1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos"

Transcript

1 V. PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos 1 Experimento aleatorio. Concepto e exemplos Experimentos aleatorios son aqueles que ao repetilos nas mesmas condicións non podemos predicir o resultado que imos obter. Ao repetir o experimento moitas veces amosa unha certa regularidade. Exemplos: O lanzamento dun dado: non sabemos de antemán que resultado vai saír. O mesmo pasa se lanzamos unha moeda. Se sacamos sen mirar unha bola dunha que caixa que conteña bolas de distintas cores tampouco podemos saber previamente de que cor vai ser a bola. 2 Espazo de mostra. Suceso elemental Espazo de mostra (E) dun experimento aleatorio é o conxunto de todos os posíbeis resultados do experimento. Suceso elemental é cada un dos elementos do espazo de mostra. É dicir, calquera resultado que poida obterse nunha experiencia. Exemplos: i) Se o experimento é lanzar un dado o espazo de mostra, que estará formado por 6 sucesos elementais, será: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ii) Se o experimento consiste en lanzar tres moedas o espazo de mostra, que estará formado por 8 sucesos elementais, será: E = {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX} 3 Sucesos. Operacións con sucesos: unión e intersección Suceso: conxunto de sucesos elementais. Calquera dos subconxuntos do espazo de mostra. Chámase espazo de sucesos, (E), ao conxunto de todos os sucesos do espazo de mostra E. Se o espazo de mostra está formado por n sucesos elementais, entón (E) ten 2 n sucesos. Exemplos: i) Para o experimento lanzar un dado, son sucesos: A = {2, 4, 6} : "sacar un número par" B = {4, 5, 6} : "sacar un número maior que 3" En total existen 2 6 = 64 sucesos distintos. ii) Para o experimento lanzar tres moedas, son sucesos: A = {CCX, CXC, XCC} : "sacar unha cruz e dúas caras" B = {CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX} : "sacar algunha cruz" En total existen 2 8 = 256 sucesos distintos. 1

2 Unión de sucesos: Dados dous sucesos A e B dun mesmo experimento aleatorio, chamamos suceso unión de A e B ao suceso que ocorre cando ocorre A ou ben B. Notación: = "A unión B" Intersección de sucesos: Dados dous sucesos A e B dun mesmo experimento aleatorio, chamamos suceso intersección de A e B ao suceso que ocorre cando ocorren A e B. Notación:= "A intersección B" 4 Suceso imposíbel ou nulo. Suceso seguro. Suceso contrario ou complementario. Diferencia de sucesos. Sucesos incompatíbeis Suceso imposíbel (ou nulo): é un suceso que non ocorre nunca. Notación: Suceso seguro: suceso que sempre ocorre. Está formado por todos os resultados posíbeis, polo tanto coincide co espazo de mostra. Suceso contrario (ou complementario) dun suceso A é un suceso que ocorre cando non ocorre A, e reciprocamente. Notación: A'. Suceso diferencia de dous sucesos A e B, A-B, é un suceso que ocorre cando ocorre A e non ocorre B. Sucesos incompatíbeis: cando dous sucesos é imposíbel que ocorran simultaneamente. A e B incompatíbeis entón A B =. 5 Propiedades das operacións con sucesos UNIÓN INTERSECCIÓN i) Asociativa: (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) ii) Conmutativa: A B = B A A B = B A iii) Idempotente: A A = A A A= A iv) A A' = E A A' = v) A E = E A E = A vi) A = A A = vii) Distributiva: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) viii) Simplificativa: (A B) A = A, A (B A) = A ix) Leis de Morgan: (A B)' = A' B', (A B)' = A' B' Exemplo: Para o experimento lanzar dúas moedas: E = {CC, XC, CX, XX} (E) ={, {CC}, {CX}, {XC}, {XX}, {CC, XC},{CC, CX}, {CC, XX},{CX, XC},{CX, XX},{XC, XX}, {CC, CX, 2

3 XC}, {CC, CX, XX}, {CC, XC, XX}, {XC, CX, XX} {CC, XC, CX, XX}} Suceso seguro = E : "Sacar algunha cara ou algunha cruz" Suceso imposíbel = φ : "Sacar máis de dúas caras" A = {CC, CX, XC} : "Sacar algunha cara" Complementario de A' = {XX} : "Non sacar ningunha cara" B = {CC} : "Sacar dúas caras" A - B = {XC, CX} : "Sacar só unha cara" Sucesos incompatíbeis: A = {CC, XX}: "Sacar só caras ou cruces", B = {CX, XC} : "Sacar unha cara e unha cruz". 2 Propiedades da frecuencia relativa Frecuencia absoluta dun suceso A (f a ): é o número de veces que ocorre dito suceso, cando repetimos un experimento varias (N) veces. Frecuencia relativa dun suceso A (f r ): é igual á frecuencia absoluta do suceso (f a ) dividida polo número total de experiencias (N). Exemplo: Lanzando un dado 20 veces obtivemos o seguinte resultado: {2, 4, 1, 4, 3, 3, 6, 1, 5, 6, 2, 5, 3, 6, 5, 3, 1, 4, 2, 5} Para o suceso A: Saír un 2", temos e. Para o suceso A: Saír un número par", temos e. Propiedades da frecuencia relativa i. A frecuencia relativa dun suceso, A, é maior ou igual que cero e menor ou igual que 1. 0 f r (A) 1 A frecuencia relativa do suceso seguro é 1. A frecuencia relativa do suceso imposíbel é 0. i. A frecuencia relativa do suceso contrario de A é igual á 1 menos a frecuencia relativa de A f r (A') = 1 - f r (A) i. A frecuencia suceso unión de dous (ou máis) sucesos incompatíbeis é igual á suma das frecuencias deses sucesos. f r (A B) = fr(a) + f r (B) i. A frecuencia do suceso unión de dous sucesos é igual á suma das frecuencias deses sucesos menos a frecuencia da intersección dos mesmos. f r (A B) = fr(a) + f r (B) - f r (A B) 3

4 1.3 Concepto de probabilidade Introdu ción ao concepto de probabilidade como límite de frecuencias Lanzando un dado distintos números de veces obtivemos os resultados que aparecen na seguinte táboa: X fa f' a f'' a f r f' r f'' r TIRADAS Representando estes datos graficamente vese claramente que ao aumentar o número de lanzamentos, as frecuencias relativas aproxímanse ao resultado que cabería esperar que é A experiencia demostra que para todos os experimentos aleatorios a frecuencia relativa vaise estabilizando cando o número de experiencias é suficientemente grande. O enunciado desta propiedade recibe o nome de lei dos grandes números: Se repetimos unha experiencia aleatoria en condicións estábeis, para calquera suceso A, existe sempre o límite seguinte: onde f(a) = número de veces que ocorreu o suceso A n = número de veces que se repetiu a experiencia. O valor dese límite chámase probabilidade de A. A definición anterior de probabilidade presenta un problema práctico: para calcular a probabilidade dun suceso sería necesario facer un gran número de probas para poder obter experimentalmente o valor ao cal tenden as frecuencias relativas. V.1.4

