АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. Владица Андрејић ( ) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017.

Transcript

1 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА Владица Андрејић ( ) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017.

2 Глава 1 Вектори у геометрији 1.1 Увођење вектора Појам вектора у еуклидској геометрији можемо дефинисати на различите начине. Уо ичајено, у питању је класа уређених парова тачака еуклидског простора E (о ично посматрамо просторе димензије 1, 2, или 3, односно праву, раван или простор), при чему описујемо кад два уређена пара тачака припадају истој класи. Можемо рећи да је уређен пар тачака (A, B) у релацији са уређеним паром тачака (C, D) ако постоји транслација простора која тачку A пресликава у тачку C, а тачку B пресликава у тачку D. Заправо основна идеја је да су (A, B) и (C, D) у релацији ако је ABDC паралелограм. Како је уо ичајено да код паралелограма подразумевамо да су његова темена различите тачке, као и да се праве одређене његовим страницама не преклапају, то уводимо дефиницију конкретне релације која ће о јединити и те дегенерисане случајеве. Дефиниција 1.1. Уређен пар тачака (A, B) E 2 је у релацији са (C, D) E 2 уколико дужи AD и BC имају заједничко средиште. Како је познато да је четвороугао паралелограм ако и само ако му се дијагонале полове, то Дефиниција 1.1 реализује нашу идеју, при чему лепо покрива и дегенерисане случајеве. Према томе ако је (A, B) (C, D) то разликујемо два случаја, у првом је четвороугао ABDC паралелограм, док у другом све четири тачке леже на истој правој, при чему дужи AD и BC имају заједничко средиште. B D D B A C A C У сваком случају суштина вектора је да (A, B) и (C, D) припадају истој класи ако имају једнаке дужине (дуж AB подударна је дужи CD), као и једнак смер (за A B и C D, полуправа [A, B) је паралелна полуправој [C, D), детаље ћемо видети касније), што се лако закључује из претходне дефиниције. 1.1 Уве ена релација је релација еквиваленције. Доказ. Рефлексивност и симетричност релације је очигледна из Дефиниције 1.1, док је транзитивност последица транзитивности подударности дужи и транзитивности паралелности полуправих у еуклидском простору. 1

3 Релација еквиваленције раставља скуп на којем је дефинисана на дисјунктне подскупове које називамо класама еквиваленције. Свака класа еквиваленције састоји се од елемената скупа који су сви међусо но у релацији. Применом релације еквиваленције на скуп E E уводимо векторе. Дефиниција 1.2. Век ор је класа еквиваленције до ијена сечењем скупа свих уређених парова тачака E E по релацији еквиваленције из Дефиниције 1.1. Вектор (односно класа еквиваленције) коме припада уређен пар тачака (A, B) једноставно о ележавамо са AB = [(A, B)] = {(X, Y ) E E : (X, Y ) (A, B)} и кажемо да је (A, B) један век ор ре с авник од AB. Вектор чији је вектор представник пар (A, A) зовемо нула век ор и о ележавамо га са 0 = AA = BB. Норма ( ужина, ин ензи е ) вектора v је ненегативан реални рој v који је једнак дужини дужи XY, при чему је (X, Y ) неки представник вектора v, односно v = XY. Како вектори представници у оквиру исте класе еквиваленције имају једнаке дужине то је норма вектора до ро дефинисана. Нула вектор очигледно има норму једнаку нули ( 0 = 0) и то је једини вектор са том осо ином. Сви остали вектори су ненула век ори и они поред норме имају и смер који их карактерише (традиционалисти говоре о правцу и смеру, али смер се не може упоређивати у случају различитог правца). Ако је X Y, са [X, Y ) означићемо полуправу са почетком у X, а која садржи Y. Кажемо да су вектори AB и CD ис о смера уколико су полуправе [A, B) и [C, D) паралелне. Паралелност полуправих заправо је почетна паралелност која се уводи у апсолутној геометрији, док за љу итеље еуклидске геометрије можемо рећи да су две полуправе [A, B) и [C, D) паралелне уколико су праве AB и CD паралелне, при чему су B и D са исте стране праве AC ако је C AB, односно унија тих полуправих је такође полуправа ако је C AB. Нешто лажи услов је да се захтева само паралелност правих AB и CD и тада кажемо да су вектори AB и CD ис о равца, односно колинеарни. Ако су вектори AB и CD истог правца, али не и истог смера, кажемо да су они су ро но смера. На основу претходно успостављених веза није тешко закључити да важи следеће важно тврђење. 1.2 Ненула век ор је нозначно је о ређен нормом и смером. 1.2 Векторски простор Скуп свих вектора на еуклидском простору E означићемо са V = (E E)/ = { XY : (X, Y ) E E}. На скупу V можемо увести операцију са ирања и операцију множења скаларом, али најпре уведимо пар помоћних тврђења. 1.3 За сваку ачку A E и сваки век ор v V ос оји је инс вена ачка B E аква а је v = AB. Доказ. Ако је v = CD за неке C, D E, тада је тачка B јединствена тачка која је (централно) симетрична тачки C у односу на средиште дужи AD. 1.4 AB = CD ако и само ако је AC = BD. 2

4 Доказ. Очигледна последица симетрије у Дефиницији 1.1. По Теореми 1.3 сваки вектор можемо изразити преко вектора представника који почиње произвољном тачком, те следећа дефиниција даје з ир и за свака два произвољна вектора. Дефиниција 1.3. З ир вектора AB и BC је вектор AC = AB + BC. Оваква дефиниција је до ра јер ако је AB = A B и BC = B C то по Теореми 1.4 имамо AA = BB и BB AC = A C, и коначно AB + BC = A B + B C. = CC, одакле је AA = CC, што опет по Теореми 1.4 даје Дефиниција 1.4. Умножак вектора v V скаларом α R је вектор α v V одређен следећим осо инама. Норма вектора α v износи α v = α v. За v 0, вектори v и α v су истог смера у случају α > 0, односно супротног смера у случају α < 0. Претходна дефиниција најпре одређује норму за α v, те уколико је она нула (за α = 0 или v = 0 ), једнозначно имамо α v = 0. Иначе (α 0 и v 0 ) је α v ненула вектор коме описујемо смер, те је једнозначно одређен на основу Теореме 1.2. У сваком случају вектор α v, односно краће α v, једнозначно је одређен што нам даје операцију множења вектора скаларом. У специјалном случају множења са α = 1, уводимо ознаку v = ( 1) v, и кажемо да је вектор v су ро ан вектору v. На пример, вектор XY је супротан вектору Y X. Теорема 1.3 дефинише з ир два вектора, а сада можемо дефинисати и разлику, увођењем кратке ознаке: u v = u + ( v ). По Дефиницији 1.4, вектори u и v = α u су колинеарни (за u 0 и α 0), али важи и о рат. За колинеарне векторе u и v постоји α R тако да је v = α u. Наиме, како су дати ненула вектори истог правца, у случају да су истог смера можемо поставити α = v u, односно α = v у случају различитог смера, при чему ће се Теорема 1.3 u по ринути за остало. Овако дефинисане операције са ирања вектора и множења вектора скаларом су основне операције на скупу V, а испоставља се да скуп V са тим операцијама има структуру векторског простора. 1.5 V је век орски рос ор, о носно за век оре u, v, w V и скаларе α, β R важи: u + ( v + w ) = ( u + v ) + w ; (1.1) u + v = v + u ; (1.2) u + 0 = u ; (1.3) u + ( u ) = 0 ; (1.4) (α + β) u = α u + β u ; (1.5) α( u + v ) = α u + α v ; (1.6) α(β u ) = (αβ) u ; (1.7) 1 u = u. (1.8) Доказ. Нека је u = AB (сваки вектор има свој вектор представник). По Теореми 1.3 (за тачку B и вектор v ) постоји C тако да је v = BC, а затим и D тако да је w = CD. Асоцијативност (1.1) до ијамо директним рачуном: u +( v + w ) = AB +( BC + CD) = AB + BD = AD = AC + CD = ( AB + BC)+ CD = ( u + v )+ w. За комутативност (1.2) по Теореми 1.3 уводимо тачку E тако да је AE = BC, те по Теореми 1.4 имамо AB = EC. Сада је u + v = AB+ BC = AC = AE+ EC = BC+ AB = v + u. Неутрални елемент (1.3) u + 0 = AB + BB = AB = u и инверзни елемент (1.4) u + ( u ) = AB + BA = AA = 0 се лако виде. 3

