Algebra si Geometrie Seminar 7

Transcript

1 Algebra si Geometrie Seminar 7 Noiembrie 2017

2 ii

3 Succesul este capacitatea de a merge dintr-un esec in altul fara a-ti pierde entuziasmul Winston Churchill 7 Forme biliniare. Forme patratice Suprafete ca si grafice de functii Functiile f : R 2 R merita o atentie deosebita intrucat multe suprafete cunoscute pot fi descrise ca fiind grafice ale unor astfel de functii. Intr-un reper cartezian Oxyz se reprezinta punctele P (x, y, f(x, y)) si astfel obtinem suprafete date prin ecuatia explicita z = f(x, y). Mai jos prezentam cateva exemple: 1

4 In cele ce urmeaza vom prezenta doua probleme: aproximarea afina a unei astfel de functii si studiul punctelor de extrem local. Prima implica utilizarea unei aplicatii liniare pentru a aproxima local o functie f : R 2 R si a doua utilizarea unei forme patratice pentru a testa daca aceasta are sau nu puncte de minim sau maxim local. Aproximarea afina a suprafetelor: Sa consideram o suprafata data explicit sub forma z = f(x, y) unde f indeplineste anumite despre care nu vom discuta acum. Ecuatia planului tangent intr-un punct (a, b, f(a, b)) al acesteia este: z = f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) unde f x (a, b) si f y (a, b) sunt derivatele partiale relativ la x, respectiv y, calculate in (a, b). De fapt se poate observa ca avem o aplicatie liniara definita ca: F (h 1, h 2 ) = f x (a, b) h 1 + f y (a, b) h 2 iar in apropierea punctului (a, b) are loc: f(x, y) f(a, b) + F (x a, y b) Aceasta aproximare poarta numele de aproximare afina a lui f in (a, b). Minime si maxime Pentru a stabili daca o functie f : R R de doua ori derivabila are un punct de minim local in x 0 era suficient sa aratam ca: i) f (x 0 ) = 0 ( x 0 este punct critic) ii) f (x 0 ) > 0 ( pentru f (x 0 ) < 0 este punct de maxim) 2

5 In cazul functiilor f : R 2 R testam daca (x 0, y 0 ) este punct de minim local in felul urmator. Prin definitie Hessiana in (x 0, y 0 ) este matricea: H (x0,y 0) = f xx(x 0, y 0 ) f xy (x 0, y 0 ) f yx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) Daca: i) f x (x 0, y 0 ) = 0 si f y (x 0, y 0 ) = 0 (corespunde conditiei f (x 0 ) = 0 din cazul 1-dimensional) ii) pentru orice vector coloana v 0 avem v t H (a,b) v > 0 (expresia corespunde derivatei a doua) atunci f are un punct de minim local in punctul (x 0, y 0 ). Remarca: Din punct de vedere alegbric aplicatia F (v) = v t H (a,b) v poarta numele de forma patratica iar matricea H (a,b) se numeste matricea atasata formei patratice. Probleme de optimizare O companie produce produsele P 1,..., P n cu preturile unitare x 1, x 2,..., x n care trebuie determinate. Materia prima M 1, M 2,... M n care trebuie folosita este disponibila in cantitatile r 1, r 2,..., r n. Fie : r ij : cantitatea de materie prima M i necesara producerii unei unitati de produs P j, unde i = 1, m, j = 1, n y j : cantitatea de P j care trebuie produs si vandut intr-o perioada planificata, j = 1, n x 1 Consideram vectorii x =., y =. si r =. si matricea: x n y 1 y n r 11 r r 1,n R = r m1 r m2... r mn Spunem ca doi vectori n-dimensionali satisfac inegalitatea v w daca fiecare componenta a lui v este mai mica decat componenta corespunzatoare a lui w. Avand aceasta regula stabilita suntem nevoiti sa impunem urmatoarele restrictii: r 1 r n y 0 Ry r ( produce unitati din fiecare produs) (cantitatile materie prima necesare sa fie mai mici decat cele disponibile) 3

6 Presupunem o relatie de tipul: y = Qx + q intre preturi si vanzari, Q M m n (R), q M n 1 (R). Elementele matricei Q si ale vectorului q pot fi determinate statistic prin studiul comportamentului consumatorului. Inlocuind in relatiile de mai sus obtinem: Qx q RQx r Rq. Scopul este sa marim venitul brut dat de: v = x i y i = x t y = x t (Qx + q) = x t Qx + q t x i=1 Obtinem urmatorul model pentru a determina preturile optimale: daca: max x t Qx + q t x Qx q RQx r Rq x 0 Ilustram acest model prin urmatorul exemplu: O patiserie produce prajiturile: P 1 : chec P 2 : prajitura cu mere P 3 : prajitura cu lamaie Printre altele urmatoarele ingrediente sunt necesare si sunt disponibile in cantitati limitate: M 1 : faina M 2 : oua M 3 : unt M 4 : zahar In anii anteriori patiseria a vandut cele trei tipuri de prajituri la preturi diferite si a studiat relatia de dependenta a vanzarilor de preturi obtinand urmatoarea relatie: y x y 2 = x y 3 De retinut ca pentru y i si q i avem ca unitate de masura kg iar pentru x i avem RON/kg. Sa consideram prima linie a relatiei de mai sus: x 3 y 1 = 3x 1 + x

