Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί Συντεταγµένων στην Φωτογραµµετρία

Transcript

1 ΤΑΤΜ/ΕΜΠ Τοµέας Τοπογραφίας Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί Συντεταγµένων στην Φωτογραµµετρία Γιώργος Καρράς επίκουρος καθηγητής ΕΜΠ εκέµβριος 998

2 Περιεχόµενα ισδιάστατοι µετασχηµατισµοί µε διατήρηση του σχήµατος Στροφή Στροφή και κίµακα Στροφή και µετάθεση Μετασχηµατισµός οµοιότητας ισδιάστατοι µετασχηµατισµοί µε µεταβοή του σχήµατος Ορθογωνικός µετασχηµατισµός Αφινικός (οµοπαράηος) µετασχηµατισµός Προβοικός µετασχηµατισµός (φωτογραµµετρική αναγωγή) Τρισδιάστατοι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων Μετασχηµατισµός στερεού σώµατος Τρισδιάστατος µετασχηµατισµός οµοιότητας Άµεσος γραµµικός µετασχηµατισµός Ενδεικτική βιβιογραφία

3 Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί Συντεταγµένων Οι γραµµικοί µετασχηµατισµοί συντεταγµένων από ένα (δισδιάστατο ή τρισδιάστατο) σύστηµα σε ένα άο (δισδιάστατο ή τρισδιάστατο) είναι ιδιαίτερα χρήσιµοι στην φωτογραµµετρία αά και, γενικότερα, συναντώνται στις περισσότερες εργασίες του τοπογράφου. Μέσω αυτών µπορούν πχ. να µεταφερθούν στο σύστηµα των εικονοσυντεταγµένων οι µετρήσεις εικονοσηµείων στον συγκριτή, τον ψηφιοποιητή ή την οθόνη του υποογιστή, µε ταυτόχρονη µάιστα διόρθωση των γραµµικών σφαµάτων των οργάνων ή/και της εικόνας. Εφαρµόζονται ακόµα γιά τον απόυτο προσανατοισµό του µοντέου, την φωτογραµµετρική αποτύπωση επίπεδων αντικειµένων (φωτογραµµετρική αναγωγή), τον εγόµενο άµεσο γραµµικό µετασχηµατισµό εικόναςχώρου, τον έεγχο τεικών αποτεεσµάτων σε διαφορετικά συστήµατα κ.π. Οι γραµµικοί µετασχηµατισµοί αποτεούν, οιπόν, δοµικά εργαεία της φωτογραµµετρίας, είναι εποµένως βασικοί γιά όες τις διαδικασίες της αναυτικές και ψηφιακές. Στην µορφή τους που µας ενδιαφέρουν εδώ, οι µετασχηµατιµοί αυτοί αναφέρονται αποκειστικά σε σχέσεις µεταξύ σηµείων. Οι συντεταγµένες, έτσι, των ση- µείων σε ένα σύστηµα εκφράζονται ως γραµµικές συναρτήσεις των συντεταγµένων τους σε ένα άο σύστηµα µέσω των κατάηων συντεεστών, οι οποίοι ακριβώς περιγράφουν την αγεβρικήγεωµετρική σχέση µεταξύ των δύο συστη- µάτων. Η γραµµικότητα των µετασχηµατισµών εκδηώνεται στο ότι οι ευθείες γραµµές µετασχηµατίζονται σε ευθείες. Ανάογα µε το είδος του µετασχηµατισµού, µπορεί ως αποτέεσµα να έχουµε ααγή προσανατοισµού ή/και θέσης των µετρηµένων στοιχείων (δηαδή χωρίς µεταβοή του µεγέθους και του σχή- µατός τους). ενιαία ή διαφορετική κατά τους άξονες µεταβοή κίµακας (δίχως αοίωση των γωνιών τοµής µεταξύ ευθειών). ή και πήρη µεταβοή του σχή- µατος (κατά την οποία, ανάογα µε τον µετασχηµατισµό, µπορούν πχ. να διατηρούνται ή όχι οι παραηίες µεταξύ ευθειών). Στα επόµενα θα εξεταστούν κατά σειρά συνθετότητας οι βασικότεροι γραµµικοί µετασχηµατισµοί και θα δοθούν οι σχέσεις που συνδέουν τους αγεβρικούς συντεεστές τους µε τα γεωµετρικά στοιχεία του µετασχηµατισµού, τα οποία αποδίδουν ακριβώς και την φυσική σηµασία του καθενός. A. ισδιάστατοι µετασχηµατισµοί µε διατήρηση του σχήµατος A. Στροφή Θεωρούνται τα επίπεδα συστήµατα και που έχουν κοινή αφετηρία Ο, αά το ένα είναι στραµµένο κατά γωνία θ ως προς το άο (Σχ. ). Εάν sθ sinθ R () sinθ sθ 3

4 4 είναι ο πίνακας στροφής του συστήµατος, ισχύει ότι µε R () Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός, δηαδή από το σύστηµα στο, θα είναι T R (3) O O d θ Σχήµα A. Στροφή και κίµακα Θεωρείται εν προκειµένω ότι τα δύο συστήµατα και του Σχ. διαφέρουν, πέραν της στροφής θ, και κατά ενιαία κίµακα. Η µεταφορά εποµένως από το ένα σύστηµα στο άο δίδεται από την ακόουθη σχέση: µε R (4) Σε ανεπτυγµένη µορφή οι Εξ. 4 γράφονται ως (5) Σε αυτήν την περίπτωση, ο αντίστροφος µετασχηµατισµός γίνεται πέον Τ R (6)

5 5 Τα γεωµετρικά στοιχεία θ, του µετασχηµατισµού συνδέονται µε τις παραµέτρους και µέσω των σχέσεων π < θ > tn θ 0 tn 0 (7) A.3 Στροφή και µετάθεση Αν στην προηγούµενη περίπτωση θεωρηθεί ότι δεν υπάρχει διαφορά κίµακας αά τα συστήµατα δεν έχουν κοινή αρχή (συστήµατα, µε αντίστοιχες αφετηρίες Ο, Ο κατά το Σχ. ), δηαδή ότι µεταξύ τους υφίσταται µετάθεση d t t t (8) τότε οι εξισώσεις µετασχηµατισµού είναι πέον d t t R (9) υπό την απαραίτητη δέσµευση των παραµέτρων (0) Σε ανεπτυγµένη µορφή οι Εξ. 9 γράφονται ως d () Εδώ ο αντίστροφος µετασχηµατισµός είναι d () A.4 Στροφή, µετάθεση και κίµακα (µετασχηµατισµός οµοιότητας) Εάν στην προηγούµενη περίπτωση θεωρηθεί ότι, επιπέον, τα δύο συστήµατα και του Σχ. διαφέρουν και κατά κίµακα, οι εξισώσεις µετασχηµατισµού είναι µ d t t ε R (3)

6 ενώ σε ανεπτυγµένη µορφή προκύπτουν οι όµοιες µε τις Εξ. σχέσεις d (4) Εδώ ο αντίστροφος µετασχηµατισµός είναι d (5) Ο ενόγω µετασχηµατισµός ονοµάζεται σύµµορφος (nfml) ή µετασχηµατισµός οµοιότητας (similit tnsfmtin) και έχει τέσσερις συντεεστές (,,, d), όσες και οι γεωµετρικές παράµετροι (στροφή θ, κίµακα, µεταθέσεις t και t) που περιγράφουν την σχέση των δύο συστηµάτων. Οι εξισώσεις, διά των οποίων συνδέονται οι δύο ισοδύναµες οµάδες παραµέτρων, είναι οι Εξ. 7 και 8. Σε αντίθεση µε τούς δύο επόµενους (ορθογωνικό, αφινικό), αυτός ο µετασχηµατισµός υιοθετείται όταν δεν αναµένεται ότι ένα από τα δύο ή και τα δύο συστή- µατα υπόκεινται σε συστηµατικά γραµµικά σφάµατα. Προφανείς συνήθεις περιπτώσεις εφαρµογής του στην αναυτική και ψηφιακή φωτογραµµετρία είναι γιά να εκφραστούν οι µετρήσεις, εικονοσηµείων από το σύστηµα ψηφιοποιητή (digitize) ή από δεξιόστροφο σύστηµα ψηφιακής εικόνας στην δεύτερη περίπτωση µάιστα τα µετρηµένα µεγέθη i, j, όπου i, j ακέραιοι αριθµοί, δεν έχουν µονάδες µήκους αά αριθµούν εικονοψηφίδες (piel) στο σύστηµα των εικονοσυντεταγµένων (σε mm) µε αρχή το πρωτεύον σηµείο της εικόνας. Και τα δύο αυτά συστήµατα ψηφιοποιητή και ψηφιακής εικόνας µπορούν να έχουν αυθαίρετη κίµακα και αφετηρία, ενώ γενικά εµφανίζονται και στροφές ως προς το σύστηµα των εικονοσυντεταγµένων, ακριβώς όγω της τοποθέτησης της εικόνας στον ψηφιοποιητή (ή, αντίστοιχα, στον σαρωτή). Άο παράδειγµα εφαρµογής του µετασχηµατισµού οµοιότητας είναι στην περίπτωση που µετρήσεις, σε µεγεθυµένη εικόνα (αναογική ή σαρωµένη ψηφιακά) πρέπει να αναχθούν στο αρχικό σύστηµα των εικονοσυντεταγµένων. Εάν πχ. σε ένα µεγεθυµένο τµήµα αεροφωτογραφίας δεν φαίνεται επαρκής αριθµός εικονοσηµάτων, ο µετασχηµατισµός (, ) (, ) µπορεί να επιτευχθεί µε την βοήθεια σηµείων επτοµέρειας µετρηµένων στα δύο συστήµατα. Αν υποτεθεί ότι δεν υφίσταται ζήτηµα κίµακας πχ. όταν οι µετρήσεις εικονοσυντεταγµένων πραγµατοποιούνται σε βαθµονοµηµένο συγκριτή µπορεί να ε- φαρµοστεί ο µετασχηµατισµός Α.3 (στροφή µετάθεση). Όµως υπάρχουν και ποές άες περιπτώσεις όπου είναι χρήσιµοι οι περιγραφέντες µετασχηµατισµοί. Ως παράδειγµα, ας αναφερθεί εδώ ο γεωµετρικός έεγχος ορθοφωτογραφίας που διεξάγεται µε σύγκρισή της µε χάρτη ίδιας κίµακας της περιοχής. Εάν µετρηθούν σηµεία στην ορθοφωτογραφία σε αυθαίρετο σύστηµα, ο µετασχηµατισµός Α.3 επιτρέπει να εεγχθεί µέσω των εναποµενόντων σφαµάτων v, v της συνόρθωσης πόσο καά προσαρµόζονται αυτά τα σηµεία στα αντίστοιχα σηµεία, του χάρτη. 6

