6. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕ MATHEMATICA. 49

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "6. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕ MATHEMATICA. 49"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. n ΚΑΙ n ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕ MATHEMATICA ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΣΤΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 6. ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ. 69. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. 89

2 Κεφάλαιο. Εισαγωγή Σύνολα Άσκηση. (Πράξεις µεταξύ συνόλων) Θεωρείστε τις παρακάτω δύο εκφράσεις : Lnear Algebra Calculus of varatons Να δηµιουργηθούν δύο σύνολα Α,Β που το καθένα θα περιέχει τα γράµµατα που παρουσιάζονται σε κάθε έκφραση. Στη συνέχεια να βρεθεί η τοµή των συνόλων και η ένωση των συνόλων Α,Β καθώς και τον αριθµό φορών που εµφανίζεται το κάθε γράµµα στις παραπάνω εκφράσεις. Απάντηση. Η εντολή Characters µας επιτρέπει να πάρουµε σε µορφή λίστας τα γράµµατα που απαρτίζουν µια έκφραση. Έτσι θα έχουµε A = Algebra"D 8L,, n, e, a, r,, A, l, g, e, b, r, a< B= of varatons"d Η τοµή των δύο συνόλων γίνεται µε την συνάρτηση Intersecton όπως παρακάτω : BD 8,a,,l,n,r< ενώ η ένωση των δύο συνόλων, µε την µαθηµατική έννοια γίνεται µέσω της συνάρτησης Unon : BD 8,a,A,b,c,C,e,f,g,,l,L,n,o,r,s,t,u,v< Παρατηρήστε ότι τα κεφαλαία και τα µικρά γράµµατα επειδή έχουν διαφορετική κωδικοποίηση στον Η/Υ θεωρούνται διαφορετικά γράµµατα. Αν θέλουµε να δούµε το πλήθος φορών που εµφανίζεται o χαρακτήρας a στην λίστα Α θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε την συνάρτηση Count όπως παρακάτω : "a"d Πραγµατικοί και Μιγαδικοί αριθµοί Άσκηση. Να υπολογιστούν συµβολικά αλλά και προσεγγιστικά οι παρακάτω παραστάσεις στο Mathematca : π π sn,cos, e, e 6 π π 6 Απάντηση. Στόχος της άσκησης αυτής είναι να εξοικειώσει τον φοιτητή µε γνωστές σταθερές στο Mathematca. Πολύ χρήσιµες µπορούν για τον σκοπό αυτό να φανούν οι παλέτες που διαθέτει το Mathematca και στις οποίες µπορεί να έχει πρόσβαση ο

3 φοιτητής κάνοντας την επιλογή Fle->Palettes->(BascInput, BascTpesettng κ.λ.π.). Επιλέγοντας εικονίδια από τις παλέτες µπορεί να δηµιουργήσει και την πιο σύνθετη έκφραση. Παρακάτω δίνουµε την µορφή µερικών από αυτές : BascInput Basc Calculatons Basc Tpesettng Στο παράδειγµα µας θα µπορούσαµε να βρούµε την συνάρτηση του ηµίτονου (Sn[]) και του συνηµίτονου (Cos[]) από την παλέτα Basc Calculatons :

4 Επιλέγοντας τα δεξιά τριγωνικά βέλη, οδηγούµαστε σε υποµενού, ενώ επιλέγοντας τα κάτω τριγωνικά βέλη αναδιπλώνουµε τα µενού που έχουν σχηµατισθεί. Κάνοντας κλίκ στη συνάρτηση Sn[] εµφανίζεται η συνάρτηση του ηµιτόνου που αναζητούµε. Καλό όµως θα είναι να εξοικειωθούµε µε µερικές γνωστές συναρτήσεις. Σταθερές όπως το π (P) και το e (E) µπορούµε να τις επιλέξουµε από την παλέτα BascInput. Έτσι η λύση στο παράδειγµα που ψάχνουµε θα είναι : SnA π E + è!!! è!!! Μια αριθµητική προσέγγιση του παραπάνω µπορούµε να πάρουµε χρησιµοποιώντας την συνάρτηση Ν[παράσταση] ή Ν[παράσταση, πλήθος σηµαντικών ψηφίων] : NASnA π E,E Έτσι για τα υπόλοιπα θα έχουµε : 9CosA P 6 E, π, π 6 = è!!! :, πê, πê6 > ,.788. π, π = Παραπάνω χρησιµοποιήσαµε το {} για να σχηµατίσουµε µια λίστα µε αντικείµενα τις παραστάσεις, ενώ στη συνέχεια χρησιµοποιήσαµε το σύµβολο % για να αναφερθούµε στο αποτέλεσµα της προηγούµενης παράστασης (προκειµένου να µην την ξαναγράψουµε). Θα µπορούσαµε να αναφερθούµε στην προ-προηγούµενη παράσταση µε το σύµβολο %% ή στην παράσταση που έχει µπροστά της τον συµβολισµό Out[] µε τον χαρακτηρισµό % π.χ. Ν[%].

