NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS su MAPLE. Aleksandras KRYLOVAS

Transcript

1 NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS su MAPLE Aleksndrs KRYLOVAS

2 TURINYS. PIRMYKŠTĖ FUNKCIJA IR NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS 6.. PIRMYKŠTĖS FUNKCIJOS APIBRĖŽIMAS 6.. NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVOKA 7.. NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVYBĖS 8.4. NEAPIBRĖŽTINIŲ INTEGRALŲ LENTELĖ.5. PRATIMAI. PAGRINDINIAI INTEGRAVIMO METODAI 4.. TIESIOGINIS INTEGRAVIMAS 4.. INTEGRAVIMAS, KEIČIANT KINTAMAJĮ 5.. INTEGRAVIMAS DALIMIS 7.4. PRATIMAI. RACIONALIŲJŲ FUNKCIJŲ INTEGRAVIMAS.. RACIONALIOSIOS TRUPMENOS.. PAPRASČIAUSIŲJŲ RACIONALIŲJŲ TRUPMENŲ INTEGRAVIMAS.. KOMPLEKSINIO SKAIČIAUS SAVOKA 6.4. RACIONALIŲJŲ FUNKCIJŲ REIŠKIMAS PAPRASČIAUSIŲJŲ TRUPMENŲ SUMA 8.5. NEAPIBRĖŽTŲJŲ KOEFICIENTŲ METODAS.6 RACIONALIŲJŲ FUNKCIJŲ INTEGRAVIMO PAVYDŽIAI.7. PRATIMAI

3 4. IRACIONALIŲJŲ BEI TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ INTEGRAVIMAS INTEGRALAI R R ; m r +b c+d n; ; m k r +b c+d nk d INTEGRALAI R R(sin ; cos )d INTEGRALAI R R(; p + b + c)d INTEGRALAI R m ( + b n ) p d NEIŠREIŠKIAMI ELEMENTARIOSIOMIS FUNKCIJOMIS INTEGRALAI PRATIMAI MAPLE IR NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS KOMANDOS PATIKRINIMAS GRAFIKAS INTEGRAVIMO METODAI REKURENČIOSIOS FORMULĖS RACIONALIOSIOS FUNKCIJOS IRACIONALIOSIOS FUNKCIJOS SPECIALIOSIOS FUNKCIJOS APYTIKSLĖS FORMULĖS PRATIMAI KLAUSIMAI ŽINIOMS PASITIKRINTI 58 ATSAKYMAI 69 Litertūr 7 4

4 PRATARMĖ Trdicinis ukštosios mtemtikos dėstms visi nenudoj šiuolikiniu informciniu technologiju ir nepteisinmi dug liko skiri uždviniu sprendimo techniki įsigti. Tčiu sukurtos per pstrjį dešimtmetį kompiuterinės progrmos sekmingi sprendži klsikinius mtemtinius uždvinius ir rnkinio sprendimo įgūdžiu verṫe geroki sumenkėjo. Šioje integrlinio skičivimo mokomojoje kngoje ktvii nudojm kompiuterinė progrm Mple. Kiekvienme kngos skriuje pteikimi uždviniu sprendimo pvzdžii bei prtimi svrnkiškm drbui. Testų klusimi skirti teorinėms žinioms ir vidutinio sunkumo integrlu skičivimo įgūdžims psitikrinti. Visi kngos skrii numeruojmi vienu rbišku skitmeniu (...6); poskrii numeruojmi dviem skitmenimis, pirms skitmuo r skrius numeris (., 4.); pvzdžii, pstbos ir pveiksli numeruojmi trimis skitmenimis (..), pirmieji du skitmens rodo poskrį (.), o pskutinis skitmuo () r pvzdžio, pstbos r pveikslo numeris šime poskrje. 5

5 . PIRMYKŠTĖ FUNKCIJA IR NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS.. PIRMYKŠTĖS FUNKCIJOS APIBRĖŽIMAS.. APIBRĖŽIMAS. Funkcij F () vdinm funkcijos f (), (; b) pirmkšte, jeigu (8 (; b)) jir diferencijuojm ir jos išvestinė tenkin lgbę F () f (): PAVYDŽIAI... f () sin ( +)) F () cos( +):... f () ; 6 : ( ln ; ki >; Įrodkime, kd F () lnjj ln ( ); ki <: Turime: (ln ) ; (ln ( )) :... f () e ) F () e :.. PASTABA. Kdngi (F () +C) F () +C f () + f (), (8 C const), ti pridedmi prie pirmkštės funkcijos F () bet kuri konstnt, gunme kit pirmkštę funkcij, t.. pirmkščiu funkcijų r be glo dug. Priminsime, kd funkcij f () vdinme diferencijuojm, ki f ( + 4) f () df () +o(4); ir ši sąlg r tenkinm, ki ji turi išvestinę f (). 6

6 .. TEOREMA. Jei F () ir F () r dvi funkcijos f (), (; b) pirmkštės funkcijos, ti jų skirtums lgus konstnti: F () F () C: Irodms. Pžmėkime Φ() F () F (). Funkcij Φ() r diferencijuojm intervle (; b) ir jos išvestinė lgi nuliui: Φ () F () F () f () f () ; 8 (; b): Pimkime bet kurį skičiu (; b) ir tikome Lgrnžo formulę: 8 (; b)9c ( ;) (rb c (; )): Φ() Φ( )Φ (c)( ) ( ). Tigi Φ() Φ( )C const. Arb F () F () C... NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVOKA.. APIBRĖŽIMAS. Visų pirmkščiu funkciju ibė ff ()+Cg vdinm funkcijos f () nepibrėžtiniu integrlu ir žmim f ()d F () +C Funkcij f () vdinm pointegrline funkcij, reiškins f ()d pointegrliniu reiškiniu, kintmsis integrvimo kintmuoju. Pirmkštės funkcijos rdimo veiksms vdinms integrvimu. Joseph Louis Lgrnge (76 8) prncūzu mtemtiks ir mechniks. 7

7 PAVYDŽIAI... e d e + C: d... rctn + C: + Visų pirmkščių funkciju grki gunmi vienos kreivės postūmiu išilgi ordinčiu(o) šies (.. pv.).... pv. Pirmkštės funkcijos Tigi per kiekvien plokštumos tšk A( ; ), ki (; b) ir 8 R ein lgii vien kreivė pirmkštės funkcijos F () Visos pirmkštės funkcijos pibrėžtos ki (; b). 8

8 F () +C grks. Šią pirmkštę funkcij glim guti iš sąlgos F ( ), kuri visd r tenkinm, jei C r lgties F ( )+C sprendins... NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVYBĖS f f ()d f () f d f ()d f ()d f df () F () +C 4 f (fff () +g())d ff f ()d + g()d 5 f Jei F () r funkcijos f () pirmkštė funkcij (F () f ()); ti f ( + b)d F ( + b) +C Irodms f : R f ()d (F () +C) F () +C f () +f (); f :d R f ()d R f ()d d f ()d; f : R df () R F ()d R f ()d F () +C; 4 f : ff R f ()d + R g()d ff R f ()d + R g()d ff R f ()d + R g()d fff () +g(); 9

9 5 f : F ( + b) F ()j +b f () f ( + b). PASTABOS... f, f ir f svbės rodo, kd integrvims ir diferencijvims r tvirkštinii viens kitm veiksmi f svbė r vdinm tiesiškumu.... Pvzdžii..6. ir..6. rodo kip integruojnt r tikom 5 f svbė. PAVYDŽIAI sin ( žr. 5f svbę: ; b f () sin ; F () cos cos ( +)+C: ; b ( f () ; F () ( ) + C: 4 A A..4 PASTABA. Nepibrėžtinis integrls r visu pirmkščiu funkciju ibė. Todėl, integruodmi.. integrl kitip: ( )d d d + C ( + C ) + C ; gunme tą pči formulę, jei tik pžmėsime C C C C

10 .4. NEAPIBRĖŽTINIŲ INTEGRALŲ LENTELĖ Surškime elementriuj u funkciju nepibrėžtinius integrlus. : d C : d + + C; 6 + d d + C d : lnjj + C; 6 : d + C; >; 6 ln e d e + C 4: sin d cos + C 5: cos d sin + C d 6: cos tn + C; 6 ß + ßk; k ; ±; ±;::: d 7: sin cot + C; 6 ßk; k ; ±; ±;::: 8: sinh d cosh + C 9: : : sinh e e ; cosh e + e cosh d sinh + C d cosh tnh + C tnh sinh cosh ; cosh coth sinh d sinh coth + C

11 : : 4: 5: 8 d < rcsin p + C : rccos + C jj < jj; > ( d p rcsin + C jj < rccos + C d p p lnj + A + j + C; A + > A + 8 d >< + rctn + C >: 6 ( rccot + C rctn + C d + rccot + C d ln + + C; 6 Viss formules glim įrodti tiesioginiu diferencijvimu. Ptikrinkime, pvzdžiui, formulę: p ln j + A + j p + + A + p A + p : + A +.5. PRATIMAI Rskite funkcijos f () pirmkštę funkcij F (), tenkinnčisąlg F ( )F : ) f () sin; F () ; ) f () cos ; F ß p ( 4 ) ;

12 ) f () ; F (). +4 Rskite funkcij F (): 4) F () ( +) 5 ; F ( ) ; 5) F () p ; F (). Apskičiuokite F ( ), ki F () f () ir F ( )F ; 6) f () p ; ; F ; ; 7) f () Suintegruokite d 8) 5+ ; d 9) p4 6 ; d ) p. 7 p + ; ; F ;. ATSAKYMAI ) F () cos ; )F () sin ; )F () rctn ; ( +)6 4) F () ;5) q ( ) 4 ;6)F( 4 ); 7) F p () ;8) p rctn p + C; 9) rcsin + C; ) p 7 + C;

13 . PAGRINDINIAI INTEGRAVIMO METODAI.. TIESIOGINIS INTEGRAVIMAS Tikdmi nepibrėžtinio integrlo tiesiškumo svbę ir elementriuj u funkciju integrlu lentelę, integruojme šiuos integrlus. PAVYDŽIAI sin +4 p d 5 7 d sin d +4 d C + cos + C cos + p 4 + C; C C + C + C :... + d ( + ) d C d rctn + C:... tn d sin d cos cos d cos d cos d tn + C: 4 d +

14 .. INTEGRAVIMAS, KEIČIANT KINTAMAJĮ Ki r ne nepriklusoms kintmsis, o kito kintmojo t funkcij, ti jo diferencils d (t)dt ir turime formulę: f ()d f ((t)) (t)dt.. PAVYDYS. d: + Įveskime nuj integrvimo kintmjį: u. Td du ( ) d ir turime d + du u lnju +j + + C ln( + ) + C: PASTABOS... Iš lgties u glim išreikšti ± p +u ir pkeisti kintmąjį p + +u (rb p +u). Trkime, kd p du + +u. Td d p +u p p ( + +u) ( + +u) p ( + +u) + ir pertvrkome integrl p du +u du u + : Tigi gunme tą ptį rezultt.... Glim pstebėti, kd vrdiklio diferencils r lgus skitikliui: d( + ) ( )d. Tigi d + du d + u + ; + ir glime integruoti, mintini keičint +. Šis integrvimo būds vdinms reiškinio įkelimu po diferencilo ženklu. 5

15 Pteiksime kelet įkelimo po diferencilo ženklu formuliu f ()d f ()d f ()d f ()d ln f ()d cos f ()d tn f ()d p f ()e d f ()d rcsin f ()de f ()d + f ()d rctn PAVYDŽIAI tn... cos d sin ( +)d: tn d tn tn sin d cos cos d cos cos + C: + C: Pžmėkime u +. Td d du ir turime sin ( +)d sin udu..5. cos u + C cos ( +)+C: ψ! keitins: u sin d d du; d du sin udu cos u cos + C + C 6

16 PASTABOS... Tikdmi 5 f nepibrėžtinio integrlo svbę, gunme..4 pvzdžio rezultt be keitinio u Su bet kuriis skičiis ir b ( 6 ): d d( + b) Todėl glim integruoti, įkelint reiškinį +po diferencilo ženklu: sin ( +)d sin ( +)d( +): PAVYDŽIAI d..6. p : e +9 Keičime e +9t. Tigi ln(t 9), d d tdt dt p e +9 t(t 9) t 9 p e +9 p e C:..7. jt j ln jt +j + C ln sin d tn d cos d cos cos tdt ir gunme t 9 ln j cos j + C:.. INTEGRAVIMAS DALIMIS Tikdmi sndugos diferencijvimo formulę (u))v()) u ()v() +u()v () ( rb jos kitą pvidl d(uv) vdu + udv )ir f nepibrėžtinio integrlo svbę, gunme (u()v()) d d(uv) uv vdu + udv: 7

17 Tigi turime integrvimo dlimis formulę vdu uv udv rb jos kitą pvidl v()u ()d u()v() u()v ()d PAVYDŽIAI... sin d ψ v ) d dv sin d du ) u R sin d cos cos + cos cos d + sin + C: 9 d du ) u... rctn rctn v ) dv! d + d + d + ln ( + )+C:... cos d d sin sin sin ( ) d sin + ( ) d cos sin +( ) cos cos d sin +( ) cos sin + C: A 8

18 .. PASTABA. Spręsdmi pskutinį pvzdį, dlimis integrvome du krtus ir gvome tiesiogii integruojm funkcij. Kitus du integrlus..4 ir..5 irgi du krtus integruosime dlimis, tčiu gusime tą ptį integrl (pdugint iš tm tikro koeciento). Pžmėję duotjį integrl ride I, turėsime tiesinę lgebrinę lgtį su nežinomuoju I. Išsprendę šią lgtį, gusime ieškomą nepibrėžtinį integrl. PAVYDŽIAI..4. sin e d: I sin e d e cos + e d cos cos e d e cos + e d sin e cos +e sin 4 sin e d ) I e ( sin cos ) 4I ) I 5 e ( sin cos ) +C:..5. p +d: p I u p +) du p d + d dv ) v A 9

19 p + d ( p + p +) + p + ) I p + I +ln p ++ln + p + d p C:.4. PRATIMAI Suintegruokite, tikdmi tiesioginio integrvimo metod d + ) p ; ) d; ) d + p5 4. Suintegruokite, keisdmi kintmjį 4) p + d; 5) sin cos d; 6) sin cos d. Suintegruokite dlimis 7) rccos d; 8) e d; 9) rcsin d. ATSAKYMAI ) p + C;) 5lnj +j + C;) rcsin p + C; 5 4) p ++C;5) sin 4 + C; 6)sin + C; ln 4 7) rccos p + C; 8) 7 e (9 6 +)+C; 9) p rcsin + p ( ) + C.

20 . RACIONALIŲJŲ FUNKCIJŲ INTEGRAVIMAS.. RACIONALIOSIOS TRUPMENOS.. APIBRĖŽIMAS. Rcionlij trupmen vdinms dvieju duginriu sntkis P n () Q m () n + n + n + n b m + b m + b m + b m : Či P n (), Q m () duginrii, neturints bendru šknu; n ir m r duginriu lpsnii, t.. 6, b 6. Trumpen vdinm tisklingj, ki n<m(skitiklje esnčio duginrio lipnis r mžesnis už vrdiklje esnčio duginrio lipsnį), priešingu tveju trupmen vdinm netisklingj. Netisklingoji trupmen gli būti užršt tokiu pvidlu: P n () Q m () S k() + R l() Q m () : Či S k () duginris, kuris vdinms trupmenos P n() Q m () sveikj dlimi, o trupmen R l() ju r tisklingoji. Trupmenos Q m () sveikji dlii išskirti dlinme duginrį P n () iš duginrio Q m () pnšii kip dlinme "stulpeliu" skičius... PAVYDYS Išskirkime trupmenos sveikj dlį. 4 Duginme 4 iš 5 tm, kd pšlinti 5 :

21 Užršome pirmąją liekn: Toliu tęsime dlijimą: ir užrsome ntrąj liekn Tigi :.. PAVYDYS. Pertvrkkime rcionlij trupmen : +

22 Mtome, kd duginris dlijsi iš +be lieknos: ( 4 + ) ( +):.. PAPRASČIAUSIŲJŲ RACIONALIŲJŲ TRUPMENŲ INTEGRAVIMAS.. APIBRĖŽIMAS. Pprsčiusiomis rcionliosiomis trupmenomis vdinmos šios keturiu tipų trupmenos: A (I) ; (II) A ( ) k ; (III) A + B + p + q ; (IV) A + B ( + p : + q) k Či A; B; p; q r relieji skičii, k > ntūrlusis skičius, p 4q <, t.. III ir IV tipų trupmenų vrdiklii neturi reliuj u šknu.

23 Suintegruokime visu keturiu tipų pprsčiusis trupmens. A d( ) (I) d A A ln j j + C: A (II) ( d ) k A ( ) k d( ) k + C: ( ) k Išskirkime III ir IV tipų trupmenu vrdikliu pilnjį kvdrt: + p + q + p + q p ir pžmėkime + p p t, q 4 > (diskriminnts neigims!). (III) Pžmėkime R A + B + p + q d A 4 ; tdt t + + B Ap A B Ap ln (t + )+ A ln ( + p + q) + B Ap p B Ap A ln + p + q + rctn dt t + rctn t + C rctn r + p + C q p 4 p4q + p p + C: dt (t + ) k I k; k > ir perrškime IV tipo inte- 4

24 grl tip: A A + B (IV) ( + p d + q) k dt t (t + ) k + B Ap dt (t + ) k A ( k) (t + ) + I k k + C: Integrl I k integruojme dlimis: dt I k (t + ) u (t + ) du ) k ktdt (t + ) k+ dv dt ) v t A t (t (t + +k + ) dt ) k (t + ) k+ t (t + +k dt ) k (t + dt ) k k (t + ) k+ t (t + ) k +ki k k I k+ : Tigi gvome rekurenčij formulę I k+ k t (t + ) k + k I k k ; k ; ;:::: Kdngi I R I.. PAVYDYS. dt t + rctn t + C, rndme I ir t. t.: dt (t + ) t (t + ) + t rctn + C: d + + 5

25 d t dt + t t ; d dt tdt dt C A t + 4 t + 4 t + 4 d t + 4 dt ψ p! t + 4 ln t + 4 t + p rctn t p + C ln ( + +) p + rctn p + C:.. PASTABA. Tą ptį rezultt gusime, jei III tipo pprstosios trupmenos p integrvimo formulėje pimsime A, B, p q, : p ln p rctn p : 4.. KOMPLEKSINIO SKAIČIAUS SAVOKA Kip r žinom iš mokklinės mtemtikos, lgtis i 6

26 neturi reliųju sprendiniu. Todėl formlusis šios lgties sprendins i p nėr relusis skičius ir vdinms menmuoju vienetu. Skičius z + i vdinms kompleksiniu, Rez relioji dlis, Imz menmoji dlis. Veiksmi su kompleksiniis skičiis tliekmi kip su lgebriniis reiškiniis, tsižvelgint į menmojo vieneto sąvbę i : ( + i) (5 i) 5+ ( i) +i 5+i ( i) 5 6i + i( + ) 5 6 ( ) + 7i +7i: Kompleksiniu skičių ibėje kvdrtinė lgtis z + bz + c ; 6 ; visd turi du sprendinius, kurie gli būti krtotinii (lgūs). Išskirkime kvdrtinio trinrio pilnąjį kvdrt z b + + c b 4 ; ir pžmėkime diskriminnt D b 4c. Td ir z + b z b D + 4 ; 8 ± >< p D ; ki D p >: D ±i ; ki D<: Kompleksinis skičius z i vdinms skičius z + i jungtiniu. Tigi jei kvdrtinė lgtis su reliis koecientis turi kompleksinę šknį z ff + i, ti kompleksinis jungtinis skičius z ff i irgi r tos lgties šknis. Pvzdžiui, lgtis + +5 turi 7

27 dvi šknis i ir +i. Pstebėkime, tip pt, kd nepriklusomi nuo to, r škns, r kompleksinės r reliosios, kvdrtinį trinrį visd glim išskleisti duginmisiis: + b + c ( )( ):.4. RACIONALIŲJŲ FUNKCIJŲ REIŠKIMAS PAPRASČIAUSIŲJŲ TRUPMENŲ SUMA Bet kuris m ojo lipsnio duginris Q m () turi m kompleksiniu šknu 4, kurios gli būti ir krtotinės 5. Td Q m () b m + b m + + b m + b m b ( ) k ( ) k ( s ) ks : Či k + k + k s m; k j >. Jei kompleksinis skičius j ff + i r duginrio su reliisis koecientis Q m () šknis, ti trp kitų jo šknu ; ;:::; s r ir kompleksinis jungtinis skičius 6 j ff j i j. Td ( j )( j ) ff j + ff j + j ir pžmėję p j ff j, q j ff j + j, perršome sndug tip: Q m () ( ) k ( ) k ( k l l )( + p + q ) s ( + p + q ) s ( + p r + q r ) sr ; k + k + + k l +(s + s + + s r )m; k j > ; s j > ; 4 Ti r lgebros pgrindinė teorem. 5 Jei šknis j r k jo krtotinumo, ti p j <q j ; j ; ;:::;s r : Q m(j) dq m(j) d d Q m(j) d d k Qm(j) d k ; d k Q m(j) d k 6: 6 Tokio pt krtotinumo. Pstebėkime, kd iš či išpluki kd bet kuris nelginio lipsnio duginris Q ();Q ();Q 5();:::turi bent vieną reliąją šknį. 8

28 Trkime, kd P n() tisklingoji trupmen (n < m), td egzistuoj Q m () tokie relieji skičii A, A, Ak, A, :::, Ak l l, B, C,,, C sn, kd B sn s n s n P n () Q m () A + + A k l l + A A k ( ) + + ( ) k + + A k l A kl ( l ) + + k l ( l ) k l B + C + + Bs + C s + p + q ( + p + q ) s B s r + Cs r + + Bsr s r + Cs sr r + p sr + q sr ( + p sr + q : sr ) sr Tigi kiekvien tisklingj trupmen glim išskleisti pprsčiusiu keturiu I;II;III;IV tipu trupmenu sum. Šios sumos pvidls prikluso tik nuo trupmenos vrdiklio Q m () šknų: kiekvien k ojo krtotinumo šknį titink lgii k dėmenu, relij šknį titink I ir II tipo pprsčiusios trupmenos, kompleksinę šknį titink III ir IV tipo trupmenos..4. PAVYDYS. Nurodkime funkcijos P n () ( +)( ) ( +) ( +4) ; n< reiškimo pprsčiusiu trupmenu sum bendrjį pvidl: P n () ( + )( ) ( +) ( +4) A + B + C + D G + H + E + F ( ) + + Q + R ( +) + P+ S +4 : 9

29 .5. NEAPIBRĖŽTŲJŲ KOEFICIENTŲ METODAS Prodkime pvzdžiis kip glim rsti skleidiniu koecintus..5. PAVYDYS. Rskime skleidinio A B ( )( +) + + koecientus A ir B. Suveskime šių trupmenu sumą prie bendro vrdiklio + A( +)+B( ) ( )( +) ( )( +) ir sulginkime skitiklius: (A + B) +A B: Kdngi šią lgbę turi tenkinti visi relieji, turime sulginti koecientus prie vienodu lipsniu ir sudrome tiesiniu lgčiu sistemą ( A + B ; A B : Iš či gunme, kd A, B ir ( )( +) + + :.5. PAVYDYS ( )( +) A + B + C + A( )( +)+B( +)+C( ) : ( )( +)

30 Sulginme skitiklius +(A + B + C) +(A +B C) A ir užršome tiesiniu lgčių sistem: 8 >< A + B + C ; A +B C ; >: A : Iš či gunme A, B 4, C 6 ir ( ) + 6( +) : Prodkime kip kitip glim guti ki kuris tiesines lgtis nepibėžtiems koecientms rsti. Šis kits būds vdinms tskiruj u reikšmių metodu ir jo idėj priskirti kintmjm tokis reikšmes su kuriomis greiti glim guti tiesinę lgtį..5. PAVYDYS + ( ) A + B + C A( ) + B( ) + C : ( ) ( ) Įsttome į lgtį +A( ) + B( ) + C (Λ) reikšmes ir : +A ( ) + B ( ) + C A; + ( ) + B ( ) + C C:

31 Tigi gvome A, C. Reikšmei B rsti reiki turėti dr vien lgtį, kuri glim guti įviriis būdis. Rskime (Λ) lgbės bieju pusiu išvestines: ( +) ( ) + B( ) + ( ) + B( ) + ir įsttome. Gunme B +ir + ( ) + ( ) :.6. RACIONALIŲJŲ FUNKCIJŲ INTEGRAVIMO PAVYDŽIAI Integruojnt rcionlij funkcij tliekme šiuos veiksmus: ) jei trupmen nėr tisklingoji išskirim jos sveikoji dlis; ) tisklingoji trupmen isreiškim pprsčiusiu I IV tipų trupmenų sum su nepibrėžtis koecintis; ) surndmos skledinio koecientu reikšmės; 4) integruojmos pprsčiusios trupmenos..6. PAVYDYS d: ( )( +) ) d d + d + d + +lnj j +lnj +j + C:

32 PAVYDŽIAI d + d d + d lnj +j rctn + C d + d d d + + d + + lnj +j +ln( +) rctn + C d d d ln ( + ) + rctn + C..7. PRATIMAI Suintegruokite 4 d ) ; + d ) ; +6 ) d + ; +4 4) + +5 d. 6 ATSAKYMAI ) +rctn + C; ) p7 rctn ) 6 ln 8 + C; 4) 7 ln j j p 7 + C; ln j +6j + C.

