1 SKYRIUS. Laplaso transformacija 2 SKYRIUS. Integralinės lygtys

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 SKYRIUS. Laplaso transformacija 2 SKYRIUS. Integralinės lygtys"

Αττις Αποστόλου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 1 SKYRIUS. Lplo trnformcij 3 1. Integrlinė trnformcijo Lplo trnformcij Lplo trnformcijo vybė Lplo trnformcijo tikym prendžint diferenciline lygti SKYRIUS. Integrlinė lygty 9 1. Įvd Integrlinių lygčių klifikcij Konvoliucijo tipo integrlinė lygty Ryšy trp diferencilinių ir I rūšie integrlinių lygčių

2 . 2

3 1 kyriu Lplo trnformcij 1. Integrlinė trnformcijo Mtemtikoje nudojmo įvirio trnformcijo, kurių bendr formulė yr T [f](x) = 2 Ki kuriom iš jų pibrėžt tvirkštinė trnformcij f(t) = 2 t 1 K(t, x)f(t)dt. (1.1) x 1 K 1 (x, t)t [f](x)dx. (1.2) Džniuii nudojmo integrlinė trnformcijo, pteikto 1.1 lentelėje. 2. Lplo trnformcij Tikymuoe vrbiui tveji (ki išpildyt funkcijo f(t)e γt integruojmum) yr: { f(t) < Ce σt, ki t, (2.1) f(t) =, ki t <, či σ ir C yr kontnto. L[f] := Φ() = f(t) = 1 f(t)e t dt, (2.2) µ+ı µ ı t d Φ()e = 1 ı ı µ+ı µ ı Funkcij Φ yr pibrėžt ir nlizinė puplokštumėje Re > σ. Φ()e t d. (2.3) 1.1 pibrėžim [Lplo trnformcij]. Funkciją, pibrėžtą (2.2) formule, vdinime funkcijo f Lplo trnformcij. Atvirkštinę Lplo trnformciją pibrėži formulė L 1 [Φ] = 1 ı µ+ı µ ı Φ()e t d. Funkcij f vdinm originlu, o funkcij Φ vizdu.

4 lentelė Integrlinė trnformcijo. trnformcij žymuo K t 1 t 1 K 1 x 1 x 2 Furjė F e ıxt + e ıxt + Sinu F 2 in(xt) + Koinu F c 2 co(xt) + 2 in(xt) + 2 co(xt) + Hrtlio H in(xt)+co(xt) + in(xt)+co(xt) + Melino M t x 1 + Lplo L e xt + dvipuė Lplo B e xt + t x ı σ ı σ + ı e xt ı σ ı σ + ı e xt ı σ ı σ + ı Vejerštro Hilberto Abelio W Hil A e (x t)2 /4 4π + 1 π(x t) + 2t x + t 2 x 2 e (x t)2 /4 ı 4π σ ı σ + ı 1 π(x t) + 2t t + x 2 t 2 Hnkelio J tj ν(xt) + xj ν(xt) + Lplo trnformcij vo vybėmi beveik neikiri nuo Furjė trnformcijo, tčiu klė funkcijų, kuriom yr pibrėžt Lplo trnformcij, kirii nuo klė L 1 (R), kuriom egzituoj Furjė trnformcijo Lplo trnformcijo vybė Apibrėžkime vienetinę Heviido funkciją u(t) (ji tip pt žymim H(t), bet opercinime kičivime džniu u(t)): u(t) =, ki t < ; u(t) = 1, ki t. Toliu kiekvieną funkciją f likyime ndug f u ir ngrinėime tikti intervle [; + ). 1.1 pvyzdy. L[u] = u(t)e t dt = e t dt = 1, Re >. 1.2 pvyzdy. L[e t ] = e t e t dt = e t t dt = 1, Re > Re. 1.1 vybė [tieiškum]. L[αf 1 + βf 2 ] = αl[f 1 ] + βl[f 2 ]. 1.3 pvyzdy. L[co(ωt)] = L[ 1 2 (eıωt + e ıωt )] = 1 2 (L[(eıωt ] + L[e ıωt )]) = 1 ( ) = ; L[in(ωt)] = ω, Re > ; 2 ıω ( ıω) 2 +ω 2 2 +ω 2 L[coh(ωt)] = ; L[inh(ωt)] = ω, 2 ω 2 2 ω 2 Re > ω.

