ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝΕΦΑΡ ΜΟΓΩΝ [ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ Μ ΕΛΕΤΗ ΓΡΑΜΜ Ι ΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ Χ ΡΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΒΑΛΒΗ ΕΛΕΝΗ ΚΟΛΟΚΥΘΑ

Transcript

1 Α.Τ. Ε.Ι. Π ΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝΕΦΑΡ ΜΟΓΩΝ [ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ Ι ~ιr Go~ Μ ΕΛΕΤΗ ΓΡΑΜΜ Ι ΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ Χ ΡΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΒΑΛΒΗ ΕΛΕΝΗ ΚΟΛΟΚΥΘΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ :ΣΤΑΥΡΟΣ ΦΑΤΟΥΡΟΣ ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ: ΠΑΥΡΟΣ ΦΑΤΟΥΡΟΣ ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΜΑΛΑΤΕΠΑΣ ΠΕΙΡΑΙΑΣ 20

2 Α.Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙ Α ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ Μ ΕΛΕΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ Υ ΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΒΑΛΒΗ ΕΛΕΝΗ ΚΟΛΟΚΥΘΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ :ΣΤΑΥΡΟΣ ΦΑΤΟΥΡΟΣ ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ: ΠΑΥΡΟΣ ΦΑΤΟΥΡΟΣ ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΜΑΛΑΤΕΠΑΣ ΠΕΙΡΑΙΑΣ 20

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Μέγιστς Κινός Διαιρ έτη ς Ο μέγιστς κινός διαιρέτης και η "Θεωρία Αριθμών " Ευκλείδεις αλγόριθμ ς και Μ έ γιστς Κ ινός Διαιρ έτη ς Περιγραφή τυ αλγρίθμυ Μέγιστς Κινός Διαιρέτης πλυωνύμων μιας μεταβλητής Εισαγωγή Μέθδι εύρεσης ΜΚΔ πλυωνύμων μιας μεταβλητής Αλγόριθμς με την βήθεια τυ πίνακα Routh (Routh array Algorithm) Αλγόριθμς τυ Blankinship με την βήθεια πινάκων Μέθδς ERES Μέθδς Sylνester ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕ MATLAB Παράδειγμα Α με μέθδ Sylνester Resultant Παράδειγμα Β με μέθδ Sylνester Resultant Άλλα παραδείγματα με τη μέθδ Sylνester Resultant Παράδειγμα Β με μέθδ Routh Παράδειγμα Α με μέθδ Routh Σύγκριση των μεθόδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΚΔ Ελάχιστ Κινό Πλλαπλάσι (ΕΚΠ) Παραδείγματα και εφαρμγή με MATLAB Εφαρμγές στα συστήματα αυτόματυ ελέγχυ Διφαντικές εξισώσεις πλυωνύμων Γραμμικές διφαντικές εξισώσεις Συμπεράσματα ?

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 66

5 Θ α θέλαμε να ευχαριστήσυμε θερμά τυς επίκυρυς καθηγητές τυ Γενικύ Τμήματς Μαθηματικών, τυ Τεχνλγικύ Εκπαιδευτικύ Ιδρύματς Πειραιά, κ.φατύρ Σταύρ και κ. Παπαδόπυλ Περικλή, πυ με την καθδήγηση και τις παρατηρήσεις τυς βήθησαν στην πραγματπίηση της παρύσας εργασίας. Βάλβη Χριστίνα Κλκυθά Ελένη Πειραιάς, Οκτώβρις 20 Λ

6 . ΕΙΣΑΓΩΓΉ Στη ν παρύσα εργασ ία θα πρσπαθήσυμε να παρυσιάσυμε ρισμένυς τ ρόπυς και αλγρίθμυς για την εύρεση τυ Μέγιστυ Κινύ Διαιρέτη Πλυωνύμων. Ο υπλγισμός τυ Μέγιστυ Κινύ Διαιρέτη ε ίναι ένα από τα θεμελιώδη πρβλήματα των αλγεβρικών υπλγισμών. Η έννια τυ Μέγιστυ Κινύ Διαιρέτη ενός συνόλυ από πλυώνυμα είναι μια από τις κεντρικές έννιες κάπιυ, πίς εξετάζει τις δμικές ιδιότητε ς των γραμμικών συστημάτων. Ο υπλγισμός τυ ΜΚΔ πρσελκύει πλλύς επιστήμνες να τν ερευνήσυν. Αρχικά θα παρυσιάσυμε ρισμένες πρκαταρτικές έννιες και ρισμύς, ι πίι είναι απαραίτητι για την περαιτέρω μελέτη μας. Συγκεκριμένα, θα παραθέσυμε τρόπυς για τ πως υπλγίζυμε τν Μέγιστ Κινό Διαιρέτη σε αριθμύς και θα ασχληθύμε με τν Ευκλείδει αλγόριθμ. Επιπρόσθετα, υπάρχυν και ρισμένι άλλι αλγόριθμι ι πίι μας βηθύν στην εύρεση τυ ΜΚΔ ακεραίων αριθμών. Στη συνέχεια της παρύσας εργασίας, θα παρυσιαστύν η έννια τυ Μέγιστυ Κινύ Διαιρέτη για τα πλυώνυμα της μίας μεταβλητής και μέθδι εύρεσης τ υ. Παράλληλα θα παρυσιαστύν και θα αναλυθύν ρισμένι αλγόριθμι ι πίι έ χυν πρταθεί για τν υπλγισμό τυ ΜΚΔ. Σε ρισμένυς από αυτύς τυς αλγόριθμυς, θα υπάρχυν και παραδείγματα για να γίνει πι κατανητή η ερμηνεία τυς. Επιπρόσθετα, με τα παραπάνω θα γίνει και μια εισαγωγή στη ν «κατά πρσέγγιση» έννια τυ Μέγιστυ Κινύ Διαιρέτη για πλυώνυμα μιας μεταβλητής και θα παρυσιαστύν και διάφρες μέθδι για τν υπλγισμό τυ. ι αλγεβρικί υπλγισμί σε μντέλα τα πία περιέχυν παραμέτρυς μη ακριβείς μπρύν να ταξινμηθύν σε καννικύς και σε μη γεννεσιακύς (normal and non-generic) υπλγισμύς. Οι αριθμητικί υπλγισμί ι πίι ασχλύνται από πύ πρέρχεται (την καταγωγή της) μιας πρσεγγιστικής τιμής μιας ιδιότητας,μιας συνάρτησης, η πία είναι μη γεννεσιακή σε ένα δσμέν σύνλ μντέλων, αναφέρνται σαν μη γεννεσιακί υπλγισμί. Η δυσκλία στν υπλγισμό τυ ΜΚΔ ενός συνόλυ από πλυώνυμα είναι ότι η ύπαρξη μη τετριμμένης λύσης ( διαφρετικής της μνάδας) είναι μη γενική (non-generic).

7 Ό ταν κάπις ασχλείται με μντέλα μηχανικών συστημάτων ( engineering system models), έχε ι από τ η μια τ ην α β ε βαιότ η τα των πραγματι κών τ ιμών των παραμ έ τρων πυ εξετάζει και από την άλλη στργγυλπιεί τα υπλγιστικά σφάλματα. Αυτά τα δύ θέματα κάνυν τν υπλγισμό τυ ΜΚΔ ένα δύσκλ θέμα. Στην πράξη, κάπις ενδιαφέρεται για κατάλληλες πρσεγγιστικές λύσεις, παρά ακριβείς (γενικές) ι πίες θα είναι απτέλεσμα υπλγισμών. Βέβαια, ι πρσεγγιστικές αυτέ ς λύσ ε ις θα πρ έ πε ι να πρκύπτυν, αν στα κατάλληλα βήματα με ιώννται μη σημαντικά λάθη. Οι γενικί αλγόριθμι για την εύρεση τυ ΜΚΔ είναι ένα χρήσιμ υπλγιστικό ε ργαλεί για τη επίλυση πρβλημάτων όπως υπλγισμός τυ Ελάχιστυ Κινύ Πλλαπλασίυ, η απλπίηση ρητών συναρτήσεων μεγάλυ βαθμύ κτλ. Είναι επίσης θεμελιώδες εργαλεί για τη μελέτη των Γραμμικών συστημάτων και τις ιδιότητές τυς. Στην παρύσα μελέτη δίννται απλά παραδείγματα τέτιων εφαρμγών.

8 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ 2. Μένιστς Κινός Διαιρέτης 2. Ο μέγιστς κινός διαφiτης και "Θ-:ωρία Αριθμ(;)v" Η "Θεωρία αριθμών" είναι κλάδς των καθαρών μαθηματικών πυ ασχλείται με τις ιδιότητες των ακεραίων, καθώς και με πρβλήματα πυ πρκύπτυν από την μελέτη αυτή. Διαιρέτης ενός αριθμύ χ, είναι ένας αριθμός y, πίς διαιρεί τν χ. Γ ια παράδ ειγμα ένας διαιρέτης τυ 6 είναι τ 2. Ο αριθμός, είναι ειδική περίπτωση, καθώς είναι διαιρέτης όλων των αριθμών. Αν κάπις αριθμός έχει ακριβώς δύ διαιρέτες, δηλαδή τν εαυτό τυ και την μνάδα, θα καλείται πρώτς (prime number). Ανάμεσα σε δύ ή περισσότερυς αριθμύς, μπρύν να υπάρχυν ένας ή περισσότερι κινί διαιρέτες (common diνisors). Για παράδειγμα, ι διαιρέτες τυ 2 είναι τ, τ 2, τ 3, τ 4, τ 6, και τ 2, ενώ ι διαιρέτες τυ 5 είναι τ,τ 3, τ 5 και τ 5. Όπως είναι αντιληπτό, τ 2 και τ 5, έχυν ένα ζευγάρι κινών διαιρετών, τυς αριθμύς και 3. Από τα παραπάνω πρκύπτει ότι μέγιστός κινός διαιρέτης τυ 2 και τυ 5, είναι αριθμός 3. Μέγιστς κινός διαιρέτης (greatest common diνisor -gcd) δύ φυσικών αριθμών είναι μεγαλύτερς φυσικό αριθμός, πίς διαιρεί και τυς δύ χωρίς να αφήνει υπόλιπ. Διαφρετικά, τν μέγιστ κινό διαιρέτη δύ αριθμών τν ρίζυμε να είναι μεγαλύτερς από τυς κινύς τυς διαιρέτες. Στην ξενόγλωσση βιβλιγραφία, υπάρχυν και συνώνυμες εκφράσεις όπως: μέγιστς κινός παράγντας (GCF: greatest common factor ), μεγαλύτερς κινός παράγντας (HCF: highest common factor ) και σαν τη μεγαλύτερη κινή πσότητα (GCM: greatest common measure ). Ο μέγιστς κινός διαιρέτης, δύ αριθμών α και β συμβλίζεται Μ ΚΔ ( α, 8} ή πι απλά (α, β). Ο μέγιστς κινός διαιρέτης τριών ή περισστέρων αριθμών ισύται με τν μεγαλύτερ από τυς κινύς θετικύς διαιρέτες τυς.

