DEFORMUOJAMO KŪNO MECHANIKA 1 dalis

Transcript

1 DEFORMUOJAMO KŪNO MECHANIKA dalis T U R I N Y S. Deformuojamojo kūo mechaikos objektas ir jos ršs su kitais mokslais. Tamprumo teorijos sąvokos ir prielaidos 3. Įtempimų būvio teorija 4. Pusiausvros difereciali s lgts 5. Deformuoto būvio teorija 6. Geometri s lgts 7. Tampraus kūo fii s priklausomb s 8. Tamprumo teorijos lgčių sistema

2 . Deformuojamojo kūo mechaikos objektas ir jos ršs su kitais mokslais Kotiuumo mechaika viea iš fiikos sudedamųjų dalių ( pav.). Klasiki je fiikoje mechaika arba kotiuumo mechaika agri jama epriklausomai uo kitų jos skrių kaip šilumos fiika, elektra, optika, fii medžiagotra ir t. t. Kotiuumu plačiąja prasme ra vadiama materiali sistema, epertraukiamai pasiskirsčiusi erdv je. Kotiuumas apima e tik materialius kūus, bet ir fiiius laukus. D l šios priežasties kotiuumo mechaika apima e tik medžiagiių terpių mechaiką, bet ir įvairias tarp dalkies disciplias termomechaiką, elektromechaiką ir pa. Prie grai mechaiių disciplių priskiriamos aeromechaika (dujų mechaika), hidromechaika (sksčių mechaika) ir deformuojamojo kūo mechaika (DKM). Taigi deformuojamas kūas ra viea iš pagridiių kotiuumo formų, o deformuojamojo kūo mechaika ra mokslas apie kūų ir jų materialiųjų dalelių pusiausvrą, jud jimą ir deformavimąsi. Kūui deformuojatis keičiasi atstumai tarp jo taškų, kampai tarp liijų, paviršių plotai ir kūų tūriai, materialias dalis siejačios j gos. Deformavimosi d l išoriių poveikių metu atsiradats efektai, vadiami mechaiiais efektais. Deformuojamas kūas ra priešigb teori je mechaikoje agri jamam absoliučiai kietam kūui, kuriam judat atstumai tarp jo taškų esikeičia. Kalbat apie mechaikos disciplias ar jų skrius, sutikami du pavadiimai matemati s ir taikomosios teorijos ar disciplios. Matemati s teorijos skirtos bedriesiems d sigumams aprašti. Taikomosios teorijos įvertia papildomas prielaidas, supaprastia matematies teorijas ir ra skirtos kokrečių ižieriių problemų spredimui. Priklausomai uo agri jamų reiškiių pobūdžio ra skiriamos determiuotos ir statisti s teorijos. Tradiciškai domiavo determiuotos teorijos, kurias mes ir agri sime. Jos audoja matemati s aali s metodus. Vis tik pastaraisiais metais vis didesį vaidmeį vaidia statisti s teorijos, kurios paremtos tikimbiiais metodais. Kotiualiųjų sistemų mechaika agri ja vietisą kūą, audojat matemati s aali s metodus. Nagri jat be galo mažų matmeų diferecialiį elemetą kotiualiųjų sistemų matematiiai modeliai aprašomi difereciali mis lgtimis. Priklausomai uo kūo savbių išskiriamos

3 tamprumo teorija, plastiškumo teorija, valkšumo teorija, klampumo teorija ir kitos disciplios. Pastaruoju metu vis svarbesę vietą užima kūų ir medžiagų irimą agri jati irimo mechaika. Aprašat baigtiių matmeų kūus, audojami diskretiių sistemų mechaikos arba klasiki s statbi s mechaikos metodai, kurie aprašomi kompiuteriiams skaičiavimams labiau pritaiktais algebriiais modeliais. Šiuolaikiiai kompiuteriiai mechaikos ir matemati s fiikos modeliai daugiausia skirti kotiualiųjų sistemų diskretiacijai. Būtet fukciių modelių išreiškimas algebrie forma ir algebriių modelių spredimas ra šio kurso objektas. Savitą DKM modelių ir metodų grupę sudaro ižieri s disciplios, skirtos mechaikos taikmams ižierijoje. Kotiualiųjų sistemų mechaikos pagridas diferecialiio elemeto samprata, kurios pagalba aprašomi makrokūai. Šiuolaiki ms techologijoms pasiekus eįtik tią pažagą, reikia operuoti e tik mikrometrų, bet ir aometrų ddžio medžiagos dalel mis ar et pavieiais atomais, o į diskretiių sistemų modeliavimą įvesti atomies sąvokas. Būtet tomis sąvokomis operuoja moderi mechaikos sritis medžiagų mechaika plačiąja prasme.

