Metalne konstrukcije II

Transcript

1 etalne konstrukcije II Prof. dr. sc. Darko Dujmović Građevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu Sveučilište u Zagrebu/Građevinski fakultet/ /

2 5. TEORIJA PLASTIČNOSTI KOD ČELIČNIH KONSTRUKCIJA Literatura: Dujmović, D.; Androić, B.; Džeba, I.: odeliranje konstrukcija prema EC3, IA Projektiranje, Zagreb, 003. Androić, B.; Dujmović, D.; Džeba, I.: Čelične konstrukcije 1, IA Projektiranje, Zagreb, 009. Sveučilište u Zagrebu/Građevinski fakultet/ /

3 Svrha/područje današnjeg predavanja: uobičajeno (praksa), primjena teorije elastičnosti, teorija astičnosti kao nadgradnja teorije elastičnosti (primjena npr. proračun podrožnica), edukacija teorije astičnosti prema dva tipa: teorijski pristup (tenzori), aikativan inženjerski, 3

4 Svrha/područje današnjeg predavanja: nova filozofija EC3 Teorija astičnosti ne radi distinkciju teorije elastičnosti i teorije astičnosti, teorija astičnosti sastavni dio norme, ali dana su ograničenja kada se ne smije uporabiti (npr. umor), sadržaj predavanja: osnovne postavke teorije astičnosti, metode analize i metode dimenzioniranja prema EC3, cilj i svrha: praktična primjena teorije astičnosti, 4

5 Osnove astične analize OSNOVNI POJOVI P L postupno se povećava opterećenje P, razmatra se ponašanje nosača i opisuje odnosom (faktor opterećenja) i progiba u L/ 5

6 Osnove astične analize Krivulja faktor opterećenja - progib jednostavno oslonjenog nosača očvršćavanje c kolaps y astičnost se proširuje po presjeku 1 tečenje rubnih vlakanaca u polovici raspona nefaktorirano opterećenje progib P P u d 6

7 Osnove astične analize Raspodjela napona po presjeku nosača f y f y f y f y f y f y do y od y do c iza c (a) (b) (c) (d) 7

8 Osnove astične analize ehanizam kolapsa P L ehanizam 8

9 Osnove astične analize DEFINIRANJE OSNOVNIH POJOVA Faktor opterećenja kod kolapsa (otkazivanja) može se definirati kao najmanji množitelj računskog opterećenja koje će uzrokovati da cijela konstrukcija, ili neki njezin dio, postane mehanizam. P d Faktor opterećenja: 1,0. L 9

10 Osnove astične analize DEFINIRANJE OSNOVNIH POJOVA Pod pojmom mehanizam podrazumijeva se da je razvijen takav sustav nedeformabilnih elemenata vezanih sa zglobovima, ili kod nosača ili kod okvirnih konstrukcija, da je gibanje sustava ostvareno rotacijama u zglobovima. L 10

11 Osnove astične analize DEFINIRANJE OSNOVNIH POJOVA Plastični zglob (astic hinge), poprečni presjek postaje potpuno astičan, sa sposobnošću rotiranja pri konstantnom momentu savijanja. y

12 Osnove astične analize ehanizam kolapsa (otkazivanja): ponašanje nosača opisano odnosom - progib, ponašanje nosača prikazano procjenom opterećenja kolapsa (collapse load). Oba načina u literaturi. Prednost se daje opisivanju odnosom - progib. 1

13 Osnove astične analize OPTEREĆENJE KOLAPSA (OTKAZIVANJA) P (postupno se povećava) L ehanizam y y (i) Dijagram momenata savijanja - odnos 13

14 Osnove astične analize OPTEREĆENJE KOLAPSA (OTKAZIVANJA) f y a) Elastično područje y b) Rubno vlakance doseglo f y f y y W el f y 14

15 Osnove astične analize OPTEREĆENJE KOLAPSA (OTKAZIVANJA) f y c) Djelomično astično područje y f y 15

16 Osnove astične analize OPTEREĆENJE KOLAPSA (OTKAZIVANJA) f y d) oment pune astičnosti W f y W f y f y e) Plastično krajnje opterećenje (nosiva sila) P u L 4 P u 4 L 16

17 Osnove astične analize Pretpostavlja se da je nosač, dosegnuo najveću predvidivu otpornost kod konačnog opterećenja nazvanog krajnje astično opterećenje (općenitije konstrukcija umjesto nosač). Pored ovoga naziva često se ovaj pojam naziva: nosiva sila prema njemačkom nazivu Traglast ili krajnje opterećenje prema engleskom nazivu Ultimate Load. 17

18 Osnove astične analize Primjeri ilustriraju temeljne principe teorije astičnosti: U proračunu prema teoriji astičnosti pretpostavlja se otkazivanje konstrukcije (kolaps) formiranjem mehanizma kolapsa (collapse mechanism). 18

