1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos
|
|
- ebrew Λιακόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 V. PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos 1 Experimento aleatorio. Concepto e exemplos Experimentos aleatorios son aqueles que ao repetilos nas mesmas condicións non podemos predicir o resultado que imos obter. Ao repetir o experimento moitas veces amosa unha certa regularidade. Exemplos: O lanzamento dun dado: non sabemos de antemán que resultado vai saír. O mesmo pasa se lanzamos unha moeda. Se sacamos sen mirar unha bola dunha que caixa que conteña bolas de distintas cores tampouco podemos saber previamente de que cor vai ser a bola. 2 Espazo de mostra. Suceso elemental Espazo de mostra (E) dun experimento aleatorio é o conxunto de todos os posíbeis resultados do experimento. Suceso elemental é cada un dos elementos do espazo de mostra. É dicir, calquera resultado que poida obterse nunha experiencia. Exemplos: i) Se o experimento é lanzar un dado o espazo de mostra, que estará formado por 6 sucesos elementais, será: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ii) Se o experimento consiste en lanzar tres moedas o espazo de mostra, que estará formado por 8 sucesos elementais, será: E = {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX} 3 Sucesos. Operacións con sucesos: unión e intersección Suceso: conxunto de sucesos elementais. Calquera dos subconxuntos do espazo de mostra. Chámase espazo de sucesos, (E), ao conxunto de todos os sucesos do espazo de mostra E. Se o espazo de mostra está formado por n sucesos elementais, entón (E) ten 2 n sucesos. Exemplos: i) Para o experimento lanzar un dado, son sucesos: A = {2, 4, 6} : "sacar un número par" B = {4, 5, 6} : "sacar un número maior que 3" En total existen 2 6 = 64 sucesos distintos. ii) Para o experimento lanzar tres moedas, son sucesos: A = {CCX, CXC, XCC} : "sacar unha cruz e dúas caras" B = {CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX} : "sacar algunha cruz" En total existen 2 8 = 256 sucesos distintos. 1
2 Unión de sucesos: Dados dous sucesos A e B dun mesmo experimento aleatorio, chamamos suceso unión de A e B ao suceso que ocorre cando ocorre A ou ben B. Notación: = "A unión B" Intersección de sucesos: Dados dous sucesos A e B dun mesmo experimento aleatorio, chamamos suceso intersección de A e B ao suceso que ocorre cando ocorren A e B. Notación:= "A intersección B" 4 Suceso imposíbel ou nulo. Suceso seguro. Suceso contrario ou complementario. Diferencia de sucesos. Sucesos incompatíbeis Suceso imposíbel (ou nulo): é un suceso que non ocorre nunca. Notación: Suceso seguro: suceso que sempre ocorre. Está formado por todos os resultados posíbeis, polo tanto coincide co espazo de mostra. Suceso contrario (ou complementario) dun suceso A é un suceso que ocorre cando non ocorre A, e reciprocamente. Notación: A'. Suceso diferencia de dous sucesos A e B, A-B, é un suceso que ocorre cando ocorre A e non ocorre B. Sucesos incompatíbeis: cando dous sucesos é imposíbel que ocorran simultaneamente. A e B incompatíbeis entón A B =. 5 Propiedades das operacións con sucesos UNIÓN INTERSECCIÓN i) Asociativa: (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) ii) Conmutativa: A B = B A A B = B A iii) Idempotente: A A = A A A= A iv) A A' = E A A' = v) A E = E A E = A vi) A = A A = vii) Distributiva: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) viii) Simplificativa: (A B) A = A, A (B A) = A ix) Leis de Morgan: (A B)' = A' B', (A B)' = A' B' Exemplo: Para o experimento lanzar dúas moedas: E = {CC, XC, CX, XX} (E) ={, {CC}, {CX}, {XC}, {XX}, {CC, XC},{CC, CX}, {CC, XX},{CX, XC},{CX, XX},{XC, XX}, {CC, CX, 2
3 XC}, {CC, CX, XX}, {CC, XC, XX}, {XC, CX, XX} {CC, XC, CX, XX}} Suceso seguro = E : "Sacar algunha cara ou algunha cruz" Suceso imposíbel = φ : "Sacar máis de dúas caras" A = {CC, CX, XC} : "Sacar algunha cara" Complementario de A' = {XX} : "Non sacar ningunha cara" B = {CC} : "Sacar dúas caras" A - B = {XC, CX} : "Sacar só unha cara" Sucesos incompatíbeis: A = {CC, XX}: "Sacar só caras ou cruces", B = {CX, XC} : "Sacar unha cara e unha cruz". 2 Propiedades da frecuencia relativa Frecuencia absoluta dun suceso A (f a ): é o número de veces que ocorre dito suceso, cando repetimos un experimento varias (N) veces. Frecuencia relativa dun suceso A (f r ): é igual á frecuencia absoluta do suceso (f a ) dividida polo número total de experiencias (N). Exemplo: Lanzando un dado 20 veces obtivemos o seguinte resultado: {2, 4, 1, 4, 3, 3, 6, 1, 5, 6, 2, 5, 3, 6, 5, 3, 1, 4, 2, 5} Para o suceso A: Saír un 2", temos e. Para o suceso A: Saír un número par", temos e. Propiedades da frecuencia relativa i. A frecuencia relativa dun suceso, A, é maior ou igual que cero e menor ou igual que 1. 0 f r (A) 1 A frecuencia relativa do suceso seguro é 1. A frecuencia relativa do suceso imposíbel é 0. i. A frecuencia relativa do suceso contrario de A é igual á 1 menos a frecuencia relativa de A f r (A') = 1 - f r (A) i. A frecuencia suceso unión de dous (ou máis) sucesos incompatíbeis é igual á suma das frecuencias deses sucesos. f r (A B) = fr(a) + f r (B) i. A frecuencia do suceso unión de dous sucesos é igual á suma das frecuencias deses sucesos menos a frecuencia da intersección dos mesmos. f r (A B) = fr(a) + f r (B) - f r (A B) 3
4 1.3 Concepto de probabilidade Introdu ción ao concepto de probabilidade como límite de frecuencias Lanzando un dado distintos números de veces obtivemos os resultados que aparecen na seguinte táboa: X fa f' a f'' a f r f' r f'' r TIRADAS Representando estes datos graficamente vese claramente que ao aumentar o número de lanzamentos, as frecuencias relativas aproxímanse ao resultado que cabería esperar que é A experiencia demostra que para todos os experimentos aleatorios a frecuencia relativa vaise estabilizando cando o número de experiencias é suficientemente grande. O enunciado desta propiedade recibe o nome de lei dos grandes números: Se repetimos unha experiencia aleatoria en condicións estábeis, para calquera suceso A, existe sempre o límite seguinte: onde f(a) = número de veces que ocorreu o suceso A n = número de veces que se repetiu a experiencia. O valor dese límite chámase probabilidade de A. A definición anterior de probabilidade presenta un problema práctico: para calcular a probabilidade dun suceso sería necesario facer un gran número de probas para poder obter experimentalmente o valor ao cal tenden as frecuencias relativas. V.1.4