5 1.3.2 Regra de Laplace A definición de probabilidade de Laplace é a primeira que se coñece (1812) e recibe o nome de Regra de Laplace: "A probabilidade dun suceso A, p(a), é igual ao cociente entre o número de casos favorábeis do suceso A e o número de casos posíbeis". do suceso A: Para poder aplicar a Regra de Laplace e necesario que os sucesos elementais teñen a mesma probabilidade. Se ocorre isto, o único que hai que facer para poder aplicala é contar os casos posíbeis e os favorábeis, pero esta contabilidade non sempre é fácil. Exemplo: Calcular a probabilidade de acertar os 6 números da lotería primitiva realizando: i) unha soa aposta: ii) apostas: iii) todas as apostas nas que entre o número 13: Definición axiomática de probabilidade Para salvar os problemas que a definición de Laplace presentaba, Kolmogorov (1903) formalizou unha definición axiomática de probabilidade: A probabilidade é unha aplicación,, que asocia a cada suceso un número real p(a), que ten que cumprir os seguintes axiomas: Ax.1.- A probabilidade dun suceso calquera é positiva ou cero: Ax.2.- A probabilidade total é 1: Ax.3.- Se dous sucesos son incompatíbeis entón a probabilidade da súa unión é a suma das súas probabilidades: V.1.5

6 Propiedades da probabilidade P.1.- A probabilidade do suceso contrario A' é igual a 1 menos a probabilidade de A: Demostr.- A A' = e A A' = E 1 = p(e) = p(a A') = p(a) + p(a') 1 - p(a) = p(a'). P.2.- A probabilidade do suceso imposíbel é igual a 0: Demostr.- Consecuencia de que ö é o contrario de E. P.3.- Se A e B son dous sucesos calquera, entón: Demostr.- Sexa C =A' B, A C = ö e A B = A C p(a B) = p(a C) = p(a) + p(c) = = p(a) + p(a' B) p(a B) = p(a) + p(a' B) (1) B = (A B) (A' B) e (A B) (A' B) = ö p(b) = p(a B) + p(a' B) (2) Das igualdades (1) e (2) deducimos que: p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B). P.4.- Demostr.- Se A B C con p(c) 0, tq B = A C p(b) = p(a)+p(c) p(a) p(b) P.5.- Se A 1, A 2,..., A n é unha colección finita de sucesos incompatíbeis dous a dous (Ai A k=, i k), entón (Esta propiedade tamén é certa para unha familia infinita numerábel) Demostr.- (Por indución). P.6.- (Regra de Laplace ) Se un espazo E está composto por n sucesos elementais A, A,..., A que son equiprobábeis 1 2 n e disxuntos dous a dous, para un suceso A formado por r destes sucesos, temos que: Demostr.- 1 = p(e) = p(a 1) + p(a 2) p(a n), os sucesos A 1, A 2,..., A n son equiprobábeis, entón p(a 1) = p(a 2) =... = p(a n) = 1/n A = A 1 A 2... A r, p(a) = p(a 1) + p(a 2) p(a r) = 1/n + 1/n /n = r/n. V.1.6

7 1.4 condicionada. Sucesos independentes Definición de probabilidade condicionada Sexan dous sucesos A e B, chámase probabilidade de B condicionada a A, e que denotamos p(b/a), ao cociente: Consecuencia da definición é: (Para que sexa válida ten que ser p(a) distinta de cero) Exemplo: Nunha clase do IES de Quiroga hai 16 alumnas e 12 alumnos. Nesa clase aproban Matemáticas 12 alumnas e 8 alumnos. Os datos anteriores podemos expresalos mediante a seguinte táboa: A: Alumnas A': Alumnos B: Aproban B': Non ap Escollemos ao chou un membro da clase. Consideramos os sucesos: A = Ser alumna A' = Ser alumno B = Aprobar Matemáticas B' = Non aprobar Matemáticas A B = Ser alumna e aprobar Matemáticas B/A = Entre as alumnas aprobar as Matemáticas. Non hai máis que mirar para a táboa e aplicar a Lei de Laplace para comprobar que: p(a) = 16/28 = 4/7 p(a') = 12/28 = 3/7 p(b) = 20/28 = 5/7 p(b') = 8/28 = 2/5 Igual de fácil é comprobar que a probabilidade de ser alumna e aprobar Matemáticas é: p(a B) = 12/28 = 3/7 e que se escollemos unicamente entre os que aproban, a probabilidade de escoller unha alumna (isto é, a probabilidade de escoller un alumno que aprobe (B) condicionado a que sexa muller (A)) é: p(b/a) = 12/16 = 3/4 Entón podemos observar que: Sucesos independentes Un suceso B é independente de A cando a probabilidade de B é a mesma que se a calculamos condicionada a A (A non intervén en B), é dicir: Se B é independente de A, entón A é independente de B. Por tanto podemos falar de sucesos independentes entre si. Como consecuencia da definición de sucesos independentes e da definición de probabilidade V.1.7

8 condicionada temos que: i) Se A e B son dous sucesos independentes, entón Se A e B son dous sucesos dependentes, entón ii) iii) Se A e B son incompatíbeis (A B = ), entón iv) v) En xeral para n sucesos: A 1, A 2,... A n temos a seguinte fórmula (teorema da probabilidade composta): Exemplo: Temos unha caixa con 10 bolas brancas e 10 vermellas. Consideremos o experimento consistente en sacar dúas bolas sucesivas: 1º) Non devolvendo a primeira bola antes de sacar a segunda. 2º) Devolvéndoa. Sexan os sucesos: A = Sacar unha bola branca na primeira extracción. B = Sacar unha bola branca na segunda extracción. A B = Sacar unha bola branca nas dúas extraccións. No primeiro caso (non devolvendo a bola) o suceso B depende do suceso A, e temos que: p(a B) = p(a).p(b/a) = (10/20).(9/19) = 9/38 No segundo caso (devolvendo a bola) o suceso B é independente do suceso A, e temos : p(a B) = p(a).p(b/a) = p(a).p(b) = (10/20).(10/20) = 1/4 1.5 Teorema das probabilidades totais. Teorema de Bayes Os sucesos A 1, A 2,... A nconstitúen un sistema completo de sucesos se a súa unión é o espazo total e son disxuntos dous a dous, isto é: Teor.- (probabilidades totais) Sexan A 1, A 2,... A nun sistema completo de sucesos tal que e B un suceso calquera, entón verifícase: Teor.- (Bayes) Sexan A 1, A 2,... A n un sistema completo de sucesos tq e B un suceso calquera, entón verifícase: V.1.8

9 2 Distribucións de probabilidade 2.1 Variábel aleatoria discreta Definición de variábel aleatoria Chámase variábel aleatoria a unha función que asocia a cada suceso do espaczo de mostra E un número real. X: variábel aleatoria (v.a.), X: E Notación: (X=x) representa o suceso "a v. a. X toma o valor x" (X<x) representa o suceso "a v. a. X toma valores menores que x" p(x=x) representa "probabilidade de que a v. a. X tome o valor x" p(x<x) representa "probabilidade de que a v. a. X tome valores menores que x" Variábel aleatoria discreta Dise que unha variábel aleatoria, X, é discreta, cando só pode tomar un número finito (ou numerábel) de valores (x, x,..., x ). 1 2 n Exemplo: Consideremos o experimento "lanzar dous dados" e sexa a variábel aleatoria X = "suma de puntos que se obtén". X só pode tomar os valores: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, Función de masa de probabilidade asociada a unha v. a. discreta Chámase función de masa de probabilidade, f(x), dunha v. a. discreta á aplicación que asocia a cada valor da variábel aleatoria a súa probabilidade. i. A función de masa de probabilidade toma valores comprendidos entre 0 e 1: 0 f(x i) 1 ii. A suma de todos os valores da función de probabilidade é igual a 1: Exemplo 1: Para a v. a. X = "suma de puntos que se obtén o lanzar dous dados", representamos na seguinte táboa os valores de X e os correspondentes da función de masa de probabilidade: xi f(x ) =p(x=x ) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 i i Exemplo 2: Consideremos a variábel aleatoria X que toma os valores que aparecen na seguinte táboa, na que tamén están as correspondentes probabilidades: Xi f(x i) = p(x=x i) V.2.1

