I. ikasgaia: Probabilitateen kalkulua

Transcript

1 I. ikasgaia: Probabilitateen kalkulua 1 Eranskina: Konbinatoria 2 Probabilitate kontzeptua 2.1 Laplaceren erregela 2.2 Maiztasun-ikuspuntua 2.3 Ikuspuntu subjektiboa 3 Gertakizunen aljebra 3.1 Aurkako gertakizunak 3.2 Gertakizun bateraezinak 3.3 Bilketa 3.4 Ebaketa 3.5 Kenketa 3.6 De Morgan legeak 3.7 Inklusio-esklusio erregela 4 Biderketa erregela 5 Probabilitate osoaren teorema: zuhaitzaren estrategia 6 Bayesen teorema 7 Froga estatistikoetarako sarrera 1

2 II. ikasgaia: Zorizko aldagaiak 1 Zorizko aldagaia eta probabilitate banakuntza 2 Z.a. diskretuak 2.1 Probabilitate-funtzioa 2.2 Banaketa-funtzioa 3 Z.a. jarraituak 3.1 Dentsitate-funtzioa 3.2 Banaketa-funtzioa 4 Parametro kontzeptua 5 Banakuntzak eredu moduan 6 Jarraituzko hurbilketak 2

3 Zorizko aldagaia edo aldagai estokastikoa (ing., random variable) zoriz gertatzen den zenbakizko balio bat da, hala nola eguneko ekoizpena lantegi batean eta ikasle baten kalifikazio kuantitatiboa. Zorizko aldagai bati buruz, gerta daitezkeen balio posible guztiak euren probabilitateekin batera zehaztu direnean, zorizko aldagaiaren probabilitate-banakuntza edo probabilitate-banaketa finkatu dela esaten da. Zorizko aldagai diskretuak dira balio konkretu batzuk soilik hartzen dituztenak; adibidez, familia bateko seme-alaben kopurua (0,1,2,3,...) eta gainditu ez den irakasgaien kopurua (0,1,2,3,...). Zorizko aldagai diskretuak probabilitate-funtzio batez edo banaketa funtzio-batez defini daitezke. Probabilitate-funtzioak, banakuntza diskretu baterako, balio jakin baterako probabilitatea ematen du zuzenean, formula baten bitartez edo taula batean behatuta. Banaketa-funtzioak probabilitateak metatu egiten ditu; horrela, balio batetik beherako probabilitatea ematen du, balio hori barne. Zorizko aldagai jarraituak dira tarte batean edozein balio har dezaketenak; adibidez, labe bateko tenperatura ( ) eta ibilbide bat egiteko behar den denbora (10min-20min). Balio ezberdin asko hartzen dituzten zorizko aldagai diskretuak ere jarraitutzat har daitezke. Zorizko aldagai jarraituak dentsitate- edo trinkotasun-funtzio batez edo banaketa funtzio batez definitzen dira. 3

4 III. ikasgaia: Probabilitate-banakuntzen ezaugarriak 1 Itxaropen matematikoa 1.1 Itxaropen matematikoa vs. batezbestekoa 1.2 Propietateak 2 Momentuak 2.1 Jatorriari buruzko momentuak 2.2 Momentu zentralak 3 Bariantza eta desbidazio estandarra 3.1 Bariantzaren propietateak 4 Itxaropena eta bariantza erabaki-teorian 4.1 Epe luzera: itxaropena 4.2 Epe laburrera: itxaropena eta arriskua 4.3 Utilitate-funtzioak 5 Txebixeven ezberdintza 4

5 IV. ikasgaia: Probabilitate-ereduak 1 Prozesu binomiala 1.1 Bernoulliren banakuntza 1.2 Banakuntza binomiala 1.3 Banakuntza geometrikoa 1.4 Banakuntza binomial negatiboa 2 Poisson banakuntza 2.1 Banakuntza binomialaren hurbilketa Poisson banakuntzaren bidez 3 Banakuntza esponentziala 3.1 Oroimen-eza eta hondatze-tasa 4 Banakuntza uniformea 5

6 Banakuntza esponentzialaren oroimen-eza honela adierazten da analitikoki: P (D > y + x/d > x) = P (D > y) Gertaeren arteko denborarako ez ezik, banakuntza esponentziala gailu eta makinen iraupen eta bizitza erabilgarriari buruzko probabilitateak kalkulatzeko ere erabiltzen da. Banakuntza esponentziala aldagai horietarako erabiltzen denean, oroimen-ezak desgaste edo neke eza inplikatzen du, aurretik iragandako denborak ez baitu aldatzen ondorengo denbora eta gertaeren probabilitateetan: y irauteko probabilitatea (denbora y gutxienez izateko probabilitatea, alegia) eta x denbora pasata, y denbora irauteko probabilitatea (hau da, guztira x+y irauteko probabilitatea) berdinak dira. 6

