Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje. V.Gineityt
|
|
- Λωΐς Πολίτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje V.Gineityt Gamtos moksluose teorijoms keliami du pagrindiniai uždaviniai: paaiškinti stebimų objektų savybes ar reiškinių priežastis ir prognozuoti naujus reiškinius ar savybes. S kminga teorija tur tų atitikti abu šiuos reikalavimus. Praktikoje, deja, neretai pasitaiko, kad viena iš min tų funkcijų išsivysto tarsi likusiosios sąskaita, o pastaroji susilpn ja. Tokia situacija stebima šiuolaikin je molekulių elektronin s sandaros teorijoje, taikant sud tingus skaitmeninius Hartri- Foko ir joms giminingų lygčių sprendimo metodus. Iš tiesų tokių skaičiavimų tikslumas dažnai jau pasiekia eksperimentinį, o tai įgalina prognozuoti objektų savybes. Kita vertus, d l iteracinių metodų naudojimo ir skaitmeninių eilučių sumavimo (ypač taikant vadinamąją konfigūracijų sąveiką) paaiškinti gautus rezultatus neretai būna labai sunku. Štai, pavyzdžiui, dviatomių molekulių F 2, Cl 2 ir Br 2 eksperimentin s cheminio ryšio energijos atitinkamai yra 37.6, 58.0 ir 45.4 kkal/mol. Visai tik tina, kad pasirinkę pakankamai tikslų skaitmeninį metodą gausime rezultatus, kurie gerai sutaps su min taisiais. Tuo pagrindu gal sime prognozuoti kitos giminingos molekul s (sakykim ClBr) cheminio ryšio energiją. Tačiau paaiškinti, kod l būtent Cl 2 turi didžiausią ryšio energiją iš min tų trijų nebus taip paprasta. Tam reikia žinoti, kaip aplamai dviatom s molekul s ryšio energija susijusi su branduolių krūviais ir elektronų skaičiais, o atsekti šią sąsają iš sud tingų skaičiavimų vargu ar pavyks. Kokybinių molekulių elektronin s sandaros teorijų bei koncepcijų svarba ir susijusi su šia aiškinamąja funkcija. Optimali kokybin teorija priklauso nuo nagrin jamojo objekto ir problemos. Štai, pavyzdžiui, kas tinka dviatomių molekulių atveju gali būti nepritaikoma daugiaatomiams organiniams junginiams. Be to, kokybin s teorijos sudaro tam tikrą hierarchiją pagal tai, koks matematinis aparatas naudojamas ar aplamai nenaudojamas. Pastaruoju atveju turime verbalines (aprašomąsias) teorijas, kurios sudaro klasikin s chemijos pagrindą. Pavyzdžiu čia gali būti valentingumo teorija. Tačiau verbalinių teorijų galimyb s mikropasaulio tyrime matyt beveik išsemtos. Tod l dabar jas pakeičia algebriniais metodais paremtos teorijos. Šių metodų panaudojimas įgalina atsisakyti iteracin s uždavinio prigimties. Tam tikslui nuo sprendinių priklausantys fokiano matricos elementai yra pakeičiami algebriniais parametrais išlaikant esminius santykius tarp jų, sąlygotus erdvin s duotosios molekul s sandaros (pavyzdžiui, gali būti įvedami nulin s ir pirmos eil s parametrai). Taip gaunamas vadinamasis modelinis sistemos hamiltonianas. Tuo tarpu sprendžiamųjų lygčių pavidalas išlieka toks pat, kaip ir atitinkamo tikslaus kvantinio metodo, pvz., sekuliarin lygtis (diagonalizacijos uždavinys). Atlikus tokį iš pirmo žvilgsnio drastišką supaprastinimą, neretai atsiranda net naujų apibendrinimų galimyb s, pavyzdžiui, pasiseka suformuluoti bendrą uždavinį tam tikrai giminingų molekulių grupei ar sekai, kas n ra įmanoma taikant tikslius metodus. Šių eilučių autorei 1987 metais per jus dirbti į tuometinį Fizikos institutą, prad ta pl toti kokybin organinių molekulių elektronin s sandaros teorija. Ankstesnis įdirbis šioje srityje ir kitų autorių darbai, kuriais remtasi, detaliai aptarti apžvalgoje [1]. Darbai iš karto prad ti dviem kryptimis, kurios atitinkamai susiję su diagonalizacijos ir blokin s diagonalizacijos uždavinių sprendimais. Aptarsime šias kryptis atskirai. Pirmosios krypties darbai kilo iš sočiųjų angliavandenilių (vadinamųjų alkanų) fotoelektroninių spektrų analiz s. Kaip žinoma, toks spektras visada siejamas su tiriamosios molekul s jonizaciniais potencialais, o pastarieji su jos fokiano (ar hamiltoniano) matricos tikrin mis vert mis. Šios vert s paprastai yra individuali duotosios matricos savyb, priklausanti nuo visų jos elementų. Toks pat individualumas aplamai būdingas ir stebimiems atskirų molekulių spektrams. Tačiau alkanų (C N H 2N+2 ) fotoelektroniniai spektrai pasižymi daugeliu bendrų ypatybių.