5 v D E w α u + α v N A u B C v M A α u u + v v u B C α v За дистри утивност у односу на са ирање вектора (1.6) уводимо тачку M тако да је MB = α u (по Теореми 1.3 тако да је BM = α u ) и тачку N тако да је BN = α v (поново Теорема 1.3). Ако u и v нису колинеарни по о рнутој Талесовој теореми (види слику) имамо паралелност правих AC и MN, као и одговарајући однос дужина дужи за MN = α AC, односно α( u + v ) = MN = MB + BN = α u + α v. Ако су u и v колинеарни, тада је v = λ u за неко λ R, те се доказ своди на (1.5) и (1.7). Дистри утивност у односу на са ирање скалара (1.5) одмах важи у случајевима u = 0, α + β = 0, α = 0 и β = 0. У супротном доказ се изводи из дефиниције са ирања дискусијом по знаковима скалара α, β и α + β. Компати илност (1.7) очигледно важи за u = 0, α = 0 и β = 0. У супротном вектори α(β u ) и (αβ) u имају исту норму (з ог α(β u ) = α β u = α β u = αβ u = (αβ) u ) и исти смер (јер (αβ) = (α) (β)), те су по Теореми 1.2 они једнаки. Јединични елемент (1.8) је рој 1 R у складу са Дефиницијом 1.4 и Теоремом Линеарна независност вектора Подсетимо се неких ствари из линеарне алге ре. За скуп ненула вектора { v 1, v 2,..., v n } V кажемо да је линаерно независан уколико α 1v1 + α 2v α nvn = 0 за α 1, α 2,..., α n R повлачи α 1 = α 2 =... = α n = 0. У супротном кажемо да је он линеарно зависан и тада се неки од вектора може изразити као линеарна ком инација осталих. Максималан рој линеарно независних вектора векторског простора је имензија векторског простора, а за те векторе се каже да чине азу векторског простора. 1.6 Димензија век орско рос ора V у зависнос и о еукли ско рос ора E износи 1 за раву, 2 за раван и 3 за рос ор. Доказ. Нека је најпре E права, и нека су u и v произвољни ненула вектори. Како су вектори са праве очигледно колинеарни, то постоји λ R, тако да је v = λ u, и самим тим су линеарно зависни, односно V = 1. Нека је сада E раван. Како у равни постоје три неколинеарне тачке K, L и M, то су вектори KL и KM неколинеарни, а како је димензија праве једнака један то су они линеарно независни. Нека су u, v и w произвољни ненула вектори из равни. Можемо поставити тачке A, B, P, Q E тако да је u = AB, v = AP и w = BQ. Ако су праве AP и BQ паралелне то су вектори v и w колинеарни и самим тим линеарно зависни. У супротном праве AP и BQ се секу и постоји пресечна тачка C. Сада су вектори AP и AC колинеарни као и вектори BQ и BC, те постоје α, β R тако да је AC = α AP и BC = βbq. Сада је 0 = AB + BC + CA = u + β w α v, те су вектори u, v и w линеарно зависни, што доказује да је V = 2. На крају посматрајмо случај кад је E простор. Како у равни постоје четири некопланарне тачке K, L, M и N, то су вектори KL, KM и KN некопланарни, а како је димензија равни једнака два то су они линеарно независни. Претпоставимо да постоји четири линеарно независних вектора u = OA, v = OB, w = OC и x = OD. Из линеарне независности, OAB чини раван π, а OCD чини раван τ. Ако су равни π и τ паралелне то су једнаке (O π τ), вектори су копланарни и самим тим линеарно 4

6 зависни. У супротном се π и τ секу по правој p O и постоји тачка O E p = π τ. Вектор OE је у равни π, те OE = α u + β v, али и у равни τ, одакле OE = γ w + δ x. До ијамо α u + β v γ w δ x = 0, где сви коефицијенти нису нула (иначе је OE = 0, али и E O) те су вектори линеарно зависни, што доказује да је V = Скаларни производ У ао између два ненула вектора OA и OB је мањи од углова између полуправих [OA) и [OB), односно ( OA, OB) = AOB [0, π]. Теорема 1.3 нам даље омогућава да се појам угла прошири за произвољна два вектора. Дефиниција 1.5. Скаларни производ вектора u и v је рој u v = u v ( u, v ) R. Уколико је u v = 0 кажемо да су вектори u и v ор о онални и пишемо u v, што се дешава у случајевима кад је u = 0 или v = 0 или ( u, v ) = π 2. Погледајмо основне осо ине скаларног производа. 1.7 За век оре u, v, w V и скалар α R важи u v = v u ; (1.9) u ( v + w ) = u v + u w ; (1.10) (α u ) v = α( u v ); (1.11) u u 0; (1.12) u u = 0 u = 0. (1.13) Доказ. Директно из Дефиниције 1.5 следи комутативност (1.9), као и позитивна дефинитност (1.12) и (1.13). Компати илност (1.11) се лако рачуна: (α u ) v = α u v (α u, v ) = α u v (α) ( u, v ) = α ( u v ). Преостаје нам још дистри утивност (1.10). Поставимо векторе v = AB, w = BC и u = AD D E C B A u v C w B τ π и уведимо равни π и τ такве да важи B π AD и C τ AD, док B и C дефинишемо као нормалне пројекције тачака B и C на праву AD, односно {B } = π AD и {C } = τ AD. У правоуглом троуглу AB B можемо изразити косинус угла са AB = AB ( AB, AB). Вектори ( u AB) u и u 2 AB имају једнаке норме ( u v ) u = u v u = u 2 v ( u, v ) = u 2 AB, али и једнаке смерове з ог ( u v ) = ( ( u, v )), те важи ( u AB) u = u 2 AB. Сасвим слично правоугли троугао AC C даје ( u AC) u = u 2 AC, док је за изражавање вектора ( u BC) u оље посматрати ( u B E) u, где је E тачка дата са B E = BC, одакле лако следи E τ. Правоугли троугао B C E даје ( u B E) u = u 2 B C. AB + u 2 B C = u 2 Ако о јединимо наведене резултате из u 2 AC до ијамо ( u v ) u + ( u w ) u = ( u ( v + w )) u и коначно уз употре у (1.5) важи u v + u w = u ( v + w ). 5

