Deskripčná logika. UINF/SWB: Sémantický web podľa

Transcript

1 Deskripčná logika UINF/SWB: Sémantický web podľa

2 Deskripčná logika zjednocujúci formalizmus pre nástroje reprezentácie frame-based (systémy založené na rámcoch) sémantické siete objektovo orientované reprezentácie sémantické dátové modely ontologické jazyky...

3 Deskripčná logika štruktúrovaná podforma predikátového počtu poskytuje teórie a systémy pre reprezentáciu štruktúrovaných informácií pre prístup k týmto informáciám pre odvodzovanie v rámci nich

4 Aplikácie deskripčnej logiky v systémoch konfigurácia sémantika prirodzeného jazyka konceptuálne modelovanie inteligentná integrácia informácií (I3) optimalizácia dopytov a udržiavanie pohľadov prístup k informáciám a inteligentné rozhrania terminológie, slovníky a ontológie správa softvéru plánovanie

5 DL formalizuje viacero objektovoorientovaných reprezentácií Formalizmus odstraňuje nejednoznačnosti prítomné v nepresných reprezentáciách

6 Rámce / Frames / Objekty identifikátor trieda inštancia slot (atribút) hodnota identifikátor implicitná hodnota obmedzenie povolených hodnôt typ doména kardinalita zapúzdrená metóda

7 Nejednoznačnosť: trieda vs objekt Osoba vek: INTEGER pohlavie: M, Ž výška: INTEGER partner: Osoba Peter vek: 30 pohlavie: M výška: 76 žena: Lucia trieda inštancia

8 Nejednoznačnosť: neúplná informácia Tridsiatnik vek: 30 pohlavie: M výška: INTEGER partner: Osoba Peter vek: 30 pohlavie: M výška: 76 žena: Lucia trieda inštancia

9 Nejednoznačnosť: dedičnosť Osoba vek: INTEGER pohlavie: M, F výška: INTEGER partner: Osoba Tridsiatnik vek: 30 pohlavie: M výška: INTEGER partner: Osoba Muž vek: INTEGER pohlavie: M výška: INTEGER partner: Žena Peter vek: 30 pohlavie: M výška: 76 žena: Lucia

10 Asociácie: explicitná asociácia Peter vek: 30 pohlavie: M výška: 76 Lucia vek: 28 pohlavie: F výška: 59 rodinapetraalucie manžel: Peter manžela: Lucia

11 Tranzitivita asociácií Auto má súčiastku Motor Motor má súčiastku vieme odvodiť Valec Auto má súčiastku Valec

12 Naozaj tranzitivita? Ján má dieťa Peter Peter má dieťa očividne neplatí, že Zuzana Ján má dieťa Zuzana

13 Nejednoznačnosť: Nixonov diamant Prezident Kvaker [pacifista] Republikán [militarista] Je Nixon pacifista alebo nie? Nixon

14 Kvantifikácia Žaba má farbu Zelená Každá žaba je len zelená. Každá žaba môže byť aj zelená Každá žaba má istý odtieň zelenej. Existuje zelená žaba. Žaby sú obvykle zelené, hoci sú aj výnimky

15 Falošní priatelia objektovo orientované reprezentácie sú z logického hľadiska nejednoznačné sú často používané a podporené grafickými nástrojmi procesy odvodzovania však nespadajú do štandardných logických kategórií ešte nie sú dobre chápané a formalizované vyvinúť odvodzovací algoritmus nad štruktúrami istého druhu je oveľa jednoduchšie než vysvetliť, čomu zodpovedajú odvodené štruktúry v doméne

16 Štruktúrovaná logika každý z variantov deskripčnej logiky je fragmentom logiky prvého rádu reprezentácia je na úrovni uzavretých formúl: vo formalizme nie sú žiadne premenné každá základná deskripčná logika je podmnožinou logiky prvého rádu bez funkcií najviac tri mená premenných

17 Prečo nestačí logika prvého rádu? logika 1. rádu bez dodatočných obmedzení: rozpadne sa štruktúra znalostí ťažko mať základ pre odvodzovanie príliš veľká vyjadrovacia sila na získanie rozhodnuteľných a efektívnych odvodzovacích problémov potenciálne primalá odvodzovacia sila na vyjadrenie zaujímavých a rozhodnuteľných teórií

