Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje. V.Gineityt

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje. V.Gineityt"

Transcript

1 Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje V.Gineityt Gamtos moksluose teorijoms keliami du pagrindiniai uždaviniai: paaiškinti stebimų objektų savybes ar reiškinių priežastis ir prognozuoti naujus reiškinius ar savybes. S kminga teorija tur tų atitikti abu šiuos reikalavimus. Praktikoje, deja, neretai pasitaiko, kad viena iš min tų funkcijų išsivysto tarsi likusiosios sąskaita, o pastaroji susilpn ja. Tokia situacija stebima šiuolaikin je molekulių elektronin s sandaros teorijoje, taikant sud tingus skaitmeninius Hartri- Foko ir joms giminingų lygčių sprendimo metodus. Iš tiesų tokių skaičiavimų tikslumas dažnai jau pasiekia eksperimentinį, o tai įgalina prognozuoti objektų savybes. Kita vertus, d l iteracinių metodų naudojimo ir skaitmeninių eilučių sumavimo (ypač taikant vadinamąją konfigūracijų sąveiką) paaiškinti gautus rezultatus neretai būna labai sunku. Štai, pavyzdžiui, dviatomių molekulių F 2, Cl 2 ir Br 2 eksperimentin s cheminio ryšio energijos atitinkamai yra 37.6, 58.0 ir 45.4 kkal/mol. Visai tik tina, kad pasirinkę pakankamai tikslų skaitmeninį metodą gausime rezultatus, kurie gerai sutaps su min taisiais. Tuo pagrindu gal sime prognozuoti kitos giminingos molekul s (sakykim ClBr) cheminio ryšio energiją. Tačiau paaiškinti, kod l būtent Cl 2 turi didžiausią ryšio energiją iš min tų trijų nebus taip paprasta. Tam reikia žinoti, kaip aplamai dviatom s molekul s ryšio energija susijusi su branduolių krūviais ir elektronų skaičiais, o atsekti šią sąsają iš sud tingų skaičiavimų vargu ar pavyks. Kokybinių molekulių elektronin s sandaros teorijų bei koncepcijų svarba ir susijusi su šia aiškinamąja funkcija. Optimali kokybin teorija priklauso nuo nagrin jamojo objekto ir problemos. Štai, pavyzdžiui, kas tinka dviatomių molekulių atveju gali būti nepritaikoma daugiaatomiams organiniams junginiams. Be to, kokybin s teorijos sudaro tam tikrą hierarchiją pagal tai, koks matematinis aparatas naudojamas ar aplamai nenaudojamas. Pastaruoju atveju turime verbalines (aprašomąsias) teorijas, kurios sudaro klasikin s chemijos pagrindą. Pavyzdžiu čia gali būti valentingumo teorija. Tačiau verbalinių teorijų galimyb s mikropasaulio tyrime matyt beveik išsemtos. Tod l dabar jas pakeičia algebriniais metodais paremtos teorijos. Šių metodų panaudojimas įgalina atsisakyti iteracin s uždavinio prigimties. Tam tikslui nuo sprendinių priklausantys fokiano matricos elementai yra pakeičiami algebriniais parametrais išlaikant esminius santykius tarp jų, sąlygotus erdvin s duotosios molekul s sandaros (pavyzdžiui, gali būti įvedami nulin s ir pirmos eil s parametrai). Taip gaunamas vadinamasis modelinis sistemos hamiltonianas. Tuo tarpu sprendžiamųjų lygčių pavidalas išlieka toks pat, kaip ir atitinkamo tikslaus kvantinio metodo, pvz., sekuliarin lygtis (diagonalizacijos uždavinys). Atlikus tokį iš pirmo žvilgsnio drastišką supaprastinimą, neretai atsiranda net naujų apibendrinimų galimyb s, pavyzdžiui, pasiseka suformuluoti bendrą uždavinį tam tikrai giminingų molekulių grupei ar sekai, kas n ra įmanoma taikant tikslius metodus. Šių eilučių autorei 1987 metais per jus dirbti į tuometinį Fizikos institutą, prad ta pl toti kokybin organinių molekulių elektronin s sandaros teorija. Ankstesnis įdirbis šioje srityje ir kitų autorių darbai, kuriais remtasi, detaliai aptarti apžvalgoje [1]. Darbai iš karto prad ti dviem kryptimis, kurios atitinkamai susiję su diagonalizacijos ir blokin s diagonalizacijos uždavinių sprendimais. Aptarsime šias kryptis atskirai. Pirmosios krypties darbai kilo iš sočiųjų angliavandenilių (vadinamųjų alkanų) fotoelektroninių spektrų analiz s. Kaip žinoma, toks spektras visada siejamas su tiriamosios molekul s jonizaciniais potencialais, o pastarieji su jos fokiano (ar hamiltoniano) matricos tikrin mis vert mis. Šios vert s paprastai yra individuali duotosios matricos savyb, priklausanti nuo visų jos elementų. Toks pat individualumas aplamai būdingas ir stebimiems atskirų molekulių spektrams. Tačiau alkanų (C N H 2N+2 ) fotoelektroniniai spektrai pasižymi daugeliu bendrų ypatybių.

