Trigonometrijske formule sve iz jednog trokuta i još ponešto

Transcript

1 Poučk 60 Trigonometrijske formule sve iz jednog trokut i još ponešto Uvod Oštroumni zključi iz tupokutnog trokut i iz-skok trokutomjernih funkij iz trokut Vldimir Ćepulić 1, Kristin Penzr U ovom su člnku, polzeći od smih definiij, izvedene temeljne činjenie o trigonometrijskim funkijm u trokutu i rzmotren poopćenj tih funkij n sve relne vrijednosti kutev. Pri tome je polzište jednostvn i pregledn slik dopunjenog tupokutnog trokut (sl. 3), s sveg 5 točk i s 5 dužin koje ih spjju. T se slik pokzl vrlo plodnim sredstvom neposrednog dokzivnj svih četiriju temeljnih trigonometrijskih formul sinus i kosinus zbroj, ko i sinusovog i kosinusovog poučk. Formule z sinus i kosinus zbroj omogućuju proširbu područj definiije ovih funkij s prvotnog otvorenog intervl n ijeli skup R. Tkv pristup mogo bi učeniim srednjih škol olkšti rzumijevnje pripdnih dokz, ond i pmćenje ili smostlnu izvedbu tih formul. Tkođer posvijestiti si poveznost lgebrskog i geometrijskog znčenj tko proširenih funkij. 1. Trigonometrijske funkije u prvokutnom trokutu. Ko što znmo, polzno se trigonometrijske ( trokutomjerne ) funkije definirju u prvokutnom trokutu ko omjeri njegovih strni, u ovisnosti od njegovih kutev. Pri tom im vžnu ulogu Pitgorin poučk koji izriče d je ploštin kvdrt nd hipotenuzom ( suprotniom, jer je nsuprot prvom kutu) jednk zbroju ploštin kvdrt nd ktetm ( okomim one ztvrju prvi kut, međusobno su okomite). Uz uobičjene oznke immo ovu sliku prvokutnog trokut: 1 Vldimir Ćepulić, Fkultet Elektrotehnike i rčunrstv, Zgreb Kristin Penzr, Ndbiskupsk klsičn gimnzij, Zgreb 16 Pouk 60.indd :05:59

2 Trigonometrijske formule Temeljne trigonometrijske funkije sinus i kosinus definirju se formulm: b (1) sin () os. Iz (1) i () slijedi: (1'). sin (') b. os. Slik 1. (3) Po Pitgorinom poučku je + b, p je b sin + os + 1. Ove su tri formule temelj z sv dljnj zbivnj u trigonometriji. Prve dodtne definiije su sin (4) tg os os i (5) tg b b sin (6) tg. tg 1., njihov je vžn svez Oslobđjući se konkretnih oznk, sinus kut definirn je ko omjer duljinâ kutu suprotne ktete i hipotenuze, kosinus ko omjer duljinâ ktete uz kut i hipotenuze. Stog je z kut b: b sin b os, p os b sin, pri čemu je b, dkle je (7) U dnevnoj uporbi formule (1' ) i (' ) rbe se češće od smih definiij (1) i (), govore d je duljin ktete umnožk duljine hipotenuze i sinus kut nsuprot toj kteti, dotično umnožk duljine hipotenuze i kosinus šiljstog kut uz tu ktetu.. Trigonometrijske funkije i trigonometrijsk kružni. Sljedeći kork koji je temelj z poopćenje definiij trigonometrijskih funkij je promtrnje tih funkij n trigonometrijskoj kružnii kružnii polumjer 1 s središtem u ishodištu prvokutnog koordintnog sustv XOY (v. sl. ). Z svki kut j koji je nnešen u 17 Pouk 60.indd :05:59