18 Štruktúrované siete dedičnosti: structured inheritance networks štruktúrované opisy: zodpovedajú zložitým štruktúram objektov prepojených asociáciami/reláciami postavené na redukovanej množine logických konštruktov dva druhy znalostí: koncepty (terminológia) + inštancie (tvrdenia) KL-One centrálnu rolu hrá automatická klasifikácia, ktorou sa určí subsumpcia možno postaviť zväz striktné odvodzovanie bez implicitných znalostí

19 Teória deskripčnej logiky definícia predikátov TBox terminologies tvrdenia nad konštantami ABox assertions

20 Elementy jazyka TBox Koncepty označujú entity unárne predikáty triedy Roly označujú vlastnosti binárne predikáty relácie { x STUDENT(x) } { x ŽENATÝ(x) } { <x,y> PRIATEĽ(x,y) } { <x,y> MILUJE(x,y) }

21 Výrazy pre koncepty DL organizuje informácie do tried koncepty! homogénne dáta klasifikované podľa relevantných spoločných vlastností, ktoré majú inštancie Študent Priateľ. Ženatý x Študent x y. Priateľ x, y Ženatý(y)

22 Poznámka k -výrazom je mechanizmus pomenovávania funkcií λ x. f(x) = funkcia, ktorá pre vstup x vráti f(x) platí: vieme pomenovávať funkcie

23 Definícia predikátov pomocou predikát = pravdivostná funkcia potom je funkcia: definičný obor: individuály z domény obor hodnôt: pravdivostné hodnoty P potom určuje množinu individuálov, pre ktoré je pravdivá pretože P(a) znamená, že pre a je predikát splnený a je rozšírenie P

24 Definícia predikátov pomocou pre unárny predikát Osoba: Osoba := (x).osoba(x) tvrdí, že Osoba určuje množinu osôb: Osoba I = { x Osoba(x)} Osoba(peter) akk peter I Osoba I to isté pre binárny predikát: Priateľ := (x, y).priateľ(x, y) Priateľ I := { <x,y> Priateľ(x, y)}

25 Definícia predikátov pomocou Funkcie, ktoré definujeme lambdou, môžu byť parametrické

26 Interpretácia konceptových výrazov

27 Objekty a triedy trieda Študent: Osoba Meno: String Adresa: String Zapísaný: [Predmet]

28 Sémantické siete

29 Kvantifikátory Žaba má farbu Zelená Žaba MÁ-FARBU.Zelená každá žaba je aj zelená Žaba MÁ-FARBU.Zelená každá žaba je len zelená

30 Kvantifikátory: existenčný Žaba má farbu Zelená Každá žaba je aj zelená Žaba MÁ-FARBU.Zelená Cvičenie: je toto modelom? Žaba(oscar), Zelená(zelená), MÁ-FARBU(oscar, zelená), Červená(červená), MÁ-FARBU(oscar, červená)

31 Kvantifikátory: všeobecný Žaba má farbu Zelená Každá žaba je len zelená Žaba MÁ-FARBU.Zelená Cvičenie: je toto modelom? Žaba(oscar), Zelená(zelená), MÁ-FARBU(oscar, zelená), Červená(červená), MÁ-FARBU(oscar, červená) A toto? Žaba(felix), AGENT(felix, oscar)

32 Analytické odvodzovanie [intuícia] Osoba subsumuje Osoba, ktorá má priateľov, je lekárom subsumuje Osoba, ktorá má priateľov, je chirurgom

33 Analytické odvodzovanie [intuícia] Osoba, ktorá má aspoň dve deti subsumuje Osoba, ktorá aspoň troch synov Osoba, ktorá má aspoň tri malé deti disjunktná s Osoba s najviac dvoma deťmi

34 zamerajme sa na najjednoduchšiu možnú štrukturálnu DL: hovorme o jazyku logiky syntax sémantika problémy v odvodzovaní: rozhodnuteľnosť zložitosť procesy v rozhodovaní: korektnosť úplnosť asymptotická zložitosť Logika

