6. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕ MATHEMATICA. 49

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "6. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕ MATHEMATICA. 49"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. n ΚΑΙ n ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕ MATHEMATICA ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΣΤΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 6. ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ. 69. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. 89

2 Κεφάλαιο. Εισαγωγή Σύνολα Άσκηση. (Πράξεις µεταξύ συνόλων) Θεωρείστε τις παρακάτω δύο εκφράσεις : Lnear Algebra Calculus of varatons Να δηµιουργηθούν δύο σύνολα Α,Β που το καθένα θα περιέχει τα γράµµατα που παρουσιάζονται σε κάθε έκφραση. Στη συνέχεια να βρεθεί η τοµή των συνόλων και η ένωση των συνόλων Α,Β καθώς και τον αριθµό φορών που εµφανίζεται το κάθε γράµµα στις παραπάνω εκφράσεις. Απάντηση. Η εντολή Characters µας επιτρέπει να πάρουµε σε µορφή λίστας τα γράµµατα που απαρτίζουν µια έκφραση. Έτσι θα έχουµε A = Algebra"D 8L,, n, e, a, r,, A, l, g, e, b, r, a< B= of varatons"d Η τοµή των δύο συνόλων γίνεται µε την συνάρτηση Intersecton όπως παρακάτω : BD 8,a,,l,n,r< ενώ η ένωση των δύο συνόλων, µε την µαθηµατική έννοια γίνεται µέσω της συνάρτησης Unon : BD 8,a,A,b,c,C,e,f,g,,l,L,n,o,r,s,t,u,v< Παρατηρήστε ότι τα κεφαλαία και τα µικρά γράµµατα επειδή έχουν διαφορετική κωδικοποίηση στον Η/Υ θεωρούνται διαφορετικά γράµµατα. Αν θέλουµε να δούµε το πλήθος φορών που εµφανίζεται o χαρακτήρας a στην λίστα Α θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε την συνάρτηση Count όπως παρακάτω : "a"d Πραγµατικοί και Μιγαδικοί αριθµοί Άσκηση. Να υπολογιστούν συµβολικά αλλά και προσεγγιστικά οι παρακάτω παραστάσεις στο Mathematca : π π sn,cos, e, e 6 π π 6 Απάντηση. Στόχος της άσκησης αυτής είναι να εξοικειώσει τον φοιτητή µε γνωστές σταθερές στο Mathematca. Πολύ χρήσιµες µπορούν για τον σκοπό αυτό να φανούν οι παλέτες που διαθέτει το Mathematca και στις οποίες µπορεί να έχει πρόσβαση ο

3 φοιτητής κάνοντας την επιλογή Fle->Palettes->(BascInput, BascTpesettng κ.λ.π.). Επιλέγοντας εικονίδια από τις παλέτες µπορεί να δηµιουργήσει και την πιο σύνθετη έκφραση. Παρακάτω δίνουµε την µορφή µερικών από αυτές : BascInput Basc Calculatons Basc Tpesettng Στο παράδειγµα µας θα µπορούσαµε να βρούµε την συνάρτηση του ηµίτονου (Sn[]) και του συνηµίτονου (Cos[]) από την παλέτα Basc Calculatons :

4 Επιλέγοντας τα δεξιά τριγωνικά βέλη, οδηγούµαστε σε υποµενού, ενώ επιλέγοντας τα κάτω τριγωνικά βέλη αναδιπλώνουµε τα µενού που έχουν σχηµατισθεί. Κάνοντας κλίκ στη συνάρτηση Sn[] εµφανίζεται η συνάρτηση του ηµιτόνου που αναζητούµε. Καλό όµως θα είναι να εξοικειωθούµε µε µερικές γνωστές συναρτήσεις. Σταθερές όπως το π (P) και το e (E) µπορούµε να τις επιλέξουµε από την παλέτα BascInput. Έτσι η λύση στο παράδειγµα που ψάχνουµε θα είναι : SnA π E + è!!! è!!! Μια αριθµητική προσέγγιση του παραπάνω µπορούµε να πάρουµε χρησιµοποιώντας την συνάρτηση Ν[παράσταση] ή Ν[παράσταση, πλήθος σηµαντικών ψηφίων] : NASnA π E,E Έτσι για τα υπόλοιπα θα έχουµε : 9CosA P 6 E, π, π 6 = è!!! :, πê, πê6 > ,.788. π, π = Παραπάνω χρησιµοποιήσαµε το {} για να σχηµατίσουµε µια λίστα µε αντικείµενα τις παραστάσεις, ενώ στη συνέχεια χρησιµοποιήσαµε το σύµβολο % για να αναφερθούµε στο αποτέλεσµα της προηγούµενης παράστασης (προκειµένου να µην την ξαναγράψουµε). Θα µπορούσαµε να αναφερθούµε στην προ-προηγούµενη παράσταση µε το σύµβολο %% ή στην παράσταση που έχει µπροστά της τον συµβολισµό Out[] µε τον χαρακτηρισµό % π.χ. Ν[%].

