ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. ιδάσκων: ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80.

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος ιδάκων: Βαίλης ΚΟΥΤΡΑΣ ιδάκων ε ί Συβάει Π. 47/8 Τηλ:

2 Σε αρκετές εφαρογές αρουιάζεται η ανάγκη λήψης α οφάεων χετικών ε την κατανοή ενός ληθυού Πιο υγκεκριένα, ε ολλές ερι τώεις ρέ ει, βάει ενός τ.δ. Χ, Χ 2,..., Χ α ό έναν ληθυό ε κατανοή F(;θ), να α οφαίουε αν ευταθεί ή όχι ία ληροφορία (υ όθεη) χετική ε την κατανοήfήτις αραέτρουςθ

3 Παράδειγα : Έτω ότι ένα εργοτάιο αράγει κά οιες ηλεκτρονικές υκευές (.χ. ικροε- εξεργατές). Κατά τακτά χρονικά διατήατα (.χ. ανά ώρα) γίνεται έλεγχος της οιότητας και των υκευών της ωριαίας αραγωγής. Κατά τον έλεγχο αυτό α οακρύνονται όλες οι τυχόν ελαττωατικές υκευές. Η αραγωγική διαδικαία θεωρείται ότι βρίκεται έα τις ροδιαγραφές της αν η ιθανότητα αραγωγής ελαττωατικής υκευής είναι ίη (ή το ολύ) 5%. Σε ερί τωη ου αυξηθεί αυτή η ιθανότητα θεωρείται ότι υ άρχει κά οιο ρόβληα, ταατά η αραγωγή, και αναζητείται ο λόγος της ανωαλίας.

4 Στο αράδειγα αυτό θα ρέ ει να κατακευάουε έναν έλεγχο ε βάη τον ο οίο θα κρίνουε αν για την τελευταία ώρα ιχύει για την (άγνωτη) ιθανότητα p αραγωγής ελαττωατικής ονάδας η υ όθεη ότι p 5% (ή 5%), ο ότε υνεχίζεται η αραγωγή, ή p > 5%, ό οτε διακό τεται η αραγωγή Είναι λογικό ο έλεγχος αυτός να βαίζεται τον αριθό των ελαττωατικών ονάδων ου βρέθηκαν ανάεα τις της ωριαίας αραγωγής Αν θέουεχ i ήανάλογα ε το αν η i-ονάδα βρέθηκε ελαττωατική ή όχι, i,2,..., τότε το δειγατικό οοτό α οτελεί κατά τα γνωτά ία εκτιήτρια της ιθανότητας p αραγωγής ελαττωατικής ονάδας

5 Σύφωνα ε τα όα γνωρίζουε, αν το p είναι ίο του 5% τότε αναένουε το δειγατικό οοτό να αίρνει τιές «κοντά» και «γύρω» α ό το 5%. Συνε ώς, δεδοένου ότι p 5%, είναι «α ίθανο» να βρεθεί ένα εγαλύτερο του 5% (.χ. να βρεθεί > % ή γενικότερα > c) «ηαντικά»

6 Στην ερί τωη λοι όν ου υβεί κάτι τέτοιο ( > c) είναι λογικό να θεωρήουε ότι το βρέθηκε τόο εγάλο διότι την ραγατικότητα δεν ιχύει ότι p 5% αλλά p > 5% Άρα ε αυτή την ερί τωη θα ρέ ει να διακόψουε την αραγωγή (α ορρί τουε ότι p 5%) Ε οένως, κατά κά οιον τρό ο κατακευάαε έναν έλεγχο της υ όθεης p 5% έναντι της p > 5% ύφωνα ε τον ο οίον: - αν > c α ορρί τουε ότι p 5% - αν c δεχόατε ότι p 5%