35 Gramatika

36 Alternatívna gramatika

37 Intuitívna sémantika Koncepty = triedy = množiny individuálov atomické koncepty: mená primitívnych konceptov ďalej ich nedefinujeme Roly = vzťahy medzi dvojicami individuálov :and = zodpovedá konjugovaným konceptom v definícii môžeme spojiť viacero vlastností využijeme nadkoncepty realizujeme reštrikciu atribútov

38 Kvantifikátory :all reštrikcia konceptu na hodnoty atribútu x je (:all R C) akk každý prvok v relačnom páre s x je konceptom C (:all MÁ-DIEŤA Lekár) niečo, koho všetky deti sú lekármi predpokladáme, že MÁ-DIEŤA(x, y) = x je otcom y použité na obmedzenie hodnoty slotu v rámci :some existuje aspoň jedna hodnota pre atribút x je (:some R) akk existuje aspoň jeden prvok v relačnom páre s x (:and Osoba (:some MÁ- DIEŤA)) reprezentuje koncept,,rodič" spôsob ako zaviesť do rámca slot

39 Vzťah s databázami atomické koncepty = jednostĺpcové tabuľky CREATE TABLE Samec (VALUE VARCHAR) na dátovom type stĺpca nezáleží prítomnosť riadka v tabuľke je ekvivalentné situácii, keď predikát vráti TRUE roly = dvojstĺpcové tabuľky opäť nezáleží na dátových typoch closed-world assumption: elementy, ktoré nie sú v riadkoch, sú FALSE open-world assumption: o elementoch neprítomných v riadkoch nevieme nič skonštatovať

40 (:all MÁ-DIEŤA Lekár) SELECT MÁ-DIEŤA.x FROM MÁ-DIEŤA, Lekár WHERE MÁ-DIEŤA.y = Lekár.x Vzťah s databázami MÁ-DIEŤA.X Heraclides Hippokrates Hippokrates Vesalius MÁ-DIEŤA.Y Hippokrates Thessalus Draco Anne Lekár.X Hippokrates Thessalus Draco Vesalius Schweitzer

41 (:some MÁ-DIEŤA) Vzťah s databázami SELECT DISTINCT MÁ-DIEŤA.x FROM MÁ-DIEŤA MÁ-DIEŤA.X Heraclides Hippokrates Hippokrates Vesalius MÁ-DIEŤA.Y Hippokrates Thessalus Draco Anne

42 Formálna sémantika Interpretácia pozostáva z: domény: neprázdna množina interpretačná funkcia mapujúca každý koncept na podmnožinu každú rolu na podmnožinu je extenzionálna funkcia akk

43 množina rozšírení C Poznámky k definícii je množina individuálov v má rovnakú pravdivostnú hodnotu ako C(x) je ekvivalentné R(x, y)

44 Vyberme si doménu funkciu nad Príklad a extenzionálnu vypočítajme rozšírenia nasledovných konceptov (:and Dospelý Samec) (:and Dospelý Samec Bohatý) (:all MÁ-DIEŤA (:and Dospelý Samec)) (:some MÁ-DIEŤA)

45 Problém subsumpcie koncept C je subsumovaný konceptom D akk pre každú doménu z pre každú rozširujúcu funkciu platí nad t. j.

46 Jednoduché príklady (:and Dospelý Samec) Dospelý (:and Dospelý Samec Bohatý) (:and Dospelý Samec) (:all MÁ-DIEŤA (:and Dospelý Samec) (:all MÁ-DIEŤA Dospelý) (:and (:all MÁ-DIEŤA Dospelý) (:some MÁ-DIEŤA)) (:all MÁ-DIEŤA Dospelý)

47 Jednoduché protipríklady (:all MÁ-DIEŤA Dospelý) (:some MÁ-DIEŤA) všetky deti sú dospelé vs má aspoň 1 dieťa (:some MÁ-DIEŤA) (:all MÁ-DIEŤA Dospelý)

