ODABRANA POGLAVLjA ALGEBARSKE TOPOLOGIJE (Doma i zadaci)

ODABRANA POGLAVLjA ALGEBARSKE TOPOLOGIJE (Domai zadaci) 1. (a) Neka je {A α } familija Abelovih grupa, B Abelova grupa i f α : A α B, α A, homomorfizmi. Oznaqimo sa f α : ( ) A α B homomorfizam dat sa f α (a) = f α (a α ), a A α. ( Ako je G proizvoljna Abelova grupa i Φ : Hom ) A α, G Hom(A α, G) kanonski izomorfizam ( ) (konstruisan na predavanjima), dokazati da je Φ f α = fα, tj. da komutira levi dijagram na narednoj slici. ( ) f α ( ) Hom(B, G) Hom A α, G f Φ α Hom(A α, G) (f,g) Hom(B C, G) Hom(A, G) Φ f +g Hom(B, G) Hom(C, G) (b) Neka su A, B i C Abelove grupe, a f : A B i g : A C homomorfizmi. Ako je G proizvoljna Abelova grupa i Φ : Hom(B C, G) Hom(B, G) Hom(C, G) kanonski izomorfizam, dokazati da je (f + g ) Φ = (f, g), tj. da komutira desni dijagram na prethodnoj slici. 2. Neka je R komutativan prsten (s jedinicom). Ako je M slobodan R-modul ranga 1 (tj. slobodan cikliqan R-modul) i {m 0 } jedna njegova baza, onda pixemo M = R m 0. (a) Neka je M R-modul i m 0 M. Dokazati da je M = R m 0 ako i samo ako postoji izomorfizam R-modula φ : R M takav da je φ(1) = m 0 (spoljno mnoжenje u R-modulu R je definisano pomou unutraxnjeg mnoжenja u prstenu R: rs := r s, r, s R). (b) Ako su M i N slobodni cikliqni R-moduli i f Hom R (M, N), dokazati da su sledea qetiri uslova međusobno ekvivalentna: (1) f je epimorfizam; (2) f je izomorfizam; (3) ako je M = R m 0, onda je N = R f(m 0 ) ; (4) Hom R (M, N) = R f. 3. Neka je A Abelova grupa. Za proizvoljne Abelove grupe G i H i homomorfizam φ : G H, definisati homorfizam : Ext(A, G) Ext(A, H) tako da Ext(A, ) bude kovarijantan, desno-taqan funktor iz kategorije Abelovih grupa i homomorfizama u tu istu kategoriju. Ako je jox i α : A B homomorfizam Abelovih grupa, dokazati da je α = α, tj. da komutira dijagram na sledeem crteжu. Ext(B, G) Ext(B, H) α Ext(A, G) Ext(A, H) α 4. Dokazati prirodnost kratkog taqnog niza iz teoreme o univerzalnim koeficijentima,,po grupi koeficijenata. Preciznije, ako je C lanqasti kompleks slobodnih Abelovih grupa, φ : G H homomorfizam Abelovih grupa i n Z, dokazati da komutiraju oba kvadrata na narednom dijagramu. 1

0 Ext(H n 1 (C), G) l κ H n (C; G) Hom(H n (C), G) 0 0 Ext(H n 1 (C), H) l H n κ (C; H) Hom(H n (C), H) 0 5. Neka je C lanqasti kompleks Abelovih grupa, n Z i R komutativan prsten s jedinicom. Neka je ϵ : H n (C) R H n (C; R) homomorfizam R-modula dat sa ϵ([τ] 1) = [τ 1], gde je τ C n proizvoljan cikl (ovaj homomorfizam se javlja u teoremi o univerzalnim koeficijentima za homologiju). Ako je θ : H n (C) H n (C) R dato sa θ(x) = x 1, x H n (C), zna se da je Ψ : Hom R (H n (C) R, R) Hom(H n (C), R), definisano sa Ψ(f) = f θ, izomorfizam. (a) Dokazati da komutira dijagram na sledeem crteжu, gde su κ i κ R odgovarajui Kronekerovi homomorfizmi. κ H n (C; R) Hom(H n (C), R) κ R Ψ Hom R (H n (C) R, R) ϵ Hom R (H n (C; R), R) (b) Ako je C lanqasti kompleks slobodnih Abelovih grupa i ako je homoloxka grupa H n 1 (C) slobodna, dokazati da je κ R : H n (C; R) Hom R (H n (C; R), R) izomorfizam. 