7 Το ερώτηα ου τίθεται τώρα είναι: οια θα ρέ ει να είναι αυτή η τιή c για α ό την ο οία, δεδοένου ότι p 5%, θεωρείται «α ίθανο» να υβεί > c??? Είναι φανερό ότι όο εγαλύτερο είναι το c, τόο ιο α ίθανο γίνεται το ενδεχόενο > c Α ό την άλλη όως, αν άρουε c υ ερβολικά εγάλο (.χ. c 2%) τότε εφανίζεται ο κίνδυνος να ιχύει.χ. ότι p % > 5% και εείς να βρούε ότι να δεχτούε την αρχική υ όθεη ότι p 5%!!!!!!!!! 2% και ε οένως Συνε ώς θα ρέ ει να βρεθεί το βέλτιτο c κάτω α ό κά οιες υγκεκριένες ροϋ οθέεις. Ο καθοριός αυτών των ροϋ οθέεων καθώς και η εύρεη κατάλληλου ελέγχου α οτελεί αντικείενο της θεωρίας των τατιτικών ελέγχων υ οθέεων ου θα εριγράψουε τη υνέχεια

8 Ας δούε το αρα άνω ρόβληα τη γενικότερή του ορφή. ΈτωΧ,Χ 2,...,Χ ένα τ.δ. α ό έναν ληθυό ε κατανοή F(;θ). Ε ιθυούε να ελέγξουε την υ όθεη θ Θ έναντι της θ Θ ό ου Θ, Θ είναι υ ούνολα του αραετρικού χώρου Θ (ύνολο ε ιτρε τών τιών της αραέτρου θ) ενώ φυικάθ Θ (ταθ,θ είναι ξένα). Η βαική υ όθεηθ Θ θα καλείται ηδενική υ όθεη και θα υβολίζεται ε Η ενώ η ενάντιαθ Θ θα καλείται εναλλακτική υ όθεη και θα υβολίζεται ε H. Συνο τικά θα έχουε: H : θ Θ, H : θ Θ, ηδενική (ή βαική) υ όθεη, εναλλακτική υ όθεη

9 Κρίιη εριοχή ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Μία υ όθεη θα καλείται ονό λευρη αν είναι της ορφής H :θ>θ ή H :θ<θ ενώ θα καλείται δί λευρη αν είναι της ορφής H : θ θ Στη υνέχεια, βάει του τ.δ.χ,χ 2,...,Χ, κατακευάζουε ία διαδικαία ελέγχου της αρα άνω υ όθεης Συγκεκριένα, χωρίζουε το δειγατολη τικό χώρο Ω (το ύνολο των δυνατών τιών του δείγατος) ε δύο ξένα υ ούνολα Α και R (Α RΩ) έτι ώτε, - αν (Χ,Χ 2,...,Χ ) R, α ορρί τουε την H : θ Θ - αν (Χ,Χ 2,...,Χ ) Α, δεχόατε την H : θ Θ Η εριοχή R καλείται κρίιη εριοχή ή εριοχή α όρριψης της Η ενώ η εριοχή Α καλείται εριοχή α οδοχής της ηδενικής υ όθεης Η

10 Στατιτική υνάρτηη ελέγχου Στην ουία ε ιλέγεται ια κατάλληλη τατιτική υνάρτηη του τ.δ.χ,χ 2,...,Χ : Τ(Χ)Τ(Χ,Χ 2,...,Χ ) η ο οία ζητάε να έχει 2 χαρακτηριτικά: όταν ιχύει η Η να λαβάνει τιές ε ια εριοχή (ύφωνα ε ια γνωτή κατανοήf T χωρίς άγνωτες αραέτρους) ενώ όταν ιχύει η Η να αίρνει τιές εκτός αυτής της εριοχής ηλαδή - αν Τ(Χ,Χ 2,...,Χ )> c, α ορρί τουε την H : θ Θ - αν T(Χ,Χ 2,...,Χ ) c, δεχόατε την H : θ Θ

11 Σφάλατα Ανάλογα ε την α όφαη ου θα άρουε ενδέχεται να κάνουε κά οιο φάλα Μας ενδιαφέρει εριότερο να ην α ορρί τουε την Η ενώ αυτή είναι αληθής, και ε οένως ρέ ει να ε ιλέγουε το κρίιο ηείο c έτι ώτε: Pr ( φάλα Ι) Pr( T ( ) > c H ) ΓΕΝΙΚΑ α Pr(φάλα τύ ου Ι) Pr(α ορρί τεται η Η Η αληθής) β Pr(φάλα τύ ου ΙΙ) Pr(α οδεκτή η Η Η λανθαένη) Μέγεθος της κρίιης περιοχής ή επίπεδο ηαντικότητας του ελέγχου γ -β ιχύς του ελέγχου