10 A función de densidade podemos representala nunha gráfica: Función de densidade Función de distribución asociada a unha v. a. discreta. Propiedades. Representación gráfica Dada unha variábel aleatoria X, chamamos función de distribución da v. a. X, a función F definida como segue: (A función de distribución asocia a cada valor da v. a. a probabilidade acumulada ata ese valor). Propiedades: i) 0 F(x) 1, para calquera valor de x. ii) F(x) é unha función "escalonada" (é constante entre cada dous valores de X). iii) F(x)=0, para todo x menor que o mínimo valor da v. a.. iv) F(x)=1, para todo x maior que o máximo valor da v. a.. v) Se x x' entón F(x) F(x') (F(x) é crecente). Representación gráfica: (Exemplo 2) V.2.2

11 2.2 Variábel aleatoria continua Definición de variábel continua Dise que unha variábel aleatoria é continua, cando pode tomar calquera valor dentro dun intervalo da recta real. Exemplo: Son v. a. continuas: X = "tempo de funcionamento dun conxunto de máquinas dun determinado modelo". X = "estatura dun grupo de persoas". X = "temperatura media diaria dun lugar durante os 365 días do ano". Para v. a. continuas non ten sentido o cálculo da probabilidade para valores illados (estes sempre terán probabilidade 0), os valores da v. a. sempre se consideran agrupados en intervalos. Por exemplo, non é lóxico intentar calcular a probabilidade de que unha persoa mida 170, cm, semella moito máis razoábel formular o problema de calcular a probabilidade de que a estatura dunha persoa estea comprendida entre 170 cm e 171 cm Función de densidade asociada a unha v. a. c.. Representación gráfica A función de densidade dunha v. a. continua X é unha función f(x) integrábel que verifica: i), para todo x do intervalo onde está definida. ii) A área comprendida entre a gráfica da función f(x) e o eixo de abscisas é igual a 1, é dicir: Exemplos:, Representación gráfica: V.2.3

12 2.2.3 Función de distribución asociada a unha v. a. c.. Propiedades. Representación gráfica Chámase función de distribución dunha variábel aleatoria continua (X) a función F(x) definida: Se f(x) é a función de densidade da variábel aleatoria X a función de distribución será: Propiedades: i), ademais. ii) iii) iv), para todo x menor que o mínimo valor da variábel aleatoria., para todo x maior que o máximo valor da variábel aleatoria. (F(x) é crecente). Representación gráfica: f(x) e F(x) g(x) e G(x) V.2.4

13 2.3 Características dunha variábel aleatoria Esperanza matemática (media) Variábel aleatoria discreta: Chámase media (ì) (ou esperanza matemática ou valor esperado) dunha v. a. discreta X ao número: onde x 1, x 2,..., x nson os valores de X e p 1, p 2,..., p nson as respectivas probabilidades. Variábel aleatoria continua: Chámase media (ì) (ou esperanza matemática ou valor esperado) dunha v. a. continua X que ten por imaxe o intervalo e por función de densidade f(x) ao valor da integral: Varianza e desviación típica Variábel aleatoria discreta: 2 Chámase varianza (ó )dunha variábel aleatoria discreta X ao número: onde x 1, x 2,..., x n son os valores de X e p 1, p 2,..., p n son as respectivas probabilidades. Variábel aleatoria continua: 2 Chámase varianza (ó ) dunha variábel aleatoria continua X que ten por imaxe o intervalo e por función de densidade f(x) ao valor da integral: Chámase desviación típica (ó) da v. a. X á raíz cadrada da varianza. V.2.5

14 3 Distribución binomial. Distribución normal 3.1 Distribución binomial Variábel aleatoria binomial Consideremos un experimento aleatorio (experimento de Bernouilli) para o que: i) Unicamente poden presentarse dous resultados, o suceso A e o contrario A' (por tradición chámase éxito o suceso A e fracaso o suceso A') ii) O resultado de cada proba é independente dos resultados anteriores iii) A probabilidade do suceso A é constante (non varía en cada proba) Todo experimento que teña as características anteriores, dise que segue unha distribución binomial. A variábel X que expresa o número de éxitos en cada proba do experimento, chámase variábel aleatoria binomial. A variábel aleatoria binomial é discreta: se realizamos n probas os únicos valores que pode tomar son 0, 1, 2,..., n. Notación: p = probabilidade de que ocorra A q = 1 - p = probabilidade de que non ocorra A. n = número de probas. B(n, p) = variábel de distribución binomial de parámetros n e p. Exemplo.- Para o experimento de lanzar unha moeda: Se consideramos A: o suceso saír cara e facemos 12 lanzamentos temos unha distribución binomial: B(12, 0.5) Función de probabilidade dunha v. a. binomial Dada unha v. a. binomial X de parámetros n e p: B(n,p), a función de probabilidade de X é a que ven dada pola fórmula:, onde x pode tomar os valores: 0, 1, 2,..., n x n p(x)=p(x=x) q n... p n A función de distribución será: Características da variábel aleatoria binomial V.3.1

15 Se X é unha v. a. B(n, p) pode comprobarse facilmente que: Esperanza de matemática de X (media): Varianza de X: Desviación típica de X: Exemplo: Un exame tipo test está composto por 10 preguntas, con 5 posíbeis respostas cada unha, das cales só unha é válida. Supoñendo que non sabemos ningunha pregunta (a veces sucede!) contestamos ao chou e esperar que haxa sorte. Se A: "contestar correctamente", temos n = 10, p = p(a) = 1/5, q = p(a') = 4/5, estamos ante unha distribución B(10, 1/5) i) de non acertar ningunha pregunta p(x=0) = = ii) de acertar todas as preguntas p(x=10) = = iii) de acertar tres preguntas p(x=3) = = iv) de acertar menos de catro preguntas p(x 3) = p(x=0) + p(x=1) + p(x=2) + p(x=3) = = v) de aprobar (para aprobar hai que acertar polo menos cinco preguntas) p(x 5) = p(x=5) + p(x=6) + p(x=7) + p(x=8) + p(x=9) + p(x=10) = = = Cálculos para distribucións binomiais O cálculo de probabilidades para v. a. que seguen unha distribución binomial é na maioría dos casos moi traballoso. Para facilitar estes cálculos elaboráronse táboas que nos proporcionan os valores que toma a v. a. X segundo os valores de n e p. Na actualidade estas táboas comezan a estar en desuso, sendo substituídas por calculadoras e ordenadores. V.3.2

16 3.2 Distribución normal Variábel aleatoria normal Dise que unha variábel aleatoria continua X segue unha distribución normal de media ì e desviación típica ó, que representamos por, se cumpre as seguintes condicións: i) A variábel X recorre toda a recta real (de - a + ) ii) A función de densidade é a dada pola seguinte expresión: Función de densidade dunha v. a. normal. Parámetros da distribución normal: media e varianza. Representación gráfica. Propiedades A función de densidade dunha distribución normal, N(ì,ó), é a da fórmula anterior, onde: ì = E[x] = Media (ì tamén é o valor da moda e da mediana) 2 ó = Desviación típica, por tanto ó = varianza. Gráfica: Propiedades: i) A curva é simétrica respecto da recta x=ì. ii) Ten unha asíntota horizontal que é o eixo OX. iii) O valor máximo da función obtense para x=ì. iv) A área comprendida entre a curva e o eixo OX é igual a 1, Se dividimos esta superficie pola recta x=ì, queda a metade da área a cada lado. v) Os puntos para os que x=ì+ó e x=ì-ó son os puntos de inflexión da curva. V.3.3