5 5 1 SKYRIUS. Lplo trnformcij [ (9:42)] 1.2 vybė [pnšum]. L[f(αt)] = 1 α L[f]( α), α >. 1.3 vybė [potūmi]. L[e αt f(t)] = L[f]( α). 1.4 vybė [vėlvim]. L[f(t τ)] = e τ L[f](). 1.4 pvyzdy. Jeigu δ h := (u(t) u(t h))/h, h >. Turime L[δ h (t)] = L[u(t)] L[u(t h)] h = 1 h e h h ; lim L[δ h(t)] = lim ( 1 h + h + e h h h ) = lim h + e h = vybė [periodini originl]. Jeigu f(t + T ) = f(t), tuomet L[f] = 1 1 e T T f(t)e t dt. 1.6 vybė [originlo diferencijvim]. L[f ] = f (t)e t dt = f(t)e t + + f(t)e t dt = L[f]() f(). L[f (n) ] = n L[f]() n 1 f() n 2 f () f (n 1) ()). 1.7 vybė [Borelio teorem (originlų ąūk)]. Jeigu f ir g tenkin originlm kelimu reiklvimu, tuomet (f g)(t) = tip pt juo tenkin. Td L[(f g)(t)] = = f(ξ)g(t ξ)dξ = f(ξ)g(t ξ)dξe t dt = f(ξ)g(t ξ)dξ f(ξ) f(ξ)e ξ L[g]()dξ = L[f]()L[g](). 1.1 išvd. L [ f(τ)dτ] = L[u f] = L[f](). 1.5 pvyzdy. L [ ] [ ] [ u(t) tn t n 1 n! = L τ u(τ) dτ = L (n 1)! 1.1 uždviny. Įrodykite Diumelio formule: L [ f()g(t) + L [ g()f(t) pvyzdy. Turime L[e t ] = 1. Td 1 ( )( b) = L[et e bt ] = L [ u(t) tn 1 (n 1)! ] ξ g(t ξ)e t dtdξ = L[u(t)] n = 1 n+1. f (τ)g(t τ)dτ ] = L[f]L[g]; g (τ)f(t τ)dτ ] = L[f]L[g]. e bt e( b)t dξ ] [ ] e = L t e bt. b

6 vybė [vizdo diferencijvim ir integrvim]. (L[f]) () = tf(t)e t dt L[tf(t)] = (L[f(t)]) L[t n f(t)] = ( 1) n (L[f(t)]) (n) ; = L[f](p)dp = f(t) e t dt L[f(t)/t]() = t f(t)e pt dtdp = L[f](p)dp. f(t) e pt dpdt 2.2. Lplo trnformcijo tikym prendžint diferenciline lygti Trkime, kd duot tieinė diferencilinė lygti u ptovii koeficienti ir prdinė ąlygo y (n) + 1 y (n 1) n y = b(t) (2.4) y() = y, y () = y 1,..., y (n) = y n 1. (2.5) Funkcijo y Lplo trnformciją pžymėkime Y () = L[y]. Tikome Lplo trnformciją (2.4) lygčii: L[y (n) ] + 1 L[y (n 1) ] n L[y] = L[b(t)] = B(). Pinudojme Lplo trnformcijo 6 vybe ir lygtį trnformuojme į lgebrinę lygtį Q() + R()Y () = B(), či Q yr n 1 lipnio duginri pgl kintmąjį, priklunti nuo lygtie koeficientų ir prdinių ąlygų, o R() = n n k k, = 1, k= yr (2.4) lygtie chrkteritini duginri. Iš guto lgebrinė lygtie rndme B() Q() Y () =. (2.6) R() Td prendiny y rndm nudojnt tvirkštinę Lplo trnformciją y(t) = 1 µ+ı ı µ ı B() Q() e t d. R() Jeigu tieinė lygtie koeficienti yr duginrii kintmojo t tžvilgiu, ti Lplo trnformcij diferencilinę lygtį trnformuoj į diferencilinę lygtį.

7 7 1 SKYRIUS. Lplo trnformcij [ (9:42)] 1.7 pvyzdy. Rime Koši uždvinio y y = 1, y() =, y () = prendinį. Tikome Lplo trnformciją 2 Y () Y () = 1 Y () = 1 ( 2 1) = y(t) = coh t pvyzdy. Rime Koši uždvinio y y = 1 coh t, y() =, y () = prendinį. Tieiogii išpręti nepvykt, ne nežinome funkcijo 1/ coh t vizdo. Pinudoime Diumelio formule. Iš prdžių prendžime lygtį u b 1 = u(t) ir iš preito uždvinio turime prendinį g(t) = coh t 1, g (t) = inh t. Abi prdinė ąlygo lygio nuliui, todėl iš (2.6) turime lygybę Vdini, y(t) = R() = B() Y () = B1() Y = 1 Y () = G()B(). 1() G() = inh t 1 inh τ coh(t τ) dτ = dz coh t 1 inh(t z) coh z dτ inh z dz = t inh t coh t ln coh t. coh z 1.2 uždviny. Rkite Koši uždvinio ty + y ty =, y() = 1, y () = prendinį.