19 Osnove astične analize Primjeri ilustriraju temeljne principe teorije astičnosti: ehanizmi kolapsa uzrokovani su formiranjem jednog ili više astičnih zglobova (astic hinges). 19

20 Osnove astične analize Primjeri ilustriraju temeljne principe teorije astičnosti: Kod astičnog zgloba poprečni presjek postaje potpuno astičan, sa sposobnošću rotiranja (rotacijski kapacitet) pri konstantnom momentu savijanja. y Izražen rotacijski kapacitet 0

21 Osnove astične analize Primjeri ilustriraju temeljne principe teorije astičnosti: oment savijanja kod astičnog zgloba naziva se puna astična otpornost na savijanje (fully astic moment of resistance) ili kraće puni astični moment (full astic moment). f y W f y W f y f y 1

22 Osnove astične analize RAZATRANJE OSNOVNIH POJOVA VEZANIH UZ SVOJSTVA ČELIKA

23 Rotacijski kapacitet (klasa presjeka 1) oment Plastični moment bruto presjeka f y Lokalno izbočavanje 1 Dovoljan rot 1 3

24 Rotacijski kapacitet (klasa presjeka ) oment Plastični moment bruto presjeka f y Lokalno izbočavanje Ograničen 1 1 4

25 Rotacijski kapacitet (klasa presjeka 3) oment Elastični moment bruto presjeka f y el Lokalno izbočavanje Nikakav 1 1 5

26 Rotacijski kapacitet (klasa presjeka 4) oment el Lokalno izbočavanje Elastični moment efektivnog presjeka f y 1 Nikakav 1 6

27 Plastični moment Raspodjela napona po presjeku f y f y f y f y h b f y f y f y f y Razvijanje astičnog zgloba Stanja: 1 elastična otpornost, 4 astični moment, 4 astifikacija presjeka, y - odnos savijanog nosača Ovako formiran astični zglob dopušta preraspodjelu momenata h jedinična dužina b 7

28 Izvod za astični moment i - odnos f y Razvijanje deformacije i napona po presjeku y st y y y st y f y f y f y f y Pored i, dana relativna rotacija : y y y E 1 y E y 8

29 Izvod za astični moment i - odnos Izračunavanje otpornosti na savijanje y f y f y fy y 0 h p =h/6 C 1 y 0 h h'=h/3 h p =h/6 b astično područje f y C T 1 T h h 1 h h 1 (a) (b) (c) (d) (e) poprečni raspodjela raspodjela inkrementalne astična presjek unutarnje sile raspodjela i za h/6 astificiranog presjeka: Vrijedi: Stoga: y 1 1 h b 6 f y 5h 6 f i 1 1, je teško izračunati u inkrementalnom obliku y bh' 6 bh 6 5 bh f y 9

30 Izvod za astični moment i - odnos Sređivanjem dobijemo: 1 3 bh 18 6 f y 3 W 18 el f y 1 y. 3 bh 18 6 f bh 6 y f y 5 18 bh 6 f y Uočljivo je dakle povećanje momenta 8%

31 31 Izvod za astični moment i - odnos Promjena rotacije : h E f h E f f h E f y y y y ' 3 ' E h f y E h f h E f y y y y 1 E h f E h f E h f y y y 3 1 y 5 1, 1 Povećanje rotacije je za 50%.

32 Izvod za astični moment i - odnos Slično, vrijedi za povećanje astificiranog dijela presjeka na h/3 sa i. Dobije se povećanje momenta 44% Rotacija: 3 y Konačno, za potpuno astificiran presjek: h 1 f y b h b h 4. f y 1,5 y Omjer astičnog momenta i elastičnog momenta y : y f y f y bh 4 bh 6 W W el je faktor oblika (obuhvaćen je oblik poprečnog presjeka) 3

33 Izvod za astični moment i - odnos Iz izraza za rotaciju i moment izvodi se ovisnost y f y f y fy y 0 h p =h/6 C 1 y 0 h h'=h/3 h p =h/6 b astično područje f y C T 1 T h h 1 h h 1 (a) (b) (c) (d) (e) poprečni raspodjela raspodjela inkrementalne astična presjek unutarnje sile raspodjela Djelomično astificiran presjek: h b y0 y0 1 h y 0 f f b y 6 Uvrštenjem y 0 =f y /(e ), i nakon sređivanja dobije se - odnos. y y 0 33

34 Izvod za astični moment i - odnos Rezultirajuća bezdimenzijska krivulja za pravokutni presjek / y 1,5 1,0 1 y 3 4 y y y y / y Brojevima od 1 do 4 stanja (elastično do astično) Stanje 4: astično tečenje čitavog presjeka f y W, 1,5 el 34

35 Plastični zglob Idealizirani - odnos Idealizirana krivulja Pretpostavka: presjek koncentriran u pojasnice y jedinična dužina Plastični zglob (= ) Poslije f y, a pri konstantnom opt. tlačni pojas se skraćuje, vlačni pojas se produžuje. Stoga moment otpornosti presjeka ostaje konstantan, a deformacija se povećava Pravi zglob (=0) Plastični zglob: presjek rotira kao zglob, a pri tom uvijek je prisutan moment otpornosti presjeka jednak astičnom moment. 35