33 4. IRACIONALIŲJŲ BEI TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ INTEGRAVIMAS Trkime, kd P (u ;u ;:::;u n ), Q(u ;u ;:::;u n ) r duginrii. Pžmėkime R(u ;u ;:::;u n ) P (u ;u ;:::;u n ) Q(u ;u ;:::;u n ) : Tokio pvidlo funkcijos vdinmos rcionliosiomis. Pstebėkime kd visi lgebrinii reiškinii su kintmisiis u ;u ;:::;u n ir keturiis ritmetikos veiksmis (+; ; ; :) r rcionliosios funkcijos. Toliu šime skriuje R(u ;u ;:::;u n ) žmim rcionlioji funkcij. 4.. INTEGRALAI ψ s R ; n + b c + d m ; ; n k s + b c + d mk! Pžmėkime + b c + d tn, ki n r skičiu n ;n ;:::;n k mžiusisis bendrsis krtotinis: q j n ; j ; ;:::;k. Td n j d tn d b (d bc)tn ; d dt; ctn ( ct n ) s n j + b mj t q j ; c + d j ; ;:::;k ir integrl perršome tip: ψ s s R ; n + b m ; ; n k + b c + d c + d 4 mk! d R(t)dt:

34 Či R(t) r vieno kintmojo rcionlioji funkcij: t n d b R(t) R ct n ;tq ;:::;t q k (d bc)t n : ( ct n ) PAVYDŽIAI d 4... p( ) ( ) s ( ) ( ) d r d ( )( ) : Či, b, c, d, k, m, n n, q.todėl gunme t ; t tst ; d t ( t ; ) t ; t t ir perršome integrl tip: r d t ( )( ) ( t ) dt t ( t ) r dt t + C + C: 4... p + + 6p ( + p d ) ( + ) p ; p ; p 6 C A d n 6; t 6 ; d 6t 5 dt t 6 + t 4 + t t 5 + t + t 6 (t +) 6t5 dt 6 dt t + 5

35 t + 6 t + p + 6 rctn 6p + C: dt 4 t4 + 6 rctn t + C 4.. INTEGRALAI R(sin ; cos )d Priminsime, kd visur R(u; v) žmim rcionlioji funkcij. Keitins tn t rctn t; d dt +t vdinms universliuoju trigonometriniu keitiniu. Pstebėję, kd sin tn + tn t +t ; cos tn + tn t +t ; gunme vieno kintmojo t rcionliosios funkcijos R(t) integrl: t R(sin ; cos )d R +t ; t dt +t +t R(t)dt: 4.. PAVYDYS. d 5 4 sin + cos dt ( + t ) 5 4 t t + +t +t 6

36 dt (t ) t + C tn + C: Universlujį trigonometrinį keitinį glim tikti visis tvejis, tčiu ki funkcij R(u; v) tenkin ppildomus reiklvimus, glimi ir kiti, džni efektvesni trigonometrinii keitinii: ) R( sin ; cos ) R(sin ; cos ); cos t, sin p t ; d p dt t ; ) R(sin ; cos ) R(sin ; cos ); sin t, p dt cos t ; d p t ; ) R( sin ; cos ) R(sin ; cos ); tn t ; d dt +t ; tn t sin p + tn p +t ; cos p + tn p +t. Tigi ki funkcij R(sin ; cos ) r nelginė sinuso tzvilgiu keičime cos t, ki nelginė cosinuso tzvilgiu sin t, ki funkcij R(u; v) r lginė bieju kintmųju tžvilgiu R( u; v) R(u; v) keičime tn t. d d 4.. PAVYDYS. sin sin sin cos : Kdngi sin ( cos ), pointegrlinė funkcij sin cos tenkin ) sąlgirkeičime sin t: dt p d sin cos t dt t p t t ( t ) t dt t t + +t 4 ln t + C sin + 4 ln + sin sin + C: 7

37 Integruojnt trigonometrines funkcijs, džni tikomos šios tptbės cos ff cos (cos (ff + ) + cos (ff )) ; sin ff sin (cos (ff ) cos (ff + )) ; sin ff cos (sin (ff + ) + sin (ff )) ; sin ( cos ); cos ( + cos ) : PAVYDŽIAI 4... sin sin 5d (cos cos 8) d sin sin 8 + C; cos cos 4 d (cos ) d d +cos + cos d sin + + cos d sin + sin 4 + C: 4.. INTEGRALAI p R(; + b + c)d Či R(; ) rcionlioji funkcij, 6. Pkeskime integrvimo kintmąjį: u b + ; du d; c + b + c u b + : 4 8

38 Pžmėkime diskriminnt b 4c D ir išngrinėkime visus 7 glimus tvejus: ) >, D>; ) >, D<; ) <, D>; 4) <, D< (funkcijos pibrėžimo sritis r tuščioji ibė ). Pžmėję c b 4 l ( ) ir ) tveju ) rb c b 4 l ( ) tveju ) gusime tokius integrlus: p ) R(u; u l )du keitins: u l sin t rb u l p cos t ) R(u; u + l )du keitins: u l tn t rb u l cot t p ) R(u; l u )du keitins: u l sin t rb u l cos t 4.. PAVYDYS. d p( +4 u + d du +4 +7u + A du p(u +) u p tn p t du cos t dt C u + A cos t p cos t dt ψ p! cos t cos tdt 7 Jei diskriminnts D, reiškins + b + c po šknimi r pilnsis kvdrts ir turime rcionliosios funkcijos integrlą. 9

39 sin t + C tn t p + tn t + C u p r + u + + C p C: PASTABOS 4... Ngrinėjmiems integrlms glim tikti Oilerio 8 keitinius: ) ki >, keičime p + b + c ± p ± t; ) ki c>, keičime p + b + c ± p c ± t; ) ki + b + c ( )( ),keičime p + b + c t j ; j ; ; Jei kvdrtinis trinris +b+c tenkin kelis sąlgs, glim tikti kelis keitinius. Tčiu sekmings keitinio (ir ženklo ±) prinkims gli smrkii sumžinti drbo pimtį Pminėkime dr ir hiperbolinius keitinius t sinh, t cosh, t tnh INTEGRALAI m ( + b n ) p d Tokio pvidlo reiškinii, ki m, n ir p r rcionlieji skičii, vdinmi diferenciliniu dvinriu. Pkeiskime integrvimo kintmjį n t, t n, d n t n : m ( + b n ) p d n t m+ n ( + bt) p dt t q ( + bt) p dt: n 8 Leonhrd Euler (77 78) šveicrų mtemtiks, mechniks ir ziks. 4

40 Či pžmėt m + q. Jei q, p rb q + p r sveiksis skičius, n integrls turi ju išngrinėt pvidl. Kečint kintmjį, gunme rcionlujį reiškinį 9 : ) p sveiksis skičius: keitins n t ) q sveiksis skičius: keitins + b n t s ( p s sveiksis, t.. p p s ) ) p + q sveiksis skičius: keitins + bn n t n d 4.4. PAVYDYS. p ( ) d: Kdngi m, n, p +, s, q turime trečiąjį tvejį: p + q r sveiksis skičius. Keičime kintmjį: + t, p t, d t( t ) dt. Tigi integrls pertvrkoms tip: ( t )( t ) t( t ) p dt dt + C: t PASTABOS Skičius q m + r sveiksis td ir tik td, ki sveiksis n r skičius m + m +.Todėl ) ir ) tvejus glim pkeisti: rb n n m + + p r sveiksis skičius. n Integrli R cos q sin m d, ki q ir m r rcionlieji skičii, 9 Skome, kd keitins rcionlin integrlą. 4

41 pertvrkomi tip: sin z cos q sin m cos ( z ) A cos d dz sin m cos q cos d z m z q dz: Tigi šis integrls išreiškims elementriosiomis funkcijomis ki r tenkinm vien iš sąlgu: ) q r nelginis skičius; ) m r nelginis skičius; ) q + m r lginis skičius NEIŠREIŠKIAMI ELEMENTARIOSIOMIS FUNKCIJOMIS INTEGRALAI Jei funkcij f () r toldi ki (; b), ti ji turi pirmkštę funkcij F () : 8 (; b) F () f (). Tčiu, iš to neišpluki, kd F () išreiškim elementriosiomis funkcijomis. Ju išngrinėts diferencilinio dvinrio integrls R m ( + b n ) p d neišreiškims elementriosiomis funkcijomis, ki nė viens iš šių trijų skičiu p, ir m+ n m+ + p nėr sveiksis. Kitip skome, kd jis "nesuintegruojms". n Pteiksime dr kelet "nesuintegruojmu" integrlu pvzdžiu: sin cos e d; d; d; sin d; cos d: Ki kurios iš neelementriuj u pirmkščiu funkciju r vdinmos speciliosiomis. Jos geri ištirtos ir tikomos tip kip ir elementriosios funkcijos PAVYDYS. Integrliniu sinusu vdinm funkcij Si(), tenk- 4

42 innti sąlgs Si () sin ; Si(). Rskime ptikslę integrlinio sinuso reikšmęsi(:5). Užršome funkciji sin Teiloro formulę: sin! + 5 5! + +( )n+ n (n )! + R n+() ir integruojme reiškinį: Tigi sin d! + 5 5! + n +( )n+ (n )! + R n+() ß! + 4 n 5! + +( )n+ (n )! d ß d ( )n+ n (n ) (n )! : Si() ß ; Si(:5) ß :5 :5 8 + :5 :49: 6 Šioje formulėje jr 7 ()j 6 7 ir pskičiuotoji funkcijos reikšmė užršt su visis tiksliis skitmenėmis, t.. jsi(:5) :49j < :5 7! PAVYDYS. Funkcij Integrlinis cosinuss Ci() pibrėžim tip: Ci() ln + fl Cin(); Cin () cos ; Cin() : Brook Tlor (685 7) nglų mtemtiks. 4 5

43 n P Či fl lim ln (n +) : ::: Oilerio ir n! k k Mskeronio konstnt. Tikdmi Teiloro formulę funkciji cos : pnšii gunme cos ß! + 4 n + +( )n ; 4! (n)! Ci() ß ln + fl n +( )n+ (n) ; (n)! Ci(:75) ß ln :75 + :577 + :75 4 :754 4 :77: Frenelio integrli pibrėžimi kip tokios pirmkštės funkcijos: C () cos ß ; C() ; S () sin ß ; S() : PAVYDŽIAI sin e sin e d e r ß sin 5 d de Si(e )+C: sin ßt dt r ß S(5 )+C: Lorenzo Mscheroni (75 8) itlų mtemtiks. Augustin Jen Fresnel (788 87) prncūzu inzinierius ir ziks. 44

44 4.6. PRATIMAI Suintegruokite d p ) p6 ; ) 5 d; p 4 u ) d; 4) + p du; u + d 5) p ; 6) sin cos 7d; d 7) sin cos 4 d; 8) +cos ; Išreikškite integrl speciliosiomis funkcijomis sin ln sin tn 9) ln d; ) sin d. Apskičiuokite ptikslii tikimbiu integrl erf( ), kuris pibrėžims tip: erf () p e ; erf() ß ) :; ) :5. ATSAKYMAI ) rcsin p p 6 + C; 6 ) 5p p 6 rcsin + p 5 + C; 5 p ) u 4 + C; 4) u + u + C; 7 p 5) p rctn p + C; 6) 4 cos + C; 8 7) p sin 4 + sin 5 tn + C; 8) ln + p5 tn p 5 + C; 9) Si(ln ) +C; ) Si(tn ) +C; ) erf(:) :; ) erf(:5) :68. 45

45 5. MAPLE IR NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS Progrm Mple gli nudoti ne tik mtemtiki, bet ir kitu sričiu specilisti ir studenti. Svrbu, kd jie suprstu ts mtemtikos sąvoks, kuris tiko svo tikslms. Studijuojnčius mtemtik Mple gli išlisvinti nuo dug drbo ir liko reiklujnčiu mtemtiniu pertvrkmų. Ti leis dugiu dėmesio skirti studijuojmu metodų esmei ir įsigti gilisnes mtemtikos žinis. Mple puikii tliek ir lbi rimto žinno funkcij, ki uždvinio sprendimo būds nėr kivizdus. 5.. KOMANDOS Mple komndos įvedmos po sistemos kvietimo simbolio ">" ir bigimos kblitškio simboliu ";". Po to reiki pspusti klviš Enter ir Mple išved įvkdtos komndos rezultt. Apibrėžkime, pvzdžiui, ln () funkcij f (). Mple komndos bei jų vkdmo rezultts: > f () :ln( Λ )^; Enter f () : ln () r pvizduoti (5.. pv.) Mple sistemos drbo lpe 4. Bei pnšios progrmos: Mthemtic, MthCAD, MtLb, REDUCE ir kt. 4 Komndu išvedimo pvidlą glim nusttti sistemos komndomis Insert Stndrd Mth Input 46

46 5.. pv. Sistemos drbo lps Integrlui R f ()d rsti reiki įvesti komnd int: > int(f (); ); ln () Norėdmi mtti įprstus mtemtinius žmėjimus, glime tikti dr vien komnd Int: > Int(f (); ) int(f (); ); ln () ln () d Atkreipkime dėmesį, kd Mple ršo tik vien pirmkštę funkcij, t.. prleidži konstnt C. Bet kurią pirmkštę funkcij F () glim guti tip: > F() :int(f (); ) +C; ln () F () : + C 47

47 Išsirinkime pirmkštę funkcij R(), tenkinnčisąlg R > C : : R() :simplif(f()); : R() : ln ln + PASTABOS 5... Funkcij f () gli būti pibrėžt ir tip: > f : > ln( Λ )^; 5... Atkreipkime dėmesį, kd funkciji f () pibrėžti bei constnti C reikšmei priskirti tikom komnd : (ti nėr lgbės simbolis ""!); 5... Mtemtinims reiškinims suprstinti tikom komnd simplif, kuri gli būti ir su prmetris 5 ; Ki nenorime išvesti trpiniu rezulttu, komnd bigime ne kblitškiu ";", o dvitškiu ":" (žr. C : : :::). 5.. PATIKRINIMAS Ptikrinkime, r gutos funkcijos išvestinė r lgi pointegrlinei funkciji (R () f ()): > simplif(diff (R(); )); 5.. GRAFIKAS ln + ln Funkcijos R() grkui (5.. pv.) nubrižti tikome komnd: > plot(r(); :::; ::; thickness 5); 5 Mple turi glingą Help sistemą su komndu tikmo pvzdžiis. 48

48 5.. pv. Funkcijos grks 5.4. INTEGRAVIMO METODAI Kintmojo keitims Progrm Mple turi komndu ir trpinims integrvimo veiksmms tlikti. Trkime, kd integruodmi reiškinį r + b 5 d; + norime pkeisti integrvimo kintmjį + b t5 : > with(student) :simplif(chngevr(( + b) ( ) t^5; Int((( + b)( ))^(5) Λ ( + ); ); t)); t 5 (b + t 5 ) 5( + b) ( +t 5 + b + t 5 )( +t dt 5 ) 4 49

49 PASTABOS Nors prmetrų, b reikšmės nenurodtos, Mple sekmingi tliek lgebrinius pertvrkmus. Krtis tiksling nurodti ppildoms sąlgs kintmiesiems. Pvzdžiui, komnd ssume( > ) (žr pstb) nurodo, kd prmetro reikšmės gli būti tik teigimos; Komnd with(student) nurodo Mple pket student, kur sistem ieško komndos chngevr. Integrvims dlimis Kit trpinims veiksmms tlikti r dlinio integrvimo komnd: > intprts(int(ep( Λ ) Λ sin(b Λ ); ); sin(b Λ )); sin()e () cos (b) be () d Mtome, kd nurodt komndoje intprts funkcij sin(b Λ ) integrvimo dlimis formulėje R udv uv R vdu r lgi u. Pbndkime suintegruoti R ( + b) n sin (c)d: > int(( Λ + b)^n Λ sin(c Λ ); ); ( + b) n sin (c)d ir Mple tik pkrtoj komnd. Tikome komnd intprts: > with(student) :simplif(intprts(int(( Λ + b)^ n Λ sin(c Λ ); ); ( Λ + b))); ( + b) n cos c + n R ( + b) n cos (c)d c Kdngi šio reiškinio integrls turi ju vienetu žemesnį lipsnį, glime pnšii pertvrkdmi jį, guti rekurenčjij formulę integrlui skičiuoti: I n M + N I n. Formulės koecinti M, N prikluso nuo, n,, b, c. Ši formulė r gremezdišk ir či nepteikim. 5

50 Pstebėkime, kd Mple turi dug priemoniu mtemtinims reiškinims pertvrkti REKURENČIOSIOS FORMULĖS Prodkime kip glim tikti rekurenčisis formules. Pžmėkime E n () n e d n e n n e d ir sudrkime Mple pprogrmį 7 n e ne n () > E : proc(n :: noneqint; :: nme) if n then return ep() else ^n Λ ep() n Λ E(n ; ) end if ; end proc : Enter > Mtome, kd Mple kol ks netliek jokių veiksmu. Norėdmi pskičiuoti, pvzdžiui, R 6 e d, tikome komnd: > E(6; ); 6 e 6 5 e + 4 e e + 6 e 7e +7e 6 Be pminėtos komndos simplif r ir kitų pnšiu komndu: collect, combine, epnd, norml, subs ir kt. 7 Norėdmi ršti Mple komnd nujoje eilutėje spudžime krtų klvišus Shift ir Enter. 5

51 5.6. RACIONALIOSIOS FUNKCIJOS Suintegruokime d 4 : > m() :^4 + ^ + 9 Λ ^ 4 Λ + : n() :^5 ^4 + 5 Λ ^ 5 Λ ^ + 4 Λ 4 : int(m()n(); ); ln( ) ln( + 4) + ln ( +) Išsiiškinkime ingegrvimo eigą. Iš rsto integrlo glutinio pvidlo mtome, kd integruojmos trupmenos vrdiklis išskledžims sndug ( )( + 4)( +). Ti glim guti ir kitip: > fctor(^5 + 5 Λ ^ + 4 Λ ^4 5 Λ ^ 4); ( )( + 4)( +) Tigi iš rcionliuj u funkciju integrvimo teorijos išpluki, kd pointegrlinį reiškinį glim išskleisti pprsčiusiu trupmenų sum: A + B + C +4 + D + E : + Koecientus A, B 4, D, C E glim rsti tiknt Mple komnds. Komnd norml suved trupmenu sumą prie bendrojo vrdiklio. Guto duginrio koecientms išskirti r komnd coeff. Lgčių sistemi spręsti tikomos komndos iš bibliotekos linlg IRACIONALIOSIOS FUNKCIJOS Jei Mple neintegruoj reiškinio 8 glim pbndti pkeisti kintmjį: > restrt : f () :((( + ))^()Λ ( (( + ))^()); f () : r + r + 8 Vėlesnių Mple versijų glimbės, be bejo, tik didės. 5

52 > int(f (); ); r + r d + Pkeiskime integrvimo kintmjį: > with(student) : simplif(chngevr((( + )) t^; Int(f (); ))); ( +t)( +t ) dt > Λ (int((( + t) Λ ( + t^)^); 4 ( +t) +t 8 ln ( +t) 4 t + + ln (t +) 8 PASTABOS Norint sutrumpinti mtemtinius reiškinius, glim pžmėti trpinius rezulttus komnd :; Mtemtines formules bei jų dlis (žr pv.) glim įterpti į Mple komnds ir sistem užršo reiškinius svo formtu. 5

53 5.7. pv. Formulių kopijvims 5.8. SPECIALIOSIOS FUNKCIJOS Ki kurie integrli išreiškimi speciliosiomis funkcijomis: > Int(sin(); ) int(sin(); ); sin() d Si() > restrt : ssume( > ) : F() :int(sin() Λ ln(); ); F (~) : cos(~) ln (~) + Ci(~) Progrm Mple tliek veiksmus su speciliosiomis funkcijomis ki su elementriosiomis funkcijomis: > Si() evlf (Si(:5); 5); > Ci(4) evlf (Ci(:75); ); Si :49 Ci :

54 Nubrižkime integrlinio sinuso Si() ir cosinuso Ci() grkus (5.8. pv.): > restrt : plot([si(); Ci()]; ::; ::; color [blck; blck]; thicness ); 5.8. pv. Funkcijos Si() ir Ci() PASTABOS Komnd restrt išlisvin visus kintmuosius nuo priskirtu jiems reikšmių ir Mple "pmiršt" kd, pvzdžiui, ju buvo įgjęs reikšmę :. Tokiu tveju ju r konstnt ir negli būti integrvimo kintmsis. Jei nenudoti komndos restrt Mple prneš pie klid: Error, (in int) wrong number (or tpe) of rguments Komnd ssume( > ) nurodo sistemi kintmojo pibrėžimo sritį. Atkreipkite dėmesį kip Mple pžmėjo kintmjį >. Jei neįvesti pribojimo >, Mple integruoj šį reiškinį kompleksiniu skičiu ibėje. 55

55 5.9. APYTIKSLĖS FORMULĖS Kip ju mtėme, ki Mple npvkst suintegruoti reiškinio komnd int tik ršo integrlo mtemtinį pvidl. Tokiu tveju 9 tikome ptiksles formules pirmkštei funkciji išreikšti. Integrlo R sin (ß cos )d Mple neintegruoj: > restrt : f () :sin(pi Λ cos()) : int(f (); ); sin (ß cos )d Ki r mžs skičius, glim išskleisti pointegrlinę funkcij Teiloro eilute tško plinkoje ir pirmkštė funkcij bus ptislii lgi duginrio integrlui. Prodkime titinkms Mple komnds: > T() :tlor(sin(pi Λ cos()); ; ); T() : ß 4 ß4 +( ß 7 48 ß ) 6 + > p() :convert(t(); polnom); ( 9 ß 4 ß) 8 +O( ) p() : ß 4 ß4 +( 7 ß 48 ß ) 6 + > P() :int(p(); ); ( 9 ß ß) 8 4 P() : 6 ß ß5 + 7 ( ß 7 48 ß ) ( 9 ß ß) Aptikslėmis formulėmis glim pkeisti ir lbi gremezdiškus reiškinius. 56

56 5.. PRATIMAI Suintegruokite, tikdmi Mple komnds d ) ; ( + ) 4 d ) p ; ( + ) 5 d ) p( + ; ) d 4). ( + cos ) ATSAKYMAI ) ln + + ( + ) + ( + ) + + ; p + ) ln p + p + + ( + ) + p ; + + ) p + ; tn 4) tn

57 6. KLAUSIMAI ŽINIOMS PASITIKRINTI Kiekvienm klusimui siūlomi keli tskmo vrinti, trp kuriu r tik viens teisings. Keliolik pirmųju klusimu skirti teorinėms žinioms psitikrinti ir nereikluj skičivimu. Jie turi būti sprendžimi mintini. Kiti klusimi r vidutinio sunkumo integrvimo uždvinii ir skirti įgūdžims psitikrinti. Atkreipkime dėmesį, kd teisingm tskmui guti būtin tvrkingi tlikti mtemtinius pertvrkmus, kuriems reiki tokiu elementriosios mtemtikos žiniu: trigonometriniu ß funkciju sin ff ir cos ff reikšmės, ki ff įgj reikšmes,, ß, ß, 6 4 ß ; redukcijos formulės sin ( ± ff), cos ( ± ff), ki ff įgj ts pčis reikšmes; rodiklinės bei logritminės funkcijos svbės. Jei B () B () b(), ti funkcij u B () ir B () skirtums r fl funkcijos b() pirmkštė funkcij; fl nulis; fl konstnt; 4fl funkcijos b() išvestinė. f d fl R f (z )dz; fl R f (z)dz; efl R f (z )dz. fl R f ( z )dz; 4fl R f (z)dz; 58

58 q(v 9 )v 8 dv fl R q(s ) R ds; fl 8 q(s)ds; R s R fl 9 q(s)ds; 4fl q(s)ds; 5fl R q(s)ds. 4 As + B (s )(s ds b) fl M ln s s b + C; fl M ln js j N + s b + fl M ln js j + N ln js bj + C; 4fl M ln js j + N ln js bj + K (s b) + C; K s b + C. 5 f (r)dr +r fl R f (r)d rctn r; fl R f (r)d rctn r; fl R f (r)d rcsin r; 4fl R f (r)d rcsin r. 6 f ()cos()d fl f () sin () R sin ()f ()d; fl f ()sin() R sin ()f ()d; fl f ()sin() + R sin ()f ()d. 59

59 7 R q(u) (u) du fl R q(u)du R R du (u)du ; fl R ; (u) q(u)du fl R R q(u)du (q(u)(u)) du; 4fl 6 R. (u)du 8 (f () +()) d fl R f ()d + R ()d; fl 6 R f ()d + R ()d; fl R f ()d R ()d; 4fl R ()d R f ()d. 9 Kuri R lgbė r teising? ( C constnt ) (A) 5 sinh()d 5 cosh() +C; R d (B) cosh (4) tnh() +C: fl (B); fl nė vien; fl (A); 4fl bi lgbės. Kuri R lgbė r teising? ( C constnt ) 8d (A) p 4 4 rcsin j p + 4 j + C; R 9d (B) rctn(8) +C: 8 fl (A); fl (B); fl nė vien; 4fl bi lgbės. 6

60 Kuri R lgbė r teising? ( C constnt ) (A) ( 8e )d 4e R + C; d (B) p 5 (9 ) p 5 (9 ) + C: fl (B); fl (A); fl bi lgbės; 4fl nė vien. Kuri R lgbė r teising? ( C constnt ) (A) ( sin(9))d cos() +C; R 6d (B) sin () 6 tn() +C: fl (A); fl nė vien; fl bi lgbės; 4fl (B). Nurodkite teising skleidinio pvidl ( +4) 4 ( ) fl A +4 + A ( +4) + A ( +4) + A 4 ( +4) A 5 + A A 7 + A 8 ( ) + A 9 + A ( 6 ; + 44) fl A A +4 + A ( +4) + A ( +4) + 4 ( +4) A 5 + A A 7 + A 8 ( ) + + A 9 + A ( 6 +44) + A + A ( 6 ; + 44) 4 fl teisings skleidins nenurodts; 4fl A A ( +4) + + A 4 ( ) 6

61 4 Kuris keitins rcionlin integrl? s s s d fl fl 5fl 9 +5 t6 ; fl 9 +5 t5 ; 4fl 9 +5 t6 ; 6fl 9 +5 t ; 9 +5 t78 ; 9 +5 t9. 5 Trkime, kd E () e() ir W () w(). Td e()w()d fl Ew R Edw; fl ew R Edw; fl Ew R WEd; 4fl EW R WEd. 6 Trkime, kd R(u) r funkcijos q(u) pirmkštė funkcij, ; b R; (L constnt). p 6 q( u + b) Td 8jj + jbj 6 : p(u du + b) 5 6 fl R( 6p u + b) 6 fl 6R( 6p u + b) b + L; fl 6R( 6p u + b) + L; 4fl 6R( 6p u + b) 6 + L; + L.

62 7 Trkime, kd W (r) q(r) ir H (r) q(r). Kuris teigins r teisings? () 9B R : W (r) +H(r) B ; W (r) B () 9B R : H(r) + : W (r) +B fl () ; fl () ; fl bu teiginii; 4fl nė viens. 8 Trkime, kd P (s) ir H(s) r dvi funkcijos q(s) pirmkštės funkcijos. Kuris teigins r teisings? () 9B R : P (s) +6H(s) P (s) +B ; () 9B R : P (s)h(s) P (s) +B : fl () ; fl () ; fl nė viens; 4fl bu teiginii. 9 Kuris integrls išreiškims elementriosiomis funkcijomis? ( ; b constntos ) (A) 9 r + b p 8 p 7 d; (B) 4p 5 r + b 8p 9 d: fl (B); fl (A); fl bu integrli; 4fl nė viens. 6

63 d +9 fl rctn + C; fl rctn () + C; fl rctn () +C; rctn () rctn () 4fl + C; 5fl + C. 9 sin()d fl cos() +C; fl cos() +C; 5fl cos() +C; fl cos() + C; 4fl cos() +C; 6fl cos() + C. Rskite F (e), ki F () ir F () 4ln5. fl 4 e ; fl ; fl 4 5 ; 4fl ; 5fl 4 5 ; 6fl ; 7fl. p ), ki F () ir F () 8 rcsin4. p Rskite F ( fl ß5 ; 9 8 fl ß ; 5 5fl ß5 ; 7 ß5 6fl 9 64 fl ß5 7 ; 4fl 4ß5 45 ; ; 7fl 4ß5 45.