4 Fiika Šilumos techika Kotiuumo mechaika Elektra Elektromechaika Fii medžiagotra Termomechaika Aeromechaika Deformuojamojo kūo mechaika Hidromechaika Diskretiių sistemų mechaika (statbi mechaika) Tamprumo teorija Kotiualių sistemų mechaika Plastiškumo teorija Valkšumo teorija Irimo mechaika Ižieri s disciplios (medžiagų atsparumas) pav. Medžiagų mechaika

5 . Tamprumo teorijos sąvokos ir prielaidos Kieto deformuojamo kūo mechaikos dalis agri jati kūų tampriąsias savbes vadiama tamprumo teorija (TT). TT objektas tamprus kūas, kurio taškuose ustatomi įtempimai, deformacijos ir poslikiai, sąlgojami žiomo poveikio. Kūas laikomas tamprus, jeigu pašalius išoriį poveikį jis sugrįžta į pirmkštį būvį. Matemati s TT gimtadieiu priimta laikti 864 m., kai Navje paskelb darbą, kuriame suformulavo TT lgčių sistemą. Pradžioje domiavo pracūų moksliikai. Be Navje, galima pami ti Klaiperoą, Puasoą, Se-Veaą, Košį (Navier, Clapero, Cauch, Poisso, Sait-Veat). Kai kurie iš jų d st Rusijoje, kur v liau irgi susiformavo garsi mechaikos mokkla. TT agri ja tik statikos apkrovas, t.. eįvertiamos j gos atsiradačios judat kūui ir priklausačios uo greičio ar pagreičio. Nagri sime klasikię TT. Tamprus kūas ( pav.) bus laikomas apibūditu, jei žiome jo išoriio paviršiaus S lgtį, tūrį V, tvirtiimo sąlgas bei tamprumo savbes usakačius ddžius (tamprumo modulis E, šlties modulis G ir skersi s deformacijos (Puasoo) koeficietas ν, E G ) ν Kūą veikiats poveikiai gali būti išoriiai, pridedami paviršiuje S arba vidiiai, atsiradats tūrje V. Paviršius S dalijamas į dalis. Dalje S f ( ) {P} S f S pav S u V pridedami j gos poveikiai, o dalje S u judesio poveikiai. Nuliiai poveikiai gali būti agri jami kaip atskiri atvejai: eapkrautas paviršius arba įtvirtitas paviršius.

6 Išori s j gos aprašomos: pavirši mis j gomis { p } { p, p, p } T ir tūri mis j gomis { g } { g, g, g } T, jų dimesija N - 3 m N. m (tai svorio arba iercijos j gos). Nagri sime ekitačias laike apkrovas. Pagridiis TT uždavis ustatti įtempimus, deformacijas, poslikius (apie juos kalb sime v liau) kūo tūrje V, kai kūo paviršius S, jo medžiagos fii s savb s, išoriis statiis poveikis (tūri s bei pavirši s j gos), tvirtiimo sąlgos ra žiomi. Pradiiai duomes gali būti duoti ir kitokia forma, t.. at dalies kūo paviršiaus S vietoje išoriių paviršiių j gų žiomi poslikiai arba priklausomb tarp poslikių ir paviršiių j gų ir paašiai. Kūams agri ti taiksime pjūvio metodą. Juo galima ustatti pjūvje veikiačias vidies j gas. Be to, šis metodas leidžia vidies j gas agri ti kaip išories j gas. Trumpai apie vidies j gas, įtempimą, poslikius ir deformacijas. Vidi s j gos tai papildoma kūo dalelių sąveika, atsiradati uo išoriių j gų. Įtempimas vidiių j gų itesvumo matas. Tai ra vektorius, kurio krptis tokia pati, kaip ties tuo tašku veikiačių vidiių j gų, o didumas prilgsta vidutiei j gai, tekačiai ploto vieetui. A F t A F F w 3 pav. F F lim p pilutiis įtempimas, F lim ormaliis įtempimas, lim t tagetiis įtempimas, A A A A A A p.