2 Pastarųjų kilm ir jų sąsaja su panašia tetraedrine šių molekulių lokaline sandara (žiūr. cheminį grafą G Ch,1 pav.) ir suk l susidom jimą. Eksperimentiniuose alkanų spektruose yra dvi juostų grup s (zonos) ir ev srityse. Būtent pastarajai (vadinamai didelių energijų) zonai labiausiai būdingos min tos bendros ypatyb s. Šiai zonai aprašyti pakanka labai paprastų (vieno parametro) modelinių hamiltoniano matricų, atvaizduojamų grafais G H (1 pav.). Šių grafų viršūn s vaizduoja C C ir C H chemines jungtis, o ryšiai artimiausių jungčių porų sąveikas. Tod l buvo sprendžiamos ir nagrin jamos šių grafų matricų sekuliarin s lygtys [2]. Paaišk jo, jog tam tikru kintamųjų eliminavimo būdu pradin * (3N+1)-ą lygtį turinti sistema gali būti suredukuota į N lygčių sistemą vaizduojamą grafu G H (1 pav.). Jo viršūnes atitinkantys matriciniai elementai (ω v (ε)) priklauso nuo energetinio kintamojo (ε) ir viršūn s valentingumo (v) tokiu būdu ω v (ε)=3+(4 v)/ε. (1) * Palyginę grafus G H ir G H matome, jog funkcijos ω v (ε) tarsi absorbuoja lokalinę pirmųjų sandarą. Būtent tai įgalino susieti bendras visiems alkanams didelių energijų zonos ypatybes (tame tarpe juostų išsid stymo panašumą į vienmat s grandin l s G 0 spektrą) su lokaline tetraedrine pradinio grafo G H sandara. Be to, N juostų turinčiai didelių energijų zonai pavyko priskirti grandin lę iš N nuo parametro ε priklausančių neortogonalių orbitalių. Kiekviena iš jų yra lokalizuota ant atitinkamo grafo G H tetraedro ir yra panaši į metano (CH 4 ) grafo G H (turinčio tik vieną tetraedrą) matricos pilnai simetrinę tikrinę funkciją. Pastarasis rezultatas apibendrino paprasčiausią zonos interpretaciją, kai jai priskiriama grandin l iš N anglies atomų 2s tipo atominių orbitalių. Be to, paaišk jo, jog atitinkamų cheminių grafų (G Ch ) matricų sekuliarin s lygtys irgi redukuojasi į tą patį * * grafą ( GCh G H ), nors grafas G Ch n ra susijęs su molekul s fokianu ar hamiltonianu. Šis faktas įgalino susieti alkanų fotoelektroninius spektrus su jų chemine formule, o tuo pačiu apibr žti atskirų jos atomų dalyvavimo fotojonizacijoje laipsnius. Galimyb suredukuoti grafus G H ir G Ch į tą patį grafą taip pat leido gauti bendras nekanonines jų sekuliarinių polinomų išraiškas per vadinamuosius antros klas s Čiobyševo polinomus U p (Q) nuo kintamojo Q, susijusio su funkcija ω 2 (ε) ir tuo pačiu su CH 2 tipo pografio sekuliariniu polinomu q 2 (ε) [3]. Min toji sąsaja tokia: Q=1/2[ε-ω 2 (ε)]=1/2q 2 (ε) (2) Šių nekanoninių išraiškų pagrindu pavyko nustatyti, jog vadinamosios zonų ribos grafų spektruose sutampa su polinomų U p (Q) ortogonalumo intervalu kada kintamasis Q patenka į sritį [ 1; +1]. S kmingai užsirekomendavusi grafų G H ir G Ch atveju, aptartoji sekuliarinių lygčių redukcijos procedūra buvo pritaikyta ir kitoms sud tingesn ms kvazivienmat ms sistemoms. Pirmiausia buvo sukonstruota tikslesn alkanų modelinio hamiltoniano matrica, kurioje be vidutin s artimiausių cheminių jungčių sąveikos buvo įtrauktos ir tolimesnių jungčių porų sąveikos. Tada vietoje grafo G H gaunama žymiai sud tingesn grandin l, o tuo pačiu ir sud tingesn sekuliarinių lygčių sistema [4]. Tačiau šis išpl stinis modelis įgalino s kmingai nagrin ti visą fotoelektroninį spektrą įskaitant ir mažesnių energijų zoną. Kadangi naujoji redukcijos procedūra tampa ypač paini grandin l s galams, buvo apsiribota cikliniu modeliu esant pakankamai dideliam N, gerai tinkančiu polietileno (... (CH 2 ) N...) fotoelektroniniam spektrui aprašyti. Vietoje vienos funkcijos ω 2 (ε), naujoji redukuota grandin l jau buvo charakterizuojama trimis skirtingomis nuo energetinio kintamojo ε priklausančiomis funkcijomis, atitinkančiomis pradinį tetraedrą bei jų kaimynines ir tolimesnes poras (vadinamuosius antruosius kaimynus). Būtent pakankamai didel mis antrųjų kaimynų sąveikomis mažų energijų zonos srityje ir pavyko paaiškinti neįprasto minimumo atsiradimą polietileno dispersin se kreiv se (žemos simetrijos Briuleno zonos taške) gaunamą skaičiuojant energetinį spektrą kieto kūno teorijos metodais. Aptartasis kintamųjų eliminavimo metodas sekuliarin se lygtyse galiausiai buvo suformuluotas kaip bendras metodas kvazivienmačių sistemų hamiltoniano matricų tikrinių verčių lygtims spręsti [5]. Lyginant jį su standartiniais kieto kūno teorijos metodais paaišk jo, kad naujasis metodas pasižymi priešinga pagrindinių veiksmų tvarka, būtent pradžioje atsižvelgiama į lokalinę