36 Plastični zglob Za idealiziranu - krivulju astični zglobovi u diskretnim točkama, realno astični se zglob proteže po dužini elementa. Zona astificiranja Egzaktna teorija astičnosti Stvaranje astičnog područja ispod koncentrirane sile Nul-linija Pojednostavnjena teorija astičnosti Idealiziranje do astičnog zgloba Kut zaokreta Sposobnost rotacije Plastični zglob x 0 36

37 Plastični zglob a) Zglob u teoriji elastičnosti b) Zglob u teoriji astičnosti (zadan statičkim sustavom) (formiran modelom mehanizma) =0 = =0 = 37

38 Utjecaj N i V na astični oment / N/N y =0 1,0 / =1, red 0, ,5 1 N/N y =0,3 N N h f y f y a) - odnosi f y f y f y f y b f y b) Interakcija i N h tlak vlak b / y Za nisku razinu N, utjecaj na zanemariv. Za V Sd < 0,5V Rd, utjecaj na zanemariv. Kriteriji prema EC3. 38

39 Duktilnost Duktilnost (engl. ductility, njem. Dehnbarkeit) je sposobnost čelika da se znatno deformira, bilo u tlaku bilo u vlaku, prije otkazivanja. f y 1 E Idealizirani oblik svojstva čelika u početnom dijelu krivulje. odnosi su praktično identični i za vlak i za tlak. 39

40 Očvršćavanje Očvršćavanje (engl. strain hardening, njem. Verfestigung) ilustrirano je slikom, idealiziranim odnosom dobivenim koristeći iste pretpostavke kao i na primjeru ilustracije astičnog zgloba. 1 E st 1 E Za st st vrijedi: E st st (E st je modul očvršćavanja) 40

41 Očvršćavanje ogućnosti određivanja E st tangenta povučena od oka arc tan E st1 modificirani početak očvršćavanja 0,005 arc tan E st3 pojava početka očvršćavanja a arc tan E st c 0,003 0,007 vrijednost st dobivena mjerenjem b Obično se koristi postupak b. 41

42 Očvršćavanje Preraspodjela momenata uslijed pojave očvršćavanja - bez očvršćavanja - sa očvršćavanjem 1,0 S P P u 0,5 C P S C S 0,5 1,0 4

43 Očvršćavanje Utjecaj očvršćavanja na sposobnost rotacije P P u - (elastično-astično - očvršćavanje) 1,0 - (elastično-astično) P 0,5 0,5 P 1,0 L L/ L/ L u 8 L L E 43

44 Statički neodređeni sustavi PROŠIRENJE NA STATIČKI NEODREĐENE SUSTAVE Razmatra se nosač obostrano upet L Postupno se povećava opterećenje i promatra ponašanje nosača, odnosom - progib. 44

45 Statički neodređeni sustavi Širenje astifikacije kod upetog nosača L (a) Plastični zglobovi na krajevima (b) ehanizam kolapsa s tri astična zgloba L 45

46 Statički neodređeni sustavi Krivulja - progib za prethodni nosač približno linearno kolaps c zadnji zglob formiran u sredini y formiranje prvih zglobova na ležajevima 1 nefaktorirano opterećenje progib u polovici raspona 46

47 Statički neodređeni sustavi Plastična analiza podrazumijeva: astičnu raspodjelu napona po poprečnom presjeku, (formiranje astičnog zgloba) - također dovoljnu redistribuciju momenata savijanja da bi se razvili astični zglobovi zahtijevani da se prouzroči astični mehanizam. - formiranjem dovoljnog broja astičnih zglobova događa se kolaps i to tako da se početno statički preodređena konstrukcija preobraća progresivno u manje preodređenu konstrukciju i konačno u mehanizam. Sposobnost konstrukcije da redistribuira napon po poprečnom presjeku i između poprečnih presjeka zahtijeva da se ne dogodi niti jedan drugi način otkazivanja prije mehanizma astičnog kolapsa. Ovako se dosiže krajnje opterećenje uz ispunjenje uvjeta: 47

48 Statički neodređeni sustavi UVJETI: Čelik treba posjedovati odgovarajuću duktilnost da se može razviti astična otpornost presjeka. Jednom formiran, astični zglob treba biti sposoban rotirati uz konstantnu vrijednost astičnog momenta. Plastični zglob treba imati dovoljan rotacijski kapacitet da se omogući formiranje mehanizma kolapsa i odgovarajuća redistribucija momenta. Konstrukcija je izložena pretežno statičkom opterećenju tako da je spriječeno otkazivanje uslijed niskocikličnog umora (shake down). 48