17 3.2.3 A distribución normal estándar (N(0,1)). Manexo de táboas Entre as infinitas distribucións que ten media 0 e desviación típica 1, distribución normal reducida. Para esta distribución a función de densidade é: ten especial interese aquela (que denotamos por Z ), chamada distribución normal estándar ou Propiedades: i) A curva é simétrica respecto do eixo OY. ii) Ten unha asíntota horizontal que é o eixo de abscisas. iii) O valor máximo da función obtense para z = 0. iv) Os puntos z = -1 e z = -1 son os puntos de inflexión da curva. Cálculo: Para calcular os valores da función de distribución da, Exemplos:, existen táboas que simplifican moito os cálculos. Na actualidade estas táboas comezan a estar en desuso, sendo substituídas por calculadoras e ordenadores. p(z 1) = p(z -0.5) = p(z 0.5) = p(-0.5 z 1) = V.3.4

18 3.2.4 Tipificación dunha variábel aleatoria Hai infinidade de variábeis que seguen unha distribución normal o cálculo de probabilidades destas distribucións redúcense a unha., para simplificar Chámase tipificación da variábel á transformación dunha variábel aleatoria X que segue unha distribución nunha variábel Z que segue unha distribución. Isto conséguese facendo o seguinte cambio de variábel: (Comprobar que Z é N(0, 1)) Para un valor calquera da v. a. x,, entón 3.3 Aproximación da distribución binomial á normal Condicións para poder aproximar a distribución binomial pola normal Se X é unha distribución binomial, entón cando n tende a infinito (é dicir para un número de probas cada vez maior) X tende a unha distribución Tipificando a variábel, converxe á distribución Para poder aplicar este resultado na práctica: a aproximación é mellor canto máis grande sexa n, e p se aproxime a 0.5. Se np e nq son maiores que 3 a aproximación é bastante boa e para np e nq maiores que 5 é case perfecta Cálculo de probabilidades dunha dist. binomial por unha normal A distribución binomial é unha variábel aleatoria discreta e, polo tanto ten sentido calcular probabilidades puntuais:. Mentres que a distribución normal é continua e como tal tod as probabilidades puntuais son nulas. Para resolver este problema cando aproximamos unha binomial mediante unha normal, consideramos os valores da variábel aleatoria discreta como marcas de clase de intervalos de amplitude 1. X binomial p(x=x) p(a<x<b) p(a X b) X como normal p(x-0.5 X x+0.5) p(a+0.5 X b-0.5) p(a-0.5 X b+0.5) Exemplo: Se X segue unha distribución binomial, que cumpre as condicións para poder aproximala por unha normal,, e queremos calcular temos que calcular V.3.5

19 APROXIMACIÓN DA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Á NORMAL

Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016

Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016 Tema 1. Espazos topolóxicos Topoloxía Xeral, 2016 Topoloxía e Espazo topolóxico Índice Topoloxía e Espazo topolóxico Exemplos de topoloxías Conxuntos pechados Topoloxías definidas por conxuntos pechados:

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) 21 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os que A ten inversa.

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II PAU Código: 6 XUÑO 01 MATEMÁTICAS II (Responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio 3= puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa TRIGONOMETRIA. Calcular las razones trigonométricas de 0º, º y 60º. Para calcular las razones trigonométricas de º, nos ayudamos de un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. cateto opuesto

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Puntuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 puntos, eercicio = 3 puntos, eercicio

Διαβάστε περισσότερα

CADERNO Nº 11 NOME: DATA: / / Estatística. Representar e interpretar gráficos estatísticos, e saber cando é conveniente utilizar cada tipo.

CADERNO Nº 11 NOME: DATA: / / Estatística. Representar e interpretar gráficos estatísticos, e saber cando é conveniente utilizar cada tipo. Estatística Contidos 1. Facer estatística Necesidade Poboación e mostra Variables 2. Reconto e gráficos Reconto de datos Gráficos Agrupación de datos en intervalos 3. Medidas de centralización e posición

Διαβάστε περισσότερα

A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta.

A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Páxina 1 de 9 1. Formato da proba Formato proba constará de vinte cuestións tipo test. s cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Puntuación Puntuación: 0.5

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS 61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. BLOQUE DE ÁLXEBRA (Puntuación máxima 3 puntos) 1 0 0 1-1 -1 Sexan as matrices

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS M.H.S.. 1. Dun resorte elástico de constante k = 500 N m -1 colga unha masa puntual de 5 kg. Estando o conxunto en equilibrio, desprázase

Διαβάστε περισσότερα

A circunferencia e o círculo

A circunferencia e o círculo 10 A circunferencia e o círculo Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar os diferentes elementos presentes na circunferencia e o círculo. Coñecer as posicións relativas de puntos, rectas e circunferencias.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS 61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos Puntuación máxima de cada un dos exercicios: Álxebra 3 puntos; Análise 3,5 puntos;

Διαβάστε περισσότερα

a) Calcula m de modo que o produto escalar de a( 3, 2 ) e b( m, 5 ) sexa igual a 5. ( )

a) Calcula m de modo que o produto escalar de a( 3, 2 ) e b( m, 5 ) sexa igual a 5. ( ) .. MATEMÁTICAS I PENDENTES (º PARTE) a) Calcula m de modo que o produto escalar de a(, ) e b( m, 5 ) sea igual a 5. b) Calcula a proección de a sobre c, sendo c,. ( ) 5 Se (, ) e y,. Calcula: a) Un vector

Διαβάστε περισσότερα

Exame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema)

Exame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema) Exame tipo A. Proba obxectiva (Valoración: 3 puntos) 1. - Un disco de 10 cm de raio xira cunha velocidade angular de 45 revolucións por minuto. A velocidade lineal dos puntos da periferia do disco será:

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II

PAU XUÑO 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II PAU XUÑO 2014 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,

Διαβάστε περισσότερα

Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio

Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio 3 Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Achar a expresión en coeficientes dun polinomio e operar con eles. Calcular o valor numérico dun polinomio. Recoñecer algunhas identidades notables,

Διαβάστε περισσότερα

PAU Xuño 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II

PAU Xuño 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II PAU Xuño 015 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II

PAU XUÑO 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II PAU XUÑO 2013 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,

Διαβάστε περισσότερα

TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO

TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO 1. CORPOS XEOMÉTRICOS No noso entorno observamos continuamente obxectos de diversas formas: pelotas, botes, caixas, pirámides, etc. Todos estes obxectos son corpos xeométricos.