3 grandin l s sandarą atliekant jos redukciją, o tik po to į globalinę sandarą (translacinę simetriją) nagrin jant redukuotosios grandin l s rekuliarinę lygtį. Tod l naujasis metodas buvo pavadintas alternatyviuoju. Šios krypties darbai pl tojosi maždaug iki 1998 metų, o v liau nebuvo tęsiami. Dabar pereikime prie antrosios krypties darbų aptarimo. Spektrinių reiškinių prigimtis ir atomuose, ir molekul se panaši. Tod l nenuostabu, jog abiejų sistemų spektrų teorijai pilnai pakanka paprasčiausios (vadinamosios kanonin s) Hartri- Foko lygties. Molekulių atveju ieškomosios vienelektronin s funkcijos skleidžiamos atomin mis orbital mis ir ši lygtis virsta aptartąja sekuliarine lygtimi fokiano matricai. Tai vadinamasis kanoninis molekulinių orbitalių (MO) metodas. Pažym tina, jog kanonin MO paprastai yra delokalizuotos po visą molekulę. Daugiaatom se organin se molekul se greta spektrinių ir kitų visos molekul s savybių tiriamos ir jos lokalin s savyb s, pavyzdžiui, cheminiai poslinkiai branduolinio magnetinio rezonanso ir rentgeno-elektroniniuose spektruose. Be to, pirmojo tipo (globalin s) savyb s neretai formuojasi iš atskirų atomų grupių (fragmentų) lokalinių ind lių sumos, kaip antai dipolio momentas, poliarizuojamumas ir kitos. Galiausiai yra pagrindo manyti, jog dauguma cheminių reakcijų daugiaatom se sistemose yra lokaliniai reiškiniai. Delokalizuotos kanonin s MO n ra optimalios aprašant šias situacijas. Tai ir skatina dom tis galimybe gauti lokalizuotas molekulines orbitales. Vienas iš kelių siekiant tokio tikslo yra pasitelkti vadinamąją bendrąją (nekanoninę) Hartri-Foko lygtį, turinčią nediagonaliuosius Lagranžo daugiklius. Naudojant atominių orbitalių bazę, ši lygtis gali būti suvesta į blokin s diagonalizacijos (arba tikrinių blokų) lygtį fokiano matricai, o tuo pačiu ir atitinkamai modelinio hamiltoniano matricai. Tokie mažai ištirti uždaviniai ir sudomino šių eilučių autorę, sudarydami pagrindą antrajai iš min tų darbo krypčių. Paprasčiausias blokin s diagonalizacijos uždavinys formuluojamas taip: Tegu H yra lygin s dimensijos kvadratin matrica (sakykime, 2n 2n-mat ). Reikia rasti unitarinę matricą C, kuri transformuotų matricą H į blok-diagonalinę matricą E, sudarytą iš dviejų n n-mačių blokų E 1 ir E 2 tiesiogin s sumos, būtent + E C HC= E E 2. (3) Blokai E 1 ir E 2 (vadinami tikriniais blokais) irgi yra ieškomi dydžiai. Čia matyti formalus uždavinio (3) panašumas į diagonalizacijos uždavinį antros eil s matricai, tik vietoje tikrinių verčių ieškoma n n-mačių tikrinių blokų. Jeigu pradinę hamiltoniano matricą H galima išreikšti nulin s ir pirmos eil s matricų suma, t.y. H=H (0) +H (1), (4) o nulin s eil s narys H (0) jau yra blok-diagonalus, uždavinį (3) pavyko išspręsti skleidžiant ieškomąją matricą C eilute: C=C (0) +C (1) +C (2) +... (5) Be to, laikant matricas H, C ir E sudarytomis iš keturių n n-mačių blokų, sprendinį pasisek išreikšti šiais blokais, neliečiant jų vidin s sandaros [6]. Tokiu būdu atsiranda labai bendras sprendinys, galiojantis bet kokiai parametro n vertei ir bet kokiai matricų H (0) ir H (1) blokų vidinei sandarai. Pasinaudojus vadinamąja jungčių orbitalių baze (tai yra orbital s, lokalizuotos ant atskirų molekul s cheminių jungčių) paaišk jo, jog visų sočiųjų organinių molekulių atitinkamų modelinių hamiltonianų matricos tenkina reikalavimą (4), kuriame H (0) yra blok-diagonalus. Be to, visos šios matricos gali būti užrašytos bendra forma, kurioje vienos molekul s matrica nuo kitos molekul s matricos skiriasi blokų dimensija n ir jų vidine sandara. Tod l aptartasis bendras blokin s diagonalizacijos uždavinio sprendinys buvo tiesiogiai pritaikytas bendram lokalizuotam sočiųjų organinių molekulių kvantmechaniniam aprašymui sukurti [6]. Lokalizuotos molekulin s orbital s čia gaunamos iš matricos C parenkant eilut je (5) nulin s eil s narį C (0) sutampantį su vienetine matrica I. Tačiau tai yra tik viena min tojo aprašymo dalis.