6. Neka je X proizvoljan, Y putno povezan prostor i f : X Y neprekidno preslikavanje. (a) Ako je f : H 0 (X) H 0 (Y ), dokazati da je ker f = H 0 (X). (b) Ako je G Abelova grupa i f : H 0 (X; G) H 0 (Y ; G), dokazati da je ker f = H 0 (X; G). (v) Ako je G Abelova grupa i f : H 0 (Y ; G) H 0 (X; G), dokazati da je coker f = H 0 (X; G). 7. Formulisati i dokazati svojstvo prirodnosti Majer-Vijetorisovog niza. 8. Neka je X putno povezan prostor i R komutativan prsten (s jedinicom). (a) Oznaqimo sa γ : H 0 (X) Z kanonski izomorfizam, dat sa γ[x] = 1, gde je x X proizvoljna taqka, viđena kao singularni 0-simpleks u prostoru X; sa Ψ : R Hom(Z, R) kanonski izomorfizam, dat sa Ψ(r)(1) = r, r R; i sa κ : H 0 (X; R) Hom(H 0 (X), R) Kronekerov izomorfizam. Dokazati da pri (kanonskom) izomorfizmu k : H 0 (X; R) R, datom kao sledea kompozicija H 0 (X; R) κ Hom(H 0 (X), R) Hom(Z, R) Ψ R, γ jedinici u H 0 (X; R) (neutralu za,,kap proizvod) odgovara jedinica u prstenu R (k(1) = 1). (b) Dokazati da se, pomou kanonskog izomorfizma k,,,kap proizvod H 0 (X; R) H 0 (X; R) H 0 (X; R) svodi na mnoжenje u prstenu R, a,,kap proizvod H 0 (X; R) H n (X; R) H n (X; R) (n N 0 ) na mnoжenje skalarom u R-modulu H n (X; R). 9. Neka je A X, i : A X inkluzija, R komutativan prsten i δ : H n (A; R) H n+1 (X, A; R) (n 0) povezujui homomorfizam iz dugog taqnog kohomoloxkog niza para (X, A). H n (X; R) i H n (A; R) δ H n+1 (X, A; R) Ako je x H (X; R) i a H (A; R), dokazati da je δ(a i x) = δ(a) x, gde taqka na levoj strani jednakosti oznaqava,,kap proizvod H (A; R) H (A; R) H (A; R), a taqka na desnoj,,kap proizvod H (X, A; R) H (X; R) H (X, A; R). Kakva je veza između klasa δ(i x a) i x δ(a)? 10. Ako je M g orijentabilna povrx roda g i R komutativan prsten, opisati kohomoloxku algebru H (M g ; R). (Za uputstvo, videti 1. zadatak kod Heqera na strani 228.)

11. Neka je X putno povezan prostor i R komutativan prsten takav da je graduisani R-modul H (X; R) slobodan i konaqnog tipa. (a) Ako je i Y putno povezan prostor, i 1 : X X Y utapanje dato sa i 1 (x) = (x, y 0 ), x X (za neko y 0 Y ) i sliqno, i 2 : Y X Y, i 2 (y) = (x 0, y), y Y (za neko x 0 X), dokazati da se svaka pozitivno-dimenziona klasa a H (X Y ; R) moжe predstaviti u obliku a = i 1(a) 1 + 1 i 2(a) + i a i a i, gde su a i H (X; R) i a i H (Y ; R) neke pozitivno-dimenzione klase (suma u ovoj jednakosti je konaqna, a moжe biti i prazna, tj. jednaka nuli). (b) Ako je X (slabi) H-prostor, uoqimo homomorfizam graduisanih R-algebri : H (X; R) H (X; R) R H (X; R) dat kao kompozicija H (X; R) µ H (X X; R) H (X; R) R H (X; R), gde je µ : X X X operacija H-prostora, a,,kros proizvod (koji je izomorfizam po Kinetovoj formuli). Dokazati da za svaku pozitivno-dimenzionu klasu α H (X; R) postoje pozitivno-dimenzione klase α i, α i H (X; R) takve da je (α) = α 1 + 1 α + i α i α i. Napomena: Tvrđenje (b) jedanaestog zadatka zapravo kazuje da je, pod navedenim uslovima, H (X; R) jedna (povezana) Hopfova algebra (otuda i slovo,,h u nazivu H-prostora). 