2 Pastarųjų kilm ir jų sąsaja su panašia tetraedrine šių molekulių lokaline sandara (žiūr. cheminį grafą G Ch,1 pav.) ir suk l susidom jimą. Eksperimentiniuose alkanų spektruose yra dvi juostų grup s (zonos) ir ev srityse. Būtent pastarajai (vadinamai didelių energijų) zonai labiausiai būdingos min tos bendros ypatyb s. Šiai zonai aprašyti pakanka labai paprastų (vieno parametro) modelinių hamiltoniano matricų, atvaizduojamų grafais G H (1 pav.). Šių grafų viršūn s vaizduoja C C ir C H chemines jungtis, o ryšiai artimiausių jungčių porų sąveikas. Tod l buvo sprendžiamos ir nagrin jamos šių grafų matricų sekuliarin s lygtys [2]. Paaišk jo, jog tam tikru kintamųjų eliminavimo būdu pradin * (3N+1)-ą lygtį turinti sistema gali būti suredukuota į N lygčių sistemą vaizduojamą grafu G H (1 pav.). Jo viršūnes atitinkantys matriciniai elementai (ω v (ε)) priklauso nuo energetinio kintamojo (ε) ir viršūn s valentingumo (v) tokiu būdu ω v (ε)=3+(4 v)/ε. (1) * Palyginę grafus G H ir G H matome, jog funkcijos ω v (ε) tarsi absorbuoja lokalinę pirmųjų sandarą. Būtent tai įgalino susieti bendras visiems alkanams didelių energijų zonos ypatybes (tame tarpe juostų išsid stymo panašumą į vienmat s grandin l s G 0 spektrą) su lokaline tetraedrine pradinio grafo G H sandara. Be to, N juostų turinčiai didelių energijų zonai pavyko priskirti grandin lę iš N nuo parametro ε priklausančių neortogonalių orbitalių. Kiekviena iš jų yra lokalizuota ant atitinkamo grafo G H tetraedro ir yra panaši į metano (CH 4 ) grafo G H (turinčio tik vieną tetraedrą) matricos pilnai simetrinę tikrinę funkciją. Pastarasis rezultatas apibendrino paprasčiausią zonos interpretaciją, kai jai priskiriama grandin l iš N anglies atomų 2s tipo atominių orbitalių. Be to, paaišk jo, jog atitinkamų cheminių grafų (G Ch ) matricų sekuliarin s lygtys irgi redukuojasi į tą patį * * grafą ( GCh G H ), nors grafas G Ch n ra susijęs su molekul s fokianu ar hamiltonianu. Šis faktas įgalino susieti alkanų fotoelektroninius spektrus su jų chemine formule, o tuo pačiu apibr žti atskirų jos atomų dalyvavimo fotojonizacijoje laipsnius. Galimyb suredukuoti grafus G H ir G Ch į tą patį grafą taip pat leido gauti bendras nekanonines jų sekuliarinių polinomų išraiškas per vadinamuosius antros klas s Čiobyševo polinomus U p (Q) nuo kintamojo Q, susijusio su funkcija ω 2 (ε) ir tuo pačiu su CH 2 tipo pografio sekuliariniu polinomu q 2 (ε) [3]. Min toji sąsaja tokia: Q=1/2[ε-ω 2 (ε)]=1/2q 2 (ε) (2) Šių nekanoninių išraiškų pagrindu pavyko nustatyti, jog vadinamosios zonų ribos grafų spektruose sutampa su polinomų U p (Q) ortogonalumo intervalu kada kintamasis Q patenka į sritį [ 1; +1]. S kmingai užsirekomendavusi grafų G H ir G Ch atveju, aptartoji sekuliarinių lygčių redukcijos procedūra buvo pritaikyta ir kitoms sud tingesn ms kvazivienmat ms sistemoms. Pirmiausia buvo sukonstruota tikslesn alkanų modelinio hamiltoniano matrica, kurioje be vidutin s artimiausių cheminių jungčių sąveikos buvo įtrauktos ir tolimesnių jungčių porų sąveikos. Tada vietoje grafo G H gaunama žymiai sud tingesn grandin l, o tuo pačiu ir sud tingesn sekuliarinių lygčių sistema [4]. Tačiau šis išpl stinis modelis įgalino s kmingai nagrin ti visą fotoelektroninį spektrą įskaitant ir mažesnių energijų zoną. Kadangi naujoji redukcijos procedūra tampa ypač paini grandin l s galams, buvo apsiribota cikliniu modeliu esant pakankamai dideliam N, gerai tinkančiu polietileno (... (CH 2 ) N...) fotoelektroniniam spektrui aprašyti. Vietoje vienos funkcijos ω 2 (ε), naujoji redukuota grandin l jau buvo charakterizuojama trimis skirtingomis nuo energetinio kintamojo ε priklausančiomis funkcijomis, atitinkančiomis pradinį tetraedrą bei jų kaimynines ir tolimesnes poras (vadinamuosius antruosius kaimynus). Būtent pakankamai didel mis antrųjų kaimynų sąveikomis mažų energijų zonos srityje ir pavyko paaiškinti neįprasto minimumo atsiradimą polietileno dispersin se kreiv se (žemos simetrijos Briuleno zonos taške) gaunamą skaičiuojant energetinį spektrą kieto kūno teorijos metodais. Aptartasis kintamųjų eliminavimo metodas sekuliarin se lygtyse galiausiai buvo suformuluotas kaip bendras metodas kvazivienmačių sistemų hamiltoniano matricų tikrinių verčių lygtims spręsti [5]. Lyginant jį su standartiniais kieto kūno teorijos metodais paaišk jo, kad naujasis metodas pasižymi priešinga pagrindinių veiksmų tvarka, būtent pradžioje atsižvelgiama į lokalinę