12 γ Τέλος, αξίζει να αρατηρήουε ότι, ε βάη την αρα άνω διαδικαία, αυτό ου ας ενδιαφέρει εριότερο είναι να διατηρηθεί ικρή η Pr(I) και για αυτό α αιτούε Pr(I) α (ικρή ιθανότητα εφαλένης α όρριψης της Η ). H Pr(IΙ) ορεί να είναι και αυτή ικρή, ορεί όως να είναι και αρκετά εγάλη, ανάλογα την ερί τωη. Για το λόγο αυτό αν (Χ, Χ 2,..., Χ ) R τότε λέε ότι «α ορρί τουε την Η» ε ιθανότητα να κάνουε λάθος ικρότερη του α, ενώ αν (Χ,Χ 2,...,Χ ) Α, τότε υνήθως λέε ότι «δεν έχουε αρκετά τοιχεία ώτε να α ορρίψουε την Η»

13 Εύρεη κρίιης εριοχής Η διεξαγωγή ενός τατιτικού ελέγχου ροϋ οθέτει να ορίζουε κά οιον κανόνα για την λήψη α οφάεων Ας υ οθέουε ότι θέλουε να ελέγξουε για έναν ληθυό ου ακολουθεί Ν(, 2 ): Η : έναντι Η : > Για να κάνουε τον αρα άνω έλεγχο για την έη τιή, θεωρούε αν κατάλληλη.. την T ( ) και ε οένως α ορρί τουε την Η αν > c Για να υ ολογίουε το ηείο c ρέ ει να ορίουε ένα ε ί εδο τατιτικής ηαντικότητας α. Για το φάλα τύ ου Ι γνωρίζουε ότι: ΠΡΟΣΟΧΗ!!!!!! To -α λέγεται βαθός ε ιτούνης

14 Εύρεη κρίιης εριοχής ( ) c Z Pr c Z Pr H c Pr H c Pr > > > : : z c c z c c z Pr Z Pr Z Pr + > Φ

15 Εύρεη κρίιης εριοχής Για κάθε τατιτικό έλεγχο Η ε ε ί εδο ηαντικότητας α το κρίιο ηείο c δίνεται α ό την χέη Ε οένως α ορρί τουε την Η αν > c c + z Άρα για δοθέν ε ί εδο τατιτικής ηαντικότητας α. υγκρίνω την.. ελέγχου ή Ζ ε > + z το ηείο z -α Με βάη την αρα άνω χέη ορούε ιοδύναα να ούε ότι α ορρί τουε την Η ε ε ί εδο τατιτικής ηαντικότητας α, αν Z > z /

16 Μεθοδολογία. Ορίζουε την ηδενική υ όθεη 2. Ορίζουε την εναλλακτική υ όθεη 3. Υ ολογίζω την κατάλληλη τατιτική υνάρτηη ελέγχου,.χ.ζ,τ κλ 4. Συγκρίνω ε την κατανοή ου ιχύει κάτω α ό την ηδενική υ όθεη 5. Συ εραατολογία

17 Στατιτικές υναρτήεις ελέγχου z-test χρήη κανονικής κατανοής τατιτική υνάρτηη ελέγχου Z t-test χρήη t-κατανοής τατιτική υνάρτηη ελέγχου / T S /