5 . Απεικονίσεις Άσκηση. Να ορισθεί η συνάρτηση f x = x 5x+ 6 ( ) και στη συνέχεια να εµφανίσετε τις εικόνες των {,,5 }. Απάντηση. Η συνάρτηση θα ορισθεί µε τον παρακάτω τρόπο : := x 5 x+ 6 Το σύµβολο _ στο όρισµα της συνάρτησης δηλώνει ότι η συνάρτηση θα υπολογίζεται για κάθε x. Στην θέση δηλαδή του x µπορεί να µπει οποιοσδήποτε αριθµός αλλά και οποιαδήποτε παράσταση. Παρατηρούµε ότι ανάµεσα στο όνοµα της συνάρτησης και την τιµή της υπάρχει το := το οποίο δηλώνει ότι η τιµή της παράστασης θα υπολογισθεί εφόσον τοποθετηθεί το x και µετά (εκ των υστέρων) σε αντίθεση µε το σύµβολο = το οποίο πρώτα υπολογίζει την τιµή της συνάρτησης (µε τον ορισµό της) και στη συνέχεια γίνεται απλώς αντικατάσταση του x. = ExpandAHx+ L E + x+ x D + H + al + H + al := ExpandAHx+ L E D a Για να υπολογίσουµε τις τιµές της συνάρτησης για τα στοιχεία της λίστας {,,5} χρησιµοποιούµε την συνάρτηση Map[συνάρτηση, λίστα] 8,, 5<D 86,, 6< Παρατηρήστε ότι χρησιµοποιώ µόνο το όνοµα της συνάρτησης f και όχι f[x]..4 Πολυώνυµα και πολυωνυµικές εξισώσεις Τα πολυώνυµα στο MATHEMATICA. Οι συναρτήσεις Expand[] και Factor[] µας βοηθούν όπως φαίνεται και στο παρακάτω παράδειγµα στην εύρεση του αναπτύγµατος και στην παραγοντοποίηση παραστάσεων, όχι κατά ανάγκη πολυωνυµικών πάντα. Παράδειγµα. α) Να υπολογισθεί το ανάπτυγµα του ( x + ) 5, β) Να παραγοντοποιηθεί το πολυώνυµο ( a b) ( b c) ( c a) + +, γ) Να βρεθεί η λύση της πολυωνυµικής εξίσωσης ( x ) 5( x 5) 8( x 8) Απάντηση = +,

6 α) Το ανάπτυγµα µιας παράστασης υπολογίζεται µε την συνάρτηση Expand[παράσταση]. ExpandAHx+ L 5 E + 5x+ x + x + 5x 4 + x 5 β) Η παραγοντοποίηση µιας παράστασης υπολογίζεται µε την συνάρτηση Factor[παράσταση]. FactorAHa bl + Hb cl + Hc al E Ha blha clhb cl γ) Η επίλυση µιας πολυωνυµικής εξίσωσης γίνεται µε την Solve[εξίσωση,µεταβλητή]. SolveA Hx+ L + 5 Hx+ 5L 8 Hx+ 8L,xE 88x 6<< Θα πρέπει να παρατηρήσετε προσεχτικά την σύνταξη της Solve : α) το πρώτο όρισµα είναι η εξίσωση στην οποία έχω δύο ίσον (==), β) το δεύτερο όρισµα είναι η µεταβλητή ως προς την οποία θα λύσω την εξίσωση. Θα µπορούσα να έχω και σύστηµα εξισώσεων π.χ. SolveA9 x + == 4, x == =, 8x, <E 88x, << όπου τώρα οι εξισώσεις και τα ορίσµατα τοποθετούνται µέσα σε άγκιστρο. Στην περίπτωση που η συνάρτηση Solve δεν µπορέσει να λύσει συµβολικά το πρόβληµα, τότε χρησιµοποιούµε την NSolve µε την ίδια ακριβώς σύνταξη, ενώ αν η εξίσωση δεν λύνεται αλγεβρικά χρησιµοποιούµε την FndRoot δίνοντας µια αρχική προσέγγιση της ρίζας της εξίσωσης : SolveAx x 5 + x 4 + x + x + x+, xe 88x # + # + # + # 4 + 5# 5 + # 6 &, D<, 8x # + # + # + # 4 + 5# 5 + # 6 &, D<, 8x # + # + # + # 4 + 5# 5 + # 6 &, D<, 8x # + # + # + # 4 + 5# 5 + # 6 &, 4D<, 8x # + # + # + # 4 + 5# 5 + # 6 &, 5D<, 8x # + # + # + # 4 + 5# 5 + # 6 &, 6D<< Η συνάρτηση Root[f,] αναφέρεται στην ρίζα της εξίσωσης f[x]=. NSolveAx x 5 + x 4 + x + x + x+, xe 88x 4.886<, 8x.6965<, 8x <, 8x <, 8x <, 8x << x == <, 8x, <D Solve ::tdep : The equatons appear to nvolve the varables to be solved for n an essentall non algebrac wa. More + x <, 8x, <D

7 x == <, 8x, <, 8, <D 8x.78497,.659< Ας προσπαθήσουµε να λύσουµε το παράδειγµα.5.. µε την βοήθεια της συνάρτησης Root[f,]. Παράδειγµα. Έστω ότι a, a, a C είναι οι ρίζες του πολυωνύµου f( x) = x + x + x+ 4. a. Υπολογίστε την παράσταση + +. a a a b. Να βρεθεί ένα πολυώνυµο που έχει ρίζες τις,, a a a Απάντηση α) In[]:= # + # + #+ 4 &,D + # + # + #+4 &, D + # + # êê Smplf + #+ 4&, D Out[]= - 4 β) In[]:= s Out[]= # + # s + #+ 4&, D { # +# s + #+ 4 &, D { # + # êêsmplf + #+ 4&, D { 4 I4s +s +s + M Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την εντολή Root[] για να απεικονίσουµε τις ρίζες µιας πολυωνυµικής εξίσωσης, όπως φαίνεται παρακάτω : In[]:= n = 5; s = n -, DD, n -, DD<, 8,,n<D; Η παραπάνω εντολή δηµιουργεί µια λίστα µε το πραγµατικό και φανταστικό µέρος 5 των ριζών της εξίσωσης = (αλλάζοντας το n, µπορούµε να ενεργήσουµε αντίστοιχα για µεγαλύτερου βαθµού εξισώσεις).

