GEODEZIJSKE LINIJE U HOFEROVOJ METRICI

Transcript

1 GEODEZIJSKE LINIJE U HOFEROVOJ METRICI Jovana ureti Mentor: dr Darko Milinkovi Matematiqki fakultet decembar, 21.

2 Sadrжaj 1 Uvod 2 2 Geodezijske linije Definicija Eksponencijalno preslikavanje Minimizacija rastojanja Varijacija energije Hoferova metrika na grupi Ham(M, ω) Grupa Hamiltonovih difeomorfizama Lijeva algebra i grupa Ham(M, ω) Algebarske osobine grupe Ham(M, ω) Hoferova metrika Geodezijske linije u Hoferovoj metrici Xta ako je M = R 2n Definicija Minimalne geodezijske Geodezijske Konjugovane taqke na geodezijskim Varijaciona teorija geodezijskih Konjugovane taqke C -lokalna minimalnost geodezijskih Asferiqne mnogostrukosti

3 GLAVA 1 Uvod Poznato je da se evolucija nekog fiziqkog sistema opisuje Hamiltonijanom i da je fazni prostor u klasiqnoj mehanici simplektiqka mnogostrukost. Motivisani time da se sistem bez dejstva spoljaxnjnih sila kre e po geodezijskoj liniji u ovom radu emo opisati osobine geodezijskih linija u Hoferovoj metrici na prostoru Hamiltonovih difeomorfizama. U drugoj glavi su definisane geodezijske linije u Rimanovoj metrici koje moжemo da vidimo kao rexenja sistema diferencijalnih jednaqina, kao krive koje minimiziraju rastojanje između taqaka i kao kritiqne taqke funkcionala energije. U tre oj glavi je definisana grupa Hamiltonovih difeomorfizama koja je pridruжena simplektiqkoj mnogostrukosti i Hoferova metrika na njoj. U qetvrtoj glavi, koja predstavlja glavni deo rada, definisan je pojam geodezijskih linija u Hoferovoj metrici. Darbuova teorema nam daje osobinu simplektiqkih mnogostrukosti da se one lokalno ponaxaju kao standardni simplektiqki prostor R 2n. U prvom delu qetvrte glave izloжene su osobine geodezijskih ako radimo sa grupom Hamiltonovih difeomorfizama koji dejstvuju na R 2n. Najbitniji zakljuqak ovog dela jeste da regularan put moжe biti geodezijska samo ako je generisan kvazi-autonomnim Hamiltonijanom. U drugom delu ove glave su definisane konjugovane taqke i varijacija geodezijske linije. Pokazano je da je nedegenerisana geodezijska koja ne sadrжi konjugovane taqke C -lokalno minimalna a ona koja sadrжi unutraxnje konjugovane taqke moжe se skratiti malom varijacijom. Tre i deo analizira zatvorene mnogostrukosti qija je druga homotopska grupa trivijalna. Nađen je Hamiltonov difeomorfizam na takvoj mnogostrukosti koji se ne moжe spojiti minimalnom geodezijskom sa identiqkim preslikavanjem. Zahvaljujem se svom mentoru dr Darku Milinkovi u na velikoj podrxci, razumevanju i pomo i pri pisanju ovog rada.

4 GLAVA 2 Geodezijske linije 2.1 Definicija Osnovni objekti u aksiomatski zasnovanoj geometriji su taqka i prava. U diferencijalnoj geometriji, koja je povezana sa aksiomatski zasnovanom geometrijom, moramo na i uopxtenje prave tako da se ta definicija slaжe sa tipiqnim modelima euklidske i neeuklidske geometrije. Znamo da prava linija predstavlja najkra e rastojanje između dve taqke u ravni. Moжemo ovaj kriterijum najkra eg rastojanja iskoristiti za definiciju, ali na prooizvoljnim mnogostrukostima taj uslov se texko proverava. Umesto toga iskoristi emo drugu osobinu koja se lako izraqunava a karakterixe sve prave: drugi izvod im je jednak nuli. Moжemo ih videti kao rexenja diferencijalne jednaqine d2 γ =. Prvu osobinu, kao i svojstvo prave da je kritiqna taqka funkcionala dt 2 energije emo izvesti iz definicije. Definicija Rimanova metrika na mnogostrukosti M je polje Φ pozitivno definitnih bilinearnih C kvadratnih formi, to jest preslikavanje koje svakoj taqki P M pridruжuje pozitivno definitnu bilinearnu kvadratnu formu, P definisanu na prostoru T P M koja je glatka u slede em smislu: ako je ϕ : V R n U lokalna karta oko taqke P tada su funkcije matriqnih elemenata g ij (x) = ϕ x x i, ϕ x x j klase C ϕ(x) na V. Zbog jednostavnijih oznaka tangentne vektore x i iz T x R n emo identifikovati sa tangentnim vektorima ϕ x x i iz T ϕ(x) M. Oznaqimo sa X (M) skup glatkih vektorskih polja na mnogostrukosti M. Definicija Povezanost na diferencijabilnoj mnogostrukosti M je preslikavanje : X (M) X (M) X (M) koje oznaqavamo sa (X, Y ) X Y i koje zadovoljava slede e osobine: (i) fx+gy Z = f X Z + g Y Z, (ii) X (Y + Z) = X Y + X Z, (iii) X (fy ) = f X Y + X(f)Y, za svako X, Y, Z X (M) i f, g C (M). 3

5 GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 4 Kaжemo da je povezanost simetriqna ako za svako X, Y X (M) vaжi X Y Y X = [X, Y ] gde je sa [X, Y ] oznaqen komutator vektorskih polja. Definicija Neka je X t T c(t) M vektorsko polje duж krive c : I M. polja X duж krive c je vektorsko polje Izvod DX t dt = dc X t. dt Ako je DX dt = za svako t I kaжemo da je vektorsko polje X paralelno duж krive c. Definicija Neka je M diferencijabilna mnogostrukost sa povezanox u i Rimanovom metrikom,. Kaжemo da je povezanost saglasna sa metrikom ako za svaku glatku krivu c i vektorska polja X i Y koja su paralelna duж krive c vaжi: X, Y = Const. Definicija Neka je M mnogostrukost sa povezanox u. Glatka kriva γ(t) je geodezijska u odnosu na povezanost ako vaжi dγ ( dγ ) =. dt dt Ako je [a, b] I i γ : I M geodezijska onda se restrikcija geodezijske γ na interval [a, b] naziva segment geodezijske između taqaka γ(a) i γ(b). Primer Kriva u ravni (x(t), y(t)) = (t, at+b) je geodezijska, dok kriva (x(t), y(t)) = (t 5, at 5 + b) nije i ako obe krive imaju isti nosaq. Prethodni primer pokazuje da definicija geodezijskih zavisi od parametrizacije. Znaju i kako se definixe izvod vektorskog polja duж krive uslov dγ dt da pixemo i u obliku: D dt ( ) dγ =, dt ( dγ dt ) = moжemo odakle vidimo da je dγ dγ vektorsko polje paralelno duж krive γ. Vektor se jox naziva dt dt i vektor brzine krive γ. Tvrđenje Vektor brzine geodezijske ima konstantnu duжinu. Dokaz. Neka je γ : I M geodezijska i dγ njen vektor brzine. Tada je: dt d dγ dt dt, dγ D dγ = 2 dt dt dt, dγ =. dt Koriste i ovu osobinu moжemo pretpostaviti da je dγ = c qime iskljuqujemo dt trivijalne geodezijske linije. Duжina krive γ od neke fiksirane taqke, npr. γ(t ) je data sa t s(t) = dγ du (u) du = c(t t ). t Vidimo da je parametar kojim je geodezijska parametrizovana proporcionalan duжini luka.