5 1.3.2 Regra de Laplace A definición de probabilidade de Laplace é a primeira que se coñece (1812) e recibe o nome de Regra de Laplace: "A probabilidade dun suceso A, p(a), é igual ao cociente entre o número de casos favorábeis do suceso A e o número de casos posíbeis". do suceso A: Para poder aplicar a Regra de Laplace e necesario que os sucesos elementais teñen a mesma probabilidade. Se ocorre isto, o único que hai que facer para poder aplicala é contar os casos posíbeis e os favorábeis, pero esta contabilidade non sempre é fácil. Exemplo: Calcular a probabilidade de acertar os 6 números da lotería primitiva realizando: i) unha soa aposta: ii) apostas: iii) todas as apostas nas que entre o número 13: Definición axiomática de probabilidade Para salvar os problemas que a definición de Laplace presentaba, Kolmogorov (1903) formalizou unha definición axiomática de probabilidade: A probabilidade é unha aplicación,, que asocia a cada suceso un número real p(a), que ten que cumprir os seguintes axiomas: Ax.1.- A probabilidade dun suceso calquera é positiva ou cero: Ax.2.- A probabilidade total é 1: Ax.3.- Se dous sucesos son incompatíbeis entón a probabilidade da súa unión é a suma das súas probabilidades: V.1.5
6 Propiedades da probabilidade P.1.- A probabilidade do suceso contrario A' é igual a 1 menos a probabilidade de A: Demostr.- A A' = e A A' = E 1 = p(e) = p(a A') = p(a) + p(a') 1 - p(a) = p(a'). P.2.- A probabilidade do suceso imposíbel é igual a 0: Demostr.- Consecuencia de que ö é o contrario de E. P.3.- Se A e B son dous sucesos calquera, entón: Demostr.- Sexa C =A' B, A C = ö e A B = A C p(a B) = p(a C) = p(a) + p(c) = = p(a) + p(a' B) p(a B) = p(a) + p(a' B) (1) B = (A B) (A' B) e (A B) (A' B) = ö p(b) = p(a B) + p(a' B) (2) Das igualdades (1) e (2) deducimos que: p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B). P.4.- Demostr.- Se A B C con p(c) 0, tq B = A C p(b) = p(a)+p(c) p(a) p(b) P.5.- Se A 1, A 2,..., A n é unha colección finita de sucesos incompatíbeis dous a dous (Ai A k=, i k), entón (Esta propiedade tamén é certa para unha familia infinita numerábel) Demostr.- (Por indución). P.6.- (Regra de Laplace ) Se un espazo E está composto por n sucesos elementais A, A,..., A que son equiprobábeis 1 2 n e disxuntos dous a dous, para un suceso A formado por r destes sucesos, temos que: Demostr.- 1 = p(e) = p(a 1) + p(a 2) p(a n), os sucesos A 1, A 2,..., A n son equiprobábeis, entón p(a 1) = p(a 2) =... = p(a n) = 1/n A = A 1 A 2... A r, p(a) = p(a 1) + p(a 2) p(a r) = 1/n + 1/n /n = r/n. V.1.6
7 1.4 condicionada. Sucesos independentes Definición de probabilidade condicionada Sexan dous sucesos A e B, chámase probabilidade de B condicionada a A, e que denotamos p(b/a), ao cociente: Consecuencia da definición é: (Para que sexa válida ten que ser p(a) distinta de cero) Exemplo: Nunha clase do IES de Quiroga hai 16 alumnas e 12 alumnos. Nesa clase aproban Matemáticas 12 alumnas e 8 alumnos. Os datos anteriores podemos expresalos mediante a seguinte táboa: A: Alumnas A': Alumnos B: Aproban B': Non ap Escollemos ao chou un membro da clase. Consideramos os sucesos: A = Ser alumna A' = Ser alumno B = Aprobar Matemáticas B' = Non aprobar Matemáticas A B = Ser alumna e aprobar Matemáticas B/A = Entre as alumnas aprobar as Matemáticas. Non hai máis que mirar para a táboa e aplicar a Lei de Laplace para comprobar que: p(a) = 16/28 = 4/7 p(a') = 12/28 = 3/7 p(b) = 20/28 = 5/7 p(b') = 8/28 = 2/5 Igual de fácil é comprobar que a probabilidade de ser alumna e aprobar Matemáticas é: p(a B) = 12/28 = 3/7 e que se escollemos unicamente entre os que aproban, a probabilidade de escoller unha alumna (isto é, a probabilidade de escoller un alumno que aprobe (B) condicionado a que sexa muller (A)) é: p(b/a) = 12/16 = 3/4 Entón podemos observar que: Sucesos independentes Un suceso B é independente de A cando a probabilidade de B é a mesma que se a calculamos condicionada a A (A non intervén en B), é dicir: Se B é independente de A, entón A é independente de B. Por tanto podemos falar de sucesos independentes entre si. Como consecuencia da definición de sucesos independentes e da definición de probabilidade V.1.7
8 condicionada temos que: i) Se A e B son dous sucesos independentes, entón Se A e B son dous sucesos dependentes, entón ii) iii) Se A e B son incompatíbeis (A B = ), entón iv) v) En xeral para n sucesos: A 1, A 2,... A n temos a seguinte fórmula (teorema da probabilidade composta): Exemplo: Temos unha caixa con 10 bolas brancas e 10 vermellas. Consideremos o experimento consistente en sacar dúas bolas sucesivas: 1º) Non devolvendo a primeira bola antes de sacar a segunda. 2º) Devolvéndoa. Sexan os sucesos: A = Sacar unha bola branca na primeira extracción. B = Sacar unha bola branca na segunda extracción. A B = Sacar unha bola branca nas dúas extraccións. No primeiro caso (non devolvendo a bola) o suceso B depende do suceso A, e temos que: p(a B) = p(a).p(b/a) = (10/20).(9/19) = 9/38 No segundo caso (devolvendo a bola) o suceso B é independente do suceso A, e temos : p(a B) = p(a).p(b/a) = p(a).p(b) = (10/20).(10/20) = 1/4 1.5 Teorema das probabilidades totais. Teorema de Bayes Os sucesos A 1, A 2,... A nconstitúen un sistema completo de sucesos se a súa unión é o espazo total e son disxuntos dous a dous, isto é: Teor.- (probabilidades totais) Sexan A 1, A 2,... A nun sistema completo de sucesos tal que e B un suceso calquera, entón verifícase: Teor.- (Bayes) Sexan A 1, A 2,... A n un sistema completo de sucesos tq e B un suceso calquera, entón verifícase: V.1.8