9 Ε πίσης ισχύει: ΜΚΔ{α 6 γ) =ΜΚΔ(α ΜΚΔ(6 γ)}=μκδ(μκδ{α 6} γ}=μκδ(μκδ{α γ) 6) Α ν ΜΚΔ (α, β) = τότε ι αριθμί α και β λέμε ότι είναι πρώτι μεταξύ τυς. Η παραπάνω ιδιότητα είναι ανεξάρτητη από τ γεγνός εάν α ή 6 είναι από μόνι τυς πρώτι αριθμί. Για παράδειγμα ύτε αριθμός 8, ύτε αριθμός 9 είναι πρώτς, καθώς ι διαιρέτες τυ 8 είναι τ, τ 2, τ 4 και τ 8, ενώ αντίστιχα ι διαιρέτες τυ 9 είναι τ, τ 3 και τ 9. Εν τύτις, όμως, ι αριθμί 8 και 9 είναι πρώτι μεταξύ τυς επειδή ΜΚΔ (8,9)=. Αυτό συμβαίνει γιατί μέγιστς κινός τυς διαιρέτης είναι η μνάδα. Ας είναι ΜΚΔ (α,β) = μ. Επιπρόσθετα, ας υπθέσυμε, ότι ι αριθμί α,β είναι πλλαπλάσιι τυ μ ( δηλαδή έστω ότι α=μ λ και 6 = μ ν} και ότι δεν υπάρχει μεγαλύτερς αριθμός Μ > μ. Τότε ι αριθμί λ, ν θα είναι πρώτι μεταξύ τυς, δηλαδή: ΜΚΔ( λ,ν)=. Εξαιτίας αυτύ, πισδήπτε άλλς αριθμός φ, πίς διαιρεί και τν α, και τν 6 (δηλαδή φ/α και φ/6), τότε θα διαιρεί και τν μ. Από τα παραπάνω πρκύπτει ότι μέγιστς κινός διαιρέτης μ των αριθμών α και 6 είναι κινός διαιρέτης πίς είναι διαιρέσιμς από πιδήπτε άλλ κινό διαιρέτη φ. Παράλληλα με τα παραπάνω, μέγιστς κινός διαιρέτης δύ αριθμών α και 6 μπρεί να ριστεί σαν τ γινόμεν των κινών τυς παραγόντων (common prime factors) και με τν κάθε παράγντα υψωμέν στν μικρότερ εμφανιζόμεν εκθέτη, αν ι αριθμί αυτί γραφύν στην καννική τυς μρφή (γινόμεν πρώτων παραγόντων). Για παράδειγμα τ 56 γράφεται σαν γινόμεν πρώτων παραγόντων, 56 = , και τ 42 αντίστιχα, 42 = Σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση, μέγιστς κινός διαιρέτης των 56 και 42 θα είναι ίσς με τ γινόμεν των κινών πρώτων παραγόντων, δηλαδή, 4 = 2 7. Σε περίπτωση πυ ι δύ αριθμί δεν έχυν κινύς πρώτυς παράγντες, τότε αυτί θα είναι πρώτι μεταξύ τυς. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι ι εφαρμγές τυ μέγιστυ κινύ διαιρέτη στα μαθηματικά και κυρίως στην Άλγεβρα είναι πλλές. Αξίζει να σημειωθεί ενδεικτικά η Μπεζυτιανή ιδιότητα ( Bezout's identity). Η ιδιότητα αυτή ασχλείται με τν μέγιστ κινό διαιρέτη, και τυ παρέχει την ιδιότητα τυ Σελίδα 8

10 γε ννήτρα ενός ιδεώδυς ( generator of the ideal ). Αυτός ρισμός τυ ΜΚΔ δήγησε στην μντέρνα αφηρημένη έννια τυ πρωτεύντς ιδεώδυς (principal ideal), πίς είναι ένας κλάδς με τν πί ασχλείται η σύγχρνη ε πιστημνική κινότητα. Σελίδα 9

11 . Ί Ευ κλείδεις αλγόριθμς και Μέγιστς Κινός Διαιρέτης Σ ε ρισμέ νε ς π ε ριπτώσ ε ις είναι αρκ ετά δύσκλ και χρνβόρ να αναλύυμε έ ν α ν αριθμό σε γινόμεν πρώτων παραγόντων ή να βρίσκυμε όλυς τυς διαιρέτες τ υ, με σκπό την εύρεση τυ μέγιστυ κινύ διαιρέτη. Ένας αλγόριθμς, πίς μας βηθάει στν ακριβή υπλγισμό τυ Μέγιστύ Κινύ Διαιρέτη είναι Ευκλείδεις αλγόριθμς. Στα μαθηματικά Ευκλείδεις αλγόριθμς είναι μια αρχαία μέθδς για τν υπλγισμό τυ μέ γιστυ κινύ διαιρ έτη (ΜΚΔ). Ο αλγόριθμς αυτός είναι γνωστός και σαν αλγόριθμς τυ Ευκλείδη, ύστερα από την περιγραφή πυ κάνει αρχαίς Έλληνας μαθηματικός, στα βιβλία VΙΙ και Χ των "Στιχείων τυ Ευκλείδη ". Η παλαιότερη σωζόμενη περιγραφή τυ Ευκλείδειυ αλγόριθμυ υπάρχει στα "Στιχεία τυ Ευκλείδη " ( 300π.Χ. ), και τν καθιστά αυτόματα τν αρχαιότερ αριθμητικό αλγόριθμ, πίς είναι σε ισχύ μέχρι και σήμερα. Ο αρχικός αλγόριθμς τυ Ευκλείδη αvαφερόταv μόv σε φυσικύς αριθμύς και σε θετικύς πραγματικύς αριθμύς. Τν 9 αιώνα γενικεύτηκε και σε άλλες μρφές αριθμών, όπως τυς ακεραίυς {Gaussian integers) και σε πλυώνυμα μιας μεταβλητής. Αυτό δήγησε στις σημερινές μντέρνες αφηρημένες αλγεβρικές έννιες όπως τα ευκλείδεια πεδία ( Euclidean domains). Αργότερα, ευκλείδεις αλγόριθμς γενικεύτηκε και σε άλλες μαθηματικές δμές, όπως τα πλυμεταβλητά πλυώνυμα και στυς κόμβυς ( knots), πυ χρησιμπιύνται στην Τπλγία. Σελίδα 0

12 2.~ Περιγραφή τυ αλγρίθμ υ Ο ι υπλγιστικί αλγόριθμι διακρίννται σε ευθείς και επαναληπτικύς. Οι ε παναληπτικί αλγόριθμι εκτελύνται ως την ικανπίηση ενός κριτηρίυ τερματισμύ. Ο Ευκλείδεις αλγόριθμς είναι επαναληπτικός. Η απάντηση στν υπλγισμό τυ ΜΚΔ θα βρεθεί μετά από μια αλληλυχία ρισμένων βημάτων. Τ απτέλεσμα-έξδς τ πί πρκύπτει ύστερα από κάθε βήμα, θα χρησιμεύσει σαν είσδς για τ επόμεν βήμα. Στην συνέχεια θα περιγράψυμε την διαδικασία τυ Ευκλείδειυ αλγόριθμυ, διότι είναι καθριστικός στην εξέλιξη τυ υπλγισμύ τυ μέγιστυ κινύ διαιρέτη Κάθε βήμα τυ αλγρίθμυ ξεκινάει με δύ μη μηδενικά υπόλιπα rk - ι και Ιί, _ 2 Καθώς αλγόριθμς εξασφαλίζει ότι τα υπόλιπα μειώννται σταθερά σε κάθε βήμα, τ rk - Ι είναι μικρότερ από τ πρκάτχ υπόλιπ r k_ 2. Στόχς τυ αλγόριθμυ είναι στ k 00 v βήμα να βρεθεί ένα πηλίκ qι- και ένα υπόλιπ 'i-, τα πία να ικανπιύν την σχέση: Στ αρχικό βήμα τυ αλγρίθμυ (για k = Ο ) τα υπόλιπα ' '-~ και t '_ είναι ίσα με τυς αριθμύς α και b, των πίων ψάχνυμε τ ΜΚΔ τυς. Στ επόμεν βήμα (για k = ) ), τα υπόλιπα ε ίναι ίσα με τ b και τ υπόλιπ r 0 τ αρχικό βήμα. Η διαδικασία συνεχίζεται μίως και για τα επόμενα βήματα. Γι' αυτό τ λόγ, αλγόριθμς μπρεί να γραφεί και να περιγραφεί την παρακάτω ακλυθία από ε ξισώσεις : Σελίδα

13 Η παραπάνω διαδικασία γίνεται στην περίπτωση πυ b είναι μικρότερς από τν α. Σ ε διαφρε τι κή περ ίπτωση αλλάζυν ι αριθμί και η διαδικασία συνεχίζει αντίστιχα. Τα υπόλ ιπα μειώννται συνεχώς σε κάθε βήμα αλλά δεν γίννται πτέ αρνητικί αριθμί. Ο αλγόριθμς τερματίζει όταν κάπι υπόλιπ ι Ίν γίνει ίσ μ ε τ μηδέν. Ο μέγιστς κινός διαιρέτης των α και b είναι τ τελευταί μη μηδενικό υπόλιπ (τ Γv - i δηλαδή ). Παάδεινuα Να βρεθεί ΜΚΔ των αριθμών α=38 και 6=58 με την βήθεια τυ Ευκλείδειυ αλγόριθμυ. Εφαρμόζυμε διαδχικά τν Ευκλείδει αλγόριθμ και έχυμε: 38= = = = = Οπότε έχυμε ότι ΜΚΔ{38, 58}=2,δηλαδή τ τελευταί μη μηδενικό υπόλιπ. Σελίδα 2

14 _.2 Μενιστς κινός διαιρ{της πλυων 'Jμων μιας μεταβλητι'ι ς 2.2. l Εισαγωγιι Ον μάζυμε ακέραι πλυώνυμ τυ χ ή πλυώνυμ μια μεταβλητής κάθε έ κφραση της μρφής Οι αριθμί α 0, α, α2>..., α,, απκαλύνται συντελεστέ ς τυ πλυωνύμυ και τ α 0 απκαλείται σταθερός όρς (είναι συντελεστής τυ χ ύ ). Οι εκφράσεις a kx k, όπυ k ε Ζ και k ~ Ο, απκαλύνται ακέραια μνώνυμα τυ χ και απτελύν τυς όρυς τυ πλυωνύμυ. Πι συγκεκριμένα, a kx k, είναι πρώτς όρς και a k πρώτς συντελεστής τυ πλυωνύμυ. Τ σύνλ των ακέραιων πλυωνύμων τυ χ με μιγαδικύς συντελεστές θα τ συμβλίζυμε με C[x] και τα στιχεία τυ C[x], δηλαδή τα ακέραια πλυώνυμα τυ χ, θα τα συμβλίζυμε με z:>(x), Q(x), Η(χ ), p(x) κ..κ. Ας είναι Ρ (χ ) και q(x) δύ ακέραια πλυώνυμα τυ C[x]. Τότε λέμε ότι τ q(x) διαιρεί τ Ρ (χ ), και θα γράφυμε q(χ )Ι Ρ (χ ), αν και μόν αν q(x) -:F Ο( χ ) (δηλαδή q(x) είναι διαφρετικό από τ μηδενικό πλυώνυμ ) και υπάρχει ένα ακέραι πλυώνυμ r(x) ε C[x ]ώστε να ισχύει: Ρ(χ ) = q(x)r(x) Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει ότι τ Ρ (χ ) διαιρείται ή είναι διαιρετό από τ q(x) ή ότι τ Ρ (χ ) είναι πλλαπλάσι τυ q(x) ή ότι τ q(x) είναι διαιρέτης τυ Ρ (χ ) ή ότι τ q(x) είναι παράγντας τυ Ρ (χ ) ή τέλς ότι τ q(x) διαιρεί τ Ρ (χ ). Παράλληλα με τα παραπάνω, ισχύει ότι τ μηδενικό πλυώνυμ διαιρείται από κάθε μη μηδενικό πλυώνυμ και ότι ι μόνι σίγυρι διαιρέτες ενός ακεραίυ πλυωνύμυ Ρ (χ ) είναι τα πλυώνυμα μηδενικύ βαθμύ, τ ίδι τ πλυώνυμ Σε λίδα 3