18 Παράδειγα 2: Παίρνουε 25 τιές α ό έναν κανονικό ληθυό Ν(,4). Θέλουε να ελέγξουε αν 5 έναντι της υ όθεης ότι η έη τιή του ληθυού ορεί να είναι και εγαλύτερη α ό 5. Βρέθηκε ότι η έη τιή του δείγατος είναι 5.45 ( ) Η : 5 Η : > 5 Γνωρίζουε ότι Στατιτική υνάρτηη ελέγχου ( <3 και 2 γνωτή)ï z-test Σύγκριη: α % α 5% 2 4 ~ N(, ) N(5, ) 25 Z Z. Z.9.28 > Z.25 Z Z.645 > Z. 25 Z.5.95 Συ εραατολογία: Ζ < Ζ -α ï ΑΠΟ ΕΧΟΜΑΙ Η ( δεν ορώ να α ορρίψω) Z /.25

19 p-τιή Στον έλεγχο ορεί να χρηιο οιηθεί η p-τιή Εκφράζει το όο ηαντική είναι η τιή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου ου δίνει το δείγα: «Είναι η ελάχιτη τιή του ε ι έδου ηαντικότητας για την ο οία α ορρί τεται η Η» Μ ορούε να ούε ότι είναι ένα έτρο ου εκφράζει το όο ιχυρές είναι οι α οδείξεις ου ροκύ τουν εναντίον της Η - αν p-τιή α α ορρί τεται η Η - αν p-τιή >α α οδοχή Η

20 p-τιή H Η α ορρί τεται αν η τατιτική υνάρτηη ελέγχου Τ() > c Έτω η τ.. Τ(Χ). Η ιθανότητα να εφανιτεί ένα τόο ή ακόη και ιο «ακραίο» δείγα α ό αυτό ου εφανίτηκε (το Τ() δηλαδή), δεδοένου ότι ιχύει η Η είναι το p-vlue Pr ( T ( ) T ( ) H ) p vlue > (υνήθως η Τ(Χ) είναι υνεχής ο ότε ορεί να θεωρηθεί ότι έχουε έα την αρα άνω ιθανότητα).

21 p-τιή Παράδειγα 2 υνέχεια: p vlue Pr ( > H ) Pr( > H : 5) Pr > H : 5 / / Pr 2/ p vlue > Pr 25 2/ ( Z >. 25) Pr( Z. 25) p-τιή > α.5 (5%) ή p-τιή > α. (%) î α οδέχοαι την Η (δεν ορώ να την α ορρίψω)

22 p-τιή Παράδειγα 3: Ε ιθυούε να ελέγξουε αν ο έος ενός κανονικού ληθυού (ε γνωτή δια ορά 2 ) είναι ίος ε ή εγαλύτερος ηλαδή: Η : έναντι Η : > Παίρνουε ένα τ.δ. Χ, Χ 2,, Χ α ό τον ληθυό και χρηιο οιούε την τατιτική υνάρτηη ελέγχου Z ήt / η ο οία όταν ιχύει η Η ακολουθεί τυ ική κανονικά κατανοή Ν(,) ενώ όταν ιχύει η εναλλακτική Η αίρνει «εγάλες» τιές. Ε οένως α ορρί τουε την Η αν t > c z /

23 p-τιή Σηειώνεται ότι ήραε c z -α για να εξαφαλίουε Pr(φάλα Ι)α Η p-τιή ενός τ.δ., 2,., εδώ θα είναι: p vlue Pr ( T > t H ) Pr( T t H ) Φ(t ) Φ( ) Στο χήα φαίνεται η p-τιή και το ε ί εδο ηαντικότητας α το υγκεκριένο αράδειγα. Α ό το χήα φαίνεται ότι αν t < c τότε και p-τιή >α και αντίτροφα /

24 p-τιή Αριθητική Εφαρογή έτω ότι για ένα δείγα εγέθους 25 ήραε ελέγξουε αν ιχύει Η : έναντι Η : > ε ε ί εδο τατιτικής ηαντικότητας α 5% ε 5 και θέλουε να Περιοχή α όρριψης της Η : > z 95 > 5 / 25 R : t > z. /. 645 το ο οίο δεν ιχύει και άρα δεν ορώ να α ορρίψω την Η p-τιή: ( T > t H ) Pr( T > H ) Φ().58> α. 5 pvlue Pr και άρα δεν ορώ να α ορρίψω την Η