7 adica vanzarile inregistrate pentru prajitura P 1 nu depind doar de pretul unitar x 1 dar si de pretul unitar al prajiturii P 3. Daca, de exemplu, x 1 creste cu o unitate, in timp ce x 3 ramane neschimbat, atunci vanzarile y 1 ale prajiturii P 1 se reduc cu 3 kg. Acest fenomen se explica prin faptul ca anumiti clienti care obisnuiau sa cumpere prajitura cu lamaie se decid sa cumpere chec in schimb daca prima devine mai scumpa. In mod similar se pot explica si relatiile date de celelalte doua linii. Cantitatile lunare disponibile de ingrediente sunt (r 1, r 2, r 3, r 4 ) = (20, 15, 13, 18) exprimate in kg. Matricea consumurilor este: R = Aceasta matrice are urmatoarea interpretare: prima coloana a lui R reprezinta consumurile necesare prepararii checului: 0.4 kg faina, 0.15 kg oua, 0.25 kg unt si 0.1 kg zahar. Prin calcul se obtine: RQ =, r Rq = rezultand urmatorul model: cu restrictiile: max 3x 1 4x 2 1 5x x 1 x x x x 3 3x 1 x x x 1 + 5x x 1 1.2x x x 1 0.4x 2 0.6x x 1 1.2x x x 1 0.8x 2 0.4x 3 32 x 1, x 2, x 3 0 Folosind un software mathematic adecvat, de exemplu Matlab, obtinem urmatoarele preturi optime: x 1 = RON/kg (pretul checului ) x 2 = RON/kg x 3 = RON/kg (pretul prajiturii cu mere) (pretul prajiturii cu lamaie) rezultand un venit brut optim de RON pe luna. 5

8 Notiuni teoretice: se numeste forma biliniara o aplicatie φ : V V IR cu proprietatile: φ(αv + βw, u) = αφ(v, u) + βφ(w, u) φ(u, αv + βw) = αφ(u, v) + βφ(u, w) u, v, w V, α, β IR. o forma biliniar φ se numeste simetrica daca φ(v, w) = φ(w, v) o forma biliniara φ se numeste pozitiv definita daca: φ(v, v) 0, v V si φ(v, v) = 0 = v = 0 o aplicatie F : V IR se numeste forma patratica daca exista o forma biliniara simetrica φ astfel incat F (v) = φ(v, v), pentru orice v V. daca F este o forma patratica, atunci forma biliniara simetrica (polara) φ din care provine este: φ(v, w) = 1 [F (v + w) F (v) F (w)] 2 v, w V fie V un spatiu vectorial real si B = {e 1, e 2,..., e n } o baza a sa, consideram F : V IR o forma patratica si φ polara sa, atunci pentru orice vector de forma x = x i e i avem: i=1 ( n ) F ( x) = φ( x, x) = φ x i e i, x i e i = = i=1 a ii x 2 i + i=1 i=1 2a ij x i x j i<j i=1 j=1 a ij x i x j unde a ij = φ(e i, e j ) formeaza matricea asociata formei biliniare φ in baza B. daca A este matricea asociata lui φ in baza B = {e 1, e 2,..., e n } atunci putem scrie: φ(v, w) = [v] t B A [w] B. Schimbarea matricei asociate la o schimbare de baze: daca F are in baza B matricea asociata A atunci in baza B matricea asociata TBB t A T BB va avea 6