7 Γιά να πραγµατοποιηθεί ένας γραµµικός µετασχηµατισµός µε n παραµέτρους α- παιτούνται κατ αρχήν m n/ σηµεία γνωστά και στα δύο συστήµατα (σηµεία αναφοράς ή αγκύρωσης), αφού κάθε σηµείο εξασφαίζει δύο εξισώσεις, µία κατά και µία κατά. Τέτοια σηµεία αναφοράς µπορούν να είναι τα εικονοσήµατα των µετρικών, τα σηµεία éseu των ηµιµετρικών ή τα τέσσερα άκρα των µη µετρικών εικόνων. Προσδιορίζονται έτσι οι συντεεστές του µετασχηµατισµού και µέσω αυτών µπορούν πέον να µεταφερθούν όα τα µετρηµένα (στον ψηφιοποιητή, τον συγκριτή ή την οθόνη) εικονοσηµεία από το ένα σύστηµα στο άο. Προφανώς, είναι σκόπιµο να διατίθενται σηµεία αναφοράς περισσότερα των οριακά απαιτούµενων. Με µιά τέτοια περίσσεια εξισώσεων όχι µόνο είναι δυνατόν να εντοπίζονται τυχόν χονδροειδή σφάµατα, αά προκύπτει συνάµα και µιά αριθµητική εκτίµηση γιά την ακρίβεια του µετασχηµατισµού. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν έτσι, τα εναποµένοντα σφάµατα v, v των µετρήσεων και η γενικευτική έκφρασή τους ως τυπικού σφάµατος σ ο της µονάδας βάρους σ ± (6) v v m n Το µέγεθος των εναποµενόντων σφαµάτων, αά και η κατανοµή τους, συνιστούν ενδείξεις τόσο γιά την ακρίβεια των µετρήσεων (τυχαία σφάµατα) όσο όµως και γιά τυχόν συστηµατικές παραµορφώσεις (πχ. διαφορική συρρίκνωση εικόνας, µη καθετότητα των αξόνων, ακτινική διαστροφή φακού, παραµορφώσεις του φίµ κ.π.) που δεν έχουν ηφθεί υπόψη και διορθωθεί. Πήν εξαιρετικών περιπτώσεων, οι µετρήσεις συντεταγµένων µπορούν να θεωρηθούν ισοβαρείς και τα σηµεία αναφοράς γνωστά µε ίση ακρίβεια. Η συνόρθωση µε την Μ.Ε.Τ. στηρίζεται τότε στο από µοντέο έµµεσων παρατηρήσεων A L (7) όπου Α(m n) είναι ο πίνακας σχεδιασµού, που συγκροτείται από τις µερικές παραγώγους των εξισώσεων ως προς τους αγνώστους, (n ) το διάνυσµα των άγνωστων παραµέτρων και L(n ) το διάνυσµα των παρατηρήσεων (µετρηµένες συντεταγµένες). Στον µετασχηµατισµό οµοιότητας, γιά παράδειγµα, εάν διατίθενται οι γνωστές (, ) και οι µετρηµένες (, ) συντεταγµένες τριών ση- µείων, προκύπτει από τις Εξ. 4: A L (8) d Τεικά οι εκτιµήσεις των άγνωστων παραµέτρων είναι T T ( A A) ( A L) (9) 7

8 Ο πρώτος µετασχηµατισµός Α. έχει µία παράµετρο (θ) και µπορεί να επιυθεί µε από τρόπο. Οι µετασχηµατισµοί Α. (στροφή κίµακα) και Α.4 (στροφή µετάθεση κίµακα) είναι γραµµικοί ως προς τους άγνωστους συντεεστές. Περιαµβάνουν και 4 ανεξάρτητους συντεεστές, αντίστοιχα, δηαδή όσους α- κριβώς και οι γεωµετρικές παράµετροι που ορίζουν τον µετασχηµατισµό. Άρα το πρόβηµα ύνεται άµεσα, χωρίς ανάγκη γιά γραµµικοποίηση των εξισώσεων. Αντίθετα, ο µετασχηµατισµός Α.3 (στροφή µετάθεση) εκφράζεται µεν επίσης µέσω 4 συντεεστών κατά την Εξ., αά οι ανεξάρτητες γεωµετρικές παρά- µετροι που ορίζουν το συγκεκριµένο πρόβηµα είναι µόνον τρείς (θ, t, t). Η ε- ξάρτηση των συντεεστών,, και d του µετασχηµατισµού περιγράφεται από την µη γραµµική δέσµευση της Εξ. 0. Έτσι, κατά την συνόρθωση πρέπει είτε να προστεθεί στις εξισώσεις παρατήρησης Εξ. και η συνθήκη Εξ. 0 είτε ένα των, να αντικατασταθεί από την Εξ. 0 στις Εξ., που τότε πχ. γίνονται d (0) Η συνέπεια είναι ότι ειδικά σε αυτόν τον µετασχηµατισµό απαιτείται, ούτως ή άως, γραµµικοποίηση των εξισώσεων και διαδοχικές προσεγγίσεις, εποµένως και εξασφάιση αρχικών τιµών. Οι τεευταίες βρίσκονται αυτόµατα µε απόν τρόπο εάν, γιά παράδειγµα, ο σχετικός αγόριθµος προβέπει πρώτα έναν µετασχηµατισµό οµοιότητας ο οποίος, όπως σηµειώθηκε, επιύεται άµεσα. εδοµένου ότι στην συγκεκριµένη περίπτωση θα είναι, οι συντεεστές του µπορούν να χρησιµοποιηθούν απευθείας ως (πού ακριβείς) προσεγγιστικές τιµές γιά τον µετασχηµατισµό Α.3. Αρχικές τιµές άωστε βρίσκονται και από δύο ζεύγη οµόογων σηµείων στα δύο συστήµατα. Οι προαναφερθέντες µετασχηµατισµοί δεν θίγουν το σχήµα των αντικειµένων. Ο µεν πρώτος µεταβάει αποκειστικά τον προσανατοισµό, ο δεύτερος επιπέον το µέγεθος, ο τρίτος τον προσανατοισµό και την θέση, ενώ ο τεευταίος αποτεεί συνδυασµό τους. Οι τρείς επόµενοι ακόµα βασικότεροι γιά την φωτογραµµετρία δισδιάστατοι µετασχηµατισµοί µεταβάουν, πέον, και το σχήµα των αντικειµένων. Β. ισδιάστατοι µετασχηµατισµοί µε µεταβοή του σχήµατος Β. Ορθογωνικός µετασχηµατισµός Αν στην προηγούµενη περίπτωση θεωρηθεί ότι µεταξύ των συστηµάτων δεν υφίσταται ενιαία µεταβοή κίµακας αά διαφορετικές κίµακες και κατά και, αντίστοιχα, τότε οι εξισώσεις µετασχηµατισµού είναι πέον 0 t R () 0 t 8

9 και σε ανεπτυγµένη µορφή () υπό την απαραίτητη όµως δέσµευση µεταξύ των παραµέτρων αφού προφανώς από τις Εξ. και είναι 0 (3) sθ sinθ sinθ sθ t t (4) Οι γεωµετρικές παράµετροι προκύπτουν από τους αγεβρικούς συντεεστές ως tnθ > 0 θ tn < 0 θ tn π (5) (5) Λόγω των διαφορετικών κιµάκων το σχήµα εδώ αοιώνεται, όµως διατηρούνται οι γωνίες µεταξύ ευθειών. Οι ανεξάρτητοι συντεεστές της Εξ. είναι πέντε και όχι έξι, αφού πέντε είναι οι γεωµετρικές παράµετροι (στροφή δύο µεταθέσεις δύο κίµακες), πράγµα που εκφράζεται µε την δέσµευση Εξ. 3. Συνεπώς οι Εξ. δεν είναι γραµµικές ως προς τους πέντε συντεεστές και απαιτούνται αρχικές τιµές των παραµέτρων, γραµµικοποίηση των εξισώσεων και επαναηπτική πορεία επίυσης. Αυτός είναι εξάου και ο όγος που ακόµα κι όταν το γεωµετρικό πρόβηµα είναι εκείνο του ορθογωνικού µετασχηµατισµού χρησιµοποιείται στην θέση του σχεδόν αποκειστικά ο αγοριθµικά αµεσότερος α- φινικός µετασχηµατισµός B. Αφινικός ή οµοπαράηος µετασχηµατισµός Ο αφινικός µετασχηµατισµός ffine tnsfmtin συνιστά έναν γενικότερο βασικό δισδιάστατο µετασχηµατισµό: πέραν των τεσσάρων παραµέτρων του µετασχηµατισµού οµοιότητας περιαµβάνει δύο ακόµα παραµέτρους, οι οποίες ερ- µηνεύονται ως παραµορφώσεις του ενός συστήµατος συντεταγµένων (ή και των δύο). Μία εποπτική γεωµετρική εξήγησή τους είναι η ακόουθη: δύο αντί µίας ενιαίας µεταβοές κίµακας κατά τους δύο ά- 9