12. Neka su X i Y putno povezani prostori s baznim taqkama x 0 X i y 0 Y takvim da su parovi (X, x 0 ) i (Y, y 0 ) dobri i neka je j : X Y X Y prirodno utapanje (j(x Y ) = X {y 0 } {x 0 } Y ). Ako je R komutativan prsten takav da je bar jedan od graduisanih R-modula H (X; R) i H (Y ; R) slobodan i konaqnog tipa, kao i da je H k (X; R) = 0 za sve k < m i H k (Y ; R) = 0 za sve k < n (m, n N), dokazati je j : H k (X Y ; R) H k (X Y ; R) izomorfizam za sve k < m + n. 13. Ako se kratak taqan niz Abelovih grupa 0 G H K 0 cepa, dokazati da je odgovarajui Bokxtajnov homomorfizam β : H n (C; K) H n+1 (C; G) trivijalan za sve lanqaste komplekse slobodnih Abelovih grupa C i sve n Z. 14. Ako je M n-mnogostrukost i K njen kompaktan podskup, dokazati da je grupa H n (M, M \K) torziono slobodna. 15. Neka je M n-mnogostrukost i U njen otvoren (neprazan) potprostor. (a) Ako je x µ x, x M, orijentacija mnogostrukosti M (dakle, za sve x M, µ x H n (M, M \ {x}) je odabrani generator), onda za x U i inkluziju l x : (U, U \ {x}) (M, M \ {x}) uoqimo klasu µ U x := (l x ) 1 (µ x ) H n (U, U \ {x}) ((l x ) je izomorfizam po teoremi o isecanju). Dokazati da je pridruжivanje x µ U x, x U, jedna orijentacija mnogostrukosti U. (b) Neka je K kompaktan podskup od U, l K : (U, U \ K) (M, M \ K) inkluzija i R neki komutativan prsten. Pretpostavimo jox da vaжi i sledei uslov: M je orijentisana ili R = Z 2 (ako je M orijentisana, onda se i U orijentixe na naqin opisan pod (a)). Ako su µ K H n (M, M \ K; R) i µ U K H n(u, U \ K; R) klase uvedene na predavanjima (za sve x K, restrikcija klase µ K na H n (M, M \ {x}; R) je odgovarajua klasa µ x i sliqno za µ U K ), dokazati da je (l K) (µ U K ) = µ K. 16. Dokazati da povezana orijentabilna mnogostrukost ima taqno dve orijentacije. 17. Neka je M zatvorena mnogostrukost dimenzije n. (a) Dokazati da M ima konaqno mnogo komponenata povezanosti i da je svaka od njih zatvorena mnogostrukost dimenzije n. (b) Dokazati da je M orijentabilna ako i samo ako je svaka njena komponenta orijentabilna. (v) Neka su M 1, M 2,..., M k sve komponente povezanosti od M, R komutativan prsten i neka vaжi sledei uslov: M je orijentisana ili R = Z 2 (ako je M orijentisana, onda se, na prirodan naqin, orijentixu i komponente M 1, M 2,..., M k ). Ako su [M] H n (M; R) i [M j ] H n (M j ; R), j = 1, k, odgovarajue fundamentalne klase i i j : M j M, j = 1, k, inkluzije, dokazati da je [M] = (i 1 ) [M 1 ] + (i 2 ) [M 2 ] + + (i k ) [M k ]. 18. Neka je {G α } usmeren sistem Abelovih grupa (ili opxtije, R-modula) i neka je A 0 A takav da za svako α A postoji β A 0 takvo da je α β. Dokazati da se struktura usmerenog sistema {G α }

prirodno prenosi na {G α } 0, kao i da je preslikavanje izomorfizam. Φ : lim G α lim G α, Φ[g] := [g], gde je g G α za neko α A 0, 0 19. Neka je A usmeren skup, {A α } i {B α } usmereni sistemi Abelovih grupa (ili opxtije, R- modula). Za α, β A takve da je α β, oznaqimo, redom, sa f α,β : A α A β i g α,β : B α B β odgovarajue homomorfizme u usmerenim sistemima {A α } i {B α }. Neka su jox C i D Abelove grupe (ili R- moduli) i ψ : C D homomorfizam. Pretpostavimo da za sve α A imamo homomorfizme φ α : A α B α, i α : A α C i j α : B α D takve da, kad god je α β za neka dva indeksa α, β A, sledei dijagram komutira. i α A α f α,β 55555555555 i β 5 C A β φ α φ β ψ B β B α j α j β D (Komutativnost