48 Vlastnosti súvisiace s vypočitateľnosťou Subsumpcia pre urobíme konštruktívny dôkaz! Rozhodnuteľná Zložitosť v P

49 Štrukturálny algoritmus subsumpcie založený na štrukturálnom porovnávaní konceptových výrazov každý konceptový výraz pozostáva z podvýrazov každý podvýraz z prvého konceptového výrazu porovnáme so všetkými podvýrazmi druhého konceptového výrazu dve fázy: 1. Prepíšme koncepty do normálnej formy 2. Porovnajme ich štruktúry

50 Normálna forma 1. Zbavíme sa zátvoriek vo vnorených konjunkciách 2. Konjunkcie univerzálnych kvantifikátorov prepíšeme na kvantifikovanú konjunkciu Prepisovacie pravidlá vedú k ekvivalentným formulám! (Dôkaz na domácu úlohu ).

51 Základný algoritmus pre subsumpciu Majme koncepty v normálnej forme Algoritmus SUBS?[C, D] vráti TRUE akk pre každý podkoncept : buď ide o atomický koncept alebo koncept tvaru potom existuje také, že alebo ide o koncept tvaru, a potom existuje tvaru (s rovnakou atomickou rolou ), takou, že SUBS? [C', D']

52 Asymptotická zložitosť indukciou cez všeobecné kvantifikátory vieme dokázať, že zložitosť je O( C x D ) kvadratická vzhľadom na dĺžku,,dlhšieho" konceptu optimalizácia: usporiadajme lexikograficky podvýrazy každého konceptu zložitosť bude len O(n. log(n)) binárne vyhľadávanie n je dĺžka,,dlhšieho" konceptu ale dominantným faktorom bude zložitosť algoritmu usporiadavania konceptov

53 Korektnosť odvodzovací algoritmus je korektný, ak každé riešenie, ktoré sa pomocou neho získa, je aj skutočným riešením Tvrdenie: Algoritmus štrukturálnej subsumpcie je korektný. ak SUBS?[C, D] je TRUE, potom vo všetkých interpretáciách je

54 Pozorovanie krok algoritmu, v ktorom prerábame výrazy do normálnej formy nikdy nemení rozširujúcu funkciu pre danú interpretáciu nemá teda vplyv na korektnosť ani úplnosť

55 Neformálny dôkaz Predpokladajme, že SUBS?[C, D] je pravdivé Uvažujme nad jedným z podkonceptov buď je rovný niektorému konceptu alebo je tvaru potom musí existovať medzi podkonceptami D-čka, kde platí SUBS?[C', D'] použitím indukčného kroku dostaneme, že rozšírenie D' musí byť podmnožinou C' a teda každé rozšírenie D j musí byť podmnožinou C i

56 Neformálny dôkaz bez ohľadu na tvar je C i platí, rozšírenie D musí byť podmnožinou C i toto D je konjunkciou D j -čiek toto navyše platí pre každé C i teda rozšírenie D musí byť podmnožinou rozšírenia C rozšírenie C je prienik všetkých rozšírení C i teda vždy, keď SUBS vracia TRUE, C subsumuje D a teda

57 Úplnosť ak existuje riešenie danej inštancie problému, úplný odvodzovací algoritmus ho nájde. Tvrdenie Štrukturálny algoritmus je úplný. Vždy keď pre každú interpretáciu, potom algoritmus povie, že C subsumuje D

58 Úplnosť: idea dôkazu Ukážeme, že vždy, keď SUBS?[C, D] vráti FALSE, existuje interpretácia, ktorá priradí prvok konceptu D, ale nie konceptu C teda interpretácia rozšírenia C nebude nadmnožinou rozšírenia D Táto interpretácia je protipríkladom. Ak algoritmus vráti FALSE,... znamená to, že nie je pravda, že.. a teda C D (:and Dospelý Samec) Dospelý SUBS?[(:and Dospelý Samec), Dospelý]

59 Idea dôkazu Vždy, keď SUBS?[C, D] je FALSE, môžeme nájsť podvýraz C i v C taký, že preň neexistuje súputník v koncepte D. V tom prípade ukážeme, že existuje interpretácia, ktorá priraďuje objekt akémukoľvek primitívnemu konceptu, ale nie konceptu Ci Z toho vyplynie, že je nemožné, aby bolo