49 Statički neodređeni sustavi Ilustracija uvjeta slikom: (a) Presjek na ležajevima (b) Presjek u polovini raspona 1 - astični zglob na ležajevima, elastično ponašanje u polovici raspona 3 - izražena rotacijska sposobnost na ležajevima, astični zglob u polovici raspona - izražena rotacijska sposobnost i na ležajevima i u polovici raspona 49

50 Statički neodređeni sustavi Teoretska razmatranja koja slijede: predviđanja mehanizama kolapsa, određivanja dijagrama momenata savijanja kod kolapsa, određivanja faktora opterećenja kod kolapsa, Primjeri nekoliko tipičnih mehanizama kolapsa okvirnih konstrukcija. 50

51 Statički neodređeni sustavi ehanizmi kolapsa okvira: h L 51

52 Statički neodređeni sustavi ehanizmi kolapsa okvira: h L 5

53 Statički neodređeni sustavi ehanizmi kolapsa okvira: 53

54 Statički neodređeni sustavi Dodatno, konstrukcija je dovoljno robusna da se ostvari mehanizam kolapsa bez nepovoljnog utjecaja instabiliteta. ogući oblici instabiliteta su: lokalni instabilitet (obuhvaćen klasifikacijom presjeka), bočni instabilitet (osigurati bočna pridržanja), instabilitet okvira u ravnini (za relativno male uzdužne tlačne sile može se zanemariti, a ako ne onda rezultira reduciranjem opterećenja kolapsa). 54

55 etode analize ETODE ANALIZE 55

56 etode analize ETODE ANALIZE Temeljni problemi astičnog proračuna su: predviđanje korektnog mehanizma kolapsa, određivanje faktora opterećenja kod kolapsa, određivanje dijagrama momenta savijanja kod kolapsa. Pri tom moraju biti zadovoljeni uvjeti: (1) Uvjet mehanizma: krajnje opterećenje je dosegnuto kada se formira mehanizam. () Uvjet ravnoteže: suma sila i suma momenata jednaka je nuli. (3) Uvjet astičnog momenta: moment bilo gdje u konstrukciji ne smije biti veći od momenta. 56

57 etode analize Plastična analiza Elastična analiza ehanizam Kontinuitet Ravnoteža Plastični moment Tečenje <y y 57

58 etode analize, Temeljni principi Virtualni pomaci Princip virtualnih pomaka, upotrebljiv u izražavanju uvjeta ravnoteže, može se definirati na sljedeći način: Ako se sustav sila u ravnoteži podvrgne (izloži) virtualnom pomaku, rad koji učine vanjske sile (W E ) jednak je radu koji načine unutarnje sile (W I ). WE W I Princip virtualnih pomaka (virtualni rad) objašnjen je na jednostavno oslonjenom nosaču. 58

59 etode analize, Temeljni principi P (a) L/ L/ Dosizanjem, ostvaren određeni progib. (b) v - progib uslijed P - dodatni progib v Dodatnim progibom, kompatibilan s rubnim uvjetima, rotira astični zglob bez povećanja. Oblik progibne linije ne mijenja se. 59

60 etode analize, Temeljni principi U skladu sa slikom, vrijedi: - vanjski rad - unutarnji rad W E P W I P Uvjet ravnoteže W E = W I daje: P Uvrštenjem za = (L/), dobije se: L P Krajnje opterećenje za sustav jednostavnog nosača je: P u 4 L 60

61 etode analize, Temeljni principi Napomena vezana uz unutarnji rad: Definicija unutarnjeg rada + Unutarnji rad uvijek je pozitivan 61

62 etode analize, Temeljni principi OBOSTRANO UPETI NOSAČ izvođenje izraza za virtualni rad vanjskih sila (q) q L Zadani statički sustav Postupnim povećanjem q, dobije se mehanizam. Važno: elementi između zglobova Prof.dr.sc. idealno Darko Dujmovićravni, a opterećenje q koncentrira se u težištu elementa. 6

63 etode analize, Temeljni principi OBOSTRANO UPETI NOSAČ izvođenje izraza za virtualni rad vanjskih sila (q) ql/ ql/ L/4 L/4 L/4 L/4 q koncentrirano u težištu elementa =(L/4) ehanizam otkazivanja Vanjski rad izvodi se za ovakav sustav 63

64 etode analize, Temeljni principi ql/ ql/ L/4 L/4 L/4 L/4 Vanjski rad: Unutarnji rad: W E L L L L L q q q L W 4 I =(L/4) Uvjet ravnoteže W E = W I, daje: q L 16 4 qu 4 L 64