8 In[]:= PlotStle AspectRato D Η παραπάνω εντολή απεικονίζει τα σηµεία µε µέγεθος. και κρατάει την αναλογία των αξόνων x- σταθερη και ίση µε. Παρακάτω δίνουµε ένα ακόµα παράδειγµα για n= (τι παρατηρείται ;) In[]:= n = ; s = n -, DD, n -, DD<, 8,,n<D; In[4]:= PlotStle AspectRato D Η εύρεση του πηλίκου και υπόλοιπου διαίρεσης πολυωνύµων γίνεται µε τις συναρτήσεις PolnomalQuotent[] και PolnomalRemader[]. Έστω για παράδειγµα ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης των 4 πολυώνυµων f ( x) = x x + x, gx ( ) = x. Θα έχουµε :

9 In[]:= PolnomalQuotentAx 4 x + x, x, xe Out[]= x - x + In[]:= PolnomalRemanderAx 4 x + x, x, xe Out[]= x-.5 Μαθηµατική επαγωγή Άσκηση 5. Να δειχθεί η σχέση n = n n+ n+ ( ) Απάντηση. Το Mathematca δεν είναι σε θέση να αποδεικνύει σχέσεις, αλλά µπορεί να υπολογίζει παραστάσεις. Συνεπώς στην παραπάνω παράσταση µπορούµε µε την συνάρτηση Sum[όρος,{µεταβλητή,αρχή,τέλος}] να υπολογίσουµε το άθροισµα που βρίσκεται αριστερά του ίσον : SumA, 8,, n<e H+ L n + n αποδεικνύοντας το ζητούµενο της άσκησης. Ο παραπάνω τρόπος δεν δουλεύει όµως σε όλες τις ασκήσεις, όπου η επαγωγή είναι απαραίτητη. Ας υποθέσουµε για n παράδειγµα ότι θέλουµε να δείξουµε ότι > n+, n. Η συνάρτηση του Mathematca η οποία λύνει ανισότητες είναι η InequaltSolve[] (έχει την ίδια σύνταξη µε την Solve[]) η οποία όµως βρίσκεται στο πακέτο συναρτήσεων Algebra, το οποίο θα πρέπει πρώτα να καλέσουµε προκειµένου να εκτελέσουµε την συνάρτηση αυτή ( εν υπάρχουν όλες οι συναρτήσεις φορτωµένες στον πυρήνα του Mathematca. Ένα σύνολο συναρτήσεων θα πρέπει να καλούνται ξεχωριστά.) Συνεπώς θα έχουµε : << Algebra` n > n+, nd InequaltSolve ::np : A nonpolnomal equaton or nequalt encountered. The soluton set ma be ncorrect. n > Το σύµβολο //Ν που εµφανίζεται στο τέλος της εντολής δηλώνει ότι θα πρέπει στην εντολή να εφαρµοσθεί η συνάρτηση Ν[], δηλαδή να πάρουµε προσεγγιστικά αποτελέσµατα. Η παραπάνω απάντηση αφήνει ανοικτό το ενδεχόµενο τα αποτελέσµατα να µην είναι σωστά µιας και έχουµε µια µη πολυωνυµική ανίσωση. Η n γραφική παράσταση της n µας δίνει επίσης µια εικόνα για το αν η ανισότητα ικανοποιείται η όχι χωρίς όµως να εγγυάται τα αποτελέσµατα µιας και δεν µπορούµε να εξαντλήσουµε το πεδίο τιµών της συνάρτησης : n n, 8n,, 5<D

10 Η συνάρτηση Plot[] δέχεται ως πρώτο όρισµα την συνάρτηση f(n) και ως δεύτερο όρισµα το πεδίο τιµών της συνάρτησης (το n παίρνει τιµές από έως 5). Άσκηση 6. Να δειχθεί ότι δεν ισχύει η παρακάτω εικασία : «Οι αριθµοί της µορφής p όπου p πρώτος αριθµός είναι πρώτοι» Απάντηση. Παρόλο που το Mathematca δεν µπορεί να αποδείξει µε επαγωγή τις σχέσεις που του δίνουµε, µπορεί παρόλα αυτά να απορρίψει εικασίες που του ζητάµε να δείξει ότι δεν ισχύουν. Στο παραπάνω παράδειγµα θα µπορούσαµε να δίνουµε τιµές στον p από τους πρώτους αριθµούς και να ελέγχουµε αν οι αριθµοί της µορφής p είναι πρώτοι. Θα σταµατήσουµε όταν βρούµε τον πρώτο µη πρώτο αριθµό. Οι συναρτήσεις που θα µας χρειασθούν είναι οι : α) Prme[] που υπολογίζει τον πρώτο πρώτο αριθµό, και β) PrmeQ[] που ελέγχει αν ο είναι πρώτος αριθµός, απαντώντας µε True ή False αντίστοιχα. = ; WhleAPrmeQA E, ++E; FactorIntegerA E 5 88, <, 889, << Στην πρώτη γραµµή του προγράµµατος δίνουµε στο I την τιµή, ώστε να ξεκινήσει ο έλεγχος από τον αριθµό όπου Prme[]=. Στην δεύτερη γραµµή, όσο ο Pr me[ ] αριθµός είναι πρώτος, προχωρούµε επιλέγοντας τον επόµενο πρώτο πρώτο αριθµό θέτοντας ++ ή ισοδύναµα =+ (δηλ. την επόµενη τιµή του ). Στην Τρίτη γραµµή εκτυπώνουµε ποιος στη σειρά από τους πρώτους αριθµούς είναι αυτός για τον οποίο δεν ικανοποιείται η εικασία (είναι ο 5 ος δηλ. Prme[5]=*89). Μπορείτε να υπολογίσετε ποιος είναι ο αµέσως επόµενος αριθµός για τον οποίον δεν ικανοποιείται η εικασία ;