7 1.5 Векторски производ Векторски производ је инарна опеарација која ће векторима u и v придружити вектор. Природно је захтевати да резултујући вектор уде ортогоналан на о а почетна вектора. Уколико су u и v линеарно независни, они разапињу раван и наш резултујући вектор ће имати правац нормале на ту раван. Како је правац нормале једнозначно одређен само у тродимензионом векторском простору, то векторски производ уводимо искључиво у случају V = 3. v h u Како постоји есконачно много вектора ортогоналних на u и v, фискирањем норме ћемо их прилично рестриковати. Природно је захтевати да норма уде једнака површини P( u, v ) паралелограма којег разапињу вектори u и v. У том паралелограму, висина којој одговара основица одређена вектором u износи h = v ( u, v ), те је P( u, v ) = u h = u v ( u, v ). Након овога за резултујући вектор остају две могућности, пошто у оквиру правца имамо два различита смера, што можемо решити увођењем појма оријентације. Нека је ( x, y, z ) произвољна уређена аза од V. Посматрајмо с врха вектора z о илазак од вектора x ка вектору y краћим путем. Уколико је тај о илазак у математички позитивном смеру (супротан смеру казаљке на сату) кажемо да је аза есно оријен исана. У супротном о илазак је у математички негативном смеру и кажемо да је аза лево оријен исана. На овај начин све уређене азе од V подељене су у две класе еквиваленције на десно оријентисане и лево оријентисане. Из ором привилеговане азе одређује се оријентација и она је по дефиницији ози ивна. Најчешће се за привилеговану азу узима нека десно оријентисана аза, при чему су онда десно оријентисане позитивне, а лево оријентисане негативне. Користећи оријентацију долазимо до једнозначно одређеног резултујућег вектора. Дефиниција 1.6. Век орски роизво вектора u и v је вектор u v са следећим осо инама. Норма вектора u v износи u v = u v ( u, v ). Ако је u v = 0, вектор u v је ортогоналан на векторе u и v, али такав да је аза ( u, v, u v ) позитивно оријентисана. Норму векторског производа смо ирали тако да важи u v = P( u, v ). Како је u v ( u, v ) = 0 само у случајевима u = 0, v = 0, ( u, v ) = 0 и ( u, v ) = π, то је u v = 0 ако и само ако су вектори u и v колинеарни, а тада и немамо паралелограм разапнут са u и v, односно његова површина је нула. У супротном u и v су линеарно независни, ортогоналност одређује правац за u v, а оријентација и смер. Како се паралелограм дијагоналом дели на два подударна троугла имамо мотив да практично срачунамо површину троугла са P( ABC) = 1 2P( AB, AC) = 1 2 AB AC. 1.8 За век оре u, v, w V и скалар α R важи u v = ( v u ); (1.14) (α u ) v = α( u v ); (1.15) ( u + v ) w = u w + v w. (1.16) Доказ. Антикомутативност (1.14) стандардно до ијамо по Теореми 1.2, јер норма и правац вектора су очигледно једнаки, док је смер постављен како тре а. За (1.15) смер је очигледно једнак (или су нула вектори), те остаје само норма: (α u ) v = α u v (α u, v ) = α u v ( u, v ) = α u v = α( u v ). Доказ формуле (1.16) оставићемо за касније јер је тако једноставније. Дефиниција 1.7. Мешови и роизво вектора u, v и w је рој [ u, v, w ] = ( u v ) w. 6

8 u v w H v u P( u, v ) Геометријска интерпретација мешовитог производа може се видети посматрањем паралелепипеда којег разапињу вектори u, v и w. Како је H = w ( u v, w ) висина паралелепипеда која одговара страни коју о разују вектори u и v, то имамо [ u, v, w ] = ( u v ) w = u v w ( u v, w ) = P( u, v ) H, што је даље једнако запремини тог паралелепипеда и отуда следећа теорема. 1.9 За ремина аралеле и е а које раза ињу век ори u, V( u, v, w ) = [ u, v, w ]. v и w је нака је Практичан про лем може ити рачунање запремине тетраедра. Како се паралелепипед дели на две подударне призме, а призма има три пута већу запремину од пирамиде, то у паралелепипед можемо сместити шест тетраедара и зато је запремина тетраедра ABCD једнака V(ABCD) = 1 [ AB, AC, AD]. 6 Мешовити производ се такође лепо понаша у односу на уведене операције За век оре u, v, w, x V и скалар α R важи [ u, v, w ] = [ v, u, w ]; (1.17) [ u, v, w ] = [ v, w, u ]; (1.18) [α u, v, w ] = α[ u, v, w ]; (1.19) [ u + v, w, x ] = [ u, w, x ] + [ v, w, x ]. (1.20) Доказ. Ако формуле (1.14) и (1.15) скаларно помножимо са w одмах до ијамо (1.17) и (1.19). Циклично померање (1.18) је последица Теореме 1.9 по којој су лева и десна страна једнаке по апсолутној вредности, док је знак једнак з ог једнаке оријентације на циклично помереној ази. Дистри утивност (1.20) је очигледна последица (1.16), али смо тај доказ прескочили. Међутим, важи и о рнуто, те ће нам тај прескочени доказ ити лаган. Како је ( w x ) ( u + v ) = [ w, x, u + v ] по (1.10) једнако ( w x ) u + ( w x ) v = [ w, x, u ] + [ w, x, v ], (1.20) иће последица претходно доказаног (1.18). Докажимо сада (1.16). Доказ. Из доказане осо ине (1.20) имамо да за свако x важи [ u + v, w, x ] [ u, w, x ] [ v, w, x ] = 0, што по Дефиницији 1.7 и Теореми 1.7 значи ((( u + v ) w ) ( u w ) ( v w )) x = 0. За конкретно x = (( u + v ) w ) ( u w ) ( v w ) до ијамо x x = x 2 = 0 и отуда следи (( u + v ) w ) ( u w ) ( v w ) = 0, што коначно доказује (1.16). 1.6 Двоструки векторски производ Двос руки век орски роизво заправо је векторско множење примењено два пута заредом, односно о лик ( u v ) w. Ми желимо да до ијемо експлицитну формулу за рачунање овог израза. У случају да су вектори u и v колинеарни то је u v = 0 и самим тим ( u v ) w = 0, те ћемо претпоставити да су u и v линеарно независни. Тада је u v 0, те вектори ( u, v, u v ) чине једну азу векторског простора V. Посматрајмо израз ( u v ) u који расписујемо у наведеној ази ( u v ) u = α u + β v + γ( u v ). 7

9 Скаларним множењем овог израза са вектором ( u v ) који је нормалан на ( u v ) u, на u и на v, одмах до ијамо γ u v 2 = 0, односно γ = 0, те имамо ( u v ) u = α u + β v. (1.21) Векторским множењем са u, из (1.21) до ијамо (( u v ) u ) u ) = α( u u )+β( v u ), односно (( u v ) u ) u = β( u v ). Пажљивим посматрањем вектора на левој страни претходног израза који је једнак двоструком векторском производу међусо но ортогоналних вектора (( u v ) u, те ( u v ) u u ) можемо закључити да је истог смера као и вектор ( u v ), што нам даје β > 0. Са друге стране упоређујући норме леве и десне стране имамо u v u 2 = (( u v ) u ) u = β( u v ) = β u v, одакле је β = u 2 и самим тим, з ог β > 0 до ијамо β = u 2. Скаларним множењем са u, из (1.21) до ијамо 0 = α( u u ) + β( v u ), одакле је α u 2 = u 2 ( u v ) и коначно α = ( u v ). Заменом α и β у (1.21) имамо ( u v ) u = ( u v ) u + ( u u ) v. (1.22) Симетрија по u и v даје нам ( v u ) v = ( v u ) v + ( v v ) u, односно ( u v ) v = ( v v ) u + ( u v ) v. (1.23) Преостаје нам да у рачун укључимо вектор w који такође можемо расписати у нашој ази са w = µ u + ν v + ξ( u v ). Даљи рачун о ављамо применом осо ина векторског производа из Теореме 1.8 користећи (1.22) и (1.23), као и чињеницу да је ( u v ) ( u v ) = 0. ( u v ) w = µ(( u v ) u ) + ν(( u v ) v ) + ξ(( u v ) ( u v )) = µ( u v ) u + µ( u u ) v ν( v v ) u + ν( u v ) v = (µ( u v ) + ν( v v )) u + (µ( u u ) + ν( u v )) v Међутим, скаларним множењем једначине w = µ u + ν v + ξ( u v ) са u и v до ијамо w u = µ( u u ) + ν( v u ), односно w v = µ( u v ) + ν( v v ) и имамо двоструки векторски производ ( u v ) w = ( w v ) u + ( w u ) v у виду експлицитне формуле. Остаје да се провери да ли ова формула ради и за случај кад су вектори u и v линеарно зависни. У ту сврху можемо поставити v = κ u, после чега очигледно важи 0 = ( w (κ u )) u + ( w u )κ u, те имамо наредну теорему За век оре u, v, w V важи ( u v ) w = ( u w ) v ( v w ) u. (1.24) 8