4 Panašiu būdu (t.y. n n-mačiais blokais) pavyko išspręsti ir lygčių sistemą atitinkamam viendalelin s tankio matricos atvaizdui P. Panaudoję pažym jimą P I=Y, min tąją lygčių sistemą galima užrašyti taip [H, Y]_=0, Y 2 =I, Spur Y=0 (6) kur pirmosios formul s kair je pus je yra matricų H ir Y komutatorius. Ši lygtis gaunama iš Dirako lygties nuo laiko nepriklausančiam hamiltonianui. Antroji ir trečioji (6)-osios sistemos lygtys atitinkamai seka iš idempotencijos reikalavimo tankio matricai ir krūvio tverm s sąlygos. Pasirod, jog uždaviniai (3) ir (6) yra glaudžiai susiję [6], o jų sprendiniai (matricos C ir P) išreiškiami tarpusavyje proporcingais blokais. Tokiu būdu buvo nustatyta paprasta sąsaja tarp lokalizuotų MO ir elektroninio tankio pasiskirstymo, v liau įgavusi platų pritaikymą įvairioms chemin ms problemoms spręsti. Taip pat pažym tina, jog matricų C ir P eilučių nariai (C (k) ir P (k), kur k yra nario eil ) buvo išreikšti tam tikromis universaliomis n n-mat mis matricomis G (k), kurių elementai interpretuojami kaip tiesiogin s (per erdvę) ir netiesiogin s (per jungtis) bazinių orbitalių sąveikos. Pasirod, jog šios sąveikos yra universalūs terminai, kuriais galima aptarti ne tik molekulių elektroninę sandarą, bet ir chemines reakcijas. Kaip paaišk jo gerokai v liau, reikalavimą (4) su blok-diagonaliu (ar net diagonaliu) nariu H (0) tenkina ir daugelio kitų tipų molekulių modelinių hamiltonianų matricos (žiūr. apžvalgą [7]). Tam reikia tik tinkamai parinkti pradines bazines orbitales. Tod l pastarasis lokalizuotas aprašymas buvo pl tojamas toliau. Buvo nustatyta, jog tankio matricos atvaizdą P galima gauti iš projektoriaus į užimtų nekanoninių MO poerdvį [8]. Tokiu būdu yra patenkinamas bendras MO metodo reikalavimas. Buvo taip pat panagrin ta pilna sistemos energija (E) apibr žiama taip E=Spur(PH). (7) Kai matricos H ir P yra išskleistos eilut mis, pilna energija E irgi yra eilut, kurios k-tasis narys ( α ) ( β ) susideda iš dviejų komponenčių E ir E sumos. Šios komponent s atrodo taip ( α ) E = Spur (P (k) H (0) ), E = Spur (P (k-1) H (1) ) (8) ( β ) ( β ) ( α ) ir susiję su tiesioginiu ( E ) ir antriniu ( E ) perturbacijos ind liu į pataisą E (k). Be to, min tiems ind liams pavyko gauti tokį tarpusavio sąryšį [9] ( β ) ( α ) (k 1) E =-ke, (9) rodantį, jog pilna pataisa E (k) gali būti išreikšta tiek per E, tiek ir per ( α ) E. Sąsaja (9) s kmingai pasitarnavo išreiškiant molekulin s sistemos stabilizacijos energiją d l perturbacijos H (1) per atitinkamą elektroninio tankio pasiskirstymą [9]. Aptartieji rezultatai, kaip visuma, buvo pavadinti perturbacine nekanonine molekulinių orbitalių teorija [7] (iš analogijos su žinoma perturbacine MO teorija, besiremiančia kanoniniu MO metodu). Tolesn šio darbo pl tra vyko keliomis kryptimis. Pirmiausiai uždavinys (3) buvo apibendrintas neortogonalių bazinių orbitalių atvejui. Tada prie (3)-iosios sąlygos pridedamas sanklotos integralų matricos S suvedimo į vienetinę matricą reikalavimas, būtent C + SC=I. (10) Ieškomosios matricos C, E 1 ir E 2 dabar jau išsireiškia ne tik matricos H, bet ir matricos S blokais [8]. D l gautų išraiškų sud tingumo šis uždavinys platesnio pritaikymo neįgavo. Kitas svarbus apibendrinimas susijęs su per jimu prie bet kokio tikrinių blokų skaičiaus uždavinyje (3). Bendras jo pavidalas išlieka toks pat, tačiau dešin je lygties pus je atsiranda tiesiogin tikrinių blokų E 1, E 2...E M suma, kurių kiekvienas bendru atveju gali būti skirtingos dimensijos. Kai galioja reikalavimas (4), kuriame H (0) irgi yra analogiškos sandaros blokdiagonali matrica (čia turima omenyje, jog jos blokų dimensijos sutampa su E 1, E 2...E M submatricų dimensijomis), pavyko suformuluoti bendrą perturbacijų teoriją [7, 10], kur vietoje įprastų viendimensinių dydžių (tikrinių verčių ir tikrinių funkcijų skleidimo koeficientų C ik ) atsiranda matricos. Kadangi pastarosios tarpusavyje nekomutuoja, tai naujoji teorija buvo pavadinta nekomutatyviąja Rel jaus Šredingerio perturbacijų teorija. Ji gali būti suformuluota ir operatorine ( β )