9 2 Distribucións de probabilidade 2.1 Variábel aleatoria discreta Definición de variábel aleatoria Chámase variábel aleatoria a unha función que asocia a cada suceso do espaczo de mostra E un número real. X: variábel aleatoria (v.a.), X: E Notación: (X=x) representa o suceso "a v. a. X toma o valor x" (X<x) representa o suceso "a v. a. X toma valores menores que x" p(x=x) representa "probabilidade de que a v. a. X tome o valor x" p(x<x) representa "probabilidade de que a v. a. X tome valores menores que x" Variábel aleatoria discreta Dise que unha variábel aleatoria, X, é discreta, cando só pode tomar un número finito (ou numerábel) de valores (x, x,..., x ). 1 2 n Exemplo: Consideremos o experimento "lanzar dous dados" e sexa a variábel aleatoria X = "suma de puntos que se obtén". X só pode tomar os valores: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, Función de masa de probabilidade asociada a unha v. a. discreta Chámase función de masa de probabilidade, f(x), dunha v. a. discreta á aplicación que asocia a cada valor da variábel aleatoria a súa probabilidade. i. A función de masa de probabilidade toma valores comprendidos entre 0 e 1: 0 f(x i) 1 ii. A suma de todos os valores da función de probabilidade é igual a 1: Exemplo 1: Para a v. a. X = "suma de puntos que se obtén o lanzar dous dados", representamos na seguinte táboa os valores de X e os correspondentes da función de masa de probabilidade: xi f(x ) =p(x=x ) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 i i Exemplo 2: Consideremos a variábel aleatoria X que toma os valores que aparecen na seguinte táboa, na que tamén están as correspondentes probabilidades: Xi f(x i) = p(x=x i) V.2.1
10 A función de densidade podemos representala nunha gráfica: Función de densidade Función de distribución asociada a unha v. a. discreta. Propiedades. Representación gráfica Dada unha variábel aleatoria X, chamamos función de distribución da v. a. X, a función F definida como segue: (A función de distribución asocia a cada valor da v. a. a probabilidade acumulada ata ese valor). Propiedades: i) 0 F(x) 1, para calquera valor de x. ii) F(x) é unha función "escalonada" (é constante entre cada dous valores de X). iii) F(x)=0, para todo x menor que o mínimo valor da v. a.. iv) F(x)=1, para todo x maior que o máximo valor da v. a.. v) Se x x' entón F(x) F(x') (F(x) é crecente). Representación gráfica: (Exemplo 2) V.2.2
11 2.2 Variábel aleatoria continua Definición de variábel continua Dise que unha variábel aleatoria é continua, cando pode tomar calquera valor dentro dun intervalo da recta real. Exemplo: Son v. a. continuas: X = "tempo de funcionamento dun conxunto de máquinas dun determinado modelo". X = "estatura dun grupo de persoas". X = "temperatura media diaria dun lugar durante os 365 días do ano". Para v. a. continuas non ten sentido o cálculo da probabilidade para valores illados (estes sempre terán probabilidade 0), os valores da v. a. sempre se consideran agrupados en intervalos. Por exemplo, non é lóxico intentar calcular a probabilidade de que unha persoa mida 170, cm, semella moito máis razoábel formular o problema de calcular a probabilidade de que a estatura dunha persoa estea comprendida entre 170 cm e 171 cm Función de densidade asociada a unha v. a. c.. Representación gráfica A función de densidade dunha v. a. continua X é unha función f(x) integrábel que verifica: i), para todo x do intervalo onde está definida. ii) A área comprendida entre a gráfica da función f(x) e o eixo de abscisas é igual a 1, é dicir: Exemplos:, Representación gráfica: V.2.3
12 2.2.3 Función de distribución asociada a unha v. a. c.. Propiedades. Representación gráfica Chámase función de distribución dunha variábel aleatoria continua (X) a función F(x) definida: Se f(x) é a función de densidade da variábel aleatoria X a función de distribución será: Propiedades: i), ademais. ii) iii) iv), para todo x menor que o mínimo valor da variábel aleatoria., para todo x maior que o máximo valor da variábel aleatoria. (F(x) é crecente). Representación gráfica: f(x) e F(x) g(x) e G(x) V.2.4
13 2.3 Características dunha variábel aleatoria Esperanza matemática (media) Variábel aleatoria discreta: Chámase media (ì) (ou esperanza matemática ou valor esperado) dunha v. a. discreta X ao número: onde x 1, x 2,..., x nson os valores de X e p 1, p 2,..., p nson as respectivas probabilidades. Variábel aleatoria continua: Chámase media (ì) (ou esperanza matemática ou valor esperado) dunha v. a. continua X que ten por imaxe o intervalo e por función de densidade f(x) ao valor da integral: Varianza e desviación típica Variábel aleatoria discreta: 2 Chámase varianza (ó )dunha variábel aleatoria discreta X ao número: onde x 1, x 2,..., x n son os valores de X e p 1, p 2,..., p n son as respectivas probabilidades. Variábel aleatoria continua: 2 Chámase varianza (ó ) dunha variábel aleatoria continua X que ten por imaxe o intervalo e por función de densidade f(x) ao valor da integral: Chámase desviación típica (ó) da v. a. X á raíz cadrada da varianza. V.2.5
14 3 Distribución binomial. Distribución normal 3.1 Distribución binomial Variábel aleatoria binomial Consideremos un experimento aleatorio (experimento de Bernouilli) para o que: i) Unicamente poden presentarse dous resultados, o suceso A e o contrario A' (por tradición chámase éxito o suceso A e fracaso o suceso A') ii) O resultado de cada proba é independente dos resultados anteriores iii) A probabilidade do suceso A é constante (non varía en cada proba) Todo experimento que teña as características anteriores, dise que segue unha distribución binomial. A variábel X que expresa o número de éxitos en cada proba do experimento, chámase variábel aleatoria binomial. A variábel aleatoria binomial é discreta: se realizamos n probas os únicos valores que pode tomar son 0, 1, 2,..., n. Notación: p = probabilidade de que ocorra A q = 1 - p = probabilidade de que non ocorra A. n = número de probas. B(n, p) = variábel de distribución binomial de parámetros n e p. Exemplo.- Para o experimento de lanzar unha moeda: Se consideramos A: o suceso saír cara e facemos 12 lanzamentos temos unha distribución binomial: B(12, 0.5) Función de probabilidade dunha v. a. binomial Dada unha v. a. binomial X de parámetros n e p: B(n,p), a función de probabilidade de X é a que ven dada pola fórmula:, onde x pode tomar os valores: 0, 1, 2,..., n x n p(x)=p(x=x) q n... p n A función de distribución será: Características da variábel aleatoria binomial V.3.1