10 Глава 2 Тачка, права, раван 2.1 Кординате вектора и тачака Ако је ( v 1,..., v n ) аза векторског простора V тада за свако x V постоје једнозначно одређени скалари x 1,..., x n R такви да је x = x 1v x nvn и они су коор ина е век ора x у датој ази. Координате вектора x о ично записујемо као уређену n-торку (x 1,..., x n ), што успоставља ијекцију између простора V и R n. Два вектора су једнака ако и само ако имају једнаке координате у односу на исту азу. Из осо ина Теореме 1.5 лако видимо да је координата суме вектора једнака суми одговарајућих координата, као и да је координата умношка вектора скаларом једнака производу скалара и одговарајуће координате. Положај тачке може се описати тако што ода еремо неку тачку O E, коју зовемо коор ина ни оче ак, а затим свакој тачки M E придружимо једнозначно одређен вектор OM V, који зовемо век ор оложаја ачке M. Коор ина ни сис ем састоји се од тачке O и неке азе ( e 1,..., e n ) простора V. Коор ина е ачке M су координате вектора положаја OM у односу на задату азу. Ако су вектори азе јединични кажемо да је координатни систем Декар ов, а ако су међусо но управни кажемо да је он равоу ли. 2.2 Векторска алге ра у координатама Испитајмо осо ине скаларног производа два вектора у функцији њихових координата. Све ово посматраћемо у еуклидском простору где је (по Теореми 1.6) димензија одговарајућег векторског простора V једнака три, с тим да можемо извршити рестрикцију на праву или раван, спуштајући димензију. Из линеарне алге ре познат је Грам-Шмитов поступак ортогонализације који од произвољне азе векторског простора који је сна девен скаларним производом прави ортонормирану азу. Нека је ( e 1, e 2, e 3 ) нека ортонормирана аза векторског простора V. Тада је e i e j = δ ij, где је δ ij Кронекеров сим ол и износи 1 за i = j, односно 0 за i j. Нека су x = x 1e1 + x 2e2 + x 3e3 и y = y 1e1 + y 2e2 + y 3e3 произвољни вектори из V. На основу Теореме 1.7 имамо ) ( 3 ) 3 x i ei y j ej = x i y j ( e i 3 3 e j ) = x i y j δ ij = x i y i. x y = ( 3 i=1 j=1 i,j=1 Дакле, у ортонормираној ази важи x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3, док саму координату x i вектора x можемо до ити скаларним множењем са одговарајућим азним вектором, x ei = x i. Испитајмо осо ине векторског и мешовитог производа у функцији координата вектора у позитивно оријентисаној ортонормираној ази ( e 1, e 2, e 3 ) векторског 9 i,j=1 i=1

11 простора V. Вектор e 1 e 2 има норму e 1 e 2 = e 1 e 2 = 1, али и правац ортогоналан и на e 1 и на e 2, што је правац вектора e 3. Како је e 3 = 1, а аза ( e 1, e 2, e 3 ) позитивно оријентисана, то је јасно да важи e 1 e 2 = e 3. Сасвим слично до ијамо цикличне једначине e 2 e 3 = e 1 и e 3 e 1 = e 2. Ако променимо редослед множења, то по (1.14) имамо e 2 e 1 = e 3, e 3 e 2 = e 1 и e 1 e 3 = e 2, док множење линеарно зависних даје нулу, e 1 e 1 = e 2 e 2 = e 3 e 3 = 0. Нека је сада x = x 1 e1 + x 2 e2 + x 3 e3, y = y 1 e1 + y 2 e2 + y 3 e3 и z = z 1 e1 + z 2 e2 + z 3 e3. Користећи осо ине из Теореме 1.8 лако је срачунати x y = (x2 y 3 x 3 y 2 ) e 1 + (x 3 y 1 x 1 y 3 ) e 2 + (x 1 y 2 x 2 y 1 ) e 3, што одговара формалној детерминанти x y = e1 e2 e3 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 која се лако памти. Мешовити производ [ x, y, z ] се рачуна по дефиницији [ x, y, z ] = ( x y ) z и по претходно установљеном је [ x, y, z ] = (x 2 y 3 x 3 y 2 )z 1 + (x 3 y 1 x 1 y 3 )z 2 + (x 1 y 2 x 2 y 1 )z 3, што се такође може лако запамтити као формална детерминанта [ x, y, z ] = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z Трансформације координата Координате вектора x у односу на неку азу e = ( e 1, e 2,..., e n ) простора V чини уређена n-торка (x 1, x 2,..., x n ) за коју је x = x 1 e x n en. Сада се намеће питање везе између координата уколико дође до промене азе. Нека је e = ( e 1, e 2,..., e n) нова аза простора V. Нови азни вектори су вектори простора V и самим тим могу се изразити у старој ази e. e 1 = γ 11 e1 + γ 21 e γ n1 en e 2 = γ 12 e1 + γ 22 e γ n2 en... e n = γ 1n e1 + γ 2n e γ nn en Не умањујући општост можемо претпоставити да радимо у тродимензионом простору, односно да је n = 3. Коефицијенти γ ij могу се уписати у матрицу Ñ γ11 γ 12 γ 13 é Γ = γ 21 γ 22 γ 23 γ 31 γ 32 γ 33 која се зове ма рица реласка са азе e на азу e, а пређашња веза се може матрично записати са e = e Γ. Ако произвољан вектор x изразимо на два различита начина можемо видети везу између старих и нових координата. x = x i ei = i j x j e j = j x j ( ) γ ij ei = i i 10 ( ) γ ij x j ei, j

12 одакле за свако i имамо x i = j γ ij x j, што су управо тражене везе између наших координата. Уколико старе координате о ележимо са X = (x 1, x 2, x 3 ) T, а нове са X = (x 1, x 2, x 3) T систем до ијених једначина имаће матрични о лик X = Γ X, односно Ñ é Ñ é Ñ é x1 γ11 γ 12 γ 13 x 1 x 2 = γ 21 γ 22 γ 23 x 2 x 3 γ 31 γ 32 γ 33 x 3 Уколико су азе e и e ортонормиране можемо рачунати скаларни производ e i e j на два начина e i e j = ( k γ ki ek ) e j = k γ ki ( e k e j ) = k γ ki δ kj = γ ji = e i ( k γ kj e k ) = k γ kj( e i e k) = k γ kjδ ik = γ ij, где су γ ij елементи матрице преласка са азе e на e, односно матрице Γ 1. Одавде закључујемо да важи γ ji = γ ij, односно Γ 1 = Γ T. Матрица преласка Γ са ортонормиране азе на ортонормирану азу мора да уде ортогонална и важи 1 = E = (Γ Γ 1 ) = (Γ Γ T ) = (Γ) (Γ T ) = ( (Γ)) 2, тако да је за њу Γ = ±1. Код координата тачака имали смо координатни систем (O, e), где је O координатни почетак, а e аза. Координате тачке X иле су заправо координате вектора OX. Да и дошли до координата те исте тачке у новом координатном систему (O, e ) морамо да транслирамо координатни почетак, односно да искористимо везу OX = OO + O X. Ако векторе распишемо као производ азе и колоне координата имамо ex = ep + e X, где колона P представља координате тачке O у ази e. Како је e = eγ то је ex = ep +eγx, односно X = P +ΓX. Координате тачке X у старом систему једнаке су з иру координата тачке O у старој ази и координатама тачке X у новој ази умножених са матрицом преласка са старе азе на нову: [X] Oe = [O ] Oe + Γ e e [X] O e. 2.4 Права и раван у простору Као што је познато из аксиома еуклидске геометрије, права је о јекат који је једнозначно одређен са две различите тачке. Најпре ћемо посматрати тродимензиони простор. Нека је права p одређена тачкама A(a 1, a 2, a 3 ) и B(b 1, b 2, b 3 ). Тачка X припада правој p (тачке A, B и X су колинеарне) ако су вектори AX и AB колинеарни, односно уколико постоји скалар κ R такав да је AX = κ AB. Претходну једначину можемо расписати као OX OA = κ( OB OA), одакле изједначавањем координата до ијамо x 1 a 1 = κ(b 1 a 1 ), x 2 a 2 = κ(b 2 a 2 ), x 3 a 3 = κ(b 3 a 3 ). Вектор AB одређује правац праве, те је права једнозначно одређена тачком (рецимо A p) и тим правцем. Ако правац, односно вектор AB(b1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ) заменимо са (v 1, v 2, v 3 ), до ијамо једначине x 1 = a 1 + κv 1, x 2 = a 2 + κv 2, (2.1) x 3 = a 3 + κv 3, 11