9 Studiem doua metode de reducere la forma canonica a unei forme patratice: Metoda lui Gauss Fie V un spatiu vectorial si F : V IR o forma patratica iar B = {e 1, e 2,..., e n } o baza in care: F ( x) = i=1 j=1 a ij x i x j matricea A = (a ij ) fiind nenula. Atunci exista o baza B = {e 1, e 2,..., e n} in V in care F se scrie sub forma: F (z 1, z 2,..., z n ) = λ 1 z λ 2 z λ n z n 2 numita forma redusa canonica. Cazul 1: a 11 0, analog a ii 0 (adica atunci cand exista patrate in expresia analitica a lui F ) primul pas consta in construirea unui patrat perfect folosind termenii ce contin coordonata x 1 scriind fortat: a 11 x a 12 x 1 x a 1n x 1 x n = 1 a 11 (a 2 11x a 11 x 1 (a a 1n )) = 1 a 11 (a 11 x a 12 x 2 + a 13 x a 1n ) 2 + θ(x 2, x 3,..., x n ) aceasta scriere conduce la transformarea de coordonate locale: y 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x 1n y 2 = x 2... y n = x n dupa transformare obtinem o forma F (y 1, y 2, y 3 ), se continua procedeul pana la obtinerea formei canonice Cazul 2: daca nu exista a ii 0 oricare are fi i = 1, n (adica atunci cand nu exista patrate in expresia analitica a lui F ) Se realizeaza transformarea: x 1 = y 1 + y 2 x 2 = y 1 y 2 x 3 = y 3... x n = y n si in urma acesteia se vor obtine patrate, apoi continuam conform cazului 1. Formula utila: inversa matricei: 1 a 11 a a 1n a 11 a12 a a1n a T = este: T =

10 Metoda valorilor proprii se determina matricea asociata formei patratice in baza canonica [F ] Bc. se determina apoi valorile proprii ale acesteia si subspatiile proprii corespunzatoare daca λ 1, λ 2,..., λ n sunt valorile proprii atunci forma redusa este: F (z 1, z 2,..., z n ) = λ 1 z λ 2 z λ n z 2 n pentru a determina o baza in care obtinem aceasta forma redusa va trebui sa reunim toate bazele subspatiilor proprii intr-o baza: B = B Sλ1 B Sλ2... B Sλn apoi aceasta baza B trebuie ortonormata prin procedeul Gram-Schmidt, vezi exemplul de mai jos: Probleme rezolvate Problema 1. Sa se reduca forma patratica de mai jos la o forma canonica, precizand si o baza in care are aceasta forma: F : R 3 R, F (x 1, x 2, x 3 ) = 2x 1 x 2 2x 2 x 3 +2x 1 x 3. Solutie: Vom folosi metoda valorilor proprii: din expresia analitica a acestei forme se obtine matricea [F ] Bc relativ la baza canonica: coeficientii patratelor se scriu pe diagonala principala coeficientii termenilor mixti se injumatatesc [F ] Bc = De exemplu deoarece avem termenul 2x 1 x 2 vom aseza pe pozitia (1, 2). Acelasi termen 2x 1 x 2 poate fi interpretat ca fiind 2x 2 x 1 deci si pe pozitia (2, 1) tot un 1 asezam. Termenul x 2 1 nu apare deci pe pozitia (1, 1) vom aseza un 0, etc. Matricea se poate completa doar deasupra diagonalei iar restul se obtine prin simetrie. Determinam acum valorile proprii si subspatiile proprii corespunzatoare. Ecuatia caracteristica este: λ 1 1 det([f ] Bc λi) = 1 λ 1 = λ 8

11 care se poate reduce la forma: (λ 1) 2 (λ + 2) = 0, de unde obtinem valoarea proprie λ 1 = 1 cu ordinul de multiplicitate m λ1 = 2 si valoarea proprie λ 2 = 2 cu ordinul de multiplicitate m λ2 = 1. Determinam subspatiul propriu S λ1 si suntem condusi la sistemul ([F ] Bc 1 I)v = 0, adica: x y = z 0 cu solutia: S λ1 = {(α + β, α, β) : α, β R} = {α(1, 1, 0) + β(1, 0, 1) : α, β R} Prin urmare acest susbpatiu vectorial are o baza formata cu vectorii: B Sλ1 = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)} Determinam subspatiul S λ2, astfel avem de rezolvat ([F ] Bc +2I)v = 0, adica: x y = z 0 cu solutia S λ2 = {( α, α, α) : α R} a carei baza este B Sλ2 = {( 1, 1, 1)}. Pentru a gasi o baza in care F are forma redusa intai colectam toti vectorii bazelor gasite si formam baza: B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), ( 1, 1, 1)} Baza cautata va fi baza care se obtine dupa ce transformam aceasta baza intr-una care are toti vectorii de lungime 1 si perpendiculari (baza ortonormata) Procedam in felul urmator: vectorii proprii care corespund unor valori proprii distincte sunt deja perpendiculari, adica ( 1, 1, 1) (1, 0, 1) si ( 1, 1, 1) (1, 1, 0). Se verfica usor ca: si: ( 1, 1, 1), (1, 0, 1) := = 0 ( 1, 1, 1), (1, 1, 0) := = 0 vectorii proprii care corespund aceleasi valori proprii trebuie transformati in vectori ortogonali, prin procedul Gram-Schmidt: Notam e 1 = (1, 1, 0) si e 2 = (1, 0, 1) acestia vor fi transformati dupa formula: v 1 = e 1 = (1, 1, 0) 9