60 Štrukturálne algoritmy:,,normalizuj a porovnaj" čo sa stane, ak obohatíme expresivitu? staršie systémy s neúplnými algoritmami klasický, BACK, LOOM problémom sú interakcie medzi konštruktormi štrukturálne algoritmy sú založené na syntaktickom porovnávaní podvýrazov neberú ich do úvahy Príklad: A A subsumuje ľubovoľný koncept, dokonca i taký, ktorý vo svojej definícii nespomína A

61 Sumár: kde sa nachádzame deskripčné logiky sú formalizáciou OO jazykov DL sú jazykmi na úrovni predikátov koncepty roly odvodzovanie (reasoning) problém subsumpcie najjednoduchšia DL z hľadiska štruktúry:

62 Aký má zmysel DL? ak je predikátový počet použitý bez akýchkoľvek obmedzení strácame štruktúru znalostí bez premenných koncepty sú triedami roly sú vlastnosťami vyjadrovacia sila (expresivita) je priveľká na dobré vlastnosti súvisiace s vypočítateľnosťou na efektívne odvodzovacie procedúry

63 Axiómy, disjunkcie a negácie Lektor Študent Profesor x. Lektor(x) Študent(x) Profesor(x) nutná podmienka pre lektora je nebyť študentom alebo byť profesorom absolvent, ktorý lektoruje nemusí byť profesorom môžeme mať profesora, ktorý nie je absolventom v slovenskom systéme nemožné, v zahraničných áno ;-)

64 Axiómy, disjunkcie a negácie Lektor Študent Profesor x. Lektor(x) Študent(x) Profesor(x) pre atomický koncept na ľavej strane symbol reprezentuje primitívnu definíciu udáva len nutné podmienky symbol udáva skutočnú definíciu nutné aj postačujúce podmienky

65 najjednoduchšia výroková DL Primitívny koncept Primitívna rola Top koncept Bottom koncept Komplement Konjunkcia Disjunkcia Všeobecný kvantifikátor Existenčný kvantifikátor

66 konjunkcia interpretovaná ako prienik množiny individuálov disjunkcia interpretovaná ako zjednotenie množiny individuálov negácia interpretovaná ako komplement množiny individuálov Uzavretý jazyk predikátového počtu

67 porovnajme s expresivitou Negácia kvantifikátorov

68 Formálna sémantika Interpretácia pozostáva z: domény: neprázdna množina interpretačná funkcia mapujúca každý koncept na podmnožinu každú rolu na podmnožinu každý individuál na prvok z množiny interpretačná funkcia je rozširujúcou funkciou akk spĺňa sémantické definície jazyka

69 Základné znalosti

70 TBox: deskripčná sémantika pre TBox je navrhnutých viacero sémantík typické kritérium: povoľujeme cyklické tvrdenia? budeme uvažovať sémantiku založenú na klasickej logike Interpretácia spĺňa tvrdenie C D ak Interpretácia spĺňa tvrdenie C D ak Interpretácia je modelom TBoxu, ak spĺňa všetky tvrdenia v ňom.

71 Ak ABox je interpretácia, potom platí C(a) je splniteľné v tejto interpretácii ak R(a, b) je splniteľné, ak Množina obsahujúca výroky (assertions) sa nazýva ABox Interpretáciu nazývame modelom ABoxu, ak každý výrok v tomto Aboxe je v nej splniteľný. ABox je splniteľný, ak má model

72 ABox Interpretácia sa nazýva modelom základnej znalosti Σ, ak každá axióma z tejto základnej znalosti je v splniteľná Základná znalosť je splniteľná, ak má model.

73 Logická implikácia Ak každý model základnej znalosti je modelom výroku φ, označujeme to

74 Logické dôsledky: čo ak...

75 Splniteľnosť konceptu Odvodzovacie procedúry je koncept splniteľný v základnej znalosti? existuje model základnej znalosti, ktorý interpretuje koncept do neprázdnej množiny? Študent Osoba

76 Subsumpcia Odvodzovacie procedúry je koncept C subsumovaný konceptom D vzhľadom na základnú znalosť? platí pre každý model základnej znalosti, že Študent Osoba

77 Splniteľnosť Odvodzovacie procedúry má základná znalosť model? otázka, či je základná znalosť splniteľná Študent Osoba