65 Teoremi teorije astičnosti U jednom koraku obično nije moguće zadovoljiti sva tri potrebna uvjeta: mehanizam, ravnoteža i astični moment. Premda će uvjet ravnoteže biti uvijek zadovoljen, rješenje postignuto na temelju pretpostavljenog mehanizma dat će krajnje opterećenje analizirane konstrukcije koje je ili korektno ili preveliko. (KINEATSKI TEORE) S druge pak strane, rješenje postignuto crtanjem dijagrama statičkog momenta koji neće poremetiti uvjet astičnog momenta bit će ili korektno ili premalo. (STATIČKI TEORE) Dakle, u ovisnosti o načinu na koji se rješava problem, dobit će se gornja ili donja granica unutar koje će se nalaziti korektno rješenje. (TEORE JEDNOZNAČNOSTI) Kada su oba teorema zadovoljena Prof.dr.sc. Darko za Dujmović neki razmatrani problem, onda je to rješenje u stvari korektno rješenje. 65

66 Teoremi teorije astičnosti Kinematski teorem U analizi konstrukcije proizvoljno odabran mehanizam kolapsa daje procjenu krajnjeg opterećenja (opterećenje kolapsa) koje je veće od ili jednako korektnom opterećenju. Drugim riječima, budući da se ne zna korektan mehanizam kolapsa, pokušava se dobiti rješenje pomoću pretpostavljenog mehanizma. Dobiveno rješenje predstavlja samo gornju granicu faktora opterećenja kod kolapsa c i potencijalno je nesigurno. etode temeljene na pretpostavljenim mehanizmima kolapsa generalno zadovoljavaju samo ravnotežu i uvjete mehanizma. 66

67 Teoremi teorije astičnosti Statički teorem Proizvoljni uvjet ravnoteže koji također zadovoljava uvjet astičnog momenta daje procjenu krajnjeg opterećenja koje je manje od ili jednako korektnom opterećenju. Drugim riječima, zadovoljenje uvjeta ravnoteže i astičnog momenata bez da se nađe mehanizam je u biti sigurna procedura. 67

68 Teoremi teorije astičnosti Teorem jednoznačnosti Vrijednost krajnjeg opterećenja koja zadovoljava uvjete ravnoteže, mehanizma i astičnog momenta je jednoznačna. Dakle, moguće je dobiti za bilo koje drugo opterećenje dijagram momenta savijanja koji također zadovoljava ova tri uvjeta. 68

69 Statička metoda STATIČKA ETODA zasniva se na teoremu donje granice Traži se ravnotežni dijagram momenata savijanja u kojem je takav da se formira mehanizam. Postupak se razvija prema sljedećem: (1) Odabrati statički preodređene veličine. () Nacrtati momentni dijagram za statički određenu konstrukciju. (3) Nacrtati momentni dijagram za konstrukciju opterećenu preodređenim veličinama. (4) Nacrtati kombinirani momentni dijagram, iz koraka. i 3., na takav način da se formira mehanizam. (5) Izračunati krajnje opterećenje, ili faktor opterećenja kolapsa, rješavajući jednadžbu ravnoteže. (6) Provjeriti da je. 69

70 Primjeri za statičku metodu (a) 1 q 3 Potrebno je naći krajnje opterećenje nosača kojeg je puni moment astičnosti. (b) L Statički određen nosač (c) (d) 1 ql 8 1 Kao statički preodređene veličine odabrani su momenti na krajevima. oment 1 je nepoznat. omentni dijagram od q na statički određenon nosaču q L 8 (e) 1 omentni dijagram od 1 na statički određenon nosaču. (f) (g) A B moguće zaključne linije p Kombiniranje -dijagrama da se formira mehanizam. Zaključna linija A daje momente na 1 i 3 jednake momentu na mjestu. Korektan mehanizam 70

71 Primjeri za statičku metodu Zaključna linija izvučena u A tvori korektan mehanizam, slika g), s = u tri presjeka s maksimalnim momentom. Uvjet ravnoteže, slika f) presjek, je: qu L 8 Qu L 8 A B moguće zaključne linije p q L 8 Slijedi da je krajnje opterećenje: Q u 16 L 71

72 Primjeri za statičku metodu Za kontinuirani nosač, momenta astičnosti, treba naći krajnje opterećenje P P a) Konstrukcija L/ L/ L/ L/ L L 5 P P b) Statički određen sustav L L c) Opterećenje od statički preodređene veličine 3 7

73 Primjeri za statičku metodu d) dijagram uslijed sile P PL 4 PL 4 e) dijagram uslijed momenta 3 3 / 3 / 3 73

74 Primjeri za statičku metodu (1) a dijagram uslijed 3 c f) Kombinirani dijagrami (formira se mehanizam s maksimalnim momentima u presjecima, 3 i 4) b dijagram uslijed P () a b p c l g) ehanizam = 4 74

75 Primjeri za statičku metodu Kombinirani momentni dijagram f), nacrtan je na način da se formira potreban mehanizam g), s maksimalnim momentima u presjecima, 3 i 4. Jednadžba ravnoteže dobiva se zbrajanjem momenata u presjeku : a dijagram uslijed 3 c Pu L 4 b dijagram uslijed P P u 6 L = 4 Budući su zadovoljeni potrebni uvjeti mehanizam, ravnoteža, astični moment, dobiveno krajnje opterećenje korektno je određeno. 75