5 . Απεικονίσεις Άσκηση. Να ορισθεί η συνάρτηση f x = x 5x+ 6 ( ) και στη συνέχεια να εµφανίσετε τις εικόνες των {,,5 }. Απάντηση. Η συνάρτηση θα ορισθεί µε τον παρακάτω τρόπο : := x 5 x+ 6 Το σύµβολο _ στο όρισµα της συνάρτησης δηλώνει ότι η συνάρτηση θα υπολογίζεται για κάθε x. Στην θέση δηλαδή του x µπορεί να µπει οποιοσδήποτε αριθµός αλλά και οποιαδήποτε παράσταση. Παρατηρούµε ότι ανάµεσα στο όνοµα της συνάρτησης και την τιµή της υπάρχει το := το οποίο δηλώνει ότι η τιµή της παράστασης θα υπολογισθεί εφόσον τοποθετηθεί το x και µετά (εκ των υστέρων) σε αντίθεση µε το σύµβολο = το οποίο πρώτα υπολογίζει την τιµή της συνάρτησης (µε τον ορισµό της) και στη συνέχεια γίνεται απλώς αντικατάσταση του x. = ExpandAHx+ L E + x+ x D + H + al + H + al := ExpandAHx+ L E D a Για να υπολογίσουµε τις τιµές της συνάρτησης για τα στοιχεία της λίστας {,,5} χρησιµοποιούµε την συνάρτηση Map[συνάρτηση, λίστα] 8,, 5<D 86,, 6< Παρατηρήστε ότι χρησιµοποιώ µόνο το όνοµα της συνάρτησης f και όχι f[x]..4 Πολυώνυµα και πολυωνυµικές εξισώσεις Τα πολυώνυµα στο MATHEMATICA. Οι συναρτήσεις Expand[] και Factor[] µας βοηθούν όπως φαίνεται και στο παρακάτω παράδειγµα στην εύρεση του αναπτύγµατος και στην παραγοντοποίηση παραστάσεων, όχι κατά ανάγκη πολυωνυµικών πάντα. Παράδειγµα. α) Να υπολογισθεί το ανάπτυγµα του ( x + ) 5, β) Να παραγοντοποιηθεί το πολυώνυµο ( a b) ( b c) ( c a) + +, γ) Να βρεθεί η λύση της πολυωνυµικής εξίσωσης ( x ) 5( x 5) 8( x 8) Απάντηση = +,

6 α) Το ανάπτυγµα µιας παράστασης υπολογίζεται µε την συνάρτηση Expand[παράσταση]. ExpandAHx+ L 5 E + 5x+ x + x + 5x 4 + x 5 β) Η παραγοντοποίηση µιας παράστασης υπολογίζεται µε την συνάρτηση Factor[παράσταση]. FactorAHa bl + Hb cl + Hc al E Ha blha clhb cl γ) Η επίλυση µιας πολυωνυµικής εξίσωσης γίνεται µε την Solve[εξίσωση,µεταβλητή]. SolveA Hx+ L + 5 Hx+ 5L 8 Hx+ 8L,xE 88x 6<< Θα πρέπει να παρατηρήσετε προσεχτικά την σύνταξη της Solve : α) το πρώτο όρισµα είναι η εξίσωση στην οποία έχω δύο ίσον (==), β) το δεύτερο όρισµα είναι η µεταβλητή ως προς την οποία θα λύσω την εξίσωση. Θα µπορούσα να έχω και σύστηµα εξισώσεων π.χ. SolveA9 x + == 4, x == =, 8x, <E 88x, << όπου τώρα οι εξισώσεις και τα ορίσµατα τοποθετούνται µέσα σε άγκιστρο. Στην περίπτωση που η συνάρτηση Solve δεν µπορέσει να λύσει συµβολικά το πρόβληµα, τότε χρησιµοποιούµε την NSolve µε την ίδια ακριβώς σύνταξη, ενώ αν η εξίσωση δεν λύνεται αλγεβρικά χρησιµοποιούµε την FndRoot δίνοντας µια αρχική προσέγγιση της ρίζας της εξίσωσης : SolveAx x 5 + x 4 + x + x + x+, xe 88x # + # + # + # 4 + 5# 5 + # 6 &, D<, 8x # + # + # + # 4 + 5# 5 + # 6 &, D<, 8x # + # + # + # 4 + 5# 5 + # 6 &, D<, 8x # + # + # + # 4 + 5# 5 + # 6 &, 4D<, 8x # + # + # + # 4 + 5# 5 + # 6 &, 5D<, 8x # + # + # + # 4 + 5# 5 + # 6 &, 6D<< Η συνάρτηση Root[f,] αναφέρεται στην ρίζα της εξίσωσης f[x]=. NSolveAx x 5 + x 4 + x + x + x+, xe 88x 4.886<, 8x.6965<, 8x <, 8x <, 8x <, 8x << x == <, 8x, <D Solve ::tdep : The equatons appear to nvolve the varables to be solved for n an essentall non algebrac wa. More + x <, 8x, <D

7 x == <, 8x, <, 8, <D 8x.78497,.659< Ας προσπαθήσουµε να λύσουµε το παράδειγµα.5.. µε την βοήθεια της συνάρτησης Root[f,]. Παράδειγµα. Έστω ότι a, a, a C είναι οι ρίζες του πολυωνύµου f( x) = x + x + x+ 4. a. Υπολογίστε την παράσταση + +. a a a b. Να βρεθεί ένα πολυώνυµο που έχει ρίζες τις,, a a a Απάντηση α) In[]:= # + # + #+ 4 &,D + # + # + #+4 &, D + # + # êê Smplf + #+ 4&, D Out[]= - 4 β) In[]:= s Out[]= # + # s + #+ 4&, D { # +# s + #+ 4 &, D { # + # êêsmplf + #+ 4&, D { 4 I4s +s +s + M Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την εντολή Root[] για να απεικονίσουµε τις ρίζες µιας πολυωνυµικής εξίσωσης, όπως φαίνεται παρακάτω : In[]:= n = 5; s = n -, DD, n -, DD<, 8,,n<D; Η παραπάνω εντολή δηµιουργεί µια λίστα µε το πραγµατικό και φανταστικό µέρος 5 των ριζών της εξίσωσης = (αλλάζοντας το n, µπορούµε να ενεργήσουµε αντίστοιχα για µεγαλύτερου βαθµού εξισώσεις).

