3 Geomerické rnsformácie v priesore Jedným pilierov počíčovej grfik je počíčová geomeri (compuionl geomer). Počíčová geomeri s oberá riešením geomerických úloh n počíči. Jej ákld vorí nlická geomeri korá použív čísl lgebru n repreenáciu objekov lgorimov. Medi šndrdné geomerické úloh prí npr. určenie vdilenosi dvoch bodov určenie uhl medi úsečkou osou určenie sredu úsečk pod. V grfických ssémoch plikáciách porebujeme čso modifikovť vr polohu objekov ko npr. väčšiť lebo menšiť objek posunúť objek o dný vekor oočiť objek o dný uhol okolo dného bodu pod. ieo modifikácie reliujeme pomocou geomerických rnsformácií korých lgorim sú čso implemenovné primo v hrdvéri počíč (geomerický procesor). Pod geomerickou rnsformáciou roumieme vo všeobecnosi predpis pomocou korého vieme prirdiť bodu P() nejkej množin M práve jeden bod P ( ) množin M. Vo všeobecnosi je rnsformáci určená v. rnsformčným operáorom plí: P (P) rnsformácie môžeme rodeliť n lineárne nelineárne. rnsformáci je lineárn k vťh medi súrdnicmi bodov P P možno vjdriť súsvou lineárnch rovníc. Medi lineárne prí posunuie oočenie men mierk skosenie operácie koré vniknú ich skldním. Medi lineárnmi rnsformácimi micmi je jednončný vťh. Kždej lineárnej rnsformácii vieme prirdiť určiú micu korú poom nývme rnsformčná mic. Ab bolo možné vjdriť všek rnsformácie jednoným spôsobom pomocou násobeni míc používme homogénne súrdnice. Homogénne súrdnice umožňujú repreenovť j bod v nekonečne čo je liminý prípd pre hodnou mierkového fkor h. Pre rnsformácie v priesore používme rnsformčné mice pu 44. S nelineárnmi rnsformácimi s sreávme njmä pri disorii obru (wrping) vorbe rônch dekorčných nápisov podobne. ieo rnsformácie nechovávjú primku. Zvlášnm druhom rnsformácie je premienie. Geomerické rnsformácie sú definovné pre jednolivé bod objekov. Ak chceme rnsformovť nejký objek ko celok poom musíme rnsformáciu plikovť n všek bod objeku. Prkick s le rnsformáci nereliuje bod po bode le len rnsformáci výnmných bodov objeku ko npr. vrcholov polgónu. Obr osných bodov ískme geomerických vlsnosí objeku dného pu rnsformácie. Geomerické rnsformácie môžeme chápť ko:. rnsformáciu objeku (men súrdníc vrcholov objeku) vhľdom n pevný súrdnicový ssém lebo ko 2. rnsformáciu súrdnicového ssému (men súrdnicového ssému poom prepočínie vrcholov objeku vhľdom k omuo novému súrdnicovému ssému) vhľdom n pevný objek. Obidv prísup sú ekvivlenné. rnsformáci súrdnicového ssému je revernou operáciou vhľdom k rnsformácii objeku. V počíčovej grfike s šndrdne používjú rnsformácie objeku.