10 ξονες του ενός των συστηµάτων, όπως συµβαίνει και στον ορθογωνικό µετασχηµατισµό Β., και απόκιση των δύο αξόνων από την ορθογωνικότητα. Θεωρείται το σύστηµα και έστω οιπόν το κατά το Σχ. µη ορθογωνικό σύστηµα συντεταγµένων µε διαφορικές κίµακες, κατά τους αντίστοιχους άξονες ως προς το πρώτο. Αν ε είναι η γωνία κατά την οποία οι άξονες του συστήµατος αποκίνουν από την ορθογωνικότητα, οι δύο συντεταγµένες, σηµείου Α στο αντίστοιχο ορθογωνικό σύστηµα µε την ίδια αφετηρία Ο και άξονα προκύπτουν από τις συντεταγµένες και του Α ως sε sinε (6), ε A O O θ ε Σχήµα Υποθέτοντας ότι η απόκιση των αξόνων από την ορθογωνικότητα συνιστά α- πώς ένα σφάµα του συστήµατος, εποµένως ότι η γωνία ε είναι µικρή, µπορεί κανείς να θεωρήσει ότι sε, sinε ε. Τότε οι Εξ. 6 γράφονται ως ε ε 0 (7) Εάν τώρα άβουµε υπόψη τις διαφορικές κίµακες κατά τον και κατά τον, χρησιµοποιήσουµε τον πίνακα στροφής R(θ) όπως στα προηγηθέντα και εισαγάγουµε, τέος, και τις µετατοπίσεις t και t, τεικά θα προκύψει: sθ sinθ sinθ sθ ε t t (8) 0

11 Σε ανεπτυγµένη µορφή παίρνει κανείς τότε τις δύο εξισώσεις κατά και : t sθ εsθ) sinθ ( t sinθ εsinθ) (sθ (9) Από τις Εξ. 9 προκύπτει η συνήθης έκφραση του αφινικού µετασχηµατισµού (30) ενώ ο αντίστροφος µετασχηµατισµός είναι (3) Οι έξι συντεεστές i, i, i (i, ) συνδέονται µε τις έξι γεωµετρικές παραµέτρους κατά τρόπο προφανή, όπως εξάγεται από την σύγκριση των Εξ. 9 και 30: t sθ εsθ) sinθ ( t sinθ εsinθ) (sθ (3) Αντίστροφα, από τις σχέσεις αυτές εκφράζονται οι 6 γεωµετρικές παράµετροι ε- νός αφινικού µετασχηµατισµού (στροφή, µεταθέσεις, κίµακες, απόκιση α- ξόνων από ορθογωνικότητα) συναρτήσει των 6 αγεβρικών συντεεστών του: < > π tn θ 0 tn 0 tnθ θ () ε ε () () ενώ τα στοιχεία της µετάθεσης έχουν δοθεί στις Εξ. 3 ως t t (d) Ο αφινικός µετασχηµατισµός είναι ο γενικότερος, συνηθέστερα εφαρµοζόµενος µετασχηµατισµός στις προαναφερθείσες περιπτώσεις µεταφοράς µετρήσεων α- πό το σύστηµα του οργάνου (συγκριτή, ψηφιοποιητή) ή το αριστερόστροφο σύ-

12 στηµα ψηφιακής εικόνας στο σύστηµα των εικονοσυντεταγµένων, αά και σε περίπτωση ψηφιοποίησης χαρτών και διαγραµµάτων. τον προβέπουν άωστε και τα περισσότερα περιβάοντα ογισµικού που επιτρέπουν ψηφιοποίηση (πχ. AUTOCAD, ARC/INFO) αά και τα ψηφιακά φωτογραµµετρικά συστήµατα. Η ε- φαρµογή του αµβάνει ταυτόχρονα υπόψη και διορθώνει τυχόν εαττώµατα µη ορθογωνικότητας και διαφορικής κίµακας ( αφινικές παραµορφώσεις ). Έτσι, ο αφινικός µετασχηµατισµός έχει δύο βασικές χρησιµότητες: Aπή µεταφορά συντεταγµένων από σύστηµα σε σύστηµα. Στις περιπτώσεις αυτές, που είναι οι περισσότερες, ο µετασχηµατισµός αποτεεί α- πό ενδιάµεσο βήµα στο παίσιο µιάς µετρητικής διαδικασίας. Άρα δεν ενδιαφέρει εν προκειµένω η γνώση τυχόν αφινικών παραµορφώσεων του φίµ, του φωτογραφικού χαρτιού, του χάρτη, του συστήµατος µέτρησης του οργάνου κ.π., ενδιαφέρει µόνον η διόρθωσή τους: υποογισµός των 6 συντεεστών και κατόπιν, µέσω αυτών, µετατροπή των συντεταγµένων. Σε ορισµένες περιπτώσεις, όµως, το ενδιαφέρον µπορεί να εστιάζεται στο να εκτιµηθούν ακριβώς οι αφινικές παραµορφώσεις των οργάνων ψηφιοποίησης, ήτοι να απαιτείται βαθµονόµηση ενός ψηφιοποιητή, συγκριτή ή σαρωτή µε την µέτρηση βαθµονοµηµένου καννάβου. Η µορφή (Εξ. 30) του µετασχηµατισµού είναι αντίθετα µε την Εξ. 9 γραµµική ως προς τους αγνώστους και αυτή χρησιµοποιείται στην πράξη γιά την επίυση. Αά οι συντεεστές i, i είναι συναρτήσεις και της στροφής (Εξ. 3), η οποία γενικά δεν αποτεεί στοιχείο της βαθµονόµησης, άρα δεν µπορούν να ερµηνευτούν άµεσα. Στην περίπτωση οιπόν αυτήν, οι 3 ζητούµενες καθαυτό αφινικές παραµορφώσεις ε,, εκτιµώνται από τις Εξ.,. Γιά να βρεθούν οι n 6 συντεεστές του µετασχηµατισµού απαιτούνται τουάχιστον m n/, δηαδή 3 σηµεία γνωστά στα δύο συστήµατα και µη κείµενα επ ευθείας. Γενικά όµως χρησιµοποιούνται m 4 σηµεία (εικονοσήµατα ή σηµεία éseu ή άκρα της εικόνας ή σηµεία καννάβου του χάρτη), οπότε η συνόρθωση πραγµατοποιείται µε m 6 βαθµούς εευθερίας. Υιοθετείται και εδώ το µοντέο συνόρθωσης των έµµεσων παρατηρήσεων (β. Εξ. 7, 9). Αξίζει να σηµειωθεί όµως ότι καθεµία των Εξ. 30 περιαµβάνει µόνο τρείς από τους έξι συντεεστές, άρα οι m κατά εξισώσεις µπορούν να επιυθούν ανεξάρτητα από τις m εξισώσεις κατά, οπότε και προκύπτουν τα εξής δύο ανεξάρτητα συστήµατα: A L A L (34) µε [ ] T και [ ] T. Οι πίνακες που πρέπει να αντιστραφούν είναι, έτσι, διαστάσεων 3 3 και όχι 6 6. Έχει ήδη αναφερθεί ότι ο αφινικός µετασχηµατισµός αοιώνει το σχήµα των α- ντικειµένων. Ωστόσο οι παραηίες ευθειών διατηρούνται. Θεωρώντας ευθεία p q, όπου p η κίση της ως προς τον, για αυτήν θα είναι µετά από τον µετασχηµατισµό, βάσει της Εξ. 30, στο σύστηµα : p p q p q p q (35) p p

13 Όες οι ευθείες κίσης p στο αρχικό σύστηµα έχουν συνεπώς κοινή κίση p στο νέο σύστηµα, δηαδή παραµένουν παράηες. Με την εξαίρεση της παραηίας, όες οι άες γωνιακές σχέσεις µεταξύ ευθειών αοιώνονται. Θεωρούνται έτσι, γιά όγους απότητας, δύο ορθογωνικές ευθείες, η µία παράηη στον άξονα (κίση p 0) και η άη παράηη στον (κίση /p 0). Στο νέο σύστηµα οι αντίστοιχες κίσεις τους προκύπτουν από την Εξ. 35 ως p p (36) Με την υπόθεση ότι δεν υφίσταται στροφή µεταξύ των συστηµάτων (θ 0), η συνεφαπτοµένη της γωνίας δ την οποία σχηµατίζουν πέον µεταξύ τους οι δύο (στο αρχικό σύστηµα ορθογωνικές) ευθείες προκύπτει µέσω και των Εξ. 3 ως tδ ε 0 (37) Εάν δηαδή οι άξονες και δεν είναι ορθογωνικοί (ε 0), οι εν όγω δύο ευθείες τέµνονται πέον υπό γωνία δ 90. Όες οι παράηες στον και στον παραµένουν ωστόσο παράηες µεταξύ τους (µε κίσεις που δίνει η Εξ. 35). Από την άη µεριά, για ε 0 διατηρείται µεν η γωνία τοµής µεταξύ ευθειών, αά αυτό δεν συνεπάγεται, κατ ανάγκην, διατήρηση του σχήµατος εξαιτίας α- κριβώς των διαφορετικών κατά, κιµάκων ( περίπτωση ορθογωνικού µετασχηµατισµού Β.). Γενικότερα, ο αφινικός µετασχηµατισµός µετασχηµατίζει έ- να τετράγωνο σε σχήµα εξαρτώµενο από τις τιµές των 3 αφινικών παραµέτρων: ε 0 και τετράγωνο ε 0 και ορθογώνιο παραηόγραµµο ε 0 και παραηόγραµµο ε 0 και παραηόγραµµο Είναι σαφές ότι η γεωµετρική ερµηνεία του αφινικού µετασχηµατισµού που δόθηκε εδώ δεν είναι η µόνη δυνατή. Στην βιβιογραφία, οι κίσεις των αξόνων περιγράφονται ενίοτε µε το ζεύγος παραµέτρων στροφή του άξονα ανεξάρτητη στροφή του άξονα αντί του συνδυασµού ενιαία στροφή των αξόνων απόκισή τους από ορθογωνικότητα. Από την άη µεριά, οι ανώτεροι γραµµικοί µετασχηµατισµοί (περισσότερες ανεξάρτητες παράµετροι) µπορούν να ενσωµατώνουν τους κατώτερους, όπως δείχνεται αναυτικότερα στην συνέχεια. Αυτό σηµαίνει, γιά παράδειγµα, πως διαφορετικές κίµακες µπορούν να έχουν και οι άξονες του δεύτερου συστήµατος, οπότε οι συντεεστές της Εξ. 3 θα είναι συνάρτηση και αυτών των παραµέτρων. Σε τέτοιες όµως περιπτώσεις που ο αριθµός των θεωρούµενων γεωµετρικών παραµέτρων είναι µεγαύτερος του 6, είναι σαφές ότι δεν είναι δυνατόν να βρεθούν αυτές οι γεωµετρικές παράµετροι από τους έξι αγεβρικούς συντεεστές. Η διαδικασία όµως του αφινικού µετασχηµατισµού µπορεί, προφανώς, να διεξαχθεί κανονικά µε την Εξ