Διαβάστε περισσότερα

Problemas resueltos del teorema de Bolzano

Problemas resueltos del teorema de Bolzano Problemas resueltos del teorema de Bolzano 1 S e a la fun ción: S e puede af irm a r que f (x) está acotada en el interva lo [1, 4 ]? P or no se r c ont i nua f (x ) e n x = 1, la f unció n no e s c ont

Διαβάστε περισσότερα

VI. VECTORES NO ESPAZO

VI. VECTORES NO ESPAZO VI. VECTORES NO ESPAZO.- Vectores no espazo. Operacións Sexa E o espazo de pntos ordinario o intitio da xeometría elemental. Un segmento orientado AB con orixe no pnto A e extremo no pnto B recibe o nome

Διαβάστε περισσότερα

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 4 Definición Elementos dun poliedro

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 4 Definición Elementos dun poliedro 9 Corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar que é un poliedro. Determinar os elementos dun poliedro: Caras, arestas e vértices. Clasificar os poliedros. Especificar cando un

Διαβάστε περισσότερα

Física e química 4º ESO. As forzas 01/12/09 Nome:

Física e química 4º ESO. As forzas 01/12/09 Nome: DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Problemas Física e química 4º ESO As forzas 01/12/09 Nome: [6 Ptos.] 1. Sobre un corpo actúan tres forzas: unha de intensidade 20 N cara o norte, outra de 40 N cara o nordeste

Διαβάστε περισσότερα

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 138 Definición Elementos dun poliedro

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 138 Definición Elementos dun poliedro 8 Corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar que é un poliedro. Determinar os elementos dun poliedro: Caras, arestas e vértices. Clasificar os poliedros. Especificar cando un

Διαβάστε περισσότερα

Áreas de corpos xeométricos

Áreas de corpos xeométricos 9 Áreas de corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Antes de empezar 1.Área dos prismas....... páx.164 Área dos prismas Calcular a área de prismas rectos de calquera número de caras.

Διαβάστε περισσότερα

a) Ao ceibar o resorte describe un MHS, polo tanto correspóndelle unha ecuación para a elongación:

a) Ao ceibar o resorte describe un MHS, polo tanto correspóndelle unha ecuación para a elongación: VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS 1. Un sistema cun resorte estirado 0,03 m sóltase en t=0 deixándoo oscilar libremente, co resultado dunha oscilación cada 0, s. Calcula: a) A velocidade do extremo libre ó

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN

Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN PROBLEMAS SATÉLITES 1. O período de rotación da Terra arredor del Sol é un año e o radio da órbita é 1,5 10 11 m. Se Xúpiter ten un período de aproximadamente 12

Διαβάστε περισσότερα

As Mareas INDICE. 1. Introducción 2. Forza das mareas 3. Por que temos dúas mareas ó día? 4. Predición de marea 5. Aviso para a navegación

As Mareas INDICE. 1. Introducción 2. Forza das mareas 3. Por que temos dúas mareas ó día? 4. Predición de marea 5. Aviso para a navegación As Mareas INDICE 1. Introducción 2. Forza das mareas 3. Por que temos dúas mareas ó día? 4. Predición de marea 5. Aviso para a navegación Introducción A marea é a variación do nivel da superficie libre

Διαβάστε περισσότερα

ELECTROTECNIA. BLOQUE 1: ANÁLISE DE CIRCUÍTOS (Elixir A ou B) A.- No circuíto da figura determinar o valor da intensidade na resistencia R 2

ELECTROTECNIA. BLOQUE 1: ANÁLISE DE CIRCUÍTOS (Elixir A ou B) A.- No circuíto da figura determinar o valor da intensidade na resistencia R 2 36 ELECTROTECNIA O exame consta de dez problemas, debendo o alumno elixir catro, un de cada bloque. Non é necesario elixir a mesma opción (A ou B ) de cada bloque. Todos os problemas puntúan igual, é dicir,

Διαβάστε περισσότερα

VIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos

VIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos VIII. ESPZO EULÍDEO TRIDIMENSIONL: Áglos perpediclaridade de rectas e plaos.- Áglo qe forma dúas rectas O áglo de dúas rectas qe se corta se defie como o meor dos áglos qe forma o plao qe determia. O áglo

Διαβάστε περισσότερα

CALCULO DA CONSTANTE ELASTICA DUN RESORTE

CALCULO DA CONSTANTE ELASTICA DUN RESORTE 11 IES A CAÑIZA Traballo de Física CALCULO DA CONSTANTE ELASTICA DUN RESORTE Alumno: Carlos Fidalgo Giráldez Profesor: Enric Ripoll Mira Febrero 2015 1. Obxectivos O obxectivo da seguinte practica é comprobar,

Διαβάστε περισσότερα

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::...

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::... Eletromagnetismo Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística Lista -.1 - Mostrar que a seguinte medida é invariante d 3 p p 0 onde: p 0 p + m (1)

Διαβάστε περισσότερα

Indución electromagnética

Indución electromagnética Indución electromagnética 1 Indución electromagnética 1. EXPERIECIA DE FARADAY E HERY. A experiencia de Oersted (1820) demostrou que unha corrente eléctrica crea ao seu redor un campo magnético. Como consecuencia

Διαβάστε περισσότερα

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS Páxina REFLEXIONA E RESOLVE Cónicas abertas: parábolas e hipérboles Completa a seguinte táboa, na que a é o ángulo que forman as xeratrices co eixe, e, da cónica e b o ángulo

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (5) ΑΘΗΝΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 1 ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ ΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση η οποία να αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ELECTROTECNIA. BLOQUE 3: MEDIDAS NOS CIRCUÍTOS ELÉCTRICOS (Elixir A ou B)

ELECTROTECNIA. BLOQUE 3: MEDIDAS NOS CIRCUÍTOS ELÉCTRICOS (Elixir A ou B) 36 ELECTROTECNIA O exame consta de dez problemas, debendo o alumno elixir catro, un de cada bloque. Non é necesario elixir a mesma opción (A o B ) de cada bloque. Todos os problemas puntúan do mesmo xeito,

Διαβάστε περισσότερα

INTERACCIÓNS GRAVITATORIA E ELECTROSTÁTICA

INTERACCIÓNS GRAVITATORIA E ELECTROSTÁTICA INTEACCIÓNS GAVITATOIA E ELECTOSTÁTICA AS LEIS DE KEPLE O astrónomo e matemático Johannes Kepler (1571 1630) enunciou tres leis que describen o movemento planetario a partir do estudo dunha gran cantidade

Διαβάστε περισσότερα

FÍSICA OPCIÓN 1. ; calcula: a) o período de rotación do satélite, b) o peso do satélite na órbita. (Datos R T. = 9,80 m/s 2 ).

FÍSICA OPCIÓN 1. ; calcula: a) o período de rotación do satélite, b) o peso do satélite na órbita. (Datos R T. = 9,80 m/s 2 ). 22 Elixir e desenrolar unha das dúas opcións propostas. FÍSICA Puntuación máxima: Problemas 6 puntos (1,5 cada apartado). Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Non se valorará a simple

Διαβάστε περισσότερα

PAU MATEMÁTICAS II APLICADAS ÁS CCSS

PAU MATEMÁTICAS II APLICADAS ÁS CCSS PAU 2011-2012 MATEMÁTICAS II APLICADAS ÁS CCSS Circular informativa curso 2011-2012 Como directora do Grupo de Traballo de Matemáticas Aplicadas ás Ciencias Sociais e no nome de todo o grupo, póñome en

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA PROBLEMAS DIOPTRIO PLANO 1. Un raio de luz de frecuencia 5 10 14 Hz incide, cun ángulo de incidencia de 30, sobre unha lámina de vidro de caras plano-paralelas de espesor

Διαβάστε περισσότερα

A actividade científica. Tema 1

A actividade científica. Tema 1 A actividade científica Tema 1 A ciencia trata de coñecer mellor o mundo que nos rodea. Para poder levar a cabo a actividade científica necesitamos ter un método que nos permita chegar a unha conclusión.