11 Κεφάλαιο. Γραµµικά συστήµατα.. Γραµµικά συστήµατα. Άσκηση. Να λυθεί το παρακάτω σύστηµα : ax + + = x + a + = a x + + a = a Να γίνει πλήρης διερεύνηση για τις τιµές του α. Απάντηση. Η συνάρτηση που επιλύει συστήµατα είναι η Solve[] η οποία δέχεται δύο ορίσµατα : α) την(ις) εξίσωση(εις) που θέλουµε να επιλύσουµε, και β) την(ις) µεταβλητή(ές) ως προς τις οποίες θέλουµε να λύσουµε την εξίσωση(εις). Στην περίπτωση που έχουµε πάνω από µια εξισώσεις θα πρέπει να τις τοποθετήσουµε σε άγκιστρο. Το ίδιο ισχύει και για τις µεταβλητές ως προς τις οποίες θέλουµε να πάρουµε την λύση. Η συνάρτηση Solve[] δεν κάνει διερεύνηση. Αντίθετα η συνάρτηση Reduce[] που έχει την ίδια σύνταξη µε την Solve[] κάνει επιπλέον και διερεύνηση. ReduceA9ax+ +, x + a+ a, x + + a a =, 8x,, <E a && x»» H + alh + al &&x a && + x&& ax + a Παρατηρήστε ότι µεταξύ των a,x αφήνω ένα κενό το οποίο το Mathematca το καταλαβαίνει ως το σύµβολο του πολ/µου. ιαφορετικά θα µπορούσα να χρησιµοποιήσω τον τελεστή του πολ/µου *. Επίσης δεν χρησιµοποιώ το σύµβολο της ισότητας =, αλλά δύο φορές τον τελεστή αυτόν = =. Ο τελεστής της δύναµης είναι ο ^ ή µπορώ να χρησιµοποιήσω τον συνδυασµό των πλήκτρων Ctrl+^. Η λύση που έχω είναι : α) όταν α= η = x, και β) αν a ( a )( a+ ) a a η λύση είναι : x =, = + x, = ax. + a Προφανώς δεν υπάρχει λύση για α=-.. Μέθοδος απαλοιφής του Gauss. Άσκηση. Να λυθεί το παρακάτω σύστηµα µε την µέθοδο απαλοιφής του Gauss. x+ + = x+ + = 5 x = 5 Απάντηση. Το παραπάνω σύστηµα γράφεται σε µορφή πινάκων ως : x = 5 5 ίνουµε στο Mathematca, τον πίνακα Α, A X B

12 A = 88,, <, 8,, <, 8,, << - { και τον πίνακα Β, B= 88<, 85<, 85<< 5 5 { Στη συνέχεια παίρνω τον σύνθετο πίνακα M = [ A B], χρησιµοποιώντας την συνάρτηση AppendRows[] από το πακέτο συναρτήσεων LnearAlgebra του Mathematca το οποίο και καλώ πρώτα : << LnearAlgebra` M = BD 5-5{ Παρακάτω δίνουµε ένα πρόγραµµα στο Mathematca (από τον Prof. John Mathews, το οποίο εφαρµόζει την µέθοδο του Gauss. In[5]:= := ModuleA8A = A,,,p,n<, n = compound matrx s > ", ForA p=, p n, p++, = p+, n, ++, P,pT D > Pp,pT D, A P8p,<T = A P8,p<T ; row ",, " wth row ", p, " >", A P pt ", p, "LêH", pdd,"l >"D;A PpT = ; A Pp,pT =, n, ++, p, ",,"L ", " Hrow ", p, "L H ", pdd,"l >"D; A PT = A PT A P,pT A PpT ; D;E; A D;E η γραµµή. Ορισµός τοπικών µεταβλητών. η γραµµή. Υπολογισµός του πλήθους των γραµµών του πίνακα Α. 5 η γραµµή. Από την p= η ως και την p=n-οστή στήλη κάνε τα εξής : 6 η γραµµή. Από την =p+ γραµµή έως και την =n γραµµή κάνε τα εξής : 7 η γραµµή. Αν η απόλυτη τιµή του στοιχείου Α[,p] είναι απολύτως µεγαλύτερη από την απόλυτη τιµή του στοιχείου A[p,p] τότε άλλαξε την γραµµή µε την γραµµή p. 9 η γραµµή. ιαίρεσε την γραµµή p µε το στοιχείο A[p,p].