8 In[]:= PlotStle AspectRato D Η παραπάνω εντολή απεικονίζει τα σηµεία µε µέγεθος. και κρατάει την αναλογία των αξόνων x- σταθερη και ίση µε. Παρακάτω δίνουµε ένα ακόµα παράδειγµα για n= (τι παρατηρείται ;) In[]:= n = ; s = n -, DD, n -, DD<, 8,,n<D; In[4]:= PlotStle AspectRato D Η εύρεση του πηλίκου και υπόλοιπου διαίρεσης πολυωνύµων γίνεται µε τις συναρτήσεις PolnomalQuotent[] και PolnomalRemader[]. Έστω για παράδειγµα ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης των 4 πολυώνυµων f ( x) = x x + x, gx ( ) = x. Θα έχουµε :

9 In[]:= PolnomalQuotentAx 4 x + x, x, xe Out[]= x - x + In[]:= PolnomalRemanderAx 4 x + x, x, xe Out[]= x-.5 Μαθηµατική επαγωγή Άσκηση 5. Να δειχθεί η σχέση n = n n+ n+ ( ) Απάντηση. Το Mathematca δεν είναι σε θέση να αποδεικνύει σχέσεις, αλλά µπορεί να υπολογίζει παραστάσεις. Συνεπώς στην παραπάνω παράσταση µπορούµε µε την συνάρτηση Sum[όρος,{µεταβλητή,αρχή,τέλος}] να υπολογίσουµε το άθροισµα που βρίσκεται αριστερά του ίσον : SumA, 8,, n<e H+ L n + n αποδεικνύοντας το ζητούµενο της άσκησης. Ο παραπάνω τρόπος δεν δουλεύει όµως σε όλες τις ασκήσεις, όπου η επαγωγή είναι απαραίτητη. Ας υποθέσουµε για n παράδειγµα ότι θέλουµε να δείξουµε ότι > n+, n. Η συνάρτηση του Mathematca η οποία λύνει ανισότητες είναι η InequaltSolve[] (έχει την ίδια σύνταξη µε την Solve[]) η οποία όµως βρίσκεται στο πακέτο συναρτήσεων Algebra, το οποίο θα πρέπει πρώτα να καλέσουµε προκειµένου να εκτελέσουµε την συνάρτηση αυτή ( εν υπάρχουν όλες οι συναρτήσεις φορτωµένες στον πυρήνα του Mathematca. Ένα σύνολο συναρτήσεων θα πρέπει να καλούνται ξεχωριστά.) Συνεπώς θα έχουµε : << Algebra` n > n+, nd InequaltSolve ::np : A nonpolnomal equaton or nequalt encountered. The soluton set ma be ncorrect. n > Το σύµβολο //Ν που εµφανίζεται στο τέλος της εντολής δηλώνει ότι θα πρέπει στην εντολή να εφαρµοσθεί η συνάρτηση Ν[], δηλαδή να πάρουµε προσεγγιστικά αποτελέσµατα. Η παραπάνω απάντηση αφήνει ανοικτό το ενδεχόµενο τα αποτελέσµατα να µην είναι σωστά µιας και έχουµε µια µη πολυωνυµική ανίσωση. Η n γραφική παράσταση της n µας δίνει επίσης µια εικόνα για το αν η ανισότητα ικανοποιείται η όχι χωρίς όµως να εγγυάται τα αποτελέσµατα µιας και δεν µπορούµε να εξαντλήσουµε το πεδίο τιµών της συνάρτησης : n n, 8n,, 5<D

10 Η συνάρτηση Plot[] δέχεται ως πρώτο όρισµα την συνάρτηση f(n) και ως δεύτερο όρισµα το πεδίο τιµών της συνάρτησης (το n παίρνει τιµές από έως 5). Άσκηση 6. Να δειχθεί ότι δεν ισχύει η παρακάτω εικασία : «Οι αριθµοί της µορφής p όπου p πρώτος αριθµός είναι πρώτοι» Απάντηση. Παρόλο που το Mathematca δεν µπορεί να αποδείξει µε επαγωγή τις σχέσεις που του δίνουµε, µπορεί παρόλα αυτά να απορρίψει εικασίες που του ζητάµε να δείξει ότι δεν ισχύουν. Στο παραπάνω παράδειγµα θα µπορούσαµε να δίνουµε τιµές στον p από τους πρώτους αριθµούς και να ελέγχουµε αν οι αριθµοί της µορφής p είναι πρώτοι. Θα σταµατήσουµε όταν βρούµε τον πρώτο µη πρώτο αριθµό. Οι συναρτήσεις που θα µας χρειασθούν είναι οι : α) Prme[] που υπολογίζει τον πρώτο πρώτο αριθµό, και β) PrmeQ[] που ελέγχει αν ο είναι πρώτος αριθµός, απαντώντας µε True ή False αντίστοιχα. = ; WhleAPrmeQA E, ++E; FactorIntegerA E 5 88, <, 889, << Στην πρώτη γραµµή του προγράµµατος δίνουµε στο I την τιµή, ώστε να ξεκινήσει ο έλεγχος από τον αριθµό όπου Prme[]=. Στην δεύτερη γραµµή, όσο ο Pr me[ ] αριθµός είναι πρώτος, προχωρούµε επιλέγοντας τον επόµενο πρώτο πρώτο αριθµό θέτοντας ++ ή ισοδύναµα =+ (δηλ. την επόµενη τιµή του ). Στην Τρίτη γραµµή εκτυπώνουµε ποιος στη σειρά από τους πρώτους αριθµούς είναι αυτός για τον οποίο δεν ικανοποιείται η εικασία (είναι ο 5 ος δηλ. Prme[5]=*89). Μπορείτε να υπολογίσετε ποιος είναι ο αµέσως επόµενος αριθµός για τον οποίον δεν ικανοποιείται η εικασία ;