7 Poslikiai ir deformacijos (4 pav.) Taško liijiis poslikis - vektorius, kurio pradžia ra edeformuoto kūo taške, o galas deformuoto (vektorius aa ). a s b a π/ s α α ab b c a s s α bc c Atkarpos kampiis poslikis - kampas tarp atkarpos krpties edeformuotame kūe ir tos pačios atkarpos krpties jau deformuotame kūe (kampas α). Liiji deformacija ties kūo tašku kuria ors krptimi tos krpties atkarpos pokčio satkis su pradiiu atkarpos ilgiu, kai tas ilgis kstamai mažas. s lim liiji deformacija s s 4 pav. Kampi deformacija kampo tarp dviejų statmeų kstamai trumpų atkarpų poktis. ( abc a b c ) abc lim - kampi deformacija. ab bc Norit ustatti įtempimų, deformacijų ir poslikių ežiomas fukcijas, reikia dispouoti tam tikrų lgčių sistema. Tos lgts turi susieti ieškomas fukcijas su pradiiais duomeimis, aprašačiais kūą ir jį veikiačias j gas. Tai: - pusiausvros lgts (algebri s ir difereciali s), - geometri s lgts (diferecialiis ršs tarp deformacijų ir poslikių), - fiikos (algebri s) priklausomb s.

8 Prielaidos (pricipai). Medžiagos vietisumo prielaida (hipote ). Teigia, kad medžiaga užpildo kūą tolgiai be tuštumų. Ši prielaida leidžia aprašti kūą toldi mis fukcijomis.. Medžiagos viealtiškumo prielaida. Teigia, kad medžiagos savb s visuose kūo taškuose vieodos. 3. Medžiagos iotropiškumo prielaida. Teigia, kad medžiagos savb s visomis krptimis ra vieodos. 4. Medžiagos idealaus tamprumo prielaida. Teigia, kad ršs tarp apkrovų ir deformacijų ra grįžtamojo pobūdžio. 5. Fiiio tiesiškumo prielaida (Huko d sis). Teigia, kad ršs tarp įtempimų ir deformacijų ra proporcigas. 6. Geometriio tiesiškumo prielaida. Teigia, kad kūo satkiiai pailg jimai maži, palgiti su vieetu, o liijiiai kūo taškų poslikiai maži, palgiti su paties kūo matmeimis. 7. Neįtempto pradiio būvio pricipas. Teigia, kad prieš pridedat išoriius poveikius kūe ra jokių vidiių j gų. 8. Nepriklausomo j gų veikimo (superpoicijos) pricipas. Teigia, kad j gų sistemos poveikio reultatas lgus reultatų uo atskirų j gų sumai. 9. Pusiausvrų išoriių j gų lokaliio efekto (Se Veao) pricipas. Yra dvi šio pricipo formuluot s: a) išoriių j gų sąlgoti įtempimai ir deformacijos kūo taške, pakakamai utolusiame uo j gų prid jimo vietos, epriklauso uo j gų sistemos pobūdžio, o priklauso tik uo j gų sistemos svarbiausiojo vektoriaus ir svarbiausiojo mometo.

9 b) išori s j gos, veikiačios edidel je kūo paviršiaus ar kūo tūrio sritje ir būdamos statiškai ekvivaletiškos, sąlgoja įtempimus ir deformacijas, kurie tolstat uo aptartos srities (uo taško A, žr. 5 pav.) greitai maž ja ir atstumu didesiu už R lgus O. 5 pav. Se-Veao pricipas ra griežtai matematiškai, kiekbiškai pagrįstas, tačiau turimi sprediiai ir eksperimetai visiškai pateisia jo teisigumą. Jis labai svarbus TT, pač agri jat spredimo metodus.

10 3. Įtempimų būvio teorija Įtempimų didumas bet kuriame apkrauto elemeto taške priklauso uo to, kaip orietuotas pjūvis, kuriame tie įtempimai agri jami. Kaitaliodami pjūvio krptį sud tigai apkrautame elemete, ties vieu tuo pačiu tašku gautume įvairių įvairiausias įtempimų reikšmių kombiacijas. Bet kuriai šių kombiacijų usakti pakaka žioti įtempimus kuriose ors trijose statmeose plokštumose ir agri jamo pjūvio orietaciją tų plokštumų atžvilgiu (kampus tarp pjūvio ir tų plokštumų). Įtempimų, veikiačių įvairiose visaip eiačiose per apkrauto kūo tašką plokštumose, visuma ra vadiama įtempimų būviu ties tašku. Ties agri jamuoju apkrauto kūo tašku k statmeais ašims pjūviais, išpjauame be galo mažą stačiakampį gretasieį, kurio briauų ilgis d, d, d (6 pav.). 6 pav. Bedru atveju visuose šešiuose šio gretasieio šouose veikia po tris įtempimų kompoetus (,, ir t.t.).