64 4 Rskite F (), ki F () ir F () 84 rctn +. fl ß4 8 ß4 84 ; fl ; fl ß ; 4 ß4 4fl ; 8 5fl ß4 ; 6fl ß4 ; 7fl ß4. 5 Rskite F (), ki F () ir F () fl 5 ; fl 4 ; fl 4 ; 4fl ; ln ln ln ln 5fl 6 ; 6fl ; 7fl 5. ln ln ln 6 Rskite F ( 9 r + ß ), ki F ( 9p ) ir F () 5 8 cos( 9 ). fl 5 9 ; fl ; fl 5 7 ; 4fl 5 7 ; 5fl ; 6fl 5 9 ; 7fl Rskite F (), ki F ( 8 )ir F () 9e 8. fl ; fl ; fl 9 ; fl 5 ; 5fl

65 8 Rskite F ( ß 8 ), ki F () ir F () sin(7). fl p (4 + ß); fl (4p ß p + ); fl 96 (ß +p ); 4fl p ( ß); 5fl (4 ß) Rskite F ( ), ki F () ir F () 7 rctn(). fl 7 (ß p ); fl 7 (4ß +p ); 6 6 fl 7 6 (ß +p ); 4fl 7 (ß ); 5fl 7 (ß +). 6 6 Rskite F ( ), ki F ( 6 )ir F () 7 rctn p 6. fl 7 (ß p 8 4 ); fl 7 (4ß p 8 + ); fl 7 (4ß p ); 8 4fl 7 (4ß p 8 ); 5fl 7 (ß p)

66 Rskite F ( ß 8 ), ki F (ß 4 )ir F () sin (). fl ß ln ; fl 6 (ß + ln ); fl (ß ln ); 48 4fl (ß ln); 5fl (ß ln ). 6 6 Rskite F (), ki F ( ) ir F () fl ß ; fl ß ß ; fl ; 5 4fl ß 5 ; 5fl ß Rskite F (4), ki F ( 5 9 ) 9(ln 8 ) ir 9 F 9 9 () fl 4; fl ; fl 7; 4fl ; 5fl 8. 4 Rskite F (), ki F ( ) 5lnir F 9 () +. fl 4ln5; fl 4ln5; fl ln5; 4fl 4 ln 5; 5fl ln5. 67

67 5 Rskite F (), ki F () 5 ir F () 5 p. 7 ln fl 7 ln ; fl 7 ln 8; fl 6 ln ; 4fl 47 ln ; 5fl 7 ln. 6 Rskite F (8), ki F () ir F 8p (). +8 8(4 ß) fl ; fl 6(4 ß); fl 7(4 ß) ; 6(4 ß) 4fl ; 5fl 7(4 ß). 7 Rskite F ( ), ki F ( ) ir F () p +( 5). fl ; fl ; fl ; fl 8 ; 5fl Rskite F ( ß ), ki F () ir F () cos(6) cos(7). fl ; fl ; fl ; 4fl 98 7 ; 5fl. 68

68 9 Rskite F (), ki F ( ß 6 )ir F () p cos(8) sin(8). fl ; fl 5 ; fl 8 ; 4fl ; 5fl 6. 4 Rskite F ß ( ), ki F () ir 6 F () 7sin () cos 5 (). fl 8 5 ; fl 8 45 ; fl ; 4fl ; 5fl ATSAKYMAI fl; fl; fl; 4 4fl; 5 fl; 6 fl; 7 4fl; 8 fl; 9 fl; fl; fl; fl; fl; 4 fl; 5 fl; 6 fl; 7 4fl; 8 fl; 9 fl; 5fl; fl; 7fl; 7fl; 4 fl; 5 fl; 6 6fl; 7 fl; 8 5fl; 9 4fl; fl; fl; fl; 5fl; 4 fl; 5 fl; 6 fl; 7 fl; 8 5fl; 9 4fl; 4 fl; 69

69 Litertūr. Pekrsks V. Diferencilinis ir integrlinis skičivims. I dlis Kuns: Technologij, p.. Rumšs P. Trumps ukštosios mtemtikos kurss. Vilnius: Moksls, p.. Misevičius G., Pincevičius A., Rkusks R. J., Eidukevičius R. Aukštoji mtemtik. Vdovėlis ir prtbos su kompiuteriu. Vilnius: TEV, p. 7

70 APIBRĖŽTINIS INTEGRALAS su MAPLE Aleksndrs KRYLOVAS

71 TURINYS. APIBRĖŽTINIS INTEGRALAS.. APIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVOKA 6.. APIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVYBĖS.. NIUTONO IR LEIBNICO FORMULĖ 8.4. INTEGRAVIMO METODAI KINTAMOJO KEITIMAS INTEGRAVIMAS DALIMIS 4.5. PRATIMAI 5. APIBRĖŽTINIO INTEGRALO TAIKYMAI.. FIGŪROS PLOTAS STAČIAKAMPĖS KOORDINATĖS 7 POLINĖS KOORDINATĖS.. KREIVĖS ILGIS 5 STAČIAKAMPĖS KOORDINATĖS PARAMETRINĖS LYGTYS 6 POLINĖS KOORDINATĖS 7.. SUKINIO TŪRIS 4.4. KITI TAIKYMAI 4.5. PRATIMAI 4. NETIESIOGINAI INTEGRALAI.. INTEGRALAI SU BEGALINIAIS RĖŽIAIS 45.. KONVERGAVIMO POŽYMIAI 48.. TRŪKIŲJŲ FUNKCIJŲ INTEGRALAI.4. INTEGRALINĖ RODIKLINĖ FUNKCIJA IR GAMA FUNKCIJA.5. PRATIMAI

72 4. APYTIKSLIS SKAIČIAVIMAS 5. KLAUSIMAI ŽINIOMS PASITIKRINTI ATSAKYMAI Litertūr 4

73 PRATARMĖ Trdicinis ukštosios mtemtikos dėstms visi nenudoj šiuolikiniu informciniu technologiju ir nepteisinmi dug liko skiri uždviniu sprendimo techniki įsigti. Tčiu sukurtos per pstrjį dešimtmetį kompiuterinės progrmos sekmingi sprendži klsikinius mtemtinius uždvinius ir rnkinio sprendimo įgūdžiu verṫe geroki sumenkėjo. Šioje integrlinio skičivimo mokomojoje kngoje ktvii nudojm kompiuterinė progrm Mple. Šie klusimi pžmėti tokiu ženklu Kiekvienme kngos skriuje pteikimi uždviniu sprendimo pvzdžii bei prtimi svrnkiškm drbui. Testų klusimi skirti teorinėms žinioms ir vidutinio sunkumo integrlu skičivimo įgūdžims psitikrinti. Visi kngos skrii numeruojmi vienu rbišku skitmeniu (...6); poskrii numeruojmi dviem skitmenimis, pirms skitmuo r skrius numeris (., 4.); pvzdžii, pstbos ir pveiksli numeruojmi trimis skitmenimis (..), pirmieji du skitmens rodo poskrį (.), o pskutinis skitmuo () r pvzdžio, pstbos r pveikslo numeris šime poskrje. 5

74 . APIBRĖŽTINIS INTEGRALAS Apibrėžtinio integrlo sąvok. Kreivinės trpecijos plots. Integrlo svbės: tiesiškums, ditvums, plginims, vidurinės reikšmės teorem. Integrls su kintmu viršutiniu rėžiu. Niutono ir Leibnico formulė. Integrvimo metodi: kintmojo keitims, integrvims dlimis... APIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVOKA Trkime, kd funkcij f () pibrėžt, ki [; b]. Atkrpos [; b] skidiniu vdinm bigtinė tšku ; ; ;:::; n ibė, ki < < < < i < i+ < < n < n b: Pžmėkime i i i ; i ; ;:::;nir pvdinkime skičiu m i šio skidinio skersmeniu. Kiekvienoje tkrpoje i;;:::;n [ i ; i ] psirinksime po vien tšką ο i [ i ; i ] ir pskičiuokime funkcijos reikšmes: i f (ο i ). Sudrkime reiškinį ff n f (ο ) + f (ο ) + + f (ο n ) n nx i f (ο i ) i ; kuris vdinms Rmno integrline sum. Jei funkcij f (), 8 [; b] r teigim, integrlinė sum ff n lgi pvizduotos.. pveiksle liptuotos gūros ABb plotui. Kreivė f () bei tiesių tkrpos, b, priboj gūrą ABb (žr... pv.), kuri r vdinm kreivine trpecij. Ki tkrpos [ i ; i ] r mžos (t..! ir iš to išpluki, kd n!), liptuotos gūros (.. pv.) plots rb integrlinė sum ff n ptikslii lgi kreivinės trpecijos plotui S. George Friedrich Bernhrd Riemnn (86 866) vokiečių mtemtiks Ki f () r tiesinė funkcij k + l ši gūr r pprstoji trpecij. Pstebėkime, kd iš n! neišpluki, kd!. Pimkime, pvzdždiui, ; (b ); j + hj; h ( + b)n ir gusime ( + b). 6

75 .. pv... pv... APIBRĖŽIMAS. Jei egzistuoj bigtinė integrlinės sumos ff n rib, ki! () n!), kuri neprikluso nuo ) tkrpos [; b] skidinio ; ;:::; n bei ) tškų ο i [ i ; i ] prinkimo, ti ši rib r vdinm funkcijos f () pibrėžtiniu integrlu tkrpoje [; b] ir žmim lim ff n! b f () d: Skome, kd funkcij f () r integruojm tkrpoje [; b] 4. Skičius ir b vdinme ptiniu bei viršutiniu integrvimo rėžiis. Funkcij f () r vdinm pointegrline funkcij, f ()d pointegrlinis reiškins, integrvimo kintmsis. 4 Tokių funkcijų ibė mtemtikoje žmim C [; b]. 7

76 .. TEOREMA. Jei funkcij f () r toldi tkrpoje [; b], ti ji r integruojm. PASTABOS... Įrodmui (žr., pvzdžiui, [] kngą) sudromos dvi integrlinės sumos ffn ir ff n : minimli ir mksimli bei prodom, kd iš funkcijos f () toldumo išpluki, kd lim ffn lim ffn : Kdngi visos!! integrlinės sumos tenkin sąlgą ffn 6 ff n 6 ffn, iš ribu svbiu išpluki, kd egzistuoj bigtinė rib lim ff n, kuri neprikluso nuo skidinio ; ;:::; n bei tškų ο i prinkimo.!... Funkcijos toldums r pknkm, bet nėr būtin jos integruojmumo sąlg. Pvizduot.. pveiksle funkcij turi tške c pirmosios rūšies trūkį, tčiu ji r integruojm, kdngi jos pibrėžtinis integrls tkrpoje [; b] lgus dvieju kreiviniu trpeciju ACc ir cdbb plotų sumi... pv...4 pv.... Ki funkcij f () r toldi ir f () > ; 8 [; b] pibrėžtinis integrls r lgus titinkmos kreivinės trpecijos plotui (žr...4 pv.), tčiu integrlinė sum ff n pibrėžt visoms (nebūtini teigimoms) 8

77 funkcijoms f :[; b]! R. Svrbu, kd egzistuotu bigtinė rib lim ff n.! Jei funkcij f () r toldi ir f () 6 ; 8 [; b] pibrėžtinis integrls lgus pvizduotos..4 pveiksle kreivinės trpecijos plotui, pimtm su minuso ženklu: R b f () d S...4. Pminėkime pibrėžtinio integrlo zikinę prsmę, ki v(t) r mteriliojo tško kintms judėjimo greitis. Td nuo liko momento t iki momento t mterilusis tšks prein kelią, kurio ilgis r lgus pibrėžtinim integrlui v(t)dt. t R t PAVYDŽIAI... Apskičiuokime nx R b d. Turime f () ir ff n i ( )+ ( )+ + i + ( n n )+ ( n n ) n n + n n n b : b Tigi d b... Apskičiuokime R b d. Sudrkime funkciji f () integlinę sumą ff n, imdmi tškus 9

78 i + ih; i ; ;:::;n, h b n, ο i i + i. ff n nx i ο i i h h nx i nx i + ih h i + i (b ) h h n nx i b n +(i )h + + ih h Skičiuojme ribą, ki h b n! ) n!: + h (n +)n +(b ) (n +)n : n lim ff n (b ) +(b ) n! b :... Apskičiuokime tą ptį integrl Sudrkime dvi integrlines sums: ff n R b dkitip. nx nx i ( i i ); ffn i t.. psirenkme ο i i ir ο i i. Td i i ( i i ); ff n n n n ; ff n n n n ; ir gunme ffn + ff n n b : Funkcij r toldi ir R b todėl integruojm. Tigi egzistuoj lim ffn lim ffn d!! ir turime b R b d b rb d b : lim! ff n + ffn R

79 ..4. ff n nx i h R b Apskičiuokime integrl d. Sudrkime funkciji f () integlinę sumą ff n, imdmi tškus i + ih, i ; ;:::;n, h (b )n, ο i ( i + i ). nx οi i + i i h i nx +(i )h + + ih nx h + ih h : i i Tikome Mple comnds: > restrt:h:(b-)/n: > S(n):h*sum((+i*h-h/)^,i..n): > simplif(%); (b )(b+4 n b +4b n +4bn ) n > simplif(limit(s(n),ninnit)); R b Tigi gvome, kd (b )( + b+ b ) d b :..5 PASTABA. Integrlinę sumą glim sudrti ir Mple komnd 5 : > restrt:with(student): > S(n):middlesum(^,..b,n); 5 Tą ptį rezulttą, be bejo, duod ir komndos leftsum, rightsum

80 S(n) : (b ) n B X (i + i > limit(s(n),ninnit); n )(b ) n C C A CA + b.. APIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVYBĖS f Tiesiškumo svbė Trkime, kd funkcijos f () ir f () r integruojmos, ki [; b]. Td 8 ff ; ff R : b (ff f () +ff f ()) d ff b f () d + ff b f () d Įrodms. Tikdmi integrlo pibrėžim ir remdmiesi ribų svbėmis, gunme lim! lim! nx i b nx i (ff f () +ff f ()) d (ff f (ο i )+ff f (ο i )) i ff f (ο i ) i + lim! nx i ff f (ο i ) i

81 f Integrls 8 ; b R : ff R b Iš či išpluki, kd b f () d + ff b f () d: f () d buvo pibrėžts, ki <b. Susitrkime, kd b f Aditvumo svbė 8; b; c R : b f () d f () d f () d c b f () d + f () d c b f () d ki visi trs integrli egzistuoj. Įrodms. Ki <c<bsudrome integrlinę sumą ff n tip, kd c būtu skidinio elements, t.. dlijimo tšks: cx ff n f (ο i ) i f ( c ) c + bx f (ο i ) i bx c f (ο i ) i : Pereję prie ribos, ki!, gunme įrodom svbę: lim ff n! c f () d + b c f () d:

82 R c R b R c R b Trkime, kd <b<c. Td + b R c 4 f Trkime, kd f () > ; 8 [; b]; <b. Td b f () d > : b : Todėl R c R b R b + : c Įrodms. Kdngi f (ο i ) > ; 8ο i [; b] ir i i i >, np visi integrlinės sumos ff n f (ο i ) i nrii r neneigimi. Todėl i > ; 8n N ir neneigimos skičiu sekos rib r neneigim: ff n R b f () d lim ff n > :! 5 f Trkime, kd f () > g(); 8 [; b]; <b: Td R b R g() d 6 b f () d: Įrodms išpluki iš f ir 4 f pibrėžtinio integrlo svbiu: b 6 f b f () d f () d b b 6 g() d jf ()j d b (f () g()) d > : Įrodms. Sudrome integrlinę sumą ir tikome geri žinom trikmpio nelgbę ja + Bj 6 jaj + jbj: b lim! nx f () d i lim! nx f (ο i ) i i f (ο i ) i 6 lim! 4 nx i jf (ο i ) i j

83 lim! nx i jf (ο i )j i b jf ()j d: 7 f Trkime, kd m 6 f () 6 M; 8 [; b]. R Td m(b ) 6 b f () d 6 M (b ): Įrodms išpluki iš 5 f, f svbiu ir.. pvzdžio. 8 f Vidurinės reikšmės teorem Jei funkcij f () r toldi tkrpoje [; b], ti egzistuoj toks tšks [; b], kd b f () d f ( )(b ) Įrodms. Toldžioji tkrpoje [; b] funkcij f () įgj šioje tkrpoje svo mžiusi m f () ir didžiusi M f () min [;b] reikšmes bei viss reikšmes, ki m 6 6 M. Pžmėkime m [;b] R b f () d. Td pgl 7 f svbę m 6 6 M ir iš funkcijos f () toldumo išpluki, kd egzistuoj toks tšks [; b], kd b f ( ). PASTABOS... Funkcijos toldumo reikluj tik pskutinė 8 f svbė. Visoms kitoms svbėms pknk funkciju integruojmumo.... Antrosios ( f ) svbės pibendrinims pibrėžtinio integrlo svokos tvejui >bgli būti pgrįsts tokiis smprotvimis. Integrlinė sum ff n f (ο i ) i šiuo tveju turi neigimus np ddžius i i i i <. Pžmėkime n ; n ;:::; n, ο n ; ο n ;:::; n ο. Td i i i n i n i+ n i+ ir integrlinę sumą ff n glime pertvrkti tip: 5

84 ff n np i P f ( n i+ ) ( n i+ ) n f ( j ) j : Kdngi dbr b< n tikome.. pibrėžim ir pereję prie R ribos, gunme lim ff n R f () d f () d:! b j b..5 pv...6 pv.... Remdmiesi ditvumo ( f ) svbe bei geometriniis smprotvimis (žr...5 pv.) gusime, kd lginės funkcijos (f ( ) f ()) integrls intervle [ ; ] tenkin sąlgą: R f () d R f () d: Nelginės funkcijos (f ( ) f ()) integrls intervle [ ; ] lgus nuliui: Pvzdžiui, ßR R f () d (žr...6 pv.). ßR sin() d, cos() d cos() d: ß ß..4. Ki funkcijos r toldžiosios, svbės (4 f 8 f ) gli būti piš- ßR 6

85 ..7 pv. kintos geometriški. Pvzdžiui, vidurinės reikšmės teoremą (8 f ) glim suformuluoti tip (žr...7 pv.): egzistuoj toks stčikmpis ABb, kurio plots lgus titinkmos kreivinės trpecijos plotui ir krštinė AB susikert su kreive f (); 6 6 b (nebūtini vienme tške!). Susikirtimo tško bscisė lgi skičiui : PAVYDŽIAI... Apskičiuokime funkcijos f () integrl R f () d: ( ; ki 6 ; ; ki > Sprendims. Tikome f, f pibrėžtinio integrlo svbes bei.. pvzdžio formule: d + f () d ß... Įvertinkime pibrėžtinį integrl f () d + f () d d ( ( )) + ( ) : R d p : 5 cos Sprendims. Pžmėkime pointegrlinę funkcij 7

86 f () Td m M p 5 cos : min f () f (ß) [;ß] m f () f () f (ß) [;ß] ir tikome 7 f svbę: ß R p 6 ß d p 6 p ß : 7 5 cos... Plginkime integrlus R p5 ( ) p 7, e d ir e > e ; 8 [; ], tikome 5 f svbę:..4. p p 5 R e d. Kdngi R R e d > e d: Rskime skičiu, tenkinntį sąlg sin ß ( ) > restrt:f():sin(pi*)*(-): > b:int(f(),..): > solve(f()b); R sin ß ( ) d. sin(rootof(_ sin(_ ) sin(_ ) ß + )) ß sin(rootof(_ sin(_ ) sin(_ ) ß + )) ß > evlf(%); : NIUTONO IR LEIBNICO FORMULĖ Trkime, kd funkcij f r integruojm tkrpoje [; b]. 8 [; b] ji r integruojm ir tkrpoje [; ]. Td 8

87 Apibrėžkime integrlsu kintmu viršutiniu rėžiu (žr...8 pv.) Φ() f (t) dt: Funkcij Φ() pibrėžt 8 [; b]...8 pv. Prodkime, kd ji r diferencijuojm tške, jei tme tške r toldi pointegrlinė funkcij f (). Funkcijos Φ() poktis r + Φ() Φ( + ) Φ() + f (t) dt f (t) dt f (t) dt:.. TEOREMA. Jei funkcij f () r toldi tkrpoje [; b], ti funkcij Φ() r diferencijuojm 8 (; b) ir Φ f (t) dt A f () 9

88 Įrodms. Turime + Φ() (f (t) f ()) dt f (t) dt f () dt (f (t) f ()) dt + f (): Funkcij f () r toldi. Todėl 8" > 9f >: jt j <f)jf (t) f ()j <":Tigi, ki j j <f, turime + Iš či išpluki, kd (f (t) f ()) dt < " j j ": j j + Φ() lim! (f (t) f ()) dt + f () A +f () f () Iš įrodtos teoremos gunme, kd integrls su kintmu viršutiniu rėžiu R Φ() f (t) dt r pointegrlinės funkcijos f () pirmkštė funkcij. Kdngi visos pirmkštės funkcijos išreiškimos formule F () Φ() +C, turime F (b) Φ(b) +C, F () Φ() +C +C C: Tigi r įrodt

89 Niutono 6 ir Leibnico 7 formulė: b f (t) dt F (b) F () Pirmkštės funkcijos F () dvieju reikšmiu skirtum F (b) F () įprst žmėti tip: F (b) F () F () PASTABOS... Teoremos teigins glioj ir tkrpos gluose, b, jei ngrinėti vienpuses išvestines: Φ( + ) Φ(b ) lim f (), lim f (b).!+!+... Funkcij Φ() (todėl ir visos kitos pirmkštės funkcijos) r toldi, jei integruojm (nebūtini toldžioji!) funkcij f (). Niutono ir Leibnico formulę glim tikti ir šiuo tveju.? b PAVYDŽIAI... Rskime funkcijos integrl ( ; ki 6 ; R f () d, ki f () ; ki >; kuris ju buvo pskičiuots (.. pvz.). Sprendims. Pointegrlinės funkcijos f () vien iš pirmkšči r F () ( ; ki 6 ; +; ki >: u funkciju 6 Isc Newton (64 77) nglų ziks ir mtemtiks 7 Gottfried Wilhelm Leibniz (646 76) vokiečių losofs, mtemtiks ir ziks

90 Pstebėkime, kd funkcij F () r toldi 8 R ir diferencijuojm t.. turi išvestinę, ki 6. Tigi tikome Niutono ir Leibnico formulę: R f () d F () F ( ) ( + ) : Ti sutmp su nksčiu gutu rezulttu. ßR... cos d sinß sin( ß) : ßR ß ß R ß R sin d cos ß cos( ß) ( ) ( ) : d + ln j +j d p p rcsin (ln 5 ln ) ln 5 : p???? ß.4. INTEGRAVIMO METODAI p rcsin ß p : KINTAMOJO KEITIMAS Trkime, kd funkcij '(t) r toldi ir diferencijuojm, ki t [ff; ] bei '(ff) ; '() b ir 6 '(t) 6 b; 8t [ff; ]. Sudėtinės funkcijos F ('(t)) išvestinė r F ('(t)) F () (t), rb df('(t)) F ('(t))' (t)dt F ()d f ()d. Įsttę šiuos reiškinius į Niutono ir Leibnico formulę, gunme b f ()d ff b df () F (b) F () df ('(t)) F ('()) F ('(ff)):

91 Tigi glim pkeisti integrvimo kintmjį '(t): b f () d ff f ('(t)) ' (t) dt PAVYDŽIAI R p.4.. d: Pkeiskime sint; ff ; ß : d cos tdt. Td t + sin t ß p d ß ß cos tdt ß + p sin t cos td ß ( + cos t) dt (sin ß sin ) ß 4 :.4.. Suintegruokime tą ptį integrl, keisdmi kintmjį cos t. Td d sin tdt, ß cos, cos. T.. ptinis integrvimo rėžis r ß, o viršutinis (ne tvirkščii!). Tigi integrl pertvrkome tip: p d p cos t ( sin tdt) ß sin tdt ß ( cos t) dt ß 4 : ß

92 .4.. ß R sin d ß R sin cos d ß R sin d sin : Pkeiskime t sin. Td ff sin, sin ß. Tigi ß sin d tdt :.4. PASTABA. Šį integrl glime suintegruoti ir be tiesioginio kintmojo keitimo: ß R sin d sin sin INTEGRAVIMAS DALIMIS Pstebėję, kd b b (u()v()) b d d (u()v()) u()v() ; gunme integrvimo dlimis formulę rb b b b udv+ ß : vdu uv b u()v () d u(b)v(b) u()v() b v()u () d 4

93 .4.4 PAVYDYS. ln e e.5. PRATIMAI R e ln d d e ln e e u ln ) du d d dv ) v e ln e C A d e e e + : 4 Sudrkite integrlines sums, ki tkrp [; ] skidom į n vienodo ilgio h n tkrps, o tški ο i i ; i ; ;:::;n. ) f () ; ) f () e. ) 4) Apskičiuokite 5) Ar teising nelgbė R Apskičiuokite integrl R d bei ) uždvinio integrlinės sumos reikšmes: ff, ff, ff, ff (, ff. ; ki [; ]; f () d, ki f () ; ki (; ]: R e d 6? Apskičiuokite pibrėžtinius integrlus R d R 6) p 4 ; 7) d R 4 ; 8) d 4+ ; 9) ß R4 sin d; ) ß R6 cos d; 5

94 Apskičiuokite integrlus ) p ß R sin d; ) ß R8 tn d. ATSAKYMAI P ) h 4 n (i ) n P i (!) 8 i n 4 i 4 n + 4n ; P ) h n e h(i ) h n P e h i i i n e ; e n R ) d :5, ff :5, ff :45, 4 ff :495, ff :499, ff :5; 4) ; 5) tip; 6) ß ln ; 7) ; 6 4 8) ß p ; 9) ; ) ß 8 p 6 + ; ß ) ( C()) ß :975; ) : Psinudokime Mple 6

95 . APIBRĖŽTINIO INTEGRALO TAIKYMAI Figūros plots. Kreivės ilgis. Sukinio tūris. Sukimosi pviršius plots... FIGŪROS PLOTAS STAČIAKAMPĖS KOORDINATĖS Ki f () > ; 8 [; b], kip žinome, titinkmos kreivinės trpecijos (žr... pv.) plots S f r lgus pibrėžtinim integrlui S f R b f () d. Ki g() 6 ; 8 [; b] esnčios ptinėje pusplokštumėje kreivinės trpecijos (.. pv.) plots lgus pibėžtinim integrlui, pimtm su miniso ženklu S g R b g() d. Tigi.. pv... pv. gūros, pribotos dviem kreivėmis f (), g() bei dviem tiesiu tkrpomis, b, plots S r lgus dvieju kreiviniu trpeciju 7

96 plotų sumi: S S f +S g b b f () g() da b (f () g()) d: Pstebėkime, kd gūros plots neprikluso nuo koordinčiu sistemos. Todėl glime pstumti gūrą išilgi ordinčiu(o) šies (žr... pv.) ir nebereikluti, kd būtų f () > ir g() 6. Tigi įrodėme, kd gūros, pribotos kreivėmis g(), f (), g() 6 f (), 8 [; b] ir tiesių tkrpomis, b, plots S pskičiuojms pgl formulę S b (f () g()) d PAVYDŽIAI... Apskičiuokime gūros, pribotos kreivėmis ir 4, plotą. Kreivių susikirtimo tški (žr... pv.) r A( ; ) ir B(; ). Tigi tikome formulę.. pv...4 pv. 8

97 S 4 d ( ) ( ) ( ( )) :... Apskičiuokime gūros, pribotos kreivėmis ir, plotą. Rndme kreiviu susikirtimo tšką A(; ) (žr... pv.) ir išreiškime didesnę funkcij( f ()): p ; [; ]. Tikome formulę: S ψ 4 4! p d 4 5 : POLINĖS KOORDINATĖS Priminkime, kd tško pdėčii plokštumoje nuskti tikomos ne tik stčikmpės, bet ir kitos koordintės. Trkime, kd nurodts plokštumos tšks O, kuris 9

98 ..5 pv...6 pv. vdinms poliumi, ir iš jo nubrėžts spinduls OP, vdinms poline šimi. Td kiekvien plokštumos tšką M titink du relieji skičii: polinis kmps ' ( 6 '<ß)irpolinis spinduls ρ (ρ > ) 9 (žr...5 pv.). Ki Dekrto koordinčiu sistemos centrs sutmp su poliumi, o bscisiu(o) šies teigimoji krptis sutmp su poline šimi (žr...6 pv.), turime formules nuo poliniu prie stčikmpiu koordinčiu pereiti: ( ρ cos '; Pstebėkime dr, kd ρ sin ': ρ p + ; tn ' : Apskičiuokime pvizduotos..7 pveiksle gūros OAB plot. 9 Polinis spinduls ρ td ir tik td, ki M O, t.. sutmp su poliumi. Šiuo tveju polinis kmps ' nėr pibrėžts. René Descrtes (596 65) prnzūzu losofs ir mtemtiks.