levog trougla, zapravo, kazuje da homomorfizmi i α : A α C, α A, na osnovu jednog stava s predavanja, indukuju homomorfizam i : lim A α C (za α A i a A α, i[a] = i α (a)). Sliqno, komutativnost desnog trougla daje homomorfizam j : lim B α D. Komutativnost gornjeg trapeza predstavlja qinjenicu da je φ α : A α B α, α A, morfizam usmerenih sistema, dok komutativnost donjeg, u stvari, kazuje da za sve indekse α A komutira levi dijagram na sledeoj slici.) Dokazati da onda komutira i desni dijagram na sledeoj slici. g α,β A α φ α B α lim A α lim φ α lim B α i α j α i j C ψ D C ψ D 20. Neka je A usmeren skup, {A α } i {B α } usmereni sistemi Abelovih grupa (ili opxtije, R- modula) i φ α : A α B α, α A, morfizam između tih usmerenih sistema. Na prirodan naqin definisati usmeren sistem {coker φ α } i dokazati da je lim(coker φ α ) = coker(lim φ α ). 21. Neka je (X, A) topoloxki par, R komutativan prsten i k N 0. Ako je γ : H 0 (X; R) R kanonski epimorfizam R-modula (definisan na predavanjima) i, R : H k (X, A; R) H k (X, A; R) R Kronekerov indeks, dokazati da komutira naredni dijagram. H k (X, A; R) H k (X, A; R) H 0 (X; R), R γ R 22. Neka je X topoloxki prostor, A, B, C X njegovi otvoreni potprostori i R komutativan prsten. Ako su k, l, m N 0, a H k (X, A; R), b H l (X, B; R) i µ H k+l+m (X, A B C; R), dokazati da je a ako je jox i C = i m = 0, dokazati da je b (a µ) = (a b) µ, b, a µ R = a b, µ R.

23. (a) Neka je X topoloxki prostor i R komutativan prsten. Koristei identifikaciju H i c(x; R) = lim H i (X, X \ K; R), i N 0, za k, l N 0 definisati (bilinearan),,kap proizvod Hc k (X; R) H l (X; R) H k+l (X; R). (b) Neka su n-mnogostrukost M, komutativan prsten R i k {0, 1,..., n} takvi da su ispunjeni uslovi jedne posledice Poenkareove dualnosti, koji obezbeđuju da vaжi H n k (M; R) = Hom R (H k c (M; R), R). Dokazati da je jedan takav izomorfizam Φ : H n k (M; R) Hom R (H k c (M; R), R) dat na sledei naqin: homomorfizam Φ(a) : H k c (M; R) R koji odgovara klasi a H n k (M; R), proizvoljnu klasu b H k c (M; R) preslikava u,,integral klase b a; tj. Φ(a) = γ(d M ( a)). 24. (a) Neka su X i Y topoloxki prostori, f : X Y homeomorfizam i R komutativan prsten. Za m Z (koristei identifikaciju Hc m (X; R) = lim H m (X, X \ K; R), i odgovarajuu za Y ), konstruisati izomorfizam f : Hc m (Y ; R) Hc m (X; R). (b) Neka je f : M N homeomorfizam između n-mnogostrukosti M i N. Neka je jox R komutativan prsten i pretpostavimo da vaжi sledei uslov: M je orijentisana ili R = Z 2 (ako je M orijentisana, pokazati da se orijentacija sa M, na prirodan naqin (pomou f), prenosi na N). Dokazati da je, za sve k Z, D N = f D M f, tj. da komutira sledei dijagram. c H k c (M; R) f H c k (N; R) D M D N H n k (M; R) f H n k (N; R) 25. (a) Dokazati da je, kao graduisana Z-algebra, H (RP ; Z) = Z[α]/(2α), α = 2. (b) Opisati kohomoloxke algebre H (RP n ; Z), n N. (v) Dokazati da su kohomoloxke algebre H (RP 2k+1 ; Z) i H (RP 2k S 2k+1 ; Z) međusobno izomorfne. (g) Da li su za sve komutativne prstene R, kohomoloxke algebre H (RP 2k+1 ; R) i H (RP 2k S 2k+1 ; R) izomorfne? (d) Da li je RP 2k+1 RP 2k S 2k+1? 