Διαβάστε περισσότερα

b) Segundo os datos do problema, en tres anos queda a metade de átomos, logo ese é o tempo de semidesintegración.

b) Segundo os datos do problema, en tres anos queda a metade de átomos, logo ese é o tempo de semidesintegración. FÍSICA MODERNA FÍSICA NUCLEAR. PROBLEMAS 1. Un detector de radioactividade mide unha velocidade de desintegración de 15 núcleos min -1. Sabemos que o tempo de semidesintegración é de 0 min. Calcula: a)

Διαβάστε περισσότερα

CUESTIÓNS DE SELECTIVIDADE RELACIONADOS CO TEMA 4

CUESTIÓNS DE SELECTIVIDADE RELACIONADOS CO TEMA 4 CUESTIÓNS DE SELECTIVIDADE RELACIONADOS CO TEMA 4 2013 C.2. Se se desexa obter unha imaxe virtual, dereita e menor que o obxecto, úsase: a) un espello convexo; b)unha lente converxente; c) un espello cóncavo.

Διαβάστε περισσότερα

RADIACTIVIDADE. PROBLEMAS

RADIACTIVIDADE. PROBLEMAS RADIACTIVIDADE. PROBLEMAS 1. Un detector de radiactividade mide unha velocidade de desintegración de 15 núcleos/minuto. Sabemos que o tempo de semidesintegración é de 0 min. Calcula: a) A constante de

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 03b. Ondas

Exercicios de Física 03b. Ondas Exercicios de Física 03b. Ondas Problemas 1. Unha onda unidimensional propágase segundo a ecuación: y = 2 cos 2π (t/4 x/1,6) onde as distancias se miden en metros e o tempo en segundos. Determina: a) A

Διαβάστε περισσότερα

O MÉTODO CIENTÍFICO. ten varias etapas 2. BUSCA DE REGULARIDADES. cifras significativas

O MÉTODO CIENTÍFICO. ten varias etapas 2. BUSCA DE REGULARIDADES. cifras significativas PROGRAMACIÓN DE AULA MAPA DE CONTIDOS 1. OBTENCIÓN DA INFORMACIÓN O MÉTODO CIENTÍFICO ten varias etapas 2. BUSCA DE REGULARIDADES 3. EXPLICACIÓN DAS LEIS PROGRAMACIÓN DE AULA E mediante utilizando na análise

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometría. Obxectivos. Antes de empezar.

Trigonometría. Obxectivos. Antes de empezar. 7 Trigonometría Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Calcular as razóns trigonométricas dun ángulo. Calcular todas as razóns trigonométricas dun ángulo a partir dunha delas. Resolver triángulos rectángulos

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2010 FÍSICA

PAU XUÑO 2010 FÍSICA PAU XUÑO 1 Cóigo: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 caa cuestión, teórica ou practica) Problemas 6 puntos (1 caa apartao) Non se valorará a simple anotación un ítem como solución ás cuestións;

Διαβάστε περισσότερα

PAAU (LOXSE) Setembro 2004

PAAU (LOXSE) Setembro 2004 PAAU (LOXSE) Setembro 004 Código: FÍSICA Elixir e desenvolver unha das dúas opcións propostas. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos (1,5 cada apartado). Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou

Διαβάστε περισσότερα

Código: 25 PAU XUÑO 2012 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

Código: 25 PAU XUÑO 2012 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B PAU XUÑO 2012 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

1 La teoría de Jeans. t + (n v) = 0 (1) b) Navier-Stokes (conservación del impulso) c) Poisson

1 La teoría de Jeans. t + (n v) = 0 (1) b) Navier-Stokes (conservación del impulso) c) Poisson 1 La teoría de Jeans El caso ás siple de evolución de fluctuaciones es el de un fluído no relativista. las ecuaciones básicas son: a conservación del núero de partículas n t + (n v = 0 (1 b Navier-Stokes

Διαβάστε περισσότερα

Física cuántica. Relatividade especial

Física cuántica. Relatividade especial Tema 8 Física cuántica. Relatividade especial Evolución das ideas acerca da natureza da luz Experimento de Young (da dobre fenda Dualidade onda-corpúsculo Principio de indeterminación de Heisemberg Efecto

Διαβάστε περισσότερα

FÍSICA. = 4π 10-7 (S.I.)).

FÍSICA. = 4π 10-7 (S.I.)). 22 FÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas, 6 puntos (1 cada apartado). Cuestións, 4 puntos

Διαβάστε περισσότερα

Observación dunha nova partícula cunha masa de 125 GeV

Observación dunha nova partícula cunha masa de 125 GeV Observación dunha nova partícula cunha masa de 125 GeV Experimento CMS, CERN 4 de xullo de 2012 Resumo Investigadores do experimento CMS do Gran Colisionador de Hadróns do CERN (LHC) presentaron nun seminario

Διαβάστε περισσότερα

TRAZADOS XEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS NO PLANO A 1. PUNTO E RECTA

TRAZADOS XEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS NO PLANO A 1. PUNTO E RECTA TRAZADOS XEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS NO PLANO 1. Punto e recta 2. Lugares xeométricos 3. Ángulos 4. Trazado de paralelas e perpendiculares con escuadro e cartabón 5. Operacións elementais 6. Trazado de ángulos

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 01. Gravitación

Exercicios de Física 01. Gravitación Exercicios de Física 01. Gravitación Problemas 1. A lúa ten unha masa aproximada de 6,7 10 22 kg e o seu raio é de 1,6 10 6 m. Achar: a) A distancia que recorrerá en 5 s un corpo que cae libremente na

Διαβάστε περισσότερα

Escenas de episodios anteriores

Escenas de episodios anteriores Clase 09/10/2013 Tomado y editado de los apuntes de Pedro Sánchez Terraf Escenas de episodios anteriores objetivo: estudiar formalmente el concepto de demostración matemática. caso de estudio: lenguaje

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 03a. Vibracións

Exercicios de Física 03a. Vibracións Exercicios de Física 03a. Vibracións Problemas 1. No sistema da figura, un corpo de 2 kg móvese a 3 m/s sobre un plano horizontal. a) Determina a velocidade do corpo ó comprimirse 10 cm o resorte. b) Cal

Διαβάστε περισσότερα

Problemas y cuestiones de electromagnetismo

Problemas y cuestiones de electromagnetismo Problemas y cuestiones de electromagnetismo 1.- Dúas cargas eléctricas puntuais de 2 e -2 µc cada unha están situadas respectivamente en (2,0) e en (-2,0) (en metros). Calcule: a) campo eléctrico en (0,0)

Διαβάστε περισσότερα

Uso e transformación da enerxía

Uso e transformación da enerxía Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 4 Unidade didáctica 5 Uso e transformación da enerxía Páxina 1 de 50 Índice 1. Introdución...3

Διαβάστε περισσότερα

PAU Setembro 2010 FÍSICA

PAU Setembro 2010 FÍSICA PAU Setembro 010 Código: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 5 FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Página PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la página siguiente, puedes resolverlas ahora:

Διαβάστε περισσότερα

PAU Xuño Código: 25 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

PAU Xuño Código: 25 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B PAU Xuño 00 Código: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos ( cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos ( cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

A onda posterior influe na onda frontal

A onda posterior influe na onda frontal Xullo Xermade A onda posterior influe na onda frontal Onda de presión cando o cono vai hacia atras Onda de presión cando o cono vai hacia diante λ = v/f λ f = v/λ Caixa doméstica Caixa profesional