3 Poučk 60 ishodište tko d mu je os OX prvi krk, drugi krk kut siječe tu kružniu u nekoj točki koju oznčimo s T j (x j, y j ), njezinu projekiju n os OX ko T' j. Nek je kut u prvom kvdrntu, 0 < < p y (vidi sl. ). U trokutu OT αt α je sin y, 1 x os x, p je 1 (8) T ( x, y ) T ( os,sin ) dkle je z tkve kuteve u prvome kvdrntu os jednk x-koordinti, sin jednk y-koordinti pripdne točke T. Slik. Ov okolnost nvodi n pomiso proširbe definiij trigonometrijskih funkij n kuteve izvn prvotnog rspon, 0 < j <, preko koordint pripdnih točk n trigonometrijskoj kružnii. Nu je li to smisleno s obzirom n izvorne definiije bitno povezne s prvokutnim trokutom, i mtemtički plodno? Pokzlo se d jest i to je dlo novi zmh mtemtičkim istrživnjim. U trženju odgovor n ov pitnj vžnu ulogu imju formule z sinus i kosinus zbroj kutev. 3. Formule z sinus i kosinus zbroj kutev u ovisnosti o sinusim i kosinusim kutev pribrojnik njvžnije su otkriće z dljnje sgledvnje nrvi tih funkij i njihovo poznvnje. Potržimo sliku trokut n kojoj će se uz kuteve i b neposredno pojviti i kut + b, s vrijednošću 0 < + b < p. Znmo d je vnjski kut trokut jednk zbroju nutrnjih dvju kutev koji nisu s njime sukuti. Kko je zbroj kutev u trokutu + b + g p, iz nvedenog zhtjev slijedi d treb biti g >, to jest g je tupi kut kojemu je sukut + b u nvedenim grnim. To ns vodi n sljedeću sliku: 18 Slik 3. Pouk 60.indd :06:00

4 Trigonometrijske formule U tupokutnom trokutu ABC s tupim kutem g produljimo strniu b preko vrh C i spustimo okomiu iz vrh C n strniu, te iz vrh B n strniu b. Pripdn nožišt oznčimo s D i E. Kut ECA + b, p je u prvokutnom trokutu CEB. (9) EB sin( + b ), CE os( + b ) Iz prvokutnih trokut ADC i BDC očitvmo: (10) CD sin b b sin,, DB os b, p je AB AD + DB b os + os b. U trokutu AEB je pk AE os, EB sin. Stog je EB ( ) ( b ) sin + b sin os + os b sin b sin os + os bsin (po (10)) sin bos + os bsin. Podijelivši drugi i zdnji izrz u ovoj jednkosti s, dobiv se: formul z sinus zbroj dvju kutev. (*) sin( + b) sin os b + os sin b Iz sl. 3. tkođer vidimo d je CE os( α+ β) os α b ( b osα+ os β) os α b b( os α 1)+ os αosβ os αosβ b sin α (po (10)), osαos β sinαsin β, te opet, dijeleći drugi i zdnji izrz u jednkosti s, dobivmo: (**) os( α+ β) os αosβ sin αsin β, formulu z kosinus zbroj kutev. 4. Sinusov i kosinusov poučk Primjenjujući Pitgorin poučk n dopunski trokut CEB s sl. 3. jednostvno dobivmo kosinusov poučk z strniu : CB CE + EB ( os b) + ( sin ) os b os + b + sin, tj. b + b os. Posve slično se iz trokut ADC, uzimljući u obzir d je AD os b dobiv b + os b, kosinusov poučk z strniu b. Promtrjući pk nutrnje trokute ADC i CDB trokut ABC s sl. 3. vidjeli smo u (10) d je CD sinβ b sin α, odkle slijedi sinusov poučk : b sin : sin b. Ob smo poučk zsd rzmotrili z slučj strni nsuprot šiljstim kutevim jer su polzno trigonometrijske funkije definirne smo z tkve kuteve. Ostje pitnje mo- 19 Pouk 60.indd :06:14