11 Kadagi atstumai tarp išpjauto gretasieio šoų ra kstamai maži, priešiguose šouose (ematomuose) veikia tokio pat didumo, tik priešigos krpties įtempimai (įtempimai pažm ti štrichu ra lgūs įtempimams be štricho). Taigi įtempimų būviui ties bet kuriuo tašku usakti reikia žioti iš viso devias įtempimų reikšmes. Įtempimų būvis gali būti apraštas vektoriumi {} { } {,,,,,,,, } T () arba įtempimų matrica ~, vadiama teoriumi (stulpeliuose vieodas ra pirmasis ideksas, kuris rodo ormal s krptį) ~ () Nesuku įrodti, kad trs poros tagetiių įtempimų reikšmių ra tarpusavje lgios: Pv: ( M ),, (Tagetiių įtempimų dualumo d sis) (3). Įtempimai ra pasiskirstę visame gretasieio šoo plote. Kadagi tas plotas ra kstamai mažas, galima teigti, kad visuose kiekvieo šoo taškuose įtempimai vieodi ir prilgsta taško k įtempimams. Tod l atstojamąsias gauame daugiat įtempimo kompoetus iš to šoo ploto dd, dd, dd ir t.t. Visos atstojamosios j gos prid tos prie gretasieio šoų cetrų, tod l j gos, kurios susidaro iš ormaliių įtempimų, veikia poromis viea prieš kitą ir visiškai kompesuoja viea kitos poveikį. Tuo tarpu j gos, kurios susideda iš tagetiių įtempimų, sukuria j gų poras. ( ) M, ddd ddd arba

12 Tagetiių įtempimų dualumo d sis,, Dviejuose statmeose plokštumose tagetiių įtempimų kompoetai, statmei tų plokštumų susikirtimo briauai ties tašku ra vieodo didumo ir ukreipti arba abu į briauą arba uo jos Įvertiat tagetiių įtempimų dualumo d sį (3) galime teigti, kad įtempimų būviui ties bet kuriuo tašku usakti reikia žioti e 9, bet 6 įtempimų reikšmes ir kad įtempimų teorius ra simetriškas pagridi s diagoal s atžvilgiu. Tada įtempimų būvis gali būti apraštas vektoriumi { } { } T,,,,, (4) arba teoriumi ~. (5) sim atžvilgiu. Be įtempimų statmeuose (ormali se) ašims,, aikštel se, dažai reikia žioti įtempimus aikštel se bet kaip orietuotose ašių,,

13 Tam ties agri jamuoju apkrauto kūo tašku k išpjauame be galo mažą tetraedrą (7 pav.). 3 tetraedro plokštumos sutampa su koordiati mis plokštumomis, o ketvirtoji ra pasvirusi. Jos pad tis usakoma ormal s {} {,, } T, (6) kur cos(, ), cos(, ), cos (, ). 7 pav. Įtempimas bet kaip orietuotoje plokštumoje (8 pav.) { p } { p, p, p } T (7) 8 pav. Pusiausvros lgtis: ( ) F, (eįvertiat tūriių j gų) p da da da da, kur da da, da da, da da, da bet kaip orietuotos plokštumos plotas.

14 Sutvarkę gauame p. Aalogiškai parašę kitas pusiausvros lgtis gauame p p p (8) Matrici je formoje { } { } ~ p arba { } [ ] { } N p (9) kur N Lgts (9) tai tetraedro pusiausvros algebri s lgts. Kair je pus je vietoje pilojo įtempimo kompoetų gali būti įrašomos pavirši s apkrovos. Aikštel s, kuriose ra tagetiių įtempimų, vadiamos svarbiausiomis. Normaliiai įtempimai, veikiatieji svarbiausioje aikštel je vadiami svarbiausiaisiais. Pasvirusioji aikštel sutaps su svarbiausiąja, kai jos ormal sutaps su p t.. p (žr. 8 pav.), tada p p p p p p () įrašę () į (8) ir pertvarkę gauame: ( ) ( ) ( ) ()

15 Šioje sistemoje ežiomieji,,,. Vieu metu,, egali būti lgūs uliui es. Lgts () sudaro homogeiių lgčių sistemą, kuri turi euliį sprediį, kai jos determiatas lgus uliui det t.. ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) () Lgtis () kubi lgtis atžvilgiu, kurią galima užrašti kur I, I 3, det det det det I 3 I I I (3) Kubi s lgties (3) sprediiai ra svarbiausieji įtempimai, kurie žmimi > > 3. Jie apskaičiuojami pagal tikslias Kardao formules, arba skaitiiu Niutoo metodu.