6 GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 5 Definicija Kaжemo da je geodezijska normalizovana ako je parametrizovana duжinom luka, c = 1. Жelimo da vidimo koje jednaqine zadovoljavaju geodezijske u lokalnim koordinatama. Neka su oko taqke γ(t) definisane lokalne koordinate (U, x), γ(t) = (x 1 (t),..., x n (t)). Tada je = dγ dt ( ) dγ = dt n k=1 ( d 2 x k dt 2 + n i,j=1 Γ k dx i dx j ij dt dt ) x k, gde su Γ k ij Kristofelovi simboli, a predstavljaju koordinate vektorskog polja x x i j u bazi x 1,..., x n. Tako da nam rexenje sistema diferencijalnih jednaqina drugog reda daje geodezijsku liniju. d 2 x k dt 2 + n i,j=1 Γ k dx i dx j ij dt dt =, k = 1,..., n (1) Tvrđenje Neka je p M i X p T p M. Tada postoji jedinstvena geodezijska γ(t), tako da je γ() = p, dγ dt () = X p. Dokaz. Egzistencija i jedinstvenost slede direktno iz teoreme o postojanju i jedinstvenosti rexenja sistema diferencijalnih jednaqina. Sistem (1) koji se sastoji od n jednaqina drugog reda moжemo videti kao sistem od 2n jednaqina ali prvog reda, samo u drugom prostoru. Svaka diferencijabilna kriva t γ(t) na M definixe krivu t (γ(t), dγ (t)) u prostoru T M. Ako je γ geodezijska, dt onda kriva t (x 1 (t),..., x n (t), dx 1 dt (t),..., dx n dt (t)) na prostoru T U = U R n zadovoljava sistem jednaqina { dxk dt dy k dt = y k = n i,j=1 Γk ijy i y j, k = 1,..., n (1 ) u lokalnim koordinatama (x 1,..., x n, y 1,..., y n ) na T U. Vidimo da je (1 ) sistem od 2n jednaqina prvog reda i da je ekvivalentan sistemu (1). Lema Postoji jedinstveno vektorsko polje G na T M qije su trajektorije oblika t (γ(t), dγ (t)), pri qemu je γ geodezijska na M. dt Dokaz. Dokaz sledi iz egzistencije i jedinstvenosti rexenja sistema (1 ). Definicija Vektorsko polje definisano u lemi se naziva geodezijsko polje na T M, a njegov tok se naziva geodezijski tok na T M. Ove osobine moжemo uopxtiti.

7 GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 6 Tvrđenje Neka je p M. Tada postoji okolina V taqke p, brojevi δ, ε > takvi da za svako q V i X q T q M, gde je X q < ε, postoji jedinstvena geodezijska γ koja je definisana na intervalu ( δ, δ) i vaжi γ() = q i dγ dt () = X q. Oznaqimo sa γ(t, q, X q ) geodezijsku iz prethodnog tvrđenja. Vidimo da ako je X q < ε onda geodezijska γ(t, q, X q ) postoji u intervalu ( δ, δ) i jedinstvena je. U stvari, moжemo pove ati brzinu geodezijske smanjivanjem intervala definisanosti i obrnuto. Lema Homogenost geodezijskih linija Ako je geodezijska γ(t, q, X q ) definisana na intervalu ( δ, δ), tada je geodezijska γ(t, q, ax q ), a (, + ), definisana na intervalu ( δ a, δ a ), i vaжi γ(t, q, ax q ) = γ(at, q, X q ). Dokaz. Definiximo krivu h : ( δ, δ ) M, sa h(t) = γ(at, q, X a a q). Vidimo da vaжi dh dγ (t) = a (at, q, X dt dt q), pa je h() = q i dh() = ax dt q. Dalje je dh dh dt dt = dγ a2 dγ dt dt =, odnosno, h je geodezijska brzine ax q koja u trenutku t = prolazi kroz taqku q. Na osnovu jedinstvenosti ovakve geodezijske vaжi e h(t) = γ(t, q, ax q ), pa je γ(t, q, ax q ) = γ(at, q, X q ). Posledica Za svaku taqku p M postoji okolina U taqke p, broj ε > i C preslikavanje γ : ( 2, 2) U M, U = {(q, X q ) T M q U, X q T q M, X q < ε} tako da je t γ(t, q, X q ) jedinstvena geodezijska na M koja zadovoljava uslove γ() = q i dγ dt () = X q. Na sliqan naqin moжemo brzinu geodezijskih uqiniti proizvoljno velikom u okolini taqke p. 2.2 Eksponencijalno preslikavanje Posledica nam omogu ava da uvedemo pojam eksponencijalnog preslikavanja na slede i naqin. Neka je p M i U T M otvoren skup iz posledice Definicija Preslikavanje exp : U M definisano sa exp(q, X q ) = γ(1, q, X q ) = γ( X q, q, se naziva eksponencijalno preslikavanje na U. X q X q ), (q, X q) U, Prema pomenutoj posledici preslikavanje γ pomo u kojeg smo definisali eksponencijalno preslikavanje je diferencijabilno pa e i exp biti diferencijabilno preslikavanje. Koristi emo i restrikciju ovog preslikavanja na otvorenu loptu polupreqnika ε u T q M: exp q : B(, ε) T q M M

8 GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 7 koja je definisana sa exp q (X q ) = exp(q, X q ). Geometrijski, exp(q, X q ) predstavlja taqku na mnogostrukosti M u koju stignemo nakon vremena t = 1 kre u i se duж geodezijske linije ako smo u trenutku t = krenuli iz taqke q brzinom X q. Tvrđenje Za svaku taqku q M postoji ε > tako da je preslikavanje exp q : B ε () T q M M difeomorfizam lopte B ε () na otvoren podskup u M. Dokaz. Izraquna emo qemu je jednak izvod preslikavanja exp q u taqki B ε (): d(exp q ) (X q ) = d dt exp q(tx q ) t= = d dt γ(1, q, tx q) t= = d dt γ(t, q, X q) t= = X q. Dakle, d(exp q ) je identitet, pa na osnovu teoreme o inverznoj funkciji zakljuqujemo da je exp q lokalni difeomorfizam u nekoj okolini taqke. Znaju i ovu osobinu eksponencijalnog preslikavanja moжemo da uvedemo neke pojmove koji e nam biti potrebni u slede em paragrafu. Definicija Ako je exp p difeomorfizam okoline V taqke u T p M, onda se U = exp p V naziva normalna okolina od p. Ako je B ε () lopta za koju vaжi B ε () V onda B ε (p) = exp p B ε () nazivamo normalnom loptom (ili geodezijskom loptom) sa centrom u taqki p radijusa ε. 2.3 Minimizacija rastojanja Ve smo naglasili da prava u ravni predstavlja najkra e rastojanje između dve taqke. Sada ho emo da vidimo koju osobinu poseduju geodezijske između dve taqke na nekoj mnogostrukosti. Definicija Deo po deo diferencijabilna kriva je neprekidno preslikavanje c : [a, b] M zatvorenog intervala [a, b] R na M pri qemu vaжi: postoji podela a = t < t 1 <... t k = b intervala [a, b] takva da je svaka od restrikcija c [ti,t i +1], i =,..., k 1 diferencijabilno preslikavanje. Kaжemo da kriva c spaja taqke c(a) i c(b). Taqka c(t i ) se naziva verteks krive c, a ugao između tangetnih vektora lim t t i + ugao verteksa u taqki c(t i ). dc dt i lim t t i dc dt se naziva Za glatku krivu c : I M kaжemo da je regularna u taqki t I ako je dc dt (t ). Kriva je regularna ako je regularna u svakoj taqki. Definicija Segment geodezijske γ : [a, b] M se naziva minimiziraju i ako je l(γ) l(c) za svaku krivu c koja spaja taqke γ(a) i γ(b), gde je sa l(c) oznaqena duжina krive c. Uvex emo neke pojmove koji e nam biti potrebni u narednim tvrđenjima. Definicija Neka je A povezan skup u R 2 pri qemu vaжi U A Ū, za neki otvoren skup U i neka je granica skupa A, A, deo po deo diferencijabilna kriva qiji verteks uglovi nisu jednaki uglu π. Parametrizovana povrx u M je diferencijabilno preslikavanje s : A M.