99 ..7 pv...8 pv. Sektorius OAB pribots toldžij kreive ρ f (') ir dviem spinduliis ' ff ir '. Suskidome tkrp [ff; ] į n tkrpu [' i ;' i ]: ff ' <' < <' i <' i < <' n ; ir ptikslii pkeiskime kiekvien dlinį sektoriu O' i ' i tm tikro skritulio išpjov. Tuo tikslu psirenkme po vieną skičiu ψ i [' i ;' i ] ir pskičiuojme funkcijos reikšmę ρ i f (ψ i ). Pžmėkime tškus Ψ i (f (' i );' i ), Ψ i (ρ i;' i ), Ψ i (f (' i );' i ), Ψ i (ρ i;' i ) (žr...8 pv. ). Td, ki kmpi ' i ' i ' i r mži, gūros OΨ i Ψ i plots ptikslii lgus skritulio išpjovos OΨ i Ψ i plotui, t.. f (ψ i ) ' i. Sudėję visų dliniu išpjovu plotus, gunme integrlinę sumą ff n nx i f (ψ i ) ' i : Pžmėję skidinio f' ;' ;:::;' n g skersmenį m ' i, i;;:::;n rsime rib lim ff n. Funkcij ρ f (') r toldi tkrpoje [ff; ].! Todėl integrlinės sumos funkcij f (') r integruojm. Tigi gūros

100 OAB plots S polinėse koordintėse r S ρ (') d' ff PAVYDŽIAI... Apskičiuokime skritulio su spinduliu R plot. Psirinkime polines koordintes tip, kd polius sutptu su skritulio centru. Td pskritimo su centru šime tške ir spinduliu R lgtis polinėse koordintėse r ρ R,( 6 '<ß). Tigi S ß R d' R ß ßR ; gunme geri žinom formulę skritulio plotui skičiuoti.... Apskičiuokime gūros, pribotos kreive ρ cos ' ir dviem spinduliis ' ß ir ' 6 ß, plot. Tikome formulę S ß ( cos ') d' ß cos 'd' ß ß 6 ß 6 ( + cos ') d' ' ß ß 6 ß 6 + sin ' ß ß 6 ß 6 Ki ' kint nuo iki ß polinis spinduls ρ(') prein visą pskritimą su centru tške (; ) ir spinduliu.

101 .. KREIVĖS ILGIS STAČIAKAMPĖS KOORDINATĖS Rsime kreivės f () lnko nuo tško A(; f ()) iki tško B(b; f (b)) ilgį (žr... pv.). Pdlkime tkrp [; b] tškis i į n dliu < < < < n < n b.. pv... pv. ir pžmėkime tškus M i ( i ;f( i )), M A, M n B. Stgos M i M i ilgį pžmėkime l i ir pskičiuokime pgl Pitgoro i q teorm l i ( i i ) +(f ( i ) f ( i ). Pžmėkime i i i ir i f ( i ) f ( i ) (žr... pv.). Įbrėžtos į lnk AB lužtės ilgis r lgus s nx nx p nx L n l i ( i ) +( i ) + i i : i i i Πfl#ffflóρff& (pie 57 pie 5 p. m. e.) senovės Grikijos losofs.

102 Reiškiniui i i f ( i) f ( i i ) i tikome Lgrnžo teoremą: 9ο i [ i ; i ]: i f (ο i ): Tigi turime funkcijos q i g() +(f ()) integrlinę sumą nx q L n +(f (ο i )) i : i Trkime, kd funkcij f () r toldi. Td funkcij g() irgi bus toldi (todėl integruojm) ir pskičivę rib, ki skidinio skersmuo m i!, gunme kreivės lnko ilgį i;;:::;n L lim! L n Tigi L b R b g() d. q +(f ()) d PAVYDŽIAI... Apskičiuokime pskritimo + R pilgį L. Viršutinio puspskritimio ( > ) lgtis r R, R 6 6 R. Tigi () p R, ( ()) R turime L R R R R s + R d R p R d R R R sin t s R + R R ) t ß R ) t ß d R cos tdt C d A Joseph Louis Lgrnge (76 8) prncūzu mtemtiks ir mechniks. 4 ir

103 R R R R cos tdt p R R sin t R ß ß R cos tdt R cos t ßR: Tigi L ßR ir gunme geri žinom formulę pskritimo ilgiui skičiuoti: L ßR.... Apskičiuokime elipsės +, >bilgį. b Rskime elipsės lnko, esnčio pirmme ketvirtje (, ), ilgį L. Turime 4 p b, [;]. Rskime funkcijos () išvestinę ir jos kvdrt: b p, ( ) Tikome formulę ilgiui skičiuoti: L 4 s + b ( ) d b ( ). s +( b ) s ( ) b. Td Pžmėkime elipsės ekscentricitet e r L R 4 e d. Pkeiskime integrvimo kintmąjį: sin t, ) t, ) t ß, d cos t, p cos t. Tigi L 4 ß R p e sin tdt. Ki b R turimę R tskirjį elipsisės tvejį pskritimire. Šiuo tveju L 4R ß dt ßR. Atvejį e titink prmetrs b ir vietoje elipsės gusime bscisiu šies tkrp [ ; ]. Bendru tveju guts integrls neišreiškims elementriosiomis funkcijomis. d: 5

104 Jis žmims E(e; ') ' p e sin tdt ir r vdinms ntrojo 4 tipo elipsiniu integrlu. PARAMETRINĖS LYGTYS Pvizduotos.. pveiksle kreivės lnko AB neglime rsti, tiknt R q b formulę L +( ()) d, kdngi krevė negli būti išreikšt funkcij f (), 6 6 b. Trkime, kd r žinomos kreivės prmetrinės lgts '(t), ψ(t), ff 6 t 6. T..A('(ff);ψ(ff)), B('();ψ(ff)). Jei funkcijos '(t), ψ(t) turi toldžis išvestines, glime užršti ir neišreikštinės funkcijos () išvestinę 'R.. pv...4 pv. () d d ' (t)dt ψ (t)dt ' (t) ψ (t) : 4 Pirmojo tipo elipsiniu integrlu vdinms integrls dt F (e; ') p e sin t : 6

105 Tigi L Arb L s R ff ff + ' (t) ' (t) dt: ψ (t) q (' (t)) +(ψ (t)) dt POLINĖS KOORDINATĖS Trkime, kd kreivės lgtis r ρ f ('), ff 6 ' 6. Td išreikšdmi stčikmpes koordintes polinėmis, gunme ρ(')cos', ρ(') sin ' ir (') ρ (')cos' ρ(')sin'; (') ρ (')sin' + ρ(') cos '; (') + (') ρ (') cos ' + sin ' + +ρ (')ρ(') ( cos ' sin ' + sin ' cos ') + Pžmėję t ', turime formulę +(ρ(')) cos ' + sin ' ρ (') +(ρ(')) : L ff q ( (')) +( (')) d' ff q (ρ (')) +(ρ(')) dt PAVYDŽIAI... Apskičiuokime dr krtą pskritimo ρ R, 6 '< ß ilgį: ρ ß R p ; L +R d' ßR. 7

106 ..4. Kreivė ρ + cos ' ( 6 ' < ß) pvizduot..4 pveiksle ir r vdinme krdiode. Apskičiukime jos ilgį: ß ß L ß ρ (') sin '; q sin ' + ( + cos ') d' q sin ' ++cos' + cos 'd' p + cos 'd' ß r 4 cos ' d' ß ' cos d' ß ' 4 cos d' 4 ' ß sin 8:..5. Trkime, kd elipsė pibrėžt prmetrinėmis lgtimis: cos t, b sin t, ( > b), t [; ß]. Dr krt pskičiuokime 8

107 elipsės ilgį: ß r ß b L ß sin t; b cos t; p sin t + b cos tdt p ( cos t)+b cos tdt cos tdt ß p e cos tdt: Pstebėkime, kd jei funkcij f () r periodinė su periodu ß, ti 8 R : Tigi pertvrkome integrl: L ß+ ß +ß p e cos tdt f () d ß r ß f () d: e cos t + ß dt ß ß p e sin tdt 4 ß p e sin tdt:..6. Rskime prbolės lnko 6 6 ilgį L. > restrt:f():^:s():sqrt(+diff(f(),)^): > L:Int(s(),..)int(s(),..); 9

108 p L : +4 d p 5 4 ln( +p 5) > evlf(int(s(),..));..7. : Rskime kreivės lnko 6 6 ilgį L. > restrt:f():^:s():sqrt(+diff(f(),)^): > L:Int(s(),..);int(s(),..);evlf(%); L : p +9 4 d p p p p p p + EllipticK( ) EllipticF( ; ) 9 9 : SUKINIO TŪRIS Pvizduots.. pveiksle kūns guts, suknt kreivinę trpecij ABb pie bscisiu(o) šį. Suskldome.. pv... pv. 4

109 tkrp [; b] į n dlių [ i ; i ]. Td viss kūns bus suskldts į n dlių, kurių tūrius ptikslii pkeiskime cilindrutūriis V i ßf (ο i ) i. Či ο i [ i ; i ] lisvi prenkmi tški, f (ο i ) i ojo cilindro pgrindo spinduls, i cilindro ukštinė. Gunme integrlinę sumą V n nx i ßf (ο i ) i ir skičiuojme ribą, ki skersmuo m i i;;:::;n!. Tigi gunme formulę sukinio tūriui skičiuoti: b V ß f () d Trkime, kd kreivė f (), [; b] pibrėžt prmetrinėmis lgtimis: '(t), ψ(t), '(ff), b '(), ff 6 t 6. Td d ' (t) dt ir V ß ff ψ (t)' (t) dt PAVYDŽIAI... Apskičiuokime rutulio su spinduliu R tūrį. Rutulį sup centru koordinčiu prdžioje glime guti, suknt puspskritimį R, [ R; R] pie bscisiušį. Turime V ß R R ß R p R R d ß R R R ß R 4 R d R 4 ßR :

110 ... Apskičiuokime pvizduoto.. pveiksle sukimosi prboloido tūrį. Pstebėkime, kd kreivė, [; p ] sukm pie ordinčių (O) šį. Todėl formulėje reiki pkeisti vietomis kintmuosius ir. Tigi p, [; ] ir V ß.4. KITI TAIKYMAI () d ß d ß ß: Sukimosi pviršius, ki kreivė f (), [; b] plots S pskičiuojms pgl formulę b S ß q f () +(f ()) d Ki kreivė išreikšt prmetrinėmis lgtimis '(t); ψ(t); '(ff); b '(); ff 6 t 6 tikome formulę S ß ff q ψ(t) (' (t)) +(ψ (t)) dt Ki turime polines koordintes ρ ρ('), ff 6 ' 6 pviršius plot skičiuojme tip: S ß ff q ρ(') sin ' (ρ (')) +(ρ(')) d' 4

111 .4. PAVYDYS. Rskime sferos (rutulio pviršius) plotą. R S ß R p R s + R d ßR R R d 4ßR : Pminėkime dr du 5 pibrėžtinio integrlo tikmo pvzdžius. Kintmos jėgos F () drbs A, ki ji veiki mterilujį tšk judntį tkrpoje [; b] pskičiuojms tip: A b F () d: Nevienlčio strpo, kurio ilginis tnkis išreiškims funkcij ρ(), 6 6 b, msė m pskičiuojm pgl formulę.5. PRATIMAI m b ρ() d: ) Apskičiuokite gūros, pribotos tiese ir prbole, plotą. ) Apskičiuokite gūros, pribotos prbole +, jos liestine tške (; 5) ir teise, plot. ) Apskičiuokite gūros, pribotos cikloide (t sin t), ( cos t), 6 t 6 ß ir tiese, plot. 4) Apskičiuokite gūros, pribotos p krdiodide ρ ( + cos '), plot. 5) Apskičiuokite kreivės,, 5lnko ilgį. 5 Integrlo tikmo pvzdžių mechnikoje (ir kituose zikos skriuose) r dug: sttinių ir inercijos momentu skičivims, svorio centrų koordinčiu rdims ir kiti. 4

112 6) Rskite kreivės R p z dz lnko 6 6 ß ilgį. 7) Rskite krdiodidės ρ + sin ', 6 ' 6 ß ilgį. 8) Rskite sukinio, guto suknt prbolės 4 lnk pie bscisiušį, tūrį. 9) Rskite sukinio, guto suknt hiperbolę b pie bscisiušį, tūrį. ) Apskičiuokite sukimosi pviršius plot ( cos t), 6 t 6 ß sukm pie bscisi 6 6 4, 6 6, ki cikloidė (t sin t), ušį. Rskite krevės f () lnko 6 6 ilgį L: ) 4 ; ) 5. ATSAKYMAI ) 9 ; )9; ) + ß ; 4)6ß; 5) 5 7 6) ; 7)4p ;8) ß; 9) 4 ßb ; ) 64 ß ; ) :6948; ) :

113 . NETIESIOGINIS INTEGRALAS Integrli su begliniis rėžiis... INTEGRALAI SU BEGALINIAIS RĖŽIAIS INTEGRALAI + R f () d, R b f () d ir Apibendrinkime pibrėžtinio integrlo R b + R f () d f () d sąvok, ki tkrp [; b] nėr bigtinė. Trkime, kd funkcij f () pibrėžt beglinime intervle [; +) ir integruojm kiekvienoje tkrpoje [; b] ρ [; +) (8b >)... APIBRĖŽIMAS. Jeigu egzistuoj integrlo R b f () d bigtinė rib, ki b! +, ti ji vdinm funkcijos f () netiesioginiu integrlu intervle [; +) ir žmim + + R f () d lim b!+ b f () d: Skom, kd netiesioginis integrls konverguoj. Ki ši rib neegzistuoj rb r beglinė, skom, kd netiesioginis integrls diverguoj. d R b d.. PAVYDYS. b!+ lim lim b!+ ψ! b lim b b!+ +: 45

114 .. pv... pv. Ki f () > 8 [; +) tiesės, ir kreivė f () priboj beglinę kreivinę trpecij (žr... pv.). Jei netiesioginis integrls + R f () d konverguoj, jis r lgus šios kreivinės trpecijos plotui. Pstebėkime, kd netiesioginis integrls turi geometrinę prsmę ir tuo tveju, ki funkcij f () nėr pstovus ženklo (žr... pv.). R b.. APIBRĖŽIMAS. Netiesioginiu integrlu f () d vdinm R b rib lim f () d. Ki ši rib egzistuoj ir r bigtinė, skom kd! netiesioginis integrls konverguoj, priešingu tveju diverguoj... APIBRĖŽIMAS. Skom, kd netiesioginis integrls + R f () d konverguoj, ki su bet kuriis reliis skičiis c ir d konverguoj bu integrli R c f () d ir + R d diverguoj, skom, kd integrls f () d. Ki bent viens iš šių integrlu R + 46 f () d irgi diverguoj.

115 .. TEOREMA. Jei netiesioginis integrls + R f () d konverguoj, ti jis neprikluso nuo skičių c ir d. Irodms. Remdmiesi netiesioginiu integrlu pibrėžimis.. ir.., turime + f () d lim! c f () d + d c b f () d + lim b!+ d f () d: Trkime, kd F () r funkcijos f () pirmkštė funkcij: F () f () 8 ( ; +). Td, tikdmi Niutono ir Leibnico formulę, gunme + c d f () d lim F! () + F () b + lim F c b!+ () d F (c) lim F () +F (b) F (c) +! b!+ lim F (b) F (d) lim F b!+ (b)! lim F (): Pžmėję, lim F (r) F (±), glime pibendinti Niutono ir r!± Leibnico formulę netiesioginm integrlui 6 : + f () d F () + F (+) F ( ) PAVYDŽIAI 6 Tip ršome, ki bi ribos F (+) ir F ( ) egzistuoj ir r bigtinės. Priešingu tveju skome, kd integrls diverguoj. 47

116 R + d... + R d + R + + d + + R lim! d b + + b!+ lim lim! rctn + lim d... + lim Tigi integrls diverguoj. R b b!+ ß d + b! rctn b d + lim + ß ß: b b!+ ln( + ) +:.. KONVERGAVIMO POŽYMIAI Be įrodmo pteiksime teiginį kuris turį lbi svrbu vidmenį mtemtinėje nlizėje, tčiu jo sąlgos džni r sunkii ptikrinmos... TEOREMA (Koši 7 kriterijus). Netiesioginis integrls konverguoj td ir tik td, ki 8" 9b >: 8 b ; b" >b ) b" b f () d <": + R f () d.. PASTABA. Teoremos prsmę glim piškinti lbi pprsti. Integrlo konvergvimo būtin ir pknkm sąlg: jo "uodeg" nkst. Iš či išpluki, kd jei netiesioginis integrls f () d konverguoj, ti toldžioji funkcij f () nkst: + R 7 Augustin Louis Cuch ( ) prncūzu mtemtiks. 48 lim f (). Tčiu, ši!+

117 sąlg r būtin, bet nėr pknkm. Pvzdžiui, funkcij f () toldi, ki [; +) ir nkst:. Tčiu integrls + R d lim!+ ln(+) +, t.. diverguoj... TEOREMA (plginimo požmis). Trkime, kd funkcijos f () ir g() pibrėžtos intervle [; +) bei 8 b > r integruojmos tkrpoje [; b]. Jei ir netiesioginis integrls netiesioginis integrls 6 f () 6 g() 8 [; +) + R + R g() d konverguoj, ti konverguoj ir f () d. Irodms. Iš teoremos sąlgos 6 f () 6 g() ir pibrėžtinio integrlo svbiu išpluki, kd Integrls B" B + R f () d 6 B" B g() d 8 B ; B" [; +): g() d konverguoj. Todėl pgl Koši kriteriju 8 "> egzistuoj toks skičius b>, kd 8 B ; B" >b: B" B f () d 6 B" B g() d <"; + R o ti ir reiški kd integrls f () d konverguoj... PASTABA. Plginimo požmį glim piškinti tip. Jei "didesnės" funkcijos integrls konverguoj, ti ir "mžesnės" funkcijos integrls 49

118 konverguoj (žr... pv.). Iš či išpluki, kd jei integrls diverguoj, ti diverguoj ir integrls + R + R f () d g() d. Pstebėkime dr, kd iš Koši kriterijus išpluki, kd konvergvims prikluso tik nuo funkcijos "elgesio beglbėje". Todėl, plginimo požmį glim tikti ir tuo tveju, ki nelgbė 6 f () 6 g() r tenkinm ne visme intervle [; +), o tik ki > >( žr... pv.)... pv... pv. Tirint nietiesioginiu integrlu konvergvim, jie džni lginmi su lipsninės funkcijos ff integrlu, kurį dbr išngrinėsime. + R d.. PAVYDYS. Integrls, >. Ki ν pointegrlinės ν funkcijos pirmkštė r ln ir integrls diverguoj (žr... pstb). + d ν ν ν + 8 < : +; jei ν 6 ; (ν ) ν jei ν>: 5

119 Tigi integrls + ( d diverguoj, ki ν 6 ν konverguoj, ki ν>: PAVYDŽIAI. Ištirkime integrlu konvergvim. + R ln... p d. Ki > e turime ln > ir todėl ln e p > >. + R d Integrls diverguoj (ν e 6 ). Todėl, pgl plginimo + R ln požmį, integrls p d irgi diverguoj. e + R + cos... d. Įvertinme + 6 +cos 6 8 R ir + cos + R gunne Integrls d ß. Todėl + + R +cos integrls d konverguoj. +.. TEOREMA (ribinis plginimo požmis). Trkime, kd funkcijos f () ir g() pibėžtos ir r teigimos: f () >, g() > f () 8 [; +). Jei egzistuoj bigtinė rib lim!+ g() >, ti netiesioginii integrli + R f () d ir + R g() d rb bu konverguoj, rb bu diverguoj. Irodms. Ribos egzistvims reiški, kd 8" > egzistuoj toks skičius >, kd 8 > ) "< f () < + ": g() Funkcij g() r teigim. Todėl lgbes glime perršti tip: ( ") g() <f() < ( + ") g(): 5

120 Trkime, kd integrls integrls + R + R ( + ") g() d ir, tikdmi plginimo požmi, gunme integrlo f () d konvergvim. Kitus tvejus įrodome pnšiis smprotvimis. + R g() d konverguoj. Td konverguoj ir + R d..4 PAVYDYS. Ištirkime integrlo + kovergvim. Funkcij +5 + ki!±nkst su tokiu pt greičiu, kip funkcij +5 : lim + +5 lim!±!± + +5!± lim : Integrls d konverguoj (ν > ), todėl konverguoj ir inte- grls + R + R d APIBRĖŽIMAS. Jei konverguoj netiesioginis integrls ti skome, kd integrls + R..4 TEOREMA. Jei netiesioginis integrls bsoliučii, ti jis konverguoj. Irodms išpluki iš nelgbės b jf ()j d ir Koši kriterijus. f () d konverguoj bsoliučii. R b" b f () d + R 6 R b" f () d konverguoj + R jf ()j d, 5

121 PAVYDŽIAI..5. Ištirkime integrlo + R sin d konvergvim 6. Kdngi sin, gunme kd integrls konverguoj bsoliučii, o todėl konverguoj. + R sin..6. d. > int(sin()/,..+innit); + R ß Si()..7. sin d. > Int(bs(sin()/),..+innit) > int(bs(sin()/),..+innit); Mtome, kd integrls + R sin() + R sin d undened d konverguoj. Tčiu, integrls sin d diverguoj. Tigi iš integrlo konvergvimo neišpluki bsoliutus konvergvims...5 APIBRĖŽIMAS. Skome, kd netiesioginis integrls konverguoj relitvii, ki jis konverguoj, tčiu integrls diverguoj. + R f () d + R jf ()j d 5

122 Kip mtome iš..6 ir..7 pvzdžiu, integrls + R sin d kon- verguoj relitvii... TRŪKIŲJŲ FUNKCIJŲ INTEGRALAI Trkime, kd funkcij f () r toldi intervle [; b) ir b r jos ntrosios rūšies trūkio tšks, t.. neegzistuoj bigtinė rib lim f ().!b R b.. APIBRĖŽIMAS. Trūkiosios tške b funkcijos f () netiesioginiu integrlu f () d vdinm rib lim f () d: Ki ši rib "!+ egzistuoj ir r bigtinė, skom kd netiesioginis integrls konverguoj. Ki rib neegzistuoj rb r beglinė, skom, kd integrls diverguoj. Trūkosios tške funkcijos f () netiesioginis integrls pibrėžims nlogiški: R b f () d R b " lim R b "!+ +" f () d: Trkime, kd vidinis tkrpos tšks c (; b) r funkcijos f () ntrosios rūšies trūkis. tip: b f () d Td netiesioginį integrl lim "!+ c " f () d + R b lim "!+ c+" f () d pibrėžime b f () d: PAVYDŽIAI R " d R d R d... lim "!+ + lim "!+" lim "!+ ( " lim : ) "!+ " Tigi integrls diverguoj. Pstebėkime, kd tkdmi Niutono ir Leibnico formulę, gusime. Akivizdu, kd ti prieštruj pibrėžtinio integrlo svbei: neneigimos funkcijos integrls 54

123 r neneigims.... R d. Ki ν turime lim ν ln +ir integrls diver- "!+ " guoj. Ki ν 6 gunme lim ν + Tigi 8 < : R "!+ " ν d lim ; "!+ " ν ki ν< lim "!+ "ν ; ki ν>: lim "!+ ( d diverguoj, ki ν > ν konverguoj, ki ν< ν+ ν + " Trūkiuj u funkciju netiesioginiu integrlu konvergvim glim tirti tip kip ir integrlų su begliniis rėžiis. Tigi be įrodmo pteiksime konvergvimo požmius... TEOREMA. Trkime, kd funkcijos f () ir g() r toldžios, ki [; b), o tšks b r jų ntrosios rūšies trūkis. Jei 6 f () 6 g() 8 [; b) ir integrls g() d konverguoj, ti konverguoj ir integrls f () d. Jei integrls f () d diverguoj, ti R b R b R b integrls g() d irgi diverguoj... TEOREMA. Jei funkcijos f () ir g() funkcijos r toldžiosios f () ir teigimos, ki [; b) ir egzistuoj bigtinė rib lim!b g() R b R >ti integrli f () d b ir g() d rb bu konverguoj, rb bu diverguoj. R b.. APIBRĖŽIMAS. Skome, kd netiesioginis integrls f () d 55 R b

124 R b konverguoj bsoliučii, ki konverguoj integrls jf ()j d. pirmsis integrls konverguoj, o ntrsis diverguoj, skome kd integrls R b f () d konverguoj relitvii. Tigi kip ir nksčiu iš bsoliutus netiesioginio integrlo konvergvimo išpluki jo konvergvims, tčiu netvirkščii. PAVYDŽIAI R 5 cos... Ištirkime integrlo p d konvergvim. Kdngi cos p 6 p ir integrls < ). Tigi integrls..4. R 5 R 5R d p 5R d konverguoj (ν Jei cos p d konverguoj bsoliučii ir todėl konverguoj. +sin + sin d. Įvertinme ( ) ( > > ) ir gu- ( ) nme integrlo divergvim, kdngi diverguoj integrls (ν > ). R d ( ).4. INTEGRALINĖ RODIKLINĖ FINKCIJA IR GAMA FUNKCIJA Ki kurios speciliosios 8 funkcijos bibrėžimos netiesioginiis integrlis. Integrlinė rodiklinė funkcij E n () su prmetru n ; ; ;::: pibrėžim ki > tokiu netiesioginiu integrlu: E n () + e t t n 8 Šios funkcijos r geri ištirtos ir jei pvkst tm tikro uždvinio sprendinį išreikšti speciliomis funkcijomis, glim ir uždvinį likti išspręstu. dt: 56

125 Gm funkcij () pibrėžim Oilerio 9 integrlu () + Pteiksime be įrodmo tokis formules: či fl lim m! + t e t dt; >: n!n () lim n! ( +) ( ; + n) () efl Y h + i e n ; n n m ln m : ::: Oilerio konstnt. Pstebėkime dr, kd 8n ; ;::: (n +) n!. Tigi ki (; ) PAVYDŽIAI.4.. > ssume(n>):int(t^n/ep(t),t..+innit) > int(t^n/ep(t),t..+innit); t n~ dt e t (n~) n~.4.. > restrt:int(t^5/ep(t),t..+innit) > int(t^5/ep(t),t..+innit);.4.. t 5 dt et 9 Leonhrd Euler (77 78) svicrų mtemtiks, mechniks ir ziks. 57