16 4. Pusiausvros difereciali s lgts Rašat algebries pusiausvros lgtis (8) laik me, kad įtempimai priešigose gretasieio plokštumose ra vieodi. Algebri s lgts leidžia įvertiti išories apkrovas ir eįvertia tūriių apkrovų. Dabar agri jimą patiksliame, t.. įvertiame įtempimų teoriaus elemetų pokčius kitat plokštumų koordiat ms (8 pav.). Pokčiams ustatti audojamasi Teiloro eilut s ariais, atmetus aukštesių eilių savbes (9 pav.): d d, d d tikrasis poktis 8 pav. d 9 pav. Užrašomos elemeto, parodto 8 pav., j gų projekcijų sumų į ašis pusiausvros lgts: F, Pavdžiui ( ) dd d dd dd d dd - dd dd g dv pertvarkę ir suprastię iš dv ddd gauame g.

17 Aalogiškai parašę ( ) F gauame g, o parašę ( ) F g. Tokiu būdu gauame diferecialies pusiausvros lgtis g, g, (5) g. arba operatorie-matricie forma { } { } g, (6) kur diferecialiis operatorius. Pusiausvros lgts (5) dar vadiamos Navj (pracūų matematikas, ižiierius Louis Navier, ) vardu. Šios difereciali s pusiausvros lgts ir algebri s pusiausvros lgts (9) leidžia paprastomis operacijomis (diferecijavimo arba algebri mis) tiksliai ustatti, kokios išori s pavirši s j gos {p} ir išori s tūri s j gos {g} sąlgoja įtempimų būvį, apibūdiamą įtempimais {}. Tačiau šių diferecialiių lgčių eužteka pagridiiam TT uždaviiui išspręsti: esat duotoms išori ms j goms, ustatti įtempimų būvį, t.. įtempimų teorių ~, es ra 3 lgts, o ežiomųjų 6. Algebri s lgts tik krašti s sąlgos. Uždavis statiškais eišspredžiamas. Įtempimų vektorius {} {,,,,,,} T vadiamas statiškai galimu, jeigu tekia šias priklausombes.

18 5. Deformuoto būvio teorija Be įtempimų TT agri ja kūo deformacijas ir kūo taškų poslikius. Poslikio kompoetai žmimi u, v, w ( pav.). a v a w u pav. a(,, ), a'( u, v, w) u u(,, ) v v(,, ) w w(,, ) taško poslikiai ra taško koordiačių fukcijos. Remiatis medžiagos vietisumo prielaida teigiame, kad u, v ir w fukcijos gali būti apskaičiuotos visuose taškuose. Laikdami, kad deformacijos mažos, be galo mažojo gretasieio deformaciją galima išreikšti šešiomis deformacijomis (3 liiji s ir 3 kampi s),,,,, ( pav.). d d d d d d d d d tg d tg d tg d pav.

19 Gretasieio deformaciją galima vaiduoti įvairiai, bet kampi deformacija bus ta pati ( pav.). a) b) c) pav. Šiuos deformacijų būvius ( a, b, c pav.) atitika tas pats įtempimų būvis. Aalogiškai įtempimų būviui, deformacijų būvis aprašomas deformacijų vektoriumi ir teoriumi:,,,, deformacijų vektorius { } { } T deformacijų teorius ~,, Deformacijų būvis deformacijų visuma 3 krptimis ir 3-ose plokštumose.

20 Liiji s deformacijos trimis tarpusavje statmeų ašių, status kampas tarp kurių esikeičia, krptimis ra svarbiausiosios deformacijos,, 3, kurios skaičiuojamos iš lgties Kubi s lgties (7) koeficietai apskaičiuojami 3 I I I3. (7) I I I, det. det det det. 3 Aalogija Matome, kad geometriškai deformacija gali būti aprašoma taškų poslikiais arba gretasieių, į kuriuos gali būti sudalitas kūas, deformacijų vektoriumi ir teoriumi.