78 Odvodzovacie procedúry Overenie inštancie (instance check) je daný výrok C(a) splniteľný v každom modeli základnej znalosti Σ? Profesor(knuth)

79 Získanie inštancií Odvodzovacie procedúry chceme všetky individuály, pre ktoré je daný koncept splniteľný v danej základnej znalosti Profesor => {knuth}

80 Realizácia Odvodzovacie procedúry chceme všetky koncepty, ktoré sú s daným individuálom splniteľné v danej základnej znalosti knuth => Profesor

81 Redukcia na splniteľnosť niektoré odvodzovacie procedúry vieme previesť na problém splniteľnosti splniteľnosť konceptu: ekvivalentné problému: existuje x také, že má model sumsumpcia ekvivalentné problému nemá žiaden model

82 Redukcia na splniteľnosť niektoré odvodzovacie procedúry vieme previesť na problém splniteľnosti overenie inštancie ekvivalentné problému: existuje x také, že nemá model

83 Taxonómie Taxonómia Minimálna relácia nad množinou pomenovaných konceptov taká, že jej reflexívno-tranzitívny uzáver je reláciou sumsumpcie. subsumpcia je relácia čiastočného usporiadania na množine konceptov ak berieme do úvahy len pomenované koncepty, subsumpcia indukuje taxonómiu, kde explicitne kreslíme len priame subsumpčné vzťahy

84 Taxonómie

85 Klasifikácia Pre daný koncept C a TBox T a pre všetky koncepty D z TBoxu T chceme zistiť, či D subsumuje C alebo D je subsumované C. Intuitívne: chceme nájsť správne miesto pre koncept C v taxonómii, ktorá je implicitne daná v Tboxe Klasifikácia: úloha vkladania nových konceptov do taxonómie Triedenie nad čiastočným usporiadaním

86 Odvodzovacie procedúry Konečné, efektívne a úplné algoritmy pre rozhodnutie splniteľnosti sú k dispozícii. rovnako pre ostatné spomenuté odvodzovacie procedúry založené na technikách tableaux kalkulu úplnosť je dôležitá pre použitie deskripčných logík v reálnych aplikáciách tieto algoritmy sú efektívne pre priemerné základné znalosti a to i v prípade, že problém v príslušnej logike je z PSPACE, resp. EXPTIME

87 Niektoré rozšírenia ALC

88 Reštrikcie v kardinalitách Kvantifikátory v rolách nedokážu pokryť niektoré prípady,,žena má aspoň tri [najviac 5] detí" Ide o rozšírenie klasických kvantifikátorov

89 Reštrikcie v kardinalitách

90 Roly ako funkcie Rola je funkcionálna, ak filler má funkčnú závislosť na individuále ak rolu možno považovať za funkciu R(x,y) je ekvivalentné f(x) = y roly MÁ-POTOMKA a JE-RODIČOM nie sú funkcionálne roly JE-MATKOU a MÁ-VEK sú funkcionálne ak je rola funkcionálna, označujeme operátorom selekcie

91 Individuály predpokladáme, že v každej interpretácii označujú rozličné individuály rôzne prvky pre každú dvojicu individuálov a, b a pre každú interpretáciu I platí, že ak a <> b, potom a I <> b I Unique Name Assumption: predpoklad rozličných mien obvyklé v databázových aplikáciách

92 Individuály Koľko detí má táto rodina? Rodina(r) Je-otcom(r, ján), Je-matkou(r, zuzana) Je-synom(r, paľo), Je-synom(r, juraj), Je-synom(r, andrej)

93 Vymenované typy

94 Vzťah logiky a OO modelu

95 Niektoré konštruktory pre rolové výrazy

96 Rozšírenia deskripčných logík implicitné hodnoty (defaults) beliefs (viera) pravdepodobnostné odvodzovanie a odvodzovanie založené na podobnosti epistemické tvrdenia individuály, o ktorých vieme, že spĺňajú koncepty closed world assumption záznamy, množiny, kolekcie, agregácie konkrétne domény tvrdenia závisia od domény ontologické primitívy čas a akcie priestor časti a celky