15 Se X é unha v. a. B(n, p) pode comprobarse facilmente que: Esperanza de matemática de X (media): Varianza de X: Desviación típica de X: Exemplo: Un exame tipo test está composto por 10 preguntas, con 5 posíbeis respostas cada unha, das cales só unha é válida. Supoñendo que non sabemos ningunha pregunta (a veces sucede!) contestamos ao chou e esperar que haxa sorte. Se A: "contestar correctamente", temos n = 10, p = p(a) = 1/5, q = p(a') = 4/5, estamos ante unha distribución B(10, 1/5) i) de non acertar ningunha pregunta p(x=0) = = ii) de acertar todas as preguntas p(x=10) = = iii) de acertar tres preguntas p(x=3) = = iv) de acertar menos de catro preguntas p(x 3) = p(x=0) + p(x=1) + p(x=2) + p(x=3) = = v) de aprobar (para aprobar hai que acertar polo menos cinco preguntas) p(x 5) = p(x=5) + p(x=6) + p(x=7) + p(x=8) + p(x=9) + p(x=10) = = = Cálculos para distribucións binomiais O cálculo de probabilidades para v. a. que seguen unha distribución binomial é na maioría dos casos moi traballoso. Para facilitar estes cálculos elaboráronse táboas que nos proporcionan os valores que toma a v. a. X segundo os valores de n e p. Na actualidade estas táboas comezan a estar en desuso, sendo substituídas por calculadoras e ordenadores. V.3.2
16 3.2 Distribución normal Variábel aleatoria normal Dise que unha variábel aleatoria continua X segue unha distribución normal de media ì e desviación típica ó, que representamos por, se cumpre as seguintes condicións: i) A variábel X recorre toda a recta real (de - a + ) ii) A función de densidade é a dada pola seguinte expresión: Función de densidade dunha v. a. normal. Parámetros da distribución normal: media e varianza. Representación gráfica. Propiedades A función de densidade dunha distribución normal, N(ì,ó), é a da fórmula anterior, onde: ì = E[x] = Media (ì tamén é o valor da moda e da mediana) 2 ó = Desviación típica, por tanto ó = varianza. Gráfica: Propiedades: i) A curva é simétrica respecto da recta x=ì. ii) Ten unha asíntota horizontal que é o eixo OX. iii) O valor máximo da función obtense para x=ì. iv) A área comprendida entre a curva e o eixo OX é igual a 1, Se dividimos esta superficie pola recta x=ì, queda a metade da área a cada lado. v) Os puntos para os que x=ì+ó e x=ì-ó son os puntos de inflexión da curva. V.3.3
17 3.2.3 A distribución normal estándar (N(0,1)). Manexo de táboas Entre as infinitas distribucións que ten media 0 e desviación típica 1, distribución normal reducida. Para esta distribución a función de densidade é: ten especial interese aquela (que denotamos por Z ), chamada distribución normal estándar ou Propiedades: i) A curva é simétrica respecto do eixo OY. ii) Ten unha asíntota horizontal que é o eixo de abscisas. iii) O valor máximo da función obtense para z = 0. iv) Os puntos z = -1 e z = -1 son os puntos de inflexión da curva. Cálculo: Para calcular os valores da función de distribución da, Exemplos:, existen táboas que simplifican moito os cálculos. Na actualidade estas táboas comezan a estar en desuso, sendo substituídas por calculadoras e ordenadores. p(z 1) = p(z -0.5) = p(z 0.5) = p(-0.5 z 1) = V.3.4
18 3.2.4 Tipificación dunha variábel aleatoria Hai infinidade de variábeis que seguen unha distribución normal o cálculo de probabilidades destas distribucións redúcense a unha., para simplificar Chámase tipificación da variábel á transformación dunha variábel aleatoria X que segue unha distribución nunha variábel Z que segue unha distribución. Isto conséguese facendo o seguinte cambio de variábel: (Comprobar que Z é N(0, 1)) Para un valor calquera da v. a. x,, entón 3.3 Aproximación da distribución binomial á normal Condicións para poder aproximar a distribución binomial pola normal Se X é unha distribución binomial, entón cando n tende a infinito (é dicir para un número de probas cada vez maior) X tende a unha distribución Tipificando a variábel, converxe á distribución Para poder aplicar este resultado na práctica: a aproximación é mellor canto máis grande sexa n, e p se aproxime a 0.5. Se np e nq son maiores que 3 a aproximación é bastante boa e para np e nq maiores que 5 é case perfecta Cálculo de probabilidades dunha dist. binomial por unha normal A distribución binomial é unha variábel aleatoria discreta e, polo tanto ten sentido calcular probabilidades puntuais:. Mentres que a distribución normal é continua e como tal tod as probabilidades puntuais son nulas. Para resolver este problema cando aproximamos unha binomial mediante unha normal, consideramos os valores da variábel aleatoria discreta como marcas de clase de intervalos de amplitude 1. X binomial p(x=x) p(a<x<b) p(a X b) X como normal p(x-0.5 X x+0.5) p(a+0.5 X b-0.5) p(a-0.5 X b+0.5) Exemplo: Se X segue unha distribución binomial, que cumpre as condicións para poder aproximala por unha normal,, e queremos calcular temos que calcular V.3.5
19 APROXIMACIÓN DA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Á NORMAL
Tema 3. Espazos métricos. Topoloxía Xeral,
Tema 3. Espazos métricos Topoloxía Xeral, 2017-18 Índice Métricas en R n Métricas no espazo de funcións Bólas e relacións métricas Definición Unha métrica nun conxunto M é unha aplicación d con valores
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio
Διαβάστε περισσότεραTema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016
Tema 1. Espazos topolóxicos Topoloxía Xeral, 2016 Topoloxía e Espazo topolóxico Índice Topoloxía e Espazo topolóxico Exemplos de topoloxías Conxuntos pechados Topoloxías definidas por conxuntos pechados:
Διαβάστε περισσότεραEXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS. 3. Cal é o vector de posición da orixe de coordenadas O? Cales son as coordenadas do punto O?