3 grandin l s sandarą atliekant jos redukciją, o tik po to į globalinę sandarą (translacinę simetriją) nagrin jant redukuotosios grandin l s rekuliarinę lygtį. Tod l naujasis metodas buvo pavadintas alternatyviuoju. Šios krypties darbai pl tojosi maždaug iki 1998 metų, o v liau nebuvo tęsiami. Dabar pereikime prie antrosios krypties darbų aptarimo. Spektrinių reiškinių prigimtis ir atomuose, ir molekul se panaši. Tod l nenuostabu, jog abiejų sistemų spektrų teorijai pilnai pakanka paprasčiausios (vadinamosios kanonin s) Hartri- Foko lygties. Molekulių atveju ieškomosios vienelektronin s funkcijos skleidžiamos atomin mis orbital mis ir ši lygtis virsta aptartąja sekuliarine lygtimi fokiano matricai. Tai vadinamasis kanoninis molekulinių orbitalių (MO) metodas. Pažym tina, jog kanonin MO paprastai yra delokalizuotos po visą molekulę. Daugiaatom se organin se molekul se greta spektrinių ir kitų visos molekul s savybių tiriamos ir jos lokalin s savyb s, pavyzdžiui, cheminiai poslinkiai branduolinio magnetinio rezonanso ir rentgeno-elektroniniuose spektruose. Be to, pirmojo tipo (globalin s) savyb s neretai formuojasi iš atskirų atomų grupių (fragmentų) lokalinių ind lių sumos, kaip antai dipolio momentas, poliarizuojamumas ir kitos. Galiausiai yra pagrindo manyti, jog dauguma cheminių reakcijų daugiaatom se sistemose yra lokaliniai reiškiniai. Delokalizuotos kanonin s MO n ra optimalios aprašant šias situacijas. Tai ir skatina dom tis galimybe gauti lokalizuotas molekulines orbitales. Vienas iš kelių siekiant tokio tikslo yra pasitelkti vadinamąją bendrąją (nekanoninę) Hartri-Foko lygtį, turinčią nediagonaliuosius Lagranžo daugiklius. Naudojant atominių orbitalių bazę, ši lygtis gali būti suvesta į blokin s diagonalizacijos (arba tikrinių blokų) lygtį fokiano matricai, o tuo pačiu ir atitinkamai modelinio hamiltoniano matricai. Tokie mažai ištirti uždaviniai ir sudomino šių eilučių autorę, sudarydami pagrindą antrajai iš min tų darbo krypčių. Paprasčiausias blokin s diagonalizacijos uždavinys formuluojamas taip: Tegu H yra lygin s dimensijos kvadratin matrica (sakykime, 2n 2n-mat ). Reikia rasti unitarinę matricą C, kuri transformuotų matricą H į blok-diagonalinę matricą E, sudarytą iš dviejų n n-mačių blokų E 1 ir E 2 tiesiogin s sumos, būtent + E C HC= E E 2. (3) Blokai E 1 ir E 2 (vadinami tikriniais blokais) irgi yra ieškomi dydžiai. Čia matyti formalus uždavinio (3) panašumas į diagonalizacijos uždavinį antros eil s matricai, tik vietoje tikrinių verčių ieškoma n n-mačių tikrinių blokų. Jeigu pradinę hamiltoniano matricą H galima išreikšti nulin s ir pirmos eil s matricų suma, t.y. H=H (0) +H (1), (4) o nulin s eil s narys H (0) jau yra blok-diagonalus, uždavinį (3) pavyko išspręsti skleidžiant ieškomąją matricą C eilute: C=C (0) +C (1) +C (2) +... (5) Be to, laikant matricas H, C ir E sudarytomis iš keturių n n-mačių blokų, sprendinį pasisek išreikšti šiais blokais, neliečiant jų vidin s sandaros [6]. Tokiu būdu atsiranda labai bendras sprendinys, galiojantis bet kokiai parametro n vertei ir bet kokiai matricų H (0) ir H (1) blokų vidinei sandarai. Pasinaudojus vadinamąja jungčių orbitalių baze (tai yra orbital s, lokalizuotos ant atskirų molekul s cheminių jungčių) paaišk jo, jog visų sočiųjų organinių molekulių atitinkamų modelinių hamiltonianų matricos tenkina reikalavimą (4), kuriame H (0) yra blok-diagonalus. Be to, visos šios matricos gali būti užrašytos bendra forma, kurioje vienos molekul s matrica nuo kitos molekul s matricos skiriasi blokų dimensija n ir jų vidine sandara. Tod l aptartasis bendras blokin s diagonalizacijos uždavinio sprendinys buvo tiesiogiai pritaikytas bendram lokalizuotam sočiųjų organinių molekulių kvantmechaniniam aprašymui sukurti [6]. Lokalizuotos molekulin s orbital s čia gaunamos iš matricos C parenkant eilut je (5) nulin s eil s narį C (0) sutampantį su vienetine matrica I. Tačiau tai yra tik viena min tojo aprašymo dalis.