14 B. Προβοικός µετασχηµατισµός (φωτογραµµετρική αναγωγή) Ο γενικότερος µετασχηµατισµός στον χώρο των δύο διαστάσεων, ο οποίος έχει ξεχωριστή σηµασία γιά την φωτογραµµετρία, είναι ο προβοικός µεταχηµατισµός. Σε αντίθεση µε τα προηγηθέντα, η εφαρµογή του δεν αφορά µετασχηµατισµούς µεταξύ απεικονίσεων (αναογική και ψηφιακή εικόνα, χάρτης) που µετρούνται σε διαφορετικά συστήµατα αναφοράς. Η βασική χρήση του είναι στην φωτογραµµετρική απόδοση (αποτύπωση) του χώρου από µετρήσεις σε εικόνες. Εξαιτίας του δισδιάστατου χαρακτήρα του, µε αυτόν είναι προφανώς δυνατή µόνον η απόδοση αντικειµένων (απούτως ή κατά ικανή προσέγγιση) επίπεδων. Ο προβοικός µετασχηµατισµός (ειδικότερα δε στην φωτογραµµετρία: η προβοική σχέση εικόνας D χώρου) εκφράζεται µε τις δύο κασµατικές εξισώσεις X Y 3 X Y 3 (38) X Y X Y 3 3 Με αυτές συνδέονται οι συντεταγµένες σηµείων κείµενων επί επιπέδου ΧΥ του χώρου µε τις αντίστοιχες εικονοσυντεταγµένες τους. Και αυτός ο µετασχη- µατισµός είναι προφανώς αµφιµονοσήµαντος. ηαδή µπορούµε από γνωστά Χ, Υ να υποογίσουµε δεδοµένων των 8 ανεξάρτητων συντεεστών ij του µετασχηµατισµού τα αντίστοιχα, ή, κυρίως, να µεταφερθούµε από την εικόνα στον χώρο, υποογίζοντας επίπεδες συντεταγµένες X, Y του χώρου από τις µετρηµένες εικονοσυντεταγµένες,. Λύνουµε έτσι τις Εξ. 38 και ως προς Χ, Υ: ( ( 3 3 )X ( )X ( )Y )Y οπότε ο αντίστροφος µετασχηµατισµός τεικά προκύπτει ως A A A3 A A A3 X Y (39) A A A A 3 3 Οι σχέσεις, εποµένως, µεταξύ των συντεεστών Α ij και ij είναι: 3 3 A A A 3 3 Α 3 3 Α 3 Α 3 3 A A A 3 Α Α Α A A 3 3 µε Α 3 3 Α 3 Α 3 (40) Ο µετασχηµατισµός Εξ. 38 και ο αντίστροφός του Εξ. 39 είναι ισοδύναµοι ακριβώς επειδή ο απεικονιζόµενος χώρος θεωρείται εδώ επίπεδος. 4

15 Είναι γνωστό πως κάθε σηµείο εικόνας δεδοµένου εσωτερικού και εξωτερικού προσανατοισµού ορίζει µία προβοική ακτίνα στον χώρο (εξίσωση ευθείας περιγραφόµενης µε την συνθήκη συγγραµµικότητας), δηαδή παρέχει δύο εξισώσεις µε 3 αγνώστους, τις συντεταγµένες Χ, Υ, Ζ του αντίστοιχου σηµείου στον χώρο. Εάν όµως είναι γνωστή και µιά τρίτη σχέση που συνδέει τα Χ, Υ, Ζ, τότε αυτά µπορούν να βρεθούν µονοεικονικά. Θεωρώντας δηαδή γνωστή την επιφάνεια στην οποία κείνται τα σηµεία του χώρου, οι συντεταγµένες τους µπορούν να προκύψουν ως τοµές της κάθε προβοικής ακτίνας µε αυτήν. Στην απούστερη περίπτωση επίπεδου αντικειµένου, η γραµµική εξίσωσή του της µορφής Ζ X Y µπορεί να εισαχθεί στις εξισώσεις της συγγραµµικότητας, οι οποίες παίρνουν πέον την µορφή f (X,Y) g(x, Y) (4) h(x, Y) h(x, Y) όπου f, g, h είναι γραµµικές συναρτήσεις των Χ, Υ. Η οµοιότητα µε τις Εξ. 38 είναι προφανής και οι τεευταίες µπορούν, έτσι, να χρησιµοποιηθούν αντί των εξισώσεων συγγραµµικότητας γιά την µονοεικονική απόδοση του επίπεδου α- ντικειµένου. Γιά να είναι όµως η απόδοση σε ορθή και όχι πάγια προβοή, θα πρέπει το επίπεδο του αντικειµένου να είναι εκφρασµένο σε σύστηµα τέτοιο, ώ- στε η εξισωσή του σε αυτό να είναι της µορφής Ζ σταθερό ή, ακόµα απούστερα, Ζ 0, δηαδή το επίπεδο του αντικειµένου να είναι παράηο, ή αντίστοιχα να ταυτίζεται, µε το επίπεδο ΧΥ του συστήµατος αναφοράς του χώρου. Οι προβοικοί µετασχηµατισµοί εικόναςεπιπέδου Εξ. 38 και 39 αποτεούν συνεπώς εκφράσεις της φωτογραφικής προοπτικότητας ή προοπτικής απεικόνισης ( κεντρικής προβοής) και στην προκειµένη περίπτωση επίπεδων αντικειµένων και µόνον είναι εντεώς ισοδύναµοι µε την συνθήκη συγγραµµικότητας. Από ορισµένες µάιστα απόψεις υπερέχουν της τεευταίας, όγος εξ άου γιά τον οποίον είναι τόσο χρήσιµες στις φωτογραµµετρικές εφαρµογές. Η βασική διαφορά έγκειται ακριβώς στην διάκριση της προβοικότητας από την προοπτικότητα. Η δεύτερη είναι, όπως είπαµε, προϊόν της κεντρικής προβοής: µία δεδοµένη εικόνα έχει ηφθεί από ορισµένη θέση µε ορισµένη µηχανή ορισµένου εξωτερικού προσανατοισµού. Έκφραση της συγκεκριµένης κεντρικής προβοής (προοπτικότητας) διά των εξισώσεων της συγγραµµικότητας προϋποθέτει ότι τα εικονοσηµεία έχουν µετρηθεί απευθείας ή έχουν προηγουµένως µεταφερθεί µε έναν από τους προαναφερθέντες απούστερους µετασχηµατισµούς στο σύστη- µα εικονοσυντεταγµένων. Στην Εξ. 38, αντίθετα, οι µετρήσεις των εικονοση- µείων µπορούν να είναι σε οποιοδήποτε αυθαίρετο σύστηµα (του οργάνου µέτρησης ή της ψηφιακής εικόνας). Πράγµατι, ας υποτεθεί ότι οι µετρήσεις, των εικονοσηµείων συνδέονται µε τις εικονοσυντεταγµένες, κατά την Εξ. 30 µε τον αφινικό µετασχηµατισµό u (4) v w u v w Εισαγωγή των Εξ. 4 στην Εξ. 38 δίνει τότε: 5

16 X Y 3 I u v w 3X 3Y III X Y 3 II u v w X Y III 3 3 (43) Λύνοντας κανείς τις Εξ. 43 ως προς και έχει τεικά ότι: Iv IIv III(wv w v) X Y 3 III(uv u v) 3X 3Y IIu Iu III(wu w u) X Y 3 III(u v u v ) X Y 3 3 (44) όπου έχουν τεθεί, βάσει της επόµενης Εξ. 45: 3 3 v v v 3 v v v (w v 3 3 (w v (w v w v ) w v ) w v ) 3 3 u u u 3 u u u (w v 3 (w u 3 (w u w u ) w u ) w v ) 3 3 ( u v 3 3 u v ) Προκύπτουν δηαδή και πάι εξισώσεις, οι Εξ. 44, της γενικής µορφής Εξ. 38. Αυτές περιγράφουν όχι πέον την σχέση των εικονοσυντεταγµένων µε τα XY αά την σχέση των εικονοσηµείων (που µπορούν να έχουν µετρηθεί σε ο- ποιοδήποτε αυθαίρετο σύστηµα) απευθείας µε τα ΧΥ του χώρου. Η διαφορά έγκειται φυσικά στο ότι οι 8 συντεεστές ij της Εξ. 38 είναι διαφορετικοί των α- ντίστοιχων ij της Εξ. 44. Προφανή, έτσι, πεονεκτήµατα του προβοικού µετασχηµατισµού (αναγωγή) έναντι της συνθήκης συγγραµµικότητας είναι ότι: εν είναι αναγκαίο να χρησιµοποιηθούν εικονοσυντεταγµένες, µε την αυστηρή έννοια, δηαδή οι µετρήσεις να αναφέρονται στο σύστηµα το οριζόµενο από τα εικονοσήµατα ή τα σηµεία éseu. Οι εξισώσεις του προβοικού µετασχηµατισµού είναι, έτσι, ιδιαίτερα κατάηες γιά τις ε- ρασιτεχνικές µη µετρικές µηχανές (β. και περί άµεσου γραµµικού µετασχηµατισµού Γ.3), όπου υπάρχει ακριβώς προφανής δυσκοία να ορίζεται αξιόπιστα το σύστηµα εικονοσυντεταγµένων. Μπορούν οιπόν να χρησι- µοποιούνται απευθείας όχι µόνο µετρήσεις στο σύστηµα του οργάνου µέτρησης αά ακόµα και συντεταγµένες piel ψηφιακής εικόνας. Άµεση συνέπεια είναι ότι ο προβοικός µετασχηµατισµός είναι εφαρ- µόσιµος και µε συντεταγµένες σηµείων που έχουν µετρηθεί σε κάποιο τµήµα της εικόνας, χωρίς δηαδή να είναι γνωστά τα ακριβή όριά της (όπως πχ. συµβαίνει µε τις έγχρωµες φωτογραφίες αυτόµατης εκτύπωσης). Επανααµβάνεται, τέος, ότι οι µετρηµένες συντεταγµένες δεν είναι α- παραίτητο να έχουν διορθωθεί εκ των προτέρων από τα τυχόν γραµµικά σφάµατα της ίδιας της εικόνας (συρρίκνωση) ή/και του συστήµατος µέ- 6