12 v 2 = e 2 < e 2, v 1 > < v 1, v 1 > v 1 = (1, 0, 1) = ( 1 2, 1 2, 1) Acesti vectori v 1, v 2 sunt ortogonali, mai ramane sa adaugam si v 3 = ( 1, 1, 1) care era deja ortogonal cu acestia si sa impartim toti vectorii la lungimea lor ( ) v 1 v 1 = (1, 1, 0) = 1 2,, v 2 v 2 = ( 1 2, 1 2, 0) 1 2 ( ) = v 3 v 3 = ( 1, 1, 1) ( ( 1) = 2 ( 6 6 6, 6, 3 3 3, 3, ) 6 3 ) 3 In acest moment vectorii obtinuti sunt ortogonali si de lungime 1. In concluzie, in baza: { ( ) ( ) ( ) } 1 B = 2,, 0, 2 6, 6,, 3 3, 3, 3 forma patratica F este : F (z 1, z 2, z 3 ) = 1 z z z Problema 2. Sa se reduca la forma canonica folosind metoda lui Gauss: F : R 3 R, F (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 Soluţie: In expresia data nu apare niciun patrat, deci facem o transformare (schimbare de baze): x 1 = y 1 + y 2 x 2 = y 1 y 2 x 3 = y 3 Daca notam cu x vectorul care in baza canonica are coordonatele (x 1, x 2, x 3 ) atunci relatia de mai sus o interpretam ca o schimbare a coordonatelor la o schimbare a bazei: [ x] Bc = T BcB 1 [ x] B1 unde [ x] B1 = (y 1, y 2, y 3 ) si evident: T BcB 1 = In noua baza B 1 forma F are o expresie analitica: F (y 1, y 2, y 3 ) = (y 1 + y 2 )(y 1 y 2 ) + (y 1 + y 2 )y 3 + (y 1 y 2 )y 3 10

13 = y 2 1 y y 1 y 3 Acum construim patrate grupand toti termenii care contin y 1 F (y 1, y 2, y 3 ) = y y 1 y 3 y 2 2 = (y 1 + y 3 ) 2 y 2 3 y 2 2 Facem transformarea: si obtinem forma redusa: = (y 1 + y 2 ) 2 y2 2 y3 3 z 1 = y 1 + y 3 z 2 = y 2 z 3 = y 3 F (z 1, z 2, z 3 ) = z 2 1 z 2 2 z 2 3. Ultima transformare se poate interpreta ca fiind o relatie de tipul: pentru: [ x] B2 = T B2B 1 [ x] B T B2B 1 = Baza in care forma patratica F are forma redusa de mai sus este B 2 si pentru aflarea acesteia este suficient sa aflam matricea T BcB 2, care se afla din: T BcB 2 = T BcB 1 T B1B 2 = T BcB 1 T 1 B 2B 1 = In concluzie baza cautata este: B 2 = {(1, 1, 0), (1, 1, 0), ( 1, 1, 1)}. Problema 3. Stabiliti daca urmatoarele forme patratice sunt pozitiv sau negativ definite: F (x 1, x 2, x 3 ) = Solutie: 11

14 Probleme propuse Problema 1. Sa se determine matricea in baza B a formei biliniare F : a) F : IR 2 IR 2 IR, F ((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = x 1 y 1 2x 1 y 2 2x 2 y 1 in baza B = {(1, 1), (1, 2)}. b) F : IR 3 IR 3 IR, F ((x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 )) = x 1 y 1 x 2 y 1 +2x 2 y 2 x 3 y 3 in B = {( 1, 1, 1), (3, 1, 0), (2, 0, 0)}. Problema 2. Forma patratica Φ : IR 2 IR este definita prin expresia: Φ(a, b) = a 2 + b 2. Sa se determine expresia analitica a polarei sale. Problema 3. Fie F : IR 3 IR o forma patratica care in baza canonica a lui IR 3 are expresia: a) F (x 1, x 2, x 3 ) = 5x x x 2 3 4x 1 x 2 4x 1 x 3. b) F (x 1, x 2, x 3 ) = 2x x 2 2 x x 1 x 2 8x 1 x 3 + 2x 2 x 3 Sa se reduca la forma canonica folosind metoda Gauss. Problema 4. Fie F : IR 3 IR o forma patratica care in baza canonica a lui IR 3 are expresia F (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3. Sa se reduca la forma canonica folosind metoda Gauss. Problema 5. Sa se reduca la o forma canonica forma patratica F : IR 3 IR ce are in baza B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} matricea: A = Problema 6. Stabiliti daca urmatoarele forme biliniare sunt pozitiv sau negativ definite: Problema 7. Sa se reduca la o forma canonica folosind metoda valorilor proprii: F : R 3 R, F (x 1, x 2, x 3 ) = x x 2 2 5x x 1 x 3 + 4x 2 x 3. 12