6. Bendrama iai dydºiai ir realieji skai iai 71. Kokius dydºius graiku antikos matematikai vadino bendrama iais?

Transcript

1 Matematikos istorijos egzamino klausimai 2014 Klausimo verte 2/3 balo. Pavyzdºiui, jei per semestr sukaupete 3 balus, tai j usu egzamino uºduotyje bus 7 3/2 10 klausimu. 1. Skai iai ir skai iavimai 1. Kaip egiptie iai daugindami naudojosi dvigubinimo metodu? 2. Kokias trupmenas naudojo senoves egiptie iai ir kaip jas ra²e? 3. Paai²kinkite goduji algoritm paprastajai trupmenai i²reik²ti egiptieti²komis. 4. Irodykite, kad yra be galo daug b udu paprast j trupmen i²reik²ti egiptieti²komis. 5. Koki sistem skai iams ir trupmenoms ra²yti naudojo ²umerai ir babilonie iai? 6. Uºra²ykite skai iu 87 kaip ra²e babilonie iai. 7. Kaip skai ius ra²e senoves graikai? 8. Kaip senoves kinie iai skai iavimams naudojosi skai iavimo lenta ir kaip ra²e skai ius? 9. Kaip skai ius ra²e majai? 10. Uºra²ykite skai iu 91 kaip ra²e majai. 11. Paai²kinkite, kaip J. Napier sudare logaritmu lenteles. 2. Euklido geometrija 12. Pateikite egiptie iu, babilonie iu geometrijos teiginiu pavyzdºiu. 13. Kokias geometrijos ºinias, remiantis ²altiniais, galima priskirti Taliui? 14. Paai²kinkite, kaip pitagorie iai savo tyrimuose siejo skai ius ir geometrines formas. 15. Kada buvo para²yti Euklido Elementai? Kokia ²io veikalo reik²me matematikos raidai? 16. Kokius teiginius Euklidas vadino aksiomomis, kokius postulatais? 17. Kaip Euklidas apibreºe lygiagre ias tieses? 18. Suformuluokite penkt ji Euklido postulat. 19. Irodykite, kad kampai prie lygia²onio trikampio pagrindo yra lyg us. 20. Kaip Elementuose braiºomas duotajam daugiakampiui lygiaplotis lygiagretainis? 21. Kaip Elementuose irodinejama Pitagoro teorema? 22. Pateikite graiki²k (geometrin ) sumos kvadrato formules interpretacij. 23. Suformuluokite atkarpos dalijimo aukso pj uvio santykiu uºdavini. 24. Parodykite breºiniu, kaip sprendºiamas atkarpos dalijimo aukso pj uvio santykiu uºdavinys. 1

