Funkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: ( ) ( z)

Transcript

1 OT3OS 3..3.

2 Definicije

3 Funcija prenosa Funcija prenosa se definiše ao olični transformacija odiva i pobude. Za LTI sistem: y Z Y ( n) h( ) x( n ) { y( n) } Z{ h( n) } Z{ x( n) } ( ) ( ) X ( ) Y ( ) ( ) X ( ) ( ) h( n) n n

4 Funcija prenosa Veliu grupu sistema čine sistemi oji se mogu predstaviti diferencnim jednačinama sa onstantnim oeficijentima. Ovi sistemi mogu biti sistemi sa besonačnim impulsnim odivom (IIR) ili sistemi sa onačnim impulsnim odivom (FIR). (besonačno/onačno se odnosi na dužinu impulsnog odiva).

5 Funcija prenosa ( ) ( ) ( ) N M n y a n x b n y ( ) { } ( ) { } ( ) { } N M n y a n x b n y Z Z Z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + P Q a b X Y N M ( ) + N N N M M M N a b IIR FIR ( ) ( ) M n x b n y ( ) { } ( ) { } M n x b n y Z Z ( ) M b ( ) M M M b Diferencna jednačina Funcija prenosa

6 Nule i polovi funcije prenosa IIR FIR ( ) M ( q ) N ( p ) N M N M ( q ) ( p ) M ( ) ( q ) ( q ) M M Trivijalni polovi Imaginary Part. -. Imaginary Part Real Part Real Part

7 Stabilnost i aualnost sistema Da bi sistem bio stabilan oblast onvergencije mora obuhvatati jedinični rug Da bi sistem bio aualan oblast onvergencije mora se nalaiti ivan ruga oji prolai ro pol najudaljeniji od oordinantnog početa Za aualni linerani vremensi invarijantni sistem navedena dva uslova će biti adovoljena ao i samo ao svi polovi funcije prenosa leže unutar jediničnog ruga omplesne ravni

8 Frevencijsi odiv ( jω e ) h( n) n e jωn Furijeova transformacija impulsnog odiva ( jω e ) ( ) jω e Vea sa transformacijom ( jω ) ( jω ) ( jω e e j e ) + R I Komplesna funcija!!!

9 Frevencijsi odiv ( ) ( ) { [ ( )] jω jω jω e e exp j arg e } ( ω ) ϕ ( ω ) e j M( ω) e j M ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] jω jω ω j e e + e ω R I Amplitudsa arateristia ϕ ( ) [ ( )] ( jω ) jω I e ω arg e tan ( jω e ) R Fana arateristia

10 Pojačanje, slabljenje... g [ ] [ db] ( ω) log M ( ω) Pojačanje a [ ] [ db] ( ω) log M ( ω) Slabljenje τ ( ω) ( ω) dϕ dω Grupno ašnjenje

11 Uticaj rasporeda nula i polova na arateristie sistema

12 Frevencijsi odiv ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N M j j j j N j M j M N j j P Q P e p e e Q q e p e q e e e p q ω ψ ω ψ ω ω ω ω ω M

13 Frevencijsi odiv - primer.8.6 q.4 Imaginary Part q 3 Q Q ML freq Real Part Q *Q ω/π

14 Frevencijsi odiv - primer.8.6 p.4 Imaginary Part p P P ML freq Real Part 4 P *P ω/π

15 Primer Sa - približavanjem jedan par nule onjugovano jediničnom omplesnih rugu nula - uticaj promene se povećava. parametra ρ, ω const.π uticaj na frevencijsu arateristiu Za nulu čiji je modul blia jedinici amplitudsa arateristia ima loalni minimum a frevenciju oja odgovara tači na ( ) ρ cos( ω ) + ρ jediničnom rugu oja je najbliža posmatranoj nuli.

16 Primer - jedan par onjugovano omplesnih nula - uticaj promene parametra ω, ρconst.5 ( ) ρ cos( ω ) + ρ

17 Primer Sa 3 približavanjem - jedan par pola jediničnom rugu onjugovano omplesnih polova - uticaj se povećava. promene parametra ρ, ω const.π uticaj na frevencijsu arateristiu Za pol čiji je modul blia jedinici amplitudsa arateristia ima loalni masimum a frevenciju oja odgovara tači na ( ) ρ cos jediničnom rugu oja je najbliža posmatranom polu. ( ω ) + ρ