13 η γραµµή. Σε όλες τις γραµµές εκτός από την p γραµµή, αφαίρεσε την γραµµή p πολλαπλασιασµένη επί το στοιχείο A[,p]. Εφαρµόζοντας το παραπάνω πρόγραµµα θα έχουµε : The compound matrxs -> 5-5{ 5 Change row wth row -> - 5{ Hrow LêHL-> 5-5{ Hrow L- Hrow L *H L-> 5-5{ Hrow L- Hrow L *H L-> { Change row wth row -> { Hrow LêH-L-> { Hrow L- Hrow L *H L-> {

14 Hrow L- Hrow L *H L-> { Hrow LêH L-> { Hrow L- Hrow L *H 4 L-> { Hrow L- Hrow L *H 4 L-> - { - { Η λύση του παραπάνω συστήµατος προκύπτει από την τελευταία στήλη του πίνακα Μ δηλ. είναι x=, =- και =. Το παραπάνω σύστηµα θα µπορούσε να λυθεί και µε την συνάρτηση LnearSolve[] που δέχεται ως πρώτο όρισµα τον πίνακα Α και ως δεύτερο όρισµα τον πίνακα Β, BD 88<, 8 <, 8<<. Γεωµετρική σηµασία γραµµικών συστηµάτων. Άσκηση. α) Να σχεδιασθούν οι ευθείες : β) Να σχεδιασθούν οι ευθείες : x = x+ = 4 x = x =

15 γ) Να σχεδιασθούν οι ευθείες : 6x+ = 6 x = Απάντηση. α) Μπορούµε να κάνουµε χρήση της συνάρτησης ImplctPlot[], η οποία δέχεται δύο ορίσµατα : α) την(ις) εξισώση(εις) της(ων) καµπύλης(ων) που θέλουµε να σχεδιάσουµε, β) το πεδίο ορισµού για το οποίο θα γίνει η γραφική παράσταση. Η συνάρτηση ImplctPlot[] ανήκει στο πακέτο Graphcs το οποίο και θα πρέπει να καλέσουµε πρώτο. << Graphcs` x+ 4<, 8x,, <D Graphcs Παρατηρούµε ότι οι δύο παραπάνω ευθείες έχουν ένα κοινό σηµείο τοµής, το οποίο και είναι η λύση του συστήµατος των δύο εξισώσεων. Για την γραφική παράσταση των παραπάνω συναρτήσεων θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε και την συνάρτηση Plot[] που δέχεται ως πρώτο όρισµα την(ις) συνάρτηση(εις) µιας µεταβλητής που θέλουµε να σχεδιάσουµε, και ως δεύτερο όρισµα το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. Σε αντίθεση µε την συνάρτηση ImplctPlot[] που σχεδιάζει καµπύλες, που µπορεί και να µην είναι συναρτήσεις, η Plot[] σχεδιάζει µόνο συναρτήσεις. x, x+ 4<, 8x,, <D

16 Graphcs β) Όµοια ενεργούµε στην δεύτερη περίπτωση όπου διαπιστώνουµε ότι οι ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο µιας και είναι παράλληλες. x == <, 8x,, <D Graphcs - Στην περίπτωση αυτή οι δύο ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο και συνεπώς και το σύστηµα των εξισώσεων δεν έχει καµιά κοινή λύση. γ) Στο τρίτο σύστηµα θα έχουµε : 6 x+ 6, x <, 8x,, <D

17 Graphcs Στην περίπτωση αυτή οι δύο ευθείες ταυτίζονται, γεγονός που σηµαίνει ότι το σύστηµα των εξισώσεων έχει άπειρες λύσεις. Άσκηση 4. Να σχεδιασθούν τα επίπεδα : x + + = x + = x + = Απάντηση. Για την σχεδίαση συναρτήσεων µεταβλητών µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την συνάρτηση PlotD[] που δέχεται ως πρώτο όρισµα την(ις) συνάρτηση(εις) δύο µεταβλητών που θέλουµε να σχεδιάσουµε, και ως δεύτερο όρισµα το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. Επίσης µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την ParametrcPlotD[] στην οποία πρέπει να δώσουµε την παραµετρική µορφή της εξίσωσης x t, t t, t t, t και ως δεύτερο και τρίτο όρισµα το πεδίο ορισµού των ( ( ) ( ) ( ) ) t, t, ή την παραµετρική µορφή της εξίσωσης ( ( ) ( ) ( )) όρισµα το πεδίο ορισµού του t. x t t t και ως δεύτερο Σχεδιάζουµε το πρώτο επίπεδο και την γραφική παράσταση την αποθηκεύουµε στην µεταβλητή p, p = x <, 8x,, <, 8,, <D

18 GraphcsD Σχεδιάζουµε το δεύτερο επίπεδο και την γραφική παράσταση την αποθηκεύουµε στην µεταβλητή p, p = x, <, 8x,, <, 8,, <D GraphcsD.5 Σχεδιάζουµε το τρίτο επίπεδο και την γραφική παράσταση την αποθηκεύουµε στην µεταβλητή p, p = x + <, 8x,, <, 8,, <D