13 које зовемо араме арске је начине раве. Правац праве p краће о ележавамо са u p = (v 1, v 2, v 3 ) и он је једнозначно одређен до на множење ненула скаларом. Када параметар κ прође скуп реалних ројева претходне једначине описују све тачке X(x 1, x 2, x 3 ) са праве p. Из параметарских једначина (2.1) елиминацијом параметра κ, заправо његовим изражавањем, до ијамо једначине x 1 a 1 v 1 = x 2 a 2 v 2 = x 3 a 3 v 3, (2.2) које зовемо канонске је начине раве. Канонске једначине (2.2) су заправо скраћени запис параметарских једначина (2.1), те се дозвољава да неки од ројева v i уде нула (али не сви). Раван је по аксиомама одређена са три неколинеарне тачке A, B и C, али је исто тако можемо одредити тачком A и са два линеарно независна вектора u = AB(u 1, u 2, u 3 ) и v = AC(v 1, v 2, v 3 ). Тачка X припада равни ако се њен вектор положаја у односу на тачку A може видети као линеарна ком инација вектора u и v, односно ако постоје скалари κ и λ тако да је AX = κ u + λ v. Расписивањем ове једначине у координатама до ијамо араме арске је начине равни, x 1 = a 1 + κu 1 + λv 1, x 2 = a 2 + κu 2 + λv 2, x 3 = a 3 + κu 3 + λv 3. Међутим, раван се лакше може записати уколико линеарну ком инацију вектора u и v заменимо вектором нормале, односно са n = u v. Вектор нормале равни α краће о ележавамо са n α и он је такође једнозначно одређен до на множење ненула скаларом. Сада је κ u + λ v n, одакле следи век орска је начина равни AX n = 0. (2.3) Векторску једначину можемо расписати са ( OX OA) n = 0 и погледати координате. Ако су координате тачака A(a 1, a 2, a 3 ) и X(x 1, x 2, x 3 ), а вектора n (n 1, n 2, n 3 ) до ијамо једначину равни n 1 (x 1 a 1 ) + n 2 (x 2 a 2 ) + n 3 (x 3 a 3 ) = 0. (2.4) Ако израчунамо сло одни члан n 4 = n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3 наша једначина равни може се записати са n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + n 4 = 0. (2.5) 2.5 Права у равни Посматрајмо сада дводимензиони векторски простор, односно дешавања у равни. По узору на причу из простора, можемо написати параметарске једначине праве рестриковане за једну димензију: x 1 = a 1 +κv 1, x 2 = a 2 +κv 2. Множењем прве једначине са v 2, друге са v 1 и њиховим одузимањем до ијамо x 1 v 2 x 2 v 1 = a 1 v 2 a 2 v 1. Уколико уведемо нове ознаке n 1 = v 2, n 2 = v 1 и n 3 = (a 1 v 2 a 2 v 1 ), до ијамо о ш у је начину раве у равни која гласи: n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 = 0. (2.6) До једначине је могло да се дође и на други начин. На пример, права у равни је одређена тачком A(a 1, a 2 ) и вектором нормале n(n 1, n 2 ), те по узору на једначину равни (2.3) у простору можемо написати векторску једначину AX n = 0. 12

14 Упоређивањем тако до ијених једначина можемо закључити да ако је (v 1, v 2 ) вектор правца праве онда је њен вектор нормале n(n 1, n 2 ) сразмеран вектору (v 2, v 1 ). Општа једначина праве (2.6) је важна јер се свака права у равни може изразити на такав начин. Са друге стране у случају да је n 2 0 (односно v 1 0) читаву једначину (2.6) можемо поделити са n 2 и до ити x 2 = n1 n 2 x 1 n3 n 2, што после замене k = n1 n 2 и n = n 3 n 2 постаје x 2 = kx 1 + n. Ова једначина зове се екс лици на је начина раве, али не тре а испустити из вида да праве са константним x 1 немају такав о лик. Број k зове се коефицијент праве и једнак је тангенсу угла који права гради са позитивним делом x 1 осе. 2.6 Растојање тачке од равни и праве Вратимо се сада на тродимензиони простор у коме имамо раван τ задату једначином (2.5) n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + n 4 = 0. Ако нека тачка има координате P (p 1, p 2, p 3 ) можемо се упитати колико износи растојање тачке P од равни τ. Поставимо праву n кроз тачку P тако да је нормална на раван τ. Нека је B подножје те нормале, односно таква да је {B} = n τ. Растојање између две тачке једнако је норми вектора који је њима одређен, те је d(p, τ) = X τ d(p, X) = X τ P X. Међутим, P X = P B + BX при чему је P B BX, те скаларни производ (или Питагорина теорема) даје P X 2 = P B 2 + BX 2 P B 2, што значи да се X τ P X достиже (инфимум је минимум) у тачки B и важи d(p, τ) = P B = BP. A τ P n B n Нека је n (n 1, n 2, n 3 ) вектор правца праве n ( n = u n ), односно вектор нормале равни τ ( n = n τ ). Како се тачке B и P налазе на правој n то су вектори BP и n колинеарни, те је косинус угла између њих плус или минус један, зато важи BP n = BP n. Са друге стране тачка B припада равни τ, те из једначине (2.3) важи AB n = 0, где је A(a1, a 2, a 3 ) нека тачка равни τ. То нам даје BP n = AP n AB n = AP n. Даље је AP n = OP n OA n = p1 n 1 + p 2 n 2 + p 3 n 3 a 1 n 1 a 2 n 2 a 3 n 3, и како је n 4 = a 1 n 1 a 2 n 2 a 3 n 3 з ог A τ, имамо AP n = p 1 n 1 + p 2 n 2 + p 3 n 3 + n 4. О једињавањем резултата до ијамо BP n = p1 n 1 + p 2 n 2 + p 3 n 3 + n 4 и напокон з ог n 2 = n n n 2 3 важи следећа теорема. 2.1 Рас ојање ачке P (p 1, p 2, p 3 ) о равни τ : n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + n 4 = 0 износи d(p, τ) = p 1n 1 + p 2 n 2 + p 3 n 3 + n 4 n n n2 3 Q P u q q Нека је сада права q одређена тачком Q и правцем v = u q. Ако поставимо паралелограм који разапињу вектори QP и v тада се растојање тачке P од праве q може видети као његова висина и површину тог паралелограма можемо изразити на два начина, геометријски P( QP, v ) = v d(p, q) и алге арски P( QP, v ) = QP v. Изједначавањем површина до ијамо наредну теорему. 13