4 Panašiu būdu (t.y. n n-mačiais blokais) pavyko išspręsti ir lygčių sistemą atitinkamam viendalelin s tankio matricos atvaizdui P. Panaudoję pažym jimą P I=Y, min tąją lygčių sistemą galima užrašyti taip [H, Y]_=0, Y 2 =I, Spur Y=0 (6) kur pirmosios formul s kair je pus je yra matricų H ir Y komutatorius. Ši lygtis gaunama iš Dirako lygties nuo laiko nepriklausančiam hamiltonianui. Antroji ir trečioji (6)-osios sistemos lygtys atitinkamai seka iš idempotencijos reikalavimo tankio matricai ir krūvio tverm s sąlygos. Pasirod, jog uždaviniai (3) ir (6) yra glaudžiai susiję [6], o jų sprendiniai (matricos C ir P) išreiškiami tarpusavyje proporcingais blokais. Tokiu būdu buvo nustatyta paprasta sąsaja tarp lokalizuotų MO ir elektroninio tankio pasiskirstymo, v liau įgavusi platų pritaikymą įvairioms chemin ms problemoms spręsti. Taip pat pažym tina, jog matricų C ir P eilučių nariai (C (k) ir P (k), kur k yra nario eil ) buvo išreikšti tam tikromis universaliomis n n-mat mis matricomis G (k), kurių elementai interpretuojami kaip tiesiogin s (per erdvę) ir netiesiogin s (per jungtis) bazinių orbitalių sąveikos. Pasirod, jog šios sąveikos yra universalūs terminai, kuriais galima aptarti ne tik molekulių elektroninę sandarą, bet ir chemines reakcijas. Kaip paaišk jo gerokai v liau, reikalavimą (4) su blok-diagonaliu (ar net diagonaliu) nariu H (0) tenkina ir daugelio kitų tipų molekulių modelinių hamiltonianų matricos (žiūr. apžvalgą [7]). Tam reikia tik tinkamai parinkti pradines bazines orbitales. Tod l pastarasis lokalizuotas aprašymas buvo pl tojamas toliau. Buvo nustatyta, jog tankio matricos atvaizdą P galima gauti iš projektoriaus į užimtų nekanoninių MO poerdvį [8]. Tokiu būdu yra patenkinamas bendras MO metodo reikalavimas. Buvo taip pat panagrin ta pilna sistemos energija (E) apibr žiama taip E=Spur(PH). (7) Kai matricos H ir P yra išskleistos eilut mis, pilna energija E irgi yra eilut, kurios k-tasis narys ( α ) ( β ) susideda iš dviejų komponenčių E ir E sumos. Šios komponent s atrodo taip ( α ) E = Spur (P (k) H (0) ), E = Spur (P (k-1) H (1) ) (8) ( β ) ( β ) ( α ) ir susiję su tiesioginiu ( E ) ir antriniu ( E ) perturbacijos ind liu į pataisą E (k). Be to, min tiems ind liams pavyko gauti tokį tarpusavio sąryšį [9] ( β ) ( α ) (k 1) E =-ke, (9) rodantį, jog pilna pataisa E (k) gali būti išreikšta tiek per E, tiek ir per ( α ) E. Sąsaja (9) s kmingai pasitarnavo išreiškiant molekulin s sistemos stabilizacijos energiją d l perturbacijos H (1) per atitinkamą elektroninio tankio pasiskirstymą [9]. Aptartieji rezultatai, kaip visuma, buvo pavadinti perturbacine nekanonine molekulinių orbitalių teorija [7] (iš analogijos su žinoma perturbacine MO teorija, besiremiančia kanoniniu MO metodu). Tolesn šio darbo pl tra vyko keliomis kryptimis. Pirmiausiai uždavinys (3) buvo apibendrintas neortogonalių bazinių orbitalių atvejui. Tada prie (3)-iosios sąlygos pridedamas sanklotos integralų matricos S suvedimo į vienetinę matricą reikalavimas, būtent C + SC=I. (10) Ieškomosios matricos C, E 1 ir E 2 dabar jau išsireiškia ne tik matricos H, bet ir matricos S blokais [8]. D l gautų išraiškų sud tingumo šis uždavinys platesnio pritaikymo neįgavo. Kitas svarbus apibendrinimas susijęs su per jimu prie bet kokio tikrinių blokų skaičiaus uždavinyje (3). Bendras jo pavidalas išlieka toks pat, tačiau dešin je lygties pus je atsiranda tiesiogin tikrinių blokų E 1, E 2...E M suma, kurių kiekvienas bendru atveju gali būti skirtingos dimensijos. Kai galioja reikalavimas (4), kuriame H (0) irgi yra analogiškos sandaros blokdiagonali matrica (čia turima omenyje, jog jos blokų dimensijos sutampa su E 1, E 2...E M submatricų dimensijomis), pavyko suformuluoti bendrą perturbacijų teoriją [7, 10], kur vietoje įprastų viendimensinių dydžių (tikrinių verčių ir tikrinių funkcijų skleidimo koeficientų C ik ) atsiranda matricos. Kadangi pastarosios tarpusavyje nekomutuoja, tai naujoji teorija buvo pavadinta nekomutatyviąja Rel jaus Šredingerio perturbacijų teorija. Ji gali būti suformuluota ir operatorine ( β )