2 25. Parodykite, kaip gaunama lygtis, kurios sprendinys - aukso pj uvio skai ius. Kam lygus ²is skai ius? 26. Paai²kinkite, kaip braiºomas kvadratas, lygiaplotis duotajam sta iakampiui. 27. Kaip i apskritim ibreºti taisykling ji ²e²iakampi? 28. Parodykite breºiniu kaip braiºomas specialus lygia²onis trikampis (kampai prie pagrindo dvigubai didesni uº vir² unes kamp ) Kaip braiºomas taisyklingasis penkiakampis? 31. Paai²kinkite, kaip nubraiºyti taisykling ji penkiolikakampi. 32. Penktoje Elementu knygoje destoma dydºiu santykiu teorija. Kodel jos prisireike? 33. Kam graiku matematikai naudojo i²semimo metod. Kokia jo esme? 34. Kokius briaunainius graikai vadino taisyklingaisiais. Kiek ju yra? 3. Trys klasikines Graikijos matematikos uºdaviniai 35. Kaip padvigubinti kvadrat Sokrato metodu? 36. Suformuluokite kubo padvigubinimo uºdavini. Kaip Hipokratas kubo padvigubinimo uºdavini pakeite atkarpu iterpimo uºdaviniu. 37. Irodykite, kad kubo padvigubinimo uºdavinys, ir Hipokrato uºdavinys apie atkarpu iterpim yra ekvivalent us. 38. Kokia kreive vadinama Nikomedo konchoide? 39. Kokia kreive vadinama Dioklo cisoide? 40. Kaip kubo padvigubinimo uºdavini galima i²spr sti pasinaudojus Dioklo cisoide? 41. Suformuluokite kampo trisekcijos uºdavini ir paai²kinkite, kaip ji galima i²spr sti atkarpos iterpimo metodu (neusis). 42. Suformuluokite kampo trisekcijos uºdavini ir paai²kinkite, kaip ji atkarpos iterpimo metodu i²sprende Archimedas. 43. Paai²kinkite, kaip kampo trisekcijos uºdavini galima i²spr sti naudojant direktris. 44. Paai²kinkite, kaip kampo trisekcijos uºdavini galima i²spr sti naudojant Archimedo spiral. 45. Paai²kinkite, kaip Hipokratas i²sprende menuliuku kvadrat uros uºdavini. 46. Suformuluokite skritulio kvadrat uros uºdavini. 47. Kaip skritulio kvadrat uros uºdavinys gali b uti i²spr stas naudojant direktris? 48. Koki apytiksl skai iaus π reik²m naudojo Archimedas? Paai²kinkite Archimedo metod apytikslems π reik²mems gauti. 49. Kokius metodus apytikslems skai iaus π reik²mems rasti naudojo naujuju laiku europie iai? 2

3 50. Kas ir kada irode, kad skai ius π yra iracionalusis, transcendentinis. K rei²kia teiginys, kad π yra transcendentinis skai ius? 4. Plotai ir t uriai graiku geometrijoje 51. Kokiais teiginiais remesi graiku daugiakampiu plotu teorija? 52. Irodykite, kad lygiagretainiai, kuriu pagrindai ir auk²tines yra vienodo ilgio, yra lygiaplo iai. 53. Suformuluokite teigini apie lygiadalius (t.y. sudarytus i² baigtinio skai iaus vienodu daliu) ir lygiaplo ius daugiakampius. Kas ²i teigini irode? 54. Irodykite, kad du trikampiai su vienodais pagrindais ir auk²tinemis yra lygiadaliai. 55. Suformuluokite Bolyai-Gerwieno teorem. 56. Kaip galima elementariai irodyti, kad dvieju prizmiu su vienodais pagrindais ir auk²tinemis t uriai yra lyg us? 57. Suformuluokite 3 Hilberto problem apie piramides t uri? Kas j i²sprende, koks atsakymas? 58. Kaip piramidºiu su vienodais pagrindais ir auk²tinemis t uriu lygyb i²semimo metodu irodinejo graikai? 5. Diferencialinio ir integralinio skai iavimo raida 59. Paai²kinkite, kaip Archimedas pasinaudojo sverto taisykle skai iuodamas parabolinio trikampio plot. 60. Suformuluokite Kavalierio princip plotams bei t uriams lyginti. 61. Kaip naudojantis Kavalierio principu galima apskai iuoti cikloides arkos plot? 62. Kokiais samprotavimais skai iuodamas plotus ir t urius naudojosi Kepleris? Pateikite pavyzdi. 63. Paai²kinkite, kaip naudodamasis nedalomosiomis Tori elis surado neapreºto k uno t uri. 64. Kokius uºdavinius nagrinejant buvo sukurtas diferencialinis ir integralinis skai iavimas? 65. Paai²kinkite Fermat ekstremumu radimo metod. 66. Paai²kinkite pavyzdºiu Fermat liestines radimo metod. 67. Paai²kinkite Robervalio kinematini kreives liestines radimo metod. 68. Nubraiºykite breºini ir paai²kinkite Barrow teorem apie g uros ploto ir funkcijos liestines ry²i. 69. Keliais sakiniais apib udinkite Newtono sukurto diferencialinio-integralinio skai iavimo ypatybes. 70. Keliais sakiniais apib udinkite Leibnizo sukurto diferencialinio-integralinio skai iavimo ypatybes. 6. Bendrama iai dydºiai ir realieji skai iai 71. Kokius dydºius graiku antikos matematikai vadino bendrama iais? 3