15 2.2 Рас ојање ачке P о раве q која има равац v и са ржи ачку Q износи d(p, q) = QP v. v Наравно, ако имамо конкретне координате P (p 1, p 2, p 3 ), Q(q 1, q 2, q 3 ) и v (v 1, v 2, v 3 ), претходну теорему, односно растојање d(p, q), можемо експлицитно расписати са p 2 q 2 p 3 q 3 v 2 v p 1 q 1 p 3 q 3 v 1 v 3 v v2 2 + v2 3 + p 2 1 q 1 p 2 q 2 v 1 v 2. 2 Растојање тачке до праве у равни може се видети као лажа варијанта за претходне две теореме. На пример, ако посматрамо растојање тачке P (p 1, p 2 ) од праве l : n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 = 0 у равни, можемо га поистоветити са растојањем тачке (p 1, p 2, 0) од равни n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 = 0 у простору, јер се о а растојања реализују дуж исте нормале. Применом Теореме 2.1 до ијамо одговарајуће тврђење. 2.3 Рас ојање ачке P (p 1, p 2 ) о раве l : n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 = 0 у равни износи d(p, l) = p 1n 1 + p 2 n 2 + n 3. n n Мимоилазне праве Мимоилазне раве су праве у простору које не припадају једној равни, односно нити се секу нити су паралелне. Познато је да за две мимоилазне праве постоји тачно једна права која их сече и нормална је на њих. Та права назива се заједничка нормала мимоилазних правих. Конструкција заједничке нормале за мимоилазне праве p и q може се извршити на следећи начин. Како заједничка нормала мора ити нормална и на правац праве p и на правац q то мора ити нормална на раван π која садржи p, а паралелна је са q и на раван τ која садржи q, а паралелна је са p. Све потенцијалне нормале налазиће се у равни која садржи p и нормална је на раван π, као и у равни која садржи q и нормална је на раван τ, те самим тим заједничка нормала иће пресек тих двеју равни. Растојање између мимоилазних правих реализоваће се аш дуж заједничке нормале. Наиме, ако је M N заједничка нормала за праве p M и q N, то за X p и Y q можемо расписати XY = XM + NY + MN, те з ог XM, NY MN до ити XY 2 = XM + NY 2 + MN 2 MN 2 и коначно d(p, q) = X p,y q XY = MN. Поставља се питање како ћемо експлицитно израчунати то растојање, ако је на пример права p одређена тачком P и правцем u p, а права q одређена тачком Q и правцем u q, при чему имамо на располагању координате тих датих елемената. Ако посматрамо паралелепипед одређен векторима P Q, up и u q није тешко закључити да заједничка нормала M N заправо представља висину тог паралелепипеда у односу на азу коју разапињу u p и u q, те запремину паралелепипеда можемо рачунати на два начина, геометријски V( P Q, up, u q ) = u p u q d(p, q) и алге арски V( P Q, up, u q ) = [ P Q, up, u q ], те коначно важи d(p, q) = [ P Q, up, u q ] u p u q. 2.8 Углови између правих и равни Угао је један од основних појмова у геометрији. Угао између полуправих смо већ разматрали у дефиницији угла између два вектора, док ћемо сад покушати да 14

16 једначинама интерпретирамо угао између две праве, угао између праве и равни, као и угао између две равни. Угао између две праве p и q је мањи од углова које одређују њихове полуправе, те је тако (p, q) [0, π 2 ]. Скаларни производ вектора праваца правих се може разликовати до на знак, јер су углови (p, q) и ( u p, u q ) једнаки или суплементни, те је тако u p u q = u p u q (p, q). Угао између праве p и равни α је угао између праве p и њене ортогоналне пројекције на раван α. Тај угао, или њему суплементан, видимо у правоуглом троуглу који чине хипотенуза u p и наспрамна катета n α и отуда u p n α = u p n α (p, α). Угао између две равни α и β иће једнак углу између њихових нормала, те је зато n α n β = n α n β (α, β). 15

17 Глава 3 Криве 3.1 Круг У овој глави ограничићемо се на раван, односно дводимензиони простор. Најједноставнији о јекат после праве је круг. Круг је скуп свих тачака равни подједнако удаљених од неке тачке. Ознаку k(s, r) користићемо за круг чије су тачке на растојању r од тачке S, при чему кажемо да је S центар круга k, а r његов полупречник. Јасно је да се једначина круга може записати са SX = r, те ако је произвољна тачка круга X(x 1, x 2 ), а тачка S(s 1, s 2 ), до ијамо (x 1 s 1 ) 2 + (x 2 s 2 ) 2 = r 2. На пример, јединични центрирани (центар му је у координатном почетку) круг k(o, 1) имаће једначину + x 2 2 = 1. Круг се може написати и у параметарском о лику, а најједноставнија параметризација овог круга k(o, 1) је: x 1 = θ, x 2 = θ, где θ [0, 2π). 3.2 Поларни координатни систем Правоугли Декартов координатни систем који смо до сада користили је најједноставнији, али и најпогоднији за изражавање линеарних елемената (права, раван). Међутим, за неке квадратне елементе (на пример круг) погодније је користити другачији координатни систем. Поларни координатни систем је координатни систем у равни ( E = 2) који карактерише тачка O E коју зовемо пол и полуправа [Ox 1 ) са почетком у O коју зовемо оса. Тачка X E различита од O једнозначно је одређена растојањем r > 0 од пола (r = d(o, X)) и оријентисаним углом θ који полуправа [OX) заклапа са осом [Ox 1 ). Поларне координате чини уређен пар (r, θ), при чему угао θ одговара ило ком од углова θ + 2nπ, где је n цео рој. Тачку O описује само r = 0, док угао θ не постоји. Јако итна је веза са правоуглим Декартовим координатним системом. Ако га поставимо тако да се пол O поклопи са координатним почетком, а поларну осу поклопимо са x 1 осом имаћемо следећу везу x 1 = r θ, x 2 = r θ. О ратне везе је такође лако исписати. Увек је» r = + x2 2, док у зависности од тога да ли је x 1 0 или x 2 0 можемо писати θ = x 2 x 1, θ = x 1 x 2. 16

18 На пример за x 1 0 можемо исписати експлицитну формулу θ = x 2 x 1 + π 2 (1 (x 1)). Јединични центрирани круг k(o, 1), који је у правоуглом Декартовом систему имао једначину +x 2 2 = 1, у поларном координатном систему се записује веома једноставно једначином r = Трансформације равни Геометријске трансформације равни су пресликавања равни E 2 на саму се е. Оне геометријске трансформације које не померају тачку O могу се једноставно изразити у поларном координатном систему са полом O. Погледајмо шта су слике неке тачке (r, θ) при неким трансформацијама. Слика при ротацији око тачке O за угао α је тачка (r, θ + α). Централна симетрија са центром O даје (r, θ + π). Осна симетрија у односу на x 1 даје (r, θ). Осна симетрија у односу на праву кроз O која је под углом α у односу на x 1 даје (r, 2α θ). Хомотетија са центром O и коефицијентом k > 0 даје (kr, θ). Дакле, поларне координате нам могу олакшати пут ка једначинама неких трансформација у правоуглим Декартовим координатама. На пример, поменута ротација око тачке O за угао α преставља пресликавање (r, θ) (r, θ + α) у поларним координатама. Ако је то пресликавање у правоуглим Декартовим координатама записано са (x 1, x 2 ) (x 1, x 2), лако до ијамо једначине x 1 = r θ = r (θ + α) = r( θ α θ α) = x 1 α x 2 α x 2 = r θ = r (θ + α) = r( θ α + θ α) = x 1 α + x 2 α, и коначно до ијамо једначине ротације x 1 = x 1 α x 2 α, x 2 = x 1 α + x 2 α. (3.1) 3.4 Конусни пресеци Прави кружни конус до ија се ротацијом једне праве l око друге праве s које се секу под оштрим углом у тачки V. Дакле у питању је унија правих кроз V које са s заклапају аш онолики (оштар) угао колики l заклапа са s. Права s назива се оса, тачка V је врх, док се права l као и њене слике у ротацији зову изводнице правог кружног конуса. Конусни пресек је пресек правог кружног конуса и неке равни. Случај када раван садржи врх V је дегенерисан и у питању може ити само тачка V, једна изводница или две изводнице. Нама ће ити најинтересантнији случај када раван не пролази кроз врх, али да није нормална на осу (јер ако јесте у пресеку до ијамо круг) и такве пресеке зовемо конике. Конике имају једну веома лепу осо ину коју ћемо извести. Нека је K прави кружни конус са осом s, врхом V и изводницом l, а τ произвољна раван која не садржи V и није нормална на s. Није тешко показати да постоји сфера σ која је уписана у K и која додирује раван τ. Штавише у општем случају (елипса, хипер ола) постоје две такве сфере, међутим када је раван τ паралелна некој изводници (случај пара оле) постоји само једна таква сфера. Сфера σ додирује конус K по неком кругу и нека је ω раван у којој се тај круг налази. Раван ω је очигледно нормална на s, за разлику од равни τ, те се оне секу по правој d = ω τ. Нека је сада Γ = K τ коника, а тачка G Γ произвољна тачка са ње. Подножје нормале из G на d назовимо A, а подножје нормале из G на ω са B. Продор праве V G кроз ω означимо са M. 17