5 forma. Ši teorija buvo s kmingai pritaikyta ieškant sud tingos kvazivienmat s sistemos atskirų posistemių efektyvinių hamiltonianų [11]. Šiame kontekste svarbią vietą užima vadinamųjų alternantinių konjuguotųjų angliavandenilių modelinio hamiltoniano matrica H ~. Ji atrodo taip ~ 0 B H =, (11) B + 0 kur B yra kvadratin n n-mat submatrica (blokas), o B + - jos kompleksiškai sujungtin matrica. ~ Matrica H netenkina reikalavimo (4) ir tod l atitinkamas uždavinys (3) yra išsigimusio perturbacijų teorijos atvejo dviems lygmenims matricinis analogas. Toks uždavinys irgi buvo išspręstas (beje, ne perturbaciniu, o tiesioginiu būdu) [12]. Matricos ~ H tikriniai blokai išreiškiami taip E 1 =(BB + ) 1/2, E 2 = (B + B) 1/2 (12) ir susiveda į +β ir -β, kai matricos B ir B + virsta viendimensiniu dydžiu β. Sprendinys (12) galioja bet kokiai matricos B dimensijai (n) ir bet kokiai jos vidinei sandarai. Tokiu būdu buvo gautas bendras alternantinių angliavandenilių lokalizuotas aprašymas. Buvo išspręsti ir sud tingesni (3)-io tipo uždaviniai, tame tarpe perturbuotų alternantinių angliavandenilių hamiltoniano matricoms [13]. Matrica (11) čia vaidina nulin s eil s nario vaidmenį, prie kurio prisideda pirmos eil s matrica H (1). Įvairūs gautųjų rezultatų taikymai yra išsamiai aptarti apžvalgoje [7]. Prieš baigdami, šiek tiek apsistosime ties perturbacin s nekanonin s MO teorijos taikymais cheminių reakcijų tyrimuose. Kaip jau min ta, yra pagrindo manyti, jog didel je organin je molekul je vykstančioje chemin je reakcijoje tiesiogiai dalyvauja tik nedidelis jos fragmentas, vadinamas reakciniu centru. Jo artimiausia aplinka procese dalyvauja netiesiogiai (kaip elektronų donoras į reakcinį centrą arba kaip akceptorius iš jo), ir ši netiesiogin įtaka greitai gęsta tolstant nuo centro. Taikant kanoninį MO metodą, tokios koncepcijos, deja, niekaip neatsispindi. Pritaikius nekanoninę MO teoriją dviems sąveikaujančioms molekul ms [14] paaišk jo, jog lokaliniai krūvio persiskirstymai tarp jų reakcinių centrų aprašomi žemesn s eil s perturbacijų teorijos eilut s nariais, o persiskirstymai, apimantys ne tik šiuos centrus, bet ir artimiausią jų aplinką aukštesn s eil s (o tuo pačiu ir mažesniais) nariais. Tokiu būdu gaunamas netiesiogin s aplinkos įtakos gesimas tolstant nuo reakcinio centro. Šis rezultatas pad jo pagrindą vadinamam pusiau lokalizuotam cheminių reakcijų tyrimo metodui. Šiuo metodu buvo išnagrin tos pagrindin s organin s chemijos reakcijos. Sugretinus atitinkamus rezultatus, pavyko suformuluoti universalią atrankos taisyklę šioms reakcijoms per tiesioginių ir netiesioginių orbitalių sąveikų ženklus, būtent reakcija yra leistina kai pagrindin s iš min tų sąveikų yra vienodo ženklo ir atvirkščiai. Ši taisykl apima platesnį reakcijų ratą negu gerai žinoma Vudvardo Hofmano taisykl. Literatūra 1. V.Gineityt, Lietuvos Fizikos Žurn., 34, p (1994). 2. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 53, p (1995). 3. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 60, p (1996). 4. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 64, p (1997). 5. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 66, p (1996). 6. V.Gineityte, J. Mol. Struct. (Theochem.), 343, p (1995). 7. V.Gineityt, Lietuvos Fizikos Žurn., 44, p (2004). 8. V.Gineityt, Int. J. Quant. Chem., 72, p (1999). 9. V.Gineityte, J. Mol. Struct. (Theochem.), 585, p (2002). 10. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 68, p (1998). 11. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 81, p (2001); Erratum, 82, 262 (2001).
6 12. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 101, p (2005). 13. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 105, p (2005). 14. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 94, p (2003). 1 pav. Heksano molekul s (C 6 H 14 ) hamiltoniano matricos grafas (G H ), jos cheminis grafas (G Ch ) ir * * jų bendra redukuota forma ( GCh G H ). Rodykl mis simboliškai pažym tos atitinkamos redukcijos procedūros. Vienmat grandin l pažym ta simboliu G 0.
Matematika 1 4 dalis
Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios
Διαβάστε περισσότεραX galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)
Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f
Διαβάστε περισσότεραDviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės
Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS
Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................