17 τρησης (µη ορθογωνικότητα και διαφορική κίµακα αξόνων). Ο προβοικός µετασχηµατισµός, όντας γενικότερος των προηγούµενων, ενσωµατώνει όες τις γραµµικές µεταβοές. (Μη γραµµικές δηαδή µη προβοικές παραµορφώσεις, όπως είναι η ακτινική διαστροφή του φακού, δεν µπορούν βέβαια να διορθωθούν.) Από τα προηγηθέντα καθίσταται σαφές ότι οι γενικές σχέσεις της µορφής Εξ. 38 εκφράζουν, διά των κατάηων κάθε φορά συντεεστών, την σχέση δύο προβοικών σηµειοσυνόων και XY ανεξαρτήτως του συστήµατος αναφοράς στο οποίο έχουν µετρηθεί αυτά. Με την οοκήρωση οιπόν της φωτογραφικής ήψης, η συγκεκριµένη προοπτική θέση εικόναςεπιπέδου καταργείται : εκείνο που µένει είναι το σηµειοσύνοο της εικόνας, το οποίο βρίσκεται σε προβοική σχέση µε το αντίστοιχο σηµειοσύνοο του επιπέδου. Ενώ συνεπώς η εικόνα του επιπέδου έχει προέθει από ήψη µε συγκεκριµένον εσωτερικό και εξωτερικό προσανατοισµού, η γεωµετρική σχέση ανάµεσα στα εικονοσηµεία και τα οµόογα σηµεία του χώρου είναι πέον ανεξάρτητη της συγκεκριµένης γεωµετρίας της ήψης. Μπορεί δηαδή να έχει προέθει από απειρία συνδυασµών µηχανής ήψης, σηµείου ήψης και προσανατοισµού. Η γενική προβοική σχέση Εξ. 38 συµπυκνώνει όες τις δυνατές κεντρικές προβοές που θα µπορούσαν, εξίσου καά, να είχαν δηµιουργήσει την ίδια ακριβώς εικόνα. (Συγχρόνως αµβάνει υπόψη τυχόν γραµµικά αφινικά σφάµατα των συστηµάτων αναφοράς, στα ο- ποία είναι εκφρασµένα τα σηµεία.) Πρίν δοθούν οι σχέσεις που συνδέουν τους προβοικούς συντεεστές ij µε τα στοιχεία προσανατοισµού της εικόνας, δύο απά παραδείγµατα εικονογραφούν τα προηγηθέντα. Το πρώτο έχει να κάνει µε την µεγέθυνση της εικόνας. Εάν οιπόν οι µετρήσεις, εικονοσηµείων έχουν πραγµατοποιηθεί σε εικόνα µεγέθυνσης Μ του αρνητικού, εφαρµογή της συνθήκης συγγραµµικότητας επιβάει βέβαια να διατηρηθεί η γεωµετρία της δέσµης των ακτίνων προβοής, δηαδή ότι: είτε οι µετρήσεις ανάγονται πρώτα ως /M, /M στο σύστηµα εικονοσυντεταγµένων της εικόνας είτε αντί της σταθεράς της µηχανής, εάν αυτή είναι γνωστή, χρησι- µοποιείται η σταθερά της εικόνας ε Μ. Αντίθετα, ο προβοικός µετασχηµατισµός (Εξ. 38) µπορεί να εφαρµοστεί απευθείας γιά τις µετρηµένες συντεταγµένες, της µεγεθυµένης εικόνας. Έστω, ακόµα, µία από απόσταση Η και χωρίς στροφές ήψη επιπέδου ΧΥ µε αρχή συστήµατος την προβοή του σηµείου ήψης στο ΧΥ (άρα γιά το σηµείο ήψης είναι X Y 0) και µηχανή σταθεράς. Έστω ότι Ν ση- µεία γνωστά στο επίπεδο (X i, Y i ) µετρούνται στην εικόνα ( i, i ). Εάν αγνοηθεί το πρωτεύον σηµείο της εικόνας ( 0), οι εξισώσεις συγγραµµικότητας γιά τυχόν σηµείο είναι: i Xi i Yi (46) H H ενώ οι αντίστοιχες προβοικές σχέσεις (Εξ. 38) γίνονται: X Y (47) i i i i 7

18 Είναι σαφές ότι από τις Εξ. 47 βρίσκονται οι δύο συντεεστές, οι οποίοι µάιστα είναι ίσοι αφού προφανώς εκφράζουν την ενιαία κίµακα :k ( ) της απεικόνισης. Αντίθετα, δεν είναι προφανώς δυνατόν να βρεθούν από την Εξ. 46 ξεχωριστά και η απόσταση ήψης και η σταθερά της µηχανής. Η Εξ. 46 εκφράζει την συγκεκριµένη κεντρική προβοή, η οποία εδώ παραµένει άγνωστη. Αυτό όµως δεν εµποδίζει να εκτιµηθεί από την Εξ. 47 ο συντεεστής (δηαδή η κίµακα) και δι αυτού να προσδιοριστούν νέα Χ, Υ από µετρηµένες εικονοσυντεταγµένες,, άρα να αποδοθεί το επίπεδο αντικείµενο χωρίς να είναι γνωστή η κεντρική προβοή: όντως, η συγκεκριµένη εικόνα θα µπορούσε να έχει προέθει µε απειρία συνδυασµών και Η k. Εάν γενικεύσει κανείς, προκύπτουν από εδώ δύο βασικά συµπεράσµατα, τα οποία αναφέρονται και στην συνέχεια: α) η απόδοση επίπεδων αντικειµένων είναι δυνατή χάρη στην προβοικότητα των δύο σηµειοσυνόων, χωρίς δηαδή να απαιτείται γνώση του ε- σωτερικού και εξωτερικού προσανατοισµού της εικόνας β) επιπέον, εάν διαθέσιµα στοιχεία είναι µόνον οι συντεταγµένες χώρου Χ, Υ σηµείων ενός επιπέδου του χώρου, ταυτόχρονος προσδιορισµός του εσωτερικού και του εξωτερικού προσανατοισµού της εικόνας είναι αδύνατος. Ήδη στο προηγηθέν παράδειγµα δείχθηκε ότι τα και H δεν προκύπτουν ανεξάρτητα. Η σχέση µεταξύ των εξισώσεων της συγγραµµικότητας και της προβοικής εξίσωσης Εξ. 38 βρίσκεται ως εξής. Η πρώτη γράφεται, ως γνωστόν, ως ( X X Y Y Z Z ) ( ) ( ) ( X X ) ( Y Y ) ( ZZ ) ( X X Y Y Z Z ) ( ) ( ) ( X X ) ( Y Y ) ( ZZ ) (48) όπου,, τα στοιχεία του εσωτερικού προσανατοισµού, Χο, Υο, Ζο οι συντεταγµένες χώρου του σηµείου ήψης Ο της εικόνας και ij τα στοιχεία του πίνακα στροφής της R R(κ)R(φ)R(ω), µε ω, φ, κ τις γωνίες στροφής της εικόνας περί τους άξονες Χ, Υ, Ζ του χώρου, αντίστοιχα. Θεωρείται επίπεδο αντικείµενο και γεωδαιτικό σύστηµα αναφοράς ΧΥ επί του επιπέδου, οπότε ισχύει Z Z Η σταθερό. Αν διαχωρίσουµε στις παραπάνω εξισώσεις τους συντεεστές των Χ, Υ και τους σταθερούς όρους προκύπτει: ( ( 3 3 )X ( )X ( )Y ( X 3 )Y ( X 3 Y Y [ X Y H] 3 )X )X ( ( [ X Y H] )Y ( )Y ( 3 3 )H (49) )H Συγκρίνοντας τις Εξ. 49 µε τις 38 καταήγουµε στις τεικές σχέσεις των προβοικών συντεεστών µε τα στοιχεία προσανατοισµού της εικόνας. Υπογραµµίζεται ότι οι σχέσεις αυτές ισχύουν αυστηρά γιά κεντρικές προβοές, δηαδή: α) τα µετρηµένα εικονοσηµεία αναφέρονται στο σύστηµα των εικονοσυντεταγµένων β) οι µετρήσεις υποτίθενται απααγµένες συστηµατικών σφαµάτων. 8