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS Representa en R os puntos S(2, 2, 2) e T(,, ) 2 Debuxa os puntos M (, 0, 0), M 2 (0,, 0) e M (0, 0, ) e logo traza o vector OM sendo M(,, ) Cal é o vector de
Διαβάστε περισσότεραEXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS
EXERCICIOS DE REFORZO RECTAS E PLANOS Dada a recta r z a) Determna a ecuacón mplícta do plano π que pasa polo punto P(,, ) e é perpendcular a r Calcula o punto de nterseccón de r a π b) Calcula o punto
Διαβάστε περισσότεραProbabilidade. Obxectivos. Antes de empezar
12 Probabilidade Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Distinguir os experimentos aleatorios dos que non o son. Achar o espazo da mostra e distintos sucesos dun experimento aleatorio. Realizar operacións
Διαβάστε περισσότεραln x, d) y = (3x 5 5x 2 + 7) 8 x
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: CÁLCULO DIFERENCIAL. Deriva: a) y 7 6 + 5, b) y e, c) y e) y 7 ( 5 ), f) y ln, d) y ( 5 5 + 7) 8 n e ln, g) y, h) y n. Usando a derivada da función inversa, demostra que: a)
Διαβάστε περισσότεραXEOMETRÍA NO ESPAZO. - Se dun vector se coñecen a orixe, o módulo, a dirección e o sentido, este está perfectamente determinado no espazo.
XEOMETRÍA NO ESPAZO Vectores fixos Dos puntos do espazo, A e B, determinan o vector fixo AB, sendo o punto A a orixe e o punto B o extremo, é dicir, un vector no espazo é calquera segmento orientado que
Διαβάστε περισσότεραEXERCICIOS DE ÁLXEBRA. PAU GALICIA
Maemáicas II EXERCICIOS DE ÁLXEBRA PAU GALICIA a) (Xuño ) Propiedades do produo de marices (só enuncialas) b) (Xuño ) Sexan M e N M + I, onde I denoa a mariz idenidade de orde n, calcule N e M 3 Son M
Διαβάστε περισσότεραMATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)
21 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os que A ten inversa.
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio
Διαβάστε περισσότεραMATEMÁTICAS. PRIMEIRA PARTE (Parte Común) ), cadradas de orde tres, tales que a 21
PRIMEIRA PARTE (Parte Común) (Nesta primeira parte tódolos alumnos deben responder a tres preguntas. Unha soa pregunta de cada un dos tres bloques temáticos: Álxebra Lineal, Xeometría e Análise. A puntuación
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II
PAU Código: 6 XUÑO 01 MATEMÁTICAS II (Responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio 3= puntos, exercicio
Διαβάστε περισσότεραEducación secundaria para persoas adultas. Ámbito científico tecnolóxico. Módulo 4 Unidade didáctica 4. Estatística e probabilidade.
Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Módulo 4 Unidade didáctica 4 Estatística e probabilidade Páxina 1 de 37 Índice 1. Programación da unidade...3 1.1 Encadramento da
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Punuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 punos, eercicio = 3 punos, eercicio 3 =
Διαβάστε περισσότεραMATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)
1 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa
TRIGONOMETRIA. Calcular las razones trigonométricas de 0º, º y 60º. Para calcular las razones trigonométricas de º, nos ayudamos de un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. cateto opuesto
Διαβάστε περισσότεραTema: Enerxía 01/02/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA
Tema: Enerxía 01/0/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Nome: 1. Unha caixa de 150 kg descende dende o repouso por un plano inclinado por acción do seu peso. Se a compoñente tanxencial do peso é de 735
Διαβάστε περισσότεραProcedementos operatorios de unións non soldadas
Procedementos operatorios de unións non soldadas Técnicas de montaxe de instalacións Ciclo medio de montaxe e mantemento de instalacións frigoríficas 1 de 28 Técnicas de roscado Unha rosca é unha hélice
Διαβάστε περισσότεραÁmbito científico tecnolóxico. Estatística. Unidade didáctica 4. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial
Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 3 Unidade didáctica 4 Estatística Índice 1.1 Descrición da unidade didáctica... 3 1.
Διαβάστε περισσότεραSistemas e Inecuacións
Sistemas e Inecuacións 1. Introdución 2. Sistemas lineais 2.1 Resolución gráfica 2.2 Resolución alxébrica 3. Método de Gauss 4. Sistemas de ecuacións non lineais 5. Inecuacións 5.1 Inecuacións de 1º e
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Puntuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 puntos, eercicio = 3 puntos, eercicio
Διαβάστε περισσότεραXUÑO 2018 MATEMÁTICAS II
Proba de Avaliación do Bacharelato para o Acceso áuniversidade XUÑO 218 Código: 2 MATEMÁTICAS II (Responde só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio
Διαβάστε περισσότεραNÚMEROS COMPLEXOS. Páxina 147 REFLEXIONA E RESOLVE. Extraer fóra da raíz. Potencias de. Como se manexa k 1? Saca fóra da raíz:
NÚMEROS COMPLEXOS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE Extraer fóra da raíz Saca fóra da raíz: a) b) 00 a) b) 00 0 Potencias de Calcula as sucesivas potencias de : a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) 5 a) ( ) ( ) (
Διαβάστε περισσότεραNÚMEROS REAIS. Páxina 27 REFLEXIONA E RESOLVE. O paso de Z a Q. O paso de Q a Á
NÚMEROS REAIS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE O paso de Z a Q Di cales das seguintes ecuacións se poden resolver en Z e para cales é necesario o conxunto dos números racionais, Q. a) x 0 b) 7x c) x + d)
Διαβάστε περισσότεραVII. RECTAS E PLANOS NO ESPAZO
VII. RETS E PLNOS NO ESPZO.- Ecuacións da recta Unha recta r no espao queda determinada por un punto, punto base, e un vector v non nulo que se chama vector director ou direccional da recta; r, v é a determinación
Διαβάστε περισσότεραIX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes
IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes 1.- Distancia entre dous puntos Se A e B son dous puntos do espazo, defínese a distancia entre A e B como o módulo
Διαβάστε περισσότεραCADERNO Nº 11 NOME: DATA: / / Estatística. Representar e interpretar gráficos estatísticos, e saber cando é conveniente utilizar cada tipo.
Estatística Contidos 1. Facer estatística Necesidade Poboación e mostra Variables 2. Reconto e gráficos Reconto de datos Gráficos Agrupación de datos en intervalos 3. Medidas de centralización e posición
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS
Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS M.H.S.. 1. Dun resorte elástico de constante k = 500 N m -1 colga unha masa puntual de 5 kg. Estando o conxunto en equilibrio, desprázase
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2016 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 06 Código: 6 MATEMÁTICAS II (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio = 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio
Διαβάστε περισσότεραA proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta.