9 GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 8 Ovde diferencijabilnost oznaqava da postoji otvoren skup V A tako da se preslikavanje s moжe diferencijabilno produжiti na V, a uslov da verteks uglovi nisu π nam obezbeđuje da diferencijal preslikavanja s ne zavisi od njegovog produжenja. Ako verteks uglovi granice A ni u jednoj taqki nisu π, onda tangentni vektori na krivu u verteksima razapinju tangentnu ravan, pa je diferencijal u proizvoljnom pravcu definisan i ne zavisi od produжenja funkcije. Definicija Vektorsko polje X duж povrxi u M, s : A M, je preslikavanje koje svakoj taqki q A dodeljuje tangentni vektor X(q) T s(q) M i koje je diferencijabilno u slede em smislu: ako je f diferencijabilna funkcija na M tada je preslikavanje q X(q)f diferencijabilno. Ho emo da definixemo kovarijantni izvod vektorskog polja duж povrxi. Neka su (u, v) Dekartove koordinate na R 2. Za fiksirano v, preslikavanje u s(u, v ), gde u pripada povezanoj komponenti skupa A {(u, v )}, je kriva u M i ds( ) je vektorsko polje duж u ove krive koje oznaqavamo sa s s. Na taj naqin definixemo vektorsko polje duж s za u u svako (u, v) A. Na sliqan naqin definixemo s. v Neka je X vektorsko polje duж s : A M. Definixemo kovarijantni izvod DX i DX u v na slede i naqin. DX (u, v u ) je kovarijantni izvod restrikcije vektorskog polja X duж krive u s(u, v ). Tako definixemo DX (u, v) za svako (u, v) A, i na sliqan naqin u definixemo DX (u, v). v Lema Neka je M diferencijabilna mnogostrukost sa simetriqnom povezanox u D s i neka je s : A M parametrizovana povrx na M. Tada je: = D s. v u u v Dokaz. Neka su x : V R n M lokalne koordinate u okolini taqke s(u, v) A. Moжemo ih pisati u obliku x 1 s(u, v) = (x 1 (u, v),..., x n (u, v)). Tada je: D v ( s ) = D ( n u v i=1 n = = i=1 i=1 x i u ) x i 2 x i + v u x i n 2 x i + v u x i n i=1 n i,j=1 x i u n x j j=1 v x j x i x i x j u v. x j x i Sliqno, D ( s ) = u v = n i=1 n i=1 Kako je povezanost simetriqna, x i 2 x i + u v x i 2 x i + u v x i x j n i,j=1 n i,j=1 x i v x j v x j u x j x i x i u. x i x j = x x j i, zakljuqujemo da je D s v = D s. u u v Sada emo tangentni prostor na T p M u taqki X p T p M identifikovati sa T p M, tj. T p M T Xp (T p M).

10 GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 9 Lema (Gausova lema) Neka je p M i X p T p M tako da je definisano exp p X p, i neka je Y p T p M T Xp (T p M). Tada je: (d exp p ) Xp (X p ), (d exp p ) Xp (Y p ) = X p, Y p. Dokaz. Neka je Y p = Yp t + Yp n, gde je Yp t komponenta vektora Y p koja je paralelna sa X p i komponenta normalna na X p. Kako je diferencijal linearno preslikavanje vaжi e: Y n p (d exp p ) Xp (X p ), (d exp p ) Xp (Y p ) = (d exp p ) Xp (X p ), (d exp p ) Xp (Y t p ) + (d exp p ) Xp (X p ), (d exp p ) Xp (Y n p ). Pokaza emo da je (d exp p ) Xp (X p ), (d exp p ) Xp (Yp t ) = X p, Yp t i (d exp p ) Xp (X p ), (d exp p ) Xp (Yp n ) = = X p, Yp n qime emo dobiti traжenu jednakost. Kako je vektor Yp t paralelan vektoru X p vaжi Yp t = λx p za neko λ R. Neka je α : I T p M kriva data sa α(t) = (t + 1)X p. Ona zadovoljava uslov da je α() = X p i dα() = X dt p. Sliqno, ako je data kriva β : I T p M sa β(t) = (λt + 1)X p ona zadovoljava uslove β() = X p i dβ () = λx dt p = Yp t. Tada je: d (d exp p ) Xp (X p ), (d exp p ) Xp (Yp t ) = dt exp p(α(t)) t=, d dt exp p(β(t)) t= d = dt γ(1, p, α(t)) t=, d dt γ(1, p, β(t)) t= d = dt γ(1, p, (t + 1)X p) t=, d dt γ(1, p, (λt + 1)X p) t= d = dt γ(t + 1, p, X p) t=, d dt γ(λt + 1, p, X p) t= dγ = (1), λdγ dt dt (1) = λ dγ dt (1) 2. Sa druge strane je X p, Yp t = λ X p, X p = λ dγ dt () 2, pa kako se norma tangentnog vektora duж geodezijske odrжava vaжi e (d exp p ) Xp (X p ), (d exp p ) Xp (Yp t ) = X p, Yp t. Slika 1.

11 GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 1 exp p X p je dobro definisano, pa postoji ε > tako da je exp p u definisano za: u = t X(s), t 1, ε < s < ε gde je X(s) kriva u T p M sa osobinama X() = X p, dx () = Y n ds p i X(s) = Const. Moжemo posmatrati parametrizovanu povrx f : A M, A = {(t, s) t 1, ε < s < ε} definisanu sa: f(t, s) = exp p (tx(s)). Primetimo da su krive t f(t, s ) geodezijske. Vaжi: f, f s t (1, ) = (d expp ) Xp (Yp n ), (d exp p ) Xp (X p ). Za svako (t, s) vaжi: f t s, f D f = t t s, f f + t s, D f. t t Poslednji qlan u izrazu sa desne strane je jednak nuli zato xto je f tangentni vektor t na geodezijsku. Iz simetrije povezanosti, moжemo izvrxiti transformaciju izraza: D f t s, f D f = t s t, f = 1 f t 2 s t, f =, t poslednja jednakost vaжi zato xto vektor f ima konstantu duжinu. Zakljuqujemo da t je f, f t s t = pa f, f s t ne zavisi od t. Kako je sledi da je f da pokaжemo., f s t lim (t, ) = lim s (d exp p) txp (typ n ) = t (1, ) =, odnosno (d expp ) Xp (Yp n ), (d exp p ) Xp (X p ) =, a to smo i hteli t f Ako se sada setimo kako smo definisali normalnu loptu (definicija 2.2.2), iz Gausove leme moжemo zakljuqiti da je granica normalne lopte hipersfera (podmnogostrukost kodimenzije 1) u M, i da je ona ortogonalna na geodezijske koje poqinju u taqki p. Definicija Granica normalne lopte B ε (p) se oznaqava sa S ε (p) i naziva se normalna sfera (ili geodezijska sfera) sa centrom u taqki p i polupreqika ε. Geodezijske u B ε (p) koje poqinju u taqki p se nazivaju radijalne geodezijske. Sada emo pokazati da geodezijske lokalno minimiziraju rastojanje. Tvrđenje Neka je p M, U normalna okolina od p i B U normalna lopta sa centrom u p. Neka je γ : [, 1] B segment geodezijske koja polazi iz taqke p, γ() = p. Ako je c : [, 1] M bilo koja druga deo po deo diferencijabilna kriva koja spaja taqke γ() i γ(1) tada je l(γ) l(c). Ako jednakost vaжi onda je γ([, 1]) = c([, 1]). Dokaz. Prvo emo razmatrati sluqaj kada je c([, 1]) B. Kako je exp p difeomorfizam na U i B U moжemo da napixemo: c(t) = exp p (r(t) X(t)) gde je t X(t) kriva u T p M koja zadovoljava uslov X(t) = 1 i r : [, 1] R je pozitivna deo po deo glatka funkcija. Diferencirajmo funkciju f(r(t), t) = exp p (r(t) X(t)): dc dt = f r r (t) + f t.

12 GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 11 Znamo da je f r = X(t) = 1, a iz Gausove leme sledi da je f, f r t =, pa je: dc 2 = r (t) 2 + f 2 r (t) 2. dt t Koriste i ovu nejednakost vidimo da vaжi: l(c) = dc dt r (t) dt r (t) dt = r(1) r() = l(γ). dt Prethodne nejednakosti postaju jednakosti ako je f t =. Tada je X(t) = Const i r (t) = r (t) > pa je c(t) monotona reparametrizacija krive γ, xto daje c([, 1]) = γ([, 1]). Ako c([, 1]) nije sadrжano u B, uoqimo prvu taqku t 1 (, 1) za koju vaжi da c(t 1 ) B. Ako je δ radijus geodezijske lopte B vaжi e nejednakosti: l(c) l(c [,t1 ]) δ > l(γ). Ovo tvrđenje ne vaжi globalno. Delovi velikih krugova su geodezijske na sferi. Ako geodezijska polaze i od jedne taqke na sferi prođe kroz njoj antipodalnu taqku ona gubi svojstvo najkra eg rastojanja između taqaka. Pokaza emo da vaжi i obrnuto, ako deo po deo diferencijabilna kriva daje minimalno rastojanje između taqaka tada je ona geodezijska. Za to e nam biti potrebno tvrđenje gde smo pokazali egzistenciju normalne okoline. Sada emo pokazati nexto jaqe svojstvo. Teorema Za svako p M postoji okolina W taqke p i broj δ >, tako da je za svako q W, exp q difeomorfizam na B δ () T q M i exp q (B δ ()) W, pa je W normalna okolina svake njene taqke. Dokaz. Neka su ε >, U i U definisani u posledici Definiximo preslikavanje F : U M M sa: F (q, X q ) = (q, exp q X q ). Vidimo da je F (p, ) = (p, p). Posmatrajmo oko taqke (p, p) M M lokalne koordinate (U U; x, x). U tim koordinatama matrica preslikavanja df (p, ) ima oblik: [ ] jer je (d exp p ) = 1. Moжemo zakljuqiti da je F lokalni difeomorfizam u okolini taqke (p, ). Znaqi, postoji okolina U U taqke (p, ) u T M takva da F difeomorfno slika U na neku okolinu W taqke (p, p) u M M. U moжemo predstaviti u obliku U = {(q, X q ) q U, X q T q M, X q < δ} gde je U U okolina taqke p u M. Sada odaberemo okolinu W taqke p u M, za koju e vaжiti W W W. Pokaza emo da ovako odabrani δ i W zadovoljavaju uslove tvrđenja. Neka je q W proizvoljna taqka i B δ () T q M. Kako je F difeomorfizam na U vaжi e: {q} W F ({q} B δ ()), pa na osnovu definicije preslikavanja F vaжi: W exp q (B δ ()).