126 > restrt: > Int(t^/((-t)^(/7)*(+t)^(/)),t..) > int(t^/((-t)^(/7)*(+t)^(/)),t..); t ( p t) (7) +t > evlf(%); 4 dt hpergeom([; ]; 78 [ 7 ]; ) 7 :74748 :74748 Hipergeometrinė Guso funkcij hpergeom(; b; c; ) (c > b > ) pibrėžim tip: (c) (b) (c b).5. PRATIMAI t b ( t) c b ( t) dt: Apskičiuokite + R d R ) +4 ; ) Ištirkite integrlų konvergvim + R d 4) p ; 5) (jj +) jj + + R ( +)d 6) ( +) 5p ; +4 R ( +)d 7) p ; 8) d p. +4 d R p ; ) R + R d p. d p + +4 ; ATSAKYMAI ) ß ; ) ; ) ß ; 4) konverguoj; 5) diverguoj; 4 6) konverguoj; 7) diverguoj; 8) konverguoj. Crl Friedrich Guss ( ) vokiečių mtemtiks. 58

127 4. APYTIKSLIS SKAIČIAVIMAS Kiriųjų bei dešiniuj u stčikmpiu formulės. Trpeciju formulė. Prboliu formulė. 4.. TRAPECIJŲ FORMULĖ Trkime, kd turime tkrpos [; b] skidinį < < < i < i < < n b ir integruojmos funkcijos f () reikšmes f ( ); f ( ); ; i f ( i ); ; n f ( n ): Preiklukime, kd tkrp [; b] būtu skidom į vienodo pločio h intervlus: i i h ir sudrkime dvi integrlines sums ff k ff d nx i f ( i ) i h ( n ) ; nx i f ( i ) i h ( n ) : Tigi gunme dvi ptisles formules pibrėžtinim integrlui skičiuoti: b f () d ß ff k ß ff d : Šios formulės r vdinmos kiriuj u ir dešiniuj u stčikmpiu formulėmis. Sudrkime dr vien ptikslę formulę: b f () d ß ff k + ff d : 59

128 Jos geometrinė prsmė r stčikmpiu pkeitims tiesinėmis trpecijomis, kuriu pgrindi r i ir i, o ukštinė lgi h. Tigi turime trpeciju ptikslę formulę pibrėžtinim integrlui skičiuoti: b f () d ß h + n n : PAVYDŽIAI 4... Apskičiuokime ptikslii integrl > restrt:f():ep(^); f() :e ( ) R e d: > with(student):rightsum(f(),..,); > evlf(%); ψ X i e ( i ) : > evlf(rightsum(f(),..,)); :55678 > evlf(rightsum(f(),..,)); :47648! Mtome, kd dešiniuj u stčikmpiu formulė duod ne didesnį kip : tikslumą, nors tkrp [; ] buvo suskidt net į dliu. Kiek geresnį rezultt gusime, tikdmi kiriuj u stčikmpiu bei trpeciju formulę > restrt:f():ep(^); 6

129 > with(student): f() :e ( ) > evlf(trpezoid(f(),..,)); :4977 > evlf(rightsum(f(),..,)); :55678 > evlf(rightsum(f(),..,)); > evlf(trpezoid(f(),..,)); :47648 : PARABOLIŲ FORMULĖ Norėdmi sudrti tikslesnę formulę, pkeiskime funkcij f () prbole ff + + fl, einnči per tškus ( i ; i ), ( i ; i ) ir ( i+ ; i+ ). Glim ptikrinti, kd šio reiškinio koecienti r ff fl, 6. Trkime, kd tkrp [; b] suskidt į lginį intervlų skičių n m. Td glime užršti prboliu rb Simpsono formulę b f () d ß h 6 (( + m )+ +4 ( m )+ + ( m )): PAVYDŽIAI Thoms Simpson (7 76) nglų mtemtiks. 6

130 4..4. Dr krt ptikslii pskičiuokime integrl tikdmi Simpsono formulę. > with(student):f():ep(^): > evlf(simpson(f(),..,)); :456 > evlf(simpson(f(),..,)); :4944 > evlf(simpson(f(),..,)); R e d, :49448 Tigi gunme tikslum : ju ki n. Pstebėkime, kd progrm Mple ptikslii pskičiuoj integrlus ir be jokių nurodmu > restrt:f():ep(^); f() :e ( ) > Int(f(),..)int(f(),..); > evlf(%); e () d e () d :49448 :49448 Pminėkime dr kelis progrmos Mple funkcijs: leftbo, middlebo, rightbo, middlesum Prodkime kip ptikslii kreivinė trpecij keičim centriniis stčikmpiis. > restrt:with(student):f():ep(^); f() :e ( ) > middlebo(f(),..,); 6

131 6

132 KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS. Aibės plokštumoje ir erdvėje Visų sutvrktų reliųjų skičių rinkinių (,,, n) ibė žmim R n. Kiekviens toks rinkins P(,,, n ) vdinms erdvės R n tšku, o i i -tąj tško P koordinte. pibrėžims. Atstumu trp dviejų tškų P (,,, ) irp (,,, ) n n vdinms skičius ρ(p, P ) () ρ ( P, ) (( ) ( )... ( ) P n n Ki n iš () formulės gunme, kd ρ ( P, P ) (( ) t.. tstumą trp dviejų tškų tiesėje. Ki n rb n, gunme žinoms tstumo trp tškų plokštumoje ir erdvėje (R³) formules. Tigi () formulė r ntūrlus šių formulių pibendrinims n mčim tvejui (ki n>). pibrėžims. Tško Po R³ ε plink vdinm visų tškų ibės D ribiniu tšku, jei kiekvienje jo E-plinkoje r ibės D tškų, P R³ tenkinnčių nelgbę ρ(p, P) < ε ibė. Tigi, ki n tško Po(o) ε plink r intervls (º-ε, º+ε). Ki n tško Po(º, º ) ε plink r skrituls su centru tške Po ir spinduliu ε: (, ): ( -º )²+( -º )²< ε². Ki n vietoje skritulio gunme rutulį: (,, ): ( -º )²+( -º )²+( -º )< ε². pibrėžims. Trkime, kd ibė D R^n. Tšką Po D, vdinme ibės D ribiniu tšku, nesutmpnčiu su Po. P R³ tenkinnčių nelgbę ρ(p, P) < ε ibė D vdinm uždrąj ibe, jei ji prikluso visi jos ribinii tški. D vdinme tvirąją ibę, jei krtu su kiekvienu tšku Po ji prikluso ir tm tikr tško P ε plink. Aibę vdinme jungiąj, jei bet kuriuos jos du tškus glime sujungti lužte, sudrt tik iš tos ibės tškų. Atvirąją jungiąją ibę vdinme sritimi. Aibę vdinme prėžtąj, jei ji prikluso tm tikri tško O (O,...,O) plinki. Dviejų kintmųjų (, ) ibę žmėsimė G, či (, ) r reliųjų skičių poros. Kdngi kiekvieną skičių porą (,) glim pvizduoti plokštumos tšku, kurio bscisė r, o ordintė, ti ibės G elementus - skičių pors(,) džni vdinme tškis. Visus ibės G elementus pvizdvę plokštumos tškis, gunme tm tikrą gūrą, kurią krtis irgi vdinme ibe G. 4 pibrėžims. Tisklė f, pgl kurią kiekvienm ibės D tškui (,,...,n) priskirims viens relusis skičius U, vdinm n kintmųjų funkcij Uf(,,...,n). Aibe D vdinm tos funkcijos pibrėžimo sritimi, o ibė E{U R uf(,,..., n )} jos rikšmių ibė,

133 D C R n, E C R¹. Dviejų kintmųjų funkcij zf(,) gunm, ki skičius z priskirims plokštumos tškui (,), o jos ibė G, kuri r dlis D ibės rb: (, ) (,) D G zf(,)d Trijų kintmųjų funkcij Uf(,,z) gunm, ki skičius U priskirims erdvės R³ tškui (,,z) D. 5 pibrėžims. Atitiktis f, kuri kiekvienm ibės G elementui skičių pori (,) priskirims viens ir tik viens ibės skičius z vdinm dviejų kintmųjų ( ir ) funkcij ir žmim simboliu zf(,). Tokiu tveju ibė G vdinm dviejų kintmųjų funkcijos zf(,) pibrėžimo sritimi, o kintmieji ir tos funkcijos rgumentis. Krtis skom, kd titiktis zf(,) r ibės G vizduotė ibėje. Su dviejų kintmųjų funkcijomis susidurime, spręsdmi pprsčiusius mtemtikos uždvinius. pvzds. Skkime, kd stčikmpio krštinių ilgii žmimi ridėmis ir, o įstrižinės ilgis ridė. Žinodmi kintmųjų ir reikšmes pgl formulę: + Ti dviejų kintmųjų funkcij zf(,), pgl kurią glim pskičiuoti kintmojo z reikšmę. Ti reiški, kd či kiekvieną teigimų skičių porą (,) titink viens skičius z. pvzds. ) Trikmpis S A B Duot: pgrinds, ukštis. Trikmpio plots r dviejų kintmųjų ir funkcij S. ) Imme kūgį V½ π ², či(,) tūrio V kintmieji ddžii Tūris V r spindulio ir ukščio funkcij. )Stčikmpis kūbs

134 Vz Tūris r trijų kintmųjų funkcij Vf(,,z) Kintmsis ddis vdinms dviejų kintmųjų ir funkcij, jeigu kiekvieni pori skičių (,), pimtų iš tm tikros ibės titinkmu dėsniu titink kintmojo ddžio reikšmė (,). Kintmieji ir vdinmi nepriklusomisiis kintmisiis rb rgumentis. vdinme priklusomuoju kintmuoju rb dviejų kintmųjų ir funkcij f(;), f funkcijos chrkteristik. pvzds. Duot: ²+². Rsti:, ki ir. (,) ²+² ²+ ²+. Bendru tveju žmim: f(, ) rb (, ). M(,) ti tm tikrs tšks plokštumoje.. Dviejų kintmųjų ddžių funkcijos pibrėžimo sritis ir geometrinis interpretvims Apibrėžims. Dviejų kintmųjų ddžių pibrėžimo sritimi vdinme visų dviejų porų kintmųjų ddžių ir funkcinės priklusombės visumą, kuriems funkcij gli turėti vieną rb keletą reliųjų reikšmių. Geometrinis pibrėžims. Dviejų kintmųjų funkcijos f(,) pibrėžimo sritis r visų plokštumos P(, ) tškų visum, kurioms esnt funkcij r pibrėžt. Pvzdžii.. )Rsti funkcijos pibrėžimo sritį: +-5, Ki nusttt reikšmė, ti - <<+ ; Apibrėžimo sritis. - <<+. Geometrinis interpretvims bet koks tšks plokštumoje. - -

135 - -. ) ; Funkcij r pibrėžt, jeigu, 4- rb - +; Geometrinis interpretvims Apibrėžimo sritis r stčikmpio plots. Jeigu pibrėžimo rib įein į pibrėžimo egzistvimo sritį, ti sritis vdinm uždr (. pvzdžio sritis r uždr). Jeigu rib neįein į pibrėžimo sritį, ti ji vdinm tvir..) z, Funkcij z pibrėžt, jeigu R R - - >, rb, ki + <R Geometrinis interpretvims. Apibrėžimo sritis pskritimo vidus, ki ir < R.

136 .4) z +, Funkcijj z pibrėžt visoje skičių ir sritje, išskrus tškus, ki -, t.., tiesė Geometrinis interpretvims vis plokštum, išskrus tiesę, ki. Apibrėžims. Kintmsis vdinms n kintmųjų (,,, n) funkcij, jeigu tm tikroje ibėje pgl priimtus dėsningumus titink vien rb n kintmosios reikšmių. Trijų kintmūjų funkcij Uf(,, z) rb f(,, ); M(,, z); U f(, z) erdvės funkcij R..5) pvzds. Rsti funkcijos U pibrėžimo sritį: U R ; Funkcij pibrėžt, ki R -. Ti rutulio vidus ir pviršius: + + R

137 .. Dviejų kintmųjų funkcijų grks Tegul funkcij z f(,) pibrėžt plokštumoje P(,). Ngrinėsime stčikmpę koordinčių sistemą,. Tegul P (, ) є D, či є- priklusomumo ženkls. Apskičiuojme funkcijos reikšmę tške Po(,, z ) zo f (Po) f (, ) Ti erdvės tšks M (,, z ). Visų tokių tškų M(,, z) ibė sudro pviršių zf(,,z). Brižome (,,) koordinčių sistemoje tm tikrą plotą S: zf(,) (. pv.) Šio ploto S bet kurio tško P(,,z) projekcij plokštumoje bus tšks M(, ).. pv. Projekcijų vizdvims R. Dekrto (,,z) koordinčių sistemoje.. Tško plokštumoje plink Tegul P (, ) - r plokštumos tšks. Tegul δ> teigims skičius. Skritulio su centru ir spinduliu vidus r vdinms tško P (, ) δ plink. Plokštumos tškų P(,) visum, kurių tstums nuo tško P (, ) mžiu δ vdinms tško Po δ plink. ρ - )²+(- )², ki ρ<δ. Ir tip, ti tško plinkos δ užršs. (- ) +(- ) < δ.. Dviejų kintmųjų funkcijos ribos smprt Apibrėžims. Skičius A vdinms funkcijos z f(, ) rib, ki o ir o, jeigu bet kokim ε> glim rsti tokį teigimą skičių δ>, kd visiems tškms P(, ), pžmėtų nuo tško P (, ) ir δ plinks

138 t.. tenkinnčios nelgbę ((- )²+(- )²) > δ r tenkinm nelgbė: f (, )-A <ε Absoliutinė funkcijos f(,)reikšmė timt iš A r mžiu ε. Trkime, kd funkcij f : D E pibrėžt tško M ( ; ) Є D plinkoje, išskrus gl būt ptį tšką M. Sąlgą ršome: lim f (, ) A rb f(, ) A, ki o ir o. Arb: f (P) A; P (, ) P ( ; ). lim f(, ) A, lim f (, ) A, M Mo (,) (, ) Tikdmi loginius ženklus, šį pibrežimą užršome tip: lim f (, ) A ε >, δ > : M Mo M Є δ (M ) \ M (f (M) - A) < ε.. pvzds lim ( 5 + ³) sumos rib lgi ribų sumi, * 5* +³ Dviejų kintmųjų funkcijų dlinės išvestinės Pgl pibrėžimą dviejų kintmųjų funkcijos išvestinė pgl lgi: X lim X lim f (, ) f (. ) Anlogiški ir pgl, či (,+ ) f(p )-f(p); f(,+ )-f(,)-sntkinis prieuglis. Ζ Υ lim Υ Υ Υ Ζ f (, + ) Υ f (, ) lim. Dlinių išvestinių geometrinis interpretvims Piešime erdvėje stčikmpę koordinčių sistemą. Brižome f(,) rb zf(,) grką. Tegul tšks Po(,) prikluso egzistvimo sričii. Išvd: dviejų kintmųjų išvestinė skitiški lgi liestinės į plokštumą kmpo tngentui

139 4. pv. Dlinių išvestinių geometrinis interpretvims Geometriški z f(, ) reiški kreivę L, kurią iš pviršius z f(, ) iškert plokštum (4. pv.). Remintis vieno kintmojo funkcijos išvestinės geometrine prsme, z(m )/ reikšmė lgi tngentui kmpo α, kurį kreivės L liestinė, nubrėžt tške P (,, f(, )) sudro su tiese, lgigreči O šii. Anlogiški z(mo)/ reikšmė lgi tngentui kmpo β, kurį kreivės l : z f(, ) liestine, nubrėžt tškep o sudro su tiese, lgigreči O šii. 5. Kelių kintmųjų funkcijų diferencijvims Dlinės išvestinės Trkime, kd sritje D pibrėžt dviejų kintmųjų funkcij zf(,), tšks M ( ; ) D. Fiksuokime kintmojo reikšmę, trdmi, kd. Tuomet funkcij zf(, ) bus vieno kintmojo funkcij. Apskičiuojme, šios funkcijos poktį, kuris tsirnd dėl rgumento pokčio. Jį pžmėsime ir vdinme dliniu funkcijos pokčiu. Tigi f( +, )-f(, ). Anlogiški pibrėžime poktį f(, + )-f(, ). Poktis, kuris tsirnd, pkitus biem rgumentms ir, vdinms pilnuoju ir žmims. Tigi f( +, + )-f(, ). Bendru tveju +. Pvzdžiui,ki,ti (+ )-, (+ )- ir (+ )(+ ) Tigi šime pvzdje + +,todėl +. Kdngi funkcij (,o) r vieno kintmojo funkcij,ti glim klbėti pie šios funkcijos diferencijvimą kintmojo tžvilgiu, ki kits rguments ksuots. Tip gut funkcijos

140 z išvestinė vdinm dline kintmojo tžvilgiu ir žmim. Pgl išvestinės pibrėžimą ji lgi ribi lim Ζ f ( + Χ, Υ ) f (, ) Χ lim, Χ jei ši rib egzistuoj ir r bigtinė. Anlogiški: Υ lim Ζ f ( + Χ, Υ ) f (, ) Χ lim. Υ Glim vrtoti ir tokius žmėjimus:,, f (, ). Ki duot trijų kintmųjų funkcij u u u Uf(,,z), ti ngrinėjme tokis dlines išvestines,,. Pirmoji jų gunm trus, z kd ksuoti kintmieji ir z, ntroji ki ksuoti ir z, o trečioji ki ksuoti ir. Iš to išku, kd dlinė išvestinė pskičiuojm tip pt, kip ir pprst išvestinė, nes kiti kintmieji likomi konstntomis. z 5.) Pvzds. Rskime funkcijos u dlines išvestines jos pibrėžimo sritje. Sprendims. u z z u z u, ln * z, ln * *ln. Χ z Pirmoji šių išvestinių pskičiuot, kip lipsninės funkcijos, o kitos dvi kip rodiklinių funkcijų, nes funkcij u kintmojo tžvilgiu r lipsninė, o kintmųjų u z tžvilgiu rodiklinė. z Išsiiškinkime dlinių išvestinių geometrinę prsmę. Apskičiuodmi išvestinę, trime, kd. Geometriški ti reiški, kd pviršius z f(,) kertms plokštumą. Ši plokštum iš pviršius z f(,) iškert kreivę z f(, ) esnčią plokštumoje lgigrečioje plokštumi z. Remdmiesi vieno kintmojo funkcijos išvestinės geometrine prsme glime tvirtinti, z kd dlinės išvestinės reikšmė pskičiuot tške M, bus lgi kmpo α tngentui, kuri z( M ) kreivės z f(, ) liestinė T sudro su tiese II šii. Anlogiški bus lgi kmpo z tngentui, kurį kreivės z (, ) (4. pv.) lgigreti šii. 6.. Pilnsis funkcijos poktis Koks ršs trp pilnojo pokčio Ζ f ( +, + ) f(, ) ir funkcijos z f (,) Ζ Ζ dlinėmis išvestinėmis ir, ki pstrosios egzistuoj tško Po(, ) plinkoje ir Χ r toldžios tške Po. Prinkime tšką ( +, + ) tip, kd jis priklustų minėti plinki ir sudrkime funkcijos pilnąjį poktį Ζ f ( +, + )- f (, ). Po to prie Ζ išriškos pridėkime ir timkime reikšmes f (, + ). Tuomet

141 Ζf( +, + )- f(, + ) + f(, + ) - f (, ). Reiškinį f (, + ) - f (, ) glim trktuoti, kip vieno kintmojo funkcijos f (, ) dviejų reikšmių skirtumą,nes kintmsis o r ksuots. Šim skirtumui tikome Lgržo formulę f(, + ) - f(, ) f / (, )( + - ) či < < +. Anlogiški tikome Lgrnžo formulę ir skirtumui f ( +, + )- f (, + ), tčiu šį krtą ksuots kintmsis +. Gunme f( +, + )- f(, + ) f / ( X, + )( + - ), X či < + ir t.t. Išvd : Ζ Ζ Χ Ζ + + Σ ρ, či ρ + Σ ρ Kdngi lim lim Σ, ti Σ ρ / ρ ). ρ ρ ρ Pilnsis poktis : Ζ ' + ' X Y + / ρ ). Tigi, z dz +θ (ρ) t.. pilnsis diferencilsr pilnojo pokčio pgrindinė (tiesinė) dlis. 6.. Diferencijvimo tisklė Norint rsti funkcijos f(,) pgl kintmąjį rsti dlinę išvestinę Ζ pgl kintmąjį užtenk šią funkciją diferencijuoti kip vieno kintmojo funkciją, liknt kitą kintmąjį Ζ konstnt ir pnšii tip pt ir, liknt -const. 6. pvzds Duot: rctg Rsti: z z ) ) Sprendims ' z ) rctg const. + + ' z ) rctg const 7.. Dviejų kintmųjų pilnsis funkcijos poktis ' ( ) ( ) + +.

142 Turime funkciją sritje (D) f (, ) ; P( ) D,. + P ( + ; + ) P D + Suteiksime biesiems rgumentms pokčius ir. (P perein į P ). Funkcij įgun poktį, kuris vdinms pilnuoju funkcijos pokčiu. Funkcijos reikšmė z f ( P ) f ( P) Pilnojo funkcijos pokčio formulė: ( +, + ) f ( ) z f, 7. pvzds Duot: z π, ki ir >, (ti kūgio formulė). Rsti: z; z; z. Sprendims zf(+,)-f(,) z/π(+ )²-/π² /π[²+ +( )²-²]/π[ +( )²]

143 ) Geometrinis interpretvims - kūgis ti pgrindo ploto poktis, ki kint kūgio pgrindo plots rb kūgio pgrindo spinduls; ) zf(,+ )-f(,) /π²(+ )-/π² /π²( )/π². + δ Geometrinis interpretvims - kūgio ukščio poktis nuo iki +, ki kint kūgio ukštis ) Ieškome pilnojo funkcijos pokčio: f(+,+ )-f(,)/π(+ )²(+ )-/π² /π[(²+ +( )²)(+ )-²] /π[² ()²+( )² ] ) Geometrinis interpretvims - ti kūgis, kurio ukštis ir spinduls kint: +, +, 7.. Pilnojo funkcijos pokčio reikšmė per rgumento poktį Tirime funkciją. Tikome įprstą mtemtikoje reiškinių pertvrkmo metodą: Glim prodti, kd poktis prikluso nuo rgumento pokčio, jeigu timti ir pridėti: f(, + )-f(, + ) f(+, + )-f(,)[f(+, + )-f(,+ )] +[f(,+ )-f(,)] I - funkcij tirim, kip funkcij nuo, o II -funkcij tirim, kip funkcij nuo.

144 Tikome Lgrnžo formulę: f(+ )-f()f(b)-f()(b-)f (c) ( či c+θ ) f (+θ,+ ) +f (,+θ ), či <θ < <θ < Dr krtą suprstinkime: tegul ir ir +θ,, +θ Skkime, kd funkcij f(,) turi dlinę išvestinę tške P (,) ) f (,) ir ) f (,). Dėl dlinių išvestinių toldumo turime: f (+θ,,+ )f (,)+α, či α,,. Anlogišk ir kiti funkciji: )f (,+θ )f (,)+β, či β, ki ir. Išvestines f (,) ir f (,) įsttome į (A) lgbę ir gunme f (,) +f (,) +α +β Ti funkcijos poktis per rgumentus ir. (B) Teorem. Jeigu funkcij z,) turi toldžis dlines išvestines tške P(,) ir jo tm tikroje plinkoje, ti funkcijos pilnąjį poktį glim išreikšti per rgumentų pokčius titinkmi pgl (B) formulę. Apibrėžims. Funkcij f(,) vdinm diferencijuojm tške P(,), jeigu jos pilnsis poktis šime tške glim išreikšti formule: f (,) +f (,) +α +β. Funkcijos diferencijvims ekvivlentus trims reiklvimms:. Funkcij f(,) tške P(,) turi dlines išvestines rb egzistuoj dlinės išvestinės: f (,) ir f (,);. Dlinės išvestinės r toldžiosios funkcijos tške P(,). 8. Dviejų kintmųjų funkcijų pilnsis diferencils ir jo pgrindinės svbės Pilnsis funkcijos diferencils r užršoms d z f `(, )* + f `(, )* d (z) + d (z) (8.) d z - dlinis) funkcijos diferencils. d z f `(, )*. d z - tskirsis (dlinis) funkcijos diferencils.

145 d z f `(, )*. Apibrėžims. Pilnsis diferencils lgus dlinių diferencilų sumi : d z d z + d z (8.) Ši formulė teising bet kokiems prieuglims ir. Tikome formulę (8.) funkciji z. Ti teising, ki d z * rb d. Anlogiški: d. Vdinsi, nepriklusomųjų kintmųjų pilnieji diferencili r jų rgumentų lisvieji pokčii. Todėl formulę I glime pršti ir tip: d z f `(, ) d + f `(, ) d (8.) Funkcijos pilnsis diferencils r keturių rgumentų keturių kintmųjų funkcij:. ;. ;. ; 4., t.. d z φ (,,, ) Funkcijos pilnsis diferencils prikluso nuo diferencilų rgumentų tiesiški. Išreiškime funkcijos pilnjį poktį per pilnųjų diferencilą: z dz + α* + β*. Tegul ir. Td α* ir β*. dz. Sudedmieji α* ir β* r nkstmieji ukštesnės eilės negu ir, todėl šioje funkcijoje z dz. Funkcijos pilnsis diferencils r funkcijos pilnojo pokčio pgrindinė dlis, ki ir. 9. Pilnojo diferencilo tikms ptikslims skičivimms Tikms pgrįsts ptikre lgbe: z d z. (9.) Pgl (9.) formulę sprendžimi tokie uždvinii: 9.. Sursti ptikslii dviejų kintmųjų ddžių funkcijos pilnjį poktį, žinnt f(, ); ir. Formulę (9.) užršome tip: f( +, + ) f(, ) + d z. (9.) Pgl formulę (9.) glim sursti funkcijos tskirąsis reikšmes. 9. pvzds. Apskičiuoti ptikslii skičių,, 4. Sprendims f( +, + ) f(, ) + f `(, )* + f `(, )* či *. Pršome funkciją f(, ). f `(, ) * - ; f `(, ) * ln. Formulę (9.) prškime šii funkciji: ( + ) + + * - * + * ln *.(9.) Tegul:,.,,.4, nes., o.4. Įsttę į (9.), gunme:

146 ,, 4 + **,,4. Logritmų lentelės būdu rndme tiksliu:,, 4,8. Nudodmi kompiuterinį pketą Mple6 gunme tiksliusii. Pklid., o sntkinė pklid δ./.8.5, t...5 % t.. Pklid mž nes pie %. 9.. pvzds. f( +, + ) f(, ) + f `(, )* +f `(, )*. Apskičiuokime ptikslii ( ),5 Sprendims. Pžmėkime f (, ) + Tuomet ieškomoji reikšmė bus (6,; 7,96) Prinkime 6, 8, tuomet., -.4 ir f(, ) (6 + 64),5. Rndme f ` **/(*( + ),5 / ( + ),5, f ` /( + ),5, t.. f `(, ) 6/(6 + 64) /.6 ir f `(, ) 8/(6 + 64) /.8. Tikome ptikslę formulę f(, ) + f `(, )* + f`(, )* +.6*. +.8*(-.4) 9.98 Prodsime, kd pilnsis diferencils tikoms, įvertinnt pklids. Trkime, kd ddis u r kintmųjų ir funkcij: u f(, ). Jeigu, mtuodmi ir, drome pklids ir, ti funkcijos u reikšmė bus pskičiuot su pklid u f( +, + ) f(, ). Ki pklidos ir r pknkmi mžos, ti u du, todėl u (df/d)* + (df/d)*, o bsoliučioji pklid u (df/d)* + (df/d)* df/d * + df/d *. Mksimlis bsoliučisis pklids pžmėkime *, o ddžio u - *u. Tuomet: *u df/d * * + df/d * * Sntkinė pklid δ /, o mksimli sntkinė pklid δ* * /. *u *ln f.. Dviejų kintmujų ddžių sudėtinės funkcijos diferencijvims Funkcij vdinm ir kintmųjų sudėtine funkcij, jeigu ji duodm formule: f(u,v), či uu(,) ir vv(,) (.) Či ir nepriklusomieji kintmieji,u ir v trpinii rgumenti.trpinio rgumento skičius gli būti bet koks. Įsttome šis reikšmes ir gunme: f[u(,),v(,)] (.) Funkcij, kuri prikluso nuo sudėtinių rgumentų vdinm sudėtine funkcij.. pvzds.