V počíčovej grfike sú vr romer geomerických objekov repreenovné pomocou číslicového opisu jeho výnčných prvkov vhľdom k dnému súrdnicovému ssému (njčsejšie prvouhlému resp. kreiánskemu). Zákldným prvkom 3D modelu je bod - vrchol (poin - vere). Prvouhlá resp. kreiánsk súsv súrdníc je ká súsv súrdníc v korej sú poloh objekov definovné vhľdom n jeden bod - v. čiok súsv O() korý je určený prienikom roch n seb kolmých primok (osí) ončovných. Polohový vekorvekor P B C D 3. Homogénne súrdnice Obr. Repreenáci hrnol pomocou mice Ab memické vťh v micovom vjdrení pre geomerické rnsformácie mli jednonú formu (násobenie mice vekor) používjú s homogénne súrdnice. Homogénne súrdnice boli vedené do geomerie v roku 946 pre vjdrenie v. nevlsnej primk v 6-ch rokoch s čli používť v počíčovej grfike. Usporidnú švoricu čísel ( h) nývme homogénne súrdnice bodu P s kreiánskmi súrdnicmi (X Y Z) v rojromernom priesore k plí: X h Y h Z h Ak je bod P(h) dný v homogénnch súrdnicich poom kreiánske súrdnice oho bodu sú P(/h/h/h). Hodno h s nýv mierkový fkor v PG s rovná. Pri použií homogénnch súrdníc v 3D sú bod repreenovné pomocou mice m 4 kde m je poče vrcholov opisovného objeku. Hrnol obr. poom opíšeme ko: P B C D Všeobecný vr rnsformčnej mice jej použiie pre 3D rnsformáciu bodu v homogénnch súrdnicich (rnsformčná rovnic) má pre ridkový ápis kýo vr: 2
2 3 4 2 22 23 24 3 32 33 34 Pre sĺpcový ápis má kýo vr: 2 3 2 22 32 3 23 33 [ ] [ ] 4 24 34 GMS L3 rnsformčnú micu dosneme pri omo ápise rnsponovním mice ridkového ápisu. 3.2 Zákldné geomerické rnsformácie Medi ákldné geomerické rnsformácie prí posunuie (rnsláci) oočenie (roáci) men mierk (škálovnie). 3.2. Posunuie rnsformáci posunuie (rnsláci) reliuje pohb bodu P o vekor posunui do bodu P. Pre polohový vekor plí: p p + čo môžeme memick písť: + + resp. micový ápis: P P+ + Y Y (72) (58) p (58) p () X () X Z Z Obr. 2 Posunuie bodu v priesore Použiím homogénnch súrdníc micového ridkového ápisu dosneme rnsformčnú rovnicu pre posunuie bodu: 3
[ ] [ ] rnsformčná mic Ako je rejmé rnsformčnej mice nemá homogeničný fkor posledný sĺpec mice židn vplv preo ich môžeme pri vhodnoení výru ignorovť. Hovoríme poom že ide o finnú rnsformáciu. Ak ončíme rnsformčnú micu posunui ) poom môžeme písť rnsformčnú rovnicu posunui bodu v vre: ( ( ) P P Pre posunuie opčným smerom použijeme invernú micu pre korú plí: ) ( ) ( V odbornej lierúre (njmä nglo-sskej) s čso použív nmieso ridkového ápisu j sĺpcový ápis vekorov. eno ápis predpokldá npr. j grfická plikáci AuoCAD. rnsformčná rovnic má poom vr: rnsformčnú micu ískme rnsponovním pôvodnej mice. 3.2.2 Oočenie Oáčnie objeku v rojromernom priesore robíme pomocou oáčni okolo jednolivých súrdnicových osí. V 3D môžeme bod lebo objek oáčť okolo roch súrdnicových osí o vžd v ápornom smere (CW) lebo kldnom smere (CCW) lebo okolo ľubovoľnej primk. Celkové oočenie poom dosneme skldním ýcho jednoduchých oočení. Zákldná rnsformáci oočenie (roáci) okolo osi reliuje pohb bodu P okolo osi súrdnicového ssému o uhol do bodu P. Pre odvodenie rnsformčných rovníc použijeme clindrické súrdnice: ( ) ( ) ( ) ( r r r r + ) +.sin cos.cos sin..sin.sin sin.cos cos..cos 4