15 Ρ(χ ), καθώς και όλα τα πλυώνυμα Ρ(χ). Οι διαιρέτες αυτί απκαλύνται π ρφανείς διαιρέτες τυ Ρ(χ) και κάθε άλλς διαιρέτης τυ, απκαλείται γνήσις διαιρέτης τυ Ρ(χ). Ο μέγιστς κινός διαιρέτης δύ πλυωνύμων p(x) και q(x) είναι τ μεγαλύτερ πλυώνυμ πυ διαιρεί και τ p(x) και τ q(x). Ο ρισμός αυτός είναι βασισμένς στν ρισμό τυ μέγιστυ κινύ διαιρέτη των ακεραίων αριθμών, όπυ είναι μεγαλύτερς ακέραις, πίς διαιρεί και τυς δύ αριθμύς και αφήνει μηδενικό υπόλιπ. Για τα πλυώνυμα όμως, αυτή η συνθήκη είναι λίγ μπερδεμένη, γιατί δεν υπάρχει η έννια τυ μεγαλύτερυ σε αυτά. Εξαιτίας αυτύ, έχει επιλεχτεί να είναι ΜΚΔ τ πλυώνυμ εκείν, τυ πίυ βαθμός είναι μέγιστς δυνατός και αντίστιχς συντελεστής τυ μεγιστβάθμιυ (leading coefficient) όρυ να είναι μνάδα. Θα πρσπαθήσυμε στην συνέχεια να δώσυμε έναν επίσημ μαθηματικό ρισμό για τν μέγιστ κινό διαιρέτη δύ πλυωνύμων. Ας είναι p(x) και q(x) πλυώνυμα, όχι και τα δύ μηδενικά, με συντελεστές σε ένα σώμα F. μέγιστς κινός διαιρέτης των p(x) και q(x) ρίζυμε να είναι τ μνικό πλυώνυμ ( συντελεστής τυ μεγιστβάθμιυ όρυ τυ είναι μνάδα ) d(x) για τ πί ισχύυν : ).;> είναι κινός διαιρέτης των p(x) και q(x) ~ να διαιρείται από κάθε άλλ κινό διαιρέτη των p(x) και q(x) Ακόμα μπρύμε να ρίσυμε τν ΜΚΔ των p(x) και q(x) να είναι τ πλυώνυμ εκείν με τν μεγαλύτερ βαθμό ανάμεσα στυς κινύς διαιρέτες των δύ πλυωνύμων. Συμβλίζυμε τν ΜΚΔ των p(x) και q(x) γράφντας ΜΚΔ(p(χ), tz(x)). Τ σώμα F μπρεί να είναι τ σώμα των μιγαδικών αριθμών C ή των πραγματικών αριθμών 9 ή ακόμα και τ σώμα των ρητών αριθμών Q. Σελίδα 4

16 Αν είναι p(x) = q(x) = Ο, τότε κάθε πλυώνυμ είναι κινός διαιρέτης των p(x) κ αι ι(χ). Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει Μ ΚΔ. Ο αριθμός, είναι πάντα κινός διαιρέτης των p(x) και q(x). Αν MKΔ(p(x), q(x)) =, τότε τα πλυώνυμα p(x) και q(x) είναι πρώτα μεταξύ τυς και επμένως μέγιστς κινός διαιρέτης είναι τ σταθερό πλυώνυμ. Ας δύμε ρισμένες ιδιότητες τυ Μέγιστυ Κινύ Διαιρέτη των πλυωνύμων : ί. Ο ΜΚΔ δύ πλυωνύμων (όχι αναγκαστικά και τα δύ μηδενικά, με συ ντελεστές από ένα σώμα) πάντα θα υπάρχει και θα είναι μναδικός. ίί. Αν ι- (χ) είναι κάπις κινός διαιρέτης των p(χ)και q(x), τότε θα διαιρεί και τν ΜΚΔ τυς. ί ί ί. Η αλλαγή σειράς στα πλυώνυμα δεν αλλάζει τν ΜΚΔ, δηλαδή ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα ΜΚΔ(p(χ), q(x)) = ΜΚΔ(q(χ), p(x)) ίν. ΜΚΔ(p(χ), q(x)) = ΜΚΔ(p(χ), p(x) + q(x)) ν. Για πιδήπτε k ε Fτότε MKΔ(p(x), q(x)) = ΜΚΔ(q(χ), k p(χ)) νί. Από τις ιδιότητες (iν) και (ν) πρκύπτει ότι ι γραμμικί συνδυασμί των αρχικών πλυωνύμων δεν αλλιώνυν τν ΜΚΔ. Δηλαδή είναι, ΜΚΔ(p(χ), q(x)) = ΜΚΔ(α p(χ) + b p(x),a 2 p(x) + b 2 q(x)) μηδέν. νίί. Αν ΜΚΔ(p(χ), r(x)) =, τότε MKLXJJ(x),q(x)) =MKL(p(x),q(x) r(x)) νίίi. ΜΚΔ δύ πλυωνύμων p(x) και q(x) είναι τ μικρότερ σε βαθμό πλυώνυμ, τ πί μπρεί να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός των p(x) και q(x). Δηλαδή υπάρχυν κάπια πλυώνυμα ι- (χ) και s(x ), όχι απαραίτητα μναδικά, τα πία ανήκυν στ ίδι σώμα F με τα p(x) και q(x ), για τα πία ισχύει : Σελίδα 5

17 d(x) = p(χ )Γ(χ ) + q(x)s(x) Ε ίναι δυνατόν να ρίσυμε τν ΜΚΔ τριών ή περισστέρων πλυωνύμων επαγωγικά. Δηλαδ ή : MKΔ(p(x ), q(x), r(x )) = ΜΚΔ(p(χ), MKΔ (q(x), r (x )) κ αι γενικότερα : MKL'(p (x),p 2 (χ),...,p,, (χ)) = MKL'(p (x),mkl(p 2 (χ),...,p,,( χ)) 2.2 Μiθδι fύ(ιfση<; ΜΚΔ πλυωνύμων μιας μεταβληηjς Υπάρχυν διάφρι τρόπι για να υπλγίσυμε τν μέγιστ κινό διαιρέτη δύ πλυωνύμων. Δύ από τις πι βασικές και απλές μεθόδυς είναι η παραγντπίηση και Ευκλείδεις αλγόριθμς. Παρακάτω θα επεκταθύμε ε κτενέ στερα και σε άλλε ς με θόδυς. Στην παραγντπίηση αρχικά αναλύυμε τ κάθε πλυώνυμ σε παράγντες και στην συνέχεια επιλέγυμε τυς κινύς παράγντες, ι πίι απαρτίζυν τν ΜΚΔ. Τ γινόμεν τυς όμως, υπάρχει περίπτωση να μην είναι μνικό πλυώνυμ, και για αυτό τν λόγ τ πλλαπλασιάζυμε με έναν κατάλληλ αριθμό. Με αυτόν τν τρόπ πετυχαίνυμε την ε ύρεση τυ ΜΚΔ των δύ πλυωνύμων, αφύ περιέχει όλυς τυς κινύς παράγντες και συντελεστής τυ μεγιστβάθμιυ όρυ είναι μνάδα. Παράδειγμα Να βρεθεί ΜΚΔ των πλυωνύμων Ρ(χ) = χ 4 + 2χ 3 - χ 2-2χ κα ι Q(x) = χ 3-4χ 2 - Sx - 6 Έχυμε ότι : Ρ(χ) = Χ 4 + 2χ 3 - χ 2-2χ = χ(χ + 2)(χ - l)(x + ) Και Q(x) =x 3-4χ 2-5χ - 6 = (χ + 3)(.χ+2)(χ- ) ί\ρα ΜΚΔ των Ρ(χ ) και Q(x) ε ίναι d(x) = (χ+ 2)(χ - ) = χ 2 +χ - 2. Σελίδα 6

18 Ό μως, επειδή η παραγντπίηση ενός πλυωνύμυ μεγάλης τάξης δεν είναι γενικά εφικτή, χρησιμπιύμε τεχνικές υπλγισμύ όπως είναι Ευκλείδεις αλγόριθμς. Πρόκειται για μια μέθδ η πία δίνει απτέλεσμα για πιαδήπτε πλυώνυμα. Πραγματπιεί διαδχικές πλυωνυμικές ευκλείδειες διαιρέσεις, όπως ακριβώς και στν ευκλείδει αλγόριθμ για τυς ακέραιυς αριθμύς. Οι αριθμί πυ παίρνυν μέρς σε κάθε βήμα τυ αλγρίθμυ μειώννται. Αντιστίχως ισχύει και στα πλυώνυμα. Δηλαδή σε κάθε βήμα βαθμός των πλυωνύμων μειώνεται. Τ τελευταί μη μηδενικό υπόλιπ είναι μέγιστς κινός διαιρέτης των δύ πλυωνύμων. Αν τ πλυώνυμ δεν είναι μνικό, θα πρέπει να τ μετατρέψυμε όπως και πρηγυμένως καταλλήλως, διαιρώντας με τν συντελεστή τυ μεγιστβάθμιυ όρυ. Παράδειγμα Να βρεθεί ΜΚΔ των πλυωνύμων Ρ (χ ) = χ 2 + Ί χ + 6 και Q(x) = χ 2-5χ-6 Κάνντας την Ευκλείδεια διαίρεση των πλυωνύμων Ρ(χ) με τ Q(x) πρκύπτει : χ 2 + Ί χ + 6 = (χ 2-5χ - 6) +(χ+ ) και χ 2-5χ - 6 =(χ+ l)(x - 6) + Ο Επμένως τ τελευταί μη μηδενικό υπόλιπ τυ παραπάνω αλγρίθμυ είναι ΜΚΔ των πλυωνύμων Ρ(χ) = χ 2 + Ί χ + 6 και Q(x) = χ 2-5 χ - 6 Διάφρι αριθμητικί αλγόριθμι έχυν πρταθεί για τν υπλγισμό τυ Μέγιστυ Κινύ Διαιρέτη (ΜΚΔ) δύ ή περισσότερων πλυωνύμων μίας μεταβλητής. Μερικί από αυτύς βασίζνται στν Ευκλείδει αλγόριθμ και στις γενικεύσεις τυ και άλλι από αυτύς βασίζνται σε πρότυπες διαδικασίες εμπεριέχντας πίνακες. Συχνά, είναι άσκπ να πρσπαθύμε να υπλγίσυμε τν ακριβή ΜΚΔ των πλυωνύμων και έτσι ι κατά πρσέγγιση λύσεις είναι περισσότερ κατάλληλες για την μελέτη των αντίστιχων πρβλημάτων κάθε φράς. Εξαιτίας της σπυδαιότητας και της βαρύτητας των εφαρμγών πυ πρκύπτυν από τις κατά πρσέγγιση έννιες, πλλί ερευνητές έχυν ασχληθεί με τ θέμα αυτό. Σ ελίδα 7