5 forma. Ši teorija buvo s kmingai pritaikyta ieškant sud tingos kvazivienmat s sistemos atskirų posistemių efektyvinių hamiltonianų [11]. Šiame kontekste svarbią vietą užima vadinamųjų alternantinių konjuguotųjų angliavandenilių modelinio hamiltoniano matrica H ~. Ji atrodo taip ~ 0 B H =, (11) B + 0 kur B yra kvadratin n n-mat submatrica (blokas), o B + - jos kompleksiškai sujungtin matrica. ~ Matrica H netenkina reikalavimo (4) ir tod l atitinkamas uždavinys (3) yra išsigimusio perturbacijų teorijos atvejo dviems lygmenims matricinis analogas. Toks uždavinys irgi buvo išspręstas (beje, ne perturbaciniu, o tiesioginiu būdu) [12]. Matricos ~ H tikriniai blokai išreiškiami taip E 1 =(BB + ) 1/2, E 2 = (B + B) 1/2 (12) ir susiveda į +β ir -β, kai matricos B ir B + virsta viendimensiniu dydžiu β. Sprendinys (12) galioja bet kokiai matricos B dimensijai (n) ir bet kokiai jos vidinei sandarai. Tokiu būdu buvo gautas bendras alternantinių angliavandenilių lokalizuotas aprašymas. Buvo išspręsti ir sud tingesni (3)-io tipo uždaviniai, tame tarpe perturbuotų alternantinių angliavandenilių hamiltoniano matricoms [13]. Matrica (11) čia vaidina nulin s eil s nario vaidmenį, prie kurio prisideda pirmos eil s matrica H (1). Įvairūs gautųjų rezultatų taikymai yra išsamiai aptarti apžvalgoje [7]. Prieš baigdami, šiek tiek apsistosime ties perturbacin s nekanonin s MO teorijos taikymais cheminių reakcijų tyrimuose. Kaip jau min ta, yra pagrindo manyti, jog didel je organin je molekul je vykstančioje chemin je reakcijoje tiesiogiai dalyvauja tik nedidelis jos fragmentas, vadinamas reakciniu centru. Jo artimiausia aplinka procese dalyvauja netiesiogiai (kaip elektronų donoras į reakcinį centrą arba kaip akceptorius iš jo), ir ši netiesiogin įtaka greitai gęsta tolstant nuo centro. Taikant kanoninį MO metodą, tokios koncepcijos, deja, niekaip neatsispindi. Pritaikius nekanoninę MO teoriją dviems sąveikaujančioms molekul ms [14] paaišk jo, jog lokaliniai krūvio persiskirstymai tarp jų reakcinių centrų aprašomi žemesn s eil s perturbacijų teorijos eilut s nariais, o persiskirstymai, apimantys ne tik šiuos centrus, bet ir artimiausią jų aplinką aukštesn s eil s (o tuo pačiu ir mažesniais) nariais. Tokiu būdu gaunamas netiesiogin s aplinkos įtakos gesimas tolstant nuo reakcinio centro. Šis rezultatas pad jo pagrindą vadinamam pusiau lokalizuotam cheminių reakcijų tyrimo metodui. Šiuo metodu buvo išnagrin tos pagrindin s organin s chemijos reakcijos. Sugretinus atitinkamus rezultatus, pavyko suformuluoti universalią atrankos taisyklę šioms reakcijoms per tiesioginių ir netiesioginių orbitalių sąveikų ženklus, būtent reakcija yra leistina kai pagrindin s iš min tų sąveikų yra vienodo ženklo ir atvirkščiai. Ši taisykl apima platesnį reakcijų ratą negu gerai žinoma Vudvardo Hofmano taisykl. Literatūra 1. V.Gineityt, Lietuvos Fizikos Žurn., 34, p (1994). 2. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 53, p (1995). 3. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 60, p (1996). 4. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 64, p (1997). 5. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 66, p (1996). 6. V.Gineityte, J. Mol. Struct. (Theochem.), 343, p (1995). 7. V.Gineityt, Lietuvos Fizikos Žurn., 44, p (2004). 8. V.Gineityt, Int. J. Quant. Chem., 72, p (1999). 9. V.Gineityte, J. Mol. Struct. (Theochem.), 585, p (2002). 10. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 68, p (1998). 11. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 81, p (2001); Erratum, 82, 262 (2001).

6 12. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 101, p (2005). 13. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 105, p (2005). 14. V.Gineityte, Int. J. Quant. Chem., 94, p (2003). 1 pav. Heksano molekul s (C 6 H 14 ) hamiltoniano matricos grafas (G H ), jos cheminis grafas (G Ch ) ir * * jų bendra redukuota forma ( GCh G H ). Rodykl mis simboliškai pažym tos atitinkamos redukcijos procedūros. Vienmat grandin l pažym ta simboliu G 0.

Matematika 1 4 dalis

Matematika 1 4 dalis Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios

Διαβάστε περισσότερα

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f

Διαβάστε περισσότερα

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................

Διαβάστε περισσότερα

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt

Διαβάστε περισσότερα

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI 008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI

Διαβάστε περισσότερα

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1 Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa

Διαβάστε περισσότερα

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros

Διαβάστε περισσότερα

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo

Διαβάστε περισσότερα

06 Geometrin e optika 1

06 Geometrin e optika 1 06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco

Διαβάστε περισσότερα

1.4. Rungės ir Kuto metodas

1.4. Rungės ir Kuto metodas .4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio

Διαβάστε περισσότερα

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos .1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 3 dalis

Matematika 1 3 dalis Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A

Διαβάστε περισσότερα

Laboratorinis darbas Nr. 2

Laboratorinis darbas Nr. 2 M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių

Διαβάστε περισσότερα

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

Arenijaus (Arrhenius) teorija

Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštys ir bazės Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštis: Bazė: H 2 O HCl(d) H + (aq) + Cl - (aq) H 2 O NaOH(k) Na + (aq) + OH - (aq) Tuomet neutralizacijos reakcija: Na + (aq) + OH - (aq) + H + (aq) + Cl

Διαβάστε περισσότερα

1 TIES ES IR PLOK TUMOS

1 TIES ES IR PLOK TUMOS G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225

Διαβάστε περισσότερα

I.4. Laisvasis kūnų kritimas

I.4. Laisvasis kūnų kritimas I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės

Διαβάστε περισσότερα

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras, MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės

Διαβάστε περισσότερα

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip:

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip: PRIEDAI 113 A priedas. Rungės ir Kuto metodas Rungės-Kutos metodu sprendiamos diferencialinės lygtys. Norint skaitiniu būdu išspręsti diferencialinę lygtį, reikia žinoti ieškomos funkcijos ir jos išvestinės