18 Primer 4 - jedan par onjugovano omplesnih polova - uticaj promene parametra ω, ρconst.5 ( ) ρ cos ( ω ) + ρ

19 Primer 5 - jedan realan pol - uticaj promene parametra ρ ρ ( )

20 Nulta fana -a Idealni filtar Linearna fana -a h F F.3 ( jω e ) ( n),, π ω c ω e c ω c jωn ω ω, c < ω π ( ω n) sin dω πn c h LF LF.3 ( jω e ) e jωn ωc jω ( ) ( nn ) sin( ωc ( n nd )) d n e dω π π ( n n ) ω c, d, ω ω, c c ω < ω π d

21 Idealni diferencijator h dif dif ( jω e ) ( n) jω, cos n ( ωn) ω π < ω

22 Idealni ilbertov transformator ( ) ( ) <,,, sin,,, n n n n n h j j e j π π ω π π ω ω

23 Funcija prenosa linearne fae ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω n n h h e e e n h h e n h n h e n h e M n j M n n j n j j M M n n j j cos A ω ω ω ω ω ω ω Nulta fana -a, ostvariv sistem Realna amplitudsa funcija ( ) ( ) ω A M ω

24 h Funcija prenosa linearne fae LF LF h ( n M ) ( jω ) ( jω ) jωm e e e φ τ ω/π

25 Filtar svepropusni, all-pass M ϕ τ τ ap ap ap ap ap ap ( ) ( jω e ) ( ) ( jω ω e ) ρ sin ω arctg ρ cos dϕ ( ) ap ω ρ dω ρ cos > ( ω) a e a jω ap * a * ae e jω jω ( ω θ ) ( ω θ ) ( ω θ ), + ρ a ρe jθ

26 Filtar svepropusni, all-pass ( ) ( ) ( ) * * * * θ θ θ θ ρ ρ ρ ρ j j j j ap ap e e e a q e a p a a a a φ τ ω/π

27 Filtar minimalne fae Stabilan filtar: svi polovi unutar jediničnog ruga Položaj nula ne utiče na stabilnost Sistem od oga su sve nule unutar jediničnog ruga naiva se sitem minimalne fae

28 Filtar minimalne fae Svaa racionalna funcija prenosa može da se napiše u obliu: M ϕ τ ( ) ( ) ( ) min jω jω jω jω jω jω ( ω) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( ω) ϕmin ( ω) + ϕap ( ω) ( ω) τ ( ω) + τ ( ω) min ap ap min ap min ap min

29 Filtar minimalne fae.5 Imaginary Part Real Part

30 Filtar minimalne fae.5.5 Imaginary Part Real Part

31 Filtar minimalne fae 45 4 d ω/π

32 Filtar minimalne fae ap mf ap * mf ω/π

33 Primer 6 - allpass secija reda - uticaj promene parametra ρ ρ ρ ( )

34 Primer 7 linearna faa - uticaj promene parametra ρ, ω const.π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), cos cos ρ ρ ρ ω ρ ρ ω ρ + +

35 Primer 7 linearna faa - uticaj promene parametra ρ, ω const.π Fana arateristia

36 Primer 8 minimalna faa/linearna faa, ρ.75, ω.π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos cos LF MF ρ ω ρ ρ ω ρ ρ ω ρ

37 Primer 8 minimalna faa/linearna faa, ρ.75, ω.π Fana arateristia

38 Primer 9 minimalna faa/allpass, ρ.75, ω.π

39 Primer 9 minimalna faa/allpass, ρ.75, ω.π Fana arateristia

40 Primer - jedan par onjugovano omplesnih nula - uticaj promene parametra ρ, ω const.π close all clear wpi*5/5; ro[..5.9 ]; br_tac; eros(br_tac,length(ro)); nuleeros(,length(ro)); polovieros(,length(ro)); for br:length(ro) h(br,:)[ -*ro(br)*cos(w) ro(br)^]; [(:,br),w]freq(h(br,:),,); nule(:,br)roots(h(br,:)); polovi(:,br)eros(sie(nule(:,br))); end; figure,plot(w/pi,abs()),xlabel('\omega/\pi'),ylabel(' (e^j^\omega) '),legend('\rho.','\rho.5','\rho.9','\rho.'); figure,plot([:],h,'o'),xlabel('n'),ylabel('h(n)'),legend('\rho.','\rho.5','\rho.9','\rho.'); figure,plane(nule,polovi),legend('\rho.','\rho.5','\rho.9','\rho.');