19 Έχυν περιγραφεί διάφρες μέθδι για τν υπλγισμό τυ ΜΚΔ {Pace et Barnett, 972)όπως μια παλαιότερη μέθδ φειλμένη στν Fryer, η πία είναι κατά βάση ισδύναμη με τν Ευκλείδει αλγόριθμ και χρησιμπιεί έναν αλγόριθμ με την βήθεια της διάταξης τυ Routh. Παράλληλα, περιγράφυν την μέθδ Weinstock η πία σχηματίζει μία επαναληπτική μέθδ, η πία περιέχει πλυωνυμικές διαιρέσεις και πλλαπλασιασμύς χρησιμπιώντας τα αρχικά πλυώνυμα με σκπό να υπλγίσει ένα νέ πλυώνυμ τ πί να έχει τν μικρότερ δυνατό βαθμό. Τέλς, παρυσιάζυν μια διαφρετική μέθδ η πία πρτάθηκε από τν (Blankinship,963), στην πία ΜΚΔ και τα πλλαπλάσια πρσδιρίζνται εκτελώντας στιχειώδεις μετασχηματισμύς στις σειρές ενός πίνακα, μέχρι να υπάρχει ένα μη μηδενικό στιχεί στην πρώτη στήλη τυ πίνακα. Ο πίνακας αυτός πρκύπτει από τα δσμένα αρχικά πλυώνυμα. Η εισαγωγή της χρήσης των πινάκων στ πρόβλημα υπλγισμύ τυ ΜΚΔ πλυωνύμων, συνεχίστηκε και αργότερα από τν Barnett(97), πίς αναπτύσσει μία τεχνική υπλγισμύ τυ βαθμύ και των συντελεστών τυ ΜΚΔ χρησιμπιώντας συνδεύντες πίνακες {companίon matrίces) και πίνακες τυ Sylvester (Sylνester matrίces). Στ ην συνέχεια, μελετώντας τις ιδιότητες τυ ΜΚΔ ι επιστήμνες δηγήθηκαν στην ανάπτυξη της μεθόδυ ERES (Karkanias et al, 990) στην πία εκτελε ί εκτεταμένυς μετασχηματισμύς και μετατρέπει έvαv πίνακα απευθείας από τυς συντελεστές των πλυωνύμων. Με την μέθδ ERES εισάγεται για πρώτη φρά μια συστηματική πρσπάθεια για τν υπλγισμό τυ κατά πρσέγγιση ΜΚΔ για πλυώνυμα. Όπως πραναφέραμε και παραπάνω, η διαδικασία εύρεσης τυ ΜΚΔ δεν είναι μια εύκλη υπόθεση. Ο Ευκλείδεις αλγόριθμς για την εύρεση τυ ΜΚΔ των ακεραίων, παράγει μία αυστηρά φθίνυσα ακλυθία από θετικύς ακεραίυς και έτσι τα βήματα της διαίρεσης γίννται λένα και πι εύκλα καθώς πρχωράει η διαδικασία υπλγισμύ. Αντίθετα, στην περίπτωση των πλυωνύμων δεν συμβαίνει αυτό. Μλνότι γίννται αλλεπάλληλες μειώσεις στν βαθμό των πλυωνύμων, ι συντελεστές τυς τείνυν να αυξάννται και έτσι κάθε επόμεν βήμα δυσκλεύει σε σχέση με τ πρηγύμενό τυ. Σελίδα 8

20 Αλ γiιριθμς με την βηθrια τυ πίνακα Roιιth (Roιιth αrι ay Jιιrιιlω) Έχυv περιγραφεί διάφρες μέθδι για τv υπλγισμό τυ ΜΚΔ δύ πλυωνύμων μιας μεταβλητής στ σώμα των πραγματικών αριθμών (Pace et Barnett, 972) ι πίες είναι ισδύναμες με τν Ευκλείδει αλγόριθμ. Θεωρύμε δυ πλυώνυμα: και b(λ) = b,λ" + b2 ΧΙ - I + + b,, λ + bn+i με αντίστιχυς βαθμύς m και n, όπυ m ~ n. Σημειώνυμε g (λ) τν ΜΚΔ των δύ παραπάνω πλυωνύμων και έχυμε : ;; λk- λ g(λ) = gl λ + g gk + gk+i (2) όπυ k βαθμός τυ g (λ). Τ πλυώνυμ g (λ) γράφεται σαv γραμμικός συνδυασμός τωv α(λ)και b(λ) ως εξ ής: g(λ) = χ(λ)α(λ) + y(λ)b(λ) (3) ' (λ) λ" - Ι λ" - 2 λ + y(λ) - Υ λm - Ι + λni - J λ πυ χ = Χι +Χ χ,, _ Ι χ,,, - Υ ynι - +Jl,ιι τα πία απτελύν τα μναδικά πλλαπλάσια των α(λ) και b(λ) αντίστιχα, τέτια ώστε να ισχύει η σχέση (3). Με την βήθεια τυ πίνακα Routh, παρυσιάζεται μια μέθδς για τν υπλγισμό τυ ΜΚΔ (Fryer et al, 959) η πία είναι ισδύναμη με τν Ευκλείδει αλγόριθμ. Σελίδα 9

21 Η μέ θδς είναι η ακόλυθη : η γραμμή αι α2 α3. α Π Ι α,,, + ι 2' γραμμή bl b b3 b,, b,,.,_j 3η γραμμή cι c 2 c 3 4ηγραμμή dl d2 d3 κ..κ α ι α+ bl b j +I Όπυ c = - -'-----~ bl και b j+i c c+j d = - "'"-----~, με j =,2,.... c Η διαδικασία τυ κριτηρίυ τερματίζει όταν πρκύψει μία σειρά μόν με μηδενικά. Στην περίπτωση αυτή η πρηγύμενη σειρά μας δείχνει τυς συντελεστές τυ μέγιστυ κινύ διαιρέτη g,gz, g3,..., gk + ι. Οι δυσκλίες πρκύπτυν στην περίπτωση στην πία όταν τ πρώτ ή περισσότερα στιχεία από πιαδήπτε σειρά είναι μηδέν. Αυτό τ εμπόδι ξεπερνιέται, αν μετακινήσυμε κατάλληλα λόκληρη την σειρά πρς τα αριστερά (shifting) μέχρι να εμφανιστεί πρώτς μη μηδενικός αριθμός στην πρώτη θέση. Ο υπλγισμός στην συνέχεια συνεχίζει καννικά. Έχντας δύ σειρές τυ πίνακα τυ Routh με m + στιχεία α και n + στιχεία b αντίστ ιχα, (με m 2': n) τότε απαιτύνται n πλλαπλασιασμί και n διαιρέσεις,, α + - a b+ για να πρκύψει η τρίτη σειρά στιχειων c μεχρι c = b Για την κατασκευή τυ πίνακα τυ Routh απαιτύνται mn - k 2 + k πλλαπλασιασμί και διαιρέσει ς. Σελίδα 20

22 Π αράδεινuα Ν α υπλγιστεί ΜΚΔ των πλυωνύμων p(x) = χ 2 + 6χ + 9 και q(x) = χ+ 3. Σύμφωνα με τ κριτήρι τυ Routh έχυμε αντίστιχα : γραμμή γραμμή 3 3 η γραμμή 3 4 η γραμμή Ο Οι αριθμί της τρίτης γραμμής τυ πίνακα Routh πρκύπτυν: α α~ 9 6 Cι = - b ι b~ = -~=--9 = 3 b 3 3 Ομίως έχυμε και τυς αριθμύς της 4 ης γραμμής. Οπότε: l b b 2 3 d =- Cι Cz =-.2. 2_=-_Q=O c 3 3 Άρα, σύμφωνα με τ κριτήρι τυ Routh και την βήθεια τυ παραπάνω πίνακα, κ αταλαβαίνυμε ότι Μ ΚΔ των πλυωνύμων p(x) και q(x) είναι τ πλυώνυμ πυ έχει συντελεστές τυς αριθμύς 3 και αντίστιχα. Οπότε MKΔ{p(x),q(x)}= χ+ 3. Σελίδα 2

23 Αλγόριθμυι- τυ Blankiτιslιiv ιιε την βωίθcια πινακω Μ ια διαφρετική μέθδς (Blankinship et al.,963) είναι αυτή πυ υπλγίζει τν Μ ΚΔ g (λ) ε νός συνόλυ πλυωνύμων α ; (λ ) με ί =, 2,..., n μαζί με τα πλλαπλάσια χ ; (λ), δηλαδ ή : " Σ χ; (λ ) α ; (λ) = g(λ ) ι = Ο ΜΚΔ και τα πλλαπλάσια ρίζνται εκτελώντας στιχειώδεις μετασχηματισμύ ς στις γραμμές τυ πίνακα [a:! ], όπυ α = [α, a 2,...., α Υ και Ι,, είναι μναδιαίς πίνακας τάξης n. Οι στιχειώδεις μετασχηματισμί εκτελύνται στν πίνακα μέχρι να υπάρχει ένα ακριβώς μη μηδενικό στιχεί στην πρώτη στήλη. Αυτό δίνει ξεκάθαρα τν ΜΚΔ, καθώς από την ιδιότητα της γραμμικότητας γνωρίζυμε ότι : Αυτές ι διαδικασίες μπρύν να παρασταθύν από τυς μη μναδιαίυς πίνακες Μί καθώς τ τελικό απτέλεσμα είναι της μρφής : Μ = [Μα : ΜJ όπυ Μ είναι τ γινόμεν των Μ;. Εάν ΜΚΔ σημειώνεται στην j' γραμμή, τότε από την παραπάνω σχέση πρκύπτει ότι : g(λ ) = r)mp, όπυ ι-; [Μ J ρίζυμε να είναι η j' γραμμή τυ πίνακα Μ. Σ ελίδα 22