147 + ze, či u + ir v td, e (u/v) rb, jeigu u(²+²)/,ti e Reiki rsti dlines išvestines: Funkcij ir Funkcijos ir V r svo rgumentų toldžiosios diferencuojmosios funkcijos. Nepriklusomjm pokčiui duosime poktį,o pliksime be pkitimo. Td U ir V gus dlinius pokčius: u ir v Funkcij įgs poktį - ; f[u,v], f u(u,v) U+ f v(u,v) v+ά U+β V ά > ir β >, ki > ir > Pgl pibrežimą turime: lim ² > lim [ f u(u,v) U + f v(u,v) +ά V + > +β V ] U Ir tip gunme: f u(u,v) U + f v(u,v) V Arb trumpiu rndme ir tskirs išvestines: + ** du + * V *** U υ V sumi. Pvzds * du + * V U V Išvd: dviejų kintmųjų sudėtinių funkcijų tskiroji išvestinė lgi tskirųjų išvestinių +

148 Duot: e R. ir Sprendims Nudojmės sudėtinės funkcijos diferencijvimo tiskle: u e, či U + ; V; u U e * ; ;, e * u(- υ ); v V u U U ; ; v ; V. Y Tikome formulę: U U v U * + V * u u u * e * - *e ***e ( - ) u v + { u + }e [ - ] v + ( + ) e * ( - ). u u U dv * * + * e * - *e * U v d v u u + e * [- ( + ) + *] ((( - ). e Sprendžint uždvinius buvo tikoms Mple 6 ( prieds).

149 . Sudėtinės funkcijos pilnoji išvestinė Ti funkcij f(u,v), či uu(); vv(); - r sudėtinė funkcij f(). Funkcijos priklusombė turi rgumentus u ir v. f[u();v()] Glim rsti pprstą išvestinę Šią išvestinę rsime, nudodmi sudetines funkcijos diferencivimo tisklę: * U + * V *** U V Užršsime lgtį *** d d + du + + * dv * **** U d V d. pvzds. Duot: sin Rsti: dz/d Sprendims. Pžmėkime: U v, Či U, vsin; d d du dv du * d + dv * d vu v- *+U v * lnu * cos; Įvesime U ir Vsin ir gusime: d d sin * sin- + sin *ln * cos sin- νν [sin+ * ln * cos]. Ats. Pritiksime I ir II formules. Pirmiusi rndme dlines išvestines U ; U V V U V U U V ; U V V V U V

150 U ( )', V, U, V Tuomet V U U V V U U V U V, Įršę jų išrišks į * formulę, gunme d U V U + V d U V + + U V d /sugrupvę/ U U d U d V V d V d. Bet U U V V ( d + d) du, ( d + d) dv Tuomet r f(,) r f(u,v), vis tiek diferencilo reikšmė r vienod ir lgi: d U du + V dv Išvd: pilnojo diferencilo išrišk neprikluso kokio r nepriklusomojo kintmojo.. Aukštesniųjų eilių išvestinės Funkcijos f (,) dlinės išvestinės ir r nujos kintmųjų ir funkcijos, kurios irgi gli turėti dlines išvestinesto pties rb kito rgumento tžvilgiu. Jos bus prdinės funkcijos f (,) ntrosios eilės išvestinės (rb ntrosios dlinės išvestinės). Jei pimoji išvestinė buvo rst rgumento rb tžvilgiu, ti jos išvestinės ir tžvilgiu žmimos tip:,,,, rb titinkmi '', '', '', ''. Anlogiški pibrėžimos trečios, ketvirtos ir t.t. eilės išvestinės. Išvestinės skirtingų kintmųjų tžvilgiu vdinmos mišriosiomis. f f f f ;.... pvzds. Rsti I ir II lgio išvestines funkciji f(,) ³²-³-+. Sprendims. Nudodmiesi diferencivimo tiskle, gunme:

151 f/ / (³² - ³ - + ) / (³² ) - / (³) - / () + / ² ( / ) ³ - ³ / - / + ² ² - ³ -; f/ / (³²-³ - +) / (³²) - / (³) - / () + / ³( / ) ² - ( / ) ³ - / + ³ 9² - ; ² f/ ² / ( f/ ) / (² ² - ³ - ) ² ( / ) ² - ( / ) ³ - / 6² 6²; ²f/ ² / ( f/ ) / (³ 9² - ) / (³) - / (9²) ( / ) ³( / )9( / ) ² - ³ - 8; ²f/ / ( f/ ) / (³ 9² - ) / (³) / (9²) ( / ) ( / ) ³- 9² ( / ) 6² 9² - ; ²f/ / ( f/ ) / (² ² -³ -) / (²²) / (³) ( / ) ²( / )² -( / ) ³ - 6² 9 Skičiuojnt mišriąsis išvestines jų reikšmės formlii prikluso nuo to, kokiu nuoseklumu tliekms funkcijos diferencivims. Bet, jeigu bi mišriosios išvestinės toldžios, ti jos sutmp. Jei funkcijos z f(,) mišriosios išvestinės r toldžios,ti jos r lgios ²f/ ²f/. Jei tško M ( ; ) plinkoje egzistuoj funkcijos z f(,) dlinės išvestinės f, f, f ir f, o jos mišriosios išvestinės f ir f dr ir toldžios tške M ( ; ) ti tme tške f f. Išvd: jei mišrios išvestinės r toldžios ti jos r lgios n f k ir nf n k n k k. Aukštesnių eilių diferencili Trkime, kd f-j f (,) turi toldžis ukštesniųjų eilių dlines išvestines. Tuomet jos Pirmsis diferencils d ( / ) d + ( / )d r nuj kintmųjų ir f-j, nes d ir d, kip nepriklusomų kintmųjų ir pokčii, r pstovūs. Vdinsi, glim ngrinėti šios nujos f- jos diferencilą. Kitip trint, f-jos diferencilo d pilnąjį diferencilą d(d), kurį vdinme ukštesniosios eilės diferencilu (rb tiesiog ntruoju diferencilu ). Jis žmims d² d (d). Ieškodmi d², psinudosime ( * ) formule, tik įršdmi joje vietoj reiškinį d: d² d(d) / ( d) d + ( / ) (d) d / (( d/ )d + ( / ) d)d + + / (( / )d + ( ²/ ²)d)d. Pžmėję d d (d)² d², d d d², glutini turime:

152 d² ( ²/ ²) d² + ( ²/ )d d + ( ²/ ²) d² Pirmąjį diferencilą simboliški užršome šitip: d (( / ) d + ( / ) d). Tuomet ntrąjį diferencilą, trtum iškėlę už skliustų, simboliški glime pršti tip: d (( / )d + ( / )d)². Tęsdmi toliu, indukcijos metodu glėtume įrodti, kd d^n d(d^n- ) (( / ) d + ( / )d)^n. Pvz.: d³ (( / )d + ( / )d)³ (( ³/ ³) d³ + ( ³/ ² )d² d + + ( ³/ ²) dd³ + ( ³/ ³)d³) ( ³/ ³)d³ + ( ³/ ² )d² d + + ( ³/ ²) d d² + ( ³/ ³)d³ Dbr išngrinėkime sudėtinės funkcijos f (,), (u,v), (u,v) ntrąjį diferencilą. Žinome, kd ir šį krtą pirmsis diferncils dėl formos invrintiškumo svbės turi išrišką d ( / )d + ( / )d, tčiu dbr d ird nėr pstovūs, o prikluso nuo u ir v, todėl reiškinius ( / )d ir ( / )d turime diferencijuoti kip sndugs. Tuomet d² d(d) d( / )d + ( / ) d(d) + d( / )d + ( / )d(d) ( ²/ ²)d² + ( ²/ )d d + ( / )d² + ( ²/ d) d d + + ( ² / ²)d² + ( / )d² (( / )d + ( / )d)² + ( / )d² + + ( / )d². Plginkime šią d² išrišką su d² (( / )d + ( / )d)² mtome, kd ntrsis diferencils formos inventiškumo ju neturi svbės. Aišku, kd su išvd teising ir ukštesniųjų eilės diferencilų. 4. Neišreikštinės funkcijos diferencivims Ngrinėjme dviejų kintmųjų funkciją F (,). F(,) pibrėži t.t. kreivę plokštumoje, jei f(), o ti F(,()). Koki turi būti funkcij F, kd vienreikšmiški glėtume iš F(,), rsti f()? Ti neišreikštinės funkcijos teorem (be įrodmų ) Teorem. Trkime, funkcij F (,) ir diferencili-f, F toldžios t. tško (, ) plinkoje Jei F (o,o) ir F (o, o), ki f-jos toldžios tško o plinkoje. Neišreikštinės funkcijos diferencivims susided iš tokio nuoseklumo. Jeigu F(o,o) ir f(), ti F(,f()) diferencijuojme bipus F + F d/d d/d - F /F 4. pvzds. Duot: cos(+) + ; Rsti : /. Sprendims. Či F(,) cos (+)+; F/ f - sin(+), F/ F -sin(+) + td / - ( F/ )/( F/ ) (sin(+) )/(-sin(+)). Ats.: 4. pvzds. Duot: F(,) e^² +^²

153 Rsti: /? Sprendims. Formulė / - F /F; F (e^² - ^²) e^² + e ^² F (e^² - ²) e^² + e ^², todėl / - (e^² + e^²)/(e^²+ +e^²) Ats. 5. Dviejų kintmųjų funkcijų f(,) funkcijos Teiloro formulė Trkime, kd funkcij f(,) pibrėžt tm tikroje tško M (, ) ε plinkoje ir joje turi toldžis dlines išvestines iki n+ eilės imtini. Tšks M( o +,o + ) prikluso Mo ε plinki. Tškus M ir M sujungi tkrp M M. Prmetrinės lgts: o + t, o + t, t [,] Įršę ir į funkciją f(,) gunme vieno kintmojo t sudėtinę funkciją. f (o +, o + t ) F(t), kurios poktis f(o +, o + ) f (o,o) F() F (); Funkcij r -ji k-ji funkcij ir turi n + išvestinę. Ją glime išreikšti Mkloreno formule F(t) F()+ (F () /!)t+(f ()/!)t²+ +(F²/n!)t^n+(F^n/n+)t^n+ Teiloro formulė su Lgrnžo formos liekmuoju nriu: f(o+,o+ )-f(o,o) f(o,o)/!+ ²f(o,o)/!+ + ^nf(o,o)/n!+ + ^n+f(o+(-),o+(-) )/(n+)! Θ Є(;) 5. pvzds. Duot: rctg -/+; Išreikšti funkciją Teiloro formule tško(;) plinkoje psiribodmi ^-s eilės diferencilu. Sprendims. rctg -/+ rctg -rctg ; Ti f/ f /+², f/ f -/+²; Todėl f(;)/, f (;)/ - td ²f/ ² -/(+²)²; ²f/, ²f/ ² (+²)², todėl ²f(;)/ ², ²f (;)/ ², ³f/ ³ (² - )/(+²)³, ³f (;)/ ², ³f(;)/ ², ³f/ ³ (-²)/(+²)^4, ³f (;)/ ³ -, ³f(;)/ ³, rctg -/+, --+/!(-³+³)+R4 (,) --/(³-³)R4(,); či R4(,) liekmsis nrs. prieds > Keleto kintmųjų funkcijos >.. zsqrt(^+^); >.. S/**; >.. V/*Pi*^*; >.4. V**z; >.5. vf(,,z,t);

154 > Funkcijų pibrėžimo sritis >..Pvzds > f:z->*+*-5; f : z + 5 > Išvd: bet koks tšks plokštumoje >..Pvzds > f:z->sqrt(4-^)+sqrt(5-^); f : z > (4-^)> ir (5-^)> rb -<<+ ir -5<<+5; >..Pvzds > f:z/sqrt(r^-^-^); f : z R > rb ^+^<R^; Išvd: pibrėžimo sritis - pskritimo vidus, ki ir < R. >.4.Pvzds > f:z->(^+*^-)/(-); f : z + > ci - nelgu > Isv.: pibrezimo sritis - vis plokštum, išskrus įstrižą juostelę, ki. >.5.Pvzds > f:u->sqrt(r^-^-^-z^); f : U R z > Išvd: funkcij u pibrežt, ki R^-^-^-z^> ir, ki R^>^+^+z^>; > Apibrėžimo sritis - rutulio ir vidus ir pviršius, kurio centrs ir spinduls R. > -jų kintmųjų funkcijos ribos smprt > Duot: f(,)(^*^)/(^4+^4); > Ki k*, ti > limit(^*^)/(^4+^4),m)limit(^*k^*^)/(^4+k^4*^4), ); > f:z->(^*k^*^)/(^4+k^4*^4); f : z 4 k 4 + k 4 4 > Limit(z(),)limit(z(),); z( ) z( ) lim > Kelių kintmųjų funkcijų diferencijvims > f:u->(^)^z; f : u ( ) z > Diff(f(u),)diff(f(u),);

155 ( ) z ( ) z z > Diff(f(u),)diff(f(u),); ( ) z ( ) z z ln( ) > Diff(f(u),z)diff(f(),z); z ( ) z ( ) z ln( ) > diff(z(,),)tn(lph); z (, ) tn( α ) > diff(z(,),)tn(bet); z (, ) tn( β ) > Pilnsis funkcijos poktis > f:zrctn(/); f : z rctn > diff(z(,),); z (, ) > Diff(rctn(/),)diff(rctn(/),); rctn + > Diff(rctn(/),)diff(rctn(/),); rctn + > -jų kintmųjų funkcijų pilnsis diferencils > Deltzdz+lph*Delt+bet*Delt; > (,)^(,4); (, ) (, 4) > f:u->(,)^(,4); (, 4) f : u (, ) > Sudėtinių funkcijų išvestinės > zu^*v^+u+; u^+^; vep(+)+; > f:z->(^+^)^*(ep(+)+)^+(^+^)+; > diff(f(,),); e ( + ) f : z ( + ) ( + ) + + +

156 e ( + ) 6( + ) ( + ) > diff(f(,),); e ( + ) 6( + ) ( + ) + ( + ) ( e ( + ) + ) e ( + ) + + ( + ) ( e ( + ) + ) e ( + ) + > zln(u^+v); uep(+^); v^+; > Rsti: diff(z(u,v), ) > f:z->ln(u^+v); f : z ln ( u + v ) > Diff(f(u,v),u)diff(f(u,v),u); ln ( u + v) u > Diff(f(u,v),v)diff(f(u,v),v); ln ( u + v) v > f:u->ep(+^); u u f : u e ( + ) u + v + v > Diff(ep(+^),)diff(ep(+^),); e( + ) e ( + ) > Diff(ep(+^),)diff(ep(+^),); e( + ) e ( + ) > Aukštesniųjų eilių dlinės išvestinės > f:z->^-*^+*^4; f : z + 4 > diff(f(,),); > diff(f(,),); > f:u->*^-^; + 8 f : u > Diff(f(,),)diff(f(,),); ( ) > Diff(f(,),)diff(f(,),); ( ) 6 > f:z->^-*^+*^4; > Diff(f(,),)diff(f(,),); f : z + 4

157 > f:v->(-**+8*^); ( + 4 ) + 8 f : v + 8 > Diff(f(,),)diff(f(,),); ( + 8 )

158 Pprstosios diferencilinės lgts. Pskit. Pgrindinės diferencilinių lgčių sąvokos.prktikos uždvinii, kurių sprendims susijęs su diferencilinės lgties sprendimu. I.pvz.: Kūns, tempertūros θ, ptlpints į terpę temp. θ >. Žmėsime kūno tempertūrą, priklusomi nuo liko θ (t ). Fizikos dėsnis tvėsimo greitis r proporcings kūno ir plinkos tempertūrų skirtumui dt dθ k( T ( t) ) k( θ ( t) ), θ ( ) θ, k > - dt dt proporcingumo koecients II. pvz.: Populicijos dinmik dn dn N bn dn ( b ) N dt gim. mir. dt III. pvz.: Rdžio (rb kitos rdioktvios medžigos) skilimo greitis r proporcings tos medžigos kiekiui. dr cr dt IV. pvz.: Mterilus tšks (msės m) jud -šimi. Išorinė jėg f(t), tstums nuo koordinčių prdžios. d Terpės psipriešinims - dt Spruoklės psipriešinims b (Huko dėsnis) d Inercijos jėg m dt gunme d d m + + b f ( t) dt dt. Diferencilinės lgties pibrėžims ir pgrindinės sąvokos. Pprstoji n-tosios eilės diferencilinė lgtis turi tokį pvidlą: ( n) () F (,, ',, )

159 n-tosios eilės lgties sprendiniu (tskiruoju) vdinm funkcij (), kuri tm tikrme intervle (,b) turi išvestines iki n eilės ( n) ( ), ( ),, ( ) imtini ir tenkin () lgtį. Ti reiški, kd tenkinm tptbė pgl : ( n) F(, ( ), ( ),, ( ) ), (, b) Ieškosime relus () l. sprendinio, nors ki kd teks nudoti ir kompleksinius sprendinius. n-tosios eilės diferencilinės lgties sprendinio grką vdinsime integrline kreive. Diferencilinės lgties integrvims. Toliu ngrinėsime I eilės diferencilines lgtis. ( ) F (,, ) Lgtis F (,, ), F (,, ) vdinsime ekvivlenčiomis sritje Ω, jeigu r ekvivlenčios titinkmos lgebrinės lgts. Koši (Cuch) uždvins: Rsti diferencilinės lgties () sprendinį, tenkinntį sąlgą ( ) (t.., titinkm integrlinė kreivė ein per tšką (, ) ). Lgts, išreikštos išvestinės tžvilgiu užršomos d ( ) f (, ) d Yr teising teorem, kuri tvirtin, kd Koši uždvins turi vienintelį sprendinį bet kurim plokštumos srities G tškui, (, ) G R, jeigu toje sritje r toldžios funkcij f (, ) ir f jos dlinė išvestinė. Pvzds. ( ) f ( ) d + c, ( ) ψ ( ) + c ( ) ψ ( ) + c, c ψ ( ) ψ ( ) + c toldžios. Tegul duot lgtis F ( ) ) ( ) ψ ( ) ψ ( ) F F,, (, kur F,, -

160 () lgties bendruoju integrlu vdinsime kreivių šeimą, priklusnčią nuo prmetro c, pršomą lgbe ( 4) Φ(,, c), kur Φ (,, c) - toldžii diferencijuojm tm tikroje tškų (,, c) sritje ir psižmi toki svbe: jeigu prdiferencijuoti (4) pgl, liknt, kd (), ( 5) Φ Φ + ir eliminuoti c iš lgčių (4), (5), ti gusime diferencilinę lgtį, ekvivlenčią (). Pvzds. ( c) < <, kur c bet koks prmetrs ( c) ( < < ) 6 ( ) 7( c) ( ) 7 Ar bendrsis lgties integrls pim visus lgties sprendinius? Teorem jeigu b. integrls turi pvidlą ψ (, ) c ir ψ (, ) - toldžii diferencijuojm svo rgumentų funkcij, ti bet kuris dif. lgties sprendins įein į bendrąjį integrlą..pvz. k e k c k ( ) e.pvz. 7 c b. integr. ( ) ψ (, c) c c funkcij ψ (, c) nėr diferencijuojm šje, todėl teoremos sąlgos nėr ptenkintos ( α), α, α < < β ( β ), β

161 d d f (, ). Krpčių luks Pvz. f (, ) pibrėžt visur, išskrus šį. k tg α f (, ) f (, k) k Izoklinos f (, ) k geometrinės vietos tškų, kuriuose integrlinės kreivės liestinė išliko pstovią krptį. Pvz. + Izoklinų lgtis + k izoklinos pskritimi

162 . Pskit. Ki kurių pirmosios eilės diferencilinių lgčių sprendims. diferencilinių lgčių su tsiskirinčiis kintmisiis sprendims. Homogeninių diferencilinių lgčių sprendims. Tiesinių diferencilinių lgčių sprendims 4. Bernulio diferencilinių lgčių sprendims 5. Diferencilinių lgčių pilnis diferencilis sprendims Lgts su tskirinčiis kintmisiis d. f (, ) f (, ), M (, ) d + N(, ) d d ) ( ) M (, ( ) ) d + N(, ( ) ) d ( ( ), ) + N( ( ), ) d b) M d Jeigu M (, ) ir N (, ) bi nelgios, ti glim išreikšti () ir ( ). Trkime, kd M (, ) ϕ ( ) (, b) N(, ) ψ ( ) ( c, d) Lgts su tskirtisiis kintmisiis () ϕ ( ) d + ψ ( ) d () pibrėžt stčikmpje < < b c < < d ϕ( ) d ψ [ ( )] d( ) ϕ ( ) d ψ ( ( ) ) d( ) + c ψ ( ) d + c ϕ ( ) d Φ( ), < < b ψ ( ) d Ψ( ), c < < d.

163 ϕ ( ) d + ψ ( ) d c () Φ( ) + Ψ( ) C F (, ) F F ϕ ( ), ψ ( ) Jeigu () diferencijuoti pgl, liknt, kd (), ti gusime ϕ ( ) d + ψ ( ) d - tigi - () lgtis. Pvz. d d d d c - bendrs integrls Tegul M (, ) ϕ ( ) ψ( ), N (, ) ϕ ( ) ψ ( ) Td turime lgtį su tsiskirinčiis kintmisiis. Tiems (,), kuriems ϕ ( ) ψ( ) pdlinsime bi lgties puses iš ϕ ( ) ψ( ). Gusime ϕ ( ) ψ ( ) d d ϕ ( ) ψ ( ) Bendrsis integrls r gunms kip ir tskirtųjų kintmųjų tveju, tčiu glimi ir kiti sprendinii, einnts per tškus (, ), kuriuose ϕ ) ψ ( ). (. Homogeninės dif. lgts. F-j M (, ) r vdinm homogenine lipsnio su funkcij, jeigu, ir t > teising lgbė m M ( t, t) t M (, ) Jeigu M ir N r homogeninės tos pčios eilės m f-jos, ti diferencilinė lgtis Md + Nd r vdinm homogenine. Ją glim pertvrkti tip:, m M, (, ) M ± ± d M f, d N(, ),, m N N ± ±

164 d t.. f, kur f vieno kintmojo funkcij. d Įvesime vietoj nują funkciją z() pkeitimu d dz z z +, z d d Td dz + z f ( z) dz + zd f ( z) d d dz d dz [ f ( z) z] d f ( z) z dz f ( z z dz d dz ) ln, ce f ( z) z c f ( z) z Bendresnis homogeninių lgčių tvejis d α f z α α d α d α α dz z, α z +, d d α α dz α α z + f ( z) d α dz α [ f ( z) αz] d dz d f ( z) αz ; dz d f ( z) αz, ce dz f ( z) αz. Tiesinė diferencilinė lgtis. d () + p( ) f ( ), < < b d p() ir f() toldinės funkcijos intervle (,b). Tiesinė todėl, kd ir įein į šią lgtį tiesiški. Jeigu f ( ), ti () vd. tiesine homogenine, jeigu f ( ) intervle (,b) ti tiesine nehomogenine. Tiesinė homogeninė lgtis turi sprendinį. Ji r lgtimi su tsiskirinčiis kintmisiis

165 d p( ) d, ln p( ) d, c c p( ) d ( ) ce. Jei c, ti ( ). Tokie sprendinii nekert šies. (4) p( ) d c e. Dešinėje pusėje r funkcij, turinti toldines išvestines juostoje < < b, < < Todėl į bendrąjį integrlą (4) įein visi lgties () sprendinii. Nehomogeninė lgtis. Sprendinio ieškome pvidlo ( ) u( ) v( ) u v + uv u v + uv + p( ) uv f ( ) u ( v + p( ) v) + u v f ( ) prinksime v tip, kd v + p( ) v. Turime t. homogeninę lgtį v tžvilgiu, tigi, p ( v e ) ( ) d (psirenkme c Td turime f ( ) f ( ) u v( ) f ( ) u, u d + c v( ) v( ), u( ) f e ( ) uv f ( ) e p( ) d Pvzds. sin p( ), f ( ) sin uv u v + uv d + c d + c e ce + e f ( ) e p ( ) d p( ) d p( ) d p( ) d p( ) d u v + uv uv sin d u ( v v) + u v sin v v v e e u e sin u e sin u e sin d + c k ur c - konstnt d

166 e e sin d + ce ce ( cos + sin ) Konstntos vrijvimo metods. Imti homogeninės lgties sprendinje c c(). Td p( ) d c( ) e. Bet ti ts pts Bernulio metods, bus p( ) d u c( ), v e. 4. Bernulio lgtis. α + p( ) f ( ) α,, kdngi priešingu tveju gunme nksčiu išngrinėtą tiesinę lgtį pkeitims Turime z α α : z α α α z α z ( ) α α α α α α α ( ) z, z z f z α α z α α + p( ) z f ( ) α α α α α α z + ( α) p( ) z ( α) f ( ) Lgts pilnis diferencilis Jeigu F F M (, ), N(, ), ti turime F F d + d rb df rb F c F (, ) c r dif. lgties Md + Nd bendrsis integrls.

167 . pskit. Aukštesniųjų eilių diferencilinės lgts.. Įvdinės sąvokos. Koši uždvins. Sprendinio vienties ir egzistvimo teorem 4. Ki kurių ukštesniųjų diferencilinių lgčių sprendims eilės pžeminimo metodu n ( ) Lgtis F (,,,, ) () r vdinm diferenciline n-tos eilės lgtimi.