Páxina 1 de 9 1. Formato da proba Formato proba constará de vinte cuestións tipo test. s cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Puntuación Puntuación: 0.5
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO. F = m a
Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 1 ELECTOMAGNETISMO INTODUCIÓN MÉTODO 1. En xeral: Debúxanse as forzas que actúan sobre o sistema. Calcúlase a resultante polo principio de superposición. Aplícase a 2ª lei
Διαβάστε περισσότεραPAAU (LOXSE) XUÑO 2005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS
PAAU (LOXSE) XUÑO 005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS Código: 61 O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. Puntuación máxima de cada un dos exercicios: Álxebra
Διαβάστε περισσότεραMATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS
61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. BLOQUE DE ÁLXEBRA (Puntuación máxima 3 puntos) 1 0 0 1-1 -1 Sexan as matrices
Διαβάστε περισσότεραa) Calcula m de modo que o produto escalar de a( 3, 2 ) e b( m, 5 ) sexa igual a 5. ( )
.. MATEMÁTICAS I PENDENTES (º PARTE) a) Calcula m de modo que o produto escalar de a(, ) e b( m, 5 ) sea igual a 5. b) Calcula a proección de a sobre c, sendo c,. ( ) 5 Se (, ) e y,. Calcula: a) Un vector
Διαβάστε περισσότεραMATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS
61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos Puntuación máxima de cada un dos exercicios: Álxebra 3 puntos; Análise 3,5 puntos;
Διαβάστε περισσότεραCADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Os números reais
CADERNO Nº NOME: DATA: / / Os números reais Contidos. Os números reais Números irracionais Números reais Aproximacións Representación gráfica Valor absoluto Intervalos. Radicais Forma exponencial Radicais
Διαβάστε περισσότεραINICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS
INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS Páina 0 REFLEXIONA E RESOLVE Coller un autobús en marca Na gráfica seguinte, a liña vermella representa o movemento dun autobús que arranca da parada e vai,
Διαβάστε περισσότεραA circunferencia e o círculo
10 A circunferencia e o círculo Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar os diferentes elementos presentes na circunferencia e o círculo. Coñecer as posicións relativas de puntos, rectas e circunferencias.
Διαβάστε περισσότερα1_2.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados
1_.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados 1. Ordena de menor a maior as seguintes fraccións: 1 6 3 5 7 4,,,,, 3 5 4 8 6 9. Efectúa as seguintes operacións e simplifica o resultado:
Διαβάστε περισσότεραInecuacións. Obxectivos
5 Inecuacións Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Resolver inecuacións de primeiro e segundo grao cunha incógnita. Resolver sistemas de ecuacións cunha incógnita. Resolver de forma gráfica inecuacións
Διαβάστε περισσότεραMATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS
61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. BLOQUE DE ÁLXEBRA (Puntuación máxima 3 puntos) Un autobús transporta en certa
Διαβάστε περισσότεραÁmbito científico tecnolóxico. Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións. Módulo 3 Unidade didáctica 8
Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Módulo 3 Unidade didáctica 8 Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións Páxina 1 de 45 Índice 1. Programación da unidade...3
Διαβάστε περισσότεραFuncións e gráficas. Obxectivos. 1.Funcións reais páx. 4 Concepto de función Gráfico dunha función Dominio e percorrido Funcións definidas a anacos
9 Funcións e gráficas Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Coñecer e interpretar as funcións e as distintas formas de presentalas. Recoñecer o dominio e o percorrido dunha función. Determinar se unha
Διαβάστε περισσότεραMostraxe Inferencia estatística
Mostraxe Inferencia estatística A mostraxe e a inferencia estatística utilízase para coñecer as características dunha poboación a partir dun grupo pequeno de elementos da mesma e para coñecer os erros
Διαβάστε περισσότερα1. A INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA 1.2. PROPRIEDADES
TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07 Eames e Tetos de Matemática de Pepe Sacau ten unha licenza Creative Commons Atriución Compartir igual.0 Internacional. A INTEGRAL INDEFINIDA.. DEFINICIÓN DE INTEGRAL
Διαβάστε περισσότεραExpresións alxébricas
5 Expresións alxébricas Obxectivos Crear expresións alxébricas a partir dun enunciado. Atopar o valor numérico dunha expresión alxébrica. Clasificar unha expresión alxébrica como monomio, binomio,... polinomio.
Διαβάστε περισσότεραMétodos Matemáticos en Física L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro APL)
L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro Condiciones de contorno. Fuerzas externas aplicadas sobre una cuerda. condición que nos describe un extremo libre en una cuerda tensa. Ecuación
Διαβάστε περισσότεραEstatística. Obxectivos
1 Estatística Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Distinguir os conceptos de poboación e mostra. Diferenciar os tres tipos de variables estatísticas. Facer recontos e gráficos. Calcular e interpretar
Διαβάστε περισσότεραFuncións e gráficas. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Funcións páx. 4 Concepto Táboas e gráficas Dominio e percorrido
9 Funcións e gráficas Obxectivos Nesta quinceer na aprenderás a: Coñecer e interpretar as funcións e as distintas formas de presentalas. Recoñecer ou dominio e ou percorrido dunha función. Determinar se
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II
PAU XUÑO 2014 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,
Διαβάστε περισσότεραTEMA IV: FUNCIONES HIPERGEOMETRICAS
TEMA IV: FUNCIONES HIPERGEOMETRICAS 1. La ecuación hipergeométrica x R y α, β, γ parámetros reales. x(1 x)y + [γ (α + β + 1)x]y αβy 0 (1.1) Dividiendo en (1.1) por x(1 x) obtenemos (x 0, x 1) y + γ (α
Διαβάστε περισσότεραAno 2018 FÍSICA. SOL:a...máx. 1,00 Un son grave ten baixa frecuencia, polo que a súa lonxitude de onda é maior.
ABAU CONVOCAT ORIA DE SET EMBRO Ano 2018 CRIT ERIOS DE AVALI ACIÓN FÍSICA (Cód. 23) Elixir e desenvolver unha das dúas opcións. As solución numéricas non acompañadas de unidades ou con unidades incorrectas...
Διαβάστε περισσότεραEstatística. Obxectivos
11 Estatística Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Distinguir os conceptos de poboación e mostra. Diferenciar os tres tipos de variables estatísticas. Facer recontos e gráficos. Calcular e interpretar
Διαβάστε περισσότεραCADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Polinomios. Manexar as expresións alxébricas e calcular o seu valor numérico.