19 Οι σχέσεις οιπόν των 8 προβοικών συντεεστών ij µε τα 9 στοιχεία του εσωτερικού και εξωτερικού προσανατοισµού της εικόνας έχουν ως εξής: 3 ( 3) D ( 3) D X Y ( 3 D µε )H D ( 3 X 3 ( ( 3 Y D D X H) 3 ) 3 ) Y ( D D 3 3 D )H (50) Είναι σαφές ότι από τους 8 προβοικούς συντεεστές είναι αδύνατο να προσδιοριστούν τα 9 στοιχεία του προσανατοισµού της εικόνας (3 του εσωτερικού 6 του εξωτερικού). Μόνον εάν θεωρήσει κανείς µία παράµετρο του προσανατοισµού γνωστή συνήθως την σταθερά της µηχανής µπορούν από τα 8 ij να υποογιστούν οι υπόοιπες 8 παράµετροι του προσανατοισµού. ηαδή κατ αυτόν τον τρόπο επιέγεται η συγκεκριµένη κεντρική προβοή (προοπτικότητα) από την απειρία των όσων εµπεριέχονται στην δεδοµένη προβοικότητα. Βασικό συµπέρασµα, το οποίο έχει ήδη µνηµονευτεί, είναι ότι από επίπεδη κατανο- µή φωτοσταθερών δεν είναι δυνατόν να προσδιοριστεί µονονεικονικά ο εσωτερικός και ο εξωτερικός προσανατοισµός της εικόνας (βαθµονόµηση µηχανής φωτογραµµετρική οπισθοτοµία). Προς τούτο απαιτείται 3D πεδίο εέγχου ή α- ντίστοιχη κατανοµή φωτοσταθερών και µάιστα µε επαρκές ανάγυφο (γιά παράδειγµα, >0% της απόστασης ήψης). Γιά την πρακτική εφαρµογή του προβοικού µετασχηµατισµού στην απόδοση ε- πίπεδων αντικειµένων φωτογραµµετρική αναγωγή σηµειώνονται τα εξής: Απαιτείται γνώση τουάχιστον 4 σηµείων του επίπεδου αντικειµένου µε τις συντεταγµένες τους Χ, Υ στο σύστηµα χώρου ( φωτοσταθερά ) πρβ. Σχ επιπεδο αντικειµενο εικονα αποδοση υπο κιµακα Σχήµα 3. Η πορεία της φωτογραµµετρικής αναγωγής µε τέσσερα φωτοσταθερά. Στην περίπτωση αεροφωτογραφιών τα σηµεία µπορούν να αντηθούν από διάγραµµα ανάογης κίµακας της περιοχής. Σε επίγειες εφαρµογές, προσηµασµένα ή φυσικά φωτοσταθερά µπορούν να µετρηθούν µε τοποµετρικές ή τοπογραφικές µεθόδους, έχει σηµασία όµως να εκφραστούν τεικά σε σύστηµα ΧΥ παράηο στο επίπεδο (β. πιο κάτω). Σε άµεσα προσβάσιµα αντικείµενα, γνω- 9

20 στά σηµεία είναι δυνατόν να ορίσουµε µετρώντας τις πευρές και διαγωνίους τετραπεύρων ή υοποιώντας τα µε οριζόντια και κατακόρυφα νήµατα κ.π. Τα 4 φωτοσταθερά σηµεία πρέπει να µην είναι ανά τρία συνευθειακά, είναι αναγκαίο δηαδή να ορίζουν ένα τετράπευρο. σε αντίθετη περίπτωση το πρόβηµα δεν έχει ύση. Τα φωτοσταθερά οφείουν, ακόµα, να είναι καά κατανε- µηµένα και κατά το δυνατόν να περιβάουν το αντικείµενο του ενδιαφέροντος. Είναι γενικά σκόπιµο να εξασφαίζονται περισσότερα γνωστά σηµεία, οπότε οι 8 άγνωστοι προκύπτουν µε συνόρθωση πεοναζουσών παρατηρήσεων. εδοµένων των 8 προβοικών συντεεστών, οι συντεταγµένες χώρου Χ, Υ υποογίζονται από τα µετρηµένα εικονοσηµεία µέσω των Εξ. 39. Εάν έχουν προσδιοριστεί τα ij της Εξ. 38, τα A ij της Εξ. 39 βρίσκονται από τις Εξ. 40. Είναι σαφές ότι οι εκάστοτε συντεεστές περιγράφουν την προβοική σχέση εικόναςχώρου γιά το συγκεκριµένο σύστηµα αναφοράς των µετρήσεων της εικόνας. Εάν πχ. η εικόνα επανατοποθετηθεί στον συγκριτή, γιά τις νέες µετρήσεις απαιτούνται νέοι συντεεστές, πρέπει δηαδή να µετρηθούν εκ νέου και τα φωτοσταθερά στην εικόνα. Οι Εξ. 38, 39 δεν είναι γραµµικές ως προς τους άγνωστους συντεεστές, αά δεν είναι αναγκαίο να γραµµικοποιηθούν. Οι Εξ. 38 µπορούν να γραφούν: v X Y X Y v X Y X Y (5) και να χρησιµοποιηθούν απευθείας ως γραµµικές εξισώσεις παρατήρησης κατά το µοντέο των Εξ. 7 και 9. Σε αυτές όµως τις εξισώσεις οι διορθώσεις v και v δεν είναι, αυστηρά µιώντας, διορθώσεις των µετρηµένων µεγεθών, αά διορθώσεις των εξισώσεων (σφάµατα κεισίµατος) αφού εµφανίζονται γινόµενα των 3 και 3 µε τα και. Από τον πίνακα στροφής έχουµε ότι 3 sinφ, 3 sinωsφ. Άρα, γιά µικρές κίσεις ω, φ της εικόνας ως προς το επίπεδο, από την Εξ. 50 φαίνεται ότι οι δύο αυτοί συντεεστές 3 και 3 είναι πού κοντά στο µηδέν. Με την έννοια αυτή, οι διορθώσεις v, v µπορούν να θεωρηθούν χωρίς µεγάη απόκιση ως διορθώσεις των ίδιων των µετρηµένων εικονοσυντεταγµένων. Από την άη µεριά, η Εξ. 39 µπορεί επίσης να έρθει στην µορφή: X X Y v A A A A X A X Y v A A A A Y A Y (5) Εδώ οι διορθώσεις v Χ, v Υ µπορούν να θεωρηθούν ως εναποµένοντα σφάµατα των συντεταγµένων χώρου και τα v, v είναι δυνατόν να εκτιµηθούν από αυτά, σε περίπτωση σχετικά µικρών στροφών της εικόνας, µε διαίρεσή τους µε τον συντεεστή (Α Α)/ της µέσης κίµακας της απεικόνισης. Η συνόρθωση βάσει των γραµµικών ως προς τους συντεεστές εξισώσεων Εξ. 5 συνιστά ένα ακόµα βασικό πεονέκτηµα των προβοικών εξισώσεων Εξ. 38 έναντι των εξισώσεων συγγραµµικότητας (Εξ. 48). Οι τεευταίες πρέπει να γραµµικοποιηθούν περί προσεγγιστικές τιµές των παραµέτρων του προσανατοισµού. Αντίθετα, οι Εξ. 5 δεν απαιτούν προσεγγιστικές τιµές και επαναήψεις. Εάν δε οι Εξ. 38 χρησιµοποιηθούν στην γενικευµένη µέθοδο της συνόρθωσης ή/και οι παρατηρήσεις και οι συντεταγµένες χώρου ΧΥ θεωρηθούν ανισοβαρείς περιπτώσεις που απαιτούν γραµµικοποίηση των Εξ. 38 από την ά- 0

21 µεση επίυση των γραµµικών Εξ. 5 εξασφαίζονται ακριβείς προσεγγιστικές τιµές των 8 παραµέτρων. Η προσφερόµενη από τις προβοικές σχέσεις δυνατότητα γιά άµεση επίυση συνιστά ένα πεονέκτηµά τους, το οποίο εκµεταεύεται ο γενικότερος άµεσος γραµµικός µετασχηµατισµός στην περίπτωση τρισδιάστατων αντικειµένων (β. Γ.3 στην συνέχεια). Στον βαθµό που τα v, v θεωρούνται ως διορθώσεις των εικονοσυντεταγµένων (σηµείο 4 παραπάνω), το τυπικό σφάµα σο της µονάδας βάρους προϊόν της συνόρθωσης κατά την Εξ. 6 από m φωτοσταθερά µε n 8 αγνώστους περιγράφει την µέση ακρίβεια σ, των µετρήσεων στην εικόνα. Ως γνωστόν, η τιµή του σο συγκεράζει τυχαία σφάµατα των µετρήσεων και αδιόρθωτα συστηµατικά σφάµατα. Τα τεευταία µπορούν να είναι γραµµικά τοπικού χαρακτήρα (πχ. όγω τοπικής µη επιπεδότητας του φιµ) είτε κυρίως µη γραµµικά µη προβοικά σφάµατα. Βασικότερο ανάµεσά τους είναι η συµµετρική ακτινική διαστροφή του φακού. Εφ όσον οι µετρήσεις εικονοσηµείων δεν έχουν διαφορά κίµακας µε το σύστηµα εικονοσυντεταγµένων και είναι ακρίβειας τέτοιας ώστε ο θόρυβος (τυχαία σφάµατα) να µην υπερκαύπτει το όγω διαστροφής σφάµα η ακρίβεια των φωτοσταθερών είναι, ανηγµένη στην κίµακα της εικόνας, επαρκώς υψηή ο αριθµός των φωτοσταθερών (πχ. 0) και η κατανοµή τους (καά κατανεµηµένα σε οόκηρη την έκταση της εικόνας) το επιτρέπουν η κατανοµή και το µέγεθος των εναποµενόντων σφαµάτων v, v των µετρηµένων συντεταγµένων περιγράφουν χονδρικά την ακτινική διαστροφή. Σε αυτά µάιστα τα v, v µπορεί να προσαρµοστεί πουώνυµο ακτινικής διαστροφής, ό- πως δείχνει το Σχ. 4. Οι συντεεστές του πουωνύµου θα µπορούσαν ακόµα να εισαχθούν ως άγνωστοι και απευθείας στις εξισώσεις παρατήρησης Εξ. 5. ( µ m) k 3 k5 k k (mm) Σχήµα 4. Παραµόρφωση καννάβου (αριστερά) και παρεµβοή πουωνύµου ακτινικής διαστροφής στις αποκίσεις των σηµείων από τις ορθές θέσεις τους (µηχανή Mmi Supe 3A, µεσαίου φορµατ 6 9 m, κανονικός φακός f 00 mm).