19 Како је угао између равни ω и равни τ једнак GAB, из правоуглог троугла ABG можемо изразити растојање тачке G од праве d са d(g, d) = GA = GB (ω, τ). Са друге стране имамо правоугли троугао M BG, а како је GB нормално на ω то је и паралелно са s, те је угао BGM = (s, V M) једнак углу између s и ило које изводнице, односно (s, l). Тангентни одсечци на сферу су међусо но подударни, те имамо подударне дужи GF и GM, где је F додирна тачка сфере σ и равни τ ({F } = τ σ), те можемо записати d(g, F ) = GM = GB (s, l). Ако о јединимо претходне две једначине до ијамо одговарајући однос d(g, F ) d(g, d) = GM GA = (ω, τ) (s, l) = e. Када смо фиксирали конус и раван фиксирали смо и углове (ω, τ) и (s, l), те је самим тим e рој који не зависи од из ора тачке G са конике Γ, чиме смо доказали наредну теорему. 3.1 За сваку конику Γ у равни ос оји ачка F и рава d аква а је о нос рас ојања роизвољне ачке са конике о ачке F, о носно о раве d, конс ан ан. Тачка F зове се жижа (или фокус), права d зове се водиља (или директриса), а рој e зове се ексцентрицитет конике. Ексцентрицитет конике је по дефиницији строго позитиван, а испоставља се да вредност 1 разлучује три типа коника на следећи начин. Коника је за 0 < e < 1 елипса, за e = 1 пара ола, за e > 1 хипер ола. 3.5 Једначине коника Пошто смо искористили трећу димензију да и доказали Теорему 3.1, сада можемо да се вратимо у раван и искористимо доказану осо ину да изведемо једначине коника у равни. Испоставља се да је до једначина лакше доћи у поларном координатном систему. Поставимо координатни систем тако да је жижа F пол, док је поларна оса полуправа са почетком F која је нормална на директрису d и сече је. Са L означимо једну од пресечних тачака конике Γ и праве кроз F паралелне директриси и нека је l = d(f, L). Нека је A подножје нормале из G, а B подножје нормале из L на праву d. Нека је G Γ произвољна тачка конике која је са исте стране праве d као и тачка F. Испитајмо поларне координате (r, θ) тачке G. Како је r = d(f, G) = e d(g, A) = e(d(l, B) r θ) = l er θ, то до ијамо поларну једначину конике што се може записати и са r = l er θ, (3.2) r = l 1 + e θ. Погледајмо сада како једначина конике изгледа у одговарајућем Декартовом координатном систему, који има почетак у полу, а поларна оса се преклапа са осом x 1. Квадрирањем једначине (3.2) уз везе x 1 = r θ и x 2 = r θ, које смо раније видели, до ијамо + x 2 2 = (l ex 1 ) 2. 18

20 Сада је (1 e 2 ) + 2elx 1 + x 2 2 = l 2 (3.3) и вршимо дискусију у зависности од тога да ли је 1 e 2 = 0. Дакле, прво ћемо посматрати случај кад је e 1. Тада је и отуда x 2 el 1 + 2x 1 1 e 2 + x2 2 1 e 2 = l2 1 e 2, Å x 1 + el ã 2 1 e 2 + x2 2 1 e 2 = l2 1 e 2 + e2 l 2 (1 e 2 ) 2 = l 2 (1 e 2 ) 2. Можемо приметити да прилично згоднији координатни систем до ијамо транслацијом за вектор ( el 1 e, 0) јер тада + el 1 e постаје ново, док x 2 остаје исто. У том новом координатном систему претходна једначина гласи + x2 2 1 e 2 = l 2 (1 e 2 ) 2, односно Ако уведемо ознаке до ијамо канонску једначину a = + x2 2 l 2 l 2 (1 e 2 ) 2 (1 e 2 ) = 1. l 1 e 2, b = l 1 e2 a 2 + (1 e2 ) x2 2 b 2 = 1. У случају да је у питању елипса (e < 1) то је x2 1 a + x2 2 2 b = 1, док је у случају хипер оле 2 (e > 1) то x2 1 a x2 2 2 b = 1. 2 За случај пара оле, морамо се вратити у дискусију и поставити e = 1. Једначина (3.3) тада гласи 2lx 1 + x 2 2 = l 2, што се може записати као Å ã l x 2 2 = 2l 2 x 1. Додатна изометријска трансформација која преставља осну симетрију равни у односу на праву x 1 = l 4 мења l 2 x 1 са новим x 1 док x 2 остаје исто и у том новом координатном систему једначина има о лик x 2 2 = 2lx Фокусне осо ине коника Елипса и хипер ола имају две жиже и две директрисе. Код елипсе жиже се налазе између директиса, док је код хипер оле о рнуто. Нека је M произвољна тачка са елипсе или хипер оле. По Теореми 3.1 за сваку од жижа важи да је однос растојања тачке од жиже и од директрисе једнак ексцентрицитету. Нека је M произвољна тачка са хипер оле или елипсе Γ и нека су F 1 и F 2 жиже којима редом одговарају директрисе d 1 и d 2. Нека су тачке D 1 d 1 и D 2 d 2 подножја нормала из M на d 1 и d 2. Из осо ине коника имамо d(m, F i ) = e d(m, d i ) = e d(m, D i ) за i = 1, 2. У случају елипсе са ирамо ова растојања и до ијамо d(m, F 1 ) + d(m, F 2 ) = e(d(m, D 1 ) + d(m, D 2 )) = e d(d 1, D 2 ) = e d(d 1, d 2 ), 19

21 док у случају хипер оле њих одузимамо d(m, F 1 ) d(m, F 2 ) = e d(m, D 1 ) d(m, D 2 ) = e d(d 1, D 2 ) = e d(d 1, d 2 ). Овако смо до или следећу теорему. 3.2 З ир рас ојања сваке ачке ели се о њених жижа је конс ан а. А солу на вре нос разлике рас ојања сваке ачке хи ер оле о њених жижа је конс ан а. Ова теорема може нам послужити да до ијемо везу између ексцентрицитета e и мале и велике полуосе, односно ројева a и b. Посматрајмо канонску једначину елипсе (са a > b) и о ележимо са c растојање жиже од центра елипсе, односно координатног почетка. Ако посматрамо темена елипсе, односно тачке (a, 0) и (0, b) које јој припадају, по претходном можемо расписати e d(d 1, d 2 ) = (a c) + (a + c) = 2a, као и e d(d 1, d 2 ) = 2 b 2 + c 2, одакле до ијемо c 2 = a 2 b 2. Како смо приликом извођења једначине елипсе извршили транслацију за вектор ( el 1 e, 0), чиме се жижа померила из коодинатног почетка, то можемо писати 2 c = el l 1 e = e 2 1 e 2 = ea. Сада је e = c a, односно e = 1 b2 a 2. Случај хипер оле можемо слично решити, те нека је c растојање жиже од центра хипер оле, односно координатног почетка. Можемо посматрати тачке (a, 0) и рецимо (a 2, b) које задовољавају канонску једначину хипер оле. Овога пута до ијамо e d(d 1, d 2 ) = (c a) (c + a) = 2a и доста компликованије» e d(d 1, d 2 ) = (a 2 c) 2 + b 2» (a 2 + c) 2 + b 2. Изједначавањем претходних једначина и квадрирањем до ијамо 4a 2 = (a 2 c) 2 + b 2 + (a 2 + c) 2 + b 2 2»(a» 2 c) 2 + b 2 (a 2 + c) 2 + b 2, из чега даље имамо» 4a 2 = 4a 2 + 2c 2 + 2b 2 2 (2a 2 + c 2 + b 2 ) 2 (2ac 2) 2, односно Квадрирањем до ијамо c 2 + b 2 =» (2a 2 + c 2 + b 2 ) 2 8a 2 c 2. c 4 + 2c 2 b 2 + b 4 = 4a 4 + c 4 + b 4 + 4a 2 c 2 + 4a 2 b 2 + 2c 2 b 2 8a 2 c 2, односно 4a 4 4a 2 c 2 +4a 2 b 2 = 0, што дељењем са 4a 2 постаје c 2 = a 2 +b 2. Као и у претходном случају имаћемо c = ea и коначно 3.7 Криве другог реда e = 1 + b2 a 2. Крива другог реда је скуп тачака равни које задовољавају једначину f(x 1, x 2 ) = 0, где је f реални полином другог степена по x 1 и x 2, односно f(x 1, x 2 ) = a a 12 x 1 x 2 + a 22 x a 13 x 1 + 2a 23 x 2 + a 33, (3.4) 20