11 Κεφάλαιο. Γραµµικά συστήµατα.. Γραµµικά συστήµατα. Άσκηση. Να λυθεί το παρακάτω σύστηµα : ax + + = x + a + = a x + + a = a Να γίνει πλήρης διερεύνηση για τις τιµές του α. Απάντηση. Η συνάρτηση που επιλύει συστήµατα είναι η Solve[] η οποία δέχεται δύο ορίσµατα : α) την(ις) εξίσωση(εις) που θέλουµε να επιλύσουµε, και β) την(ις) µεταβλητή(ές) ως προς τις οποίες θέλουµε να λύσουµε την εξίσωση(εις). Στην περίπτωση που έχουµε πάνω από µια εξισώσεις θα πρέπει να τις τοποθετήσουµε σε άγκιστρο. Το ίδιο ισχύει και για τις µεταβλητές ως προς τις οποίες θέλουµε να πάρουµε την λύση. Η συνάρτηση Solve[] δεν κάνει διερεύνηση. Αντίθετα η συνάρτηση Reduce[] που έχει την ίδια σύνταξη µε την Solve[] κάνει επιπλέον και διερεύνηση. ReduceA9ax+ +, x + a+ a, x + + a a =, 8x,, <E a && x»» H + alh + al &&x a && + x&& ax + a Παρατηρήστε ότι µεταξύ των a,x αφήνω ένα κενό το οποίο το Mathematca το καταλαβαίνει ως το σύµβολο του πολ/µου. ιαφορετικά θα µπορούσα να χρησιµοποιήσω τον τελεστή του πολ/µου *. Επίσης δεν χρησιµοποιώ το σύµβολο της ισότητας =, αλλά δύο φορές τον τελεστή αυτόν = =. Ο τελεστής της δύναµης είναι ο ^ ή µπορώ να χρησιµοποιήσω τον συνδυασµό των πλήκτρων Ctrl+^. Η λύση που έχω είναι : α) όταν α= η = x, και β) αν a ( a )( a+ ) a a η λύση είναι : x =, = + x, = ax. + a Προφανώς δεν υπάρχει λύση για α=-.. Μέθοδος απαλοιφής του Gauss. Άσκηση. Να λυθεί το παρακάτω σύστηµα µε την µέθοδο απαλοιφής του Gauss. x+ + = x+ + = 5 x = 5 Απάντηση. Το παραπάνω σύστηµα γράφεται σε µορφή πινάκων ως : x = 5 5 ίνουµε στο Mathematca, τον πίνακα Α, A X B

12 A = 88,, <, 8,, <, 8,, << - { και τον πίνακα Β, B= 88<, 85<, 85<< 5 5 { Στη συνέχεια παίρνω τον σύνθετο πίνακα M = [ A B], χρησιµοποιώντας την συνάρτηση AppendRows[] από το πακέτο συναρτήσεων LnearAlgebra του Mathematca το οποίο και καλώ πρώτα : << LnearAlgebra` M = BD 5-5{ Παρακάτω δίνουµε ένα πρόγραµµα στο Mathematca (από τον Prof. John Mathews, το οποίο εφαρµόζει την µέθοδο του Gauss. In[5]:= := ModuleA8A = A,,,p,n<, n = compound matrx s > ", ForA p=, p n, p++, = p+, n, ++, P,pT D > Pp,pT D, A P8p,<T = A P8,p<T ; row ",, " wth row ", p, " >", A P pt ", p, "LêH", pdd,"l >"D;A PpT = ; A Pp,pT =, n, ++, p, ",,"L ", " Hrow ", p, "L H ", pdd,"l >"D; A PT = A PT A P,pT A PpT ; D;E; A D;E η γραµµή. Ορισµός τοπικών µεταβλητών. η γραµµή. Υπολογισµός του πλήθους των γραµµών του πίνακα Α. 5 η γραµµή. Από την p= η ως και την p=n-οστή στήλη κάνε τα εξής : 6 η γραµµή. Από την =p+ γραµµή έως και την =n γραµµή κάνε τα εξής : 7 η γραµµή. Αν η απόλυτη τιµή του στοιχείου Α[,p] είναι απολύτως µεγαλύτερη από την απόλυτη τιµή του στοιχείου A[p,p] τότε άλλαξε την γραµµή µε την γραµµή p. 9 η γραµµή. ιαίρεσε την γραµµή p µε το στοιχείο A[p,p].