24 Έτσι στ πρηγύμεν παράδειγμα όπυ p(x) = χ χ + 9 και q(x) = χ+ 3, με τ η μέθδ Blankinship θα έχυμε τν ακόλυθ πίνακα: (~ n. ~) (~ ) Άρα, εάν! 2 = (~ ~) μναδιαίς 2χ2 πίνακας καιμ = (~ --;_ ) Τότε θα έχυμε ότι: Μι (~ 6 6 ~) = (~ --;_ ). (~ ~) Ο αλγόριθμς αυτός είναι υπλγιστικά περίπλκς και δεν πρτιμάται έναντι των άλλων μεθόδων :! :! 2.!\'fi9ηδη Ε r Οι περισσότερες από τις διαδικασίες εύρεσης τυ ΜΚΔ έως και τ 987, στηριζόταν σ ε παραλλαγές τυ Ευκλείδειυ αλγόριθμυ. Για μεγάλ αριθμό πλυωνύμων με πλύ υψηλή τάξη, ι παραπάνω μέθδι δηγύσαν σε «υπλγιστική έκρηξη». Μια εναλλακτική μέθδς για τν υπλγισμό τυ ΜΚΔ πρτάθηκε τ 978 (Karkanias et al, 987). Η μέθδς αυτή είναι βασισμένη στην ιδιότητα τυ μέγιστυ κινύ διαιρέτη, vα παραμένει αναλλίωτς μετά από στιχειώδεις γραμμπράξεις και μετατπίσεις {μετατόπιση είναι μια διαδικασία χωρίς αριθμητικό σφάλμα) στν πίνακα της βάσης πυ συσχετίζεται με τα πλυώνυμα. Έτσι μετατρέπει τν υπλγισμό τυ ΜΚΔ στην τριγωνιπίηση ενός συνόλυ από πίνακες μικρότερων διαστάσεων. Η παραπάνω μέθδς είναι γνωστή σαν μέθδς ERES (Extended Row Equivalence and Shifting) και απτελεί μια απτελεσματική αριθμητική μέθδ, εάν χρησιμπιηθεί με τν κατάλληλ τρόπ καθώς δεν επηρεάζεται από τν αριθμό και την τάξη των πλυωνύμων. Στ ην συνέχεια θα ριστύν και ι εξής πράξεις-διαδικασίες πυ είναι γνωστές και σαν με τασχηματισμί ERES: Σελ ίδα 23

25 Έ στω τ σύνλ πλυωνύμων Pm.n και Ρ"' πίνακας βάσης τυ αντίστιχυ σ υνόλυ. Τότε θα ισχύυν: ί. Στιχειώδεις πράξεις γραμμών (γραμμπράξεις) από τ 9 στν πίνακα Ρ"'. ίί. Πρόσθεση ή απαλιφή μηδενικών γραμμών τυ πίνακα Ρ ΠΙ '... Α ι - r ] αι l χ( n + Ι ) ' '. v q_ - ια,, α ε,,..., ΕΞ :η, α. :;:. ειvαι μια γραμμη τυ p //! ρίζυμε την πράξη της μετατόπισης (shifting operation- shf) μ ε : :sήf~ )= g_' = [Ο,...,Ο, α,..., α6 J ε 9ί χ< + ), αε -:ι:- Ο. Οι τύπι πράξεων (i), (ii) και (iii) αναφέρνται ως μετασχηματισμί ERES (extended row equiνalence and shifting), ενώ ι τύπι πράξεων (ί) και (ii) αναφέρνται ως μετασχηματισμί ERE (extended row equiνalence). Με τν πρώτ τύπ πράξεων (i), υπδηλώνεται ότι μπρεί να αναδιαταχθεί η σειρά στν πίνακα Ρ"', να πλλαπλασιαστύν ι συντελεστές τυ με μη μηδενικύς αριθμύς και να αντικατασταθεί τ πλυώνυμ με έναν γραμμικό συνδυασμό όλων των πλυωνύμων τυ συνόλυ. Αντίθετα, δεύτερς τύπς πράξεων (ii), επιτρέπει να απαλειφθύν όλα τα μηδενικά πλυώνυμα από τν πίνακα Pm,ή και να πρστεθύν αντίστιχα. Τέλς, τρίτς τύπς πράξεων (iii) υπδηλώνει ότι εάν ένα πλυώνυμ τυ συνόλυ γράφεται p(s) = sc p'(s), τότε μπρεί να αντικατασταθεί με τ πλυώνυμ p'(s), τ πί έχει μικρότερ βαθμό από τ αρχικό. Με τν συμβλισμό sh.f (P"' ") Ξ Ρ : _, συμβλίζεται τ σύνλ τ πί πρκύπτει από τ Ρ"' " εκτελώντας μετατπίσεις σε κάθε πλυώνυμ τυ. 'Ετσι λιπόν, σύμφωνα με τα παραπάνω πρκύπτυν ρισμένες ιδιότητες για τν ΜΚΔ (Karcanias,987). Συνεπώς έχυμε τ ακόλυθ θεώρημα: Για πιδήπτε σύνλ Ρ"' " με πίνακα βάσης Ρ,, ρ(ρ, ) = και ΜΚΔ {Ρ _ }= φ(s ) πρκύπτυν ι ακόλυθες ιδιότητες: ί}εάν 9{ είναι 0 γραμμχώρς τυ Ρ τότε τ Φ(s ) είναι αναλλίωτ από τ9ί. Επιπλέν, αν r = dimr = n +, τότεφ(s) =. ίί) Εάν ω (Ρ" ' ") = c? και shf(p ) = Ρ:. τότε φ(s ) = ΜΚΔ{Ρ" ' " }= sc ΜΚΔ{Ρ~. } Σελίδα 24

26 ίίί}εάν Pn,., είναι γνήσι σύνλ (proper), τότε φ(s ) είναι αναλλίωτς μετά από τι ς παραπάνω πράξεις (μετασχηματισμύς ERES). Τα παραπάνω συμπεράσματα απτελύν την βάση για την μέθδ ERES, όπυ μετασχηματισμί Gauss με μερική δήγηση χρησιμπιύνται μαζί με ιδιότητα της μετατόπισης, για την εύρεση τυ ΜΚΔ ή πρσέγγισης τυ ΜΚΔ {Mitrouli et al.,993). Συνψίζντας τις παραπάνω ιδιότητες, πρκύπτυν τα παρακάτω σημεία πυ αξίζει να σημειωθύν για την μεθδλγία εύρεσης και υπλγισμύ τυ ΜΚΔ πλυωνύμων : );;:- Δεν χρειάζνται όλα τα πλυώνυμα τυ Pn για τν υπλγισμό τυ ΜΚΔ, αλλά μόν ένα υπσύνλό τυ τ πί έχει την ιδιότητα να παρέχει τν γραμμχώρ 9\ τυ πίνακα Pm. );;:- Ο υπλγισμός τυ ΜΚΔ μπρεί να μετατραπεί στην εύρεση τυ ΜΚΔ ενός γνήσιυ συνόλυ (proper set), εάν έχυμε εφαρμόσει μετατπίσεις στ αρχικό σύνλ. -,, Για ένα γνήσι Ρm.ιι, μια εφαρμγή τριγωνπίησης τυ πίνακα Pn,, δηγεί σε μείωση τυ βαθμύ των πλυωνύμων. ).> Αν για ένα σύνλ Pn ισχύει ότι : ρ(ρn, ) =, τότε πιδήπτε πλυώνυμ τυ Ρ m.n ρίζει τν ΜΚΔ. Οι ERES μέθδι είναι απτελεσματικές και για τν υπλγισμό τυ «κατά πρσ έ γγιση» ΜΚΔ (approximate GCD) για ένα σύνλ από πλυώνυμα. Η εισαγωγή της «κατά πρσέγγιση» έννιας γίνεται στην ανάγκη εφαρμγής της θεωρητικής διαδικασίας. Η ανάγκη αυτή δηγεί στη χρήση αριθμητικών εργαλείων τα πία θα απφεύγυν μη σημαντικά αριθμητικά σφάλματα και θα επινύν κατάλληλα κριτήρια τερματισμύ τυ αλγρίθμυ. Με κάθε σύνλ από m πλυώνυμα με μέγιστ βαθμό d (θα τα συμβλίζυμε pn _,, ), θα τα συσχετίζυμε με έναν πίνακα βάσης Pn,. Η κυριότερη ιδιότητα στην πία στηρίχθηκε η θεωρητική διαδικασία τυ αλγόριθμυ ERES ( Karkanias et al., 987), ήταν όπως είπαμε και παραπάνω, ότι ΜΚΔ παραμένει αναλλίωτς Σελίδα 25

27 ύ στερα από στιχειώδεις γραμμπράξεις και μετατπίσεις στv πίνακα Ρ. Ένα Π Ι από τα βασικότερα βήματα τυ θεωρητικύ αλγόριθμυ είναι η εκλγή τυ πίνακα Ρ, για τν χώρ των γραμμών τυ Ρπ ι. d, και στην συνέχεια μετασχηματισμός τυ σε άνω τριγωνιπιήσιμη μρφή ή σε Ερμιτιανή μρφή P,.d, μετά από στιχειώδεις γραμμπράξεις Μi'θδι- Sv/ve.<>ιe Η μέθδς τυ Sylνester είναι πι πρόσφατς ERES αλγόριθμς με σημαντικά πλενεκτήματα στη χρήση τυ. Πρώτα απ' όλα είναι χρήσιμ ν' αναφερθύμε στην κατασκευή τυ πίνακα Sylνester (Barnett, 990), και συγκεκριμένα για την περίπτωση δύ πλυωνύμων, τν πί και χρειαζόμαστε στην παρύσα μέθδ. Στην πρκειμένη περίπτωση πίνακας Sylνester είναι τετραγωνικός. Θεωρύμε δύ πλυώνυμα a(s) είναι μνικό και υπθέτυμε ότι deg{b(s) }::;; deg{a(s) }. Εάν τα πλυώνυμα έχυν κινό παράγντα, σημαίνει ότι υπάρχει μια τιμή s = s 0 για την πία ι εξισώσεις a(s 0 ) = Ο και συγχρόνως ικανπιύνται. Εάν. ξ' p- p-2. ' πλλαπλασιάσυμε την πρωτη ε ισωση με s, s,...,s, αντιστιχα, παιρνυμε τις ακόλυθες n εξισώσεις:. ι ιr ρ - + α.ι/ι+ ρ α s" + α s"- ~ - \....ιι r ρ Sη + ρ- 3 + α 5'p- I + S p- 2 5 an-... 'Ομια, εάν πλλαπλασιάσυμε την δεύτερη εξίσωση με s"-, s"- 2,...,s, αντίστιχα έχυμε τις ακόλυθες m εξισώσεις: Σελίδα 26

28 b 5' + ρ - + b s" + ρ b s,, + b - JJ ρ- Ι os b <' ΙΙ + JJ- 2 + b sll+jj-3 + b Sιι - ) +,- 2 Ι' " JJ-... S b /! b ρ - ί Ps + b b ρ - s is + Η παραπάνω διαδικασία, δεν επηρεάζει τν ΜΚΔ των αρχικών μας πλυωνύμων, επειδή κάθε υπσύνλ των πλυωνύμων πυ δημιυργείται έχει ως ΜΚΔ τ αρχικό πλυώνυμ. 'Ετσι τα Ρ = {a( s), b(s )} και S(p] = ~(s ),sa( s ),....,sjj- a(s),b(s),sb(s),....,s"- b(s)} έχυν τν ίδι ΜΚΔ. Τ σύνλ των S[P] καλείται Sylνester Resultant τυ αρχικύ συνόλυ Ρ = ~( s ), b(s)j των πλυωνύμων. Αυτό δηγε( στην ακόλυθη υπόθεση (Barnett,990) : Δίνεται ένα σετ πλυωνύμων Ρ = ~( s ), b(s)} και s Ε ~Η ( ΙΙ + J! )χ ( ΙΙ + J! ). πίνακας s[p] ρίζεται ως εξής : ι α,, _ an-2 α α,, _ α α α α S =!;,, b,,_ bρ - 2 bo b ρ b ρ - bl bo bjj b ρ - bl bo κ αι απτελεί τν πίνακα Sylvester Resultant συσχετιζόμεν με τα πλυώνυμα a(s) κ αι b(. ;). Με τν παραπάνω αλγόριθμ μειώννται η διάσταση ( m) και βαθμός ( n) των ισδύναμων πλυωνύμων. Δηλαδή, η μέθδς Sylvester μειώνει τν βαθμό των πλυώνυμων πυ πρκύπτυν κάθε φρά και τελειώνει μόν όταν τελικός πίνακα βάσης έχει (m + n - p) μη μηδενικές στήλες. Μια πρώτη παρατήρηση είναι ότι S είναι πίνακας βάσης τυ συνόλυ των πλυωνύμων s(p] = ~( s ), s a(s),. "., sjj a(s), b(s), sb(s),. "., s" b(s)}. Σελίδα 27