Διαβάστε περισσότερα

PAU SETEMBRO 2013 FÍSICA

PAU SETEMBRO 2013 FÍSICA PAU SETEMBRO 013 Código: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2012 FÍSICA

PAU XUÑO 2012 FÍSICA PAU XUÑO 2012 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica) Problemas 6 puntos (1 cada apartado) Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

PAAU (LOXSE) Setembro 2009

PAAU (LOXSE) Setembro 2009 PAAU (LOXSE) Setembro 2009 Código: 22 FÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos ( cada

Διαβάστε περισσότερα

FISICA 2º BAC 27/01/2007

FISICA 2º BAC 27/01/2007 POBLEMAS 1.- Un corpo de 10 g de masa desprázase cun movemento harmónico simple de 80 Hz de frecuencia e de 1 m de amplitude. Acha: a) A enerxía potencial cando a elongación é igual a 70 cm. b) O módulo

Διαβάστε περισσότερα

OS PRONOMES RELATIVO INTERROGATIVOS E INDEFINIDOS SINTAXE DA ORACIÓN DE RELATIVO. O INFINITIVO E A SÚA SINTAXE.

OS PRONOMES RELATIVO INTERROGATIVOS E INDEFINIDOS SINTAXE DA ORACIÓN DE RELATIVO. O INFINITIVO E A SÚA SINTAXE. EPAPU OURENSE GREGO 1º BACHARELATO CURSO 2008-09 1 GREGO 1º BACHARELATO 11º QUINCENA OS PRONOMES RELATIVO INTERROGATIVOS E INDEFINIDOS SINTAXE DA ORACIÓN DE RELATIVO. O INFINITIVO E A SÚA SINTAXE. 1º.-

Διαβάστε περισσότερα

Profesor: Guillermo F. Cloos Física e química 1º Bacharelato O enlace químico 3 1

Profesor: Guillermo F. Cloos Física e química 1º Bacharelato O enlace químico 3 1 UNIÓNS ENTRE ÁTOMOS, AS MOLÉCULAS E OS CRISTAIS Até agora estudamos os átomos como entidades illadas, pero isto rara vez ocorre na realidade xa que o máis frecuente é que os átomos estea influenciados

Διαβάστε περισσότερα

Proba de Avaliación do Bacharelato para o Acceso á Universidade XUÑO 2017 FÍSICA

Proba de Avaliación do Bacharelato para o Acceso á Universidade XUÑO 2017 FÍSICA Proba de Avaliación do Bacharelato para o Acceso á Universidade XUÑO 2017 Código: 23 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado)

Διαβάστε περισσότερα

Código: 25 PAU XUÑO 2014 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

Código: 25 PAU XUÑO 2014 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B PAU XUÑO 2014 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

AVALIACIÓN DE DIAGNÓSTICO

AVALIACIÓN DE DIAGNÓSTICO (Para cubrir polo centro educativo) Código do centro: Nome do centro: (Para cubrir pola persoa que aplica a proba) Número de identificación do alumno ou alumna: (Este número debe coincidir co número de

Διαβάστε περισσότερα

FÍSICA. ) xiran arredor da Terra con órbitas estables de diferente raio sendo r A. > m B

FÍSICA. ) xiran arredor da Terra con órbitas estables de diferente raio sendo r A. > m B ÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos ( cada apartado). Cuestións 4 puntos ( cada

Διαβάστε περισσότερα

REACCIÓNS DE TRANSFERENCIA DE PROTÓNS

REACCIÓNS DE TRANSFERENCIA DE PROTÓNS REACCIÓNS DE TRANSFERENCIA DE PROTÓNS 1. Concepto de ácido e base segundo as teorías de Arrhenius e Brönsted-Lowry. 2. Concepto de par ácido-base conxugado. 3. Forza relativa dos ácidos e bases. Grao de

Διαβάστε περισσότερα

Catálogodegrandespotencias

Catálogodegrandespotencias www.dimotor.com Catálogogranspotencias Índice Motores grans potencias 3 Motores asíncronos trifásicos Baja Tensión y Alta tensión.... 3 Serie Y2 Baja tensión 4 Motores asíncronos trifásicos Baja Tensión

Διαβάστε περισσότερα

την..., επειδή... Se usa cuando se cree que el punto de vista del otro es válido, pero no se concuerda completamente

την..., επειδή... Se usa cuando se cree que el punto de vista del otro es válido, pero no se concuerda completamente - Concordar En términos generales, coincido con X por Se usa cuando se concuerda con el punto de vista de otro Uno tiende a concordar con X ya Se usa cuando se concuerda con el punto de vista de otro Comprendo

Διαβάστε περισσότερα

FÍSICA. 2.- Cando se bombardea nitróxeno 14 7 N con partículas alfa xérase o isótopo 17 8O e outras partículas. A

FÍSICA. 2.- Cando se bombardea nitróxeno 14 7 N con partículas alfa xérase o isótopo 17 8O e outras partículas. A 22 FÍSICA Elixir e desenvolver unha das dúas opcións propostas. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos (1,5 cada apartado). Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Non se valorará a simple

Διαβάστε περισσότερα

PAU SETEMBRO 2014 FÍSICA

PAU SETEMBRO 2014 FÍSICA PAU SETEMBRO 014 Código: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

Tema 8. CIRCUÍTOS ELÉCTRICOS DE CORRENTE CONTINUA Índice 1. O CIRCUÍTO ELÉCTRICO...2

Tema 8. CIRCUÍTOS ELÉCTRICOS DE CORRENTE CONTINUA Índice 1. O CIRCUÍTO ELÉCTRICO...2 Tema 8. CIRCUÍTOS ELÉCTRICOS DE CORRENTE CONTINUA Índice 1. O CIRCUÍTO ELÉCTRICO...2 1.1 Concepto de corrente eléctrica...2 1.1 Concepto de corrente eléctrica...2 1.2 Características dun circuíto de corrente

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEMAS E CUESTIÓNS DE SELECTIVIDADE

PROBLEMAS E CUESTIÓNS DE SELECTIVIDADE PROBLEMAS E CUESTIÓNS DE SELECTIVIDADE O KMnO en presenza de H SO transforma o FeSO en Fe (SO ), formándose tamén K SO, MnSO e auga: a) Axusta a reacción molecular. b) Cantos cm de disolución de KMnO 0,5

Διαβάστε περισσότερα

1. Formato da proba [CS.PE.B02]

1. Formato da proba [CS.PE.B02] Páxina 1 de 9 [CS.PE.02] 1. Formato da proba Formato A proba consta de vinte cuestións, distribuídas deste xeito: Problema 1: tres cuestións tipo test. Problema 2: tres cuestións tipo test. Problema 3:

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE SELECTIVIDADE DE FÍSICA CURSO

EXERCICIOS DE SELECTIVIDADE DE FÍSICA CURSO Física Exercicios de Selectividade Páxina 1 / 9 EXERCICIOS DE SELECTIVIDADE DE FÍSICA CURSO 16-17 http://ciug.cesga.es/exames.php TEMA 1. GRAVITACIÓN. 1) PROBLEMA. Xuño 2016. A nave espacial Discovery,