13 GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 12 Napomena Iz prethodnog tvrđenja i osobine geodezijskih da minimiziraju rastojanje, sledi da za bilo koje dve taqke p, q W postoji jedinstvena minimalna geodezijska γ duжine manje od δ koja ih spaja. U dokazu vidimo da γ diferencijabilno zavisi od (p, q) na slede i naqin: za dve date taqke (p, q) postoji jedinstveni tangentni vektor X p T p M (dat sa F 1 (p, q) = (p, X p )) koji diferencijabilno zavisi od (p, q) i vaжi dγ () = X dt p. Definicija Okolina W qija je egzistencija pokazana u prethodnoj teoremi se zove potpuno normalna okolina taqka p M. Posledica Ako deo po deo diferencijabilna kriva γ : [a, b] M, parametrizovana parametrom koji je proporcionalan duжini luka, ima duжinu manju ili jednaku duжini bilo koje druge krive koja spaja taqke γ(a) i γ(b) onda je γ geodezijska. Posebno, γ je regularna. Dokaz. Neka t [a, b] proizvoljno odabrano i W potpuno normalna okolina taqke γ(t). Tada postoji zatvoreni interval I [a, b], sa nepraznom unutraxnox u, tako da vaжi t I i γ(i) W. Restrikcija γ I : I W je deo po deo diferencijabilna kriva koja spaja dve taqke u normalnoj lopti. Na osnovu tvrđenja i pretpostavki ove posledice, l(γ I ) je jednako duжini radijalne geodezijske koja spaja ove dve taqke. Opet, iz tvrđenja i uslova da je γ I parametrizovana parametrom koji je proporcionalan duжini luka zakljuqujemo da je γ I geodezijska na I, odnosno da je dγ dt geodezijska na [a, b]. dγ dt (t) =, pa je γ 2.4 Varijacija energije Pokazali smo da geodezijske lokalno minimiziraju rastojanje. geodezijske videti kao rexenja varijacionog problema. U ovom delu emo Definicija Neka je c : [, 1] M deo po deo diferencijabilna kriva na M i = t < t 1 <... < t k+1 = 1 podela intervala [, 1] na podintervale [t i, t i+1 ] na kojima je c glatka kriva. Neprekidno preslikavanje f : ( ε, ε) [, 1] M takvo da je svaka od restrikcija na ( ε, ε) [t i, t i+1 ] glatka i da je f(, t) = c(t), t [, 1] naziva se varijacijom krive c. Kaжemo da je varijacija f varijacija sa fiksiranim krajevima ako je f(s, ) = c() i f(s, 1) = c(1) za svako s ( ε, ε). Ako je f diferencijabilno preslikavanje kaжemo da je ta varijacija diferencijabilna. Vektorsko polje X(t) = f s (s, t) s= duж krive c nazivamo poljem varijacije. Tvrđenje Neka je c : [, 1] M deo po deo diferencijabilna kriva i X(t) deo po deo diferencijabilno polje duж krive c. Tada postoji varijacija f : ( ε, ε) [, 1] M krive c takva da je X(t) polje varijacije preslikavanja f. Ako je X() = X(1) = onda varijaciju f moжemo da izaberemo tako da bude varijacija sa fiksiranim krajevima.

14 GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 13 Slika 2. Varijacija krive i polje varijacije Dokaz. c([, 1]) M je kompaktan skup, a mi emo pokazati da postoji δ > takvo da je exp c(t) X, t [, 1], dobro definisano za svako X T c(t) M ako je X < δ. Neka je za svako c(t), t [, 1], W t njegova normalna okolina i δ t broj koji smo dobili u teoremi t [,1] W t je otvoreno pokrivanje kompaktnog skupa c([, 1]), pa moжemo izdvojiti konaqno podpokrivanje W 1,... W n. Uzmemo δ = min{δ 1,... δ n }, gde je δ i > broj pridruжen okolini W i. Neka je N = max X(t), ε < δ i definiximo preslikavanje f sa: t [,1] N f(s, t) = exp c(t) (sx(t)), s ( ε, ε), t [, 1]. Vidimo da je f dobro definisano preslikavanje, sx(t) = s X(t) < δ N = δ. Kako N je exp c(t) (sx(t)) = γ(1, c(t), sx(t)) i geodezijska γ(1, c(t), sx(t)) zavisi diferencijabilno od poqetnih uslova, preslikavanje f je deo po deo diferencijabilno. Provera daje f(, t) = c(t). Polje varijacije preslikavanja f je f s (, t) = d ds (exp c(t)(sx(t))) = (d exp c(t) ) X(t) = X(t). Ako je X() = X(1) = onda je f(s, ) = c() i f(s, 1) = c(1) pa e f biti varijacija sa fiksiranim krajevima. Da bismo uporedili duжinu krive c sa duжinama krivih koje dobijemo varijacijom f : ( ε, ε) [, 1] M definisa emo funkciju L : ( ε, ε) R sa: L(s) = f t (s, t) dt.

15 GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 14 Uvex emo i funkciju energije, E : ( ε, ε) R, koju definixemo sa: E(s) = f t (s, t) 2 dt. Koriste i Xvarcovu nejednakost ( f(t) g(t) dt) 2 f 2 (t) dt g2 (t) dt, specijalno za funkcije f 1 i g(t) = dc dt, dobijemo relaciju: ( L 2 () = L 2 (c) = dc ) 2 dt 1 dt dc 2 dt = 1 E() = E(c), dt dt gde su sa L(c) i E(c) oznaqene duжina i energija krive c. U gornjoj nejednakosti jednakost vaжi ako su funcije f i g proporcionalne, odnosno ako je funkcija g konstantna, xto e vaжiti ako je parametar t proporcionalan duжini luka. Lema Neka su taqke p, q M i γ : [, 1] M minimalna geodezijska (geodezijska najmanje duжine) koja spaja taqke p i q. Tada za svaku krivu c : [, 1] M koja spaja taqke p i q vaжi: E(γ) E(c), pri qemu jednakost vaжi ako i samo ako je c minimalna geodezijska. Dokaz. Pokazali smo da je L(c) 2 E(c) i znamo da je γ geodezijska pa vaжe nejednakosti: E(γ) = L(γ) 2 L(c) 2 E(c). Ako vaжi jednakost tada je L(c) 2 = E(c), pa je kriva c parametrizovana parametrom koji je proporcionalan duжini luka, i vaжi L(γ) = L(c), odakle zakljuqujemo da je c minimalna geodezijska. Sada nas interesuje ponaxanje funkcije energije varijacije, E(s). Neke njene osobine moжemo znati na osnovu prvog izvoda. Tvrđenje Formula prve varijacije energije krive Neka je c : [, 1] M deo po deo diferencijabilna kriva i f : ( ε, ε) [, 1] M varijacija krive c. Ako je E : ( ε, ε) [, 1] R energija varijacije f tada je: 1 2 E () = X(t), D dc dt dt dt gde je X(t) polje varijacije i dc(t dc dt i±) = lim t t i ± dt. t i k i=1 X(ti ), dc dt (t i+) dc dt (t i ) X(), dc dt () + X(1), dc dt (1) ti+1 f Dokaz. Po definiciji je E(s) = t, f k f dt = t i= t i t, f dt. Diferenciranjem t pod znakom integrala, koriste i osobinu povezanosti da je simetriqna, dobijamo: d ti+1 f ds t, f ti+1 D f dt =2 t ds t, f ti+1 D f dt = 2 t dt s, f dt t =2 t i ti+1 t i f =2 s, f t d f dt s, f t t i+1 t i 2 dt 2 ti+1 t i t i ti+1 t i f s, D dt f s, D dt dt. f t f t dt (2)