13 η γραµµή. Σε όλες τις γραµµές εκτός από την p γραµµή, αφαίρεσε την γραµµή p πολλαπλασιασµένη επί το στοιχείο A[,p]. Εφαρµόζοντας το παραπάνω πρόγραµµα θα έχουµε : The compound matrxs -> 5-5{ 5 Change row wth row -> - 5{ Hrow LêHL-> 5-5{ Hrow L- Hrow L *H L-> 5-5{ Hrow L- Hrow L *H L-> { Change row wth row -> { Hrow LêH-L-> { Hrow L- Hrow L *H L-> {

14 Hrow L- Hrow L *H L-> { Hrow LêH L-> { Hrow L- Hrow L *H 4 L-> { Hrow L- Hrow L *H 4 L-> - { - { Η λύση του παραπάνω συστήµατος προκύπτει από την τελευταία στήλη του πίνακα Μ δηλ. είναι x=, =- και =. Το παραπάνω σύστηµα θα µπορούσε να λυθεί και µε την συνάρτηση LnearSolve[] που δέχεται ως πρώτο όρισµα τον πίνακα Α και ως δεύτερο όρισµα τον πίνακα Β, BD 88<, 8 <, 8<<. Γεωµετρική σηµασία γραµµικών συστηµάτων. Άσκηση. α) Να σχεδιασθούν οι ευθείες : β) Να σχεδιασθούν οι ευθείες : x = x+ = 4 x = x =

15 γ) Να σχεδιασθούν οι ευθείες : 6x+ = 6 x = Απάντηση. α) Μπορούµε να κάνουµε χρήση της συνάρτησης ImplctPlot[], η οποία δέχεται δύο ορίσµατα : α) την(ις) εξισώση(εις) της(ων) καµπύλης(ων) που θέλουµε να σχεδιάσουµε, β) το πεδίο ορισµού για το οποίο θα γίνει η γραφική παράσταση. Η συνάρτηση ImplctPlot[] ανήκει στο πακέτο Graphcs το οποίο και θα πρέπει να καλέσουµε πρώτο. << Graphcs` x+ 4<, 8x,, <D Graphcs Παρατηρούµε ότι οι δύο παραπάνω ευθείες έχουν ένα κοινό σηµείο τοµής, το οποίο και είναι η λύση του συστήµατος των δύο εξισώσεων. Για την γραφική παράσταση των παραπάνω συναρτήσεων θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε και την συνάρτηση Plot[] που δέχεται ως πρώτο όρισµα την(ις) συνάρτηση(εις) µιας µεταβλητής που θέλουµε να σχεδιάσουµε, και ως δεύτερο όρισµα το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. Σε αντίθεση µε την συνάρτηση ImplctPlot[] που σχεδιάζει καµπύλες, που µπορεί και να µην είναι συναρτήσεις, η Plot[] σχεδιάζει µόνο συναρτήσεις. x, x+ 4<, 8x,, <D

16 Graphcs β) Όµοια ενεργούµε στην δεύτερη περίπτωση όπου διαπιστώνουµε ότι οι ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο µιας και είναι παράλληλες. x == <, 8x,, <D Graphcs - Στην περίπτωση αυτή οι δύο ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο και συνεπώς και το σύστηµα των εξισώσεων δεν έχει καµιά κοινή λύση. γ) Στο τρίτο σύστηµα θα έχουµε : 6 x+ 6, x <, 8x,, <D

17 Graphcs Στην περίπτωση αυτή οι δύο ευθείες ταυτίζονται, γεγονός που σηµαίνει ότι το σύστηµα των εξισώσεων έχει άπειρες λύσεις. Άσκηση 4. Να σχεδιασθούν τα επίπεδα : x + + = x + = x + = Απάντηση. Για την σχεδίαση συναρτήσεων µεταβλητών µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την συνάρτηση PlotD[] που δέχεται ως πρώτο όρισµα την(ις) συνάρτηση(εις) δύο µεταβλητών που θέλουµε να σχεδιάσουµε, και ως δεύτερο όρισµα το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. Επίσης µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την ParametrcPlotD[] στην οποία πρέπει να δώσουµε την παραµετρική µορφή της εξίσωσης x t, t t, t t, t και ως δεύτερο και τρίτο όρισµα το πεδίο ορισµού των ( ( ) ( ) ( ) ) t, t, ή την παραµετρική µορφή της εξίσωσης ( ( ) ( ) ( )) όρισµα το πεδίο ορισµού του t. x t t t και ως δεύτερο Σχεδιάζουµε το πρώτο επίπεδο και την γραφική παράσταση την αποθηκεύουµε στην µεταβλητή p, p = x <, 8x,, <, 8,, <D

18 GraphcsD Σχεδιάζουµε το δεύτερο επίπεδο και την γραφική παράσταση την αποθηκεύουµε στην µεταβλητή p, p = x, <, 8x,, <, 8,, <D GraphcsD.5 Σχεδιάζουµε το τρίτο επίπεδο και την γραφική παράσταση την αποθηκεύουµε στην µεταβλητή p, p = x + <, 8x,, <, 8,, <D