r P P [] resp. [r] P [ ] resp. [r+] P O Obr. 3 Oočenie bodu v priesore okolo osi v kldnom smere Po dosdení rovníc vjdrujúcich vťh medi kréskmi polárnmi súrdnicmi bodu r.cos r.sin dosneme pre kldný smer oáčni:..sin.sin +. Pre rnsformčnú rovnicu v homogénnch súrdnicich v micovom ridkovom ápise poom plí: [ ] [ ] Ak ončíme rnsformčnú micu oočeni okolo osi o uhol φ smbolom môžeme písť rnsformčnú rovnicu oočeni bodu v vre: P P R ( ) R ( ) poom rnsformčná mic pre oočenie obshuje rigonomerické funkcie preo sú výpoč čsovo pomerne náročné. Prejviť s o môže njmä v grfických plikáciách koré vždujú opkovné oáčnie väčšieho poču bodov ko sú npr. nimácie. V ýcho plikáciách kde s reliuje opkovné oáčnie o mlý uhol (do ) môžeme rigonomerické funkcie nhrdiť približnými hodnomi rovná s približne veľkosi hodno uhl v rdiánoch. Vhľdom k omu že mic oočeni je oronormáln plí pre invernú micu: R ( ) R( ) rnsformčné rovnice mice pre oočenie okolo niekorej o súrdnicových osí v kldnom (CCW) ápornom (CW) smere sú uvedené v nsledujúcich buľkách. 5
buľk rnsformčné rovnice pre oočenie okolo osi s.s. Oočenie CCW CW Okolo osi Okolo osi Okolo osi.cosφ -.sinφ.sinφ +.cosφ.cosφ +.sinφ -.sinφ +.cosφ.cosφ -.sinφ.sinφ +.cosφ.cosφ +.sinφ -.sinφ +.cosφ.cosφ -.sinφ.sinφ +.cosφ.cosφ +.sinφ -.sinφ +.cosφ buľk 2 rnsformčné mice pre oočenie okolo osi s.s. M CCW CW R ( ) R ( ) R ( ) Oočenie okolo ľubovoľnej primk definovnej v priesore je ložená rnsformáci poosávjúc o sekvencie posunuí oočení. Primku je porebné njprv soožniť s niekorou o súrdnicových osí ž poom uskuočniť poždovnú rnsformáciu. 3.2.3 Zmen mierk Hodnou súrdníc koncových bodov vekorov môžeme väčšiť lebo menšiť násobením koeficienom men mierk (mierkový fkor) s v smere osi s v smere osi s v smere osi. rnsformáci men mierk je memick určená ýmio rnsformčnými rovnicmi: 6
s s. s Micový ápis rnsformčnej rovnice v homogénnch súrdnicich má vr: s [ ] [ ] s Ak ončíme rnsformčnú micu men mierk rnsformčnú rovnicu men mierk bodu v vre: P S( s s s ) P Pre invernú micu men mierk (menšenie) plí: / s S ( s s s ) S( / s / s / s ) / s GMS L3 s S s s s ) poom môžeme písť ( / s Pôvodný sv s 5 Po rnsformácii s s 2 O Obr. 4 Zmen mierk s rônými mierkovými fkormi Zmen mierk je menou veľkosi objeku v smere súrdnicových osí. Pokiľ je bsolún hodno koeficienu men mierk inervlu () dochád k menšovniu rnsformovného objeku. Ak je bsolún hodno koeficienu väčši než jedn poom dôjde k väčšeniu. Ak je nmienko koeficienu áporné dôjde k väčšeniu (menšeniu) v opčnom smere. Ak s s poom budú chovné pôvodné vájomné proporcie. Je porebné si uvedomiť že k s nebude referenčný bod objeku nchádť v čiku súrdnicového ssému poom dôjde ároveň j 7
k posunuiu objeku. Ak omu chceme brániť poom musíme úo rnsformáciu dekomponovť n posunuie do čiku súrdnicového ssému menu mierk posunuie nspäť. Ak sú mierkové fkor rône poom dochád k disorii (prevoreniu skresleniu) objeku. 3.3 Špeciálne rnsformácie 3.3.. Súmernosť Súmernosť (rkdlenie smeri) je špeciálnm prípdom men mierk kde bsolún hodno mierkového fkor je rovná jednej. Súmernosť klsifikujeme n súmernosť sredovú súmernosť podľ rovin. Sredová súmernosť podľ čiku súrdnicového ssému je vlsne oočenie o 8 okolo čiku resp. men mierk s hodnoou koeficienov s - s - s -. Súmernosť podľ rovin je preklopenie okolo niekorej o súrdnicových rovín. Objek po rnsformácii Rovin Obr. 5 Súmernosť podľ rovin Súmernosť podľ rovin +b+c+d memick vjdríme ko: + b + c + d 2 2 2 2 + b + c + b + c + d 2b 2 2 2 + b + c + b + c + d 2c 2 2 2 + b + c Deerminn mice pre prípd súmernosi je áporný. o poom nmená že ieo rnsformácie meni orienáciu. N eno fk je reb dávť poor. Súmernosť je iež lineárn hodná rnsformáci. 8