4 72. Kodel nebendrama iu atkarpu atradimas nesiderino su pitagorie iu pasauleºi ura? 73. Kaip Euklido bendro didºiausio daliklio radimo algoritm galima taikyti irodymui, kad du dydºiai (atkarpos) yra bendrama iai (nebendrama iai)? 74. Euklido metodu irodykite, kad taisyklingojo penkiakampio istriºaine ir kra²tine nera bendramates. 75. Irodykite, kad kvadrato kra²tine ir istriºaine yra nebendramates. 76. Kokius dydºius graiku antikos matematiku poºi uriu galima lyginti, kokius ne? 77. Kokie dydºiu santykiai vadinami lygiais pagal Eudokso apibreºim? 78. Kaip Theonas bande pagristi, kad kvadrato istriºaines ir kra²tines santykis gl udi skai iuose? 79. Koki poºi uri i santykiu lygyb suformulavo Omaras Chajamas? 80. Kada europie iai pradejo naudoti de²imtaines trupmenas? Kas apie jas para²e svarbu veikal? 81. Kada buvo sukurtos loginiu poºi uriu grieºtos realiuju skai iu konstrukcijos? Kas jas suk ure? 82. Apib udinkite Dedekindo realiu ju skai iu konstrukcij naudojant racionaliuju skai iu pj uvius. 7. Pirminiu skai iu tyrimo istorija 83. Kokie skai iai vadinami tobulaisiais? Kokie draugi²kaisiais? 84. Koks teiginys apie tobuluosius skai ius irodytas Euklido Pradmenyse? 85. K apie tobuluosius skai ius teige Nikomachas Aritmetikos ivade (apie 100 m. po Kr.)? 86. Kokie skai iai vadinami nepritekliaus, pervir²io skai iais? 87. Kaip pirminiai skai iai apibreºiami Euklido Elementuose? 88. Pateikite Euklido irodym, kad nera didºiausiojo pirminio skai iaus. 89. Koks algoritmas vadinamas Eratosteno re iu? 90. Koki funkcijos π(x) neapreºto didejimo irodym suk ure Euleris? Kodel jis svarbus tolimesnei pirminiu skai iu tyrimo raidai? 91. Koki funkcijos π(x) kitimo desni empiri²kai nustate Leºandras? 92. Koki funkcijos π(x) aproksimacij pasi ule Gausas? 93. Suformuluokite ƒeby²ovo nelygyb funkcijai π(x). 94. Suformuluokite Bertrando postulat, kuris irodomas pasinaudojus ƒeby²ovo nelygybe. 95. Koki nauj poºi uri i funkcijos π(x) tyrinejim savo darbuose suformulavo B. Rymanas? 96. Suformuluokite dzeta funkcijos nuliu problem. Kodel ji svarbi pirminiu skai iu tyrimo uºdaviniams? 4