19 GraphcsD Εµφανίζουµε όλες τις γραφικές παραστάσεις µαζί, p, pd

20 GraphcsD Παρατηρούµε ότι τα επίπεδα τέµνονται σε µια ευθεία. Πράγµατι αν λύσουµε το x x, x. σύστηµα, θα έχουµε ότι η λύση του συστήµατος είναι η ευθεία ( ) +, x +, x + <, 8x,, <D x&& Μπορείς να γράψεις ένα σύστηµα εξισώσεων µε αγνώστους και να δείξεις γραφικά ότι τα επίπεδα που περιγράφονται από τις εξισώσεις δεν τέµνονται σε κάποιο κοινό σηµείο;

21 Κεφάλαιο. Πίνακες -4. Πρόσθεση πινάκων, γινόµενο πίνακα µε αριθµό, γινόµενο πινάκων, αντίστροφος πίνακας. Άσκηση. ίνονται οι πίνακες A= 4 ; B= 4 5 Να υπολογιστούν οι πίνακες : α) A+ B β) * A γ) A* B, B* A δ) A, B Απάντηση. Οι τελεστές που χρησιµοποιούµαι για την πρόσθεση, αφαίρεση και γινόµενο πινάκων είναι +,- και. αντίστοιχα. Ο πίνακας στο Mathematca είναι µια λίστα που έχει ως αντικείµενα λίστες µε τα στοιχεία των γραµµών του πίνακα. Έτσι θα ορίσουµε πρώτα τους πίνακες µας Α, Β, A = 88,, <, 8,, 4<, 8, 4, 5<< 4 4 5{ B= 88,, <, 8,, <, 8,, << { Στη συνέχεια υπολογίζουµε το άθροισµα των πινάκων A+ B { Το σύµβολο // µας λέει να εφαρµόσουµε την συνάρτηση που υπάρχει στα δεξιά του, στο αποτέλεσµα που θα έχουµε από την πρόσθεση των δύο πινάκων. Η συνάρτηση MatrxForm[] εµφανίζει το αποτέλεσµα σε µορφή πίνακα. Το γινόµενο του πίνακα Α µε το είναι : A { Τα γινόµενα Α*Β και Β*Α είναι αντίστοιχα : A.B

22 { B.A { Παρατήρησε ότι ο τελεστής που χρησιµοποιούµε είναι. αντί *. Το * σε αντίθεση µε το. θα δηµιουργήσει τον πίνακα C που θα έχει ως στοιχεία τα c = a * b αντί του c = = a b που έχουµε στο γινόµενο των δύο πινάκων. Ο αντίστροφος των πινάκων Α,Β υπολογίζεται µε την συνάρτηση Inverse[], 4 και { Inverse::sng : "Matrx 4 ssngular. \!\H \L, ButtonData:> General::sng, ButtonStle-> RefGudeLnText, ButtonFrame-> None D\L 4 5{ { Το µήνυµα που πήραµε για τον πίνακα Α είναι ότι είναι sngular δηλ. έχει ορίζουσα και συνεπώς δεν αντιστρέφεται. Μπορούµε κάλλιστα να υπολογίσουµε την ορίζουσα του πίνακα Α µε την συνάρτηση Det[]. Άσκηση. Στον παρακάτω χάρτη βλέπουµε τους τρόπους µε τους οποίους συνδέονται αεροπορικώς οι πόλεις,,,4,5, Ο παρακάτω πίνακας παριστάνει τον τρόπο σύνδεσης των κόµβων,,,4,5,6 : 5

23 A = Ο πίνακας έχει διάσταση 6 όσοι και οι κόµβοι και επιπλεόν το στοιχείο του a, έχει την τιµή αν µπορούµε να πάµε αεροπορικώς από την πόλη στην πόλη και αν δεν µπορούµε να πάµε. Ο συνολικός αριθµός των συνδέσεων µεταξύ δύο κόµβων αν χρησιµοποιήσουµε έναν επιπλεόν σταθµό δηλ. έχουµε δύο συνδέσεις µεταξύ των, είναι : a = a a + a a + a a + a a + a a + a a Συνεπώς ο πίνακας A = a, µας δίνει τον συνολικό αριθµό των συνδέσεων µεταξύ δύο κόµβων όταν χρησιµοποιούµε υποχρεωτικά έναν ενδιάµεσο σταθµό. Άρα ο συνολικός αριθµός των συνδέσεων µεταξύ δύο κόµβων όταν χρησιµοποιούµε έναν ενδιάµεσο σταθµό ή όταν η σύνδεση γίνει απευθείας θα δίνεται από τα στοιχεία του πίνακα A+ A. Παρόµοια ο συνολικός αριθµός των συνδέσεων µεταξύ δύο κόµβων όταν χρησιµοποιούµε δύο ενδιάµεσους σταθµούς, ή έναν ενδιάµεσο σταθµό ή όταν η σύνδεση γίνει απευθείας θα δίνεται από τα στοιχεία του πίνακα A+ A + A. Να υπολογιστούν οι δυνατοί αριθµοί σύνδεσης για την τελευταία αυτή περίπτωση δηλ. να υπολογιστούν τα στοιχεία του πίνακα A+ A + A. Απάντηση. Η δύναµη ενός πίνακα δίνεται από την συνάρτηση MatrxPower[] η οποία δέχεται ως πρώτο όρισµα τον πίνακα του οποίου θέλουµε να υπολογίσουµε την δύναµη και ως δεύτερο όρισµα την δύναµη την οποία θέλουµε να υπολογίσουµε. Έτσι θα έχουµε : A = 8 8,,,,, <, 8,,,,, <, 8,,,,, <, 8,,,,, <, 8,,,,, <, 8,,,,, <<; Μπορούµε να πατάµε το πλήκτρο ENTER για να αλλάζουµε γραµµή χωρίς να εκτελούµε την συνάρτηση που γράφουµε. Το ερωτηµατικό στο τέλος της γραµµής είναι για να µην εµφανίζονται τα αποτελέσµατα. Το άθροισµα που ψάχνουµε να βρούµε είναι : A+ D + D êêmatrxform {