Διαβάστε περισσότεραElektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose
lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt
Διαβάστε περισσότεραI dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI
008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI
Διαβάστε περισσότεραSpalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1
Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa
Διαβάστε περισσότεραStatistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas
Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros
Διαβάστε περισσότεραTemos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas
Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo
Διαβάστε περισσότερα06 Geometrin e optika 1
06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco
Διαβάστε περισσότερα1.4. Rungės ir Kuto metodas
.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio
Διαβάστε περισσότεραĮžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga
VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 3 dalis
Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A
Διαβάστε περισσότεραLaboratorinis darbas Nr. 2
M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių
Διαβάστε περισσότεραFDMGEO4: Antros eilės kreivės I
FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότεραArenijaus (Arrhenius) teorija
Rūgštys ir bazės Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštis: Bazė: H 2 O HCl(d) H + (aq) + Cl - (aq) H 2 O NaOH(k) Na + (aq) + OH - (aq) Tuomet neutralizacijos reakcija: Na + (aq) + OH - (aq) + H + (aq) + Cl
Διαβάστε περισσότερα1 TIES ES IR PLOK TUMOS
G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225
Διαβάστε περισσότεραI.4. Laisvasis kūnų kritimas
I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės
Διαβάστε περισσότερα2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis
PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,
MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės
Διαβάστε περισσότεραKetvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip:
PRIEDAI 113 A priedas. Rungės ir Kuto metodas Rungės-Kutos metodu sprendiamos diferencialinės lygtys. Norint skaitiniu būdu išspręsti diferencialinę lygtį, reikia žinoti ieškomos funkcijos ir jos išvestinės
Διαβάστε περισσότερα1. Individualios užduotys:
IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė
Διαβάστε περισσότεραEKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)
EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės konspektai
Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε
Διαβάστε περισσότερα04 Elektromagnetinės bangos
04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame
Διαβάστε περισσότεραCheminių ryšių sudaryme dalyvauja valentiniai elektronai. Atomo sandara. O ir N išorinio sluoksnio elektronų išsid stymas kvantų d žut se
Neutronas Elektronas nº e Atomo sandara Chemijos mokslas nagrin ja atomo sandarą tiek, kad būtų galima paaiškinti elementų chemines savybes, atomų ryšius molekul se ir naujų elementų susidarymą, vykdant
Διαβάστε περισσότεραIntegriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009
1 Integriniai diodai Integrinių diodų pn sandūros sudaromos formuojant dvipolių integrinių grandynų tranzistorius. Dažniausiai integriniuose grandynuose kaip diodai naudojami tranzistoriniai dariniai.
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmai. Vytautas Kazakevičius
Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................
Διαβάστε περισσότεραSkysčiai ir kietos medžiagos
Skysčiai ir kietos medžiagos Dujos Dujos, skysčiai ir kietos medžiagos Užima visą indo tūrį Yra lengvai suspaudžiamos Lengvai teka iš vieno indo į kitą Greitai difunduoja Kondensuotos fazės (būsenos):
Διαβάστε περισσότεραAIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS
AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas
Διαβάστε περισσότεραTaikomieji optimizavimo metodai
Taikomieji optimizavimo metodai 1 LITERATŪRA A. Apynis. Optimizavimo metodai. V., 2005 G. Dzemyda, V. Šaltenis, V. Tiešis. Optimizavimo metodai, V., 2007 V. Būda, M. Sapagovas. Skaitiniai metodai : algoritmai,
Διαβάστε περισσότεραVILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo
Διαβάστε περισσότεραORGANINIŲ METALŲ JUNGINIŲ CHEMIJA
Sigitas Tumkevičius GAIIŲ METALŲ JUGIIŲ CEMIJA METDIĖ PIEMĖ Projektas Chemijos ir chemijos inžinerijos specialistų rengimo tobulinimas, dėstytojų kvalifikacijos gerinimas bei mobilumo skatinimas, kodas
Διαβάστε περισσότεραIII. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:
III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia
Διαβάστε περισσότεραTIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010
TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,
Διαβάστε περισσότερα2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS
.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame
Διαβάστε περισσότεραSu pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos
Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos Rimantas DEKSNYS, Robertas STANIULIS Elektros sistemų katedra Kauno technologijos universitetas
Διαβάστε περισσότερα1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad
45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai
Διαβάστε περισσότεραII dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol
PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 05 m. birželio 8 d. įsakymu Nr. (.3.)-V-73 05 M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA. Pagrindinė sesija I dalis Teisingas
Διαβάστε περισσότερα2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd
Διαβάστε περισσότεραAtsitiktinių paklaidų įvertinimas
4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra
Διαβάστε περισσότερα1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai
1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai 1.1. Branduolio nukleonų energijos diskretumo aiškinimas. Dalelė stačiakampėje potencialo duobėje Dalelės banginė funkcija tai koordinačių ir
Διαβάστε περισσότεραVIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?
VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos
Διαβάστε περισσότεραRinktiniai informacijos saugos skyriai. 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija
Rinktiniai informacijos saugos skyriai 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija Paskaitos tikslai Šioje temoje nagrinėjami klausimai: Perstatų šifrai Keitinių šifrai Vienos
Διαβάστε περισσότεραAnalizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.
Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a
Διαβάστε περισσότεραANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)
ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARIOJI TEORIJA
ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.