29 Θεωρύμε ένα σύνλ πλυωνύμων Ρ = {::ι (s), b;(s) ε ~ [slί ε h}, τ π ί απτελείται από h + στιχεία και με τις δύ μεγαλύτερες τιμές βαθμών (n, p ). Χωρίς βλάβη της λγικότητας μπρύμε να υπθέσυμε ότι τ a(s) είναι μνικό και αντιπρσωπεύει τα πλυώνυμα n βαθμύ, δηλαδή a(s) = s" + a,,_ s" a s + α 0 και b (s) = b. s" + + b s + b με ί - 2 h ι.. il io - ' " " Από δω και πέρα, θα χρησιμπιύμε τν συμβλισμό Ρι. + ~,,, όταν θα θέλυμε να δηλώσυμε τν αριθμό των στιχείων και τν μέγιστ βαθμό. Ο μέγιστς κινός διαιρέτης τυ Ρ θα συμβλίζεται με ΜΚΔ{Ρ } = Φ(s ). Με τ σύνλ Ρ μπρύμε να συσχετίσυμε τν πλυωνυμικό πίνακα Ρι,+ (s), όπυ : Γ a(s) = p hrl ~/! (s), ~/! (s) = [s"' sn-,...,s,,] ι όπυ 0 Ρ,ι+ Ι ε ~η Ο + Ι ) χ (η+ Ι ) είναι πίνακας βάσης (basis matrix-bm) τυ Ρ και τ Ε._, + (s) τ διάνυσμα αντιπρσώπευσης (νector tepresentatiνe-νr) τυ Ρ. Αν c είναι ακέραις για τν πί ισχύει : p = Ρ =... = p = Q, με p 7:- Ο, - -n- -C- -C - τότε με c θα νμάζυμε την τάξη τυ Ρ και θα την συμβλίζυμε με c = ω (Ρ). Επιπρόσθετα, ως 8 c θα νμάζεται στιχειώδης διαιρέτης (elementary diνisor-ed) τυ ΜΚΔ. Τ σύνλ θα νμάζεται γνήσι (proper) αν c =Ο και μη-γνήσι (nonproper) αν τ c ~, αντίστιχα. Στην συνέχεια, πριν δώσυμε ένα παράδειγμα ως εφαρμγή της παραπάνω μεθόδυ, αξίζει να αναφέρυμε ένα ακόμα θεώρημα (Barnett, 990), τ πί απτελεί κλασσικό απτέλεσμα για την μελέτη τυ ΜΚΔ δύ πλυωνύμων, στηριζόμεν στν πίνακα Sylνester: Σελίδα 28

30 Έστω δυ πλυώνυμα a (s) και b(s). Τό τε, ί) Μια ικανή και αναγκαία συνθήκη δύ πλυωνύμων a(s) και b(s) να έχυν μη -τετριμμέν ΜΚΔ, είναι ότι Sylνester Resultant σε συσχετισμό με τα a(s) και b(s) είναι ιδιάζων. ίί) Ο βαθμός τυ μέγιστυ κινύ διαιρέτη δύ πλυωνύμων a(s) και b(s), με βαθμύς n και p αντίστιχα, ισύται με: deg φ (s ) = n + p - ι-anks, όπυ S είναι Sylνester Resultant σε συσχετισμό με τα a (s) και b(s). Αυτή η συνθήκη θα λέγαμε ότι απτελεί ένα κριτήρι τερματισμύ. ίίί) Εάν φέρυμε τν πίνακα Sylνester σε ανηγμένη κλιμακωτή μρφή, τότε η τελευταία μη-μηδενική γραμμή δηλώνει τν μέγιστ κινό διαιρέτη. Παράδειγμα 'Εστω ότι έχυμε τα ακόλυθα δυ πλυώνυμα: a(s) = 3s 3-2s 2 + 3s - 2 και b(s) = 3s 2 + s πινακας Sy/νester θα ειναι : S= Είναι -ank(s) = 4 και βαθμός τυ ΜΚΔ d(s) ισύται με. Εάν φέρυμε τν S σε ανηγμένη κλιμακωτή μρφή κατά γραμμές, χρησιμπιώντας μόν μετασχηματισμύς γραμμών, βρίσκυμε ότι : Σελίδ α 29

31 8e = ] Παρατηρύμε ότι πίνακας έχει μια μηδενική γραμμή, επμένως τα πλυώνυμα έχυν ένα ΜΚΔ βαθμύ. Από την μη-μηδενική γραμμή πυ πρκύπτει από τν πίνακα Sylνester, πίς σε ανηγμένη κλιμακωτή μρφή, είναι τελικά ΜΚΔ: d(s) = s - ~. 3 Σελίδα 30

32 '). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕ MATLAB Από τις παραπάνω μεθόδυς πυ περιγράψαμε, διαλέξαμε δύ από αυτέ ς, συγκεκριμένα την μέθδ Sylνester και την μέθδ Routh, όπυ τρέξαμε με τη ν βήθεια της Matlab κάπια παραδείγματα. Οι κώδικες πυ χρησιμπιήσαμε είνα ι ι ακόλυθι: %Εύρεση ΜΚΔ με μέθδ Sylvester Resultant disp( ' δώσε αριθμό πλυωνύμων ' ) h=input( ' ' ); disp( ' δώσε τυς συντελεστές τυ lυ πλυωνύμυ, με σειρά πρς τη μικρότερη δύνα μ η και με μ ρφή : [an... al ao] ' ) bο=iηput( ' συντελεστές lυ πλυωνύμυ : ' ) ; [l, m] =size (bo) ; m=m- ; disp( ' δώσε τυς συντελεστές τυ 2υ πλυωνύμυ, με σειρά πρς τη μικρότερη δύναμη και με μ ρφή : [an... al ao ] ' ) b l=iηput( ' συντελεστές 2υ πλυ ωνύμυ : '); [l, n]=size(bl) ; n=n-; i=l ; s= [ J ; i=l ; while i <=n s O=zeros (, m+n) ; j=i ; while j <=m+i s O(l, j)=bo(l, j-i+l) i j=j+l ; e nd s =[s ; so] ; i=i+l ; end sl=zeros(l, m+n) ; i=l; while i <=m s l=zeros (, m+n) ; j=i ; while j <=n+i sl(l, j)=bl(l, j-i+l) ί j=j + ; e nd s =[s ; s l] ί i =i+l ; e nd disp( ' η τάξη τυ πίνακα Sylvester είναι rk : ' ) ; rk=rank(s) ;, disp( ' Ο πιvακας Syl vester σε αvηγμένη κλι μ ακωτή μρφή είναι r : ' ) ; r=rref(s) ; Σελια ~

33 % Εύρεση ΜΚΔ με μέθδ Routh Ϊunc~ion[GCD]=Routh(pl, p2) disp( ' δώσε τυς αριθ μ ύς τυ πλυωνύμυ με τ μεγαλύτερ βαθμ ό, μ ε σειρά πρς τη μικρότερη δύναμη και με μρφή: [an... al aoj ' ) ; p l=iηput( ' συντελεστές lυ πλυωνύμυ : '); disp( ' δώσε τυς συντελεστές τυ πλυωνύμυ μ ε τ μικρότερ βαθμό, με σειρά πρς τη μικρότερη δύναμη και με μρφή : [an... al ao] ' ) ; p2=iηput( ' συντελεστές 2υ πλυωνύμυ: ' ) ; ~ Ελέγχυμε τν πίνακα με τη μεγαλύτερη διάσταση r l=length (pl) ; r 2=length(p2) ; A=zeros(rl, rl ) ; for j=l : rl Α (, j ) =p ( j ) ; e nd for j=l : r2 Α ( 2, j) =p2 ( j) ; end for i=3 : 2*rl for j=2 : r l c O=[A(i- 2, ) A(i-2, j );A(i-, ) A(i-, j)] ; A (i, j-l)=det(co)/a(i-, ); e nd e nd end Σελίδα 32

34 3. Παράδειγμα Α με μiθδ Svlvesteι Resnιtan Εκ τέλεση - Sylvester (σελίδα 29) >> disp('δώσε αριθμό πλυωνύμων ' ) δώ σε αριθμό πλυωνύμων >> h=input ( ' 2 ' ) 2 h (] >> disp( ' δώσε τυς συντελεστές τυ lυ πλυωνύμυ, με σειρά πρς τη μικρότ ερ η δύναμη και με μρφή : [an... al ao] ' ) δώσε τυς συντελεστές τυ lυ πλυωνύμυ, με σειρά πρς τη μικρότερη δύνα μη και με μρφή : [an... al ao] >> b0=[ ] bo >> [l, m] =size (bo ) = m 4 >> m=m- m = 3 >> disp( ' δώσε τυς συντελεστές τυ 2υ πλυωνύμυ, με σειρά πρς τη μικρότερη δύναμη και με μρφή : [ an... al ao] ' ) δ ώσε τυ ς συντελεστές τυ 2υ πλυωνύμυ, με σειρά πρς τη μ ι κρότερη 5 ύνα μη και με μρφή: [an... al ao]» bl=[3-2] bl 3-2 >> [l, n]=size(bl) = n = 3 Σελίδα 33

35 >> η=η - η = 2 >> i=l i = >> while i <=n s O=zerosll, m+n) j=i while j <=m+i so(l, j)=bo(l, j-i+l ) j=j +l end s =[s ; soj i=i+l end >> sl=zeros(l, m+n) sl >> i=l i = >> while i <=m s l=zeros(l, m+n) j=i while j <=n+i sl(l, j)=bl(l, j-i+l ) j=j+l end s =[s ; slj i=i+l end s = Σελίδα 34

36 i 4 >> ~ τελικός πίνακας πυ πρκύπτει είναι π ίνακας Sylvester >> disp( ' η τάξη τυ πίνακα Sylvester είναι rk : ' ) η τ άξ η τυ πίνακα Sylvester είναι rk :.-» r k=rank ( s) r k 4 >> disp('o πίνακας Sylvester σε ανηγμέν η κλιμακωτή μρφή είνα ι r : ' ) Ο πίνακας Sylvester σε ανηγμένη κλ ιμ ακωτή μρφή είνα ι r: >> r=rre f( s )!" >> disp( ' τελ ι κά μ. κ. δ είναι d(s)=s-2/3 ή διαφρετικά d(s)=s ) τ ελικά μ. κ. δ είνα ι d(s)=s-2/3 ή διαφρετ ι κά d(s)=s Σελίδα 35