76 etoda mehanizma ETODA EHANIZA zasniva se na teoremu gornje granice Povećanjem statičke neodređenosti nekog sustava povećava se broj mogućih mehanizama otkazivanja. Postaje teže konstruirati korektan ravnotežni momentni dijagram. Primjenjuje se metoda mehanizma. Dobivaju se različite gornje granice za korektno opterećenje za različite moguće mehanizme. Korektan mehanizam bit će onaj koji kao rezultat daje najmanje moguće opterećenje i kod kojeg moment neće prekoračiti astični moment u bilo kojem presjeku konstrukcije. 76

77 etoda mehanizma ETODA EHANIZA zasniva se na teoremu gornje granice Traži se takav mehanizam za koji neće biti prekršen uvjet astičnog momenta. Postupak se provodi na sljedeći način: (1) Odrediti mjesto mogućih astičnih zglobova (mjesta gdje djeluje koncentrirana sila, mjesta spojeva, u točki gdje je poprečna sila jednaka nuli kod nosača jednoliko opterećenih). () Odabrati moguće neovisne ili 'složene' mehanizme. (3) Riješiti jednadžbu ravnoteže (metoda virtualnog rada) za najmanje opterećenje. (4) Provjeriti da je u svakom presjeku zadovoljeno. 77

78 Primjeri za metodu mehanizma (a) (b) (c) 1 a L P Za kontinuirani nosač, treba naći krajnje opterećenje 4 L/ L/ L/ L/ 1 p l 3 3 b L P c Prvo je određivanje mjesta mogućih zglobova. U presjecima, 3 i 4 mogu se formirati zglobovi. Postoji simetrija samo jedan mehanizam. Princip virtualnog rada jednadžbe ravnoteže Ukupni rad vanjskih sila je: W E L L P P Ukupni rad unutarnjih sila je: W Budući da W E =W, dobije se: L P 3 Dakle, krajnje opterećenje P u je: Pu 6 L Provjera momenata nije potrebna jer je moguć samo jedan mehanizam. 78

79 Primjeri za metodu mehanizma Za portalni okvir sa slike, kojem su stupovi i prečka nepromjenjivog poprečnog presjeka i astičnog momenta, potrebno je izračunati krajnje opterećenje. P (a) 3 4 P oguća mjesta astičnih zglobova su presjeci, 3 i 4. Postoji nekoliko mogućih mehanizama otkazivanja. h=l/ Postavlja se pitanje: koji je od ovih mehanizama korektan? 1 H 1 L V 1 V 5 5 H5 To je onaj mehanizam koji daje najmanje krajnje opterećenje budući da bi bilo koje veće opterećenje značilo da nije ispunjen uvjet astičnog momenta. 79

80 Primjeri za metodu mehanizma (b) ehanizam 1 (mehanizam nosača) P Iz uvjeta W E = W dobije se sljedeća jednadžba za mehanizam nosača: P L P 4 P1 8 L 80

81 Primjeri za metodu mehanizma (c) ehanizam (mehanizam panela) P Iz uvjeta W E = W dobije se sljedeća jednadžba za mehanizam panela: h=l/ P P h P L L P 8 L 81

82 Primjeri za metodu mehanizma (d) ehanizam 3 (kombinirani mehanizam) P 1 P h=l/ Iz uvjeta W E = W dobije se sljedeća jednadžba za mehanizam panela: L P P 1 L P P 4 h L P L P 4 16 P3 3 L 8

83 Primjeri za metodu mehanizma Najmanja vrijednost je P 3, korektno krajnje opterećenje je: Potrebno je još provjeriti uvjet astičnog momenta, tj. da je za sve presjeke: P u 16 3 L oment u presjeku izračunat je prema sljedećem: H 5 h L L 1 Budući da niti u jednom presjeku momenti nisu veći od, dobivena rješenja problema su korektna. 5 H 1 H 1 P H L 3 L H 1 3 h 1 Pu H5 1 L H 1 L 3 L L 83

84 ehanizmi Različiti modovi otkazivanja vezano na tipove mehanizama. Postoje sljedeći tipovi mehanizama koristeći za ilustraciju konstrukciju danu na slici: Neovisni mehanizmi: 1. ehanizmi nosača 84

85 ehanizmi Različiti modovi otkazivanja vezano na tipove mehanizama. Postoje sljedeći tipovi mehanizama koristeći za ilustraciju konstrukciju danu na slici: Neovisni mehanizmi:. ehanizam panela 85

86 ehanizmi Različiti modovi otkazivanja vezano na tipove mehanizama. Postoje sljedeći tipovi mehanizama koristeći za ilustraciju konstrukciju danu na slici: Neovisni mehanizmi: 3. ehanizam 86

87 ehanizmi Različiti modovi otkazivanja vezano na tipove mehanizama. Postoje sljedeći tipovi mehanizama koristeći za ilustraciju konstrukciju danu na slici: Neovisni mehanizmi: 4. ehanizam čvora 87