19 GraphcsD Εµφανίζουµε όλες τις γραφικές παραστάσεις µαζί, p, pd

20 GraphcsD Παρατηρούµε ότι τα επίπεδα τέµνονται σε µια ευθεία. Πράγµατι αν λύσουµε το x x, x. σύστηµα, θα έχουµε ότι η λύση του συστήµατος είναι η ευθεία ( ) +, x +, x + <, 8x,, <D x&& Μπορείς να γράψεις ένα σύστηµα εξισώσεων µε αγνώστους και να δείξεις γραφικά ότι τα επίπεδα που περιγράφονται από τις εξισώσεις δεν τέµνονται σε κάποιο κοινό σηµείο;

21 Κεφάλαιο. Πίνακες -4. Πρόσθεση πινάκων, γινόµενο πίνακα µε αριθµό, γινόµενο πινάκων, αντίστροφος πίνακας. Άσκηση. ίνονται οι πίνακες A= 4 ; B= 4 5 Να υπολογιστούν οι πίνακες : α) A+ B β) * A γ) A* B, B* A δ) A, B Απάντηση. Οι τελεστές που χρησιµοποιούµαι για την πρόσθεση, αφαίρεση και γινόµενο πινάκων είναι +,- και. αντίστοιχα. Ο πίνακας στο Mathematca είναι µια λίστα που έχει ως αντικείµενα λίστες µε τα στοιχεία των γραµµών του πίνακα. Έτσι θα ορίσουµε πρώτα τους πίνακες µας Α, Β, A = 88,, <, 8,, 4<, 8, 4, 5<< 4 4 5{ B= 88,, <, 8,, <, 8,, << { Στη συνέχεια υπολογίζουµε το άθροισµα των πινάκων A+ B { Το σύµβολο // µας λέει να εφαρµόσουµε την συνάρτηση που υπάρχει στα δεξιά του, στο αποτέλεσµα που θα έχουµε από την πρόσθεση των δύο πινάκων. Η συνάρτηση MatrxForm[] εµφανίζει το αποτέλεσµα σε µορφή πίνακα. Το γινόµενο του πίνακα Α µε το είναι : A { Τα γινόµενα Α*Β και Β*Α είναι αντίστοιχα : A.B

22 { B.A { Παρατήρησε ότι ο τελεστής που χρησιµοποιούµε είναι. αντί *. Το * σε αντίθεση µε το. θα δηµιουργήσει τον πίνακα C που θα έχει ως στοιχεία τα c = a * b αντί του c = = a b που έχουµε στο γινόµενο των δύο πινάκων. Ο αντίστροφος των πινάκων Α,Β υπολογίζεται µε την συνάρτηση Inverse[], 4 και { Inverse::sng : "Matrx 4 ssngular. \!\H \L, ButtonData:> General::sng, ButtonStle-> RefGudeLnText, ButtonFrame-> None D\L 4 5{ { Το µήνυµα που πήραµε για τον πίνακα Α είναι ότι είναι sngular δηλ. έχει ορίζουσα και συνεπώς δεν αντιστρέφεται. Μπορούµε κάλλιστα να υπολογίσουµε την ορίζουσα του πίνακα Α µε την συνάρτηση Det[]. Άσκηση. Στον παρακάτω χάρτη βλέπουµε τους τρόπους µε τους οποίους συνδέονται αεροπορικώς οι πόλεις,,,4,5, Ο παρακάτω πίνακας παριστάνει τον τρόπο σύνδεσης των κόµβων,,,4,5,6 : 5

23 A = Ο πίνακας έχει διάσταση 6 όσοι και οι κόµβοι και επιπλεόν το στοιχείο του a, έχει την τιµή αν µπορούµε να πάµε αεροπορικώς από την πόλη στην πόλη και αν δεν µπορούµε να πάµε. Ο συνολικός αριθµός των συνδέσεων µεταξύ δύο κόµβων αν χρησιµοποιήσουµε έναν επιπλεόν σταθµό δηλ. έχουµε δύο συνδέσεις µεταξύ των, είναι : a = a a + a a + a a + a a + a a + a a Συνεπώς ο πίνακας A = a, µας δίνει τον συνολικό αριθµό των συνδέσεων µεταξύ δύο κόµβων όταν χρησιµοποιούµε υποχρεωτικά έναν ενδιάµεσο σταθµό. Άρα ο συνολικός αριθµός των συνδέσεων µεταξύ δύο κόµβων όταν χρησιµοποιούµε έναν ενδιάµεσο σταθµό ή όταν η σύνδεση γίνει απευθείας θα δίνεται από τα στοιχεία του πίνακα A+ A. Παρόµοια ο συνολικός αριθµός των συνδέσεων µεταξύ δύο κόµβων όταν χρησιµοποιούµε δύο ενδιάµεσους σταθµούς, ή έναν ενδιάµεσο σταθµό ή όταν η σύνδεση γίνει απευθείας θα δίνεται από τα στοιχεία του πίνακα A+ A + A. Να υπολογιστούν οι δυνατοί αριθµοί σύνδεσης για την τελευταία αυτή περίπτωση δηλ. να υπολογιστούν τα στοιχεία του πίνακα A+ A + A. Απάντηση. Η δύναµη ενός πίνακα δίνεται από την συνάρτηση MatrxPower[] η οποία δέχεται ως πρώτο όρισµα τον πίνακα του οποίου θέλουµε να υπολογίσουµε την δύναµη και ως δεύτερο όρισµα την δύναµη την οποία θέλουµε να υπολογίσουµε. Έτσι θα έχουµε : A = 8 8,,,,, <, 8,,,,, <, 8,,,,, <, 8,,,,, <, 8,,,,, <, 8,,,,, <<; Μπορούµε να πατάµε το πλήκτρο ENTER για να αλλάζουµε γραµµή χωρίς να εκτελούµε την συνάρτηση που γράφουµε. Το ερωτηµατικό στο τέλος της γραµµής είναι για να µην εµφανίζονται τα αποτελέσµατα. Το άθροισµα που ψάχνουµε να βρούµε είναι : A+ D + D êêmatrxform {