Polinomios Contidos 1. Monomios e polinomios Expresións alxébricas Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio 2. Operacións Suma e diferenza Produto Factor común 3. Identidades notables Suma
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II
PAU XUÑO 2013 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,
Διαβάστε περισσότεραLógica Proposicional. Justificación de la validez del razonamiento?
Proposicional educción Natural Proposicional - 1 Justificación de la validez del razonamiento? os maneras diferentes de justificar Justificar que la veracidad de las hipótesis implica la veracidad de la
Διαβάστε περισσότεραLógica Proposicional
Proposicional educción Natural Proposicional - 1 Justificación de la validez del razonamiento os maneras diferentes de justificar Justificar que la veracidad de las hipótesis implica la veracidad de la
Διαβάστε περισσότεραNúmeros reais. Obxectivos. Antes de empezar.
1 Números reais Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Clasificar os números reais en racionais e irracionais. Aproximar números con decimais ata unha orde dada. Calcular a cota de erro dunha aproximación.
Διαβάστε περισσότεραPAU Xuño 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II
PAU Xuño 015 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,
Διαβάστε περισσότεραPolinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio
3 Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Achar a expresión en coeficientes dun polinomio e operar con eles. Calcular o valor numérico dun polinomio. Recoñecer algunhas identidades notables,
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS
Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS INTRODUCIÓN MÉTODO 1. En xeral: a) Debúxanse as forzas que actúan sobre o sistema. b) Calcúlase cada forza. c) Calcúlase a resultante polo principio
Διαβάστε περισσότεραExpresións alxébricas
Expresións alxébricas Contidos 1. Expresións alxébricas Que son? Como as obtemos? Valor numérico 2. Monomios Que son? Sumar e restar Multiplicar 3. Polinomios Que son? Sumar e restar Multiplicar por un
Διαβάστε περισσότεραESTRUTURA ATÓMICA E CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DOS ELEMENTOS
Química P.A.U. ESTRUTURA ATÓMICA E CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DOS ELEMENTOS ESTRUTURA ATÓMICA E CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DOS ELEMENTOS CUESTIÓNS NÚMEROS CUÁNTICOS. a) Indique o significado dos números cuánticos
Διαβάστε περισσότεραIntrodución á análise numérica. Erros no cálculo numérico
1 Introdución á análise numérica. Erros no cálculo numérico Carmen Rodríguez Iglesias Departamento de Matemática Aplicada Facultade de Matemáticas Universidade de Santiago de Compostela, 2013 Esta obra
Διαβάστε περισσότεραEXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS
EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. ) Clul os posiles vlores de,, pr que triz A verifique relión (A I), sendo I triz identidde de orde e triz nul de orde. ) Cl é soluión dun siste hooéneo
Διαβάστε περισσότεραExame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema)
Exame tipo A. Proba obxectiva (Valoración: 3 puntos) 1. - Un disco de 10 cm de raio xira cunha velocidade angular de 45 revolucións por minuto. A velocidade lineal dos puntos da periferia do disco será:
Διαβάστε περισσότεραVI. VECTORES NO ESPAZO
VI. VECTORES NO ESPAZO.- Vectores no espazo. Operacións Sexa E o espazo de pntos ordinario o intitio da xeometría elemental. Un segmento orientado AB con orixe no pnto A e extremo no pnto B recibe o nome
Διαβάστε περισσότεραVolume dos corpos xeométricos
11 Volume dos corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Comprender o concepto de medida do volume e coñecer e manexar as unidades de medida do S.M.D. Obter e aplicar expresións para o
Διαβάστε περισσότεραECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS
ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS Índice 1. Ecuacións de primeiro e segundo grao... 1 1.1. Ecuacións de primeiro grao... 1 1.. Ecuacións de segundo grao.... Outras ecuacións alébricas... 5.1. Ecuacións
Διαβάστε περισσότεραExercicios de Física 02a. Campo Eléctrico
Exercicios de Física 02a. Campo Eléctrico Problemas 1. Dúas cargas eléctricas de 3 mc están situadas en A(4,0) e B( 4,0) (en metros). Caalcula: a) o campo eléctrico en C(0,5) e en D(0,0) b) o potencial
Διαβάστε περισσότερα1. O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES 1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE
O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE MATEMÁTICA II 06 Exames e Textos de Matemática de Pepe Sacau ten unha licenza Creative Commons Atribución Compartir igual 40 Internacional
Διαβάστε περισσότεραReflexión e refracción. Coeficientes de Fresnel
Tema 5 Reflexión e refracción Coeficientes de Fresnel 51 Introdución Cando a luz incide sobre a superficie de separación de dous medios transparentes de índice de refracción diferente, unha parte entra
Διαβάστε περισσότεραProblemas resueltos del teorema de Bolzano
Problemas resueltos del teorema de Bolzano 1 S e a la fun ción: S e puede af irm a r que f (x) está acotada en el interva lo [1, 4 ]? P or no se r c ont i nua f (x ) e n x = 1, la f unció n no e s c ont
Διαβάστε περισσότεραCorpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 4 Definición Elementos dun poliedro
9 Corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar que é un poliedro. Determinar os elementos dun poliedro: Caras, arestas e vértices. Clasificar os poliedros. Especificar cando un
Διαβάστε περισσότεραFísica e química 4º ESO. As forzas 01/12/09 Nome:
DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Problemas Física e química 4º ESO As forzas 01/12/09 Nome: [6 Ptos.] 1. Sobre un corpo actúan tres forzas: unha de intensidade 20 N cara o norte, outra de 40 N cara o nordeste
Διαβάστε περισσότεραÁreas de corpos xeométricos
9 Áreas de corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Antes de empezar 1.Área dos prismas....... páx.164 Área dos prismas Calcular a área de prismas rectos de calquera número de caras.