21 6. Geometri s lgts Lgts siejačios poslikius su deformacijomis vadiamos geometri mis lgtimis. Poslikius laiksime žiomais. Toliau agri jame mažas atkarpas, pv. ilgio d (3 pav.). Teigiame, kad atkarpos ilgio pokčiui įtakos turi tik poslikis u, o poslikiai v ir w ekeičia ilgio, d l jų atkarpa tik pasisuka. Atstumą tarp taškų a ir b galima išreikšti dvejopai ab' u d d (3 pav. viršuti matmeų liija) arba u ab' d u d (3 pav. apati matmeų liija) a u d a 3 pav. d d b u u d u du b u du u d d d u d, arba d d d d d du d u (žr. pav.), tada d d d d u v u, aalogiškai ; Tai pirmosios trs geometri s lgts: u, v u ;

22 a u d Toliau agri jame gretasieio (4 pav.) projekciją į plokštumą -. a d b d u c b α ab v α bc c v d Neįvertiame poslikio w ir matmeų pokčio, įvertiame tik taškų a ir c poslikius ir pradiio stataus kampo poktį. Kampi deformacija α α, kampai ab bc u u α ab tgα ab d / d,. 4 pav v v α bc tgα bc d / d, tada u v. Kitas lgtis gauame aalogiškai agri dami poslikius ir stataus kampo pokčius plokštumose ir. Jas galima užrašti keičiat ašių ir poslikių žm jimus ; u v w u. v w, u w

23 Tokiu būdu gauamos šešios geometri s deformacijų ir poslikių daros lgts : w u w v v u w v u,, ; ; (8) Kūo geometri s lgts (8) dar vadiamos Koši (pracūų matematikas Augusti Cauch, ) vardu. Operatorie-matricie forma Koši lgts užrašomos { } { } u T, (9) kur { } { } T,,,,,, deformacijų vektorius, { } { } T w v u u,, poslikių vektorius, T diferecialiis operatorius. Jeigu žiomi 3 poslikiai tai pagal Koši formules legvai ustatomi 6 deformacijų kompoetai.

24 7. Tampraus kūo fii s priklausomb s Pusiausvros (NAVJE) ir geometri s (KOŠI) lgts galioja ir tampriam ir plastiškam bei valkšiam kūui, jei tik galioja mažų deformacijų prielaida. Kūų skirstmas į tamprius ir etamprius prasideda tik tada, kai usakome ršį tarp deformacijų ir įtempimų. Tai fiiis d sis, arba apibedritas Huko (aglų fiikas Robert Hooke, 63 73) d sis: E E E, G [ ν( )] [ ν( )] [ ν( )] G Operatorie-matricie forma Huko d sis užrašomos { } [ ]{ },, () G D, () arba [ D], kur D E -ν -ν -ν -ν -ν -ν (ν) (ν) (ν) D pasiduodamumo matrica.

25 Kai kada Huko d sis užrašomas { } [ ]{ } [ K]{ } D, () K ( -ν) λ λ λ ν λ ( -ν) λ λ ν λ λ λ ( -ν) ν G G G kur [K] stadumo matrica, λ Lame (matematikas, ižiierius Gabriel Lame, ) koeficietas λ E tamprumo modulis, G šlties modulis, E ν ( ν)( ν) ν Puasoo (pracūų mechaikas, fiikas ir matematikas Simeo Deis Poisso, 78-84) koeficietas,

26 8. Tamprumo teorijos lgčių sistema Duotas kūas. Žiome įtvirtiimo sąlgas ir apkrovas. Reikia rasti 5 ežiomųjų fukcijų. { } {,,,,, } T, { } {,,,,, } T, { u } { u, v, w} T. Šiems ežiomiesiems rasti turime 5 lgčių. Nežiomųjų skaičius Lgts {} {} {u} Lgčių skaičius Statikos ( Navje) { } { } { } g 6 3 Geometri s (Koši) { u} { } T Fii s (Huko) { } [ D ] { } arba { } [ K ] { } Nežiomųjų Lgčių 3665 TT uždavis ra išspredžiamas iš pricipo. Prie šių lgčių būtia prijugti krašties sąlgas: staties ir [ N ]{ } { p} [ N ]{ } { R} at Af, ; at A kiematies {u} {} at A u. u