Διαβάστε περισσότερα2007 m. ATASKAITA. VU TEORINöS FIZIKOS IR ASTRONOMIJOS INSTITUTAS (direktor habil.dr. Gražina Tautvaišien ) Darbuotojai, mokslo publikacijos
VU TEORINöS FIZIKOS IR ASTRONOMIJOS INSTITUTAS (direktor habil.dr. Gražina Tautvaišien ) Darbuotojai, mokslo publikacijos 2007 m. ATASKAITA 2007 m. institute dirbo 102 darbuotojai, iš jų 63 mokslo darbuotojai
Διαβάστε περισσότεραKompiuterinė lazerių fizika. Viktorija Pyragaitė
Kompiuterinė lazerių fizika Viktorija Pyragaitė VILNIAUS UNIVERSITETAS FIZIKOS FAKULTETAS Viktorija Pyragaitė KOMPIUTERINĖ LAZERIŲ FIZIKA Elektroninis leidinys Mokomoji knyga Vilnius 2013 Apsvarstė ir
Διαβάστε περισσότεραĮvadas į laboratorinius darbus
M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis
Διαβάστε περισσότερα1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO
iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7
Διαβάστε περισσότεραAtomų sąveikos molekulėje rūšys (joninis ir kovalentinis ryšys). Molekulė mažiausia medžiagos dalelė, turinti esmines medžiagos chemines savybes.
Atomų sąveikos molekulėje rūšys (joninis ir kovalentinis ryšys). Molekulė mažiausia medžiagos dalelė, turinti esmines medžiagos chemines savybes. Ji susideda iš vienodų arba skirtingų atomų. Molekulėje
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότεραFIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU
EUROPOS SĄJUNGA Europos socialinis fondas KURKIME ATEITĮ DRAUGE! 2004-2006 m. Bendrojo programavimo dokumento 2 prioriteto Žmogiškųjų išteklių plėtra 4 priemonė Mokymosi visą gyvenimą sąlygų plėtra Projekto
Διαβάστε περισσότεραEUROPOS CENTRINIS BANKAS
2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo
Διαβάστε περισσότερα2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai
M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės
Διαβάστε περισσότεραPNEUMATIKA - vožtuvai
Mini vožtuvai - serija VME 1 - Tipas: 3/2, NC, NO, monostabilūs - Valdymas: Mechaninis ir rankinis - Nominalus debitas (kai 6 barai, Δp = 1 baras): 60 l/min. - Prijungimai: Kištukinės jungtys ø 4 žarnoms
Διαβάστε περισσότεραMatematinis modeliavimas
ALGIRDAS AMBRAZEVIƒIUS Matematinis modeliavimas Vilniaus universitetas 2006 2 TURINYS 1 SKYRIUS PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 4 11 Pagrindines s vokos 4 12 Fundamentaliu gamtos desniu taikymas 10
Διαβάστε περισσότερα4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu
IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu
Διαβάστε περισσότεραKRŪVININKŲ JUDRIO PRIKLAUSOMYBĖS NUO ELEKTRINIO LAUKO STIPRIO TYRIMAS
VILNIAUS UNIVERSITETAS Puslaidininkių fizikos katedra Puslaidininkių fizikos mokomoji laboratorija Laboratorinis darbas Nr. 5 KRŪVININKŲ JUDRIO PRIKLAUSOMYBĖS NUO ELEKTRINIO LAUKO STIPRIO TYRIMAS 013-09-0
Διαβάστε περισσότεραEkonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė
Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,
Διαβάστε περισσότεραStiklo pluošto laikikliai - gali būti sprendimas langams/durims tvirtinti šiltinimo sluoksnyje
Stiklo pluošto laikikliai - gali būti sprendimas langams/durims tvirtinti šiltinimo sluoksnyje Lango vieta angoje Reguliuojami stiklo pluošto laikikliai Sukurta mūsų, pagaminta mūsų Geram rezultatui
Διαβάστε περισσότερα= γ. v = 2Fe(k) O(g) k[h. Cheminė kinetika ir pusiausvyra. Reakcijos greičio priklausomybė nuo temperatūros. t2 t
Cheminė kineika ir pusiausyra Nagrinėja cheminių reakcijų greiį ir mechanizmą. Cheminių reakcijų meu kina reaguojančių iagų koncenracijos: c ų koncenracija, mol/l laikas, s c = Reakcijos greičio io ()
Διαβάστε περισσότεραMATAVIMAI IR METROLOGIJOS PAGRINDAI
EUROPOS SĄJUNGA KURKIME ATEITĮ DRAUGE! VILNIAUS KOLEGIJA Europos Sąjungos struktūrinių fondų paramos projektas MOKYMO IR STUDIJŲ PROGRAMOS MECHANIKOS IR ELEKTRONIKOS SEKTORIAUS POREIKIAMS TENKINTI SUKŪRIMAS
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 9 d. Santrauka Pirmas laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti nesudėtingus
Διαβάστε περισσότεραDISKREČIOJI MATEMATIKA
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos
Διαβάστε περισσότεραIV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,
41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,
Διαβάστε περισσότερα9. KEVALŲ ELEMENTAI. Pavyzdžiai:
9. KEVALŲ ELEMENTAI Kealai Tai ploni storio krptii kūnai, sudarti iš kreių plokštuų. Geoetrija nusakoa iduriniu pairšiui ir storiu t. Kiekiena pairšiaus taške galia rasti di kreies, atitinkančias inialius
Διαβάστε περισσότεραRemigijus Leipus. Ekonometrija II. remis
Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2
Διαβάστε περισσότεραFRANKO IR HERCO BANDYMAS
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Atomo ir branduolio fizikos laboratorija Laboratorinis darbas Nr. FRANKO IR HERCO BANDYMAS Parengė A. Poškus 013-08-31 Turinys Darbo tikslas 1.