16 GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 15 Dalje, kada prosumiramo po ovakvim podintervalima: 1 de 2 ds = k i= f s, f t i+1 t t i f s, D f dt. dt t Specijalno, za s = dobijemo ono xto je trebalo pokazati. Posledica Deo po deo diferencijabilna kriva γ : [, 1] M je geodezijska ako i samo ako za svaku varijaciju sa fiksiranim krajevima f krive γ vaжi da je de () =. ds Dokaz. Ako je γ geodezijska i f varijacija sa fiksiranim krajevima, tada je D dγ =, dt dt γ je regularna kriva i X() = X(1) =, pa su svi qlanovi u (2) jednaki. Time e vaжiti da je de () =. ds Obrnuto, neka je de () = za svaku pravu varijaciju deo po deo diferencijabilne krive ds γ. Neka je X(t) = g(t) D dγ, gde je g : [, 1] R deo po deo diferencijabilna funkcija dt dt za koju vaжi g(t) > kada je t t i i g(t i ) =, i =, 1,..., k + 1. Konstruximo sada varijaciju krive γ qije je polje varijacije X(t). Kako je 1 de 2 ds () = D dγ g(t) dt dt, D dγ dt = dt dt zakljuqujemo da je D dγ = na svakom intervalu (t dt dt i, t i+1 ), i =, 1,..., k. Treba jox proveriti da li je D dγ = u taqkama t dt dt i. Posmatrajmo drugo polje varijacije Y (t) takvo da je Y () = Y (1) = i Y (t i ) = dγ (t dt i+) dγ (t dt i ), i = 1,..., k. Kako je γ geodezijska, vaжi e: = 1 de k dγ 2 ds () = dt (t i+) dγ dt (t i ), dγ dt (t i+) dγ dt (t i ) = i=1 k dγ dt (t i+) dγ dt (t i ) 2. Zakljuqujemo da je dγ (t dt i+) = dγ (t dt i ) u svakoj taqi t i, i = 1,..., k, pa je kriva γ klase C 1 u tim taqkama, odnosno, i tu e vaжiti D dγ =. Pokazali smo da je γ geodezijska na dt dt intervalu (, 1). Prema teoremi o jedinstvenosti rexenja diferencijalnih jednaqina γ je klase C, pa je ona geodezijska na [, 1]. Napomena Primetimo da iz uslova D dγ = sledi da kriva γ jeste klase C, dt dt iako je u formulaciji Formule prve varijacije energije krive dovoljno pretpostaviti da je γ deo po deo C 2. Zahtev da γ jeste ekstremala funkcionala energije povlaqi njenu glatkost klase C. Sada geodezijske moжemo da vidimo kao kritiqne taqke funkcionala energije na prostoru varijacija krive sa fiksiranim krajevima. Osobina geodezijskih da daju minimalno rastojanje je bila lokalna, dok je ova osobina globalnog karaktera. i=1

17 GLAVA 3 Hoferova metrika na grupi Hamiltonovih difeomorfizama 3.1 Grupa Hamiltonovih difeomorfizama Neka je M glatka mnogostrukost bez granice. Za difeomorfizam φ : M M definixemo njegov nosaq kao skup supp(φ) = {x M φx x}. Sa Diff c (M) emo oznaqiti grupu difeomorfizama sa kompaktnim nosaqem. Definicija Neka je I R interval. Put difeomorfizama je preslikavanje sa svojstvima: f : I Diff c (M), t f t preslikavanje M I M, koje paru (x, t) dodeljuje f t x je glatko postoji kompaktan podskup K M koji sadrжi nosaqe supp(f t ) za svako t I. Ovakav put difeomorfizama oznaqavamo sa {f t }. Moжemo primetiti da je drugi uslov na zatvorenim mnogostrukostima (kompaktna mnogostrukost, bez granice) automatski zadovoljen. Definicija Neka je {f t } put difeomorfizama. Familiju vektorskih polja {ξ t }, t I, na M, koja se definixe sa d dt f tx = ξ t (f t x) (1) nazivamo vremenski zavisno vektorsko polje na M sa kompaktnim nosaqem. Ova familija je glatka i ima kompaktan nosaq jer je ξ t (x) = za svako x M\K. Veza koju smo uspostavili između puta difeomorfizama i ovakvih vektorskih polja nije injektivna. Svaka familija {f t g} gde je g proizvoljan element iz Diff c (M) generixe istu vremenski zavisnu familiju vektorskih polja. Ako nametnemo dodatni uslov, ova veza moжe biti injektivna. Fiksirajmo neki broj s I. Tada e postojati jedinstveni put {f t } koji generixe {ξ t } i zadovoljava dodatni uslov f s = Id. Taj put predstavlja jedinstveno rexenje diferencijalne jednaqine (1) sa poqetnim uslovom f s = Id. Na dalje emo pretpostaviti da I. 16

18 GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) 17 Definicija Ovako konstruisan put difeomorfizama {f t } koji zadovoljava dodatni uslov f = Id naziva se tok vremenski zavisnog vektorskog polja {ξ t }. Definicija Simplektiqka forma na glatkoj mnogostrukosti M je diferencijalna 2-forma ω koja je (i) nedegenerisana, xto znaqi da za svako X p T p M postoji Y p T p M takvo da je ω(x p, Y p ), (ii) zatvorena, tj. dω =. Mnogostrukost na kojoj je definisana simplektiqka forma zove se simplektiqka mnogostrukost. Neka su (M 1, ω 1 ) i (M 2, ω 2 ) dve simplektiqke mnogostrukosti. Kaжemo da je preslikavanje f : M 1 M 2 simplektomorfizam ako vaжi f ω 2 = ω 1. Neka je (M, ω) simplektiqka mnogostrukost. Formu Vol = 1 n! ωn zovemo kanonska forma zapremine na (M, ω). Definicija Neka je H glatka funkcija na M, H : M R. Vektorsko polje ξ na M se naziva Hamiltonovo vektorsko polje od H ako u svakoj taqki vaжi: i ξ ω = dh. Kako je ω nedegenerisana forma ξ e uvek postojati i bi e jedinstveno. Ovo vektorsko polje ξ emo oznaqavati i sa ξ = sgrad H (skew gradient). Primer Pokazati da u kanonskim lokalnim koordinatama (p, q) na M, za koje je n lokalno ω = dp j dq j, vaжi sgrad H = ( H, H ). q p j=1 Rexenje. Oznaqimo ω = i n i=1 dp i dq i = dp dq, ξ = ξ 1 p + ξ 2 q i ξ ω(x) = ω(ξ, X) = (dp dq)(ξ, X) = dp(ξ) dp(x) dh(x) = H p i X = X 1 + X p 2. Tada je: q dq(ξ) dq(x) = ξ 1 ξ 2 X 1 X 2 = ξ 1X 2 ξ 2 X 1 H H dp(x) + dq(x) = q p X 1 + H q X 2 za svako X T M. Sada iskoristimo jednakost i ξ ω(x) = dh(x) i zakljuqujemo da vaжi ξ = sgrad H = (ξ 1, ξ 2 ) = ( H, H ). q p Posmatrajmo sada R 2n sa standardnom simplektiqkom formom ω = n i=1 dp j dq j gde su (p 1,..., p n, q 1,..., q n ) lokalne koordinate na R 2n. Prostor R 2n moжemo identifikovati sa C n. Oznaqimo sa H gradijent funkcije H u odnosu na standardni skalarni proizvod: H(x), v = dh(x)v za svako v T x R 2n. Vidimo da vaжi sgrad H(x) = ( H, ) H q p = i H(x) = i ( H, ) H p q Tx C n. Primer Neka je φ : M M simplektomorfizam. Pokazati da je tada: za svaku funkciju H na M. sgrad(h φ 1 ) = φ sgrad H,