25 Μέη τιή του ληθυού Έτω ένα τ.δ.χ,χ 2,,Χ α ό έναν κανονικό ληθυό Ν(, 2 ) 2 Γνωρίζουε ότι i S ( i ) i Ο καλύτερος εκτιητής του έου είναι ο φάλα ˆ S / Α ό το γεγονός ότι ~ S / t i ε βαθό ε ιτούνης -α για το έο είναι το: ˆ 2 ε εκτιώενο τυ ικό ροκύ τει ότι το διάτηα ε ιτούνης t S, tα α,, 2 2 S

26 Μέη τιή του ληθυού Για να ελέγξουε τις υ οθέεις: ) Η : έναντι Η : > b) Η : έναντι Η : < c) Η : έναντι Η : ε ε ί εδο ηαντικότητας α, χρηιο οιούε ~ / N(,) ~ N(,) / ~ S / t

27 Μέη τιή του ληθυού Γενικεύοντας: Αν η δια ορά είναι γνωτή Σε ε ί εδο ηαντικότητας α, α ορρί τουε την Η : έναντι της εναλλακτικής Η : > όταν α α + ή z z έναντι της εναλλακτικής Η : < όταν έναντι της εναλλακτικής Η : όταν z z α α ή z z ιοδύναα ή ή z z z z

28 Μέη τιή του ληθυού Και οι αντίτοιχες εριοχές α όρριψης είναι ) R [ ),+ z b) R (, z ] c) R, z 2 z 2, + Σηείωη: Λόγω υετρίας της κανονικής κατανοής z α - z -α

29 Μέη τιή του ληθυού Γενικεύοντας: Αν η δια ορά είναι άγνωτη Σε ε ί εδο ηαντικότητας α, α ορρί τουε την Η : έναντι της εναλλακτικής Η : > όταν T t, α s έναντι της εναλλακτικής Η : < όταν T t, s έναντι της εναλλακτικής Η : όταν T s t, 2

30 Μέη τιή του ληθυού Και οι αντίτοιχες εριοχές α όρριψης είναι ) R [ + ) t,, b) R (, t ], c) R, t, 2 t, 2, + Σηείωη: Λόγω υετρίας της κατανοής t t -,,-α - t -,,α

31 Μέη τιή του ληθυού Παράδειγα 4: Ένας υγειονοικός ταθός θέλει να ελέγξει αν ο έος αριθός βακτηριδίων ανά ονάδα όγκου θαλαινού νερού ε ια αραλία υ ερβαίνει το ε ί εδο αφαλείας 2. ώδεκα δείγατα νερού υλλέγονται και βρίκονται οι ακόλουθοι αριθοί βακτηριδίων ανά ονάδα όγκου Υ άρχει λόγος ανηυχίας ε ε ί εδο ηαντικότητας α%;

32 Μέη τιή του ληθυού Παράδειγα 5: Σε ια ρο άθεια να ροδιοριτεί αν η ειδική εκ αίδευη αυξάνει ή όχι τον δείκτη ευφυΐας, 25 αιδιά εξετάζονται ε ένα βαικό τυ ο οιηένο τετ ευφυΐας. Κατό ιν τα αιδιά αυτά αρακολουθούν ένα ειδικό άθηα, κο ός του ο οίου είναι η αύξηη του υγκεκριένου δείκτη. Στο τέλος του αθήατος εξετάζονται για δεύτερη φορά. Η διαφορά εταξύ των βαθών της δεύτερης και της ρώτης εξέταης καταγράφεται για κάθε αιδί. Έτω ότι η έη τιή των διαφορών είναι 6 ονάδες και η διακύανη 64 (ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Η έη τιή και η διακύανη είναι του δείγατος). Έχει η ειδική εκ αίδευη αυξήει τον δείκτη ευφυΐας ε ε ί εδο ηαντικότητας 5%;

33 Μέη τιή του ληθυού ενός η κανονικού ληθυού Μεγάλο δείγα & η δια ορά είναι γνωτή Σε ε ί εδο ηαντικότητας α, α ορρί τουε την Η : έναντι της εναλλακτικής Η : > όταν α > z Z έναντι της εναλλακτικής Η : < όταν έναντι της εναλλακτικής Η : όταν z α > z 2 2 ή z z > <