Διαβάστε περισσότερα

TEST DE INDEPENDENCIA EN SERIES TEMPORALES

TEST DE INDEPENDENCIA EN SERIES TEMPORALES TEST DE INDEPENDENCIA EN SERIES TEMPORALES Titulación: Doctorado en Tecnologías Industriales Alumno/a: Salvador Vera Nieto Director/a/s: José Salvador Cánovas Peña Antonio Guillamón Frutos Cartagena, 10

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Teoría atómica (unha longa historia)

2.6 Teoría atómica (unha longa historia) 2.6 Teoría atómica (unha longa historia) Milleiros de resultados experimentais avalan a idea de que as partículas que forman os gases, os sólidos e os líquidos, en todo o universo, están constituídas por

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE SELECTIVIDADE DE FÍSICA CURSO

EXERCICIOS DE SELECTIVIDADE DE FÍSICA CURSO Física Exercicios de Selectividade Páxina 1 / 8 EXERCICIOS DE SELECTIVIDADE DE FÍSICA CURSO 15-16 http://ciug.cesga.es/exames.php TEMA 1. GRAVITACIÓN. 1) CUESTIÓN.- Un satélite artificial de masa m que

Διαβάστε περισσότερα

Atlas de ondas. de Galicia

Atlas de ondas. de Galicia Atlas de ondas de Galicia Edita: XUNTA DE GALICIA Consellería de Medio Ambiente, Territorio e Infraestruturas (MeteoGalicia, Área de predición numérica) Instituto Enerxético de Galicia (INEGA) Ano: 2009

Διαβάστε περισσότερα

Materiais e instrumentos que se poden empregar durante a proba

Materiais e instrumentos que se poden empregar durante a proba 1. Formato da proba A proba consta de cinco problemas e nove cuestións, distribuídas así: Problema 1: dúas cuestións. Problema 2: tres cuestións. Problema 3: dúas cuestións Problema 4: dúas cuestión. Problema

Διαβάστε περισσότερα

S1301005 A REACCIÓN EN CADEA DA POLIMERASA (PCR) NA INDUSTRIA ALIMENTARIA EXTRACCIÓN DO ADN EXTRACCIÓN DO ADN CUANTIFICACIÓN. 260 280 260/280 ng/µl

S1301005 A REACCIÓN EN CADEA DA POLIMERASA (PCR) NA INDUSTRIA ALIMENTARIA EXTRACCIÓN DO ADN EXTRACCIÓN DO ADN CUANTIFICACIÓN. 260 280 260/280 ng/µl CUANTIFICACIÖN 26/VI/2013 S1301005 A REACCIÓN EN CADEA DA POLIMERASA (PCR) NA INDUSTRIA ALIMENTARIA - ESPECTROFOTÓMETRO: Cuantificación da concentración do ADN extraido. Medimos a absorbancia a dúas lonxitudes

Διαβάστε περισσότερα

Una visión alberiana del tema. Abstract *** El marco teórico. democracia, república y emprendedores; alberdiano

Una visión alberiana del tema. Abstract *** El marco teórico. democracia, república y emprendedores; alberdiano Abstract Una visión alberiana del tema - democracia, república y emprendedores; - - alberdiano El marco teórico *** - 26 LIBERTAS SEGUNDA ÉPOCA - - - - - - - - revolución industrial EMPRENDEDORES, REPÚBLICA

Διαβάστε περισσότερα

Ámbito científico tecnolóxico. Xeometría. Unidade didáctica 2. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial

Ámbito científico tecnolóxico. Xeometría. Unidade didáctica 2. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 3 Unidade didáctica 2 Xeometría Índice 1. Introdución... 3 1.1 Descrición da unidade

Διαβάστε περισσότερα

Ονομαστική Γενική Αιτιατική Κλητική Αρσ. γλ υκοί γλ υκών γλ υκούς γλ υκοί Θηλ. γλ υκές γλ υκών γλ υκές γλ υκές Ουδ. γλ υκά γλ υκών γλ υκά γλ υκά

Ονομαστική Γενική Αιτιατική Κλητική Αρσ. γλ υκοί γλ υκών γλ υκούς γλ υκοί Θηλ. γλ υκές γλ υκών γλ υκές γλ υκές Ουδ. γλ υκά γλ υκών γλ υκά γλ υκά Επίθετα και Μετοχές Nic o las Pe lic ioni de OLI V EI RA 1 Apresentação Modelo de declinação de adjetivos e particípios (επίθετα και μετοχές, em grego) apresentado pela universidade Thessaloniki. Só é

Διαβάστε περισσότερα

Obxectivos. Resumo. titor. corpos xeométricos. Calcular as. súas áreas volumes. Terra. deles.

Obxectivos. Resumo. titor. corpos xeométricos. Calcular as. súas áreas volumes. Terra. deles. 8 Corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Distinguir as clases de corpos xeométricos. Construíloss a partir do seu desenvolvemento plano. Calcular as súas áreas e volumes. Localizar

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 FÍSICA

PAU XUÑO 2011 FÍSICA PAU XUÑO 2011 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

Academic Opening Opening - Introduction Greek Spanish En este ensayo/tesis analizaré/investigaré/evaluaré...

Academic Opening Opening - Introduction Greek Spanish En este ensayo/tesis analizaré/investigaré/evaluaré... - Introduction Σε αυτήν την εργασία/διατριβή θα αναλύσω/εξετάσω/διερευνήσω/αξιολογήσω... General opening for an essay/thesis En este ensayo/tesis analizaré/investigaré/evaluaré... Για να απαντήσουμε αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Coordenadas astronómicas. Medida do tempo

Coordenadas astronómicas. Medida do tempo Astronomía Básica 5 Coordenadas astronómicas. Medida do tempo Josefina F. Ling Departamento de Matemática Aplicada Facultade de Matemáticas Grao de Óptica e Optometria Vicerreitoría de ESTUDANTES, Cultura

Διαβάστε περισσότερα

Tema 6 Ondas Estudio cualitativo de interferencias, difracción, absorción e polarización. 6-1 Movemento ondulatorio.

Tema 6 Ondas Estudio cualitativo de interferencias, difracción, absorción e polarización. 6-1 Movemento ondulatorio. Tema 6 Ondas 6-1 Movemento ondulatorio. Clases de ondas 6- Ondas harmónicas. Ecuación de ondas unidimensional 6-3 Enerxía e intensidade das ondas harmónicas 6-4 Principio de Huygens: reflexión e refracción

Διαβάστε περισσότερα

Inmigración Estudiar. Estudiar - Universidad. Indicar que quieres matricularte. Indicar que quieres matricularte en una asignatura.

Inmigración Estudiar. Estudiar - Universidad. Indicar que quieres matricularte. Indicar que quieres matricularte en una asignatura. - Universidad Me gustaría matricularme en la universidad. Indicar que quieres matricularte Me quiero matricular. Indicar que quieres matricularte en una asignatura en un grado en un posgrado en un doctorado

Διαβάστε περισσότερα

preguntas arredor do ALZHEIMER

preguntas arredor do ALZHEIMER preguntas arredor do ALZHEIMER PRESENTACIÓN A enfermidade de Alzheimer produce unha grave deterioración na vida do individuo que leva con frecuencia a unha dependencia total e absoluta do enfermo coas

Διαβάστε περισσότερα

MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN

MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN IB DIPLOMA PROGRAMME PROGRAMME DU DIPLÔME DU BI PROGRAMA DEL DIPLOMA DEL BI M06/2/ABMGR/SP1/GRE/TZ0/XX/M MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN May / mai / mayo 2006 MODERN GREEK / GREC

Διαβάστε περισσότερα