8 2. 8

9 2 kyriu Integrlinė lygty Integrlinė lygty džni nudojmi įviruoe tikymų ritye ir yr tokio pt vrbio kip ir diferencilinė lygty. Dugeli uždvinių gli būti ekvivlentiški formuluojmi kip diferencilinė rb kip integrlinė lygti. Uždvinii, kuriuo pršo integrlinė lygty, yr pinduliuotė perdvim, tygo, membrno r šie vyrvymi. 1. Įvd Integrlinemi lygtimi vdinmo lygty, kurioe nežinomoji funkcij yr po integrlo ženklu. Jei tokioje lygtyje yr nežinomo funkcijo išvetinė, klbm pie integro-diferencilinę lygtį. Integrlinė lygti nežinomi funkciji y(x) bendru tveju gli būti užršyt kip θ(x)y(x) + b k(x, t)y(t)dt = f(x), či f(x), θ(x) ir k(x, t) yr duotoio funkcijo ( f(x) titink išorinę jegą). Funkcij k(x, t) yr vdinm brnduoliu ( ngl. kernel). 2.1 pvyzdy. Integrlinių lygčių pvyzdžii: 1. y(x) = x (x t)y(t)dt. 2. y(x) = f(x) + λ k(x t)y(t)dt, či f(x) ir k(x) yr duotoio funkcijo. 3. y(x) = λ 1 k(x, t)y(t)dt, k(x, t) = 4. y(x) = λ 1 (1 3xt)y(t)dt. 5. y(x) = f(x) + λ 1 (1 3xt)y(t)dt. { (x(1 t), x t; t(1 x), t x 1. Funkcij, pverčinti integrlinę lygtį tptybe, vdinm integrlinė lygtie prendiniu. 2.2 pvyzdy. 1. Integrlinė lygti u nežinomąją funkciją y(x) turi prendinį y(x) = 3x/2, ne 1 xty(t)dt + x = y(x) = 1 1 xty(t)dt + x xt 3t 2 dt + x = x 2 + x = 3x 2 y(x). Glim įrodyti, kd ti vieninteli šio lygtie prendiny.

10 2. Įvd 1 2. Integrlinė lygti y(x) = 1 3xty(t)dt + x neturi prendinių. 3. Neunku ptikrinti, kd y(x) = 1 3xty(t)dt + x 2/3 turi be glo dug prendinių y(x) = cx 2/3, či c yr kontnt. Mtome, kd nedideli integrlinių lygčių koeficientų pkeitimi duod kokybiški kirting itucij. Todėl integrlinių lygčių teorijoje vrbu ngrinėti prendinių egzitvimą, vientį ir glodumą. Integrlinėm lygtim džni neglim užršyti nlizinio prendinio, tokiu tveju reiki pręti kitiški. Ti glim pdryti dikretizuojnt neprikluomą kintmjį x ir prokimuojnt integrlą kvdrtūrinemi formulėmi n c j k (x i, t j ) y(t j ) = f(x i ), i =, 1,, n. j=1 Uždvini užršom kip n lygčių itemą u n kintmiii. Išprendu, gunme dikretujį prendinį y(t ), y(t 1 ),, y(t n ). 2. Integrlinių lygčių klifikcij Integrlinė lygty yr klifikuojmo pgl tri kirting dichotomij, tokiu būdu udromo štuonio kirtingo klė: Integrvimo režii fikuoti: Fredholmo lygti, vien reži kintm: Volter lygti. Išdėtym nežinomo funkcijo Tik po integrlo ženklu: I rūšie, po integrlu ir jo išorėje: II rūšie. Žinomo funkcijo f tip f homogeninė, f nehomogeninė. Fredholmo lygti ir Volterr lygti yr tieinė lygty, ne funkcij y(x) į integrlą įein tieiški. Netieinė Volter lygti turi pvidlą ϕ(x) = f(x) + λ či F yr žinom funkcij. k(x, t) F (x, t, y(t)) dt,