24 ή αν χρησιµοποιήσουµε την εντολή Sum[], που δέχεται ως πρώτο όρισµα την ακολουθία την οποία θέλουµε να αθροίσουµε και ως δεύτερο όρισµα την µεταβολή του δείκτη, θα έχουµε : D, 8,, <D êê MatrxForm { Άσκηση. Στην άσκηση αυτή θα δείξουµε την εφαρµογή που έχουν οι πράξεις πινάκων στον κόσµο των γραφικών. Θεωρείστε το δωδεκάεδρον, το οποίο δίνεται από την συνάρτηση Dodecahedron[] που ανήκει στο πακέτο Graphcs. << Graphcs`Polhedra` GraphcsD Το συγκεκριµένο σχήµα αποτελείται από πολύγωνα µε συγκεκριµένες συντεταγµένες το καθένα, τις οποίες τις αποθηκεύουµε στην µεταβλητή s : s=

25 8.8,.684,.8565<, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<<D, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.684,.8<<D, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<<D, 8.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.,.8565<<D, 8.546,.,.8<, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<<D, 8.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.8,.684,.8565<<D, 8.546,.,.8<, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<<D, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<<D, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<<D, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<<D, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, ,.,.8565<, 8.546,.,.8<<D, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<<D< Μπορούµε να διώξουµε την συνάρτηση Polgon[] από την παραπάνω λίστα µε την συνάρτηση Flatten[], s = PolgonD ,.8966,.8565<, 8.8,.684,.8565<, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<<, ,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.684,.8<<, ,.8966,.8565<, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<<, 88.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.,.8565<<, ,.,.8565<, 8.546,.,.8<, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<<, 88.49,.,.8<, 8.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.8,.684,.8565<<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<<, 88.49,.,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<<, ,.,.8<, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<<, 88.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<<, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, ,.,.8565<, 8.546,.,.8<<, 88.8,.684,.8565<, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<<< Η παραπάνω λίστα αποτελείται από εξάδες από λίστες. Μπορούµε να καταργήσουµε τις εξάδες αυτές όπως φαίνεται παρακάτω : s = D

26 88.557,.8966,.8565<, 8.8,.684,.8565<, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.,.8565<, ,.,.8565<, 8.546,.,.8<, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<, 8.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.8,.684,.8565<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<, 8.49,.,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, ,.,.8565<, 8.546,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<< Η µεγέθυνση ενός σχήµατος ως προς τις συντεταγµένες [ x ] T γίνεται µέσω του παρακάτω πολ/µου : ' x a x ' b ' c Έτσι θα έχουµε µεγέθυνση α φορές ως προς τον άξονα xx, b φορές ως προς τον άξονα και c φορές ως προς τον άξονα. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι θέλουµε να µεγεθύνουµε το παραπάνω σχήµα φορές ως προς τον άξονα xx. Θα έχουµε λοιπόν: s4 = 88,, <, 8,, <, 8,, Θα πρέπει τις λίστες σηµείων που έχουµε πάρει να τις χωρίσουµε πάλι σε πεντάδες (µέσω της εντολής Partton[]) και να εφαρµόσουµε την συνάρτηση Polgon[] σε κάθε πεντάδα, ώστε να σχηµατιστούν οι έδρες του πολυγώνου. s5 = Τελικά θα έχουµε το παρακάτω σχήµα : GraphcsD

27 Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να µετακινήσουµε το αρχικό σχήµα κατά το διάνυσµα s = [ ] T. Τότε θα πρέπει να εφαρµόσουµε τον κανόνα : ' x x ' = + ' Θα έχουµε δηλαδή, εφαρµόζοντας την ίδια διαδικασία : s= s = PolgonD; s = D; s4 = <, 86<DD + s5 = GraphcsD Παρατήρησε ότι στην 4 η εντολή προσθέσαµε στα σηµεία µας έναν πίνακα διαστάσεως 6x (όσα και τα σηµεία του δωδεκάεδρου (το υπολογίζουµε µε την συνάρτηση Length[])) που κάθε του γραµµή είναι το διάνυσµα s. Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να στρίψουµε το αρχικό σχήµα ως προς τον άξονα, κατά γωνία θ = 45. Τότε θα πρέπει να εφαρµόσουµε τον κανόνα : ' x x cos( θ) sn( θ) x ' = ' sn( θ) cos( θ) Θα έχουµε δηλαδή, εφαρµόζοντας την ίδια διαδικασία : s= s = PolgonD; s = D; s4 = 4D,, 4D<, 8,, <, 8 4D,, s5 = 5DD;

28 GraphcsD ή θα µπορούσα να έχω συνδυασµό των παραπάνω δύο περιπτώσεων : s= s = PolgonD; s = D; s4 = <, 86<DD + s5 = 4D,, 4D<, 8,, <, 8 4D,, ê 4D<<.s4; s6 = GraphcsD Προσπαθήστε να εφαρµόσετε τον κανόνα ' x x cos( θ) sn( θ) x ' sn( θ) cos( θ) = ' για να στρέψετε το αρχικό σχήµα κατά γωνία θ = ως προς τον άξονα.

