ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΥΡΒΗ. Περιεχόμενα:

Transcript

1 ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΥΡΒΗ Πειεχόμεα: Γεικά χαακτηιστικά Μέσες τιμές, σσχετίσεις και φάσματα Οι μέσες εξισώσεις κίησης Η εξίσωση της τύβης Η αποδόμηση εέγειας Η τύβη στη εσωτεική διάτμηση ταχύτητας Η τύβη κοτά στο όιο Ο λογαιθμικός όμος Η επίδαση της στωμάτωσης Κλίμακα αάμιξης Γεωστοφική τύβη Αιθμητική ποσομοίωση της τύβης

2 Χαακτηιστικά της τβώδος οής: Χαοτική Random αλλά... Μη-γαμμική Non-lnear Ταχύτατη αάμιξη χαακτηιστικώ Dffsve Έτοες διακμάσεις το στοβιλισμού Edd Αποδομεί τη εέγεια από μεγάλες σε μικές κλίμακες Dsspave Ιστοική ααδομή: O. Renolds 883 Διαχωισμός μέσης κατάστασης και διακμάσεω Renolds sresses Χαακτηισμός κατωφλίο τβώδος οής Renolds nmber b ommerfeld G. I. Talor 9; 93s Ποσέγγιση της σδακύμασης Στατιστική θεωία της τύβης Η ιδέα το μήκος αάμιξης L. randl T. von arman 9s Ημιεμπειικές θεωίες της τύβης Εφαμογή το μήκος αάμιξης L. Rchardson 9 Φασματική αποδόμηση εέγειας και ο όμος τω 4/3 εφαμοσμέος αγότεα από olmogorov και Obkhov Α. Κ. olmogorov 94 Η κλίμακα olmogorov και ο όμος τω 5/3

3 Η μέση τιμή, η σδακύμαση και το φάσμα aonar Nonsaonar lm d Ensemble average: N N 3

4 { }... N... N N N 3 3 b a b a b a b a d d d d Στατιστικές παάμετοι: R V Τπική απόκλιση: Διακύμαση: RM:, R Ατο-διακύμαση: Nonsaonar τ τ R Ατο-διακύμαση: aonar τ τ r τ τ Ατο-διακύμαση eghed: For as,, r r R τ τ τ τ R R

5 Inegral Tme cale: T r τ dτ Μέτο της χοικής διάκειας όπο η παάμετος πααμέει έτοα σσχετισμέη, η μήμη το σστήματος. r Μετασχηματίζοτας κατά Forer: ωτ ωτ ω e R τ dτ R τ e ω π dω T τ Για τ : ω dω Άα η ω δίει τη καταομή της διακύμασης εέγειας στις διάφοες σχότητες ω. Θεωώτας και τις χωικές διαστάσεις: R,, e R d R e π Σ-διακύμαση: τ τ d όπο Κ είαι ο κματαιθμός k,l,m, dddd και ddkdldm C C τ C τ

6 Μέσες εξισώσεις κίησης f f f v f ; ; ;

7 Η εξίσωση σέχειας γίεται: και α αφαιέσομε από τη γεική εξίσωση: g f Ατίστοιχα:

8 Renolds sress ensor: Ρθμός μεταβολής της μέσης ομής λόγω τβώδος οής Isoropc d Πααμέο μόο οι διαγώιοι όοι και > -d < Ansoropc Κίηση στοιχειώδος όγκο κατά θετικό d > θα δημιογήσει αητική δηλ. <, εώ κίηση στοιχειώδος όγκο κατά αητικό d > θα δημιογήσει θετική δηλ. <.

9 Πος nd Order Closre cheme ή Υπολογίζοτας τη Τύβη : Mlplng N- eqaons b, and, respecvel and addng hem erformng Renolds decomposon Ignorng horonal advecon erms Incldng dsspaon erms n ε d d g v ε Σε σμπαγή μοφή: d d j j g ε j j TE conservaon TE prodcon b shear b TE prodcon/redcon de o vercal boanc fl TE rodcon b pressre flcaons Transpor of TE b rblen eddes TE dsspaon

10 TE prodcon b shear Πάτα θετική πααγωγή δες ποηγούμεη διαφάεια TEdsspaon ε j j j Ο όος ατός δε είαι τώα αμελητέος, ατίθετα ε καταστοφή τύβης TE prodcon/redcon de o vercal boanc fl b Πααγωγή ή καταστοφή εξατώται από τη στωμάτωση το μέσο N > N g πααγωγή τύβης Στη διεπιφάεια αέα-εού Δ/Δ b Η πααγωγή τύβης λόγω οής πλεστότητας γίεται εις βάος της δαμικής εέγειας N < πλήη καταστοφή της τύβης! b > b