Διαβάστε περισσότεραJONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA
JONAS DUMČIUS (1905 1986) TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA 1975 metais rotaprintu spausdintą vadovėlį surinko klasikinės filologijos III kurso studentai Lina Girdvainytė Aistė Šuliokaitė Kristina
Διαβάστε περισσότεραRiebalų rūgščių biosintezė
Riebalų rūgščių biosintezė Riebalų rūgščių (RR) biosintezė Kepenys, pieno liaukos, riebalinis audinys pagrindiniai organai, kuriuose vyksta RR sintezė RR grandinė ilginama jungiant 2C atomus turinčius
Διαβάστε περισσότεραVilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas
Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,
Διαβάστε περισσότεραTERMOCHEMIJA. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika.
Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika. TERMOCHEMIJA Termodinamikos dalis, nagrinėjanti cheminių reakcijų šiluminius efektus,
Διαβάστε περισσότεραTaikomoji branduolio fizika
VILNIAUS UNIVERSITETAS Taikomoji branduolio fizika Parengė A. Poškus Vilnius 2015-05-20 Turinys 1. Neutronų sąveika su medžiaga...1 1.1. Neutronų sąveikos su medžiaga rūšys...1 1.2. Neutrono sukeltų branduolinių
Διαβάστε περισσότεραDiskrečioji matematika
VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės
Διαβάστε περισσότεραAUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA
Saulius LISAUSKAS AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Projekto kodas VP1-.-ŠMM-7-K-1-47 VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 1 VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS
Διαβάστε περισσότεραATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )
ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D
LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS MATEMATIKOS KATEDRA Antanas Lapinskas M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D (MOKOMOJI KNYGA) AKADEMIJA 006 UDK 0049 (0754) Sudarė: doc dr Antanas
Διαβάστε περισσότεραŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE
ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,
Διαβάστε περισσότεραPUSLAIDININKINIAI ĮTAISAI. VEIKIMO IR TAIKYMO PAGRINDAI
VILNIAUS UNIVERSITETAS Fizikos fakultetas Radiofizikos katedra ČESLOVAS PAVASARIS PUSLAIDININKINIAI ĮTAISAI. VEIKIMO IR TAIKYMO PAGRINDAI (1 dalis- radiotechninių grandinių pasyvieji ir aktyvieji elementai)
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ
LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį
Διαβάστε περισσότεραELEKTRINIS KIETŲJŲ KŪNŲ LAIDUMAS
II skyrius ELEKTRINIS KIETŲJŲ KŪNŲ LAIDUMAS 2.1. Kietųjų kūnų klasifikacija pagal laiduą Pagal gebėjią praleisti elektros srovę visos edžiagos gatoje yra skirstoos į tris pagridines klases: laidininkus,
Διαβάστε περισσότεραSIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE Mokymo priemonė Parengė A. Poškus 4 Turinys. ĮVADAS..... Telekomunikaijų sistemos struktūrinė shema. Pagrindinės
Διαβάστε περισσότεραŠotkio diodo voltamperinės charakteristikos tyrimas
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Krūvio pernašos vyksmų skaitinis modeliavimas Darbas Nr. 1 Šotkio diodo voltamperinės charakteristikos tyrimas Parengė A. Poškus 214-9-3 Turinys
Διαβάστε περισσότερα6. Konstrukcijų patikimumo įvertinimo metodai
6. Kostrukcijų patikimumo įvertiimo metodai 6.1. Bedrieji kostrukcijų patikimumo įvertiimo pricipai 6.1 tekstas Eksploatuojamoje kostrukcijoje, kaip ir visur gamtoje, vyksta priešybių kova: iš vieos pusės,
Διαβάστε περισσότερα4.3. Minimalaus dengiančio medžio radimas
SKYRIUS. ALGORITMAI GRAFUOSE.. Minimalaus dengiančio medžio radimas Šiame skyriuje susipažinsime su minimaliu dengiančiu medžių radimo algoritmais. Pirmiausia sudarysime dvi taisykles, leidžiančias pasirinkti
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu
GRAFU TEORIJA RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec, 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA 1 Pagrindinės sa vokos, pavyzdžiai Grafu veiksmai 2 Grafo parametru sa ryšiai 3 Jungiantysis
Διαβάστε περισσότεραMONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas...
MONTE KARLO METODAS Gediminas Stepanauskas 2008 Turinys 1 IVADAS 4 1.1 Sistemos.............................. 4 1.2 Modeliai.............................. 5 1.3 Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas.............
Διαβάστε περισσότεραV skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI
V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi
Διαβάστε περισσότεραIII.Termodinamikos pagrindai
III.ermodinamikos pagrindai III.. Dujų plėtimosi darbas egu dujos yra cilindre su nesvariu judančiu stūmokliu, kurio plotas lygus S, ir jas veikia tik išorinis slėgis p. Pradinius dujų parametrus pažymėkime
Διαβάστε περισσότερα