22 Γ. Τρισδιάστατοι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων Γ. Μετασχηµατισµός στερεού σώµατος (igid d tnsfmtin) Ως στερεό σώµα ορίζεται γεωµετρικά ένα τρισδιάστατο σηµειοσύνοο ΧΥΖ το οποίο, µετασχηµατιζόµενο, δεν µεταβάεται κατά σχήµα και µέγεθος. Υπ αυτήν την έννοια, σε ένα τρισορθογώνιο σύστηµα ο µετασχηµατισµός στερεού σώµατος προφανώς εµπέκει, στην γενικότερη περίπτωση, 6 συνοικά βαθµούς εευθερίας που εκφράζονται από τις ακόουθες 6 παραµέτρους: 3 συνιστώσες Χο, Υο, Ζο της µετάθεσης t κατά τους 3 άξονες 3 στροφές κατά τις γωνίες Ω, Φ, Κ περί τους ίδιους άξονες Χ, Υ, Ζ, αντίστοιχα, οι οποίες και συγκροτούν τον πίνακα στροφής R. Αν είναι το διάνυσµα τυχόντος σηµείου στο σύστηµα ΧΥΖ και το διάνυσµα του ίδιου σηµείου σε σύστηµα ΧΥΖ που διαφερει κατά στροφή και µετάθεση από το πρώτο, ο µετασχηµατισµός στερεού σώµατος εκφράζεται ισοδύναµα ως είτε R( t) (53) R t Στην πρώτη περίπτωση θεωρείται ότι προηγείται η στροφή, οπότε η µετάθεση αµβάνει χώρα στο σύστηµα ΧΥΖ, ενώ στην δεύτερη η στροφή έπεται, οπότε η µετάθεση αναφέρεται στο αρχικό σύστηµα ΧΥΖ. Είναι σαφές ότι t( Rt) t, δηαδή οι 3 συνιστώσες της µετάθεσης εξαρτώνται από την µορφή της Εξ. 53. Ο πίνακας στροφής, αντιθέτως, παραµένει ο ίδιος. (Σηµειώνεται ότι η µετάβαση στερεού σώµατος από την αρχική στην τεική θέση είναι δυνατόν να εκφραστεί µε µία µόνο στροφή περί έναν συγκεκριµένο άξονα και µία µετάθεση κατά έναν αντίστοιχο άξονα.) Είναι γνωστό ότι η µορφή ενός πίνακα στροφής R(3 3) εξαρτάται από την σειρά µε την οποία θεωρούνται οι στροφές. Γενικά υιοθετείται η διαδοχή ΩΦΚ: R R( Κ) R( Φ) R( Ω) (54) Ο µετασχηµατισµός στερεού σώµατος είναι προφανώς αµιφιµονοσήµαντος. Βάσει των γνωστών ιδιοτήτων των πινάκων στροφής (ορθογωνικότητα) ισχύει: Τ R R R( Ω) R( Φ) R( Κ) (55) Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός των Εξ. 53 µπορεί τότε να γραφεί ως: Τ R ( t ) είτε R Τ t (56) Τέος, αν ij (i, j,3) είναι τα 9 στοιχεία του πίνακα στροφής, ο µετασχηµατισµός στερεού σώµατος Εξ. 53 αναπτύσσεται στις ισοδύναµες 3άδες εξισώσεων: X Y Z X X O Y YO Z Z O είτε X Y Z X X Y Y Z Z O O O (57)

23 Συνεπώς κάθε σηµείο γνωστό και στα συστήµατα παρέχει 3 εξισώσεις. Ωστόσο, δεν επαρκούν σηµεία γιά να βρεθούν οι 6 παράµετροι Ω, Φ, Κ, Χο,Υο, Ζο του µετασχηµατισµού. Ο όγος είναι ότι µε σηµεία εναποµένει ένας αδέσµευτος βαθµός εευθερίας: η στροφή περί την ευθεία που ορίζουν τα δύο σηµεία. Είθισται, έτσι, να έγεται ότι αρκούν δύο σηµεία και η µία συντεταγµένη ενός τρίτου. Αυτά τα δεδοµένα δίνουν πάντως ύσεις αφού υπάρχει και δεύτερη θέση µε στροφή του στερεού σώµατος περί την ευθεία την οριζόµενη από τα πήρως γνωστά σηµεία στην οποία η συντεταγµένη του τρίτου σηµείου παίρνει την ορθή τιµή της. Εποµένως, η εάχιστη απαίτηση γιά τον µετασχηµατισµό στερεού σώµατος είναι γενικά 3 σηµεία γνωστά µέσω των συντεταγµένων τους στα δύο συστήµατα. Οι Εξ. 57 δεν είναι γραµµικές ως προς τις 6 παραµέτρους και το πρόβηµα επιύεται µε γραµµικοποίηση περί προσεγγιστικές τιµές. Στην γενική περίπτωση, οι 3D γραµµικοί µετασχηµατισµοί γράφονται ως: X Y Z X Y Z (58) Εν προκειµένω, µεταξύ των παραµέτρων ισχύουν προφανώς 6 δεσµεύσεις, α- φήνοντας έτσι 6 βαθµούς εευθερίας. Οι 6 συνθήκες είναι ακριβώς οι προερχό- µενες από την ορθογωνικότητα του πίνακα στροφής. Συγκεκριµένα είναι: (59) Ο µετασχηµατισµός στερεού σώµατος έχει πείστες όσες εφαρµογές σε προβή- µατα φωτογραµµετρίας αά και τοπογραφίας, δηαδή σε όες τις περιπτώσεις στροφής ή/και µεταφοράς συντεταγµένων στον χώρο. Βασικό παράδειγµα είναι, στην ουσία, ο εξωτερικός προσανατοισµός µιάς εσωτερικά προσανατοισµένης εικόνας: εν προκειµένω, στερεό σώµα συνιστά η αποκατεστηµένη δέσµη ακτίνων. Παράµετροι µετασχηµατισµού είναι η θέση Χο,Υο, Ζο του σηµείου ήψης και οι στροφές ω, φ, κ της εικόνας, δηαδή τα ζητούµενα της φωτογραµµετρικής οπισθοτοµίας. Ένα άο προφανές παράδειγµα συνιστά ο απόυτος προσανατοισµός του φωτογραµµετρικού µοντέου ύστερα από την αποκατάσταση της κίµακας. Ενδεικτικά, θα εξεταστεί εδώ µία επί µέρους περίπτωση εφαρµογής του µετασχηµατισµού στερεού σώµατος που αναφέρεται στην στροφή επιπέδου του χώρου, η οποία είναι απαραίτητη ιδιαίτερα πχ. σε περιπτώσεις φωτογραµµετρικής αναγωγής. Πραγµατικά, όπως είπαµε, γιά να αποδοθεί το επίπεδο αντικείµενο στο επίπεδό του και όχι σε κάποια πάγια προβοή, τα φωτοσταθερά οφείουν να αναφέρονται σε αυτό το (επίπεδο) σύστηµα. Συχνά όµως τα φωτοσταθερά έ- 3

24 χουν µετρηθεί τοπογραφικά (πχ. µε εµπροσθοτοµίες) σε σύστηµα που δεν πηροί αυτόν τον όρο. Στο παράδειγµα του Σχ. 5 φαίνεται κεκιµένο επίπεδο e και τυχαίο σύστηµα ΧΥΖ. Σε αυτό είναι γνωστά N 4 φωτοσταθερά και έστω ότι το επίπεδο έχει γνωστή εξίσωση Υ ux vz w (η εξίσωση βρίσκεται µε παρεµβοή επιπέδου στο σηµειοσύνοο των φωτοσταθερών). Ζητείται, οιπόν, να εκφραστούν τα φωτοσταθερά σε σύστηµα ΧΥΖ τέτοιο, ώστε ο άξονας Υ να είναι κάθετος στο επίπεδο και η αναγωγή να πραγµατοποιηθεί πέον στο επίπεδο προβοής Χ Ζ. Στο σύστηµα αυτό το επίπεδο e θα έχει εξίσωση Υ w. Είναι σαφές ότι προς τούτο αρκούν δύο µόνο στροφές (Ω, Κ) καθώς η περιστροφή κατά Φ περί τον Υ δεν θα επηρεάζει την καθετότητα του τεευταίου στο e. Θεωρώντας πίνακα στροφής R R (Κ) R (Ω), η µεσαία σειρά του πίνακα R Τ είναι Οπότε είναι [ ΩsinΚ sωsκ sinω ] s (60) Y XsΩsinΚ YsΩsΚ ZsinΩ XsΩsinΚ (ux vz w)sωsκ ZsinΩ X [ sωsinκ usωsκ] Z [ sinω vsωsκ] wsωsκ u X v Z w (6) Από την Εξ. 6 και δεδοµένου ότι ζητείται να είναι u v 0, προκύπτουν τεικά οι γωνίες στροφής και η εξίσωση του επιπέδου στο νέο σύστηµα ως: tn Κ u tn Ω vsκ Y w wsωsκ (6) Το σηµειοσύνοο (ΧΥΖ) i των φωτοσταθερών µπορεί να µετασχηµατιστεί τότε στο αντίστοιχο (ΧΖ) i µε κοινό Υ w. e Z Y X Κ Z Y θ Ω X Σχήµα 5. Γ. Τρισδιάστατος µετασχηµατισµός οµοιότητας (3D similit tnsfmtin) Ο τρισδιάστατος µετασχηµατισµός οµοιότητας από σύστηµα ΧΥΖ σε ένα άο ΧΥΖ έχει πέον ως αποτέεσµα όχι µόνο την µεταβοή θέσης και προσανατοισµού των αντικειµένων, όπως προηγουµένως, αά και την ενιαία µεταβοή 4