Διαβάστε περισσότερα

1. Individualios užduotys:

1. Individualios užduotys: IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė

Διαβάστε περισσότερα

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė) EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės konspektai

Matematinės analizės konspektai Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos 0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε

Διαβάστε περισσότερα

04 Elektromagnetinės bangos

04 Elektromagnetinės bangos 04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame

Διαβάστε περισσότερα

Cheminių ryšių sudaryme dalyvauja valentiniai elektronai. Atomo sandara. O ir N išorinio sluoksnio elektronų išsid stymas kvantų d žut se

Cheminių ryšių sudaryme dalyvauja valentiniai elektronai. Atomo sandara. O ir N išorinio sluoksnio elektronų išsid stymas kvantų d žut se Neutronas Elektronas nº e Atomo sandara Chemijos mokslas nagrin ja atomo sandarą tiek, kad būtų galima paaiškinti elementų chemines savybes, atomų ryšius molekul se ir naujų elementų susidarymą, vykdant

Διαβάστε περισσότερα

Integriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009

Integriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009 1 Integriniai diodai Integrinių diodų pn sandūros sudaromos formuojant dvipolių integrinių grandynų tranzistorius. Dažniausiai integriniuose grandynuose kaip diodai naudojami tranzistoriniai dariniai.

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................

Διαβάστε περισσότερα

Skysčiai ir kietos medžiagos

Skysčiai ir kietos medžiagos Skysčiai ir kietos medžiagos Dujos Dujos, skysčiai ir kietos medžiagos Užima visą indo tūrį Yra lengvai suspaudžiamos Lengvai teka iš vieno indo į kitą Greitai difunduoja Kondensuotos fazės (būsenos):

Διαβάστε περισσότερα

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas

Διαβάστε περισσότερα

Taikomieji optimizavimo metodai

Taikomieji optimizavimo metodai Taikomieji optimizavimo metodai 1 LITERATŪRA A. Apynis. Optimizavimo metodai. V., 2005 G. Dzemyda, V. Šaltenis, V. Tiešis. Optimizavimo metodai, V., 2007 V. Būda, M. Sapagovas. Skaitiniai metodai : algoritmai,

Διαβάστε περισσότερα

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo

Διαβάστε περισσότερα

ORGANINIŲ METALŲ JUNGINIŲ CHEMIJA

ORGANINIŲ METALŲ JUNGINIŲ CHEMIJA Sigitas Tumkevičius GAIIŲ METALŲ JUGIIŲ CEMIJA METDIĖ PIEMĖ Projektas Chemijos ir chemijos inžinerijos specialistų rengimo tobulinimas, dėstytojų kvalifikacijos gerinimas bei mobilumo skatinimas, kodas

Διαβάστε περισσότερα

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip: III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia

Διαβάστε περισσότερα

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,

Διαβάστε περισσότερα

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS .5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame

Διαβάστε περισσότερα

Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos

Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos Rimantas DEKSNYS, Robertas STANIULIS Elektros sistemų katedra Kauno technologijos universitetas

Διαβάστε περισσότερα

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad 45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai

Διαβάστε περισσότερα

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 05 m. birželio 8 d. įsakymu Nr. (.3.)-V-73 05 M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA. Pagrindinė sesija I dalis Teisingas

Διαβάστε περισσότερα

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd

Διαβάστε περισσότερα

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas 4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra

Διαβάστε περισσότερα

1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai

1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai 1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai 1.1. Branduolio nukleonų energijos diskretumo aiškinimas. Dalelė stačiakampėje potencialo duobėje Dalelės banginė funkcija tai koordinačių ir

Διαβάστε περισσότερα

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos

Διαβάστε περισσότερα

Rinktiniai informacijos saugos skyriai. 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija

Rinktiniai informacijos saugos skyriai. 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija Rinktiniai informacijos saugos skyriai 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija Paskaitos tikslai Šioje temoje nagrinėjami klausimai: Perstatų šifrai Keitinių šifrai Vienos

Διαβάστε περισσότερα

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d. Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui) ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARIOJI TEORIJA

ELEMENTARIOJI TEORIJA ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.

Διαβάστε περισσότερα

2007 m. ATASKAITA. VU TEORINöS FIZIKOS IR ASTRONOMIJOS INSTITUTAS (direktor habil.dr. Gražina Tautvaišien ) Darbuotojai, mokslo publikacijos

2007 m. ATASKAITA. VU TEORINöS FIZIKOS IR ASTRONOMIJOS INSTITUTAS (direktor habil.dr. Gražina Tautvaišien ) Darbuotojai, mokslo publikacijos VU TEORINöS FIZIKOS IR ASTRONOMIJOS INSTITUTAS (direktor habil.dr. Gražina Tautvaišien ) Darbuotojai, mokslo publikacijos 2007 m. ATASKAITA 2007 m. institute dirbo 102 darbuotojai, iš jų 63 mokslo darbuotojai

Διαβάστε περισσότερα

Kompiuterinė lazerių fizika. Viktorija Pyragaitė

Kompiuterinė lazerių fizika. Viktorija Pyragaitė Kompiuterinė lazerių fizika Viktorija Pyragaitė VILNIAUS UNIVERSITETAS FIZIKOS FAKULTETAS Viktorija Pyragaitė KOMPIUTERINĖ LAZERIŲ FIZIKA Elektroninis leidinys Mokomoji knyga Vilnius 2013 Apsvarstė ir

Διαβάστε περισσότερα

Įvadas į laboratorinius darbus

Įvadas į laboratorinius darbus M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis

Διαβάστε περισσότερα

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7

Διαβάστε περισσότερα

Atomų sąveikos molekulėje rūšys (joninis ir kovalentinis ryšys). Molekulė mažiausia medžiagos dalelė, turinti esmines medžiagos chemines savybes.