168 Či F (, v, v,, vn) - n+ kintmųjų funkcij, toldinė krtu su svo dlinėmis išvestinėmis n+-mtės erdvės sritje Ω. F F F,,, v v v n (n) Išreikšdmi, gunme ( n) ( n) f (,,,, ) () Koši uždvins () lgčii: reiki rsti funkciją (), toldžii diferencijuojmą n krtų, tenkinnčią () lgtį ir sąlgs ( n ) ( n ) ( ), ( ),, ( ) () Egzistvimo ir vienties teorem. ( n ) Tegul lgties () dešinioji pusė f (,,,, ), suprntm kip n+ kintmojo funkcij, r toldinė ir turi tm ( n ) tikroje tško (,,,, ) plinkoje Ω toldines dlines f f f išvestines,,,. ( n ) Td egzistuoj intervls (,b) ir pibrėžt jme n krtų diferencijuojm funkcij (), tenkinnti () lgtį ir prdines ( n ) ( n ) sąlgs ( ), ( ),, ( ). Funkcij () turinti šis nurodts svbes r vienintelė. Tigi, () r () lgties sprendins, tenkinntis () prdines sąlgs. Jeigu ksuoti, ti ( n ) c, c,, c n (, c,, cn ) Ω (, c, cn) Įveskime Bendresnis tvejis n diferencilinių lgčių sistem d ϕ (,,, n) d (5) dn ϕn (,,,, n),((,,,, n ) Ω) d Yr teising nlogišk egzistvimo ir vienties teorem ir bendro pvidlo sistemi (5).

169 Diferencilinės lgties (n-tos eilės) pžeminimo tveji: ),, (,, ) ( ),, ( ) ),, (,, ),, ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( d dp p p F d dp p p F p p F p F c c c d f d f n n n n

170 4. pskit. Aukštesniųjų eilių tiesinės diferencilinės lgts.. Įvdinės sąvokos. Tiesinis diferencilinis opertorius. Sprendinių svbės 4. Vronskio determinnts 5. Homogeninės lgties bendrojo sprendinio struktūr 6. Nehomogeninės lgties bendrojo sprendinio struktūr. Tiesine n-tosios eilės diferenciline lgtimi vdinm lgtis ( n) ( n ) + p ( ) p( ) n + + p( ) f ( ) () < < b, kur f ( ), p( ),, pn ( ) - užduotos toldinės intervle (,b) funkcijos. Kiriąją lgties () pusę pžmėsime L n [ ] L[ ] ir vdinsime n-tosios eilės tiesiniu diferenciliniu opertoriumi. Opertorius L() psižmi tokiomis svbėmis: ) L [ c] cl[ ] - opertorius homogeniškums ) L [ + ] L[ ] + L[ ] - opertorius ditvums Homogenišks ditvus opertorius r vdinms tiesiniu. Tų svbių pgrindu gunme L m k c k k m k kur c k - lisvos konstntos. L + Pvzds. Tegul [ ] c L k [ ] k, ()

171 Td [ ] [ ] L sin sin + sin, L + Lgtį () glim perršti L[ ] Ln [ ] f ( ), < < b Jeigu f ( ), ti lgtis L n [ ], < < b () r vdinm homogenine n-tos eilės diferenciline lgtimi. Lgtis (), kur f, r vdinm nehomogenine. Likome, kd f ( ), p( ),, pn ( ) r toldinės intervle (,b). Td glim įrodti, kd diferencilinė lgtis () turi vienintelį sprendinį tme pčime intervle (,b) ir tenkinntį prdines sąlgs ( n ) ( n ) ( ), ( ),, ( ) Krtu, jeigu funkcijos p j () ir f () turi intervle (,b) q - eilės toldines išvestines, ti nurodts sprendins () turi intervle (,b) toldines išvestines iki n+q eilės imtini. Teorem. Jeigu,, m r homogeninės lgties () m sprendinii, ti jų tiesinė kombincij c k k tip pt r () lgties k sprendiniu. Funkcijos ( ),, m( ) r vdinmos tiesiški priklusomomis intervle (,b), jeigu vien iš jų r kitų tiesine kombincij (, b). α( ) + + α m m ( ), < < b Apibrėžims. N tiesiški nepriklusomų intervle (,b) homogeninės n-tos eilės lgties () su toldiniis koecientis p j () sprendinių r vdinm tos lgties fundmentine sprendinių sistem. n-tos eilės tiesinės () lgties bendrsis sprendins turi pvidlą n k c ( ), k k kur k () - tskirieji () sprendinii, sudrnts fundmentinę sistemą, o c k - lisvos konstntos.

172 () nehomogeninės lgties bendrsis sprendins r sum kurio nors jos tskirojo sprendinio ir homogeninės lgties bendrojo sprendinio + n j j j c ) ( ) ( ) ( Teorem. Jeigu funkcijos ) (, ), ( m tiesiški priklusomos intervle (,b), ti determinnts ( ) ) (7 ), ( ) (, ), ( ) (,, ) ( ) (,, ) ( ) ( ) ( b m m m m m Determinnts (7) r vdinms Vronskio determinntu (Wronski) ir r žmims [ ] m W W,, ) (. Pvzdžii. ) [ ] )! (!! )! ( ) (,,, m m m W m m m Tigi,,, m r tiesiški nepriklusomos ), ( b. Tegul m k k,, - skirtingi skičii [ ],, ) ( ) ( ) ( + + m m m m k k k m m k m k k k k k k k k k k e e k e k kme e k e e e e W m m m m m Todėl k k m e,e, r tiesiški nepriklusomos. k m k k e e e,,, r tiesiški nepriklusomos, kdngi [ ] m m k k m m k e e e α α α α α Teorem. Tm, kd tiesinės homogeninės n-tos eilės lgties [ ] L n su toldiniis koecientis ) (, ), ( n būtų tiesiški

173 nepriklusomi intervle (,b) r būtin ir pknkm, kd W [,, n ] visiems (, b). Teorem 4. (Bendro sprendinio struktūr). Jeigu,, n - tiesiški nepriklusomi intervle (,b) tiesinės homogeninės n-tos eilės lgties L n [ ] su toldiniis tme intervle koecientis sprendinii, ti funkcij ( ) ck k ( ), < < b, (8) kur c k - lisvos konstntos, r lgties L n [ ] sprendins ir tvirkščii, bet koks tos lgties sprendins r užršoms (8) pvidlu, prinkus titinkms konstnts c k.

174 5. pskit. Tiesinės homogeninės n-tos eilės lgts su pstoviis koecientis. ( n) ( n ) [ ] + p + + p + p Ln n () < < Jeigu r žinom fundmentinių sprendinių sistem, ti bet kuris sprendins užsiršo n ( ) c ( ) + + c ( ) c ( n n j j ) j Ieškosime sprendinių pvidlo Gunme [ ] k [ n n L e e k + p k + + p k + p ] k n k e, kur k pstovus sk. k Kdngi e, ti turi būti n n Rn( k) k + pn k + + pk + p () k Vdinsi, e gli tenkinti () lgtį td ir tik td, ki k polinomo R n (k) šknis. R n ( k) r vdinm () lgties chrkteringąj lgtimi. Ji turi n šknų (įskitnt krtotinumus)..tegul k, k, k k, kn - skirtingi. Td k n e, e,, e r () lgties sprendinii, be to tiesiški nepriklusomi. Vdinsi, jie sudro fundmentinę sprendinių sistemą ir, tokiu tveju, bendrs (bet koks) lgties () sprendins užsiršs kip

175 k kn ( ) ce + + cne Pvz k 5k ± 5 4 k, ir Tigi, ( ) ce + ce Pvz.. + k k k +, k ( k ) ( k ) ( k )( k ) škns k,, ( ) ce + ce + ce Jeigu lgties () koecienti relūs ir kuri nors šknis kompleksinė k j α j + iβ j, ti k j α j iβ j irgi bus lgties () šknimi. k j k j Td e ± be irgi bus lgties () šknimis ( α + iβ ) ( α iβ ) α [ e + e ] e cos β ( α + iβ ) ( α iβ ) α [ e e ] e sin β i bus () l. sprendinii. Či pnudojme Oilerio formules ± e i cos ± i sin. Ši sistem r ptogesnė tuo, kd joje r relios funkcijos. Ji irgi r tiesiški nepriklusom (, ). Pvz.. + k + k ± i i i c e + ce c (cos + isin ) + c(cos i sin ) ( c + c )cos + i( c c)sin Acos Pvz B sin

176 k + k + ± 4 k, ± e c cos + c sin Jeigu k - ch. l. šknis krtotinumo m, ti sistemoje tsirnd m lgių funkcijų k km e e, k k km ir todėl sistem ju nėr tiesiški nepriklusom. Psirodo, td (ki k - krtotinė šknis), funkcij k k m k e, e,, e bus lgties () sprendinii, sudrnts tiesiški nepriklusomų sprendinių sistemą bet kokim intervle (,b). Pvz k k + k, m ce + ce e ( c + c) Pvz k + k + k + ( k + ), k - -čio krtotinumo šknis e ( c + c c ) Tegul lgties () koecienti p l relūs, o k α + iβ - chr. l. m-to krtotinumo šknis. Td k α iβ irgi bus m krtotinumo šknis. Td gunme f-jų sistems α + iβ α + iβ m α + iβ e, e,, e e e α iβ α, e α iβ, cos β, e α, e m α iβ cos β, α α e sin β, e sin β, (4) Pvz k 4 ( k + k + ) +,,, k ± i e e m α m α cos β sin β ( m ) c cos + c cos c sin + c4 sin )

177 k l k k j j j j e e e,,, j j k l šknies krtotinums n l m j j. Jeigu j k - kompleksinis krtotinumo j l, j j j i k β α +, ti ju, krtu su k titink relių funkcijų grupę e e e e j l j j l j j j j j j j β β β β α α α α sin,, sin cos,, cos

178 6. pskit. Aukštesniųjų eilių tiesinės nehomogeninės diferencilinės lgts su pstoviisiis koecientis.. Ki kurie tskirųjų sprendinių rdimo vrinti. Atskirojo sprendinio rdims, tiknt superpozicijos tisklę. Bendrojo sprendinio rdims, tiknt konstntų vrijvimo metodą. Turėjome, kd į homogeninės lgties ( n) ( n ) L[] u + p p n p, ( ) fundmentinę sprendinių sistemą įein funkcijos k j k j l j k j e, e,, e, titinknčios chrkteringo duginrio n n k + pn k + + pk + p l j -tojo krtotinumo šknį k j bei funkcijos α ~ m j ˆ α ~ j j e cos β ~,, e cos β ~ j j ir e α ~ m~ ~ j j j sin β ~, α, e sin β ~, j j titinknčios m~ - krtotinumo chrkteringojo polinomo j kompleksinių šknų porą α ~ ± i β ~. j j Bendrąjį hom. l. sprendinį glime užršti kip k j ( ) p j ( ) e, kur p j () - polinomi, kurių lipsnis ne ukštesnis kip l j. k. Tegul f ( ) e

179 Jeigu k nėr chrkteringos lgties R n ( k) šknis, ti lgties ( ) L n [ ] f ( ) tskirąjį sprendinį glim sursti k ( ) Ae pvidlo. Įsttę į () lgtį gunme k k ARn ( k) e e A Rn ( k) Pvzds. + e ; R( k) k + k, ± i R ( ) + Hom. l. sprendins r c cos + c sin A Rn ( k ) Bendrs nehomogeninės lgties sprendins r ( ) e + c cos + c sin e + e e tuo tveju, ki k r R n ( k) šknis, šis pvidls netink. Lem. Jei k - reli r menm chrkteringos lgties m krtotinumo šknis, ti tskirąjį () lgties sprendinį glim rsti pvidlu m A e k, kur A tm tikr konstnt Pvzds. + e k k + ( k ) k, m Hom. l. spr. c c ) e A e ( + (A + A ) e (A + A + A + A ) e ( A + 4A + A) e

180 A + 4A + A A A A 4A + A ( ) e + ( c + c) e.tegul turime diferencilines lgtis ( n) ( n ) l () + pn p p e α cos β ( n) ( n ) l (4) + p + + p + p e α sin β, kur n α, β, p j - relūs skičii, l - ntūrlus Pduginę (4) l. iš i ir pridėję prie (), gusime ( n) ( n ) l k (5) z + pn z + + pz e, kur z + i, o k α + iβ (5) lgties sprendinio reli dlis r () l. spr., o menm d. (4) l. spr. Jeigu l, ti šis tvejis ju išngrinėts. Tegul + sin Krtu su j išngrinėsime ir + cos + sin + cos z + i i Td z + z e k - dif. lgties šknis krtotinumo. Td tskirs nehomogeninės lgties sprendins i z Ae Td i i i z ( A + ia) e, z ( ia + i( A + ia)) e (ia A) e i (ia A) + A + A ia A i Tigi, i i i i i i z e e (cos + i sin ) cos + sin sin i cos

181 Jo menmoji dlis cos r duotosios lgties sprendins. Jeigu > l, ti tskirojo sprendinio glim ieškoti pvidlu ( ) k l m l m m m e A A kur m šknies k krtotinums, ) ( k R n, o,, m A m+l A - konstntos. Pvzds. ),, ( ± l m k e Tigi, e A A ) ( + e A A A A e A A A A ) ) ( ( ) ( e A A A A A A A ) ) ( ( e A A A A A A A A A A A A ) 4 4 ( ) ( 4, 4 4 ) 4 ( Bendrs nehom. l. sprendins r e c c e e ) ( Jeigu [ ],,,, ) ( q i f L i i n ti q i i ) ( r lgties [ ] [ ] q i i q i i q i i n n f L L L ) ( sprendins. Todėl iš či ir iš to, ks nksčiu pskt išpluki, kd jeigu, cos ) ( sin ) ( ) ( e Q e P f m m β β α α + kur m P ir m Q - lgebrinii polinomi ne ukštesnio kip m- lipsnio, ti tskirojo sprendinio form sutmp su dešiniąj puse, jeigu β α i ± nėr chrkteringos lgties ) ( k R n sprendiniu. Jeigu β α i ± r dif. lgties l-tojo lipsnio krtotinumo sprendinii, ti tskirojo sprendinio reiki ieškoti pvidlu

182 α α ( ) Pl + m ( ) e sin β + Ql + m ( ) e cos β Jeigu dešiniojoje pusėje r tik, pvzdžiui, nrs α Qm ( ) e cos β, ti tskirojo sprendinio reiki ieškoti pvidlu α α R ( ) e cos β + R( ) e sin β, kur R ( ) ir R ( ) - titinkmų eilių polinomi. Pvzds. + sin k + k, ± i ± i α, β Šios škns r -o krtotinumo, todėl ieškosime duotos lgties sprendinio pvidlu ( ) ( A + B ) sin + ( C + D ) cos (4) e k 4 4k + 6k 4k + 4 ( k ) e, reiški, α - 4-to krtotinumo chrkteringosios lgties šknis, todėl tskirojo sprendinio reiki ieškoti pvidlu ( ) A + B + C e ( ) Konstntų vrijvimo metods. Piškinsime šį metodą trečios eilės lgties pvzdžiu L + p + p + p f ( [ ] ),, Tegul - tiesiški nepriklusomi homogeninės lgties sprendinii L [ ] j Ieškosime nehomogeninės lgties sprendinio pvidlu ) c ( ) ( ) + c ( ) ( ) + c ( ) ( ), ( kur c j () - tm tikros (kol ks nežinomos) diferencijuojmos funkcijos. Preiklusime, kd i i i i Td tikrinsime c ( ) ( ) i c ( ) ( ) i

183 + + + i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i c c c c c c c c Įsttę į lgtį, gunme ) ( f c p c p c p c c i i i i i i i i i i i i i i i rb ( ) ) ( f c p p p c i i i i i i i i i i - homog. l. spr. Todėl turime l. sistemą ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f c c c i i i i i i i i i Jos determinnts ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( W Todėl ši sistem turi vienintelį sprendinį ) ( ) ( c i i ϕ rb d c i i ) ( ) ( ϕ Pvzds. e +, + k k k k e c c e + e e c e c e c e c ) ( ) ( ) ( ) ( + + [ ] e W,

184 e e e e e c e e e e e c ) (, ) ( e c ) ( e d e c e d e d e c ) ( ) ( e e e e e + Td e e c c e + +

185 7. pskit. Tiesinių diferencilinių lgčių sistemos..homogeninės sistemos. Dif. lgčių sistem n nn n n n n n t t t dt d t t t dt d ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( () r vdinm tiesine homogenine pirmos eilės diferencilinių lgčių sistem. Įvesime mtricą ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t A t nn n n ir ieškomų funkcijų vektorių n n t t t ) ( ) ( ) ( Mtricos išvestinė ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t t A dt da t t A nn n n Ki kurios jų svbės:

186 dc dt ti. Jei C pstovi mtric (t.., nepriklusnti nuo t), ti, kur dešinėje pusėje nulį suprntme, kip nulinę mtricą.. Jei mtricos A ir B vienodų mtvimų, ti d ( A( t) + B( t) ) A ( t) + B ( t) dt. Jei mtricoms A(t) ir B(t) egzistuoj sndug A( t) B( t), d dt 4. Tegul ( ) ( A( t) B( t) ) A ( t) B( t) + A( t) B ( t) A - mtricos A(t) tvirkštinė, t.. A ( t) A( t) A( t) A ( t) E, kur E Td d d A( t) A ( t) + A( t) A ( t) A ( t) A ( t) A ( t) A ( t). dt dt Mtricos integrls. t t A( ) d ( ) d τ τ kl, t, t [, b] τ τ t t t Jei F( t) Φ ( t), ti F( τ ) dτ Φ( t) Φ( t) Sistemą () glime užršti pvidlu d ( ) A( t), kur ir A pibrėžti ukščiu dt d dz Jei A( t) ir A( t) z, ti dt dt d( + z) d( + z) d dz A( t)( + z) + A( t) + A( t) z A( t) ( + z) dt dt dt dt

187 lgtį dc d c ca( t) A( t)( c) dt dt Iš či išvrdintų svbių išpluki, kd jeigu n,,, - sistemos ( ) sprendinii ir c,,cn - bet kokie skičii, ti c + + c n ( ) n j r ( ) sistemos sprendins. Či ( j, j,, nj ). n Teorem. Jeigu sprendinių sistem,,, - tiesiški nepriklusom, ti () formule išreiškims bendrs sistemos () sprendins, kitip trint, () formulė prie titinkmų c,,c Jei c skičius, ti c tenkin ( ) pim kiekvieną įmnom sistemos ( ) sprendinį. Apibrėžims. Sistem vektorinių funkcijų vdinm tiesiški nepriklusom, intervle (,b), jeigu iš lgbės n c ( t) + + cn ( t) ( < t < b) išpluki, kd c cn. Užršius pstrąją lgbę skliriški, gunme c + + c c n + n n + c n nn Iš to, kd W ( t) kl ( t) nelgus nuliui bent vienm t išpluki ti, kd vektorių sistem{ } j r tiesiški nepriklusom. Determinnts W (t) r vdinms sistemos ( ) Vronskio determinntu. Jeigu vektorių sistem { } j r tiesiški nepriklusom intervle (,b) ir tie vektorii r sistemos ( ) su toldžiis koecientis sprendinii, ti glim įrodti, kd W ( t) t (, b). Tokiu būdu, sąlg W ( t) t (, b) r būtin ir pknkm tm, kd () su toldžiis koecientis sprendinių sistem { } j būtų tiesiški nepriklusom. Todėl tm, kd guti () sistemos bendrą sprendinį, reiki rsti jos n tiesiški nepriklusomų sprendinių. Sum n

188 n j c j j, kur c j - konstntos, r sistemos () bendrsis sprendins. Tokių sprendinių sistemą glim užršti kvdrtinės mtricos pvidlu ( t) n ( t) Y ( t) n ( t) nn( t) Užršome jk (t) pirms indekss j reiški sprendinio komponentės numerį, o ntrsis indekss k sprendinio numerį. Y(t) tenkin lgtį Y ( t) A( t) Y( t) Ir tvirkščii, jeigu mtric Y(t) tenkin šią lgtį, ti jos stulpelii r homog. l. sistemos () sprendinii. Jeigu Y ( t) w( t), ti mtric Y(t) r fundmentli mtric. Jeigu Y(t) sistemos () fundmentinė sprendinių sistem ti ( t) Y( t) C, kur C ( c,, c n ) - pstovus vektorius stulpelis. Jeigu šioje lgbėje pimsime t t, ti ( t ) Y ( t) C rb C Y ( t) ( t) Todėl ( t) Y ( t) Y ( t) ( t) Mtric Y ( t) Y( t) K( t, t) r vdinm Koši mtric. Jeigu Y t Y ( ) ( t) E, ti ( t) Y( t) ( t). Homogeninės tiesinių diferencilinių lgčių sistemos su pstoviis koecientis bendrsis sprendins. Tegul mtric A(t) koecienti pstovūs, t.. d + + n n dt () dn n + + nn n dt

189 rb d A, kur A. dt kl Ieškosime sprendinio pvidlu λt λt α e α e,, α e, λt λ α e t,,α ne rb { } n λt n kur α αn, λ - skičii, kuriuos reiki rsti. Skičii α,, α n duod () sistemos trivilų sprendinį ( t),, n( t). Mus domin netrivilūs sprendinii, titinknts nenulinius vektorius α ( α,, α n ). di λt Turime α iλe ( i,,, n). dt Įsttdmi į () funkcijų ir jų išvestinių reikšmes ir t suprstindmi iš e λ t e λ, gunme ( λ) α + + α α + ( α + n λ) α + + ( nn n + n n α λ) α rb mtricinėje formoje () ( A λ E) α, E rb Aα λα, α ( α,, α n ) Tm, kd () sistem turėtų netrivilų sprendinį būtin ir pknk, kd λ n () n λ () lgtis r vdinm sistemos () chrkteringąj lgtimi. Ti P ( λ). n n n n nn

190 Jeigu visos škns skirtingos, ti, įsttdmi kiekvieną j λ į lgtį, gunme tm tikrą ją tenkinntį netrivilų vektorių ),,, ( j n j j j α α α α šis vektorius nuskoms nevienreikšmiški konstntos tikslumu. Vektorii j α tiesiški nepriklusomi, jeigu nuosvos reikšmės (tikrinės vertės skirtingos). Tokiu tveju j k α Td ) ( + + j k t n t e t W α λ λ Todėl n j j j t c ) (, kur j c - lisvos konstntos rb n j j n j n n j j j j t j t e c t e c t ) ( ) ( λ λ α α Prktikoje () sistemos sprendinio ieškom pvidlu n j j n n n j j j t j t e t e t ) ( ) ( λ λ Tegul λ - chrkteringosios lgties šknis krtotinumo r. Td ji titiks sistemos () sprendinių grupė, kurios kiekvien komponentė užsiršs kip, ) ( ) (, t j r j e t P t λ kur polinomų j r P, koecienti prikluss nuo r lisvų konstntų. Pvzds.

191 + + dt d dt d λ λ 4 ) ( λ λ λ t t t t e e t e c c e t + + ) ( ) ( ) ( t t t t t t e e e c c e e c c e c c c c Todėl t t t t e c e c t e c e c t + ) ( ) ( Pvzds. dt d dt d ) )( ( + + λ λ λ λ λ λ, r λ Todėl lgties sprendinio ieškosime pvidlu t t e t e t c c ) ( ) ( + + Keturios nežinomos konstntos, iš kurių turi likti lisvos. t t t t t t t t e t e t c c e t e e t e t c c e t c c e c ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( t t c c t t t c c t c c c c c c c c c c c +

192 c c c ( t) ( c + c t) e t t ( t) ( c + c + c t) e 8. pskit. Diferencilinių lgčių tikmi svrvimms ngrinėti. m + η + k.pvz. Elektrotechnik. f (t) Lempinis genertorius. d v dv LC + RC MS + v dt dt [ ] S - lempos chrkteristikos sttums M indukcijos koecients Tiesinis oscilitorius mechnikoje. () m η k + f (t) m - inercijos jėg ηẋ - trinties jėg k - tmprumo jėg f(t) išorinė jėg Ntūrlu formuluoti prdines sąlgs ( t) ( t) v () lgtis r vdinm svrvimų lgtimi. Gli būti

193 d d + b + c d d Td ( A) A, ( B) Lisvieji svrvimi. m + η + k mλ + ηλ + k mλ + ηλ + k B f ( ) ( A B), η + η 4mk η η 4mk λ, λ m m ) Ki η > 4mk, ch. l. škns λ ir λ r relios ir skirtingos λt λt Td ( t) ce + ce, kur c ir c - lisvos relios konstntos. ) Ki η < 4mk, ti λ ir λ - kompleksinės jungtinės λ γ + iw, λ γ iw η 4mk η γ, w m m Td lgties () bendrsis sprendins užsiršs t ( t) e γ ( c cos wt + c sin wt ) γ kur e t γ coswt ir e t sin wt r titinkmi reli ir menm λ dlis sprendinio e t λ (rb e t ) )Ki η 4mk, ti chrkteringoji lgtis turi vienintelę relią šknį λ λ λ. Bendrs sprendins td turi pvidlą λt λt ( t) ce + cte Tegul m >, η, k >, t.. nėr trinties jėgos. Td k ( t) c cos wt + c sin wt, w m w ( c sin wt c cos wt ) m k E + C

194 mk ( c sin wt c cos wt) k( c cos wt + c sin wt) + m kc (sin w t + cos wt) c (sin w t + cos wt) k( c + + c ) Tegul m >, η >, k >, t.. Jei η < 4mk, ti sin cos ir periodinis gęsims t Punktru prodts mplitudinis dugiklis e γ c + c λt λt Jeigu η 4mk, ti rb ( t) c e + c e rb ( t) ( c + ct) e λt Td periodinis gesims

195 Ki η < - neigim trintis, ti Jeigu k <, ti Priverstinii svrvimi (nehomogeninė lgtis) Ištirsime vienintelį tvejį η, k >, η < 4mk Trkime, kd išorinė jėg r pvidlo f ( t) Asin( wt + α), kur A, w, α - tm tikros (ksuotos) konstntos () m + η + k Asin( wt + α) () bendrsis sprendins r sum bendrojo homogeninės l. sprendinio (lisvieji svrvimi) ir nehom. l. tskirojo sprendinio (priverstinii svrvimi) ( t) + ( t) ( t) Ieškosime (t) tokio pvidlo ( t) Bsin( wt + β ), kur B, w, β - kol ks nežinomi ddžii. B (sin wt cos β + cos wt sin β ) B cos β sin wt + A Bwcos( wt + β ) mbw sin( wt + β ) + ηbwcos( wt + β ) + kbsin( wt + β ) Asin( wt + α) Bw sin( wt + β ) B [( k mw )sin( wt + β ) + ηwcos( wt + β )] Asin( wt + α)

196 duginme ir dlinme l. kiriąją pusę iš ( k mw Td turime ) + η w k mw ηw ( k mw ) + η w B sin( wt + β ) + cos( wt + β ) Asin( wt + α) ( k mw ) + η w ( k mw ) + η w Nesunkii glim įsitikinti, kd k mw ηw + ( k mw ) + η w ( k mw ) + η w Liksime, kd k mw ηw cos( α β ), ( k mw ) + η w ( k mw ), + η w sin( α β ) B [ sin( α β )sin( wt + β ) + cos( α β )cos( wt + β )] B sin( wt + β + α β ) B sin( wt + α) Tigi, B A +, cos( α β ) k mw ( k mw ) η w ( k mw ) + η w ηw sin( α β ) ( k mw ) + η w Iš či β pibrėžims konstntos π tikslumu. Ki η > ir w bet koks, turime, kd ( k mw ) + η w >, todėl γt () ( t) B sin( wt + β ) + e ( c cos wt + c sin wt ), kur B ir β pibrėžti ukščiu, η 4mk η γ, w, c ir c - lisvos konstntos m m Keičint konstnts c ir c glim ptenkinti bet kuris prdines sąlgs.