11 Οι μεγάλες δύες Obondar laer: παίο εέγεια από το μέσο πεδίο και τετώοται από τη διάτμηση το πεδίο, σπάζοτας σε μικότεες δύες Cascade of Energ Οι μικότεες δύες: παίοτας εέγεια από το πεδίο τω μεγάλω δώ με τη σειά τος τετώοται από το πεδίο τω μεγαλύτεω δώ και σπάζού σε μικότεες δύες παίοτας εέγεια από το πεδίο τω μεγάλω δώ Οι πολύ μικές δύες: μεταφέοται από το πεδίο τω μεγαλύτεω δώ χωίς α βλέπο το μέσο πεδίο και τις μεγάλες δύες Κάτω από μια κίσημη κλίμακα η μοιακή διάχση παίει εέγεια από τη τύβη και τη μετατέπει σε θεμότητα lne Large eddes Dsspang range lnλ

12 Για lobondar laer και η τπική τιμή τω διατααχώ ταχύτητας Trblen dsspaon: ε ~ l 3 rblen srengh rblen freqenc l olmogorov 94 mcroscale: 3 η ε / 4

13 Με βάση το οισμό το, θεωώτας ισοτοπική τύβη το φάσμα εξατάται μόο από το μέτο το Κ: όπο το Κ σδέεται με τη ατίστοφη κλίμακα τω δώ της τύβης και l είαι η κλίμακα τω μεγαλύτεω δώ. Για μικές κλίμακες, Κ>>l -, δε πάχει αλληλεπίδαση τω μικώ δώ με τις μεγάλες δύες σχεδό ισοτοπικό πεδίο, άα μποούμε α γάψομε: d, ε, >> l Η κλίμακα ατή οομάζεται eqlbrm range. Στη πειοχή Κ~η -, πειοχή πο αχίζει α δα η μοιακή διάχση, το φάσμα μειώεται απότομα dsspaon sbrange. Η πειοχή l - << << η - οομάζεται neral sbrange. Η πειοχή ατή θμίζεται από τη διαδικασία το αποδόμησης εέγειας και όχι από τη μοιακή αποδόμηση παότι το ε παίζει όλο στη διαδικασία, αφού η αποδόμηση εέγειας πέπει α τοφοδοτεί τη μοιακή αποδόμηση, και, ε l << << η Ο olmogorov έδειξε ότι για διαστατικούς λόγος m 3 /s ; ε m /s 3 ; m- : eqlbrm range neral range -5/3 dsspang range Aε l << << η /3 5/3 Νόμος Κ -5/3 το olmogorov A.5 παγκόσμια σταθεά η

14 Ineror shear flo a Je elf-smlar ισχύει ότα οι κλίμακες της δαμικής πο εξετάζομε εξατώται από τα χαακτηιστικά το πεδίο και όχι από γεικότεες κλίμακες πο χαακτηίζο τα γεοφσικά εστά. Οι κλίμακες, στη πείπτωση ατή, είαι αεξάτητες από το στελεστή μοιακής τιβής. Inermenc γ είαι το κλάσμα το χόο, κατά το οποίο έα σημείο το εστού βίσκεται σε πειοχή τβώδος οής. b ake Έχει βεθεί ότι self-smlar case; Tonsend, 976: c hear laer c f δ c f δ f δ je ake shear laer

15 all-bonded shear flo Στη πείπτωση ατή, σε ατίθεση με τη ποηγούμεη, οι κλίμακες επηεάζοται από το στελεστή μοιακής τιβής επίδαση το οίο. τ channel Για πλήως αεπτγμέη οή σε καάλι, αεξάτητη το ; nd 9.4: μ Ο πώτος όος εξατάται μόο από το, εώ ο δεύτεος μόο από το. Άα τ cons. bondar laer Για οή πάω από σταθεό όιο μηδεική βαθμίδα πίεσης; nd.5: τ Η τ τώα είαι μια σάτηση το. Κοτά στο όιο:, τ,, Από τις αεξάτητες μεταβλητές μόο και τ πειέχο μοάδα μάζας, ώστε θα πέπει κάπως α σδάζοται. Έτσι οίζομε: τ Frcon veloc