Atomų sąveikos molekulėje rūšys (joninis ir kovalentinis ryšys). Molekulė mažiausia medžiagos dalelė, turinti esmines medžiagos chemines savybes. Atomų sąveikos molekulėje rūšys (joninis ir kovalentinis ryšys). Molekulė mažiausia medžiagos dalelė, turinti esmines medžiagos chemines savybes. Ji susideda iš vienodų arba skirtingų atomų. Molekulėje

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU EUROPOS SĄJUNGA Europos socialinis fondas KURKIME ATEITĮ DRAUGE! 2004-2006 m. Bendrojo programavimo dokumento 2 prioriteto Žmogiškųjų išteklių plėtra 4 priemonė Mokymosi visą gyvenimą sąlygų plėtra Projekto

Διαβάστε περισσότερα

EUROPOS CENTRINIS BANKAS

EUROPOS CENTRINIS BANKAS 2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo

Διαβάστε περισσότερα

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO

Διαβάστε περισσότερα

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės

Διαβάστε περισσότερα

PNEUMATIKA - vožtuvai

PNEUMATIKA - vožtuvai Mini vožtuvai - serija VME 1 - Tipas: 3/2, NC, NO, monostabilūs - Valdymas: Mechaninis ir rankinis - Nominalus debitas (kai 6 barai, Δp = 1 baras): 60 l/min. - Prijungimai: Kištukinės jungtys ø 4 žarnoms

Διαβάστε περισσότερα

Matematinis modeliavimas

Matematinis modeliavimas ALGIRDAS AMBRAZEVIƒIUS Matematinis modeliavimas Vilniaus universitetas 2006 2 TURINYS 1 SKYRIUS PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 4 11 Pagrindines s vokos 4 12 Fundamentaliu gamtos desniu taikymas 10

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu

Διαβάστε περισσότερα

KRŪVININKŲ JUDRIO PRIKLAUSOMYBĖS NUO ELEKTRINIO LAUKO STIPRIO TYRIMAS

KRŪVININKŲ JUDRIO PRIKLAUSOMYBĖS NUO ELEKTRINIO LAUKO STIPRIO TYRIMAS VILNIAUS UNIVERSITETAS Puslaidininkių fizikos katedra Puslaidininkių fizikos mokomoji laboratorija Laboratorinis darbas Nr. 5 KRŪVININKŲ JUDRIO PRIKLAUSOMYBĖS NUO ELEKTRINIO LAUKO STIPRIO TYRIMAS 013-09-0

Διαβάστε περισσότερα

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,

Διαβάστε περισσότερα

Stiklo pluošto laikikliai - gali būti sprendimas langams/durims tvirtinti šiltinimo sluoksnyje

Stiklo pluošto laikikliai - gali būti sprendimas langams/durims tvirtinti šiltinimo sluoksnyje Stiklo pluošto laikikliai - gali būti sprendimas langams/durims tvirtinti šiltinimo sluoksnyje Lango vieta angoje Reguliuojami stiklo pluošto laikikliai Sukurta mūsų, pagaminta mūsų Geram rezultatui

Διαβάστε περισσότερα

= γ. v = 2Fe(k) O(g) k[h. Cheminė kinetika ir pusiausvyra. Reakcijos greičio priklausomybė nuo temperatūros. t2 t

= γ. v = 2Fe(k) O(g) k[h. Cheminė kinetika ir pusiausvyra. Reakcijos greičio priklausomybė nuo temperatūros. t2 t Cheminė kineika ir pusiausyra Nagrinėja cheminių reakcijų greiį ir mechanizmą. Cheminių reakcijų meu kina reaguojančių iagų koncenracijos: c ų koncenracija, mol/l laikas, s c = Reakcijos greičio io ()

Διαβάστε περισσότερα

MATAVIMAI IR METROLOGIJOS PAGRINDAI

MATAVIMAI IR METROLOGIJOS PAGRINDAI EUROPOS SĄJUNGA KURKIME ATEITĮ DRAUGE! VILNIAUS KOLEGIJA Europos Sąjungos struktūrinių fondų paramos projektas MOKYMO IR STUDIJŲ PROGRAMOS MECHANIKOS IR ELEKTRONIKOS SEKTORIAUS POREIKIAMS TENKINTI SUKŪRIMAS

Διαβάστε περισσότερα

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 9 d. Santrauka Pirmas laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti nesudėtingus

Διαβάστε περισσότερα

DISKREČIOJI MATEMATIKA

DISKREČIOJI MATEMATIKA VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos

Διαβάστε περισσότερα

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam, 41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,

Διαβάστε περισσότερα

9. KEVALŲ ELEMENTAI. Pavyzdžiai:

9. KEVALŲ ELEMENTAI. Pavyzdžiai: 9. KEVALŲ ELEMENTAI Kealai Tai ploni storio krptii kūnai, sudarti iš kreių plokštuų. Geoetrija nusakoa iduriniu pairšiui ir storiu t. Kiekiena pairšiaus taške galia rasti di kreies, atitinkančias inialius

Διαβάστε περισσότερα

Remigijus Leipus. Ekonometrija II. remis

Remigijus Leipus. Ekonometrija II.   remis Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2

Διαβάστε περισσότερα

FRANKO IR HERCO BANDYMAS

FRANKO IR HERCO BANDYMAS VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Atomo ir branduolio fizikos laboratorija Laboratorinis darbas Nr. FRANKO IR HERCO BANDYMAS Parengė A. Poškus 013-08-31 Turinys Darbo tikslas 1.