26. Ako je n N, X (n 1)-povezan prostor koji ima homotopski tip CW -kompleksa, G Abelova grupa takva da je π n (X) = G i f : X K(G, n) preslikavanje koje reprezentuje fundamentalnu klasu od X, dokazati da je f : π n (X) π n (K(G, n)) izomorfizam. 27. Neka je X putno povezan prostor koji ima homotopski tip CW -kompleksa, G Abelova grupa takva da je π 1 (X) = G i f : X K(G, 1) preslikavanje koje reprezentuje fundamentalnu klasu od X. Ako je F homotopski sloj preslikavanja f, a X univerzalno natkrivanje od X, dokazati da je F X. Napomena: Pod navedenim uslovima, i F i X moraju imati homotopski tip CW -kompleksa. 28. Neka je (X, A) CW -par, G Abelova grupa, n N i a, b H n (X, A; G). Za kanonski izbor Ajlenberg- Meklejnovog prostora K(G, n) (i njegove bazne taqke y 0 ), ako su f, g : (X, A) (K(G, n), y 0 ) preslikavanja koja reprezentuju klase a i b, dokazati da je klasa a + b H n (X, A; G) reprezentovana preslikavanjem (X, A) (f,g) ( K(G, n) K(G, n), (y 0, y 0 ) ) µ ( K(G, n), y 0 ), gde je µ (kanonski odabrana) operacija H-prostora K(G, n). 29. Dokazati da, za dato n N, postoji taqno jedna netrivijalna kohomoloxka operacija tipa (Z 2, n; Z 2, n + 1). Koja je to kohomoloxka operacija? 30. Neka su (X, A) i (Y, B) topoloxki parovi takvi da je definisan,,kros proizvod H (X, A; Z 2 ) H (Y, B; Z 2 ) H (X Y, A Y X B; Z 2 ), tj. takvi da je (A Y X B; A Y, X B) isecajua trojka. Dokazati da za sve k N 0 i sve pozitivnodimenzione klase x H (X, A; Z 2 ) i y H (Y, B; Z 2 ) vaжi da je k Sq k (x y) = Sq i x Sq k i y. i=0

31. Ako je u proizvoljna pozitivno-dimenziona kohomoloxka klasa, dokazati da za sve n, k N 0 vaжi da je ( Sq n u 2k) ( ) 2 = Sq n k 2 k u, 2 k n. 0, 2 k n 32. Ako je (X, A) topoloxki par i u H 2 (X, A; Z 2 ) klasa takva da je Sq 1 u = 0, dokazati da za sve n N i sve k N 0 vaжi ( ) n Sq 2k (u n ) = u n+k i Sq 2k+1 (u n ) = 0. k 33. Neka je i : CP 3 CP 6 prirodno utapanje i q : CP 6 CP 6 /CP 3 prirodna surjekcija. (a) Dokazati da je za sve m N sledei kratak niz taqan. 0 H m (CP 6 /CP 3 ; Z 2 ) q H m (CP 6 ; Z 2 ) i H m (CP 3 ; Z 2 ) 0 (b) Dokazati da je za sve n N preslikavanje Sq n : H 8 (CP 6 /CP 3 ; Z 2 ) H n+8 (CP 6 /CP 3 ; Z 2 ) trivijalno. (v) Dokazati da je Sq 2 : H 10 (CP 6 /CP 3 ; Z 2 ) H 12 (CP 6 /CP 3 ; Z 2 ) izomorfizam. 34. Dokazati da su stabilne homotopske grupe sfere π S 3 i π S 7 netrivijalne. 35. Dokazati da u Stinrodovoj algebri A 2 vaжe sledee relacije: Sq 2m 3 Sq m = Sq 2m 1 Sq m 2 (m 2); Sq 2m 4 Sq m = Sq 2m 1 Sq m 3 + Sq 2m 2 Sq m 2 (m 3). 36. Neka je n N i M zatvorena povezana mnogostrukost dimenzije 2n takva da je H i (M; Z 2 ) = 0 za 1 i n 1 i H n (M; Z 2 ) = Z 2. Dokazati da je n stepen dvojke. 37. Neka su topoloxki prostor X, m N i α H m (X; Z) takvi da je, kao graduisana Z-algebra, H (X; Z) = Z[α] ili H (X; Z) = Z[α]/(α n+1 ) za neko n 2. Dokazati da je m = 2 k za neko k N. Napomena: Pod navedenim uslovima, sve homoloxke grupe prostora X moraju biti konaqno generisane (propozicija 3F.12 kod Heqera, str. 318). 38. Neka je n 2, f : S 2n 1 S n i φ : S n S n neprekidna preslikavanja. Ako su h(f) i h(φ f) Hopfove invarijante odgovarajuih preslikavanja, dokazati da je h(φ f) = (deg φ) 2 h(f).