37 3.2 Jlαραδηγμα Β με μεθδ Svlνesteι Hesultan Εκ τέλεση - Sylvester (σελίδα 2) >> disp( ' δώσε αριθμό πλυωνύ μ ων ' ) δ ώσε αρ ι θμό πλυωνύμων» h=input ( ' 2 ' ) 2 h [] >> disp( ' δώσε τυς αριθ μ ύς τυ lυ πλυωνύ μ υ, με σειρά πρς τη μικρότερη δύναμη, σε μρφή πίνακ α ' ) δώσε τυς αριθμύς τυ lυ πλυωνύμυ, με σειρά πρ ς τη μικρότερη υ ν αμη, σε μρφή πίνακ α» bo=[l 6 9] b O 6 9 >> [l, rn]=size(bo ) = rn >> rn=rn- rn == 2 >> disp('δώσε τ υ ς συντελεστές τυ 2υ π λυωνύ μυ, με σειρά πρ ς τη μικρότερη δύναμη, σε μρφή πίνακα ' ) δώσε τυς συντελεστές τυ 2υ πλυωνύμυ, μ ε σειρά πρς τη μικρότερη δ ύ ν αμη, σε μρφή πίνακα '> bl==[l 3] bl 3 >> [l,n] ==size(bl) == η == 2 Σελίδα 36

38 >> η=η- η = l >> i=l i = >> s=[) s = >> i=l i = l [ ) l >> while i <=n s O=zeros(l, rn+n ) '..νhile j <=rn+i so(l, j ) =bo(l, j-i+l) j=j+l end s=[s ; so] i=i+l _nd >> sl=zeros(l, rn+n) sl >> i=l i = >> while j_<=rn sl=zeros(l, rn+n) j=i while j <=n+i sl(l, j)=bl(l, j-i+l) j=j+l end s=[s ; sl] i=i+l e nd Σελίδα 37

39 s i 3,> i τελικός π[νακας πυ πρκ6πτει ε[ναι π[νακας Sylvester >> disp( ' η τάξη τυ π[νακα Sylvester ε[ναι rk : ' ) η τάξη τυ π[νακα Sylvester ε[ναι rk : >> rk=rank( s) rk 2 >> disp('o π[νακας Sylvester σε ανηγμένη κλιμακωτή μρφή ε[ναι r : ' ) Ο π[νακας Sylvester σε ανηγμένη κλ ιμ ακωτ ή μρφή ε[ναι r : >> r=rref(s) r >> disp( ' τελικά μ. κ. δ ε[ναι d(s)=x+3' ) τελικά μ. κ. δ ε[ναι d(s)=x+3 Σελίδα 38

40 3.2. Ά). α τrαραδείγματα μ τ μεθδ ςvjve ter Resιιlt,.. Έχυμε τ ακόλυθ ζεύγς πλυωνύμων όπυ θέλυμε να βρύμε τν μέ γιστ κινό διαιρέτη: χ 8 + χ 6-3χ 4-3χ 3 + 8χ χ - 5 και 3χ χ 4-4χ 2-9 χ + 2. >> disp( ' δώσε αρ ιθμ ό π λυωνύ μω ν ' ) δώσε αρ ιθμ ό π λυωνύ μ ων» h=input ( ' 2 ' ) 2 h [ ] >> disp( ' δώσε τυς αρ ι θ μ ύς τυ lυ π λ υων ύμ υ, με σε ιρά πρς τ η μι κρότερη δύνα μη, σε μ ρφή πί νακ α ' ) δ ώσε τυ ς αριθ μ ύς τυ lυ πλυωνύμυ, με σειρά πρς τη μικρότ ε ρη δ ύνα μη, σε μρφή πίνακα >> bo= [ l Ο Ο ] b O >> [l, rn]=size(bo) = m = 9 >> rn=rn- rn = 8 >> disp( ' δώσε τυς συντελεσ τέ ς τυ 2υ π λυω ν ύμυ, με σειρά πρ ς τη μι κρότερη δύνα μη, σε μρφή πίνα κα ' ), δώσε τυς συν τ ελεσ τ ές τυ 2 υ π λυωνυ μ υ, μ ε σειρά πρς τη μικρότερη δύναμη ι σε μ ρφή πίνα κα >> b=[ ] bl >> (l, n]=size(bl ) = Σελ(δα 39

41 n 7 >> η=η- n = 6 >> i=l i = >> s=(] s = >> i =l i = [ ] -> while i <=n so=zeros(l, rn+n ) j=i while j <=rn+i so(l, j)=bo(l, j-i+lj j =j+l -::nd s =[s ; so] i=i+l end >> sl=zeros(l, rn+n ).. ->L >> i=l i = >> while i <=rn sl=zeros (, rn+n) j=i while j <=n+i sl (l, j)=bl(l, j-i+l ) j =j +l e nd s= (s ; sl ] i=i+l Σελ(δα 40

42 e nd (J ) 3 J J ) ) ) :3 (J () () 'J l 5 3 'J ; () d 5 3 Β g ,., (\ 2 (Ι - 9 2J i 9 >> ~ τελικός πiνακας π υ πρκ6πτει εiναι πiνακας Sylvester >> disp( ' η τάξη τυ πi νακα Sylvester εiναι rk : ' ) η τάξη τυ πίνακα Sylvester είναι rk: >> rk=rank( s) rk 4 >> disp('o πiνακας Sylvester σε ανηγμένη κλιμακωτή μρφή εiναι r : ' ) Ο πίνακας Sylvester σε ανηγμένη κλιμακωτή μρφή είναι r: >> r=rref(s ) 'J () ) ) ) l () ιj ) () v () J. Γι ( (\ >> disp('τελικά μ. κ.δ είναι d(s)=l ' ) τε λ ικά μ. κ. δ είναι d(s)=l Σελίδα 4

43 );;:- Έχυμε τ ακόλυθ ζεύγς πλυωνύμων όπυ θέλυμε να βρύμε τ ν μέγιστ κινό διαιρέτη : 2 χ 6 + χ 3 + χ και χ 4 + χ χ. >> disp( ' δώσε αριθμό πλυωνύμων ' ) δώσε αριθ μό πλυωνύμων >> h=input ( ' 2 ' ) 2 h [ J >> disp( ' δώσε τυς αριθμύς τυ lυ πλυωνύ μυ, με σειρά πρς τη ι κρότερη δύναμη, σε μρφή πίνακα') δώσε τυς αριθμύς τυ lυ π λυωνύμυ, με σειρά πρς τη μι κρότερη δύνα μη, σε μρφή πίνακ α >> b0=[2 2] bo 2 2 >> [l, m]=size(bo) = m 7 >> m=m- m = 6 >> disp( ' δώσε τυς συντελεστές τυ 2υ π λυωνύμυ, με σειρά πρς τη μικρότερη δύναμη, σε μρφή πίνακα') δ ώσε τυς συντελεστές τυ 2υ πλυωνύμυ, μ ε σειρά πρς τη μικρότερη δ ύνα μη, σε μ ρφή πίνακα >> bl=[l Ο 2 Ο] bl 2 >> [l, n]=size(bl) l η = 5

44 >> η=η- η = 4 >> i=l i =» s=[j s =» i=l i = [] -» while i <=n so=zeros(l, rn+n ) j=i while j <=rn+i s O(l, jj=bo(l, j-i+lj j=j+l e nd s =[s ; soj i=i+l engi >> sl=zeros(l, rn+nj >> i=l i = >> while i <=rn s l=zeros(l, rn+n) j=i while j <=n+i sl (l, j)=bl(l, j-i+l) j=j+l end s=[s ; sl] i=i+l end Σελίδα 43

45 s == 2 2 ύ i 7 >> % τελικός π ί ν ακας πυ π ρκ ύπτ ε ι ε ί να ι π ίνακας Syl vester..» d i sp( ' η τάξη τυ π ίνακα Sylvester ε ί να ι r k : ' ) η τάξη τ υ πίνακα Sylves t e r είνα ι rk : ;-> r k=rank(s) r k 0 >> disp(ό πί ν ακας Sylvester σε αν η γμένη κλ ιμ ακωτ ή μ ρφή είνα ι r : ' ) Ο πίνακας Sylvester σε ανηyμένη κλ ιμ ακωτ ή μ ρφ ή είνα ι r : >> r =rref(s) r == >> d is p( ' τε λ ικά μ. κ. δ εί ν αι d (s)=l ' ) τελ ι κά μ. κ. δ είναι d(s)=l Σ ελίδα 44 r--r;; B ΛIO ΘHrn-- - /

46 3:~ Παράδειγμα Β μι: uέθδ Routh Εκ τ έλ εση - Routh (σελίδα 2) >> disp( ' δώσε τυς συντελεστές τυ πλυωνύμυ με τ μεγαλύτερ βαθμό, με σειρά πρς τη μικ ρό τερη δύνα μη και με μ ρφή : [an... al ao] ' ) δώσε τυς συντελεστές τυ πλυωνύμυ με τ μεγαλύτερ βαθμό, με σειρ ά πρς τη μι κρότερ η δύνα μη και μ ε μρφή : [an... al a O]» pl= [ l 6 9) p l 6 9 >> disp( ' δώσε τυς συντελεστές τυ πλυωνύμυ με τ μι κρότερ βαθμό, με σειρά πρς τη μικρότερη δύναμη και με μρφή : [an... al ao] ' ) δ ώσε τυς συντελεστές τυ πλυωνύμυ με τ μικρότερ βαθ μ ό, με σειρά πρς τη μικρότερη δύναμη και με μ ρφή : [an... al ao] >> p2=[ 3 ] p 2 3 >> rl=length(pl) rl 3 >> r2=length(p2) r2 2 >> A=zeros(rl, rl ) Α = >> for j=l : rl Α (, j ) =p ( j ) e nd Α = Α

47 6 Α l 6 9 >> for j=l : r2 Α ( 2, j) =p2 ( j) ~ nd _!λ_ 6 9 Α >> for i=3 : 2*rl for j=2 : rl c O=[A(i-2, l) A(i-2, j) ; A(i-, l ) A( i -, j) ] A( i, j - l)=-det(co)/a(i-, ) end Α NaN NaN NaN NaN? > disp( ' τελικά μ. κ. δ είναι d(s)=3x+9 ή d(s)=x+3 ' ) τε λικά μ. κ. δ είνα ι d(s)=3x+9 ή d(s)=x+3 Σελίδα 46