22 при чему је, наравно, a a a 2 22 > 0. Желимо да класификујемо криве другог реда, односно да опишемо све могуће скупове тачака који задовољавају једначину f(x 1, x 2 ) = 0. (3.5) Постојање члана a 12 0 геометријски казује да је крива постављена косо у постојећем координатном систему. З ог тога ћемо потражити нови координатни систем у коме ће она ити исправљена, односно неће имати члан a 12. У ту сврху ротираћемо координатни систем око координатног почетка за неки угао θ (односно ротирати тачке око координатног почетка за θ) и у складу са једначинама ротације (3.1) имаћемо везу x 1 = x 1 θ x 2 θ, x 2 = x 1 θ + x 2 θ. (3.6) Ако заменимо ове везе у једначину криве (3.5), заједно са (3.4) до ијамо нову једначину a 11x a 12 x 1x 2 + a 22x a 13 x 1 + 2a 23x 2 + a 33 = 0, (3.7) где је 2a 12 = 2a 11 θ θ + 2a 12 ( 2 θ 2 θ) + 2a 22 θ θ, односно a 12 = a 12 ( 2 θ 2 θ)+(a 22 a 11 ) θ θ. Како овде препознајемо тригонометријске једнакости 2 θ 2 θ = (2θ) и 2 θ θ = (2θ), то имамо a 12 = a 12 (2θ) + (a 22 a 11 ) 1 2 (2θ). желимо да пронађемо такво θ да се коефицијент a 12 анулира, међутим из претходне једначине очигледно је да се то дешава када је (2θ) = a 11 a 22 2a 12. Наравно овде немамо про лем дељења нулом, јер када је a 12 = 0 крива је већ исправљена и нема потре е да примењујемо поступак ротације. Дакле, ако координатне осе заротирамо за угао θ = 1 2 a 11 a 22 2a 12 једначина (3.5) прелази у једначину (3.7) код које је a 12 = 0. Тако смо се отарасили једног коефицијента и даље можемо посматрати једначину о лика a 11 + a 22 x a 13 x 1 + 2a 23 x 2 + a 33 = 0. (3.8) Приметимо да су променљиве x 1 и x 2 раздвојене и стога за i = 1, 2 уколико је a ii 0, можемо посматрати израз a ii x 2 i +2a i3x i. Тада се стандардно извлачи a ii испред заграде, у којој се креира потпун квадрат на следећи начин Ç Å ã 2 å a ii x 2 ai3 i + 2a i3 x i = a ii x 2 i + 2x i a i3 a ii + a ii Å a2 i3 = a ii a ii x i + a i3 a ii ã 2 a2 i3 a ii, те након транслације x i координате путем x i = x i + ai3 a ii, суштински уклањамо коефицијент уз x i, односно нови a i3 се анулира. Наравно, ако је a ii = 0, тада се један коефицијент већ неутралисао. Јако је итно да су трансформације које примењујемо изометријске трансформације, односно да оне чувају дужину дужи, илити скаларни производ. З ог тога је јако итно извлачење a ii испред заграде у претходном кораку. 3.8 Класификација кривих другог реда Да се вратимо на нашу једначину (3.8) коју дискутујемо у зависности од тога да ли су a 11 или a 22 различити од нуле. Ако су и a 11 и a 22 различити од нуле, то се захваљујући претходно о јашњеним транслацијама елиминишу коефицијенти a 13 и a 23 из једначине (3.8) која постаје a 11 + a 22 x a 33 = 0, (3.9) 21

23 те је даље потре но дискутовати знакове коефицијената. Ако је (a 11 ) = (a 22 ) = (a 33 ), тада уз a =» a 33 a 11 и b =» a 33 a 22 до ијамо једначину a 2 + x2 2 b 2 = 1, коју не испуњава ниједна тачка јер з ир квадрата никако није негативан. У питању је празан скуп, али ако про лем посматрамо у комплексној равни, можемо рећи да је то имагинарна елипса. Ако је (a 11 ) = (a 22 ) = (a 33 ), тада уз a =» a 33 a 11 и b =» a 33 a 22 до ијамо једначину a 2 + x2 2 b 2 = 1, а у питању је канонска једначина елипсе. Стандардно можемо захтевати и додатни услов a b > 0, јер ако то није случај можемо извршити осну рефлексију у односу на праву x 1 = x 2, односно x 1 = x 2, x 2 = x 1, што је изометријска трансформација која окреће значења координата x 1 и x 2, те самим тим значења мењају и ројеви a и b. Ако је (a 11 ) = (a 22 ) и a 33 = 0, тада уз a = 1 и b =» a 11 a 22 до ијамо једначину a 2 + x2 2 b 2 = 0, чије је решење тачка, односно у питању је координатни почетак (0, 0). То је оно што се види у реалној равни, док је у комплексној равни то пар имагинарних правих које се секу. Преостаје нам случај (a 11 ) = (a 22 ). Уколико је још a 33 = 0 можемо поставити a = 1 и b =» a 11 a 22 и до ити једначину a 2 x2 2 b 2 = 0, која представља две праве које се секу. Њихове једначине су очигледно x 1 a ± x 2 b = 0. Уколико је (a 11 ) = (a 22 ) уз a 33 0, не умањујући општост можемо претпоставити да важи (a 33 ) = (a 11 ), јер у супротном можемо применити већ виђену осну рефлексију x 1 = x 2, x 2 = x 1 која замењује координатне осе и самим тим окреће и коефицијенте a 11 и a 22. Уколико поставимо a =» a 33 a 11 и b =» a 33 a 22 до ијамо једначину a 2 x2 2 b 2 = 1, што је канонска једначина хипер оле. Овако смо испитали све могућности из једначине (3.9) која је до ијена када су и a 11 и a 22 различити од нуле. Следећа претпоставка је да је тачно један од ројева a 11 и a 22 различит од нуле. Не умањујући општост можемо претпоставити да је a 11 0 и a 22 = 0, иначе ћемо као и раније заменити x 1 и x 2 осу. У овом случају одговарајућа (горе поменута) транслација по x 1 елиминисаће коефицијент a 13. Претпоставимо да је сада коефицијент a Тада можемо извршити и транслацију по x 2 која ће да о једини члан са x 2 са сло одним чланом путем x 2 = x 2 + a33 2a 23 и тако уклонити коефицијент a 33. Почетна једначина (3.8) у том случају постаје о лика a a 23 x 2 = 0, а ако поставимо p = a23 a 11 имамо = 2px 2, што је једначина пара оле. Уколико је p < 0 можемо окренути смер x 2 оси тако што ћемо извршити изометријску трансформацију x 1 = x 1, x 2 = x 2 и до ити канонско ограничење p > 0. 22