25 του µεγέθους τους (ενιαία µεγέθυνση ή σµίκρυνση και στις τρείς διαστάσεις). Άρα µε αυτόν όπως προκύπτει και από το όνοµά του διατηρείται το σχήµα των αντικειµένων. Βάσει των συµβοισµών της Εξ. 53, η γενική µορφή είναι: όπου η ενιαία κίµακα, και σε ανεπτυγµένη µορφή: R t (63) X Y Z X X O Y YO Z Z O (64) Έτσι, οι παράµετροι του 3D µετασχηµατισµού οµοιότητας είναι 7: στις 6 του µετασχηµατισµού οµοιότητας προστίθεται η κίµακα. Κατά τα άα ισχύουν τα της προηγούµενης περίπτωσης. ηαδή κάθε σηµείο γνωστό στα συστήµατα παρέχει 3 εξισώσεις, χρειάζονται δε επίσης 3 και πέον σηµεία γιά την επίυση των (µη γραµµικών) Εξ. 64 ως προς τους αγνώστους. Με δεδοµένες τις εκτιµήσεις των 7 παραµέτρων, το σηµειοσύνοο ΧΥΖ εκφράζεται δια των Εξ. 64 στο σύστηµα ΧΥΖ. Ανάογα, το αµφιµονοσήµαντο του µετασχηµατισµού εκφράζεται από τον συνδυασµό των Εξ. 63 και 64 µε τις αντίστροφες σχέσεις T R ( t ) X Y Z X X O Y YO Z Z O (65) Στην γενική µορφή (Εξ. 58) οι παράµετροι του µετασχηµατισµού οµοιότητας υπόκεινται εδώ σε 5 συνθήκες. Συγκεκριµένα, ισχύουν τα τρία µηδενικά αθροίσµατα γινοµένων της Εξ. 59, όµως τα τρία αθροίσµατα τετραγώνων της δεν ι- σούνται πέον µε την µονάδα, αά µε το τετράγωνο της άγνωστης κίµακας. Αυτό τεικά ισοδυναµεί µε δύο δεσµεύσεις, οι οποίες προκύπτουν από τις: (66) Ο 3D µετασχηµατισµός οµοιότητας είναι βέβαια πού βασικός γιά τον τοπογράφο, ιδίως δε γιά την φωτογραµµετρία. Κατ αρχήν, αξίζει να σηµειωθεί ότι το ί- διο το µαθηµατικό θεµέιο της τεευταίας η συνθήκη συγγραµµικότητας δείχνει να έχει την µορφή ενός τέτοιου µετασχηµατισµού. Αυτή γράφεται ως t R ( t ) k k X X Y Y Z Z O O O (67) Συνδέει δηαδή τις τρισδιάστατες συντεταγµένες (,, ) των εικονοσηµείων στο σύστηµα της εικόνας µε τις συντεταγµένες χώρου ΧΥΖ των οµόογων ση- µείων. Αυτό στην προκειµένη περίπτωση πραγµατοποιείται µέσω δύο µεταθέ- 5

26 σεων: των συντεταγµένων εικόνας στο πρωτεύον σηµείο της και των συντεταγ- µένων χώρου στο σηµείο ήψης. Ωστόσο, είναι γνωστό ότι η σχέση αυτή δεν είναι αµφιµονοσήµαντη αφού το 3D σηµεισύνοο µετασχηµατίζεται σε ένα τύποις 3D αά στην ουσία D σηµειοσύνοο (εικόνα). Η συνθήκη συγγραµµικότητας είναι, έτσι, σχέση δύο διαστάσεων προς τρείς (D3D και όχι 3D3D). Η καθαυτό βασική εφαρµογή του µετασχηµατισµού οµοιότητας στη φωτογραµ- µετρία αφορά τον σχετικό προσανατοισµό του στερεοζεύγους. Προϊόντα του προσανατοισµού αυτού είναι, ως γνωστόν, πιστά κατά σχήµα µοντέα του χώρου µε αυθαίρετη θέση, προσανατοισµό και κίµακα, τα οποία δηαδή βρίσκονται σε σχέση οµοιότητας προς το αντικείµενο. Η διαδικασία του απόυτου προσανατοισµού του στερεοζεύγους συνιστά ακριβώς µετασχηµατισµό οµοιότητας ανάµεσα στο σύστηµα του µοντέου και το σύστηµα του χώρου. Ο εν όγω µετασχηµατισµός εφαρµόζεται όµως και µεταξύ στερεοµοντέων. Έτσι, το ζήτηµα της σύνδεσης ανεξάρτητων µοντέων στην οµώνυµη εκδοχή του αεροτριγωνισµού αντιµετωπίζεται µε έναν τέτοιο µετασχηµατισµό γιά την µεταφορά τους σε κοινό σύστηµα. Το τεευταίο οφείει βέβαια να προσανατοιστεί εν συνεχεία και απόυτα µε την αντίστοιχη διαδικασία. Η έκφραση κείσιµο του απόυτου προσανατοισµού αναφέρεται στην προσαρµογή των σχηµάτων που ορίζονται από τα σηµειοσύνοα (ΧΥΖ, ΧΥΖ), τα οποία χρησιµοποιήθηκαν γιά τον προσδιορισµό των παραµέτρων του. Μέτρο της και γενικά µέτρο της προσαρµογής σηµειοσυνόων σε µετασχηµατισµούς στερεού σώµατος και οµοιότητας είναι το τυπικό σφάµα της µονάδας βάρους της συνόρθωσης σο ± ( vx vy vz) 3m n όπου µε v Χ, v Υ, v Ζ συµβοίζονται οι αποκίσεις των m οµόογων σηµείων στις τρείς διευθύνσεις του χώρου και n 6 ή 7. Στην περίπτωση του µετασχηµατισµού στερεού σώµατος οι µονάδες του σο είναι ούτως ή άως στην κοινή διάσταση των δύο συστηµάτων, ενώ σε εκείνον τις οµοιότητας είναι στις διαστάσεις των παρατηρήσεων. Εάν, έτσι, κατά τον απόυτο προσανατοισµό παρατηρήσεις είναι οι συντεταγµένες µοντέου, το κείσιµό του σε διαστάσεις του χώρου είναι σο. Οι αποκίσεις των δύο σηµειοσυνόων µπορεί να οφείονται σε σφάµατα των συντεταγµένων και στα δύο συστήµατα ή και σε ανεπαρκή περιγραφή της δεδοµένης κατάστασης από το µαθηµατικό µοντέο (πχ. ύπαρξη κί- µακας διάφορης της µονάδας στον µετασχηµατισµό στερεού σώµατος ή διαφορετικές κίµακες σε εκείνον της οµοιότητας). Γιά την τεευταία περίπτωση αξίζει να αναφερθεί, γιά όγους κυρίως πηρότητας, ο τρισδιάστατος αφινικός µετασχηµατισµός. Μιά εκδοχή του περιγράφεται από τις εξισώσεις: X Y 0 Z 0 X 0 Y Z X X O Y YO Z Z O όπου Χ, Υ, Ζ οι κίµακες κατά τους 3 άξονες του ορθογωνικού συστήµατος. (68) (69) 6

27 Γ.3 Άµεσος γραµµικός µετασχηµατισµός (Diet line tnsfmtin DLT) Ο άµεσος γραµµικός µετασχηµατισµός γνωστός και µε τα αρχικά DLT περιαµβάνεται καταχρηστικά σε αυτήν την ενότητα αφού είναι τρισδιάστατος µόνο κατά το ένα σύστηµα ΧΥΖ. Το άο σύστηµα είναι δισδιάστατο, πρόκειται δηαδή γιά έναν µετασχηµατισµό D3D που περιγράφει την γραµµική απεικόνιση (προβοικότητα) ενός τρισδιάστατου σηµειοσυνόου στο επίπεδο. Γιά την φωτογραµµετρία παρουσιάζει οιπόν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, αφού ακριβώς εκφράζει την προβοική σχέση εικόναςτρισδιάστατου χώρου µέσω παραµέτρων ij ως εξής: X Y 3Z 4 X Y 3Z 4 (70) X Y Z X Y Z 3 3 Με την έννοια αυτή είναι προφανώς γενικότερος από την προβοική σχέση επιπέδου µε επίπεδο (DD), δηαδή τις εξισώσεις Εξ. 38 της αναυτικής αναγωγής. Οι τεευταίες προκύπτουν από τις Εξ. 70 µε την συνθήκη επιπεδότητας Z X Y ή, απούστερα, Z σταθερό. Η προφανής βασική διαφορά µεταξύ των Εξ. 38 και 70 είναι ότι οι δεύτερες δεν είναι αντιστρεπτές, κοντοογίς ο άµεσος γραµµικός µετασχηµατισµός (όπως άωστε και οι εξισώσεις συγγραµµικότητας) είναι µονοσήµαντος: από τον χώρο στην εικόνα α όχι και αντίστροφα. Κατά τα άα, η µέθοδος DLT στην φωτογραµµετρία έχει τα βασικά πεονεκτή- µατα της αναγωγής επιπέδου. Έτσι, οι µετρηµένες συντεταγµένες, των εικονοσηµείων δεν είναι απαραίτητο να αναφέρονται στο σύστηµα εικονοσυντεταγ- µένων: µπορούν κάιστα να είναι συντεταγµένες συγκριτή, ψηφιοποιητή, piel κ.π. χωρίς να απαιτείται να υποστούν προηγουµένως αφινικό µετασχηµατισµό. Ο τεευταίος ενσωµατώνεται στους συντεεστές της Εξ. 70. Με την έννοια αυτή, η προσέγγιση DLT προσφέρεται γιά αναυτικές και ψηφιακές αποδόσεις από εικόνες ερασιτεχνικών µηχανών, των οποίων δηαδή τόσο ο εσωτερικός προσανατοισµός είναι άγνωστος όσο και ο ορισµός του συστήµατος εικονοσυντεταγµένων πού αβέβαιος, εξαιτίας της απουσίας εικονοσηµάτων ή σηµείων éseu. Στο εµπόριο διατίθενται µάιστα και απά φωτογραµµετρικά συστήµατα ογισµικού γιά επίγειες εφαρµογές µε χρήση ψηφιοποιητή, τα οποία χρησιµοποιούν ακριβώς τον DLT αντί της συνθήκης συγγραµµικότητας. Σε περίπτωση που θεωρηθεί ότι ο DLT περιγράφει αυστηρά µιά κεντρική προβοή δηαδή οι συντεταγµένες των εικονοσηµείων έχουν µετρηθεί σε σύστη- µα µε ορθογωνικούς άξονες και ενιαία κίµακα οι Εξ. 70 είναι ισοδύναµες µε εκείνες της συγγραµµικότητας. Οι συντεεστές ij είναι εποµένως συναρτήσεις των 9 στοιχείων του εσωτερικού και εξωτερικού προσανατοισµού. Εάν συνεπώς στις Εξ. 48 οµαδοποιηθούν οι όροι, είναι τεικά: 3 3 7