34 Ακήεις. ίνεται τ.δ. Χ, Χ 2,, Χ 9 α ό έναν ληθυό ε κανονική κατανοή Ν(, ) και θέλουε να ελέγξουε την υ όθεη Η : 2 έναντι της εναλλακτικής Η : 25, 2 χρηιο οιώντας το ακόλουθο κριτήριο: Α ορρί τουε την Η αν. Υ ολογίτε τις ιθανότητες των φαλάτων τύ ου Ι και ΙΙ καθώς και την ιχύ του ελέγχου. 2. ίνεται ια αρατήρηη Χ α ό την κανονική κατανοή Ν(, ) και θέλουε να ελέγξουε την υ όθεη Η : έναντι της εναλλακτικής Η : 4, βαιζόενοι το ακόλουθο κριτήριο: Α ορρί τουε την Η αν Χ>3. Υ ολογίτε τις ιθανότητες των φαλάτων τύ ου Ι και ΙΙ. 3. έκα άτοα εκλέγονται την τύχη α ό έναν ληθυό και η υτολική ίεη του αίατος τους βρίκεται, 2, 96, 6,, 2, 2,, 2, 9. Είναι γνωτό ότι

35 Ακήεις η υτολική ίεη ακολουθεί κανονική κατανοή ε έη τιή και τυ ική α όκλιη. (i) να κατακευαθεί ένα 95% διάτηα ε ιτούνης για το, (ii) να ελεγχθεί η ηδενική υ όθεη Η : έναντι της εναλλακτικής Η : ε βαθό ε ιτούνης 95%. 4. Πιτεύεται ότι τα νεογέννητα ωρά τα ο οία ακούνται και υ οβοηθούνται το ερ άτηα, ερ ατούν τελικά κατά έο όρο τους 9.75 ήνες. Έξι ωρά ακούνται εντατικά και αρατηρούνται οι ακόλουθες ηλικίες ερ ατήατος (ε ήνες): 9, 9.5, 9.75,, 3, 9.5. Να ελεγχθεί τατιτικώς ο ιχυριός των 9.75 ηνών ε α 5% υ οθέτοντας ότι οι ηλικίες ακολουθούν την κανονική κατανοή

36 Ακήεις 5. Γνωρίζουε ότι το ήνα Ιανουάριο η έη τιή ώληης ενός ροϊόντος ε ία εριοχή είναι. Η έη τιή ώληης του ίδιου ροϊόντος ε ένα τ.δ. κατατηάτων το ήνα Φεβρουάριο βρέθηκε ίη ε 3. Μ ορούε ε ε ί εδο ηαντικότητας 5% να ούε ότι η έη τιή ώληης αυξήθηκε κατά το ήνα Φεβρουάριο; (γνωρίζουε ότι η τιή του ροϊόντος ακολουθεί Ν(, ). Να βρεθεί η p-τιή του δείγατος και η υνάρτηη ιχύος. Αν τελικά ίχυε ότι 4 ε τι ιθανότητα θα αίρναε ωτή α όφαη; 6. Έτω τ.δ. Χ,..., ~ Ν(, 2 ) ε 2 γνωτό. Ποιο θα ρέ ει να είναι το έγεθος του δείγατος ώτε για τον έλεγχο της υ όθεης Η :, έναντι Η :, < οι ιθανότητες φάλατος τύ ου Ι και ΙΙ να είναι αντίτοιχα α και β. (α.5, β., 6, 56, 2 64). Ποια θα είναι τότε η κρίιη εριοχή;

37 Ακήεις 7. Α ό κανονικό ληθυό Ν(, 2 9) λαβάνεται τυχαίο δείγα εγέθους 9, ροκειένου να ελεγχθεί η υ όθεη Η : έναντι της H : ε ε ί εδο ηαντικότητας α.5. i) Να ροδιοριτεί η εριοχή α όρριψης. ii) Να υ ολογιτεί η ιθανότητα φάλατος τύ ου ΙΙ αν ιχύει ότι 5.

38

39