19 GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) 18 Rexenje. Neka je ξ = sgrad H i η = sgrad(h φ 1 ). Tada je i η ω = d(h φ 1 ) i i ξ ω = dh. Ho emo da pokaжemo da vaжi: η = φ ξ. Vaжi: i η ω = d(h φ 1 ) = d((φ 1 ) H) = (φ 1 ) dh, gde poslednja nejednakost vaжi zato xto pull-back i operator d komutiraju. Dalje je: i η ω = (φ 1 ) i ξ ω. Ho emo da pokaжemo da vaжi (φ 1 ) i ξ ω = i φ ξω odakle dobijamo jednakost η = φ ξ. Neka je X proizvoljni tangentni vektor. Tada je: (φ 1 ) i ξ ω(x) = i ξ ω((φ 1 ) X) = ω(ξ, (φ 1 ) X), i φ ξω(x) = ω(φ ξ, X) = (φ 1 ) ω(φ ξ, X) = ω((φ 1 ) φ ξ, (φ 1 ) X) = ω(ξ, (φ 1 ) X), pri qemu druga jednakost vaжi jer je φ, pa i φ 1, simplektomorfizam. Primetimo da definicija operatora sgrad ne zavisi od koordinata na mnogostrukosti. Fazni prostor u klasiqnoj mehanici je jedna simplektiqka mnogostrukost (M, ω). Energija sistema određuje njegovu evoluciju. Energiju moжemo da vidimo kao familiju funkcija H t na M, koja e zavisiti od dodatnog parametra, vremena t koje je definisano na nekom intervalu I. Sa druge strane, energiju moжemo da vidimo kao jednu funkciju, sada definisanu na M I. Koristi emo oznake H t (x) = H(t, x). Ovakva funkcija H se naziva vremenski zavisni Hamiltonijan. Uvex emo jedan linearni funkcionalni prostor H(M). Kada je M zatvorena mnogostrukost, H(M) se definixe kao prostor svih glatkih funkcija na M qija je srednja vrednost u odnosu na kanonsku formu zapremine jednaka, H(M) = {f : M R f C (M), f Vol = }. Ako je M otvorena mnogostrukost, H(M) se sastoji od svih glatkih funkcija sa kompaktnim nosaqem. Definicija Neka je I R interval. Kaжemo da je vremenski zavisan Hamiltonijan H na M I normalizovan ako H t pripada prostoru H(M) za svako t I. U sluqaju otvorene mnogostrukosti mora postojati kompaktan podskup od M koji sadrжi supp H t = {x M H t x } za svako t I. Na dalje emo posmatrati samo normalizovane Hamiltonijane. Ako radimo sa otvorenim mnogostrukostima moramo uvesti neke dodatne pretpostavke o ponaxanju Hamiltonijana u beskonaqnosti, da bi rexenja Hamiltonovih jednaqina bila dobro definisana. Vremenski zavisno Hamiltonovo vektorsko polje sgrad H t normalizovane Hamiltonove funkcije H ima kompaktan nosaq. Dalje, preslikavanje koje svakoj funkciji iz H(M) dodeljuje Hamiltonovo vektorsko polje je injektivno. Hamiltonovo vektorsko polje određuje odgovaraju u funkciju do na konstantu. Mi smo uslovom normalizacije odredili da ta konstanta bude.

20 GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) 19 Definicija Neka je H : M I R normalizovan vremenski zavisan Hamiltonijan i neka interval I sadrжi. Neka je {φ t } tok vremenski zavisnog vektorskog polja sgrad H t. Kaжemo da je {φ t } Hamiltonov tok generisan Hamiltonijanom H. Svaki pojedinaqni difeomorfizam φ a, a I, ovog toka se naziva Hamiltonov difeomorfizam. Uslov normalizovanosti funkcije H nam obezbeđuje da Hamiltonovi difeomorfizmi imaju kompaktne nosaqe. Oznaqimo sa Ham(M, ω) skup svih Hamiltonovih difeomorfizama. Teorema Kartanova formula Neka je α k-forma na M, φ t : M M glatka familija preslikavanja i X(φ t (x)) = d dt φ t(x). Tada je: d dt φ t α = φ t (d(x α) + X dα). Dokaz. Dokaz emo izvesti indukcijom po k. Za k = prethodna formula ima oblik d dt φ t f = φ t df(x), xto je samo reformulacija definicije izvoda funkcije f u pravcu X. Neka je β (k + 1)-forma. Moжemo je zapisati kao β = df α, pa koriste i induktivnu pretpostavku i osobine diferenciranja imamo d dt φ t (df α) = d dt φ t df φ t α + φ t df d dt φ t α = φ t [d(x df) α + df (X dα) + df d(x α)] i φ t [X d(df α) + d(x (df α))] = = φ t [ X (df dα) + d((x df) α df (X α))] = φ t [d(x df) α + df (X dα) + df d(x α)]. Primer Reparametrizacija toka Neka je {φ t }, t [, a] Hamiltonov tok generisan normalizovanim Hamiltonijanom H(x, t). Pokazati da je {φ at }, t [, 1] Hamiltonov tok, generisan funkcijom ah(x, at). Rexenje. Neka je sgrad H t = ξ t i neka je sgrad(ah(x, at)) = η t i oznaqimo sa ψ t = φ at. Znamo da je φ = Id pa je i ψ = Id. Vaжi i d dt φ tx = ξ t (φ t x) a mi ho emo da pokaжemo da vaжi d dt ψ tx = η t (ψ t x). d dt ψ tx = d dt φ atx = a d du φ ux u=at = aξ u (φ u x) u=at = a sgrad H at (φ at x) = sgrad(ah at )(ψ t x) = η t (ψ t x). A to je i trebalo pokazati. Ovaj primer nam pokazuje da svaki Hamiltonov difeomorfizam moжemo da vidimo kao φ 1 nekog Hamiltonovog toka. Na dalje emo pretpostaviti da je I = [, 1]. Lema Hamiltonovi difeomorfizmi quvaju simplektiqku formu. Dokaz. Neka je φ : M M Hamiltonov difeomorfizam. To znaqi da postoji tok difeomorfizama {φ t } generisan Hamiltonijanom H(x, t), t [, 1], tako da vaжi

21 GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) 2 φ = Id, φ 1 = φ i X t (φ t (x)) = d dt φ t(x) gde je X t = sgrad H t. Prema Kartanovoj formuli za svaku k-formu α na mnogostrukosti M vaжi: d dt φ t α = φ t (d(x t α) + X t dα). Specijalno za α = ω dobijamo da vaжi relacija: d dt φ t ω = φ t (d(x t ω) + X t dω) = φ t ( ddh + ) =. Zakljuqujemo da je φ t ω = Const, a znaju i da je φ = Id, odnosno φ ω = ω dobijamo da je φ t ω = ω za svako t [, 1] pa i specijalno za φ 1 = φ. Tvrđenje Za svaki put Hamiltonijana {φ t }, t I, postoji vremenski zavisan normalizovan Hamiltonijan H : M I R tako da vaжi: za svako x M i t I. d dt φ tx = sgrad H t (φ t x) Dokaz. Tvrđenje se jednostavno dokazuje ako mnogostrukost ima trivijalnu prvu de Ramovu kohomologiju sa kompaktnim nosaqem, H dr,c (M) =. Oznaqimo sa ξ t vektorsko polje generisano sa φ t. Kako Hamiltonovi difeomorfizmi quvaju simplektiqku formu iz Kartanove formule sledi da je d(ξ t ω) =, odnosno ξ t ω je zatvorena forma. Kako je H dr,c (M) = forma ξ t ω e biti i taqna. Na osnovu toga sledi da postoji glatka familija funkcija H t (x) H(M) tako da vaжi dh t = ξ t ω. Funkcija H(x, t) e biti Hamiltonijan koji generixe {φ t }. U opxtem sluqaju, kada je H dr,c (M), dokaz je netrivijalan i moжe se na i u [1], [3]. Ovo tvrđenje nam pokazuje da vektorsko polje koje odgovara toku Hamiltonovih difeomorfizama jeste Hamiltonovo vektorsko polje. Tvrđenje Hamiltonijan proizvoda Neka su φ t i χ t Hamiltonovi putevi generisani normalizovanim Hamiltonijanima H i G. Tada je njihov proizvod ψ t = φ t χ t Hamiltonov put generisan normalizovanom Hamiltonovom funkcijom F (x, t) = H(x, t) + G(φ 1 t x, t). Dokaz. Znamo da je d dt φ tx = sgrad H t i d dt χ tx = sgrad G t. Tada je d dt (φ tχ t )x = sgrad H t + φ t sgrad G t. U primeru smo pokazali da je sgrad(g φ 1 t ) = φ t sgrad G t pa zakljuqujemo da vaжi: d dt ψ tx = sgrad(h t + G φ 1 t ) = sgrad F t.