Διαβάστε περισσότεραInterferencia por división da fronte
Tema 9 Interferencia por división da fronte No tema anterior vimos que para lograr interferencia debemos superpoñer luz procedente dunha única fonte de luz pero que recorreu camiños diferentes. Unha forma
Διαβάστε περισσότεραPÁGINA 106 PÁGINA a) sen 30 = 1/2 b) cos 120 = 1/2. c) tg 135 = 1 d) cos 45 = PÁGINA 109
PÁGINA 0. La altura del árbol es de 8,5 cm.. BC m. CA 70 m. a) x b) y PÁGINA 0. tg a 0, Con calculadora: sß 0,9 t{ ««}. cos a 0, Con calculadora: st,8 { \ \ } PÁGINA 05. cos a 0,78 tg a 0,79. sen a 0,5
Διαβάστε περισσότεραSOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119
Página 0. a) b) π 4 π x 0 4 π π / 0 π / x 0º 0 x π π. 0 rad 0 π π rad 0 4 π 0 π rad 0 π 0 π / 4. rad 4º 4 π π 0 π / rad 0º π π 0 π / rad 0º π 4. De izquierda a derecha: 4 80 π rad π / rad 0 Página 0. tg
Διαβάστε περισσότεραCiUG COMISIÓN INTERUNIVERSITARIA DE GALICIA
CiUG COMISIÓN INTERUNIVERSITARIA DE GALICIA PAAU (LOXSE) XUÑO 2001 Código: 61 O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. Puntuación máxima de cada un dos exercicios:
Διαβάστε περισσότεραÁmbito científico tecnolóxico. Números e álxebra. Unidade didáctica 1. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial
Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo Unidade didáctica 1 Números e álxebra Índice 1. Introdución... 1.1 Descrición da unidade
Διαβάστε περισσότεραa) Ao ceibar o resorte describe un MHS, polo tanto correspóndelle unha ecuación para a elongación:
VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS 1. Un sistema cun resorte estirado 0,03 m sóltase en t=0 deixándoo oscilar libremente, co resultado dunha oscilación cada 0, s. Calcula: a) A velocidade do extremo libre ó
Διαβάστε περισσότεραProbas de acceso a ciclos formativos de grao medio CMPM001. Proba de. Código. Matemáticas. Parte matemática. Matemáticas.
Probas de acceso a ciclos formativos de grao medio Proba de Matemáticas Código CMPM001 Páxina 1 de 9 Parte matemática. Matemáticas 1. Formato da proba Formato A proba consta de vinte cuestións tipo test.
Διαβάστε περισσότεραCALCULO DA CONSTANTE ELASTICA DUN RESORTE
11 IES A CAÑIZA Traballo de Física CALCULO DA CONSTANTE ELASTICA DUN RESORTE Alumno: Carlos Fidalgo Giráldez Profesor: Enric Ripoll Mira Febrero 2015 1. Obxectivos O obxectivo da seguinte practica é comprobar,
Διαβάστε περισσότεραVIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos
VIII. ESPZO EULÍDEO TRIDIMENSIONL: Áglos perpediclaridade de rectas e plaos.- Áglo qe forma dúas rectas O áglo de dúas rectas qe se corta se defie como o meor dos áglos qe forma o plao qe determia. O áglo
Διαβάστε περισσότεραELECTROTECNIA. BLOQUE 1: ANÁLISE DE CIRCUÍTOS (Elixir A ou B) A.- No circuíto da figura determinar o valor da intensidade na resistencia R 2
36 ELECTROTECNIA O exame consta de dez problemas, debendo o alumno elixir catro, un de cada bloque. Non é necesario elixir a mesma opción (A ou B ) de cada bloque. Todos os problemas puntúan igual, é dicir,
Διαβάστε περισσότεραTEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO
TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO 1. CORPOS XEOMÉTRICOS No noso entorno observamos continuamente obxectos de diversas formas: pelotas, botes, caixas, pirámides, etc. Todos estes obxectos son corpos xeométricos.
Διαβάστε περισσότεραOptimización baixo incerteza en redes de gas.
Traballo Fin de Mestrado Optimización baixo incerteza en redes de gas. Ana Belén Buide Carballosa Mestrado en Técnicas Estatísticas Curso 2016-2017 ii iii Proposta de Traballo Fin de Mestrado Título en
Διαβάστε περισσότεραQuímica P.A.U. EQUILIBRIO QUÍMICO 1 EQUILIBRIO QUÍMICO
Química P.A.U. EQUILIBRIO QUÍMICO 1 EQUILIBRIO QUÍMICO PROBLEMAS FASE GAS 1. A 670 K, un recipiente de 2 dm 3 contén unha mestura gasosa en equilibrio de 0,003 moles de hidróxeno, 0,003 moles de iodo e
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN
Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN PROBLEMAS SATÉLITES 1. O período de rotación da Terra arredor del Sol é un año e o radio da órbita é 1,5 10 11 m. Se Xúpiter ten un período de aproximadamente 12
Διαβάστε περισσότεραEletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::...
Eletromagnetismo Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística Lista -.1 - Mostrar que a seguinte medida é invariante d 3 p p 0 onde: p 0 p + m (1)
Διαβάστε περισσότεραCaderno de traballo. Proxecto EDA 2009 Descartes na aula. Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene
Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene Nome: 4º ESO Nº Páx. 1 de 36 FIGURAS SEMELLANTES 1. CONCEPTO DE SEMELLANZA Intuitivamente: Dúas figuras son SEMELLANTES se teñen a mesma forma pero distinto
Διαβάστε περισσότεραResorte: estudio estático e dinámico.
ESTUDIO DO RESORTE (MÉTODOS ESTÁTICO E DINÁMICO ) 1 Resorte: estudio estático e dinámico. 1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA. (No libro).. OBXECTIVOS. (No libro). 3. MATERIAL. (No libro). 4. PROCEDEMENTO. A. MÉTODO
Διαβάστε περισσότεραEXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. 2. Dada a ecuación lineal 2x 3y + 4z = 2, comproba que as ternas (3, 2, 2
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS Dds s ecucións seguintes indic s que son lineis: ) + + b) + u c) + d) + Dd ecución linel + comprob que s terns ( ) e ( ) son lgunhs ds sús solucións
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (5) ΑΘΗΝΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 1 ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ ΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση η οποία να αντιστοιχεί
Διαβάστε περισσότεραLUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS
LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS Páxina REFLEXIONA E RESOLVE Cónicas abertas: parábolas e hipérboles Completa a seguinte táboa, na que a é o ángulo que forman as xeratrices co eixe, e, da cónica e b o ángulo
Διαβάστε περισσότεραProblemas xeométricos
Problemas xeométricos Contidos 1. Figuras planas Triángulos Paralelogramos Trapecios Trapezoides Polígonos regulares Círculos, sectores e segmentos 2. Corpos xeométricos Prismas Pirámides Troncos de pirámides
Διαβάστε περισσότεραELECTROTECNIA. BLOQUE 3: MEDIDAS NOS CIRCUÍTOS ELÉCTRICOS (Elixir A ou B)
36 ELECTROTECNIA O exame consta de dez problemas, debendo o alumno elixir catro, un de cada bloque. Non é necesario elixir a mesma opción (A o B ) de cada bloque. Todos os problemas puntúan do mesmo xeito,
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO
Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO PROBLEMAS CAMPO ELECTROSTÁTICO 1. Dúas cargas eléctricas de 3 mc están situadas en A(4, 0) e B(-4, 0) (en metros). Calcula: a) O campo eléctrico en C(0,
Διαβάστε περισσότερα