5 Poučk 60 gućnosti prikldnog proširenj vljnosti tih poučk i n slučj strni nsuprot kutu koji nije šiljst. To omogućuje proširb trigonometrijskih funkij i n tkve kuteve. 5. Poopćenje trigonometrijskih funkij n bilo koje kuteve j, < j < +. Po izvornoj definiiji u prvokutnom trokutu, funkije sin i os definirne su z kuteve, 0 < <. Z pripdne točke T n trigonometrijskoj kružnii, kko smo vidjeli u., vrijedi T x y T (, os,sin ) ( ). Formule (*) i (**) možemo formlno protegnuti i n druge vrijednosti, n primjer svki se pozitivn broj može dobiti susljednim, uzstopnom zbrojidbom mlih brojev, reimo jedini 1 i osttk mnjeg od 1. Pitmo se, međutim, o smislenosti tko dobivenih vrijednosti i kkvo je njihovo geometrijsko znčenje? Pokzt ćemo d su rezultti z os j i sin j, koje n tj nčin dju formule (*) i (**) z bilo koji kut j, neovisni o pribrojniim u jednkim ukupnim zbrojevim i d su uprvo jednki: os j x, sin j y z točku T (x, y ). j j j j j U dokzivnju tih činjeni bit će nm više put potrebno rješvti sustve dviju linernih jedndžb s dvije nepoznnie. Podsjetimo, opći tkv sustv x+ by x+ by im rješenj (što se lko provjeri): D D x 1, y D D pri čemu je D b b, D, D b b U dljnjem će nm biti korisne formule z sinus i kosinus rzlike kutev: Izrze z sin( b), os( b), u slučju 0 < b < <, dobivmo n temelju definiijske formule z rzliku ( b) + b. Primijenimo formule (*) i (**): sin sin b os( b) + os b sin( b) os os b os( b) sin b sin( b) p je z os( b) i sin( b) nmjesto nepoznni x i y u gore nvedenom općem sustvu: D 1 sin ( sin b) os os b, D sin b os sin os b, D sin b( sin b) osb os b 1, dkle vrijedi d je 0 (***) os( b) os os b + sin sin b, sin( b) sin os b os sin b. Pouk 60.indd :06:4

6 Trigonometrijske formule Sd ćemo, kko je njvljeno, pokzti d su z sve j, vrijednosti os j, sin j rčunne s pomoću formul (*), (**) i (***) uprvo koordinte točk T (x, y ), tj. j j j d je T j (x j, y j ) T j (os j, sin j). 5.1 Z j 0 je T 0 (1,0) T 0 (os0, sin0): Ovo slijedi iz činjenie d je + 0 z svki, dkle vrijedi d je os os( + 0) os os 0 sin sin 0 sin sin( + 0) sin os 0 + os sin 0 što je sustv dviju linernih jedndžb s nepoznnim os 0 i sin 0. Lko se provjeri d su rješenj doist os 0 1 i sin Po (7), (*) i (**) immo: π π os os α + α os α π π os α sin α sin α os sin sin os 0, π π sin sin α + α sin α π π os α os α sin α + sin sin b + os os 1. Vidimo d je rezultt neovisn o pribrojniim. 5.3 Svrnimo opet pogled n trigonometrijsku kružniu. Iz sl. 4. vidimo d je uz T x y T (, os,sin ) ( ) z 0 < <, tkođer T π α α α ( os,sin ), T π α α α + ( os, sin ), T α α T α α π α( os, sin ) α ( os, sin ). Pokzt ćemo d ns formule (*) i (**) vode uprvo n te vrijednosti ko sinuse i kosinuse pripdnih kutev. Slik 4. 1 Pouk 60.indd :06:30

7 Poučk T ( os α,sinα) T os ( π α),sin ( π α) : π α π α ( ) Nime, π π π π π os( π α) os + α os os α sin si n π α 0 sin 1 os os π π π π π sin( π α) sin + α sin os α os si + n π α 1 sin+ 0 os sin. 5.5 : 5.6 T ( os α, sinα) T os ( π+ α),sin( π+ α) : π+ α π+ α ( ) Sd je os( π+ α) os πosα sin πsinα 1 os α 0 sinα os α sin( π+ α) sin πosα+ os πsinα 0 os α 1 sinα sin α 5.7. Iz (*) i (**) slijedi: Slično je: 5.8 T α α T π α π α π α( os, sin ) π α( os ( ),sin( )): os( π α) os π+ ( π α) osπos( π α) sinπsin( π α ) ( 1) ( os) 0 ( sin ) os sin( π α) sin π+ ( π α) sinπos( π α)+ osπsin( π α ) 0 ( os)+ ( 1) sin sin Pouk 60.indd :06:40