197 () formulė duod sprendinį ir tuo tveju, jeigu η, jeigu tik k mw, t.., jeigu išorinės jėgos svrvimų džnis nesutmp su k lisvųjų svrvimų džniu w w m Td, ki w w ir η ieškosime () lgties sprendinio pvidlu ( t) Bt sin( wt + β ) Įsttome į lgtį k m + k Asin( w t + α), w m Bsin( w t + β ) + w Bt cos( w t + β ) Bw cos( w t + β ) + w B cos( w t + β ) Btw m[ Bw cos( wt + β ) Btw sin( wt + β )] m Bw cos( w t + β ) Bt k m sin( w t + β ) sin( w t + β ) + kbt sin( w t + β ) Asin( w t + α) + kbt sin( w t + β ) Asin( w t + α) mw cos( wt + β ) Asin( wt + α) A π B β α, todėl, kd co( π ) sin mw Tokiu būdu, bendrs svrvimų uždvinio sprendins, ki k η, o w w r duodmos formule m At π (4) ( t) sin wt + α + c cos wt + c sin wt mw Visis kitis tvejis bendrs sprendins r duodms () formule. k Tegul η. Jei w w, ti I dėmens svrvimų m mplitudė neprėžti ug, didėjnt t ir gli tpti kiek norim didelė. Toks reiškins r vdinms rezonnsu. Jei η ir w w - mžs sk., ti A B, w w m w w

198 Ki η mžs gli būti mechninis rezonnss A km > η >, td B ( k mw ) +η w km η km η ti vrdiklis mžiusis prie w w m m Am k Td M ( η ) w w η km η 4 η m. Sukinio tūris.

199 Integrlinė sum N i π f ( ξ ) (Cilindrų sum) Riboje gunme V i b V π f ( ) d. Kreivės ilgis s ( ) + ( ) ds d + d + ( ) d + f ( ) d Jeigu kreivė duot prmetriniu pvidlu ds [ ( t)] + [ ( t )] Integrlinė sum b n i + f ( ) d. Sukinio pviršius plots b S + π f ( ) f ( ) d n ( i ) + ( j ) Integrlinė sum π ( f ( ξ ) + f ( ξ )) i i i+ ( ) + ( ) ( t), ti ( t) 4. Tško, turinčio msę m, nutolusio nuo šies l tstumu d, sttinis moments šies l tžvilgiu

200 Tškų sistemos M l ld { m },{ d }, i, n. M i i, l n i m d i Kreivės (s) ir (s), kur s kreivės lnko ilgis sttinii momenti šių ir tžvilgiu L i L ( s) ds, M ( s) ds, ds ( d) + ( d M Plokščios gūros sttinii momenti b b M d f ( ) f ( ) d, M b d 8. pskit. Antros eilės diferencilinė lgtis su pstoviis koecientis. ) Preitą pskitą užbigėme tuo, kd rdome lgties () m + η + k Asin( wt + α) tskirąjį sprendinį. Jo ieškojome pvidlu ( t) Bsin( wt + β ), B k mw A + w ir cos( α β ) k mw ( ) η ( k mw ) + η w sin( α β ) ηw ( k mw ) + η w Jei η >, ti pošknis > prie bet kokių w todėl bendrs () lgties sprendins bus () γt ( t) ( t) + ( t) B sin( wt + β ) + e ( c cos wt + c sin wt ),

201 η 4mk η kur γ, w, c ir c - lisvos konstntos. m m Keičint konstntos c, c glim ptenkinti bet kuris prdines sąlgs ( t ), ( t) v k Jeigu η, bet w w tskiro nehomogeninės lgties m sprendinio ieškosime pvidlu () ( t) Bt sin( wt + β ) Įsttkime () į () Bsin( w t + β ) + w Bt cos( w t + β ) Bw cos( w t + β ) + w B cos( w t + β ) Btw sin( w t + β ) m β ) Bw cos( wt + β ) Bw sin( wt + [ Bw cos( w t + β ) Bw sin( w t + β )] + η[ B sin( w t + β ) + Bw t cos( w t + )]+ β + kbt sin( w t + β ) Asin( wt + α ) [ mbw + ηbw t cos( w t + β) ] + sin( w t + β )[ mbw t + ηb + kbt] Asin( w ) cos( w t + β ) t + k k η w, mb t kbt m m mbw cos( wt + β ) Asin( wt + α) A π mbw A B, β α mw β Tokiu būdu, bendrs () sprendins, ki η, w w r užršoms formule At π ( t) sin wt + α + c cos wt + c sin wt mw A B, ki w w - rezonnss m w w Mechninio rezonnso reiškins tsirnd ir prie pknkmi mžų η reikšmių km > η >. k m

202 Iš tikrųjų, mplitudė A B psieki mksimumą, ki ( k mw ) +η w ( k mw ) + η w min min( k mn) m + η n ( k mn) m + η km + m n + η m m w n km η km η km w m A M ( η) km η k m m Am η 4km η m η km η w km η + η m A (km km + η ) + η (4km η ) 4m Am km η k M ( η), w w, η η η 4km η m m Rsime Koši uždvinio sprendinį () lgčii, ki priverstinii svrvimi susidro veikint išorinei jėgi. η. Tegul w w (nerezonnsinis tvejis). Tegul liko momentu t mterilus tšks r pusiusvros pdėtje ir turi nulinį greitį. Td prdinės sąlgos ( ), (). Tegul η. Td A B m w w A ( t) sin( wt + α ) + c coswt + c sin w t m w w

203 ( ), () Bsin α + c c B sinα Bwcos( wt +α ) cw sin wt + cw cos wt Bwcosα w Bw cosα + cw c B cosα w w Td sprendins užsiršs w ( t) B sin( wt + α ) Bsin α coswt + B cosα sin wt w w sin( + α) sinα cos cosα sin w t B wt w t w ( w w )cos sin( + α) sinα cos cosα sin sin w t B wt w t wt w ( w w )cos t B sin( wt + α) sin( wt + α) sin w w w w w w ( w w )cosα B sin t cos t + α B sin wt w Jeigu w w pknkmi mžs, ti I nrs duod 4π hrmoninius svrvimus periodo ir lėti kintnči mplitude w + w ( w w ) t A ( w w ) t M ( t) B sin sin m w w Amplitudė M(t) likui bėgnt kint nuo iki mksimlios A π reikšmės M ( t) periodiški su periodu T. m w w w w Tokie svrvimi vdinmi mušimis. Antroji dedmoji, ki w ~ w r mž, plginus su mušimų w w mplitude B cos α w

204 Jeigu η >, ti process prsided mušimis. A M M B < m ( w w ) + η w

205 Dvilpii ir kreivinii integrli. Apibrėžims ir svbės Šime skrelje ngrinėjmi kelių kintmųjų funkcijų integrli. Tokie integrli vdinsi dugilpii integrli. Geometrijoje jie nudojmi plotų, tūrių, pviršių plotų skičivimui, mechnikoje plokščių gūrų ir kūnų msės, inercijos momentų, svorio centro skičivimui. Dugilpii integrli tikomi dug plčiu nei pibrėžtinii integrli. Pprsčiusis iš dugilpių r dvilpis integrls. Tigi, ngrinėjme toldinę dviejų kintmųjų funkciją, pibrėžtą plokštumos sritje. Sritis r uždr, t.. pribot uždr kreive, kuri irgi prikluso sričii. Apibrėžims.. Cilindroidu vdinms kūns, kurį iš pčios riboj plokštumos sritis, iš viršus pviršius, o iš šonų cilindrinis pviršius su sudromosiomis lgigrečiomis šii (žr. pv.). Pirmiusi sritį suskidome bet kokiu būdu į mžų dlių. Ir pčis dlis, ir jų plotelius žmėsime vienodi Pv..

206 , Kiekvienoje reikšmes iš jų prenkme po tšką!, "$#%"$, ir suskičiuojme funkcijos & & ' ( & Sum )* +,,.- / % vdinm funkcijos ( integrline sum sritje. Jeigu %, ti kiekvieną sumos % dėmenį glim interpretuoti kip mžo cilindro tūrį, kurio pgrindo plots, o ukštis / )*. Td reiški visų cilindrų tūrių sumą, kuri proksimuoj cilindroido tūrį (žr. pv.). Tegu pdlijimų skičius % didėj, o plotelii mžėj tip, kd m /, :9 ). Td egzistuoj rib lim, nepriklusnti nei nuo srities pdlijimo, nei nuo tškų prinkimo (šis fkts įrodinėjms pltesnime ukštosios mtemtikos kurse). Ji vdinm funkcijos ; + < dvilpiu integrlu sritje ir žmim ( <?> ;>/ rb <?>, t.., 87:9 ) lim '7:9 lim B- % Jeigu ti smulkinnt pdlijimą, ) tiksliu proksimuoj kūno tūrį ir ) 87:9 ) lim A> Pv..

207 , Toliu Csuformuluosime kelis teorems pie dvilpį integrlą. r lgus dvi- Teorem.. Dviejų funkcijų sumos dvilpis integrls sritje lpių interglų sumi sritje, t.., F?>?>, D?> Teorem.. Pstovų dugiklį G, G const, glim iškelti prieš dvilpio integrlo ženkl, t.., G A> G A> Šių biejų teiginių įrodms lgii toks pt, kip ir titinkmų teiginių įrodms pibrėžtinim integrlui. suskidt į dvi sritis ir, neturinčis bendrų vidinių tškų, H, ti Teorem.. Jeigu sritis <?> (?> Įrodms. Integrlinę sumą sritje, ( <?> (.) glim sugrupuoti į dvi dlis. Pirmoji dlis turi dėmenis su ploteliis, priklusnčiis, ntroji dlis turi dėmenis su iš srities, % % (.) Kdngi dvilpis integrls neprikluso nuo srities suskidmo, ti skidkime tip, kd bendrs kontūrs krtu būtų plotelių % kontūru (žr. pv.). Skičiuodmi ribą, ki 4I5 ir m, kiekvienm dėmeniui tskiri, iš (.) gunme (.). Teorem.4. Tegu funkcijos ( < didžiusi ir mžiusi reikšmės sritje r titinkmi J ir K, o L srities plots. Td KLM"?> "NJOL (.)

208 K Y 4 Pv.. Įrodms. Pirmiusi įvertinkime integrlinę sumą. Kdngi KP" "QJ L, ti % R" ( / 4"NJ % KLS" ( "NJOL ir Integrlinių sumų sek r prėžt iš viršus ir iš pčios. Todėl perėjus prie ribos, ki TU5 ir m %, gunme (.). Teorem.5. Jeigu funkcij ( r toldinė sritje, kurios plots L, ti sritje egzistuoj tšks toks, kd O V L W Įrodms. Iš nelgbių (.) gunme KX" L?> "NJ Tigi, skičius A> ptenk į intervlą [K JO\. Iš funkcijos toldumo uždroje sritje sek, kd funkcijos reikšmės užpildo visą intervlą [K J+\. Todėl sritje egzistuoj tšks toks, kd rb L A> O L

209 f e c b 5. Dvilpio integrlo skičivims Tegu cilindroido pgrinds r stčikmpis, ^] _ \?`M[G > \, o iš viršus jį riboj pviršius O Kertme kūną plokštum ( + ( W ^] _ \ ir ksuots), lgigreči koordinčių plokštumi <. Pjūvje gunme kreivinę trpeciją, kuri iš viršus pribot vieno kintmojo funkcij, G(" " > (žr. 4 pv.). Jos plots išreiškims pibrėžtiniu integrlu b c?>/ Kdngi r bet kuris intervlo \ tšks, ti?>/ ]d" " _R (.) Apibrėžtiniu integrlu, žinnt skerspjūvio plotą, glim skičiuoti kūno tūrį pgl formulę )?> < (.) Pv. 4.

210 f e f e f c e b c b c f b e c b f e f c e b c f b e 6 Įstčius g (.), gunme ) ( <?> ( <?>/ >h T > (?>/ (.) Skliusti nurodo veiksmų tlikimo tvrką. Tip gunmi du viens po kito einnts (rb viens kitme esnts) pibrėžtinii integrli. Kiekviens iš jų skičiuojms pgl ju išdėstts tiskles. Skliusteliuose esntis integrls vdinms vidiniu ir skičiuojms pirmiu, likęs vdinms išoriniu ir skičiuojms pskiu. Tigi, vidinime integrle kint, r pstovus. Gut funkcij dr krtą ju išorinime integrle integruojm pgl intervle ^] _ \. Toki opercij vdinm krtotiniu integrvimu, o reiškins krtotiniu integrlu. Cilindroidą glim iš prdžių kirsti plokštumomis M i, W ^G > \, lgigrečiomis plokštumi. Skerspjūvje gunm trpecij, kurios plots skičiuojms pibrėžtiniu integrlu j k?> < Gl" " >< Td viss tūris, o tuo pčiu ir dvilpis integrls r ) ( <?> ( <?> >/l >/ A>h (.4) Sugretinus (.) ir (.4) gunm formulė dvilpim integrlui skičiuoti stčikmpės srities tveju: <?> >h A>/l >/ (.5) Akivizdu, kd integrvimo tvrk nesvrbi: vidiniu kintmuoju gli būti bet kuris iš dviejų funkcijos rgumentų, išoriniu tip pt. Pvzds.. Suskičiuoti dvilpį funkcijos 4, 6 * integrlą m stčikmpėje sritje \hòon \. Sprendims.. Sritis pvizduot 5 pv.

211 r t 7 Pv. 5. Pv. 6. Jeigu išoriniu kintmuoju psirinksime, ti m p 4, 6 * >/ >h ( >h 4,? q - p >/l, 8 >h T 4, 9 p 4, 6 * >/ 4, n n 8 n 6 >h Sukeitus integrvimo tvrką, išoriniu kintmuoju liksime. Gunme m p p p 4, 6 * > >/T >/ 4, - >/T p p 8, 4 >/T 8, 8 p 4, 6 * > 8, 7 n, >/ Pvzds.. Suskičiuoti dvilpį integrlą m cos cos ;>h s>/. Integrvimo sritis pvizduot 6 pv. Sprendims.. m cos cos s> ;>/T >h u cos cos s>/

212 , q q w q 8 Pv. 7. t cos s> u cos ;>/ sin v V t sin <v u - V Pvzds.. Suskičiuoti funkcijos < e (žr. 7 pv.)., sin dvilpį integrlą sritje Sprendims.. m w e q q e >/ e, sin?> ;>/l >/ n cos r u - e n, u q w e q e, sin?>, >/ Tegu integrvimo sritis r pribot tiesėmis, lgigrečiomis % šii ( ], ( O_ ir dviejų funkcijų ( + ir ( + grkis. Kip ir nksčiu, kūną pjusime plokštum l +. Td ntrsis rguments kint nuo iki (žr. 8 pv.). Tip pjūvje gunm kreivinė trpecij, iš viršus ribojm & " " &

213 f c e b q r q r r z r z q z q z q r r f c e b q q r r r z r z q z q z 9 Pv. 8. Pv. 9. Jos plots r h q z z?>/. Imdmi bet kurį, W ^] _ \, ir pnudoję formulę tūriui skičiuoti, gunme )?> > (?>/ A>/ Tegu integrvimo sritis r pribot tiesėmis, lgigrečiomis šii ( G, ( O> ir dviejų funkcijų ( O, ( O grkis (žr. 9 pv.). Td nlogiški gunme )?> >/?>h Pvzds.4. Suskičiuoti dvilpį integrlą (?> > >/ * > sritje, pribotoje kreivėmis T +{ ir ( O (pirms ketvirtis).

214 q r r q r - q r r q - Pv.. Pv.. Sprendims.4. Pirmiusi r brižom integrvimo sritis. Td glim psirinkti integrvimo tvrką, t.., kurį kintmjį likti vidiniu, o kurį išoriniu. Šį pvzdį suskičiuosime biem būdis. Suprojektuojme sritį į šį (žr. pv.). Guts intervls \ r išorinio kintmojo kitimo ribos. Tigi, >h 5 n? >/T > > T n 5 77 Dbr sukeisime kintmuosius ir vidmenimis. Tos pčios sritį ribojnčios kreivės pršomos lgtimis ( O ir ( O. Projektuodmi į šį, gunme W \ (žr. pv.). Ti išorinio kintmojo kitimo ribos. Vidiniu kintmuoju liek. Tigi, gunme Pvzds.5. Suintegruoti ir tiese, (. >/ q 8 n * >h ( >/ 6 >/T n 4 6,?> 5 77 }, ki sritis ribojm prbole

215 , p r - q q r q q, p r Pv.. Pv.. Sprendims.5. Iš tikrųjų, dvilpį integrlą keičint krtotiniu integrvimo tvrk nesvrbi. Norint sritį suprojektuoti į koordinčių šis, reiki rsti kreivių susikirtimo tškus. Todėl sprendžime sistemą T + T Kreivės kertsi dviejuose tškuose ir 4 n. Projektuojnt į šį, gunmi du intervli \ ir 4\. Tip r todėl, kd iš viršus sritį ribojnti kreivė tške keiči nlizinę išrišką. Viršutinė kreivė r ~ { intervle W \ ir ( n intervle W 4\. Dvilpis integrls keičims dviem krtotiniis 4 > r <?>/ > p r?>/ Iš kitos pusės, projektuojnt sritį į šį, gunms tik viens intervls W on \ ir tik viens krtotinis integrls (žr. pv.). Todėl šis psirinkims reikluj mžiu skičivimų ir r ptogesnis. Skičiuojme 6, > p p p >/, * >/ p p 6, >h n, n F n n 4 >/

216 r Pv. 4. p n 6, n, 7 n n 5 4 >/ 7 n 4 n 5 q - p 99 Šis pvzds rodo, kip integrvimo tvrkos psirinkims krtotinime integrle prikluso nuo srities formos. Tik nubrižius brėžinį piškėj, kuris kelis ptogesnis ir trumpesnis. Todėl (krtojme!) brėžins r būtins. Kits pvzds rodo, kd integrvimo tvrkos psirinkims prikluso nuo integruojmos funkcijos O Pvzds.6. Suskičiuoti e >h ;>/ trikmpėje sritje, ribojmoje tiesėmis ~ ( šis), : (tiesė lgigreti % šii) ir l (žr. 4 pv.). Sprendims.6. Vidiniu kintmuoju negli būti r, nes e >h nesuintegruojms bigtiniu pvidlu elementriomis funkcijomis. Todėl psirinkimo nebeliek. Sritį projektuojme į šį. Ti reiški, kd tmp išoriniu kintmuoju, o

217 r r r r vidiniu. Gunme e > V >h e r e >h ( >/l e n & e r > e > r q -. Plotų ir tūriu skičivims dvilpiu integrlu Dvilpis integrls pibrėžims kip tm tikrų integrlinių sumų )* sekos rib. Nei su kūnu, nei su jo tūriu pibrėžims nesusijęs. Iš kitos pusės dlinės sumos turi iškią geometrinę interpretciją. Ti cilindroido tūrio proksimcij mžis liptuotis cilindris. Ki lu5, ti lim 87:9 )* ). Tip gunm cilindroido tūrio formulė ) Ngrinėjme cilindroidą, pribotą iš viršus pviršiumi O <, ir su pgrindu plokštumoje <% (žr. 5 pv.). Td ) ( <?> (.) Ngrinėjme kūną, kurį iš pčios riboj pviršius ƒ, iš viršus kits pviršius s, o sritis jų biejų bendr projekcij plokštumoje <% Pv. 5.

218 4 Pv. 6. (žr. 6 pv.). Tokį kūną glim išreikšti dviem cilindroidis, o jo tūrį dviejų cilindroidų tūrių skirtumu, t.., ) n?> n FA> (.) Ši formulė kūno tūriui skičiuoti teising ir td, ki funkcijos ir r bet kokio ženklo, tčiu tenkin nelgbę <N & Jeigu sritje funkcij ƒ ( < keiči ženklą, ti sritį dlijme į dvi dlis, H. Tegu <, ki < W, ir ", ki < W. Tuo pčiu kūns pdlinms į dvi dlis. Kiekvieni iš jų tūriui skičiuoti tikom formulė (.). Primenme, kd plokštum pršom lgtimi T. Vienu tveju plokštum r ptinis pviršius, kitu tveju viršutinis pviršius. Ki visoje sritje, ti cilindroids virst cilindru (nebūtini sukimosi cilindru), o cilindroido tūris skitine reikšme sutmp su srities plotu L, t.., L > > Šią formulę glim guti betrpiški iš integrlinių sumų, nes )* / V L

219 r q r - r q r - q Pvzds.. Dvilpiu integrlu suskičiuoti srities ˆ plotą, ki sritis ribojm prbole ( + n ir pirmo ketvirčio pusiukmpine T O (žr. 7 pv.). Sprendims.. Kreivių susikirtimo tški ieškomi sprendžint sistemą T + n T + Todėl srities projekcij šje r intervls \. Ti išorinio kintmojo kitimo ribos. Vidinis kintmsis r. Jis kint nuo prbolės iki tiesės. Gunme L > > n >h l n r >/T p v 9 r p >h Pvzds.. Rsti tūrį kūno, esnčio trp plokštumų <% ir % (lgigreti % šii) ir priboto iš šonų cilindru, 4 (žr. 8 pv.). Sprendims.. Kūno pgrinds (projekcij) ) plokštumoje <% r pusė skritulio. Dėl kūno simetrijos skičiuosime pusę tūrio: V ) pusė. Integrvimui psirenkme skritulio dlį, esnčią pirmme ketvirtje (žr. 9 pv.): ) * <?> / >/ { 4p s>h 5 Pv. 7. Pv. 8.

220 r q r r 6 { 4p - >/T 4 n >/T 4 n 6 Pvzds.. Rsti tūrį kūno, esnčio trp dviejų plokštumų 6 ir ; ir iš šonų priboto dviem prboliniis cilindris T + ir ( n (žr. pv.). Sprendims.. Kūno projekcij r plokštumoje ir r ribojm prbolėmis d Š ir n (žr. pv.). Išoriniu kintmuoju psirenkme, priešingu tveju reikėtų dviejų krtotinių integrlų. Išnudojme kūno simetriją ir gunme ) n > p >h p 6 n A>/ Pv. 9. Pv..

221 r r q - r r 7 Pv.. > p 6 n?>/% 6 n p 6 n n n n 6 n 4 > 8 n 8 >h T 6 n >. Dvilpis integrls polinėse koordintėse Ngrinėkime polinėje koordinčių sistemoje Œ Ž/ plokštumos tškų sritį, pribotą dviem spinduliis Ž4, Ž ir kreivėmis Œs ƒ Ž/, Œ Ž/. Tegu sritis r tiskling, t.., bet kuris spinduls, išeinntis iš polius ir einntis per vidinį srities tšką, kert srities kontūrą ne dugiu kip dviejuose tškuose. Priešingu teju sritį būtų glim pdlinti į kelis tisklings sritis. Todėl šis reiklvims nesiurin bendrumo. Trkime, kd sritje pibrėžt toldinė funkcij X ( Œ Ž/. Kip ir stčikmpių koordinčių tveju, dvilpio integrlo pibrėžimui tliekmi stndrtinii veiksmi. Pirm, sritis bet kokiu būdu skidom į mžų dlių Antr, jose lisvi prenkmi tški Œ Ž ir suskičiuojmos funkcijos

222 8 reikšmės )* (!, #. Treči, sudrom integrlinė sum - T % Iš dvilpio integrlo egzistvimo teoremos sek, kd integrlinė sum turi ribą, ki d5 ir m %, nepriklusnčią nei nuo suskidmo, nei nuo tškų! prinkimo. Ši rib r funkcijos ( Œ Ž/ dvilpis integrls sritje, t.., ) lim ) lim T % T Toliu ngrinėsime dvilpio integrlo skičivimą polinėse koordintėse. Iš prdžių imme tip vdinmą polinį stčikmpį, t.., sritį prštą nelgbėmis (žr. pv.) ]d" Œ " _R " Ž " ; Vieną iš šių krštinių sntkini glime vdinti ilgiu, kitą pločiu. Ki ] _,, d w, polinis stčikmpis virst žiedu su vidiniu spinduliu ], o išoriniu _. Primenme, kd skritulio išpjovos su spinduliu Œ ir centriniu kmpu Ž plots gunms pgl formulę L Œ Ž išp Pv..

223 ž V f e f e Nudodmi šią formulę, gunme srities plotą L _ n n ] n k _, ] _ nš] & n k OŒ Œ ŽR či Œ _ nœ], Ž n, o Œ ], _* r polinio stčikmpio vidutinis spinduls. Kdngi dvilpis integrls neprikluso nuo srities pdlijimo, ti dlinkime sritį į lgis dlis koncentriškis pskritimis ] OŒ Œ Œ ir spinduliis VVV Œ@ +_R Œ Œ OŒ n Œ p K ~ OŽ Ž VVV Ž O s Žl Ž OŽ n Ž p ž n & Iš viso gunme K OŒ Œ ŽR _ nm] & vienodų polinių stčikmpių %, kurių ploti r # ' 9 Todėl integrlinė sum r )* B- T / V B- ( Œ Ž FŒ Œ Ž% B- Ÿ Œ Ž Œ ŽR Ÿ či Œ Ž/h X ( Œ Ž/FŒ. Pskutinioji Ÿ sum r funkcijos Œ Ž/ integrlinė sum. Todėl, ki 4 5 m, ji virst dvilpiu integrlu ( Œ Ž/?> T >Œ >hž >hž ( Œ Ž/FŒ >hœ ir Einnt nuo stčikmpių prie polinių koordinčių, būtų glim drti formlų kintmųjų pkeitimą ( OŒ cos ŽR T OŒ sin ŽR > +ŒR>hŒ >ŽR su rėžiis ]:" Œ " _, " Ž ". Či mžo stčikmpio > ilgio ir pločio sndug <?> plots gunms kip Œ cos sin Ž/FŒ >hœr>hžr (.)

224 w r Integruoti polinėse koordintėse pč ptogu, ki integrvimo sritis r skrituls. rb jo dlis rb ki pointegrlinė funkcij prikluso nuo, Pvzds.. Kūns iš pčios r pribots <% plokštum, o iš viršus sukimosi prboloidu 5 n n. Rsti kūno tūrį. Sprendims.. Kūno projekcij plokštumoje r skrituls, 5. Dėl kūno simetrijos, glim skičiuoti ketvirtdlį tūrio ir gutą rezulttą duginti iš 4. Tigi: ) 4 ) 4 5 n n > 4 5 >h { 5p 5 n n >/< Vidinį integrlą pgl nesunku suintegruoti. Susttę rėžius, susidurime su ircionlių funkcijų integrlis 5 n >h 5 n >h 5 n > < Jiems suintegruoti reiki gn sudėtingų trigonometrinių pkeitimų (žr.?? skrių). Perėjus prie polinių koordinčių, integrvimo sritis užršom pprsčiu. Pirms skritulio ketvirtis (žr. pv.) pršoms nelgbėmis " Œ " 5 ir " Ž " Pv..