24 ή αν χρησιµοποιήσουµε την εντολή Sum[], που δέχεται ως πρώτο όρισµα την ακολουθία την οποία θέλουµε να αθροίσουµε και ως δεύτερο όρισµα την µεταβολή του δείκτη, θα έχουµε : D, 8,, <D êê MatrxForm { Άσκηση. Στην άσκηση αυτή θα δείξουµε την εφαρµογή που έχουν οι πράξεις πινάκων στον κόσµο των γραφικών. Θεωρείστε το δωδεκάεδρον, το οποίο δίνεται από την συνάρτηση Dodecahedron[] που ανήκει στο πακέτο Graphcs. << Graphcs`Polhedra` GraphcsD Το συγκεκριµένο σχήµα αποτελείται από πολύγωνα µε συγκεκριµένες συντεταγµένες το καθένα, τις οποίες τις αποθηκεύουµε στην µεταβλητή s : s=

25 8.8,.684,.8565<, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<<D, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.684,.8<<D, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<<D, 8.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.,.8565<<D, 8.546,.,.8<, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<<D, 8.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.8,.684,.8565<<D, 8.546,.,.8<, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<<D, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<<D, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<<D, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<<D, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, ,.,.8565<, 8.546,.,.8<<D, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<<D< Μπορούµε να διώξουµε την συνάρτηση Polgon[] από την παραπάνω λίστα µε την συνάρτηση Flatten[], s = PolgonD ,.8966,.8565<, 8.8,.684,.8565<, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<<, ,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.684,.8<<, ,.8966,.8565<, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<<, 88.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.,.8565<<, ,.,.8565<, 8.546,.,.8<, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<<, 88.49,.,.8<, 8.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.8,.684,.8565<<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<<, 88.49,.,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<<, ,.,.8<, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<<, 88.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<<, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, ,.,.8565<, 8.546,.,.8<<, 88.8,.684,.8565<, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<<< Η παραπάνω λίστα αποτελείται από εξάδες από λίστες. Μπορούµε να καταργήσουµε τις εξάδες αυτές όπως φαίνεται παρακάτω : s = D

26 88.557,.8966,.8565<, 8.8,.684,.8565<, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.,.8565<, ,.,.8565<, 8.546,.,.8<, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<, 8.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.8,.684,.8565<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<, 8.49,.,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<, 8.546,.,.8<, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.557,.8966,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.49,.,.8<, ,.684,.8<, 8.49,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, ,.,.8565<, 8.546,.,.8<, 8.8,.684,.8565<, ,.,.8565<, 8.8,.684,.8565<, 8.557,.8966,.8565<, 8.557,.8966,.8565<< Η µεγέθυνση ενός σχήµατος ως προς τις συντεταγµένες [ x ] T γίνεται µέσω του παρακάτω πολ/µου : ' x a x ' b ' c Έτσι θα έχουµε µεγέθυνση α φορές ως προς τον άξονα xx, b φορές ως προς τον άξονα και c φορές ως προς τον άξονα. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι θέλουµε να µεγεθύνουµε το παραπάνω σχήµα φορές ως προς τον άξονα xx. Θα έχουµε λοιπόν: s4 = 88,, <, 8,, <, 8,, Θα πρέπει τις λίστες σηµείων που έχουµε πάρει να τις χωρίσουµε πάλι σε πεντάδες (µέσω της εντολής Partton[]) και να εφαρµόσουµε την συνάρτηση Polgon[] σε κάθε πεντάδα, ώστε να σχηµατιστούν οι έδρες του πολυγώνου. s5 = Τελικά θα έχουµε το παρακάτω σχήµα : GraphcsD

27 Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να µετακινήσουµε το αρχικό σχήµα κατά το διάνυσµα s = [ ] T. Τότε θα πρέπει να εφαρµόσουµε τον κανόνα : ' x x ' = + ' Θα έχουµε δηλαδή, εφαρµόζοντας την ίδια διαδικασία : s= s = PolgonD; s = D; s4 = <, 86<DD + s5 = GraphcsD Παρατήρησε ότι στην 4 η εντολή προσθέσαµε στα σηµεία µας έναν πίνακα διαστάσεως 6x (όσα και τα σηµεία του δωδεκάεδρου (το υπολογίζουµε µε την συνάρτηση Length[])) που κάθε του γραµµή είναι το διάνυσµα s. Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να στρίψουµε το αρχικό σχήµα ως προς τον άξονα, κατά γωνία θ = 45. Τότε θα πρέπει να εφαρµόσουµε τον κανόνα : ' x x cos( θ) sn( θ) x ' = ' sn( θ) cos( θ) Θα έχουµε δηλαδή, εφαρµόζοντας την ίδια διαδικασία : s= s = PolgonD; s = D; s4 = 4D,, 4D<, 8,, <, 8 4D,, s5 = 5DD;

28 GraphcsD ή θα µπορούσα να έχω συνδυασµό των παραπάνω δύο περιπτώσεων : s= s = PolgonD; s = D; s4 = <, 86<DD + s5 = 4D,, 4D<, 8,, <, 8 4D,, ê 4D<<.s4; s6 = GraphcsD Προσπαθήστε να εφαρµόσετε τον κανόνα ' x x cos( θ) sn( θ) x ' sn( θ) cos( θ) = ' για να στρέψετε το αρχικό σχήµα κατά γωνία θ = ως προς τον άξονα.

