0 A A B 5 A A B 5 pa j odavd A 5 i AB, o js A 5 i B - Y AB pa j Y 5-, vraimo s u homogno ršnj H Y 5 dobili smo ršnj po, sad da nađmo po z, ali najpr da nadjmo izvod od 5 zamnimo u z z 5-5 srdimo z 4 dobili smo ršnj po z
dakl, konačno ršnj j : 5 z 4 4. Rši sism jdnačina: d z d d z d d Ršnj: z z z Naravno i ovd j, i z z Prvu jdnačinu ćmo difrnirai: z i u zamnii i z, dakl : z z z, a pošo j z o j odnosno - - 0 - - 0 ovo j homogna linarna d.j. drugog rda 0 karakrisična jdnačina ±,, pa j ršnj po : Sada ražimo ršnja po i po z.vraimo s na počni sism: z z z Oduzmimo od rć prvu jdnačinu! z - z Ovd ćmo zamnii sa onim šo smo izračunali dobijamo i a kad nađmo izvod od ovoga
z - z zamnimo i z - - z ovo malo prisrdimo... z z Ovo j linarna d.j. po z z d q d p d p d d p z d z d Tako smo dobili i ršnj po z : z Još da nađmo ršnj po! z ovo naravno ingralimo da bi dobili [ ]d Dakl Konačno j : z
5. Rši sism jdnačina: 4 os i nađi ršnj za koj j 0 4 i 0 Ršnj: Najpr ćmo iz prv jdnačin izrazii : 4 os os 4 os 4 Sada ćmo difrnirai prvu jdnačinu iz sisma: 4 os 4 ovd zamnimo - -4 - - - 4 4 8 - zamnimo os - - 4 4 8 - srdimo... 4 os difrniramo os d os os op difrniramo os d os Dakl, našli smo os Da bi našli, poći ćmo od os 4 os [ os - os - os] srdimo... 4 4 4 8
Dobili smo opš ršnj: os 8 4 Da nađmo ono koj zadovoljava uslov: 0 4 i 0 4 0 os0 0 odavd j očigldno 4 4 8 0 0 odavd dobijamo Tražno ršnj koj zadovoljava da uslov j : os 4 8 SIMETRIČNI OBLIK. Nalažnjm prvih ingrala rši sism: d z d z Ršnj: Uzćmo prva dva člana ov jdnakosi: d d očigldno možmo sv pomnožii sa z z z d d ingralimo
d d pa j ln ln ln odnosno ln ln a odavd j o js pa j prvi prvi ingral. Dakl j prvi prvi ingral. U vćini zadaaka nij ško naći prvi prvi ingral, ali kod drugog prvog ingrala nasaju problmi... Uvk ima opiju da iz dobijnog ršnja izrazi jdnu npoznau i o zamni u počnu dau jdnačinu. Mož probai da prko nkog rika olakša sbi posao...rimo za naš primr : d z d z d Idja j da prvom članu jdnakosi dodamo i gor i dol,a drugom članu z d Sabrmo sad prva dva člana jdnakosi z d d z d d možmo zapisai kao d d d d z sv pomnožimo sa d z odavd j d -z pa kad o ingralimo, dobijamo -z odakl j z a o j ražni drugi prvi ingral Ršnj j dakl: prvi prvi ingral z drugi prvi ingral Ov dv rlaij dfinišu opši ingral sisma!
. Nalažnjm prvih ingrala rši sism: d z d z Ršnj: Sabraćmo prva dva člana jdnakosi: d d sv pomnožimo sa - d d ovo ingralimo z odavd j z vo ga prvi prvi ingral Izrazimo odavd z i o zamnimo u prva dva člana jdnakosi d z d z d d oslobodimo s zagrada i prisrdimo... d d napravimo mal izmn... d d odnosno pa j odavd j a ovo j linarna d.j. prvog rda p d q p d d ln p d d p d p d q d ln d Dakl: vraimo ovd da j z i srdimo
z z z z z z odavd izrazimo z z o js z z j drugi prvi ingral Rlaij koj dfinišu opši ingral sisma su : z prvi prvi ingral z z drugi prvi ingral Nćmo vas viš ovd mučii sa sismima u simričnom obliku jr s parijaln difrnijaln jdnačin rad prko ovakvih sisma, pa ćmo u uvrdii gradivo.