22 GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) 21 Posledica Skup Hamiltonovih difeomorfizama je grupa u odnosu na kompoziciju. Dokaz. Neka su φ i χ dva Hamiltonova difeomorfizma. Tada postoje putevi {φ t } i {χ t }, t [, 1], takvi da je φ 1 = φ i χ 1 = χ. Prema prethodnom tvrđenju put {ψ t } = {φ t χ t }, e takođe biti Hamiltonov, pa e i difeomorfizam φχ = ψ 1 biti Hamiltonov, odnosno kompozicija dva elementa grupe Ham(M, ω) ostaje u istoj grupi. Neka je sada φ proizvoljan Hamiltonov difeomorfizam. Ho emo da pokaжemo da e i difeomorfizam φ 1 biti Hamiltonov. Neka je φ = φ 1, gde je {φ t }, t [, 1], Hamiltonov tok generisan funkcijom H(x, t). Ho emo da pokaжemo da je {φ 1 t } Hamiltonov tok generisan Hamiltonijanom H(φ t x, t). Oznaqimo sa G(x, t) Hamiltonijan koji generixe tok φ 1 t. Ako postupimo kao u dokazu tvrđenja i diferenciramo po t preslikavanje φ t φ 1 t = Id dobijemo: = d dt (φ t φ 1 t )x = sgrad H(x, t) + φ t sgrad G(x, t) = sgrad(h(x, t) + G(x, t) φt 1 ). Zaljkuqujemo da je H(x, t) + G(φ 1 t x, t) =, odnosno da je G(x, t) = H(φ t x, t). Vidimo, dakle, da se i φ 1 nalazi u grupi Ham(M, ω). Tvrđenje Ham(M, ω) je normalna i putno povezana podgrupa grupe simplektomorfizama Symp(M, ω). Dokaz. U lemi smo pokazali da Hamiltonovi difeomorfizmi quvaju simplektiqu formu, u posledici smo pokazali da oni qine grupu, pa Ham(M, ω) jeste podgrupa grupe Symp(M, ω). Putna povezanost sledi iz naqina na koji smo definisali elemente grupe Ham(M, ω), svi oni su putno povezani sa identiqnim preslikavanjem. Treba jox pokazati da je Ham(M, ω) normalna podgrupa. Neka su φ Ham(M, ω) i f Symp(M, ω) proizvoljni elementi. Ako je {φ t } tok Hamiltonovih difeomorfizama, φ 1 = φ, generisan Hamiltonijanom H tada je f 1 φ t f tok Hamiltonovih difeomorfizama generisan Hamiltonijanom H f. Pa e i f 1 φ f biti Hamiltonov difeomorfizam. 3.2 Lijeva algebra i grupa Ham(M, ω) Definicija Grupa (G, ) koja je glatka mnogostrukost i u kojoj su operacije : G G G i ( ) 1 : G G glatke naziva se Lijevom grupom. Definicija Vektorski prostor V nad poljem K snabdeven binarnom bilinearnom kososimetriqnom operacijom [, ] koja zadovoljava Jakobijev identitet, odnosno za koju vaжi: (i) [aa + bb, C] = a[a, C] + b[b, C], a, b K, A, B, C V (ii) [A, B] = [B, A], A, B V (iii) = [[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B], A, B, C V naziva se Lijevom algebrom.

23 GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) 22 Ako je {e 1,..., e n } proizvoljna baza algebre V tada je proizvod dva bazna elementa linearna kombinacija elemenata baze: e i e j = c k ije k gde se koeficijenti c k ij K n nazivaju strukturne konstante. k=1 Definicija Lijeva algebra L(G) Lijeve grupe G je tangentni prostor u jediniqnom elementu, pri qemu je komutator određen strukturnim konstantama c k ij koordinatnog bazisa karte sa kanoniqnim koordinatama. Od koristi e nam biti da Ham(M, ω) vidimo kao Lijevu grupu. Zapravo, Ham(M, ω) moжemo da posmatramo kao Lijevu podgrupu u grupi svih difeomorfizama na mnogostrukosti M. Lijevu algebru Lijeve grupe Ham(M, ω) e qiniti vektorska polja ξ na M oblika ξ(x) = d dt φ tx t=, gde je {φ t } gladak put na Ham(M, ω) za koji je φ = Id. Svako ovakvo vektorsko polje je Hamiltonovo. Vaжi, ξ = sgrad H (x), gde je H(x, t) jedinstveni normalizovani Hamiltonijan koji generixe put {φ t }. Primetimo da H = H(, ) H(M). Moжe da se uspostavi i obrnuta veza. Za svaku funkciju H H(M) vektorsko polje sgrad H je po definiciji izvod u taqki t = odgovaraju eg Hamiltonovog toka. Zakljuqujemo da Lijevu algebru grupe Ham(M, ω) moжemo identifikovati sa H(M). Definicija Levo (desno) dejstvo Lijeve grupe G na mnogostrukost M je glatko preslikavanje M G M, (x, g) g x koje zadovoljava uslove: e x = x i g (h x) = (gh) x (odnosno g (h x) = (hg) x). Sada жelimo da konstruixemo jedno dejstvo Lijeve grupe na Lijevu algebru. Neka je f Ham(M, ω) i G element Lijeve algebre H(M). Neka je {g t }, g = Id put elemenata Lijeve grupe koji je tangentan na G. To znaqi da je normalizovan Hamiltonijan koji generixe tok {g t } u trenutku t = jednak G. Dejstvo elementa f na G je po definiciji: Ad f G = d dt (fg tf 1 ) t=. Diferenciranjem se dobije da je vektorsko polje na desnoj strani f sgrad G, tj. sgrad(g f 1 ), pa je ovo dejstvo u stvari: Ad f G = G f 1. Dejstvo grupe Ham(M, ω) na algebru H(M) je dejstvo difeomorfizma na funkciju. Preostaje nam da definixemo Lijeve zagrade na algebri H(M). Neka su F, G H(M) proizvoljni elementi i neka je {f t }, f = Id put Hamiltonovih difeomorfizama tangentan na F u taqki t =. Lijeva zagrada {F, G} se naziva Poasonova zagrada i definixe se sa: {F, G} = d dt (Ad f t G) t=. Raqunanjem izraza na desnoj strani dobijemo da vaжi: {F, G} = dg(sgrad F ) = ω(sgrad G, sgrad F ).

24 GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) Algebarske osobine grupe Ham(M, ω) Sada nas interesuju algebarske osobine grupe Ham(M, ω). Teorema Neka je (M, ω) zatvorena simplektiqka mnogostrukost. Tada je grupa Ham(M, ω) prosta. Dokaz. [1], [2]. Tvrđenje Neka su {φ t } i {χ t } Hamiltonovi tokovi generisani normalizovanim vremenski zavisnim Hamiltonijanima H i G. Ako je φ t χ t = χ t φ t za svako t I tada je {H, G} =. Dokaz. Iz jednakosti Hamiltonovih tokova φ t χ t i χ t φ t sledi jednakost njihovih normalizovanih Hamiltonijana u svakoj taqki i za svako t: H(x) + G(φ 1 t Diferenciranjem relacije po t dobijamo: (x)) = G(x) + H(χ 1 (x)). dg( sgrad H) = dh( sgrad G) odnosno {H, G} = {G, H}. Kako je Lijeva zagrada antikomutativna, zakljuqujemo {H, G} =. Znamo da je Abelova grupa prosta ako svaki element generixe celu grupu, pa je ona cikliqna grupa qiji je red prost broj. Proste grupe se, u opxtem sluqaju, razlikuju od Abelovih. Slede e tvrđenje nam pokazuje da gupa Ham(M, ω) nije Abelova i daje nam naqin da nađemo veliki broj elemenata koji ne komutiraju. Tvrđenje Neka je (M, ω) simplektiqka mnogostrukost i U M otvoren neprazan podskup. Tada postoje φ, χ Ham(M, ω) takvi da je supp(φ), supp(χ) U i φχ χφ. Dokaz. Izaberimo proizvoljnu taqku x U i tangentne vektore ξ, η T x U takve da je ω(ξ, η). Koriste i lokalne kanonske koordinate oko taqke x moжemo na i funkcije F i G za koje vaжi sgrad F (x) = ξ i sgrad G(x) = η. Produжimo ove funkcije sa van skupa U. Ako je M zatvorena mnogostrukost treba dodati konstantu ovim funkcijama da bi one zadovoljavale uslov da im je srednja vrednost jednaka. Sada nam funkcije F i G pripadaju H(M). One su konstantne van skupa U, pa odgovaraju i difeomorfizmi φ t i χ t imaju nosaqe u U. Kako je {F, G}, prema prethodnom tvrđenju, za neko t difeomorfizmi φ t i χ t ne komutiraju. Teorema Neka su (M 1, ω 1 ) i (M 2, ω 2 ) zatvorene simplektiqke mnogostrukosti qije su grupe Hamiltonovih difeomorfizama izomorfne. Tada su mnogostrukosti konformno simplektomorfne, odnosno, postoji difeomorfizam f : M 1 M 2 i broj c tako da vaжi f ω 2 = c ω 1. Dokaz. [2] Algebarska struktura grupe Hamiltonovih difeomorfizama određuje simplektiqku mnogostrukost do na faktor. t