41 Primer - jedan par onjugovano omplesnih nula - uticaj promene parametra ω, ρconst.5 close all clear wpi*[5 5 4]/5; ro.5; br_tac; eros(br_tac,length(w)); nuleeros(,length(w)); polovieros(,length(w)); for br:length(w) h(br,:)[ -*ro*cos(w(br)) ro^]; [(:,br),w]freq(h(br,:),,); nule(:,br)roots(h(br,:)); polovi(:,br)eros(sie(nule(:,br))); end; figure,plot(w/pi,abs()),xlabel('\omega/\pi'), ylabel(' (e^j^\omega) '),legend('\omega_.\pi','\omega_.5\pi','\omega_.8\pi'); figure,plot([:],h,'o'),xlabel('n'),ylabel('h(n)'),legend('\omega_.\pi','\omega_.5\pi','\omega_.8\pi'); figure,plane(nule,polovi),legend('\omega_.\pi','\omega_.5\pi','\omega_.8\pi');

42 Primer 3 - jedan par onjugovano omplesnih polova - uticaj promene parametra ρ, ω const.π close all clear wpi*5/5; ro[ ]; br_tac; eros(br_tac,length(ro)); nuleeros(,length(ro)); polovieros(,length(ro)); for br:length(ro) b(br,:); a(br,:)[ -*ro(br)*cos(w) ro(br)^]; h(:,br)imp(b(br,:),a(br,:),); [(:,br),w]freq(b(br,:),a(br,:),); polovi(:,br)roots(a(br,:)); nule(:,br)eros(sie(polovi(:,br))); end; figure,plot(w/pi,abs()),xlabel('\omega/\pi'),ylabel(' (e^j^\omega) '),legend('ro.','ro.5','ro.9','ro.95'); figure,plot([:99],h),xlabel('n'),ylabel('h(n)'),legend('ro.','ro.5','ro.9','ro.95'); figure,plane(nule,polovi),legend('ro.','ro.5','ro.9','ro.95');

43 Primer 4 - jedan par onjugovano omplesnih polova - uticaj promene parametra ω, ρconst.5 close all clear wpi*[ 5 4]/5; ro.5; br_tac; eros(br_tac,length(w)); nuleeros(,length(w)); polovieros(,length(w)); for br:length(w) b(br,:); a(br,:)[ -*ro*cos(w(br)) ro^]; h(:,br)imp(b(br,:),a(br,:),); [(:,br),w]freq(b(br,:),a(br,:),); polovi(:,br)roots(a(br,:)); nule(:,br)eros(sie(polovi(:,br))); end; figure,plot(w/pi,abs()),xlabel('\omega/\pi'), ylabel(' (e^j^\omega) '),legend('\omega_.\pi','\omega_.5\pi','\omega_.8\pi'); figure,plot([:99],h),xlabel('n'),ylabel('h(n)'),legend('\omega_.\pi','\omega_.5\pi','\omega_.8\pi'); figure,plane(nule,polovi),legend('\omega_.\pi','\omega_.5\pi','\omega_.8\pi');

44 Primer 5 - jedan realan pol - uticaj promene parametra ρ close all clear a[..5.9]; Nio; nuleeros(,length(a)); polovieros(,length(a)); for br:length(a) h(br,:)imp(,[ -a(br)],nio); [(:,br),w]freq(,[ -a(br)],); end; figure,plot(w/pi,abs()),xlabel('\omega/\pi'),ylabel(' (e^j^\omega) '), legend('\rho.','\rho.5','\rho.9'); figure,plot([:nio-],h,'o'),xlabel('n'), ylabel('h(n)'),legend('\rho.','\rho.5','\rho.9');

45 Primer 6 - allpass secija reda - uticaj promene parametra ρ close all clear ro[ ]; br_tac; eros(br_tac,length(ro)); nuleeros(,length(ro)); polovieros(,length(ro)); Nio; for br:length(ro) b[ -/ro(br)]; a[ -ro(br)]; [(:,br),w]freq(b,a,); [h(br,:nio),n]imp(b,a,nio); nule(br,)roots(b); polovi(br,)roots(a); end; figure,plot(w/pi,abs()),xlabel('\omega/\pi'),ylabel(' (e^j^\omega) '),legend('\rho.','\rho.5','\rho.9','\rho.99'); figure,plot(n,h,'o'),xlabel('n'),ylabel('h(n)'),legend('\rho.','\rho.5','\rho.9','\rho.99'); figure,plane(nule,polovi),legend('\rho.','\rho.5','\rho.9','\rho.99');