11 11 2 SKYRIUS. Integrlinė lygty [ (9:42)] Ngrinėkime tieine integrline lygti (θ yr kontnt) θy(x) + λ Integrlinių lygčių tipi: b k(x, t)y(t)dt = f(x). Lygti vdinm I rūšie, jei nežinom funkcij yr tik po integrlo ženklu, t.y. θ(x), priešingu tveju lygti yr II rūšie. Lygti vdinm - Fredholmo integrline lygtimi, jei integrvimo režii ir b yr kontnto, (Ivr Fredholm) - Volter integrline lygtimi, jei ir b yr kintmuojo x funkcijo (Vito Volterr). Lygti yr homogeninė, jei f(x), priešingu tveju nehomogeninė. 2.3 pvyzdy. ) I rūšie Fredholmo lygti b) II rūšie Fredholmo lygti b b k(x, t)y(t)dt = f(x). k(x, t)y(t)dt + y(x) = f(x). c) I rūšie Volter lygti k(x, t)y(t)dt = f(x). d) II rūšie Volter lygti k(x, t)y(t)dt + y(x) = f(x). 2.4 pvyzdy [Sndėlivimo uždviny]. Norint optimlii išnudoti ndelivimo erdvę, ndėlinink turi išlikyti ptovų kiekį prekių trgų. Glim prodyti, kd šią ituciją pršo integrlinė lygti. Apibrėžkime: θ = prekių trgų kieki liko momentu t =, k(t) = prekių trgų likuti (procenti) liko momentu t, u(t) = nujų prekių pirkimo greiti (prekė/liko vieneti), u(t)δτ = įigytų prekių kieki per liko intervlą δτ. Bendr prekių kieki ndėlyje liko momentu t pkičiuojm pgl formulę: θk(t) + k(t τ)u(τ)dτ, Jei produktų kieki ndėlyje yr ptovu ir lygu kontnti c, ti θk(t) + k(t τ)u(τ)dτ = c. Norint užinoti, kip greiti reikę pirkti nuj preke (t.y. u(t)) tm, kd išlikyti ptovų trgų kiekį, reiki išpręti I rūšie Volterą lygtį.

12 3. Įvd Konvoliucijo tipo integrlinė lygty Lplo trnformcijo metod gli būti tikom integrlinei lygčii, jei įeinnty į ją integrl yr dviejų funkcijų ąūk: f(x t)g(t) dt = F (p)g(p), t. y. brnduoly yr dviejų kintmujų kirtumo funkcij: y(x) = f(x) + K(x )y() d. 2.5 pvyzdy. Lygtie Lplo trnformcij y(x) = in x + 2 co(x t)y(t)dt. L[y] = L[y] L[y] = 1 (p 1) 2. Atvirkštinė Lplo trnformcij y(x) = xe x. Ngrinėkime tokio tipo integrline lygti: y(x) = f(x) + k(x t)y(t)dt = f(x) + k y(x), či k y(x) yr funkcijų k ir y ąūk. Integrlinių lygčių u ąūką pgrindini prendimo metod yr Lplo trnformcij. 2.6 pvyzdy. Išprękime lygtį y(x) = x (x t)y(t)dt. Sprendim: Lygti yr ąūko tipo u f(x) = x ir k(x) = x. Priiminkime, kd Lygtie Lplo trnformcij L[x] = 1 2. L[y] = 1 L[x y] = 1 2 L[x]L[y] = L[y] L[y] = Iš či gunme [ ] y(x) = L 1 1 = in x

13 13 2 SKYRIUS. Integrlinė lygty [ (9:42)] 2.7 pvyzdy. Išprękime lygtį y(x) = f(x) + λ k(x t)y(t)dt, či f(x) ir k(x) yr duoto funkcijo. Sprendim: Lygti yr ąūko tipo. Pritikome Lplo trnformciją L[y] = L[f] + λl[k]l[y] L[y] = L[f] 1 λl[k]. [ ] y(x) = L 1 L[f]. 1 λl[k] 4. Ryšy trp diferencilinių ir I rūšie integrlinių lygčių 2.8 pvyzdy. Ngrinėkime Koši uždvinį y (x) = f(x, y), y(x ) = y. (4.1) Integruojnt nuo x iki x gunme iš či x y (t)dt = x f(t, y(t))dt, y(x) = y + f(t, y(t))dt. x (4.2) Iš kito puė, jei (4.2) teiing, ti y(x ) = y ir y (x) = f(x, y(x)), t.y. (4.1) teiing. Ti rodo, kd uždvinii (4.1) ir (4.2) yr ekviivlentu. Glim uformuluoti dug prdinių ir krštinių diferencilinių uždvinių nudojnt integrline lygti, ir tvirkčii. Bendruoju tveju: Koši uždviny Dinminė itemo } Volter lygti, Krštini uždviny Fredholmo lygti.

Σχετικά έγγραφα

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras, MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės