Για να λύσουμε μια τριγωνομετρική εξίσωση θα πρέπει να την φέρουμε σε μια από τις παρακάτω μορφές: Μορφή Εξίσωσης Τύποι Λύσεων ημx = ημα

Transcript

1 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τριγωομετρικές εξισώσεις λέγοται οι εξισώσεις στις οοίες ο άγωστος x εμφαίζεται σε κάοιο τριγωομετρικό αριμό(ημίτοο, συημίτοο, εφατομέη ή συεφατομέη). Για α λύσουμε μια τριγωομετρική εξίσωση α ρέει α τη φέρουμε σε μια αό τις αρακάτω μορφές: Μορφή Εξίσωσης Τύοι Λύσεω ημx = ημα xκ α η x κ α με κ συx = συα xκ α η xκ α με κ εφx = εφα x = κ + α, με κ σφx = σφα x = κ + α, με κ Καέας αό τους ροηγούμεους τύους λύσεω δίει άειρες λύσεις γράψτε Διαδικασία εύρεση τιμώ ημιτόου. rad / /4 / / Βάλτε κάτω αό τη ρίζα τα,,,, 4. Τιμές του ημχ 4 Οι τιμές του συημίτοου είαι αάοδα, της εφατόμεης με διαίρεση και της συεφατομέης αάοδα. ο rad o / 45 ο /4 ο / 9 ο / 8 ο 7 ο / ο ημx / - Α α συx - ξ η - μ Αξοας συημιτοω ι εφx τ ο ω - / σφx

2 ΤΗΛΕΓΡΑΦΟΣ ΚΩΣΤΑΣ Οι ροηγούμεοι τύοι λύσεω ισχύου ότα το α δίεται σε ακτία (δηλαδή είαι μια σχέση του ). Ότα δίοται μοίρες μ ο τότε : ο ) Μετατρέουμε τις μοίρες μ ο σε ακτία α βάση του γωστού τύου α μ μ α 8 8 ή ο ) Οι ροηγούμεοι τύοι αίρου ατίστοιχα τις μορφές x κ μ x κ μ ημx ημμ η με κ, συx συμ η x κ 8 μ x κ μ με κ, εφx = εφμ ο ή σφx = σφμ ο x = 8 ο κ + μ ο με κ. Δηλαδή ατικαιστούμε το με ο και το με 8 ο.. Η εξίσωση ημx = α Α το α> ή α<- δε έχει λύσεις αφού ημχ. Α α τότε έχει λύσεις. Με το τριγωομετρικό κύκλο : Α το α ετικός και μικρότερος του. Βάζουμε στο άξοα τω ημιτόω (ψ ψ), τη ετική τιμή α και φέρουμε ευεία αράλληλη στο άξοα τω συημίτοω (χ χ) η όοια τέμει το κύκλο στο και το -. Άρα αό το διλαό σχήμα φαίεται ότι το ημx αίρει τη τιμή α δυο φορές στο x= και το x=- Οότε στο τριγωομετρικό κύκλο στο διάστημα [,](μιας εριόδου Τ=) η - - εξίσωση ημx α εαληεύεται αό το x= και το x=- α λοιό ροσέσουμε το κ ( κ εριόδους, κύκλους) έχουμε xκ η ημx α, κ x κ Ομοιοτρόως α το α αρητικός και μεγαλύτερος του -. Αξοας συημιτοω Α ξ η μ ι τ ο ω / α - / -. Παράδειγμα

3 Να λυεί η ημx. ημx Αό το ίακα ροκύτει ότι ημ -/ - Αξοας συημιτοω Α ξ η μ ι τ ο ω / / / / / - / x η 5 x xκ ροσέσουμε το κ ( κ εριόδους ) η, κ 5 x κ Με τη γραφική αράσταση: Οι λύσεις της εξίσωσης ημχ=α είαι οι τετμημέες (δηλαδή τα x) τω σημείω τομής της καμύλης ψ=ημχ και της ευείας ψ=α. κάουμε τη γραφική τους αράσταση. Α το α> και μικρότερος του. Άρα αό το διλαό σχήμα φαίεται ότι το ημx αίρει τη τιμή α δυο φορές στο και το - Οότε στο διάστημα [,](μιας εριόδου ) η εξίσωση ημx α εαληεύεται αό το x= και το x=- α λοιό ροσέσουμε το κ ( κ εριόδους κύκλους) έχουμε Διάστημα μιας εριόδου y ψ=α με ψ=ημχ x - - ψ=α με ψ=ημχ ψ=α ψ=ημχ

4 xκ η ημx α, κ xκ Ομοιοτρόως α το α αρητικός και μεγαλύτερος του -. ΤΗΛΕΓΡΑΦΟΣ ΚΩΣΤΑΣ. Παράδειγμα Να λυεί η ημx. ημx Αό το ίακα ροκύτει ότι ημ Τα σημεία τομής τω ψ=/ και ψ=ημχ σε διάστημα μιας εριόδου είαι. y ψ=/ με ψ=ημχ x ψ=/ με ψ=ημχ ψ=/ - ψ=ημχ x ροσέσουμε το κ ( κ εριόδους, κύκλους) 5 x xκ η, κ 5 x κ η. Παράδειγμα Να λυεί η ημx. ημx Αό το ίακα ροκύτει ότι ημ Τα σημεία τομής τω ψ=-/ και ψ=ημχ σε διάστημα μιας εριόδου είαι.