48 4- ΙΙαράδΗγμα Α με μiθδ ltouth Εκτέλεση - Routh (σελίδα 2 9 ) >> disp( ' δώσε τυς συντελεστές τυ πλυωνύμυ μ ε τ μεγαλύτερ βαθμ ό, με σειρά πρς τη μικρότερη δύναμη και μ ε μρφή : [an... al ao] ' ) δ ώσε τυς συντελεστές τυ πλυωνύμυ με τ με γαλύτερ βαθμό, με σειρά π ρς τη μικρότερη δύναμη και μ ε μρφή : [an... al ao] >> p=[ ] p l >> disp( ' δώσε τυς συντελεστές τυ πλυωνύμυ μ ε τ μ ικρότερ βαθμό, με σειρά πρς τη μι κρότερη δύναμη και με μ ρφή : [an... al ao] ') δώσε τυς συντελεστές τυ πλυωνύμυ μ ε τ μι κρότερ βαθμό, με σειρ ά πρς τη μικρότερη δύναμη κα ι μ ε μ ρφή : [an... al ao] >> p2=[3-2] p2 3-2 >> rl=length (pl ) rl 4 >> r 2=length(p2) r 2 3 >> A=zeros(rl, rl) Α = >> for j=l : rl A(l, j)=pl( j) e nd Α Σελίδα47

49 >> for j=l : r 2 A(2,j)=p2 (jι end Α >> for i=3 : 2*rl for j=2 : rl co = [A(i-2, ) A(i-2, j) ; A(i-, ) A(i-, j)] A( i, j - )=-det(co)/a(i-l, l) end end Α NaN NaN NaN NaN NaN NaN >> disp('τελικά μ.κ. δ είνα ι d(s)=3s-2 ή d(s)=s-2/3') τελικά μ. κ. δ είναι d(s)=3s-2 ή d(s)=s-2/3 Σ ελίδα 48

50 Ο ι παραπάνω μέθδι πυ αναλύσαμε, λειτυργύν διαφρετικά για τις πικίλες περιπτώσεις πλυωνύμων. Αυτό έχει άμεση σχέση με τν αριθμό των πλύωνύμω ν. Πρώτα απ' όλα, η μέθδς ERES είναι μια καλή μέθδς, διότι δυλεύει όταν έχυμε μεγάλ αριθμό πλυωνύμων. Περιλαμβάνει ένα αρκετά μεγάλ αριθμό τριγωνπιήσεων και εκτελεί εκτεταμένυς μετασχηματισμύς μέχρι να δηγηθύμε στην εύρεση τυ μέγιστυ κινύ διαιρέτη, τ πί τελικά έχει ω ς απτέλεσμα να είναι αρκετά αργή. Η μέθδς με την βήθεια τυ πίνακα Routh είναι μια αρκετά γρήγρη μέθδς, αφύ κερδίζυμε χρόν από τν μη υπλγισμό ριζυσών. Τ μεινέκτημα όμως τυ κριτηρίυ Routh έγκειται στ γεγνός ότι δυλεύει για μικρό αριθμό πλυωνύμων (μέχρι δύ πλυώνυμα). Μια άλλη μέθδ πυ αναλύσαμε παραπάνω είναι με τη χρήση τυ πίνακα Sylνester. Έχει τ πλενέκτημα ότι δυλεύει για αρκετά μεγάλ αριθμό πλυωνύμων, όμως και αυτή η μέθδς, όπως και η ERES, είναι αρκετά αργή. Σελίδα 49

51 4. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΚΔ 4. ΕλάΥLστ Κινό Πλλαπλάσι (ΕΚΗ) Κατά αντιστιχία με τ ΕΚΠ των φυσικών αριθμών, αν έχυμε δύ ή περισσότερ α πλυώνυμα πλυώνυμα α (s), a 2 (s),...., an (s) ρίζυμε ως ΕΚΠ των πλυωνύμω ν τ μνικό πλυώνυμ τυ ελάχιστυ βαθμύ πυ διαιρείται από καθένα από τα α (s), a 2 (s),..., an (s). Ειδικότερα για τα πλυώνυμα μας ενδιαφέρει η ακόλυθη ιδ ιότητα : Αν α( s ), b(s) είναι μή μηδενικά μνικά πλυώνυμα τότε ισχύει η ακόλυθη ιδιότητα : EKΠ ( α(s),b(s)) MKΔ(α(s),b(s)) = a(s) b(s),, ( ( ) b( )) a(.~) b (s) Η ισδυναμα ΕΚΠ α s, s = Μ ΚΔ ( α, b ) Επμένως τ πρόβλημα τυ ΕΚΠ σχετίζεται άμεσα με τ ΜΚΔ, υπλγισμός τυ πίυ είναι απαραίτητς../ Στα ακόλυθα παραδείγματα, για την εύρεση τυ ΕΚΠ, παρατηρύμε ότι τ ζητύμεν ΕΚΠ είναι βαθμύ μεγαλύτερυ από τα πλυώνυμα α(s), b(s) σε όλες τις περιπτώσεις. Στην περίπτωση μάλιστα πυ δεν υπάρχει ΜΚΔ, τ ΕΚΠ είναι αρκετά μεγαλύτερυ βαθμύ από τα πλυώνυμα και συγκεκριμένα είναι βαθμύ ίσυ με τ άθρισμα των βαθμών των πλυωνύμων. Σελίδα 50

52 .. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕ MATLAB Στην συνέχεια θα τρέξυμε κάπια παραδείγματα και πάλι με την βήθεια τ η ς Matlab, για την εύρεση τυ ελάχιστυ κινύ πλλαπλασίυ (ΕΚΠ). Ο κώδικας π υ θα χρησιμπιήσυμε είναι ακόλυθς (επειδή για την εύρεση τυ ΕΚ Π χρειαζόμαστε τν ΜΚΔ, ένα μέρς τυ ακόλυθυ κώδικα είναι τ ίδι με πρίν). %Εύρεση ΕΚΠ disp( ' δώσε αριθμό πλυωνύμων ' ) h=input( ' ' ) ; disp( ' δώσε τυς συντελεσ τ ές τυ lυ πλυωνύ μ υ, με σε ι ρά πρς τη μικρότερη δύναμη κα ι μ ε μ ρφ~ : [an... al ao ] ' ) bο=iηput( ' συντελεστές lυ πλυωνύ μ υ: ' ) ; (l, m] =size(bo) ; m=m- ; d isp( ' δώσε τυς συντελεστές τυ 2υ πλυωνύ μ υ,μ ε σειρά π ρς τη μικρότερη δύναμη κα ι με μρφή : [an... al ao] ' ) bl=i η put( ' συντελεσ τ ές 2 υ π λυ ωνύ μ υ : ' ) ; [l, n]=size(bl ) ; η=η - ; i=l ; s= [J ; = ; while i <=n so=zeros(l, m+n ) ; j=i ; while j <=rn+i S Ο ( j ) =b Ο (, j - i+ ) ; j=j+l ; e n d s=[s ; so ]; i=i+l ; end s l=zeros(l, rn+n) ; i=l ; while i <=rn s l=zeros(l, m+n) ; j=i ; while j <=n+i sl( l, j)=bl(l, j-i+l) ; j=j+l ; e nd s = [ s ; sl ] ; i=i+l ; end disp( ' η τάξη τυ π ί νακ α Sylvester είναι rk : ' ) ; rk=rank(s) ; Σ ελίδα 5

53 disp('o πίνακας Sylvester σε ανηγμέν η κλι μα κω τή μρφή είνα ι r : ' ) ; r =rrefls) ; MN=m+n ; GCD=r(rk, rk ) ; for i=rk+l:mn GCD= [GCD, r(rk, i)]; end GCD CM=conv (bo, bl) [q, r] = deconv(cm, GCD) ; disp( ' τo ελάχιστ κ ι νό πλλαπλάσι είνα ι τ ακόλυθ : ' j ; LCM=q Σελίδα 52

54 ~ Έχυμε τ ακόλυθ ζεύγς πλυωvύμωv όπυ θέλυμε vα βρύμε τ ελάχιστ κινό πλλαπλάσι : χ χ 2 + 6χ και χ3 + z x2. >> disp( ' δώσε αριθμό πλυωνύμων ' ) δ ώσε αριθμό πλυωνύμων >> h=input ( ' 2 ' ) 2 h [] >> disp('δώσε τυς αριθμύς τυ lυ πλυωνύμυ, με σειρά πρς τη μικ ρότερη δύναμη, σε μ ρφή πίνακα') δώσε τυς αριθμύς τυ lυ πλυωνύμυ, με σειρά πρς τη μικρότερη δύναμη, σε μρφή πίνακ α» bo=[l 5 6 Ο ] b O 5 6 >> [l, m]=size(bo ) l = m 4 >> m=m- m = 3 >> disp( ' δώσε τυς συντελεστές τυ 2υ πλυωνύμυ, με σειρά πρς τ η μικρότερη δ~vαμη, σε μρφή π[vακα') δ ώσε τυ ς συντελεστές τυ 2υ πλυωνύμυ, μ ε σειρά πρς τη μι κρότερη δ ύναμη, σε μρφή πίνακα» bl=[2 4 Ο Ο ] b l 2» ( l, n)=size(bl) = η = 4 Σε λίδα 53

55 >> n=n- η = 3 >> i=l i = >> s=[ J s = >> i=l i = [],,> while i<=n so=zeros(l, rn+n ) j=i while j <=rn+i s O(l, j)=bo(l, j-i+l) j =j+l e nd s=[s ; soj i=i+l end >> sl=zeros(l, rn+n) >> i=l i = l >> while i <=rn s l=zeros(l,rn+n) j=i while j <=n+i Sl(l, j)=bl(l, j-i+l) j=j+l end s = [s ; sl] i=i+l e nd Σ ελίδα 54

56 s = i 4 >> rk=rank(s) rk 4 >> r=rref(s ) r = τ ελικά μ. κ. δ είνα ι d (s) = s 2 + 2s >> GCD=r(rk, rk ) GCD >> for i=rk+l : MN GCD= ( GCD, r(rk, i)] end >> GCD GCD 2 >> CM=conv(bO,bl) >> LCM=q LCM τ ε λ ι κα, τ ε. κ. π ε, ι να ι l (s) =2s s 3 +7ς Σελίδα 55

57 , Έχυμε τ ακόλυθ ζεύγς πλυωνύμων όπυ θέλυμε να βρύμε τ ελάχιστ κινό πλλαπλάσι: χ 4 + 4χ και χ 3 + χ 2 +χ +. >> disp( ' δώσε αριθμό πλυωνύμων ' ) δώσε αριθμό πλυωνύμων >> h=input ( ' 2 ' ) 2 h [ J >> disp( ' δώσε τυς αριθ μ ύς τυ lυ πλυωνύμυ, με σειρά πρς τη μικρότερη δύναμη, σε μρφή πίνακ α ' : δ ώσε τυς αριθμύς τυ lυ πλυωνύμυ,μ ε σειρά πρς τ η μ ι κρότερη υναμη, σε μρφή π ίνακα >> bo=[l Ο 4 Ο 3] b O 4 3 >> disp( ' δώσε τυς συντελεστές τυ 2υ πλυωνύμυ, με σειρά πρς τη μικρότερη δύναμη, σε μρφή πίνακα') δώσε τυς συντελεστές τυ 2υ πλυωνύμυ, με σειρά πρς τη μικρ ότερ η δ ύναμη, σε μρφή πίνακα» bl= [l ] bl >> sl=zeros(l, m+n)» i=l i = >> while i <=m s l=zeros(l, m+n) j=i while j <=n+i sl(l,j )=bl(l,j-i+l ) j=j +l e nd s =[s ; sl] i=i+l e nd Σελίδα 56