8 Trigonometrijske formule 5.9 : sinπ sin ( π + π) sinπ osπ + osπsinπ 0 ( 1)+ ( 1) os ( + p) os, sin ( + p) sin, u skldu s T +p T : os ( + p) os os p sin sin p os. 1 sin. 0 os, sin ( + p) sin os p + os sin p sin. 1 + os. 0 sin. Potpunom indukijom lko se pokže d je općenito os( + k. p) os, sin( + k. p) sin z svki k N, dkle su funkije kosinus i sinus periodične, temeljn period im je p Ove se funkije mogu jednostvno proširiti i n područje negtivnih vrijednosti kut j. ( ) Pri tome je T ϕ ( os ϕ, sinϕ) T ϕ os ( ϕ),sin ( ϕ), z sve j: U lgebri je j definirn relijom ( j)+ j 0. Po (*), (**) i po 5.1 je: os0 os j+ ( j) osjos( j) sinjsin( j) 1 ( ) ( ) ( ) sin0 sin j+ j sin jos j + os jsin j 0 Iz ovih dviju linernih jedndžb s nepoznnim os( j) i sin( j) dobiv se rješenje: os( j) os j, sin( j) sin j. Operij rzlike b definir se u lgebri ko b : +( b), što sd dje drugi nčin izvedbe formul (***): os( α β) os α+ ( β) osαos( β) sinαsin( β) osαos β sinα( sin β) osαos β+ sinαsin β, sin( α β) sin α+ ( β) sinαos( β)+ osαsin( β) sinαos β+ osα( sin β) sinαos β osαsin β. 6. Dobr definirnost općenitih trigonometrijskih funkij Pokžimo još i to, d su ovko proširene trigonometrijske funkije sinus i kosinus dobro definirne formulm (*) i (**). Što će to ovdje znčiti? Kko vrijednost funkije zbroj rčunmo s pomoću funkij pribrojnik, t vrijednost ne smije ovisiti o izboru pribrojnik, dkle ko je + b g + d, treb biti i os ( + b) os (g + d), sin ( + b) sin (g + d). 3 Pouk 60.indd :06:45

9 Poučk 60 Nek je dkle j + b g + d. Ako je g, možemo (ne smnjujući općenitost) pretpostviti d je > g, p je ond g + e z neki e > 0, stog b d e. Immo: ( b ) ( g e ) ( d e ) ( g e ) ( d e ) ( g e ) ( d e ) ( os gos e + sin gsin e)( os dos e sin dsin e) ( sin gos e+ os gsin e)( sin dos e os dsin e) os e( os gos d sin gsin d) + sin e( os gos d sin gsin d) + + sin eos e( os gsin d sin gos d+ sin gos d os gsin d) os eos( g+ d) + sin eos( g+ d) + sin eos e 0 os( g+ d ), os + os + + os + os sin + sin dkle je Slično se pokzuje d je: os ( + ) os( + ) b g d. ( b ) ( g e ) ( d e ) ( g e ) ( d e ) ( g e ) ( d e ) e ( g+ d) + e ( g+ d) + e e ( g+ d ), sin + sin + + sin + os + os + sin... os sin sin sin sin os 0 sin čime su obje tvrdnje dokzne. 7. Sinusov i kosinusov poučk z slučj tupokutnog trokut s obzirom n trigonometrijske funkije tupog kut Vrtimo se nšoj slii br. 3. Znmo kko se u šiljstokutnom trokutu dokzuje sinusov i kosinusov poučk. Pokzt ćemo sd d se iste formule proširuju i n slučjeve tupokutnog trokut uzimljući u obzir proširbu područj definiije trigonometrijskih funkij. Iz slike 3., uzimljući u obzir d je ECB + b p g, očitvmo ( ) ( ) + ( + ) AB AE + EB EC+ b EB os( α β) b sin( α β) (. os(p g) + b) +(. sin(p g)) (. os g + b) + (. sin g), tj. i u slučju tupog kut g vrijedi ist formul kosinusovog poučk ko i z šiljste kuteve, + b b. os g. N slii 3. vidimo tkođer d je EB. sin. sin( + b). sin(p g). sing, stog je i opet : sin : sin g, p je i z tupokutni trokut sinusov poučk oblik: : b : sin : sin b : sin g. 4 Pouk 60.indd :06:46