16 ,, Το Π θεώημα το Bckngham Χησιμοποιώτας το Π θεώημα, όπο n4 και r n - r, πάχο δύο ζεγάια αδιάστατω μοάδω / και /, τα οποία πέπει α σδέοται με κάποιο όμο γεικής ισχύος: f La of he all f Ότα έχομε n μεταβλητές, πο πειλαμβάο r διαφοετικές μοάδες και ο οποίες σχετίζοται με μια σχέση: f q,q,...,q n το θεώημα το Bckngham 94 λέει μποού α σδαστού για α σχηματίσο n-r αδιάστατες αεξάτητες μεταβλητές, ώστε η πααπάω σχ ση α ισοδαμεί με τη ϕ Π, Π,..., Π nr Στη πειοχή πολύ κοτά στο όιο μποούμε α θεωήσομε ότι κιαχεί ο μηχαισμός της μοιακής τιβής. Άα d τ d Ολοκληώοτας και θεωώτας ότι η ταχύτητα μηδείζεται ακιβώς πάω στο όιο no-slp b.c.: vscos sblaer τ ln

17 Στη πειοχή πολύ μακιά από το όιο oer rblen laer το πεδίο ταχτήτω εξατάται από τη θέση το πόσο κοτά στη οή πο δε βλέπει το όιο, : F δ F ξ Veloc defec la Οι λύσεις τω δύο πααπάω σχέσεω La of he all Veloc defec la πέπει α ταιιάζο σε μια εδιάμεση πειοχή, καθώς & ξ Πααγωγίζοτας ως πος τη μέση ταχύτητα βαθμίδα και εξισώοτας/πολλαπλασιάζοτας επί /: d d d d df d df δ dξ df d df ξ d ξ κ Ολοκληώοτας τη πααπάω σχέση: κ ln A; F ξ lnξ B f nner regon oer regon ln κ όπο κ είαι η σταθεά von arman κ.4 βάσει πειαμάτω A κ ln B κ δ vscos sblaer bffer sblaer nner regon logarhmc sblaer ln oer regon

18 Γεικεύοτας στο logarhmc laer, κα ξααχησιμοποιώτας διαστατική λογική η μεταβολή της ταχύτητας στο στώμα ατό εξατάται μόο από τη απόσταση από το όιο και όχι από τα και δ: d d Η σχέση ατή εκπίπτει στις δύο ποηγούμεες με κατάλληλη επιλογή σταθεάς. Πειάματα κοτά σε πλάκες έδειξα: vscos sblaer < 5 or ln cons. κ κ 5 δ bffer 5 < 3 sblaer < η πειοχή ατή είαι σηματική γιατί η πααγωγή τύβης λόγω βαθμίδω ταχύτητας - d / d - γίεται μέγιστη nner 3 < 3 regon < το αώτεο όιο εξατάται από το αιθμό Renolds oer regon Ο καθαά λογαιθμικός όμος ισχύει για /δ <.. η μοφή το veloc defec la είαι διαφοετική στα άκα το δ. Τα πααπάω ισχύο για όια με λείες επιφάειας. Για ταχείς επιφάειες hdrodnamcall rogh πέπει α εφαμόσομε: ln cons. κ

19 Η επίδαση της στωμάτωσης g ε d d j j j j Fl Rchardson nmber R f g boanc desrcon shear prodcon Χησιμοποιώτας το λογαιθμικό όμο και θέτοτας : όπο g R f 3 κ κg L MO κg Monn-Obkhov lengh scale Trner L MO ln 5 cons. κ L MO Για << L MO η shear prodcon κιαχεί: Forced convecon Για >> L MO η τύβη δε μποεί α ααπτχθεί Για >> -L MO ασταθής στωμάτωση: Forced convecon L MO Free convecon Forced convecon

20 Η απλούστεη πείπτωση: αχική κατάσταση τελική κατάσταση H/ H/ H E gan f g d H gh 8 gh H g g d H 4 3H g 4 H H E loss d f d H H H 8 H Πλήης αάμιξη ποποθέτει: Eloss>Egan gh <

21 Μια πιο εαλιστική πείπτωση: ημι-άπεια στώματα π/l Γαμμικοποιημέες εξισώσεις χωίς πειστοφή τιβή για κάθε στώμα: c k e Λύσεις της μοφής: Ατικαθιστώτας: k c k k c k k

22 k k k k Be c Be A Be Ae a k k k k Ce c Ce D De Ce a αώτεο στώμα: κατώτεο στώμα: Οιακές σθήκες: k k k k Be c Be c Be Be C B ; ; a διεπιφάεια: g g d d cons. a [ ] [ ] [ ] [ ] g c k c kc g c k c kc