25 GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) Hoferova metrika Neka je L(G) Lijeva algebra konaqno dimenzione Lijeve grupe G. Za normu na L(G) kaжemo da je invarijantna pri dejstvu grupe G ako vaжi ξ = g 1 ξg za svako ξ L(G) i svako g G. g 1 ξg se definixe kao izvod krive R G, t g 1 exp(tξ) g u taqki t =. Svaka ovakva norma daje metriku na G sa: d(g, g 1 ) = inf g ġ(t)g(t) 1 dt za g, g 1 G. Infimum je uzet po svim putevima g : [, 1] G koji povezuju g = g() i g 1 = g(1). Prirodno je postaviti pitanje koja od normi p na H(M), 1 p, koje su date sa H p = ( M H p ω n) 1 p definixe metriku na Ham(M, ω). Pozitivan odgovor e biti samo u sluqaju p =. Definicija Neka je F H(M). Na H(M) definixemo normu sa: Tvrđenje Norma zadovoljava za svako F H(M), ψ Ham(M, ω). F = max F (x) min F. x M x M F ψ 1 = F Dokaz. Kako je ψ difeomorfizam skupovi M i ψ 1 (M) su jednaki pa vaжi max F x M (ψ 1 x) = max F (x) i min F x M x M (ψ 1 x) = min F (x). Iz ovih jednakosti sledi tvrđenje. x M Definicija Neka je {h t }, t [a, b], Hamiltonov put generisan normalizovanim Hamiltonijanom H(x, t). Njegovu duжinu definixemo sa: l{h t } = b a H t dt. Koristi emo i oznake za pozitivan i negativan deo duжine puta: l + {h t } = H + = l {h t } = H = max H t dt, min H t dt. Rastojanje između dva Hamiltonova difeomorfizma se definixe sa: d(φ, ψ) = inf l{h t } gde je infimum uzet po svim Hamiltonovim putevima {h t }, t [a, b], za koje vaжi h a = φ i h b = ψ.

26 GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) 25 Duжina Hamiltonovog puta ne zavisi od parametrizacije pa moжemo uzeti da je a =, b = 1. Ovako definisano rastojanje e zadovoljavati slede e osobine: d(φ, ψ) = d(ψ, φ) d(φ, θ) d(φ, ψ) + d(ψ, θ) d(φ, ψ) Tvrđenje Funkcija d je biinvarijantna, vaжi za svako φ, ψ, θ Ham(M, ω). d(φ, ψ) = d(φθ, ψθ) = d(θφ, θψ) Dokaz. Znamo da ako je {h t } Hamiltonov put u Ham(M, ω) tada je i {h t θ} Hamiltonov put za svako θ Ham(M, ω). Definiximo skupove X = { l{h t } h t Ham(M, ω), h a = φ, h b = ψ }, Y = { l{f t } f t Ham(M, ω), f a = φθ, f b = ψθ }. Vidimo da je d(φ, ψ) = inf X i da je d(φθ, ψθ) = inf Y. Ho emo da pokaжemo da vaжi jednakost skupova X i Y qime bismo pokazali da je i d(φ, ψ) = d(φθ, ψθ). Neka je x X proizvoljan broj. Tada postoji Hamiltonov put {h t }, h a = φ, h b = ψ, koji je generisan nekim Hamiltonijanom H. Put {f t } = {h t θ} e biti Hamiltonov put za koji vaжi f a = φθ, f b = ψθ i bi e generisan Hamiltonijanom F = Hθ. Pri tome e vaжiti l{f t } = b a F t dt = b a H t θ dt = b a H t dt = x xto znaqi da x pripada i skupu Y. Sliqno, ako krenemo od proizvoljnog elementa y Y kojem odgovara Hamiltonov put {f t } i definixemo familiju {h t } = {f t θ 1 } dobijamo da je l{h t } = y odnosno y pripada i skupu X. Time smo pokazali jednakost skupova X i Y. Na isti naqin se pokazuje da vaжi jednakost d(φ, ψ) = d(θφ, θψ). Ovako definisana funkcija d je jedna metrika na Ham(M, ω). Ovu teoremu je postavio i dokazao Hofer u [4] koriste i beskonaqno dimenzioni varijacioni metod. U [5] je Viterbo dokazao ovu teoremu za sluqaj M = R 2n koriste i generixu e funkcije. U [6] je dokazana toerema za veliku klasu simplektiqkih mnogostrukosti koje imaju fine osobine u beskonaqnosti. Taj dokaz je baziran na Gromovljevoj teoriji pseudoholomorfnih krivih, [17]. U [7] je teorema dokazana u opxtem sluqaju pomo u Gromovljeve teorije. Prirodno je posebno razmatrati pozitivan i negativan deo metrike d: d + (Id, φ) = inf d (Id, φ) = inf max F t dt, ( min F t ) dt, gde su infimumi uzeti po svim Hamiltonovim tokovima {φ t } koji su generisani normalizovanim Hamiltonijanom F (x, t) tako da vaжi φ 1 = φ. Oqigledno je da vaжi nejednakost d(id, φ) d + (Id, φ) + d (Id, φ). Da li uvek vaжi jednakost je otvoren problem.

27 GLAVA 4 Geodezijske linije u Hoferovoj metrici 4.1 Xta ako je M = R 2n U ovoj glavi emo raditi sa (R 2n, ω ) gde je ω standardna forma na R 2n, ω = n i=1 dp i dq i a (q 1,..., q n, p 1,..., p n ) su koordinate na R 2n. Znaju i da je prva de Ramova kohomologija od R 2n jednaka, HdR 1 (R2n ) =, moжemo zakljuqiti da je 2-forma ω taqna, odnosno da postoji 1-forma λ na R 2n za koju je ω = d λ. Proverom se vidi da vaжi ω = d( n i=1 p idq i ). U ovom sluqaju H(R 2n ) emo identifikovati sa C (R 2n ). Navex emo neke teoreme i definicije koje e nam trebati u ovom paragrafu. Teorema Darbu Svaka simplektiqka mnogostrukost je lokalno simplektomorfna mnogostrukosti (R 2n, dp i dq i ). Dokaz. Neka je (M, ω) proizvoljna simplektiqka mnogostrukost. Ho emo da pokaжemo da za svaku taqku a M postoje lokalne koordinate (U, ϕ), a U, pri qemu preslikavanje ϕ : (q 1,..., q n, p 1,..., p n ) b U M zadovoljava uslov ϕ() = a i ϕ ω = ω. Izaberimo oko taqke a proizvoljne lokalne koordinate (V, ψ) u kojima je ψ() = a. Sada formu ω lokalno moжemo posmatrati kao 2-formu na R 2n. Ho emo da konstruixemo difeomorfizam ϕ u okolini nule za koji vaжi ϕ() = i ϕ ω = ω. Posmatrajmo familiju formi: ω t = ω + t(ω ω ), t 1. Vidimo da je ω t = ω za t = i da je ω 1 = ω. Жelimo da nađemo familiju difeomorfizama ϕ t koji e zadovoljavati uslov ϕ = Id i jednaqinu (ϕ t ) ω t = ω, t 1. (1) Difeomorfizam ϕ t za t = 1 e biti traжena funkcija. Sa X t oznaqimo vektorsko polje koje generixe ϕ t kao svoj tok. Diferenciranjem jednaqine (1) po t vidimo da takvo vektorsko polje X t zadovoljava identitet: = d dt (ϕt ) ω t = (ϕ t ) {L Xt ω t + d } dt ω t, 26