46 Primer 7 linearna faa - uticaj promene parametra ρ, ω const.π close all figure,plot(w/pi,abs()),... clear figure,plot(w/pi,angle()),... ro[..5.95]; figure,plot(w/pi,unwrap(angle())),... wpi*5/5; figure,plot([:4],b,'o'),... br_tac; figure,plane(nule,polovi),... eros(br_tac,length(ro)); nuleeros(4,length(ro)); polovieros(4,length(ro)); for br:length(ro) pom[ -*ro(br)*cos(w) ro(br)^]; pom[ -*/ro(br)*cos(w) (/ro(br))^]; nule(:,br)[roots(pom);roots(pom)]; polovi(:,br)eros(sie(nule(:,br))); b(br,:)poly(nule(:,br)); [(:,br),w]freq(b(br,:),,); b(br,:)b(br,:)/max(abs((:,br))); (:,br)(:,br)/max(abs((:,br))); end;

47 Primer 8 minimalna faa/linearna faa, ρ.75, ω.π close all clear ro[.75]; wpi*5/5; br_tac; eros(br_tac,length(ro)); nuleeros(,length(ro)); polovieros(,length(ro)); nuleeros(,length(ro)); polovieros(,length(ro)); pom[ -*ro*cos(w) ro^]; pom[ -*/ro*cos(w) (/ro)^]; nuleroots(pom); nuleroots(pom); polovieros(sie(nule)); polovieros(sie(nule)); bpoly(nule); bpoly(nule); [,w]freq(b,,); [,w]freq(b,,); bb/max(abs()); bb/max(abs()); /max(abs()); /max(abs()); b3poly([nule; nule]); [3,w]freq(b3,,); b3b3/max(abs(3)); 33/max(abs(3)); figure,plot(w/pi,abs(),w/pi,abs(),w/pi,abs(3)),... figure,plot(w/pi,angle(),w/pi,angle(),w/pi,angle(3)),... figure,plot(w/pi,unwrap(angle()),w/pi,unwrap(angle()),w/pi,unwrap(angle(3))),... figure,plot([:],b,'o',[:],b,'o',[:4],b3,'o'),... figure,plane([nule nule],[polovi polovi]),...

48 Primer 9 minimalna faa/allpass, ρ.75, ω.π close all clear ro[.75]; wpi*5/5; br_tac; eros(br_tac,length(ro)); nuleeros(,length(ro)); polovieros(,length(ro)); nuleeros(,length(ro)); polovieros(,length(ro)); pom[ -*ro*cos(w) ro^]; pom[ -*/ro*cos(w) (/ro)^]; nuleroots(pom); nuleroots(pom); polovieros(sie(nule)); poloviroots(pom); bpoly(nule); bpoly(nule); apoly(polovi); [,w]freq(b,,); [,w]freq(b,a,); /max(abs()); /max(abs()); 3.*; figure,plot(w/pi,abs(),w/pi,abs(),w/pi,abs(3)),... figure,plot(w/pi,angle(),w/pi,angle(),w/pi,angle(3)),... figure,plot(w/pi,unwrap(angle()),w/pi,unwrap(angle()),w/pi,unwrap(angle(3))),... figure,plane([nule nule],[polovi polovi]),...

49 Zadata a) Za filtar a usrednjavanje (moving average) dužine 5 nacrtati impulsni odiv i arateristiu slabljenja filtra. b) Odrediti uupan evivalentni impulsni odiv i arateristiu slabljenja a asadnu veu dva identična filtra data pod a).

50 Zadata rešenje

51 Zadata rešenje h(n) n

52 Zadata rešenje Slabljenje [db] ω/π

53 Zadata rešenje 4 ans.8.6 Imaginary Part Real Part Slabljenje [db] ω/π

54 Zadata rešenje Slabljenje [db] ω/π Slabljenje [db] ω/π

55 Zadata rešenje 6.5. h v h h.5 hv(n) n hv

56 Zadata rešenje v v 5 Slabljenje [db] ω/π

57 Zadata rešenje ans.4 Imaginary Part Real Part.8 -.8

58 Zadata a) Za filtar dat diferencnom jednačinom nacrtati impulsni odiv i arateristiu slabljenja filtra: y + ( n).776x( n) +.8x( n ) +.776x( n ).y( n ).58y( n ) b) Odrediti uupan evivalentni impulsni odiv i arateristiu slabljenja a asadnu veu dva identična filtra data pod a).

59 Zadata rešenje

60 Zadata rešenje h(n) n

61 Zadata rešenje Slabljenje [db] ω/π

62 Zadata rešenje Imaginary Part Real Part

63 Zadata rešenje Slabljenje [db] ω/π Slabljenje [db] ω/π

64 Zadata rešenje hv(n) n

65 Zadata rešenje 7 8 v v 6 4 Slabljenje [db] ω/π

66 Zadata rešenje Imaginary Part Real Part