88 ehanizmi Različiti modovi otkazivanja vezano na tipove mehanizama. Postoje sljedeći tipovi mehanizama koristeći za ilustraciju konstrukciju danu na slici: Kombinirani mehanizmi: 5. Djelomični mehanizam 88

89 ehanizmi Različiti modovi otkazivanja vezano na tipove mehanizama. Postoje sljedeći tipovi mehanizama koristeći za ilustraciju konstrukciju danu na slici: Kombinirani mehanizmi: 6. Potpuni mehanizam 89

90 ehanizmi Kod okvirnih sustava treba ispitati i pronaći odgovarajuće kinematske mehanizme otkazivanja. Pri tom važno je odrediti broj neovisnih mehanizama. To se može izračunati prema izrazu: k p n gdje je: k - p - n - broj neovisnih mehanizama, broj mogućih astičnih zglobova, broj statičke neodređenosti sustava. 90

91 ehanizmi Plastični zglobovi obično se mogu formirati na mjestima: 1. ispod djelovanja koncentriranih sila,. na mjestima ukliještenja, 3. u čvorovima okvira, 4. u području max,ed kod jednolikog opterećenja, 5. kod promjene poprečnog presjeka ili oslabljenja. 91

92 Primjeri određivanja unutarnjih sila prema teoriji astičnosti Kontinuirani nosač s ojačanjem presjeka u dijelu krajnjih polja R 0 L 0,15L R 1 R L q R R R 0 1 0,438qL 1,06qL R 3 ( itd) ql 0,438L V 1 0,5L V V V 1 0,56qL V 3 ( itd) 0,500qL 0,15L 0,146L 1 E 0,0957qL E 1 1 0,065qL 9

93 Utjecaj redoslijeda opterećenja UTJECAJ REDOSLIJEDA OPTEREĆENJA NA KRAJNJE PLASTIČNO OPTEREĆENJE P u Osnovna pretpostavka: - sva opterećenja koja djeluju na sustav rastu proporcionalno do dosizanja Pu. Postoji izuzetak: - za neki određeni redoslijed opterećenja pojavljuju se sve jače rastuće deformacije i govori se o nestabilnosti deformacija. 93

94 Utjecaj redoslijeda opterećenja CIKLUS OPTEREĆENJA H P Ukupno opterećenje 94

95 Utjecaj redoslijeda opterećenja P Rasterećenje Ciklus opterećenja koji se ponavlja (promatra se vertikalno opterećenje) 95

96 Utjecaj redoslijeda opterećenja H Rasterećenje Ciklus opterećenja koji se ponavlja (promatra se horizontalno opterećenje) 96

97 Utjecaj redoslijeda opterećenja CIKLUS OPTEREĆENJA Sile H i P ne rastu proporcionalno. Nakon prvog opterećenja sa P nastupa rasterećenje s nekim zaostalim vlastitim naponom. Kod opterećenja i rasterećenja silom H, vlastiti naponi ne pašu u to drugo opterećenje tako da se pojavljuju nove trajne deformacije. Do pojava ovakvih trajnih deformacija ne bi došlo da su H i P istovremeno proporcionalno rasle. 97

98 Utjecaj redoslijeda opterećenja CIKLUS OPTEREĆENJA Ukoliko se ciklus opterećenja H i P češće pojavljuje dolazi do sve većih rastućih trajnih deformacija i iscrjivanja astičnih svojstava. Znači, statički je sustav otkazao a da nije uspio doseći krajnje astično opterećenje P u. 98

99 Utjecaj redoslijeda opterećenja CIKLUS OPTEREĆENJA Rješenje tražimo u tzv. opterećenju "uigravanja" P s (eng. shakedown, njem. Einspiellast) Opterećenja kod kojeg, unatoč bezbroj ciklusa opterećenja, deformacije sustava su stabilne i ostaju u određenim granicama. TEORE UIGRAVANJA Ako se može pronaći bilo koje stanje vlastitih napona kod kojega se dalje u svim ciklusima opterećenja P s preuzima elastično, to se sustav onda uigrao na potpuno elastično ponašanje i za ovo opterećenje (P s ) ne može više doći do otkazivanja nosivosti. 99

100 Utjecaj redoslijeda opterećenja broj ponovljenih ciklusa opterećenja P S U OVISNOSTI DEFORACIJA I CIKLUSA OPTEREĆENJA P=P s P<P s P>P s deformacije 100

101 Utjecaj redoslijeda opterećenja Sila P s ima za sada teoretsko značenje iz sljedećih razloga: a) u praksi su važne deformacije uslijed uporabnog opterećenja a ne od P u, b) porastom odnosa g/p, opterećenje P s prelazi u P u, c) vjerojatnost izrazito nepovoljnih ciklusa opterećenja je mala. 101