buľk 3 rnsformčné mice súmernosi Klsifikáci M Súmernosť podľ rovin (podľ rovin ) Súmernosť podľ rovin (podľ rovin ) Súmernosť podľ rovin (podľ rovin ) Sredová súmernosť okolo bodu () Súmernosť podľ ľubovoľnej rovin definovnej v priesore je ložená rnsformáci poosávjúc o sekvencie roácií súmernosí. Rovinu je porebné njprv soožniť s niekorou o súrdnicových rovín ž poom uskuočniť poždovnú rnsformáciu. 3.3..2 Skosenie rnsformáci skosenie spôsobuje deformáciu vru objeku. eno p rnsformácie vvoláv dojem kob s objek po vrsvách posúvli. Roonávme ri ákldné p: skosenie v smere (mení s súrdnic súrdnic osáv nemenená) skosenie v smere (mení s súrdnic súrdnic osáv nemenená). skosenie v smere (mení s súrdnic súrdnic osáv nemenená) rnsformčné mice pre skosenie sú uvedené v nsledujúcej buľke. 9
p skoseni M Efek n bod P SH SH SH sh sh [( + sh. ) ( sh. ) ] + sh sh ( + sh. ) ( sh. + ) sh sh [ ] [ ( sh. + ) ( sh ) ]. + Koeficien sh sh sh udávjú mieru skoseni v smere osi resp. resp.. 3.4 Skldnie rnsformácii Grfické ssém plikácie vždujú reliovť j komplenejšie rnsformácie než ké sme uviedli v predchádjúcej čsi ko npr. oočenie objeku okolo ľubovoľného bodu menu mierk vhľdom n ľubovoľný bod súmernosť vhľdom k ľubovoľnej primke podobne. Geomerický objek je vo všeobecnosi podrobený posupnosi uvedených elemenárnch rnsformácií. rnsformácie koré sú vihnué k iným bodom ko čiok súrdnicového ssému musíme dekomponovť pomocou ákldných rnsformácií. Posup pre generovnie výslednej v. loženej rnsformčnej mice nývme poom skldnie lebo kompoíci rnsformácií. Po vedení homogénnch súrdníc vieme všek ákldné rnsformácie opísť jednoným posupom ko násobenie bodu príslušnej rnsformčnej mice. Pre výpoče loženej mice použijeme násobenie ákldných rnsformčných míc ouo poom vnásobíme bodovú micu repreenujúcu objek. Násobenie míc je síce sociívn operáci čo nmená že pre ľubovoľné ri mice ABC môžeme ich násobenie čť buď násobením A B lebo B C le násobenie míc nie je komuívne. Výsledok súčinu A.B s vo všeobecnosi nerovná súčinu B.A. Násobenie rnsformčných míc je komuívne len v špeciálnch prípdoch uvedených v buľke 4.
buľk 4 Komuívne dvojice rnsformácií Posunuie Zmen mierk Oočenie Zmen mierk (s s s ) 2 Posunuie Zmen mierk Oočenie Oočenie Veľmi čso používná dvojic oočenie - posunuie nie je komuívn. reb si j uvedomiť ký vplv pri skldní výslednej v. loženej rnsformčnej mice má použiie sĺpcových vekorov nmieso ridkových. Pordie operácií vekorov míc je porebné obráiť mice vekor rnsponovť: P P P P 2 2 Aj ká dnlivo jednoduchá rnsformáci kou je men mierk môže pri nesprávnom pochopení plikácii rnsformčnej mice viesť k nesprávnm výsledkom. Ak s referenčný bod objeku nenchád v čiku súrdnicového ssému budeme nň plikovť rnsformčnú micu men mierk poom objek nielenže mení mierku le ároveň s j posunie lebo s prepočíjú j súrdnice referenčného bodu. Pokiľ chceme ískť správn výsup poom musíme úo operáciu dekomponovť n ieo ákldné rnsformácie:. Posunuie objeku do čiku súrdnicového ssému ( - ()). áo rnsformáci je ekvivlenná posunuiu súrdnicového ssému do referenčného bodu objeku. 2. Zmen mierk objeku (S (sss) ). 3. Posunuie objeku do pôvodného referenčného bodu ( () ). áo rnsformáci je ekvivlenná posunuiu súrdnicového ssému do pôvodnej poloh. Zložená rnsformčná mic má poom vr: ( ) S( sss) ( ) Pre výpoče loženej rnsformčnej mice je porebné správne dekomponovť komplenú rnsfomáciu poom reliovť násobenie míc.