7 Propietate hau, ordea, ez dator bat errealitatearekin kasu gehienetan: auto batek hurrengo urtean matxura bat izateko probabilitatea handiagoa da 10 urte pasata 2 urte pasata baino, hau da, bere hondatze-tasa goraka doa denborarekin batera. Kasu horietarako, matxuren arteko denbora eta, oro har, gailuen iraupen erabilgarria modu errealistago eta malguago batez irudikatzen duen banakuntza Weibullen banakuntza da. Beste kasu batzuetan, hondatze-tasa beherakorra da hasiera batean, egonkorra gero eta gorakorra amaieran. Adibidez, pertsonak jaioberritan gaixotzeko arriskua handia dute, baina arrisku hau beheraka doa haurra hazten doanean (tasa beherakorra), heltzean hondatzetasa nahiko egonkorra da (aldi horretarako soilik banakuntza esponentziala egokia liteke) eta zahartzaroan, goraka egiten du urteekin batera (hondatze-tasa gorakorra). Egoera horiek guztiak barnehartzen dituen banakuntza bat Gompertzen banakuntza da. 7

8 V. ikasgaia: Banakuntza normala eta konbergentzia estokastikoa 1 Banakuntza normala: sarrera 2 Banakuntza normalaren ezaugarriak 3 Propietateak 3.1 Aldakuntza lineala 3.2 Ugalkortasuna 4 Banakuntza normal estandarra 5 Estandarketa 6 Banakuntza binomialaren hurbilketa normala 7 Poissonen banakuntzaren hurbilketa normala 8 Limitearen teorema zentrala 8

9 VI. ikasgaia: Inferentziarako sarrera 1 Inferentzia: helburua eta kontzeptuak 2 Inferentziarako pausoak 2.1 Ereduaren ezarpena 2.2 Zenbatesleen ezarpena 2.3 Zenbatespena eta kontrastea 2.4 Balidazioa Ereduaren kontrasteak Zorizkotasunaren kontrasteak Homogeneotasun kontrasteak 3 Zenbatesleen lagin banakuntzak 9

10 Inferentzia klasikoan, helburua LAGIN (jasotako datu multzo mugatu bat) batetik EREDU bateko PARAMETROAK (adibidez, eredu uniforme bateko minimoa eta maximoa, eredu normal bateko batezbestekoa) edo POPULAZIO bateko ezaugarriak (donostiarren batezbesteko errenta, adibidez) ZENBATETSI (estimatu) edo KONTRASTATU egiten dira, horretarako datuetan oinarrituta ZENBATESLEAK kalkulatuz (adibidez, ohikoena populazio bateko batezbestekoa datuen batezbestekoa baliatzea zenbatesle gisa). Laginak, oro har, ZORIZKO LAGINKETA SINPLEAZ jasoko dira (hau da, datuak erabat zoriz eta independentziaz jaso behar dira). Helburua parametroetarako zenbatesle onak asmatu eta garatzea da eta horiei dagokien probabilitateak zehatz kalkulatu ahal izatea. Izan ere, zenbatesle bakoitza zorizko aldagaia da eta, ondorioz, probabilitate-banakuntza bat dagokie jasoko diren datuetarako, zenbateslearen LAGIN BANAKUNTZA izena duena. Adibidez, lagin-tamainua handia denean, limitearen teorema zentralaz honela banatzen da lagin batezbestekoa: x N ( µ, σ ) n 10

11 VII. ikasgaia: Konfiantza-tarteak 1 Kontzeptua: puntu-zenbatespenak eta tartezenbatespenak 2 Batezbestekorako t konfiantza-tartea 2.1 Eraketa 2.2 Konfiantzaren eragina 2.3 Lagin-tamainaren eragina 2.4 Desbidazioaren eragina 2.5 Tarte ez-simetrikoak 3 Proportzio baterako konfiantza-tartea 3.1 Eraketa 3.2 Konfiantzaren eta lagin-tamainaren eragina 3.3 Tarte-ez simetrikoak 3.4 Lagin-tamainaren kalkulua 11

12 VIII. ikasgaia: Zenbatesleen propietateak 1 Alboragabetasuna 2 Zehaztasuna 3 Batez besteko errore koadratikoa 3.1 Zenbatesle uniformeki hobeak 3.2 Minimax irizpidea 12