102 Utjecaj redoslijeda opterećenja P P A B C D E L/ L/ L/ L/ L L 6 P 64 PL PL P 1 64 PL r P PL PL Ilustracija uigravanja opterećenja a) - omentni dijagram prema teoriji elastičnosti - Sila P djeluje u točki B b) - omentni dijagram prema teoriji elastičnosti - Sile P djeluju u točkama B i D c) - Zaostali momenti uslijed neelastičnih deformacija nakon opterećenja faze (b) 10

103 Utjecaj redoslijeda opterećenja Ilustracija uigravanja opterećenja Važno: za svaki presjek mora biti zadovoljen uvjet i, r i, max U gornjem izrazu je: i,r - moment kao posljedica vlastitih napona (rezidualni ili zaostali), i,max - maksimalni moment Prof.dr.sc. udarko tom Dujmović presjeku (i) prema teoriji elastičnosti. 103

104 Utjecaj redoslijeda opterećenja Ilustracija uigravanja opterećenja Uvjet za presjek B: Presjek B P 6 64 PL PL P L, B r 104

105 Utjecaj redoslijeda opterećenja Ilustracija uigravanja opterećenja Uvjet za presjek C: Presjek C P 1 64 PL P PL PL 1 64 P L, C r 105

106 Utjecaj redoslijeda opterećenja Ilustracija uigravanja opterećenja Linearna raspodjela momenta r uz pretpostavku da je pozitivan glasi : 1 r, B r, C Ako se sada ovaj r,b uvrsti u izraze koji definiraju uvjete za presjke B i C, dobije se: 106

107 Utjecaj redoslijeda opterećenja Ilustracija uigravanja opterećenja P L s r, C 1 64 P s P L s r, C r, C L ,06 L 107

108 Utjecaj redoslijeda opterećenja Ilustracija uigravanja opterećenja Ukoliko se izračuna P u prema klasičnom postupku, tj. jednom od metoda teorije astičnosti, dobiva se: Ako se postavi odnos: P P P 16% manje od krajnjeg astičnog opterećenja P u. u s u 6 5,06 6,00 L 84% stabilizirajuće opterećenje P s (shakedown loading) teoretski je 108

109 Neprikladni sustavi za proračun unutarnjih sila Primjer neprikladnog sustava za astičnost P E = const. = const. L 1 L L 1 Kod ovih sustava dosegnuta je vrijednost P u tek nakon velikog zaokreta u zglobovima (znači i velikih deformacija), ili se pak vrijednost P u uopće ne može dosegnuti. 109

110 Neprikladni sustavi za proračun unutarnjih sila Sila P u iznosi: P u 8 L Vrijednost P u ne ovisi o L 1. Ako L 1 vrijedi: P u 4 L 110

111 Neprikladni sustavi za proračun unutarnjih sila P u Razmotrimo progibe u sredini raspona L i to za razne odnose L 1 :L 8 L L 1 =0 L 1 = L L 1 = L L 1 = 3L P 4 L L 1 = L 1 L L 1 5 L 4 E 10 4 E L 15 4 E L progib u sredini raspona L 111

112 Neprikladni sustavi za proračun unutarnjih sila odel srednjeg polja P L Za L 1 mali, opruga je kruta P Za L 1 veliki, opruga je mekana P 11

113 Neprikladni sustavi za proračun unutarnjih sila Na kontinuiranom nosaču povećanjem sile P prvo se pojavljuje astični zglob ispod te sile. U tom zglobu javlja se kut zaokreta. Opruge mekane (L 1 >> L ) ne mogu se nad ležajevima javiti astični momenti a da kut zaokreta ne poprimi nerealno velike vrijednosti. Iz analize kuta zaokreta u astičnom zglobu proizlazi da omjer raspona L 1 /L > 3 daje sustav neprikladan za teoriju astičnosti. ože se zaključiti da sljedeći sustavi nisu prikladni: 113

114 Neprikladni sustavi za proračun unutarnjih sila Primjeri: q d kontinuirani nosači sa nejednolikim rasponima i opterećenjima 114

115 Neprikladni sustavi za proračun unutarnjih sila Primjeri: q d prednapeti čelični nosači (visulje) 115

116 Neprikladni sustavi za proračun unutarnjih sila Primjeri: P d P d nosači kod kojih su koncentrirane sile u blizini ležajeva 116

117 Neprikladni sustavi za proračun unutarnjih sila Primjeri: q d okviri čija je visina znatno veća od dužine prečke 117

118 Zaključne napomene Uobičajene metode analize su: grafička, analiza virtualnog rada idealno astičnih mehanizama, elastična - idealno astična analiza. etode astične analize primjenjive su uz zadovoljenje uvjeta: 118

119 Zaključne napomene čelik s dobrim astičnim svojstvima f f u y 1,1 ε u 15 ε y bočna pridržanja kod svih mjesta pojave astičnih zglobova, poprečni presjeci klase 1, opterećenje raste proporcionalno i monotono, 119