29 5. Πίνακες και γραµµικά συστήµατα. Άσκηση 4. Στο παρακάτω σχήµα δίνονται οι χρωµατισµοί των pxels µιας εικόνας ως τριάδα αριθµών (αριθµοί που αναπαριστούν την ποσότητα του χρώµατος σε κόκκινο, πράσινο και µπλέ). Στην προσπάθεια µας να βελτιώσουµε την ανάλυση της εικόνας µπορούµε να προσθέσουµε επιπλέον pxels X,=,,,4 των οποίων η χρωµατική τριάδα προκύπτει από την µέση τιµή της χρωµατικής τριάδας των 4 γειτονικών pxels. Προσπαθήστε να υπολογίσετε την χρωµατική τριάδα των X, =,,,4. Υπόδειξη. Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε έναν καινούριο τύπο δεδοµένων που θα περιέχει τις αναλογίες των τριών χρωµάτων (κόκκινο, πράσινο και µπλέ) ενός pxel. (,,) (,9,) (,9,) (,9,) (,,) X X (,8,4) (,,) X X 4 (,8,4) (,,) (,,) (,,) (,,) Απάντηση. Η τριάδα χρωµάτων αφορά τα χρώµατα (κόκκινο, πράσινο, µπλέ). Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να υπολογίσουµε τις αποχρώσεις του κόκκινου σε κάθε εσωτερικό σηµείο, η οποία είναι ίση µε τον µέσο όρο της απόδοσης του κόκκινου των 4 γειτονικών σηµείων. Στηριζόµενοι στην παραπάνω ιδιότητα, και προκειµένου να υπολογίσουµε την αναλογία του χρώµατος στα σηµεία X,X,X,X 4, θα πρέπει να επιλύσουµε το παρακάτω σύστηµα εξισώσεων : x = ( + + x + x) 4 x x 4 x = ( x+ + + x4) x 4 x 4 = + x 4 x 4 4 x ( x x4 ) = x4 x4 4 X A X B x4 = ( x + x + + ) 4 Ορίζουµε τον πίνακα Α, A = Hê4L 88,,, <, 8,,, <, 8,,, <, 8,,, << { τον πίνακα Β,

30 B= Hê4L 884<, 84<, 84<, 84<< { και τον πίνακα Χ, X = 88x <, 8x <, 8x <, 8x 4 << x x x x 4 { και λύνουµε το σύστηµα που δηλώσαµε παραπάνω, == A.X + B, 8x,x,x,x 4 <D 88x, x, x, x 4 << ή == A.X + B, 88x, x, x, x 4 << Ο πολλαπλασιασµός πινάκων γίνεται µε τον τελεστή «.». Η εντολή Flatten[], διώχνει (ισοπεδώνει) τα επιµέρους άγκιστρα από την λίστα του Χ π.χ. 8x,x,x,x 4 < Προσπάθησε να υπολογίσεις µε παρόµοιο τρόπο την αναλογία των υπολοίπων χρωµάτων στα σηµεία X,X,X,X 4. Τον ρόλο των χρωµατισµών θα µπορούσε κάλλιστα να παίξει η θερµοκρασία σε µια ράβδο, όπου τα άκρα της ράβδου έχουν συγκεκριµένη θερµοκρασία. Παράδειγµα. ίνονται οι πίνακες A =, B = Να υπολογιστούν οι πίνακες A, B µε την βοήθεια της εντολής RowReduce[] αλλά και της συναρτήσεως GaussJordan[] που δηµιουργήσαµε σε προηγούµενο κεφάλαιο. Απάντηση. Ορίζουµε τους πίνακες A = 88,, <, 8,, <, 84,, 8<< - 4 8{ B= {

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

10 ιαγωνιοποίηση Σελίδα 1 από 62. Κεφάλαιο 10 1 ιαγωνιοποίηση

10 ιαγωνιοποίηση Σελίδα 1 από 62. Κεφάλαιο 10 1 ιαγωνιοποίηση ιαγωνιοποίηση Σελίδα από 6 Κεφάλαιο ιαγωνιοποίηση Κεφάλαιο... ιαγωνιοποίηση.... ιαγωνιοποίηση.... Εφαρµογές της διαγωνιοποίησης πινάκων....4.. υνάµεις πινάκων...4.. Εξισώσεις διαφορών...5.. ιαφορικές εξισώσεις......4

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ (Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Νοεµβρίου 4. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: εκεµβρίου 4)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2 http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ 4.. ΣΥΝΕΛΙΞΗ Στην προηγούµενη παράγραφο εισαγάγαµε την ιδέα της συνέλιξης από τα συµφραζόµενα των γραµµικών συστηµάτων. Σ' αυτήν την παράγραφο ορίζουµε τη συνέλιξη σαν µια πράξη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα