Matematika 1. V. Balek UČEBNICE. J. B. Zel dovič: Vyššia matematika pre začiatočníkov. kap. I - IV. Alfa, Bratislava, 1973.

Transcript

1 Matematika V. Balek UČEBNICE J. B. Zel dovič: Vyššia matematika pre začiatočníkov. kap. I - IV. Alfa, Bratislava, 973. I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec: Matematika pre štúdium technických vied, Alfa, Bratislava, 96. ZBIERKY ÚLOH J. Eliaš, J. Horváth, J. Kazan: Zbierka úloh z vyššej matematiky, 2. čast. Alfa, Bratislava, 966. B. P. Demidovič: Sbornik zadač i upražnenij po matematičeskomu analizu. Nauka, Moskva, 977.

2 . Definícia derivácie Č o j e t o m a t e m a t i c k á a n a l ý z a? predmet derivácie dotyčnice integrály plochy APLIKÁCIE - statika mostov - obiehanie družice okolo Zeme - obtekanie krídla lietadla vzduchom - rozpínanie plynu v 4-taktnom motore atd. atd. PRÍKLAD: otáčanie mosta Košická priehyb mosta = vypočítaný priehyb s presnost ou 0,00 (!) - kl účové slovo: diferenciálne rovnice - nielen AKO, ale aj PREČO

3 D r á h a a k o f u n k c i a č a s u s = dráha (meraná v km) t = čas (meraný v hod) interval hodnôt t hodnota s pre každé t (= s(t))... FUNKCIA (= s(t)) - interval t = definičný obor spojitý diskrétny - t = nezávisle premenná alebo argument - s = závisle premenná - s(0), s(),... = hodnoty funkcie v t = 0,,... s(t) = priradenie s všetkým t z definičného oboru - s(t) = predpis - musí byt JEDNOZNAČNÝ (jedno t - jedno s) - znázornenie: graf funkcie 2

4 s MESTO B zapcha radar MESTO A t 3

5 P r i e m e r n á a o k a m ž i t á r ý c h l o s t dráha s za čas t... v = s t t = t 2 t s = s(t 2 ) s(t ) LIMITA:... v = s(t 2) s(t ) t 2 t lim f() = hodnota, ku ktorej sa blíži f(), ak sa blíži k a a s v = lim t 0 t t = t t 2 = t + t s(t + t) s(t)... v = lim t 0 t - iba INTUITÍVNA definícia - f() sa musí chovat "slušne" v okolí = a - "lim": vid "limes" PRÍKLAD: lineárna funkcia s = αt + β ( rovnomerný pohyb auta) s t = t [α(t + t) + β αt β] = α s lim t 0 t = α 4

6 D e r i v á c i a df d = lim f 0 v = ds dt - iné označenie: f () alebo f - derivácia je TIEŽ FUNKCIA 2. derivácia, 3. derivácia,... = d2 f dt 2, d 3 f dt 3,... alebo f, f, f (IV )... PRÍKLADY s = t 2 : s = /t : s t = [ (t + t) 2 t 2] = 2t + t ds t dt = 2t [ ] s t = t t + t t = t(t + t) ds dt = t 2 f = αg + βh : f = α g + β h df d = α dg d + β dh d most Košická: pružná tyč y() y (IV ) = k, y(0) = y (0) = y() = y () = 0 5

7 tvar tyče pri k = : y 0 0,5-0,0 priehyb tyče = k 6

8 2. Funkcie a grafy P o j e m f u n k c i e f(): každé M... JEDINÉ y = f() (f : M N alebo R y) f f y f GRAF FUNKCIE: bod súradnice (, y) (kartézske) y dany bod pociatok 7

9 graf f() = množina bodov (, f()) pre všetky M - zostrojenie: konečný krok v + lomená čiara - príklad: GRAFICKÉ RIEŠENIE ROVNICE O p e r á c i e s f u n k c i a m i a n e p r i a m o z a d a n é f u n k c i e. Inverzná funkcia f() je prostá pre každé 2 platí f( ) f( 2 ) f inv (y) = hodnota, pre ktorú f() = y - príklad: y = 2 y = ± (DVE funkcie f ± ()) y 4 y

10 2. Zložená funkcia f zlož () = f(g()) = hodnota f(u) pri u = g() (f zlož = f g) - f(u) = vonkajšia funkcia, g() = vnútorná funkcia. - príklad: y = u, u = 2 2 y = 2 2 y u Implicitná funkcia y = f() F(, y) = 0 9

11 - príklad: ELIPSA 2 a 2 + y2 b 2 = 2 funkcie f ±() 4. Parametricky zadaná funkcia y = f() = X(t), y = Y (t) - príklad : ELIPSA = a cosχ, y = b sinχ - príklad 2: ARCHIMEDOVA ŠPIRÁLA polárne súradnice (r, φ): = r cos φ, y = r sinφ r = φ vel a funkcií f (), f 2 (),... E l e m e n t á r n e f u n k c i e. Mocninná funkcia y = p - p = n m : p = m n - p > 0 iracionálne: p = lim P p P, P = n m - p < 0 : p = p 2. Goniometrické funkcie 0

12 y = sin, cos, tg, cotg - rad = 360 2π - inverzné funkcie: arcsin, arccos, arctg, arccotg 3. Eponenciálna a logaritmická funkcia y = a, log a (a > 0) y = e, ln log e - e = Eulerovo číslo. = 2,7828 funkcie dané analyticky: lin. kombinácia & súčin & skladanie POLYNÓM: y = a n n + a n n +... }{{} n+ členov - lineárna funkcia: y = p + q priamka p = tg uhla medzi priamkou a osou smernica priamky - kvadratická funkcia: y = a 2 + b + c parabola

13 3. Vlastnosti funkcií. Limita. E š t e o e l e m e n t á r n y c h f u n k c i á c h. Mocninná funkcia y y 3 /2 /3 2 -/ p > 0: y 0, ak 0 / y, ak < 0: y, ak 0 / y 0, ak - p 2 > p : y 2 < y, ak 0 < < / y 2 > y, ak > - p = ± n, m nepárne: aj < 0 m NÁSOBENIE A UMOCŇOVANIE: p q = p+q, ( p ) q = pq (vid n =. }{{..}. ) n členov 2

14 POLYNÓM: najviac n koreňov y Goniometrické funkcie y y 2 tg 0 - cos sin 0 π/2 π 3π/2 2π π/2 π - -2 cotg - sú periodické s periódou 2π (sin, cos) a π (tg, cotg) tg 3

15 - hodnoty pre význačné uhly: π 0 6 sin cos 2 π π π 2 0 SÚČTOVÉ VZORCE: sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ cos(α + β) = cos α cos β sinαsinβ - dôkaz vzorca č. : α cos α sin β sin β β cos β α sin α cos β 4

16 3. Eponenciálna a logaritmická funkcia y y 3 2 ln ep e e y = e +y ln(y) = ln + lny (e ) p = e p ln( p ) = p ln 5

17 P o j e m l i m i t y ACHILLES VS. KORYTNAČKA: s t t 2 t = l v A, t 2 = v kt v A, t 3 = v kt 2 v A,... t t celk = ( + q + q )t, q = v k v A = 2 q = 2 : t celk = 2t = l v A v k 6

18 s n = }{{ }. : s n 2 s n =. = 0 0,3n 2 n n+ členov n > 3 : s n < 0, ; n > 6 : s n < 0, 0;... n > dostatoč. vel ké N: s n < l ub. malé ǫ lim a n = a n > dostatoč. vel ké N: a n a < n < l ub. malé ǫ ( ǫ > 0 N n > N : a n a < ǫ) "postupnost A. a korytnačky": N = log 2 ǫ zaokrúhlené nahor LIMITA FUNKCIE lim f() = b a < dostatoč. malé δ: f() b < a < l ub. malé ǫ ( ǫ > 0 δ a < δ : f() b < ǫ) - f(a) eistuje & lim a f() = f(a): f() je spojitá v a - funkcia f(), g(),...: lim lim f(), lim g(),... - lim v + : > dostatoč. vel ké M f() b < < l ub. malé ǫ; lim v a lim = ± : analog. - lim < : f() konverguje, lim = ± : f() diverguje 7

19 . lim =? čit. = ( )( + ) men. = ( )( 2 + 3) limita = = 2 P r í k l a d y zlomok = INÝ POSTUP: zapíšeme = + ǫ a urobíme limitu ǫ 0 zlomok = = ǫ ǫ ( + ǫ) + 3 = 2ǫ +... ǫ +... = 2. lim =? zlomok = limita = ( + 2ǫ +...) + + ǫ 3 = ǫ +... (limita "pre blížiace sa k sprava a zl ava") = ± lim ±(...) 3. lim =? zlomok = ( = +... ) limita = 2 8

20 VELIČINA RÁDU ǫ n : f(ǫ) = O(ǫ n ) lim ǫ 0 f(ǫ) ǫ n = KONEČNÁ konštanta ( 0) ešte raz : 2 = 2ǫ + O(ǫ 2 ), = ǫ + O(ǫ 2 ) = 2 + O(ǫ) + O(ǫ) lim(...) = lim(...) = ǫ 0 = 2 + lim O(ǫ) ǫ 0 + lim O(ǫ) = 2 ǫ 0 9

21 4. Výpočet limít. Derivácia. D v e d ô l e ž i t é l i m i t y. lim 0 sin y y > 0 : y < < y = y y 2 < y < < y < lim y aj = lim 0 + = (f() < g() lim a f() lim a g() dôkaz sporom) < 0 : rovnaký postup y lim 0 = dôležitá limita č. : lim 0 sin = 20

22 ( 2. lim + ) n n n {( + n) n }, n =, 2,... je rastúca & zhora ohraničená D: ( + ) n = + n n n +... = n(n ) 2 n(n )(n 2) + n2 3! ( ) + ( ) ( 2 ) +... n 3! n n n 3+ ( + ) n+ = + + ( ) + n + 2 n + 3! ( )( 2 ) člen č. n + 2 > n + n + & ( + ) n n ( + ) n < + + n 2 + 3! +... < < 3 (vid Achilles a korytnačka) DÔSLEDOK: {( + n) n }, n =, 2,... má limitu D: štandardný postup: zavedie sa suprémum = horná hranica, kt. je < ostatné horné hranice & dokáže sa, že lim = sup; 2

23 rýchly postup: n : jednotky na 2, desatiny na 7/0, stotiny na /00... a n na 2, dôležitá limita č. 2: (DEFINÍCIA e!) ( lim + n = e n n) R o z v o j e d o. r á d u VELIČINA ZANEDBATEL NÁ V RÁDE ǫ n :. ( + ) p = + p + o() f(ǫ) = o(ǫ n ) lim ǫ 0 f(ǫ) ǫ n = 0 D. pre p = n m : ( + )p = q n, q = ( + ) m ( + ) p = q n = (q )( + q + q q n ) = = (q m ) }{{} pr.: lim + q + q q n lim + q + q q m 0 dtto = n m = lim ǫ 0 = lim ǫ 0 + ǫ/2 + o(ǫ) 2[ + 3ǫ/8 + o(ǫ)] 2 = lim ǫ 0 + ǫ + 3( + ǫ) 2 = ǫ/2 + o(ǫ) 3ǫ/4 + o(ǫ) = 22

24 /2 + o() /2 + lim o() = lim ǫ 0 3/4 + o() = ǫ 0 3/4 + lim o() = 2 3 ǫ 0 2. sin = + o(), cos = o( 2 ) D: sin vid dôležitá limita č., cos = cos2 cos + = = sin2 cos + 3. e = + + o() D: e = lim plynie z monotón. lim 0 2 dtto = 2 ( + ) (spoj. verzia dôležitej limity č. 2, ( + ) ) e = [ lim p ( + p) p ] = ( = lim + p ( (limita zlož. funkcie) = lim + p p) ) n n n (spoj. p p n = n ( ); + < + ) n 2 < + + n 2 (binom. veta) + e + + limite nerovnosti) lim 0 e nerovnosti) 2 2 (veta o = (ešte raz veta o limite 23

25 D e f i n í c i a d e r i v á c i e ( ) f f f( 2 ) f( 2 ) () = lim = lim derivácia = SMERNICA DOTYČNICE y secnica dotycnica y 0 y 0: y y 0, sečnica dotyčnica 24

26 5. Vlastnosti derivácie. Priebeh funkcie. D e r i v á c i e e l e m e n t á r n y c h f u n k c i í (. p : (+ ) p = p + ) p [ = p + p ] + o( ) = = p + p p + o( ) ( p ) = p p 2a. sin: sin( + ) = sincos + cos sin = sin [ + o( )] + cos[ + o( )] = sin + cos + o( ) (sin) = cos 2b. cos : cos( + ) = coscos sinsin = cos [ + o( )] sin[ + o( )] = cos sin + o( ) (cos) = sin 3. e : e + = e e = e [ + + o( )] = e + e + +o( ) (e ) = e 2 pravidlá: (kf) = kf, [f(k)] = kf (k) (k) = k, (k 2 ) = 2k,..., [sin(k)] = k cos(k) [cos(k)] = k sin(k), (e k ) = ke k 25

27 . Vol ný pád g d 2 s dt = g s = 2 2 gt2 (Galileo) ( ) d d D: dt 2 gt2 = gt, dt (gt) = g g sinα NAKL. ROVINA: g g sinα 5 7 g α ( 5 7 = + 2, rotácia gul ôčky) φ l 2. Malé kmity d 2 φ dt 2 = ω2 φ, ω = g l l φ = φ 0 cos(ωt), T = 2π g g D: d cos(ωt) = ω sin(ωt), dt d dt [ ω sin(ωt)] = ω2 cos(ωt) 26

28 dn dt 3. Rozpad jadier = λn, λ = rozpad. konšt. N = N 0 e λt, t /2 = ln 2 λ D: d dt e λt = λe λt V e t y o d e r i v á c i a c h. Derivácia lineárnej kombinácie: (αf + βg) = αf + βg D: triviálny 2. Derivácia súčinu: (fg) = f g + fg (Leibnitz) D: (fg) = (f + f)(g + g) fg = fg + f g + f g, f aj g = O( ) (fg) = fg + f g + O( 2 ) dôsledok: (fgh...) = f gh... + fg h... + fgh pr.: ( n ) = (}. {{...}. ) = n členov = n n 27

29 3. Derivácia inverznej funkcie: y = f inv (): y = f (f inv ()) D: y = / y ; podrobne: f inv = f inv( + ) f inv () u = f(u + u) f(u) f inv () = u=finv (), u+ u=f inv (+ ) = f (u) u=finv () pr. : y = arcsin : = siny, = cos y = je z intervalu ( π 2, π ) ) = 2 2 y = sin 2 y (y 2 ; y = = = arccos : dtto (y je z intervalu (0, π)) pr. 2: y = ln: = e y, = e y = y = 4. Derivácia zloženej funkcie: y = f(g()): y = f (g())g () D: y = y u u ; podrobne: f zlož g( + ) g() g( + ) g(), f g = f(u + u) f(u) u f(g( + )) f(g()) = u=g(), u+ u=g(+ ) f zlož () = f (u) u=g() g () 28

30 pr.: [( + ) ] = { [ ( ep ln + )]} = ep(...) [ ( ln + ) +. + /. 2 [( + ) ( ln + ) ] ] = ( + ) dôsledky: ( ) = f f f 2, ( ) f = f g fg g g 2 pr.: (tg ) = ( ) sin = cos =, (cotg ) = cos 2 sin 2 cos. cos sin. ( sin) cos 2 = 5. Derivácia implicitnej funkcie: vyjadruje sa cez parc. derivácie nebudeme robit 6. Derivácia parametricky zadanej funkcie: y () = Y (t) X (t) X(t)= D: y = y/ t / t pr.: ELIPSA: y = b cosχ a sinχ = b2 a 2 y 29

31 M o n o t ó n n o s t. M i n i m á a m a i m á. y () > 0 < 0 y() rastie klesá y = rýchlost rastu / y < 0 : y = rýchlost klesania pr. : d(nálada) d(vzdialenost od zubár. kresla) > 0 pr. 2.: y = ln +, > : y = ln > 0 y, [( y() = 0 y > 0; + ) ] ( y + ) dtto > 0 pri > 0 ( + ) pri > 0 y (a) = 0 y v a (y (a) > 0): y má MINIMUM v a y v a (y (a) < 0): y má MAXIMUM v a 3. možnost : INFLEX. BOD, spoločný názov: etrémy y MIN y MAX y INFL. BOD 30

32 h v. Zvislý vrh nahor y = vt 2 gt2 : dy dt = v gt t ma = v g, h = y(t ma) = v2 2g 2. Šikmý vrh y α v d = v t y = v y t t dopad = 2v y 2 gt2 g, d = (t dopad) = 2v v y g v = v cos α v y = v sinα d 2 sinαcosα = sin(2α) d (α) 2 cos(2α) = 0, 0 < α < π 2 α ma = π 4 3

33 6. Diferenciál. L Hospitalovo pravidlo. Taylorov rad. D i f e r e n c i á l (prírastok ) y (prírastok y) = y( + ) y() df. : d (diferenciál ) = df. 2: dy (diferenciál y) = y ()d - y = dy + o( ) dy = lineárna čast prírastku y - "inžinierska" df.: dy = INFINITEZIMÁLNY prírastok y y y dy = d y = dy d ("dy podl a d" aj "dy lomeno d") 32

34 L H o s p i t a l o v o p r a v i d l o PRAVIDLO (pre limitu typu 0 0 ): f (), g () e. v okolí a ( f(), g() sú spojité v okolí a) & lim a f() aj lim a g() = 0 & lim a f () g () e. (aj -ná) f() lim a g() = lim f () a g () D. ak f (a), g (a) e. a g (a) 0: f() g() = f (a) + o() g (a) + o() f() = f (a) + o( ) g() = g (a) + o( ) f() lim a g() = f (a) g (a) pr.: lim = lim = lim = 2 PRAVIDLO 2 (pre limitu typu ): f (), g () e. v okolí a & f 2 () + g 2 () je všade 0 & lim a f() aj lim a g() = & lim a f () g () e. (aj -ná) f() lim a g() = lim f () a g () 33

35 D: F = f, G = g f F 2 = lim a g G = lim f 2 a g = ( ) F f lim = lim a G a g F lim a G = lim F a ( F lim a G G = lim a f /f 2 g /g 2 = ) 2 f lim a g = lim G a F = - podmienka na f 2 + g 2 : kvôli osciláciam f, g - obe pravidlá platia aj pre -né a (D: u = /) EŠTE JEDNA DÔLEŽITÁ LIMITA: lim p e = 0 pre p > 0 (e rastie rýchlejšie než l ub. mocnina ) D: lim e = lim e = lim (pravidlo 2) = 0,... e pr.: lim 0 = lim 0 e ln. = lim u eueu = e 0 = T a y l o r o v r a d Rolleova veta: f() je spoj. na a, b & f () e. a je konečná na (a, b) & f(a) = f(b): f (ξ) = 0 v aspoň jednom ξ (a, b) 34

36 (dôkaz sporom) Lagrangeova veta: dtto s l ub. f(a), f(b): f (ξ) = v aspoň jednom ξ (a, b) f(b) f(a) b a D: f() = f 0 () + zlomok ( a) y ROLLE y LAGRANGE f() = f(a) + f (ξ)( a), ξ = a + Θ( a), 0 < Θ < Taylorova veta: f() je spojitá na a, b aj s f, f,... f (n) & f (n+) () e. a je konečná na (a, b): f() = f(a) + f (a)( a) + 2 f (a)( a) n! f(n) (a)( a) n + (n + )! f(n+) (ξ)( a) n+ 35

37 prvých n členov = T. polynóm, n +. člen = T. zvyšok D pre n = 2: Q(t) = f(t) +f (t)( t) + = T. zvyšok TAYLOROV RAD: T. zvyšok 0 pri n : ( t)2 ( a) 2R(), R() = f() = f(a) + f (a)( a) + 2 f (a)( a) polomer konvergencie: po prvé v komple. rovine - rozvoj okolo nuly = McLaurinov rad - rozvoje elementárnych funkcií: ( + ) p = + p + 2 p(p ) sin = 3! 3 + 5! cos = ! e = ! ln( + ) =

38 7. Neurčitý integrál P o j e m n e u r č i t é h o i n t e g r á l u a v dv dt = a : v = at? NIE v = at + v 0 s a ds dt = at : s = 2 at2? NIE s = 2 at2 + s 0 37

39 funkcia iná funkcia + konštanta a v t t v s t t DEFINÍCIA NEURČ. INTEGRÁLU - primitívna funkcia k f(): F () = f(), F() = špec. riešenie - neurčitý integrál z f(): NI () = f(), NI() = VŠEOBECNÉ riešenie N I() = F() + C, C = neurčitá konštanta (často: N I() = F(), ALE správny je vzorec s C) 38

40 C F() + C 4 C 4 F() + C 3 C 3 F() + C 2 C 2 F() + C C 39

41 OZNAČENIE NEURČ. INTEGRÁLU: neurčitý integrál z f() = f()d - = pretiahnuté S, S = suma (súčet) - f() = F () f()d = df, f()d = F() + C df = F() + C = operácia inverzná k d - prečo "suma"? df =. F pri malom F() =. F(a)+ + súčet df na intervale (a, ); df = súčet INFINITEZI- MÁL. df bez udania a df = F() + C F df df F 40

42 f() p, p sin cos e f()d p+ p + cos sin e ln - atd. z lin. komb. = lin. komb., zo súčinu NEDÁ SA (integrovanie nie je algoritnické) 4

43 I n t e g r a č n é m e t ó d y. Integrácia per partes: uv d = uv u vd D: uv = (uv) u v (Leibnitz) pr. : ln d, pr. 2: e sind 2. Substitúcia: u(v)dv = u(v())v ()d D: u(v)dv = du, U = U(v()) du vid derivácia zloženej funkcie d pr. : + 2, pr. 2: sin 3 d, pr. 3: traktri = krivka, ktorej vzdialenost od p meraná po dotyčnici sa rovná a; úloha: nájst traktri s p = O y a a = d (výpočet = rozklad na parc. zlomky) 2 42

44 8. Určitý integrál P o j e m u r č i t é h o i n t e g r á l u t: v s s. = v t, v = rýchlost na začiatku t s na (t A, t B ) =? krok : rozdelíme (t A, t B ) na n podintervalov t A t B t 0 t t 2 t 3 t 4 t n- t n (hraničné body: t 0 = t A, t = t A + t, t 2 = t A + 2 t,..., t n = t B, kde t = t B t A n ) krok 2: na podintervale použijeme vzorec s. = v t 43

45 n s približ = v(t i ) t i= (df. n : a i = a + a a n ) i= krok 3: urobíme limitu n s = lim n n v(t i ) t i= pr.: ROVNOMERNE ZRÝCHLENÝ POHYB v = at, a = konšt v t A t B t 44

46 s približ = [ nt A + n at i t = i= ] n(n ) t 2 n a[t A + (i ) t] t = a i= t = a (t B t A ) s = 2 a(t2 B t 2 A) [ t A + ( ) ] (t B t A ) 2 n - s = S(vel ký ) S(malý ) = S(lichobežník) v at B at A t A t B t - s(t) = 2 at2, vid neurč. integrál: s = s(t B ) s(t A ) DEFINÍCIA URČ. INTEGRÁLU - () delenie D: body 0 = a,, 2,..., n = b, (2) výber bodov ξ: body ξ i i, i ) 45

47 - čiastočný súčet: σ(d, ξ) = n f(ξ i ) i, kde i = i i i= y a b - určitý integrál: UI = lim σ(d, ξ), kde D (norma D) = D 0 = ma i (e. limity: vid horné a dolné súčty) OZNAČENIE URČ. INTEGRÁLU: určitý integrál z f() na intervale (a, b) = (TENTO = naozaj suma!) b a f()d - otočenie intervalu: a b = b a, skladanie intervalov: b a = 46

48 = c a + b c - geom. význam: b > a : S nad S pod, b < a : S pod S nad N e w t o n o v a - L e i b n i t z o v a v e t a b a D. pre spoj. funkciu f(): f()d = F(b) F(a) dané D, l ub. i: e. ξ i také, že F( i ) F( i ) = F (ξ i ) i (Lagrange) = f(ξ i ) i (df. F()) dané D: e. ξ také, že n σ(d, ξ) = [F( i ) F( i )] = F(b) F(a); limita σ(d, ξ) = i= = limita σ(d, l ub. reprezentant ξ) (vid limita f() pri a = limita f() na postupnosti, 2,..., ktorá a) limita σ(d, ξ) = F(b) F(a) I() = a GEOMETRICKÝ VÝZNAM N. - L. VETY f(u)du: I() = F() F(a) I () = f() (df. F()) I = f() + o( ) (súvis medzi a d) 47

49 y a + u VETA O STREDNEJ HODNOTE f = b f()d : e. ξ (a, b) také, že f(ξ) = b a f a D: Lagrangeova veta pre F() y f a ξ b 48

50 D o d a t o k: r o z k l a d n a p a r c. z l o m k y P() P(), Q() = polynómy: Q() d =? - krok : znížime stupeň P() (ak je vyšší než stupeň Q()) - krok 2: zapíšeme Q() ako súčin výrazov typu l n () a k m (), kde l() = + a a k() = 2 + p + q - krok 3: prepíšeme P() Q() na lin. kombináciu výrazov typu l(), l 2 (),..., l n () a súčet výrazov typu L () k(), L 2() k 2 (),..., L m(), kde L() = r + s; tieto výrazy sa nazývajú k m () parciálne zlomky - krok 4: parc. zlomky preintegrujeme (krok 2: vid komplené korene Q(), krok 3: vid POSTUPNÉ znižovanie stupňa Q()) 4 pr. : d =? rieš.: podint. funkcia = 4 = A( + 2) + B( ) 4 ( )( + 2) = A + B

51 A + B = 4 2A B = int. = d pr. 2: 4 + =? d + 3 rieš.: podint. funkcia = = A + B A = B = 3 d + 2 = ln ln 2 + C ( )( ) = C + D = (A + B)( ) + (C + D)( ) A+C = 2( A+C)+B +D = A+C + 2( B +D) = = 0, B + D = B = D = 2, A = C = 2 2 ( int. = d ) d = počty, počty, počty = [ = ln arctg ( 2 + ) + arctg ( ] 2 ) + + C = 50

52 9. Výpočet určitého integrálu. Plochy a objemy. V ý p o č e t u r č i t é h o i n t e g r á l u. Integrácia per partes: b a uv d = uv b b u vd, a a kde f = f(b) f(a) b a 2. Substitúcia: b a f()d = t(b) t(a) f((t)) (t)dt, kde t() = inv. funkcia k (t) pr.: π/2 0 sin 2 ()d =? rieš.: = π 2 t: d = dt, int. = 0 = π/2 0 int. = 2 π/2 0 cos 2 (t)dt = π/2 0 π/2 0 sin 2 ()d + 2 [sin 2 () + cos 2 ()]d = 2 π/2 sin 2 ( π 2 t ) ( dt) = cos 2 ()d ( = nemá premenná!) π/2 0 π/2 0 cos 2 ()d = 2 d = π 4 5

53 y cos sin π/2 N e v l a s t n ý i n t e g r á l. Integrál divergujúcej funkcie: a < b & f() ± pri a + : b = lim a + pr.: 0 b a f()d = f(u)du; f() ± pri b : analog. ln()d = 2. Integrál na nekonečnom intervale: a pr.: f()d = lim 0 e d = a f(u)du, 52 b f()d analog.

54 MOCNINNÉ ASYMPTOTIKY: f() p pri, p > : int. f() cez a, ) je konečný; f() p pri 0, 0 < p < : int. f() cez 0, a je konečný P l o c h y a o b j e m y plocha kruhu - výpočet (cez mnohouholníky): α α cos 2 α sin 2 α α tg 2 S = n sin(α/2) cos(α/2) tg (α/2), kde α = 2π n : S π n S S

55 plocha kruhu - výpočet 2 (cez obdĺžniky): y 0 S = 4 0 π/2 2 d = 4 sin 2 (φ)dφ = π 0 pr.: y = 2 2 y 2 = : S medzi y a y 2 =

56 ROTAČNÉ TELESÁ: z α dz β dr a b r S = β α 2πr r 2 + dz, V = β α πr 2 dz,... pr. : S gule = 4πR 2, V gule = 4π 3 R3 pr. 2: I = r 2 ρdv, ρ = M V : I gule = 2 5 MR2 55

57 0. Diferenciálne rovnice Č o s ú d i f e r e n c i á l n e r o v n i c e? algebr. rovnica: neznáma = číslo / dif. rovnica: neznáma = = FUNKCIA / dif. rovnica n-tého rádu = rovnica, kt. obsahuje derivácie hl adanej funkcie po n-tú: F(, y, y,..., y (n) ) = 0 pr.: prehnutie mosta Košická, vol ný pád, harm. kmity... RIEŠENIE: y = y(, C,...,C n ) (môžu e. aj singulárne rieš., ale o tých nebude reč) pr. : y = f() y = F() + C, C l ub. pr. 2: y = y y = a cos( + ψ), a 0, 0 ψ < 2π - určenie C,..., C n : začiatočné / okrajové podmienky; pr.: y = y, y(0) = 0, y (0) = y = sin - prepis na n rovníc. rádu: y = y, y 2 = y,... y n = y (n ) 56

58 y = y 2, y 2 = y 3,..., y n = f(, y, y 2,...,y n ) zač. podmienky: y (a) = α, y 2 (a) = α 2,... y n (a) = α n približné riešenie: 0 = a, = a + h,... y ( i+ ) = = y ( i )+y 2 ( i )h, y 2 ( i+ ) = y 2 ( i )+y 3 ( i )h,..., y n ( i+ ) = = y n ( i ) + f( i, y ( i ),...,y n ( i ))h - systém rovníc l ub. rádu: TIEŽ systém rovníc. rádu pr.: ẍ = /r 3, (0) = r, ẋ(0) = 0 ÿ = y/r 3, y(0) = 0, ẏ(0) = v, kde bodka = d dt, r = = 2 + y 2 v < v II = 2/r: ELIPSA (Newton) y v r 57

59 LINEÁRNE ROVNICE: a n ()y (n) + a n ()y (n ) a 0 ()y = b() - homog. rovnica (b = 0): y = C u ()+...+C n u n () ("princíp superpozície"); pr.: y = y y = C cos + C 2 sin - nehomog. rovnica (b 0): y = y part + predch. rieš., y part = = partikulárne rieš.; pr.: y = y + k y = k + C cos + + C 2 sin R o v n i c e p r v é h o r á d u. Separácia premenných: P() + Q(y)y = 0 Q(y)dy = P()d Q(y)dy = = P()d (rozpísaný dôkaz: u() = riešenie P()+ + Q(u())u () = 0 (...)d = 0; subst. y = u() v 2. integrále vzt ah uvedený vyššie) pr. : 2yy = 4 3 ; pr. 2: yy + ( 2 + )(y 2 ) = 0 58

60 2. Substitúcia: P(y/) + Q(y/)y = 0 (homogénna rovnica) y = = u(): P(u) + Q(u)(u + u ) = 0 separuje sa pr. : y 2 + ( 2 y)y = 0; pr. 2: parabolické zrkadlo 3. Variácia konštanty (lin. nehomog. rovnica): y + p()y = q(): () y + p()y = 0 y = Cf(), (2) C c() pr.: y cotg y = e sin. Vylúčenie : R o v n i c e d r u h é h o r á d u F(y, y, y ) = 0 y = z(y): F(y, z, zz ) = 0 pr.: y + 2 y y 2 = 0 2. Variácia konštánt (lin. nehomog. rovnica): y + p()y + q()y = r(), rieš. homog. rovnice = u, v: y = vr ur = u W d + v W d, W (Wronskián) = uv vu 59

61 pr.: y 6 2 y = ln, u = 3, v = 2 2. Metóda charakteristickej rovnice (lin. homog. rovnica s konšt. koeficientami): y +py +qy = 0 λ 2 +pλ+q = 0 (charakteristická rovnica): () 2 korene: y = C e λ + C 2 e λ2, (2) koreň: y = (C + + C 2 )e λ, (3) žiadny koreň: y = [C sin(q) + C 2 cos(q)] e p/2, Q = q p 2 /4 pr.: ẍ + 2νẋ + ω 2 = sin(ω 0 t) (vynútené kmity tlmeného oscilátora) 60

62 . Opakovanie - matka múdrosti téma : LIMITY limita postupnosti: lim n a n funkcie: lim f(), a lim f() ± derivácia: f f( + ) f() () = lim ; rad = súčet 0 n {a i } = limita čiastočných súčtov {a i }: a i = lim a i ; n určitý integrál = limita čiastočných súčtov f() pri danom b n D a ξ: f()d = lim f(ξ i ) i (špec. výber D a D 0 ξ: b a a f()d = lim n i= i= i= n f(a + (n )h)h rad? NIE) i= Definícia limity lim f() = b a < dostatoč. malé δ: f() b < a < l ub. malé ǫ ( ǫ > 0 δ a < δ : f() b < ǫ) (podobne limita v -ne a -ná limita) dôsledok : limita af() + bg(), f()g(), f(g()) 6

63 ( sin dôsledok 2: lim 0, lim + ) n n n cos cos(3) lim 0 2 Výpočet limít metóda : ALGEBRAICKÉ ÚPRAVY = 2 lim cos 2 cos 2 (3) 0 2 ( ) = 4 cos cos(3) lim 0 2 = = 4 = lim 0 cos cos(3) 2 cos + cos(3) cos + cos(3) = = 2 lim sin 2 + sin 2 (3) = metóda 2: ROZVOJE [ 2 = lim (3) ] = 0 2 metóda 3: L HOSPITALOVO PRAVIDLO cos cos(3) lim 0 2 = lim 0 cos + 9 cos(3) 2 = lim 0 sin + 3 sin(3) 2 = = 4 (koef. v rozvoji = derivácie, vid Taylorov rad: metóda 2 metóda 3) = 62

64 téma 2: DERIVÁCIE pravidlo : (fg) = f g+fg (Leibnitz); pravidlo 2: ( ) f = g = fg f g ; pravidlo 3: [f(g())] = f (g())g () (pravidlo g 2 2 = dôsl. pravidiel a 3) f() p sin f () p p cos cos sin tg cos 2 cotg sin 2 arcsin ± arccos 2 arctg arccotg ± + 2 e ln e derivácia arkusov a logaritmu: vid f inv () = f (f inv ()) 63

65 Priebeh funkcie () df. obor + asymptotiky; (2) etrémy; (3) oblasti rastu a klesania; (4) priebeh (schematicky) y = : () je l ub., ± : y (y asymp = = + 3 ); (2) y = 0 = 0, 2 ; (3) < 0: 3 y, 0 < < 2 3 : y, > 2 3 : y = 0 min., = 2 3 ma. y (4): 2/3 dodatok: KONVERGENCIA T. RADU e = ! konverguje pre 64

66 D: + q + q 2 + q konv. pre 0 < q < & = n + < pre n > isté N téma 3: INTEGRÁLY a n + a n = Neurčitý integrál f() f()d p, p sin p+ p + cos cos sin metóda : e e ln arcsin 2 arctg + 2 ln( + 2 ± ) 2 ± 2 2 ln + uv d = uv u vd (integrácia p.p.) 65

67 metóda 2: f()d = f(g(u))g (u)du (substitúcia) metóda 3 iba pre rac. funkcie: rozklad na p. z. dodatok: ROVNICA TRAKTRIXY t. s param. = krivka, ktorej vzdialenost od O meraná po dotyčnici = ; ú: nájst y() geom. úlohy 2 ( + y 2 2 ) = y = ± d = = ± 2 ln arcsin + C Určitý integrál b a f()d = F(b) F(a) (Newton - Leibnitz) urč. integrál = plocha rovinné plochy, povrchy, objemy... téma 4: DIFERENCIÁLNE ROVNICE rovnice. rádu: separácia premenných, variácia konštanty; rovnice 2. rádu: variácia konštánt, charakteristická rovnica dodatok: PARABOLICKÉ ZRKADLO p. z. = zrkadlo, ktoré sústred uje lúče v smere O do O; ú: 66

68 nájst y() geom. úlohy y = 2y y 2 y = y y y 2 = a, y = a2 2 2a y ešte jeden dodatok: VARIÁCIA KONŠTÁNT y +p()y +q()y = r(), rieš. homog. rovnice = u(), v(): y = αu + βv: y = α u + αu + β v + βv y = α u + 2α u + αu + β v + 2β v + βv α u + α (2u + pu) + β v + β (2v + pv) = r α u + β v = 0 () (postulujeme) α u + β v = r (2) (dôsledok () a pôv. rovnice) vr ur y = u W d + v W d, W = uv vu ***************************************************** SKÚŠKA: U 4.., U 8.., Pi 2.., U 25., U.2., Pi KTFDF; písomka hod. 30 min. + spoločné zhodnotenie písomky (+ ústna skúška) 67