23 ± k g c Για αστάθεια, η c πέπει α έχει φαταστικό μέος: c k e < k g k g < elvn-helmhol nsabl Α χησιμοποιήσομε τη ποσέγγιση εκτός από εκεί πο εμφαίζοται οι διαφοές τος: l g < Η ζώη αάμιξης σχετίζεται με το κματαιθμό τω πιο μακώ κμάτω πο ααπτύσσοται στη διεπιφάεια /l mn g l H mn Δ L B g H Δ 3 3 κ κ Ξαά στο Monn-Obkhov Lengh scale

24 -D και Qas-geosrophc Trblence -D non-roang, non-dvergen ζ v ζ ζ v ζ dζ d ψ J ψ, ψ,v ψ,ψ Q-G roang, dvergen ψ Fψ J ψ, ψ β ψ F f όπο gh Η τύβη μεγάλης κλίμακας στο ωκεαό και τη ατμόσφαια γεωφσικά εστά έχει ιδιαίτεα χαακτηιστικά, γιατί πειοίζεται από: τη Corols, τη έτοη στωμάτωση και το πολύ μικό aspec rao H/L. Η τύβη γίεται σχεδό δισδιάστατη Qas-geosrophc Trblence

25 D Trblence o o Διατήηση εέγειας και ensroph No vore srechng 3D Trblence o o Εισάγομε μια καιούγια ποσότητα: Ensroph μέση τιμή το τεταγώο το σχετικού στοβιλισμού ζ, όπο edlosk, 987: Energ pecrm Η ensroph δε διατηείται Vore srechng QG Trblence Ensroph pecrm ζ o Energ & Ensroph conserved όπως στη πείπτωση το D o Vore srechng όπως στη πείπτωση το 3D d d και ισχύει: d d d d d d Energ and Ensroph conservaon όπο αγοήσαμε τη επίδαση της μοιακής τιβής Θα εξετάσομε τη εξέλιξη της εέγειας και της ensroph ότα μεταπίπτει από μια αχική κατάσταση Κ σε μικότεες Κ και μεγαλύτεες κλίμακες Κ < < Κ μείωση κλίμακας Κ Κ αύξηση κλίμακας

26 Παάδειγμα: Κ Κ / και Κ Κ Λόγω τω καόω διατήησης: ln Ατικαθιστώτας τις τιμές: 4 4 Άα η εέγεια πάει σε μεγάλες κλίμακες και η ensroph σε μικές κλίμακες! Energ nverse cascade ε 5/3 ln α Ensroph cascade 3 ln Το μέγεθος τω δώ ατώ δε αξάει σεχώς, αλλά σε κάποια κλίμακα Rhnes, 975 μετατέποται σε Rossb-ave packes: l R ~ β Rhnes lengh Η διαδικασία ατή έχει αποτέλεσμα τη επιμήκση τος στη διεύθση αατολήςδύσης εώ στη διεύθση βοά-ότο η επέκταση σταματάει στο Rhnes lengh, δημιογώτας ζωικά jes.

27 Αιθμητική ποσομοίωση της τύβης Renolds-averaged modelng RAN: Λύση τω μέσω εξισώσεω και πααμετοποίηση της τύβης σε κλίμακα πλέγματος μέσω στατιστικής ποσέγγισης space/me averagng Drec Nmercal mlaon DN: Άμεση ποσομοίωση της τύβης σε όλες τις χωο-χοικές κλίμακες compaonall nrealsc Large Edd mlaon LE: Εδιάμεση ποσέγγιση RAN: Τβώδης οή Η δάση της τύβης ποσεγγίζεται μέσω το στελεστή τβώδος τιβής σταθεά ή με χήση πογωστικώ εξισώσεω, π.χ. σχήμα magornsk A H Δ Δ ή πιο πολύπλοκες μέθοδοι πο χησιμοποιού το κλείσιμο της εξίσωσης τβώδος κιητικής εέγειας Μellor-Yamada, k-ε closre schemes. LE: Τβώδης οή Ποσομοίωση μεγάλω δώ Πααμετοποίηση φιλτάισμα μικώ δώ

28 Renolds averaged model RAN f f f f ' Large Edd mlaon LE non-rblen f ~ f f f large eddes

29 Large Edd mlaon LE Μοφοποίηση διαδικασιώ σε μοτέλο LE km m resolved eddes L mm parameeraon Δf neral range κ 5 / 3 energ np dsspaon