Διαβάστε περισσότερα

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA JONAS DUMČIUS (1905 1986) TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA 1975 metais rotaprintu spausdintą vadovėlį surinko klasikinės filologijos III kurso studentai Lina Girdvainytė Aistė Šuliokaitė Kristina

Διαβάστε περισσότερα

Riebalų rūgščių biosintezė

Riebalų rūgščių biosintezė Riebalų rūgščių biosintezė Riebalų rūgščių (RR) biosintezė Kepenys, pieno liaukos, riebalinis audinys pagrindiniai organai, kuriuose vyksta RR sintezė RR grandinė ilginama jungiant 2C atomus turinčius

Διαβάστε περισσότερα

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,

Διαβάστε περισσότερα

TERMOCHEMIJA. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika.

TERMOCHEMIJA. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika. TERMOCHEMIJA Termodinamikos dalis, nagrinėjanti cheminių reakcijų šiluminius efektus,

Διαβάστε περισσότερα

Taikomoji branduolio fizika

Taikomoji branduolio fizika VILNIAUS UNIVERSITETAS Taikomoji branduolio fizika Parengė A. Poškus Vilnius 2015-05-20 Turinys 1. Neutronų sąveika su medžiaga...1 1.1. Neutronų sąveikos su medžiaga rūšys...1 1.2. Neutrono sukeltų branduolinių

Διαβάστε περισσότερα

Diskrečioji matematika

Diskrečioji matematika VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės

Διαβάστε περισσότερα

AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA

AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Saulius LISAUSKAS AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Projekto kodas VP1-.-ŠMM-7-K-1-47 VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 1 VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS

Διαβάστε περισσότερα

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] ) ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas

Διαβάστε περισσότερα

M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D

M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS MATEMATIKOS KATEDRA Antanas Lapinskas M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D (MOKOMOJI KNYGA) AKADEMIJA 006 UDK 0049 (0754) Sudarė: doc dr Antanas

Διαβάστε περισσότερα

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,

Διαβάστε περισσότερα

PUSLAIDININKINIAI ĮTAISAI. VEIKIMO IR TAIKYMO PAGRINDAI

PUSLAIDININKINIAI ĮTAISAI. VEIKIMO IR TAIKYMO PAGRINDAI VILNIAUS UNIVERSITETAS Fizikos fakultetas Radiofizikos katedra ČESLOVAS PAVASARIS PUSLAIDININKINIAI ĮTAISAI. VEIKIMO IR TAIKYMO PAGRINDAI (1 dalis- radiotechninių grandinių pasyvieji ir aktyvieji elementai)

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRINIS KIETŲJŲ KŪNŲ LAIDUMAS

ELEKTRINIS KIETŲJŲ KŪNŲ LAIDUMAS II skyrius ELEKTRINIS KIETŲJŲ KŪNŲ LAIDUMAS 2.1. Kietųjų kūnų klasifikacija pagal laiduą Pagal gebėjią praleisti elektros srovę visos edžiagos gatoje yra skirstoos į tris pagridines klases: laidininkus,

Διαβάστε περισσότερα

SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE

SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE Mokymo priemonė Parengė A. Poškus 4 Turinys. ĮVADAS..... Telekomunikaijų sistemos struktūrinė shema. Pagrindinės

Διαβάστε περισσότερα

Šotkio diodo voltamperinės charakteristikos tyrimas

Šotkio diodo voltamperinės charakteristikos tyrimas VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Krūvio pernašos vyksmų skaitinis modeliavimas Darbas Nr. 1 Šotkio diodo voltamperinės charakteristikos tyrimas Parengė A. Poškus 214-9-3 Turinys

Διαβάστε περισσότερα

6. Konstrukcijų patikimumo įvertinimo metodai

6. Konstrukcijų patikimumo įvertinimo metodai 6. Kostrukcijų patikimumo įvertiimo metodai 6.1. Bedrieji kostrukcijų patikimumo įvertiimo pricipai 6.1 tekstas Eksploatuojamoje kostrukcijoje, kaip ir visur gamtoje, vyksta priešybių kova: iš vieos pusės,

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Minimalaus dengiančio medžio radimas

4.3. Minimalaus dengiančio medžio radimas SKYRIUS. ALGORITMAI GRAFUOSE.. Minimalaus dengiančio medžio radimas Šiame skyriuje susipažinsime su minimaliu dengiančiu medžių radimo algoritmais. Pirmiausia sudarysime dvi taisykles, leidžiančias pasirinkti

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu

TEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu GRAFU TEORIJA RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec, 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA 1 Pagrindinės sa vokos, pavyzdžiai Grafu veiksmai 2 Grafo parametru sa ryšiai 3 Jungiantysis

Διαβάστε περισσότερα

MONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas...

MONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas... MONTE KARLO METODAS Gediminas Stepanauskas 2008 Turinys 1 IVADAS 4 1.1 Sistemos.............................. 4 1.2 Modeliai.............................. 5 1.3 Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas.............

Διαβάστε περισσότερα

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi

Διαβάστε περισσότερα

III.Termodinamikos pagrindai

III.Termodinamikos pagrindai III.ermodinamikos pagrindai III.. Dujų plėtimosi darbas egu dujos yra cilindre su nesvariu judančiu stūmokliu, kurio plotas lygus S, ir jas veikia tik išorinis slėgis p. Pradinius dujų parametrus pažymėkime

Διαβάστε περισσότερα