5 y ψ=/ ψ=ημχ +/ -/ x ψ=-/ ψ=-/ με ψ=ημχ ψ=-/ με ψ=ημχ - 7 x η x 7 xκ ροσέσουμε το κ ( κ κύκλους) η, κ x κ Αλγεβρικός τρόος Για α λύσουμε μια τριγωομετρική εξίσωση με ημίτοο α ρέει α τη φέρουμε στη αρακάτω μορφή: 4. Παράδειγμα Να λυεί η ημx = Μορφή Εξίσωσης ημx = ημα Τύοι Λύσεω xκ α η με κ x κ α ημx = χωρίζουμε τριγωομετρικούς αριμούς αό αριμούς. ημx = Διαιρούμε με το συτελεστή του ημx, δηλαδή το. ημx Δε μορούμε α εφαρμόσουμε καέα αό τους τύους λύσεω, γιατί δε υάρχου ημίτοα. ημx Μετατρέουμε το σε ημίτοο τόξου. ημx ημ Αό το ίακα ροκύτει ότι ημ x κ xκ η η, κ 5 x κ x κ 5. Παράδειγμα

6 Να λυεί η εξίσωση 5 ημx ημ ΤΗΛΕΓΡΑΦΟΣ ΚΩΣΤΑΣ 5 ημx ημ Εφαρμόζουμε τους τύους έχοτας σα άγωστο το x /. 5 x κ η 5 x κ Λύουμε τις εξισώσεις ως ρος x. 5 x κ η 5 x κ (Κάουμε τις ράξεις στο ο μέλος) 7 x κ η, κ xκ. Η εξίσωση συx = α Α το α> ή α<- δε έχει λύσεις αφού συx. Α α τότε έχει λύσεις. Με το τριγωομετρικό κύκλο : Α το α ετικός και μικρότερος του. Βάζουμε στο άξοα τω συημίτοω (χ χ) τη ετική τιμή α και φέρουμε ευεία αράλληλη στο άξοα τω ημίτοω (ψ ψ) η όοια τέμει το κύκλο στο και το -. Άρα αό το διλαό σχήμα φαίεται ότι το συx αίρει τη τιμή α δυο φορές στο και το - Οότε στο τριγωομετρικό κύκλο στο διάστημα [,](μιας εριόδου ) η εξίσωση συx α εαληεύεται αό το και το - α λοιό ροσέσουμε το - Αξοας συημιτοω Α ξ η μ ι τ ο ω / - / - α ή -

7 κ ( κ εριόδους) έχουμε xκ η συx α, κ x κ Ομοιοτρόως α το α αρητικός και μεγαλύτερος του -.. Παράδειγμα Να λυεί η συx. συx Αό το ίακα ροκύτει ότι συ / - Αξοας συημιτοω Α ξ η μ ι τ ο ω α - / ή x η x x κ ροσέσουμε το κ ( κ εριόδους κύκλους) η, κ x κ Με τη γραφική αράσταση Οι λύσεις της εξίσωσης συx α είαι οι τετμημέες (δηλαδή τα χ) τω σημείω τομής της καμύλης ψ κάουμε τη γραφική τους αράσταση. Α το α> και μικρότερος του. συx και της ευείας ψ α.

8 Άρα αό το διλαό σχήμα φαίεται ότι το συx αίρει τη τιμή α δυο φορές στο και το - Οότε στο διάστημα [-, ](μιας εριόδου ) η εξίσωση συx α εαληεύεται αό το και το - α λοιό ροσέσουμε το κ ( κ εριόδους ) έχουμε xκ η συx α κ xκ - Διάστημα μιας εριόδου ψ=α με ψ=συx Ομοιοτρόως α το α αρητικός και μεγαλύτερος του Παράδειγμα Να λυεί η συx. - y ΤΗΛΕΓΡΑΦΟΣ ΚΩΣΤΑΣ - ψ=α με ψ=συx ψ=α ψ=συx συx Αό το ίακα ροκύτει ότι συ Τα σημεία τομής τω ψ=/ και ψ=συx σε διάστημα μιας εριόδου είαι. x y - Διαστημα μιας εριοδου ψ=/ με ψ=συx ψ=/ με ψ=συx ψ=/ x - ψ=συx x η x x κ ροσέσουμε το κ ( κ εριόδους κύκλους) η, κ x κ 8. Παράδειγμα Να λυεί η συx. συx Αό το ίακα ροκύτει ότι συ

9 Τα σημεία τομής τω ψ=-/ και ψ=συx σε διάστημα μιας εριόδου είαι. y Διαστημα μιας εριοδου ψ=συx - ψ=-/ με ψ=συx x ψ=-/ - ψ=/ ψ=-/ με ψ=συx x συx η 4 x x κ η, κ 4 x κ ροσέσουμε το κ ( κ εριόδους) Αλγεβρικός τρόος: Για α λύσουμε μια τριγωομετρική εξίσωση με συημίτοο α ρέει α τη φέρουμε στη αρακάτω μορφή: Μορφή Εξίσωσης συx = συα 9. Παράδειγμα Να λυεί η εξίσωση συx συ 5 Τύοι Λύσεω xκ α η με κ xκ α x κ 5 συx συ η, κ 5 x κ 5. Παράδειγμα Να λυεί η εξίσωση συx

10 ΤΗΛΕΓΡΑΦΟΣ ΚΩΣΤΑΣ Χωρίζουμε τριγωομετρικούς αριμούς συx αό αριμούς. Διαιρούμε με το συτελεστή αγώστου συx (το ) για α αομοώσουμε το συx. Αό το ίακα ροκύτει ότι συx συ 4 συ. 4 Λύουμε ως ρος x τις εξισώσεις. x κ 4 η x κ 4 7 xκ x κ 4 η η κ xκ xκ 4