5 97. Kas irode asimptotini funkcijos π(x) kitimo desni? Suformuluokite ji. 98. Kokie skai iai vadinami Fermat pirminiais? Kokie - Merseno pirminiais? 99. Kokios aritmetines funkcijos vadinamos adityviomis? Kodel funkcija ω(n) yra adityvi? 100. Kokie uºdaviniai tyrinejami tikimybineje skai iu teorijoje? 8. Paskutinioji Fermat teorema 101. Suformuluokite bent vien uºdavini i² Diofanto Aritmetikos ir paai²kinkite, kaip Diofantas ji sprende Apib udinkite bendrais bruoºais Fermat begalinio nusileidimo metod Suformuluokite Fermat paskutini j teorem Kaip uºra²omi visi primityvieji lygties x 2 + y 2 = z 2 sprendiniai (primityvieji Pitagoro skai iu trejetai)? 105. Koki itak Fermat lygties x n + y n = z n tyrimui padare Gauso veikalas Disquisitiones Arithmeticae? 106. Koks Sophie Germain ina²as ie²kant paskutiniosios Fermat teoremos irodymo? 107. Paai²kinkite, kuo remesi Lame Fermat teoremos irodymas ir kur gl udejo klaida Kuo tyrinejant Fermat lygti x n + y n = z n nusipelne E. Kummeris? 109. Kaip Pitagoro trejetu formules galima gauti i² geometriniu samprotavimu? Kokiais metodais Fermat lygtis x n +y n = z n tyrineta antrojoje XX a. puseje? 9. Matematine begaliniu aibiu teorija 110. Suformuluokite Zenono dichotomijos bei streles paradoksus Koki paºi ur apie begalyb matematikoje suformulavo Aristotelis? 112. K apie begalinius dydºius matematikoje mane Galilejus? 113. Trumpai apib udinkite Bolzano aibiu lyginimo idej naudojant elementu atitikti Irodykite, kad racionaliu ju ir nat uriniu skai iu aibes ekvivalen ios Irodykite, kad vienetinio intervalo skai iu ir nat uriniu skai iu aibes nera ekvivalen ios Irodykite, kad vienetinio kvadrato ir vienetinio intervalo ta²ku aibes ekvivalen ios Kokias problemas tyrinedamas Kantoras suformulavo kontinumo hipotez? K ji teigia? 118. Kaip apibreºiami kardinaliniu skai iu veiksmai? 119. Kaip buvo susietos aibiu lyginimo pagal galias ir visi²ko sutvarkymo problemos? 120. Su kokiais prie²taravimais buvo susidurta pletojant aibiu teorij? 121. Kas k ure aibiu teorijos aksiomatik ir kodel jos prisireike? 5

6 122. K teigia i²rinkimo aksioma? 123. K teigia Banacho-Tarskio paradoksas? 124. Koki i²vad apie aksiomu sistemos neprie²taringumo irodymus suformulavo Giodelis? 125. Koki teigini apie kontinumo hipotez irode P. Cohenas? 10. Euklido penktojo postulato istorija 126. Suformuluokite penkt ji Euklido postulat taip, kaip jis suformuluotas Euklido El ementuose Paai²kinkite, kaip 5- ji postulat bande irodyti graiku matematikas Proklas ir nurodykite jo klaid Koki ry²i tarp pana²iuju trikampiu ir penktojo postulato nustate anglu matematikas J. Walis? 129. Apib udinkite Sakerio ina² sprendºiant penktojo postulato problem Kokie XIX a. matematikai yra naujo poºi urio i penktojo postulato problem autoriai? 131. Kokia aksioma penkt ji postulat pakeite N. Loba evskis? 132. Paai²kinkite Loba evskio aksiom breºiniu interpretuodami skrituli be kra²to kaip plok²tum Paminekite kelet i²vadu i² Loba evskio aksiomos Suformuluokite kelet teiginiu, ekvivalen iu penktajam Euklido postulatui. 11. Tikimybiu teorijos raida 135. Suformuluokite nutraukto lo²imo banko padalijimo uºdavini Apib udinkite J. Graunto tyrimus ir ju reik²m Paai²kinkite, kaip banko padalijimo uºdavini i²sprende B. Paskalis Kaip Huigensas suformulavo lo²imo vertes s vok, kodel j galima laikyti atsitiktinio dydºio vidurkio prototipu? 139. Kaip didºiuju skai iu desni formulavo J. Bernulis? Apib udinkite ²io desnio reik²m Apib udinkite de Muavro, Laplaso ir Puasono ina² i tikimybiu teorijos raid Kaip buvo atrastas Brauno judesys? Kas paai²kino jo kilm, kas suk ure matematin teorij? 142. Apib udinkite Pearsono, Gosseto, Fi²erio indeli pletojant statistikos metodus Kas suk ure tikimybiu teorijos aksiomatik? Apib udinkite jos bruoºus. 6