29 5. Πίνακες και γραµµικά συστήµατα. Άσκηση 4. Στο παρακάτω σχήµα δίνονται οι χρωµατισµοί των pxels µιας εικόνας ως τριάδα αριθµών (αριθµοί που αναπαριστούν την ποσότητα του χρώµατος σε κόκκινο, πράσινο και µπλέ). Στην προσπάθεια µας να βελτιώσουµε την ανάλυση της εικόνας µπορούµε να προσθέσουµε επιπλέον pxels X,=,,,4 των οποίων η χρωµατική τριάδα προκύπτει από την µέση τιµή της χρωµατικής τριάδας των 4 γειτονικών pxels. Προσπαθήστε να υπολογίσετε την χρωµατική τριάδα των X, =,,,4. Υπόδειξη. Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε έναν καινούριο τύπο δεδοµένων που θα περιέχει τις αναλογίες των τριών χρωµάτων (κόκκινο, πράσινο και µπλέ) ενός pxel. (,,) (,9,) (,9,) (,9,) (,,) X X (,8,4) (,,) X X 4 (,8,4) (,,) (,,) (,,) (,,) Απάντηση. Η τριάδα χρωµάτων αφορά τα χρώµατα (κόκκινο, πράσινο, µπλέ). Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να υπολογίσουµε τις αποχρώσεις του κόκκινου σε κάθε εσωτερικό σηµείο, η οποία είναι ίση µε τον µέσο όρο της απόδοσης του κόκκινου των 4 γειτονικών σηµείων. Στηριζόµενοι στην παραπάνω ιδιότητα, και προκειµένου να υπολογίσουµε την αναλογία του χρώµατος στα σηµεία X,X,X,X 4, θα πρέπει να επιλύσουµε το παρακάτω σύστηµα εξισώσεων : x = ( + + x + x) 4 x x 4 x = ( x+ + + x4) x 4 x 4 = + x 4 x 4 4 x ( x x4 ) = x4 x4 4 X A X B x4 = ( x + x + + ) 4 Ορίζουµε τον πίνακα Α, A = Hê4L 88,,, <, 8,,, <, 8,,, <, 8,,, << { τον πίνακα Β,

30 B= Hê4L 884<, 84<, 84<, 84<< { και τον πίνακα Χ, X = 88x <, 8x <, 8x <, 8x 4 << x x x x 4 { και λύνουµε το σύστηµα που δηλώσαµε παραπάνω, == A.X + B, 8x,x,x,x 4 <D 88x, x, x, x 4 << ή == A.X + B, 88x, x, x, x 4 << Ο πολλαπλασιασµός πινάκων γίνεται µε τον τελεστή «.». Η εντολή Flatten[], διώχνει (ισοπεδώνει) τα επιµέρους άγκιστρα από την λίστα του Χ π.χ. 8x,x,x,x 4 < Προσπάθησε να υπολογίσεις µε παρόµοιο τρόπο την αναλογία των υπολοίπων χρωµάτων στα σηµεία X,X,X,X 4. Τον ρόλο των χρωµατισµών θα µπορούσε κάλλιστα να παίξει η θερµοκρασία σε µια ράβδο, όπου τα άκρα της ράβδου έχουν συγκεκριµένη θερµοκρασία. Παράδειγµα. ίνονται οι πίνακες A =, B = Να υπολογιστούν οι πίνακες A, B µε την βοήθεια της εντολής RowReduce[] αλλά και της συναρτήσεως GaussJordan[] που δηµιουργήσαµε σε προηγούµενο κεφάλαιο. Απάντηση. Ορίζουµε τους πίνακες A = 88,, <, 8,, <, 84,, 8<< - 4 8{ B= {

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

10 ιαγωνιοποίηση Σελίδα 1 από 62. Κεφάλαιο 10 1 ιαγωνιοποίηση

10 ιαγωνιοποίηση Σελίδα 1 από 62. Κεφάλαιο 10 1 ιαγωνιοποίηση ιαγωνιοποίηση Σελίδα από 6 Κεφάλαιο ιαγωνιοποίηση Κεφάλαιο... ιαγωνιοποίηση.... ιαγωνιοποίηση.... Εφαρµογές της διαγωνιοποίησης πινάκων....4.. υνάµεις πινάκων...4.. Εξισώσεις διαφορών...5.. ιαφορικές εξισώσεις......4

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή Μια από τις εργασίες που µπορούµε να κάνουµε µε τον υπολογιστή είναι και η ζωγραφική. Για να γίνει όµως αυτό πρέπει ο υπολογιστής να είναι εφοδιασµένος µε το κατάλληλο πρόγραµµα.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

= x. = x1. math60.nb

= x. = x1. math60.nb MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Χώρος Φάσεων : Επίπεδο (, Φασικές Τροχιές : Επίπεδες µονοπαραµετρικές καµπύλες (t (t χωρίς εγκάρσιες τοµές. Οι φασικές τροχιές µπορούν να υπολογιστούν από

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ 4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ Ευθείες γραµµές και παραβολικά τµήµατα µπορούν να µοντελοποιηθούν µε τη χρήση κυβικών πολυωνυµικών τµηµάτων. Τα κυκλικά ελλειπτικά ή υπερβολικά τµήµατα όµως προσεγγίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα