UVOD U TEORIJU MODELA

Transcript

1 UVOD U TEORIJU MODELA Predrag Tanovi April 5, Strukture prvog reda Strukture Formule, zadovoljivost Parametri Definabilni skupovi Teorije Podstrukture i utapanja Izomorfizmi i automorfizmi Kompaktnost Kanonski model generisan konstantama Teorema kompaktnosti Ekvivalent kompaktnosti Potpune teorije

2 1. Strukture prvog reda 1.1 Strukture U matematici pod pojmom strukture podrazumevamo skup M na kome su definisane određene relacije i funkcije, i posebno izdvojeni određeni elementi. Na primer, pod pojmom uređenog polja realnih brojeva podrazumevamo strukturu (R, +,,, 0, 1) koju qine skup realnih brojeva sa izdvojenim operacijam sabiranja i mnoжenja, relacijom uređenja i posebno izdvojenim realnim brojevima (konstantama) 0 i 1. Znaqajne strukture u matematici su i parcijalna uređenja, grafovi, grupe, prsteni, polja, vektorski prostori,... Osobine struktura koje nas interesuju izraжavamo formulama. Da bismo gradili formule, koje su nizovi određenih simbola, prvo biramo simbole koji predstavljaju imena operacija, relacija i konstanti strukture: Signatura L se sastoji od slede ih, međusobno disjunktnih delova: Skupa funkcijskih simbola F, pri qemu za svaki simbol f F imamo zadat prirodan broj n f (koji predstavlja duжinu, ili arnost, operacije koju predstavlja simbol f); Skupa relacijskih simbola R; za svaki R R imamo zadat prirodan broj n R (koji predstavlja duжinu, ili arnost, operacija koju oznaqava) Skupa simbola konstanti C. Struktura signature L (L-struktura, ili model signature L), je struktura M = (M, f M, R M, c M ) f F,R R,c C pri qemu: Skup M je neprazan i naziva se domen ili nosaq strukture; f M : M n f M funkcija (operacija) na skupu M duжine nf N za f F; R M M n R relacija duжine n R N za R R; c M M za c C. Jezik signature L je skup svih simbola potrebnih za građenje formula. Saqinjavaju ga simboli signature L kao i: Simboli logiqkih veznika: Simboli kvantifikatora Simbol jednakosti 2

3 Simboli leve i desne zagrade i zapeta: ( ), Prebrojiv skup promenljivih: v 0 v 1 v Izraz ili term signature L je qlan najmanjeg skupa reqi (nizova simbola) jezika koji zadovoljava: Svaka promenljiva i simbol konstante je izraz; Ako f F i t 1,..., t nf su izrazi, tada je i f(t 1,..., t nf ) izraz. Sloжenost izraza definixemo kao broj (raqunaju i vixestrukost) funkcijskih znakova koji uqestvuju u njegovom građenju. Zatvoreni izrazi su oni u qijem građenju ne uqestvuju promenljive. Ako je f binarni funkcijski znak, onda izraz f(t 1, t 2 ) zapisujemo i kao (t 1 f t 2 ). Tako umesto (v 1, +(v 2, v 3 )) pixemo (v 1 (v 2 + v 3 )). Dodatno uprox avanje zapisa ovog izraza je primena tzv. konvencije o brisanju spoljnih zagrada izraza, kojom dobijamo uobiqajeni zapis v 1 (v 2 + v 3 ). Valuacija u modelu M je preslikavanje skupa promenljivih u domen modela M. Valuaciju tumaqimo kao dodeljivanje konkretnih vrednosti simbolima promenljivih. Za svaku valuaciju ν definixemo vrednost izraza pri toj valuaciji: t M [ν] = ν(v i ) ako je t promenljiva v i. t M [ν] = c M ako je t simbol konstante c C. t M [ν] = f M (t M 1 [ν],..., t M n f [ν]) ako je t oblika f(t 1,..., t nf ). Primetimo da je t M [ν] konkretan element domena M pa, ukoliko ν identifikujemo sa nizom (ν(v 0 ), ν(v 1 ),...) tada t M moжemo identifikovati sa funkcijom t M : M ω M. Iz definicije sledi da vrednost t M [ν] zavisi iskljuqivo od vrednosti valuacija promenljivih koje uqestvuju u građenju izraza t. Zato uvodimo slede u konvenciju. Konvencija Promenljive emo oznaqavati simbolima x, y, z, x 1,..., tako da svaki od tih simbola moжe oznaqavati bilo koju promenljivu v i. 2. Ako je t izraz, tada nizom simbola t(x 1,..., x n ) oznaqavamo qinjenicu da su jedine promenljive koje uqestvuju u građenju izraza t neke od x 1,..., x n (ali moжda ne sve); mi emo i ovakve reqi smatrati izrazima. Tako imamo da jednom istom izrazu odgovara vixe ovakvih novih izraza; ako je t izraz v 1 + v 2, tada ga zapisujemo i kao t i kao t(v 1, v 2 ), t(v 1, v 2, v 5 ), t(v 1, v 2, v 3, v 9 ),..., ali nikada kao t(v 1 ), t(v 2 ), t(v 1, v 7 ), t(v 2, v 3 ) Oznakom ū oznaqavamo neki konaqan niz (u 1,..., u n ), tj. n-torku, elemenata nekog skupa X. Broj n je duжina tog niza i oznaqava se sa ū. Ukoliko duжina niza nije vaжna u nekom kontekstu, koristi se i kra a (formalno nepravilna) oznaka ū X umesto ū X ū ). Ako je t(x 1,..., x n ) izraz i ā = (a 1,..., a n ) M n n-torka elemenata domena strukture M, tada sa t M (ā) oznaqavamo element t M [ν] domena, pri qemu je ν ma koja valuacija za koju vaжi ν(x i ) = a i (1 i n). Reinterpretacijom definicije vrednosti izraza pri valuaciji ν zakljuqujemo da za izraz t(x 1,..., x n ) i ā = (a 1,..., a n ) M n vaжi: t M (ā) = a i ako je t promenljiva x i. 3

4 t M (ā) = c M ako je t simbol konstante c C. t M (ā) = f M (t M 1 (ā),..., t M n f (ā)) ako je t( x) oblika f(t 1 ( x),..., t nf ( x)). Neformalno govore i, t M (ā) izraqunavamo tako xto u izrazu t svako pojavljivanje promenljive x i zamenimo elementom a i, simbol konstante c zamenimo sa c M i potom izraqunavanje vrximo koriste i funkcije f M umesto simbola f. Posebno, ako je t zatvoren term tada vrednost t M [ν] ne zavisi od valucije ν, tj. t M je konstantna funkcija qiju vrednost takođe oznaqavamo sa t M. Neka je x = (x 1,..., x n ) i neka su t( x), t 1,..., t n izrazi. t(t 1,..., t n ) je izraz koji dobijamo zamenom svakog pojavljivanja promenljive x i u formiranju izraza t izrazom t i. Naredno tvrđenje formalizuje prethodni neformalni opis izraqunavanja vrednosti izraza. Dokazuje se indukcijom po sloжenosti izraza. Lema Ako je x = (x 1,..., x m ), t 1 ( x), t 2 ( x),..., t n ( x) izrazi i s( x) je izraz oblika t(t 1,..., t n ), tada u svakoj L-strukturi M vaжi: s M (ā) = t M (t M 1 (ā),..., t M n (ā)). Atomske formule signature L su nizovi simbola oblika: (t 1 t 2 ) gde su t 1, t 2 izrazi; ili R(t 1,..., t nr ) gde su t 1,..., t nr izrazi i R relacijski znak duжine n R. Atomske formule oblika (t 1 t 2 ) u kojima se pojavljuje bar jedna promenljiva su jednaqine; npr. u jeziku teorije prstena {+,, 0, 1} formula x (1 + x) = x + (1 + 1). Atomske formule oblika R(t 1,..., t nr ) su, intuitivno, uopxtene nejednaqine; na primer, u jeziku uređenih prstena {+,,, 0, 1} takva je formula x (1 + x) x + (x + 1). Atomska formula je atomska reqenica ukoliko u njoj ne uqestvuje ni jedna promenljiva. Ako je φ atomska formula i x = (x 1,..., x n ) niz promenljivih, tada formulu φ oznaqavamo i sa φ( x) ukoliko su sve promenljive koje uqestvuju u građenju formule φ neke od x 1,..., x n. Sliqno kao i u sluqaju izraza, sa φ(t 1,..., t n ) oznaqavamo atomsku formulu dobijenu iz atomske formule φ(x 1,..., x n ) zamenom svakog pojavljivanja promenljive x i termom t i. Relaciju zadovoljenja atomske formule φ( x) na nizu elemenata ā domena strukture M, u oznaci M = φ[ā], određujemo na slede i naqin: M = (t 1 t 2 )[ā] ako i samo ako t M 1 (ā) = t M 2 (ā); M = R(t 1,..., t nr )[ā] ako i samo ako (t M 1 (ā),..., t M n R (ā)) R M. U ovoj definiciji za sluqaj atomske reqenice φ (bez istaknutih promenljivih) podrazumevamo slede e: ako je oblika t 1 t 2, gde su t 1 i t 2 zatvoreni izraza, tada M = (t 1 t 2 ) vaжi ako i samo ako je t M 1 = t M 2 ; ovde je, u skladu sa ranijom konvencijom, t M i M element domena modela koji je vrednost odgovaraju e konstantne funkcije. Sliqno podrazumevamo i za atomske reqenice oblika R(t 1,..., t nr ). Dakle, zadovoljenje atomske reqenice u modelu moжemo opisati na slede i naqin: Lema Ako je φ(x 1,..., x n ) atomska formula, t 1,..., t n zatvoreni izrazi i M model signature L tada vaжi: M = φ(t 1,..., t n ) ako i samo ako M = φ[t M 1,..., t M n ]. 4

5 1.2 Formule, zadovoljivost Formule logike prvog reda L ω,ω definixemo kao najmanji skup reqi (nizova simbola) jezika signature L koji zadovoljava: Atomske formule signature su formule prvog reda. Ako su ϕ i ψ formule prvog reda i x promenljiva, tada su i reqi ϕ (ϕ ψ) (ϕ ψ) x ϕ x ϕ formule prvog reda. Osim osnovnih logiqkih veznika koristi emo i ϕ ψ kao skra enicu za ϕ ψ, i ϕ ψ kao skra enicu za (ϕ ψ) (ψ ϕ). Sliqno se definixu i skra enice n i=1 φ i i n i=1 φ i. Sloжenost formule prvog reda je broj logiqkih veznika i kvantora, (raqunaju i i vixestrukost) koji se pojavljuju u njoj. Formule sloжenosti 0 su atomske formule koje, podsetimo, intuitiivno predstavljaju jednaqine i nejednakosti. Formule u kojime ne uqestvuju kvantifikatori, ili beskvantorne formule, intuitivno predstavljaju sisteme jednaqina i nejednaqina. Za promenljivu x koja se pojavljuje u formuli ϕ kaжemo da je vezana promenljiva u formuli ϕ ukoliko svako njeno pojavljivanjek dolazi pod dejstvo nekog kvantifikatora. U suprotnom kaжemo da je promenljiva x slobodna u formuli ϕ. Mogu e je precizno definisati kada je koje pojavljivanje promenljive u formuli slobodno a kada vezano, jer ista promenljiva u formuli moжe imati i slobodno i vezano pojavljivanje: na primer, u formuli x(x x) (x x) promenljiva x je slobodna, jer njeno javljanje u potformuli sa desne strane nije pod dejstvom kvantora; prva dva pojavljivanja promenljive x su vezana, a druga dva slobodna. Ta definicija je tehniqki zahtevna i podugaqka, a nema preteranog znaqaja za izuqavanje osobina matematiqkih struktura, zato xto u primenama izbegavamo dvojno pojavljivanje iste promenljive pa umesto prethodne formule koristimo neku od logiqki ekvivalentnih joj, na primer y(y y) (x x). Definicija Reqenice su formule bez slobodnih promenljivih. Sliqno kao i u sluqaju izraza, formulama emo nazivati i reqi oblika ϕ(x 1,..., x n ), u kojima je ϕ formula qije su sve slobodne promenljive među promenljivim x 1,..., x n. Neka je M = M,... model signature L, ϕ( x) proizvoljna formula prvog reda signature L i neka ā = (a 1,..., a n ) M n. Predikat Model M zadovoljava formulu ϕ( x) pri valuaciji u kojoj x i a i, 1 i n, u oznaci M = ϕ[ā], definixemo rekurzivno po sloжenosti formule ϕ. Za sluqaj formula sloжenosti 0, odnosno atomskih formula, ova relacija je ve definisana. U ostalim sluqajevima: 1. M = φ[ā] ako i samo ako ne vaжi M = φ[ā]. 2. M = (φ ψ)[ā] ako i samo ako vaжe i M = φ[ā] i M = ψ[ā]. 3. M = (φ ψ)[ā] ako i samo ako vaжi bar jedno od M = φ[ā] i M = ψ[ā]. 4. Ako je ϕ( x) oblika yφ za neku formulu φ(y, x), tada 5

6 M = ϕ[ā] ako i samo ako postoji b M takav da vaжi M = φ[b, ā]. 5. Ako je ϕ( x) oblika yφ za neku φ(y, x), tada M = ϕ[ā] ako i samo ako za svako b M vaжi M = φ[b, ā]. (Primetimo da kvantifikatori deluju samo na slobodna pojavljivanja promenljive u formuli!) Lema Neka je M model i φ( x) formula signature L. Za svaki niz elemenata ā domena strukture M vaжi ili M = φ[ā], ili M = φ[ā]. Naredno tvrđenje opisuje zadovoljivost reqenica u modelima i predstavlja uopxtenje leme 1.1.3, a u njemu tvrdimo i da zadovoljivost reqenice u modelu ne zavisi od valuacije. Dokazuje se indukcijom po sloжenosti formule, pri qemu je baza indukcije (sluqaj atomske formule) sadrжan u Lemi Lema Ako je φ(x 1,..., x n ) formula, t 1,..., t n zatvoreni termi i M model jezika L tada vaжi: M = φ(t 1,..., t n ) ako i samo ako M = φ[t M 1,..., t M n ]. 1.3 Parametri Neka je φ(x 1,..., x n ) formula i neka su t 1,..., t n izrazi jezika L. Sa φ(t 1,..., t n ) oznaqavamo formulu dobijenu zamenom svih slobodnih pojavljivanja promenljive x i termom t i. Pri tom, zamena je regularna ukoliko ni jedna promenljiva terma t i ne dođe pod dejstvo nekog kvantifikatora. Neregularnim zamenama izraza remetimo suxtinsku nameru da formulu φ( x) tumaqimo kao niz x ima osobinu φ. Na primer, neka je φ(z) formula x(x + x z) koju u Abelovoj grupi tumaqimo sa element z je deljiv sa 2. Formula φ(x + y) je x(x + x x + y) i ona ne tvrdi da je x + y deljiv sa 2. Razlog za to je neregularna zamena promenljive z sa x + y, jer promenljiva x u izrazu x + y dolazi pod dejstvo kvantifikatora x u formuli φ(x + y); zamena promenljive z u formuli bilo kojim termom koji sadrжi x nije regularna. Naredno tvrđenje obezbeđuje da se regularnim zamenama ne remeti жeljeno znaqenje formula. Lema Neka je φ(x 1,..., x n ) formula i t 1 (ȳ),..., t n (ȳ) termi jezika L takvi da je zamena φ(t 1,..., t n ) regularna. Tada za svaki model M jezika L i niz ā M m vaжi: M = φ(t 1,..., t n )[ā] ako i samo ako M = φ[t M 1 (ā),..., t M n (ā)]. Neka je M model signature L i L L. L -redukt modela M je struktura M koju qine domen M i interpretacije svih simbola signature L u strukturi M. U tom sluqaju kaжemo i da je M oboga enje, ili ekspanzija modela M do jezika L. Neka je A M. Proxirimo skup konstantnih simbola signature skupom novih konstanti {c a a A} (pretpostavivxi da dodati simboli ne pripadaju jeziku L). Oznaqimo tako dobijen jezik sa L A. Model M oboga ujemo do modela jezika L A interpretiravxi svaki simbol c a elementom a A i tako dobijen model oznaqavamo sa M A ili (M, A). Tvrđenje Za svaku formulu φ(x 1,..., x n ) i niz ā elemenata modela M jezika L slede i uslovi su ekvivalentni. (1) M A = φ(c a1,..., c an ) vaжi za svaki skup A M koji sadrжi niz ā; (2) M M = φ(c a1,..., c an ). (3) M = φ[a 1,..., a n ]; 6

7 Ovo tvrđenje nam daje znaqajan stepen slobode u pojednostavljenju komplikovanih sintaksnih zapisa. Konvencija Mi emo na dalje pretpostaviti da uvek vaжi c ai = a i, a bilo koji od ekvivalentnih uslova u prethodnom tvrđenju jednostavno emo oznaqavati sa M = φ(a 1,..., a n ). Simbole a i nazivamo parametrima i koristimo ih priliqno slobodno. Pod formulom sa parametrima iz skupa A M podrazumevamo L A -formulu. 2. Radi qitljivijeg zapisa formula, od sada pa NA DALjE koristi emo simbol = umesto simbola jednakosti. Prvi smo koristili do sada semantiqki, u strukturama, da oznaqimo da su dva njena elementa jednaka, dok je drugi bio deo jezika. Razlikovanje ova dva simbola je bilo bitno iskljuqivo zbog preciznijeg definisanja pojma zadovoljivosti formule u modelu. 1.4 Definabilni skupovi Definicija Neka je M = (M,...) model jezika L. (a) Skup D M n je definabilan (u strukturi M) ako postoji L-formula φ( x) (gde je x = n) takva da je D = { b M n M = φ( b)}. U tom sluqaju kaжemo i da je D skup rexenja formule φ( x) ili da je definisan formulom φ( x), i pixemo D = φ(m n ), a ponekad i samo D = φ(m). (b) Skup D M n je A definabilan, gde je A M, ako postoji L-formula φ( x, ȳ) (sa n + m promenljivih) i ā A m tako da je D = { b M n M = φ( b, ā)}. Pixemo i D = φ(m n, ā) ili samo D = φ(m, ā). (v) Skup D je definabilan sa parametrima ako postoji A M takav da je D A- definabilan. (g) a M je definabilan element ako je skup {a} definabilan. Kada жelimo da posebno naglasimo da je skup definabilan (bez parametara), kaжemo i da je 0-definabilan ili L-definabilan. Definabilan skup D M n moжemo posmatrati i kao n-arnu definabilnu relaciju. Ako je skup D M n+m definabilan, tada ga moжemo posmatrati i kao binarnu relaciju D M n M m, odnosno bipartitni graf qiji skup levih temena je M n a desnih M m ; ukoliko je m = n onda posmatramo dve disjunktne kopije skupa M n. Sliqno, f : A M (gde je A M n ) je definabilna funkcija ako je njen graf {(x 1,..., x n, f( x)) x A} M n+1 definabilan; primeti da tada i njen domen A mora biti definabilan. Xta vixe, direktne i inverzne slike definabilnih skupova su definabilne. Tvrđenje Neka je M = (M,...) struktura jezika L i neka je B n (M) skup svih definabilnih podskupova skupa M n. (a) (B n (M),, c,, M n )je Bulova algebra: ako D 1, D 2 B n (M), onda i D 1 D 2, D 1 D 2, M n D 1 B n (M). (b) Projekcija skupa D B n+m (M) na ma kojih n koordinata pripada algebri B n (M). (v) Ako je π : M m+n M n projekcija na nekih n koordinata i D B n (M) definabilan skup, tada je π 1 (D) B m+n (M). 7

8 Dokaz. (a) Ako formula φ i ( x) definixe skup D i, tada φ 1 ( x) φ 2 ( x), φ 1 ( x) φ 2 ( x) i φ 1 ( x) definixu, redom, skupove D 1 D 2, D 1 D 2 i M n D 1. (b) Formula x n+1 φ(x 1,..., x n+1 ) definixe projekciju skupa φ(m n+1 ) na prvih n koordinata. Sliqno je i u opxtem sluqaju. (v) Ako je π : M n+1 M n projekcija na prvih n koordinata i formula φ(x 1,..., x n ) definixe skup D, tada formula φ(x 1,..., x n+1 ) (ista formula sa dodatom promenljivom) definixe skup π 1 (D). Sliqno je i u opxtem sluqaju. Prethodnim tvrđenjem familija svih definabilnih skupova strukture (M,...) je opisana nizom Bulovih algebri (B n (M) n N) koji je zatvoren za projekcije i inverzne projekcije. Analizom definicije (formule) i zadovoljivosti formule u strukturi moжemo opisati i genezu te familije. Polazimo od niza (At n (M) n N) gde At n (M) B n (M) qine svi podskupovi definabilni atomskim formulama ( jednaqinama i nejednaqinama ). Zatim svaki qlan niza zatvorimo za preseke, unije i komplemente, pa dobijeni niz zatvorimo za projekcije i inverzne projekcije; iteriramo postupak ω puta i dobijamo niz (B n (M) n N). Znaqi, familija skupova definabilnih atomskim formulama (At n (M) n N) određuje familiju svih definabilnih skupova (B n (M) n N) zatvaranjem u odnosu na određene skupovne operacije. Obrnuti proces ne postoji: ne moжemo iz niza (B n (M) n N) dekodirati niz (At n (M) n N). Razlog za to je taj xto istu familiju definabilnih skupova na domenu M mogu imati strukture razliqitih jezika. Na primer, posmatrajmo maksimalnu u nekom smislu strukturu koja ima iste definabilne skupove kao i naxa struktura M. Uzmimo relacijski jezik L = {R D D n B n (M)), pri qemu R D ima arnost n ako je D M n. L -strukturu M pravimo tako xto svaki simbol R D interpretiramo skupom D. Jasno, strukture M i M imaju iste definabilne skupove. Za dve strukture (mogu e razliqitih jezika) kaжemo da su definiciono ekvivalentne ako imaju isti domen i iste definabilne skupove. Struktura M = (M,...) jezika L L je definiciono proxirenje L-strukture M = (M,..., ukoliko imaju iste interpretacije simbola jezika L na domenu, a svaka interpretacija simbola L L je skup koji je definabilan u strukturi M. Drugim reqima, definiciono proxirenje se dobija tako xto imenujemo simbolom jezika neke definabilne skupove; iz opisa geneze definabilnih skupova sledi da time ne menjamo familiju definabilnih skupova, odnosno da dobijamo definicionu ekvivalentnu strukturu. Tim postupkom smo ojaqali jezik i dobili mogu nost da neki definabilni skup polazne strukture zapixemo kra om formulom. Qesto se u matematici pod pojmom strukture misli na skup (domen strukture) i niz Bulovih algebri (B n (M) n N) podskupova. Zatim se jezik bira tako da se imenuju neke osnovne konstante, relacije i operacije iz te familije, tako da se svojstva strukture koja nas zanimaju daju zapisati jednostavnim (razumljivim) formulama. Definicionim proxirivanjem L-strukture moжe se uticati na podstrukture, jer domen L-podstruktura ne mora uvek biti domen podstrukture novog jezika. Na primer, vaжi (N, <) (ω, <), ali N nije domen podstruktura strukture (ω, <, 0). Skra enice. U zapisivanju formula, radi preglednosti qesto koristimo skra enice. (1) U jeziku koji sadrжi binarni simbol, koriste se formule ( x y)φ(x, y) i ( x [y, z])ψ(x, y, z). One predstavljaju jasniji (i kra i) zapis formula x(x y φ(x, y)) i x(y x x z ψ(x, y, z)). 8

9 (2) Ako je D podskup domena strukture M definisan formulom φ(x), tada formulu x D ψ(x, ȳ) koristimo za definiciju unutar strukture M samo. Pod njom podrazumevamo formulu x(φ(x) ψ(x, ȳ)). (3) Formulu x 1...x n 1 i<j n (φ(x i, ȳ) x i x j ) kra e zapisujemo kao n x φ(x, ȳ). Na sliqan naqin uvode se i kvantifikatori <n, =n, n i >n. Uobiqajeno je kvantifikator =1 zapisivati i simbolima!. Primer (Imenovanje definabilnog elementa) Ukoliko vaжi M =!x φ(x) i φ(m) = {a}, tj. element a je definabilan formulom φ(x), tada je zgodno pre utno uvesti novi konstantni simbol u jezik i definiciono proxiriti strukturu interpretiravxi konstantu elementom a; u skladu sa prethodnom konvencijom o parametrima, moжemo koristiti qak i isti simbol a. Tako, formula ψ(a) u novoj strukturi odgovara formuli x (φ(x) ψ(a)). Primetimo da imenovanje nedefinabilnog elementa (ma kog parametra) dodaje nov definabilan skup. Primer Posmatrajmo strukturu (ω, <). U njoj je element 0 definisan formulom y (y < x); proxirimo strukturu do (ω, <, 0). U njoj je element 1 definabilan formulom 0 < x y(0 < x < y); proxirimo strukturu... Na taj naqin moжemo definisati sve prirodne brojeve, jer formula n < x y(n < x < y) definixe element n + 1. Alternativno, mogli smo primetiti da formula =n y(y < x) definixe element n + 1. Primer Grupa (G, ) ima definiciona proxirenja (G,, e) i (G,, 1, e). Ukoliko nas zanimaju i komutatori te grupe, koristimo jezik definicionog proxirenja (G,, [, ], 1, e). 2. Polje kompleksnih brojeva obiqno posmatramo kao strukturu (C, +,,, 0, 1), jer u tom jeziku ima eliminaciju kvantifikatora: svaki skup je definisan nekom beskvantornom formulom. To nije sluqaj ako izostavimo ma koji od imenovanih simbola jezika. ZADACI 1. Dokazati da je svaki prirodan broj definabilan u strukturi (N, +). 2. Dokazati da su u strukturi (N, +, ) slede i skupovi definabilni: (a) Skup prostih brojeva; (b) Skup svih brojeva oblika 2 m 3 n. (v) Funkcija NZD(x, y) = z. (v) {(x, y) x je najmanji prost broj koji deli y} 3. Dokazati da je prirodno uređenje < definabilna relacija i da je 2 definabilan element u polju realnih brojeva. 4. Dokazati da je skup svih celih brojeva oblika 198k + 17 definabilan sa parametrom u aditivnoj grupi celih brojeva (Z, +). 5. Dokazati da su slede i skupovi definabilni u aditivnoj grupi celih brojeva: a) Skup svih brojeva deljivih sa 3; b) Skup svih neparnih brojeva; v) Skup svih brojeva oblika 4k + 2; g) Skup svih brojeva oblika 6k

10 6. Dokazati da je skup prirodnih brojeva definabilan u prstenu celih brojeva. 7. Dokazati da je u strukturi (N, +, ) gde je m n relacija m deli n, mnoжenje definabilna operacija. 8. Na i skup X N koji nije definabilan u strukturi (N, <). 1.5 Teorije Neka je L signatura. Teorija jezika L je bilo koji (mogu e i beskonaqan) skup reqenica tog jezika, a reqenice koje joj pripadaju nazivamo i njenim aksiomama. L-struktura M je model teorije T, u oznaci M = T, ako je u M zadovoljena svaka aksioma teorije T. Mod(T ) oznaqava klasu svih modela teorije T. Zadovoljiva teorija je ona koja ima bar jedan model. Za klasu K struktura jezika L kaжemo da je aksiomatizabilna klasa ako postoji L-teorija takva da je K = Mod(T ); u tom sluqaju kaжemo i da T aksiomatizuje klasu K. Aksiomatizacija klase nije jednoznaqno određena, ve za istu klasu moжe postojati vixe razliqitih aksiomatizacija. Mnoge klase matematiqkih struktura su aksiomatizabilne. Navodimo primere aksiomatizabilnih klasa i njihovih teorija. Radi jednostavnijeg zapisa izostavljamo poqetni niz univerzalnih kvantifikatora; tako, umesto x y(x + y = y + x) pixemo samo x + y = y + x. 1. L =. Teorija beskonaqnog skupa je { n x(x = x) n N}. 2. L = {R} gde je R binarni relacijski simbol. Imamo slede e teorije: (a) Teorija prostih grafova bez petlji: { R(x, x), R(x, y) R(y, x)}. (b) Teorija relacije ekvivalencije: {R(x, x), R(x, y) R(y, x), (R(x, y) R(y, z)) R(x, z)} 3. L = { } gde je binarni relacijski simbol. (a) Teorija kvazi-uređenja (ili preduređenja): {x x, (x y y z) x z). (b) Teorija parcijalnih uređenja ima dodatnu aksiomu: (x y y x) x = y. 4. L = {<} gde je < binarni relacijski znak. (a) Teorija striktnih uređenja: { (x < x), (x < y y < z) x < z)}. (b) Teorija linearnih uređenja ima dodatnu aksiomu x < y y < x x = y. (c) Teorija gustih linearnih uređenja ima i: x y z(x < z z < y) (d) Teorija gustih linearnih uređenja bez krajeva (DLO) ima dodatne aksiome: x y(x < y) i x y(y < x) 5. Peanova aritmetika je teorija u jeziku L P A = {+,,, 0}. Aksiome su: 1. x (x = 0); 2. x y(x = y x = y); 10

11 3. x(x + 0 = x); 4. x y(x + y = (x + y) ); 5. x(x 0 = 0); 6. x y(x y = x + (x y)). 7. (Shema indukcije) Za svaku formulu ϕ(x, ȳ) jezika L P A imamo po aksiomu: (ϕ(0, ȳ) x(ϕ(x, ȳ) ϕ(x, ȳ))) xϕ(x, ȳ). 6. Teoriju Bulovih algebri izraжavamo u jeziku L BA = {,,, c, 0, 1}. Aksiome su: 1. x y = y x; x y = y x 2. x (y z) = (x y) z; x (y z) = (x y) z; 3. x (x y) = x; x (x y) = x; 4. x (y z) = (x y) (x z); 5. x x c = 1; x x c = 0; 7. Teorija grupa u jeziku L = {, 1, e} ima aksiome: (x y) z = x (y z), x e = x, i x x 1 = e Teorija grupa se moжa izraziti i u jeziku {, e} kao i u { }. 8. Teorija Abelovih grupa u jeziku L = {+,, 0} ima aksiome (x + y) + z = x + (y + z) x + ( x) = 0 x + 0 = x i x + y = y + x 9. Teorija vektorskih prostora nad poljem F izraжavamo u jeziku L = {+,, k, 0} k F, gde je k unarni operacijski simbol (mnoжenje skalarom). Pored aksioma Abelove grupe imamo i za svaki par k, k F slede e aksiome: 1. k (x + y) = k x + k y 2. (k + F k ) x = k x + k x 3. (k k ) x = k (k x) 4. 1 x = x 10. Jezik prstena je L r = {+,,, 0, 1}. (a) Teorija komutativnih prstena sadrжi aksiome Abelove grupe i: (x y) z = x (y z), x y = y x i x (y + z) = x y + x z x 1 = x. (b) Teorija polja, pored aksioma prstena, sadrжi i x 0 y(x y = 1). (c) Teorija polja karakteristike p (prost broj) sadrжi i aksiomu p x = 0 (p x je skra enica za izraz (...(x + x) x)...) u kome se p puta pojavljuje x). (d) Teorija polja karakteristike 0 pored aksioma teorije polja, sadrжi za svaki prost broj p i aksiomu x 0 p x 0. (e) ACF je teorija algebarski zatvorenih polja, sadrжi teorija polja i aksiome: x(x n + y 1 x n y n = 0) 11 (za n N).

12 (f) ACF 0 je teorija algebarski zatvorenih polja karakteristike 0, a ACF p teorija algebarski zatvorenih polja karakteristike p. (g) Teoriju realno zatvorenih polja qine aksiome teorije polja i: x(x 2n 1 + y 1 x 2n y 2n 1 = 0) (za n N). 11. Teorija uređenih polja je u jeziku L or = L r {<}. Qine je aksiome teorije polja i aksiome: x y x + z y + z i (0 x 0 y) 0 xy. 12. Teoriju diferencijalnih polja u jeziku L = L r {δ} qine teorija polja plus aksiome δ(x + y) = δ(x) + δ(y) δ(x y) = xδ(y) + yδ(x). 13. Teoriju eksponencijalnih (prstena) polja u jeziku L = L r {exp} qine teorija (prstena) polja i aksiome: exp(0) = 1 i exp(x + y) = exp(x) exp(y). 1.6 Podstrukture i utapanja M je pod- Definicija Neka su M = (M,...) i N = (N,...) strukture jezika L. struktura strukture N, u oznaci M N, ako je M N i vaжi: c M = c N za svaki simbol konstante jezika; Za svaki funkcijski znak F jezika L i sve a 1,... a nf F M (a 1,..., a nf ) = F N (a 1,..., a nf ); M vaжi: Za svaki relacijski znak R jezika L i sve a 1,... a nr M vaжi: (a 1,..., a nr ) R M ako i samo ako (a 1,..., a nr ) R N. Uslove definicije moжemo izraziti i na ekvivalentan naqin, slede im uslovima: {c M } = {c N } M, F M = F N M n F +1 i R M = R N M n R ; gde je F M graf operacije. Moжemo zakljuqiti da za datu strukturu N = (N,...) i podskup A N postoji najvixe jedna podstruktura qiji je domen skup A, jer su na njemu interpretacije simbola jezika jednoznaqno određene ovim uslovima. Neophodni uslovi da bi podstruktura na takvom skupu A uopxte postojala su: A mora sadrжati sve interpretacije (u N) konstanti jezika i mora biti zatvoren za sve operacije strukture N koje su interpretacije simbola jezika. Drugim reqima, A mora biti domen podalgebre koja se dobija iz N izostavljanjem svih interpretacija relacija. U sluqaju kada jezik ne sadrжi relacijske simbole, pojmovi podstrukture i podalgebre se podudaraju, pa su u sluqaju grupa radi o podgrupama, podstrukture polja su potpolja... ; u sluqaju qisto relacijskog jezika svaki podskup strukture je nosaq podstrukture. Uslovi definicije izraжeni na gornji naqin sugerixu da za osnovne atomske formule x 1 = c, F (x 1,..., x nf ) = y i R(x 1,..., x nr ) vaжi φ(m m ) = φ(n m ) M m (gde je m = 1, m = n F + 1 ili m = n R ). U narednom tvrđenju dokazujemo da isto vaжi za sve atomske i xire, beskvantorne, formule. 12

13 Tvrđenje Neka je M N i neka je φ( x) beskvantorna formula jezika ovih struktura. Tada za sve ā M n vaжi: M = φ(ā) ako i samo ako N = φ(ā). Drugim reqima, za sve beskvantorne formule vaжi φ(m n ) = φ(n n ) M n. Dokaz. Indukcijom po sloжenosti izraza t 1 ( x),..., t n ( x) dokaжe se da tvrđenje vaжi za sve atomske formule t 1 ( x) = t 2 ( x) i R(t 1 ( x),..., t n ( x))... Naglasimo da tvrđenje NE vaжi za sve formule φ( x) i parove M N, xto pokazuje slede i primer. Primer Posmatrajmo strukture N = (N, <) i M = (ω, <) (ω = N {0}). Tada je N M. Neka je φ(x) formula y (y < x). Ona opisuje x kao minimalan element domena. Oqito vaжi N = φ(1) i M = φ(0) φ(1), pa je φ(n) φ(ω) N. Ukoliko podstruktura quva sve definabilne skupove, kaжemo da se radi o elementarnoj podstrukturi: Definicija Neka je M N. Kaжemo da je M elementaran podmodel (elementarna podstruktura) strukture N, xto oznaqavamo sa M N, ako za svaku formulu jezika φ( x) i sve ā M n vaжi: Drugim reqima: M = φ(ā) ako i samo ako N = φ(ā). φ(m n ) = φ(n n ) M n vaжi za sve formule φ( x). Elementarne podstrukture su u teoriji modela znaqajne jer quvaju sve definabilne skupove, odnosno sve osobine (opisive formulom prvog reda) elemenata u podstrukturi: Formulu φ( x) moжemo tumaqiti kao niz x ima osobinu φ. Za ā M n relaciju N = φ(ā) tumaqimo kao ā ima osobinu φ u modelu N. Prethodnu definiciju prevodimo na slede i naqin: M N ako i samo ako za sve φ i ā M n vaжi: ā ima osobinu φ u modelu N ako i samo ako ā ima osobinu φ u modelu M. Definicija Neka su M = (M,... ) i N = (N,... ) modeli istog jezika L. Utapanje modela M u N je 1-1 funkcija f : M N za koju vaжi: f(c M ) = c N vaжi za svaki simbol konstante c; Za svaki funkcijski znak F jezika L i sve a 1,... a nf f(f M (a 1,..., a nf )) = F N (f(a 1 ),..., f(a nf )); M vaжi: Za svaki relacijski znak R jezika L i sve a 1,... a nr M vaжi: R M (a 1,..., a nr ) ako i samo ako R N (f(a 1 ),..., f(a nr )). Utapanje koje je i bijekcija naziva se izomorfizam; u tom sluqaju kaжemo da su M i N izomorfne strukture. Uvedimo slede u notaciju. Svako preslikavanje g : A B indukuje preslikavanja P(A) P(B) (direktna slika), ali i prirodna preslikavanja A n B n,...,a X B X,... Sva ta preslikavanja emo oznaqavati sa g i ako je X A, tada je g(x) = {g(x) x X}; ako je ā = (a 1,..., a n ), tada je g(ā) = (g(a 1 ),..., g(a n ))... Uslove definicije utapanja moжemo izraziti i na ekvivalentan naqin: 13

14 f(c M ) = c N, f(f M ) = F N f(m) n F +1 i f(r M ) = R N f(m) n R. Primetimo da skup f(m) sadrжi sve konstante strukture N i da je zatvoren za operacije strukture N. Zato je on nosaq strukture, koju oznaqavamo sa f(m). Tvrđenje Neka su M = (M,...) i N = (N,...) strukture istog jezika. (a) f : M N je utapanje ako i samo ako je skup f(m) nosaq podstrukture strukture N i f je izomorfizam struktura M i podstrukture indukovane na skupu f(m). (b) M N vaжi ako i samo ako je M N, a identiqko preslikavanje id M : M N je utapanje. (v) M se moжe utopiti u N ako i samo ako postoji podstruktura strukture N koja je izomorfna strukturi M. Kao i u sluqaju podstruktura, uslovi definicije izraжeni na gornji naqin sugerixu da za osnovne atomske formule x 1 = c, F (x 1,..., x nf ) = y i R(x 1,..., x nr ) vaжi f(φ(m m )) = φ(n m ) f(m) m. Isto vaжi za sve beskvantorne formule. Tvrđenje Neka je f : M N utapanje strukture M u strukturu N i neka je φ( x) beskvantorna formula jezika ovih struktura. Tada za sve ā M n vaжi: M = φ(ā) ako i samo ako N = φ(f(ā)). Drugim reqima, za sve beskvantorne formule vaжi f(φ(m n )) = φ(n n ) f(m) n. Ukoliko prethodno tvrđenje vaжi za sve formule, a ne samo za beskvantorne, tada kaжemo da je utapanje elementarno. Definicija Neka su M i N modeli jezika L. Funkcija f : M N je elementarno utapanje, u oznaci f : M N, ako za sve formule φ( x) i sve ā M n vaжi: M = φ(ā) ako i samo ako N = φ(f(ā)). Drugim reqima, za sve formule vaжi f(φ(m n )) = φ(n n ) f(m) n. Sliqno prethodnom pokazuje se da je utapanje f elementarno ako i samo je f(m) N. Nisu sva utapanja elementarna, takvo je identiqko preslikavanje u primeru Izomorfizmi i automorfizmi Napomenuli smo da utapanja ne moraju biti elementarna preslikavanja. Za razliku od njih, izomorfizmi to moraju biti, jer quvaju sve definabilne skupove. Tvrđenje Neka je f izomorfizam modela M i N jezika L. (a) Za sve formule φ( x) formula jezika L i za sve ā M n vaжi: M = φ(ā) ako i samo ako N = φ(f(ā)). Drugim reqima, za sve formule vaжi f(φ(m n )) = φ(n n ). (b) Za sve formule jezika ψ( x, ȳ) i sve ā M m vaжi: f(φ(m n, ā)) = φ(n n, f(ā)). Tvrđenje Neka su f : M 1 N i g : N M 2 izomorfizmi. (a) Inverzno preslikavanje f 1 je izomorfizam modela N i M 1. (b) Kompozicija g f je izomorfizam modela M 1 i M 2. (v) Izomorfizam struktura je relacija ekvivalencije na klasi svih modela jezika L. 14

15 Definicija Izomorfizam f : M M je automorfizam strukture M. Tvrđenje Skup svih automorfizama strukture M qini grupu u odnosu na kompoziciju preslikavanja. Skup svih automorfizama strukture L oznaqavamo sa Aut(M). Za svaki A M skup Aut A (M) = {f Aut(M) za svaki a A vaжi f(a) = a} svih automorfizama koji fiksiraju skup A taqku po taqku je podgrupa grupe Aut(M). Takođe, skup svih automorfizama koji fiksira A kao skup: Aut {A} (M) = {f Aut(M) f(a) = A} je podgrupa grupe Aut(M) (podsetimo: f(a) = {f(a) a A}). Automorfizmi (skup-) fiksiraju L-definabilne skupove, pa se zato koriste pri utvrđivanju nedefinabilnosti nekog skupa D: ukoliko postoji automorfizam f takav da je f(d) D, tada skup D nije definabilan. Obrnuto ne vaжi, moжe se desiti da skup nije definabilan, a da je fiksiran svakim automorfizmom. Na primer, jedini automorfizam strukture (N, <) je identiqko preslikavanje, pa je svaki podskup X N fiksiran svim automorfizmima. Budu i da ima prebrojivo mnogo formula i neprobrojivo mnogo podskupova X, bar jedan od njih nije definabilan. Zadatak Neka je A = (A, +) beskonaqna (Abelova) grupa eksponenta p (prost). Pokaza emo da je A minimalna struktura, tj. da svaki definabilan (sa parametrima) skup D A je ili konaqan ili ko-konaqan (komplement mu je konaqan). Rexenje. Posmatrajmo vektorski prostor A = (A, +, m, 0) 1 m p 1 (nad poljem Z p ), gde je unarna operacija m definisana formulom x } + x + {{... + x } = y. Svaka od dodatih operacija je definabilna u strukturi A, pa je A definiciono proxirenje strukture m A ; one imaju iste definabilne skupove (n-torki za sve n). Prema tome, dovoljno je dokazati da je A minimalna struktura, a to emo uqiniti tako xto emo pokazati da svaka formula sa beskonaqnim skupom rexenja ima ko-konaqan skup rexenja. Neka je ā A n i neka je φ(x, ā) formula koja ima beskonaqan skup rexenja. Pokaza emo da je svaki element c A span(ā) njeno rexenje, gde je span(ā) potprostor generisan sa ā. Potprostor span(ā) ima najvixe p n elemenata, pa postoji element b φ(a, ā) span(ā). Neka je a 1,..., a m baza potprostora span(ā). Tada je skup {a 1,..., a m, b} linearno nezavisan i sadrжan je u nekoj bazi B prostora A. Sliqno, skup {a 1,..., a m, c} je linearno nezavisan i sadrжan je u nekoj bazi B. Izaberimo bijekciju f : B B takvu da je f(a i ) = a i za i = 1, 2,..., m i f(b) = c. Tada se f na jedinstven naqin produжava do bijektivnog linearnog preslikavanja ˆf : A A. Ovo preslikavanje je automorfizam prostora A (jer quva sabiranje i mnoжenje skalarom). Svaki element niza ā je linearna kombinacija elemenata skupa {a 1,..., a m }, pa je on fiksiran preslikavanjem ˆf. Zbog b φ(a, ā) imamo ˆf(b) φ(a, ˆf(ā)), odnosno c φ(a, ā), xto je i trebalo dokazati. 1. Za strukturu (Z, +) dokazati slede e: ZADACI a) 0 joj je definabilan element, a 1 nije; b) Prirodno uređenje < nije definabilna relacija i mnoжenje nije definabilna operacija; v) Skup svih brojeva oblika 4k+1 nije definabilan, ali je definabilan sa parametrom 15

16 2. Dokazati da je jedini automorfizam polja realnih brojeva identiqko preslikavanje. 3. Dokazati da je svaka deljiva Abelova grupa bez torzije minimalna struktura. (Grupa (G, +, 0) je deljiva ako za svaki n zadovoljava reqenicu x y(ny = x), a bestorziona ako za svaki n vaжi x(nx = e x = e); ovde je nx izraz x } + {{... + x }. n 4. Dokazati da skupovi celih i realnih brojeva nisu definabilni u polju kompleksnih brojeva. 5. Neka su a 1 < a 2 <... < a n i b 1 < b 2 <... < b n racionalni brojevi. Dokaжi da postoji automorfizam f Aut(Q, <) takav da je f(a i ) = b i za sve i = 1, 2,..., n. 6. Dokaжi da je svako prebrojivo gusto linearno uređenje izomorfno uređenju racionalnih brojeva (Q, <). 16

17 2. Kompaktnost Tema ovog dela je osnovna teorema teorije modela, a to je teorema kompaktnosti, koja tvrdi da svaka konaqno zadovoljiva teorija ima model. Postoje dva naqina da se ona dokaжe. Prvi je zasnovan na Henkinovom metodu uvođenja novih konstanti, koji emo ovde i izloжiti. Drugi naqin koristi ultraproizvode struktura i njime se ovde ne emo baviti. Osnovna ideja Henkinove konstrukcije je da se proxiri jezik uvođenjem skupa novih konstanti i da se na odgovaraju i naqin proxiri i teorija. Proxirivanje treba da je tako da u novodobijenoj teoriji imamo konstantu-svedoka za svaku egzistencijalnu formulu, tj. ispunjen je Henkinov uslov (videti lemu 2.2.2): ako formula x φ(x) pripada teoriji, tada i formula φ(c) pripada teoriji za neki simbol konstante c. Ispostavi e se da svaka teorija koja zadovoljava Henkinov uslov i koja je maksimalna konaqno zadovoljiva (u smislu inkluzije) ima model qiji je svaki element interpretacija neke konstante jezika. Razlog je taj xto takva teorija sadrжi sve informacije prvog reda o svojim konstantama i xto je svaka egzistencijalna formula svedoqena nekom konstantom. U prvom delu emo opisati nexto opxtiju konstrukciju modela koji se ne mora sastoji samo od interpretacija konstanti jezika: njegovi elementi su interpretacije zatvorenih izraza. U tom sluqaju teorija ne mora biti maksimalna, a uslovi (Hintikinim uslovi) koje ona treba da zadovoljava su, iako naizgled brojni, znaqajno blaжi. Naglasimo da se Hintikini uslovi, za razliku od Henkinovog, mogu adaptirati i za sluqaj beskonaqnih logika. 2.1 Kanonski model generisan konstantama U ovom delu tema su modeli teorija koji su generisani svojim skupom konstanti. Ovde generisan ima qisto algebarsko znaqenje: ako iz strukture M = (M,...) jezika L izostavimo sve relacije, dobijamo algebru signature L koju qine simboli konstanti i operacija jezika L. Dakle model M je generisan svojim konstantama ako je, kao algebra, generisana skupom C M svih interpretacija konstanti. Vaжno je primetiti da je u tom sluqaju svaki element domena M interpretacija nekog zatvorenog izraza jezika L. Izdvoji emo Hintikine uslove H0 H8 qija ispunjenost u datoj teoriji garantuje da ona ima model generisan skupom konstanti. Neka je A = (A,...) struktura prvog reda jezika L qiji je svaki element domena interpretacija nekog zatvorenog izraza jezika. Neka je T skup svih reqenica jezika L koje vaжe u modelu A. Nije texko proveriti da teorija T zadovoljava slede e uslove: 17

18 H0 x(x = x) T. H1 Za svaku atomsku reqenicu φ jezika L vaжi: ako φ T tada φ / T. H2 Za svaki zatvoren term t jezika L vaжi (t = t) T. H3 Ako je φ(x) atomska formula, s, t zatvoreni termi jezika L i (s = t) T, tada vaжi: φ(s) T ako i samo ako φ(t) T. H4 Ako φ T, tada φ T. H5 Ako φ 1 φ 2 T, tada φ 1 T i φ 2 T ; Ako (φ 1 φ 2 ) T, tada φ 1 T ili φ 2 T. H6 Ako φ 1 φ 2 T, tada φ 1 T ili φ 2 T ; Ako (φ 1 φ 2 ) T, tada φ 1 T i φ 2 T. H7 Ako xφ(x) T, tada φ(t) T za svaki zatvoren term t jezika L; Ako xφ(x) T, tada φ(t) T za neki zatvoren term t jezika L. H8 Ako xφ(x) T, tada φ(t) T za neki zatvoren term t jezika L; Ako xφ(x) T, tada φ(t) T za svaki zatvoren term t jezika L. Definicija Teorija H jezika L je Hintikin skup reqenica jezika L ako zadovoljava uslove H0-H8. Primetimo da Hintikini skupovi reqenica mogu postojati samo u jezicima koji imaju bar jedan simbol konstante: Prema osobini H0 reqenica x(x = x) pripada svakom Hintikinom skupu pa, prema H8, on mora sadrжati i reqenicu t = t za neki zatvoren term t jezika L. Zakljuqujemo da mora postojati zatvoren term jezika L, pa skup simbola konstanti jezika L ne moжe biti prazan. Teorema Svaki Hintikin skup H jezika L ima model u kome je svaki element interpretacija nekog zatvorenog terma jezika L. Dokaz. Dokaz sprovodimo u dve faze. U prvoj emo opisati konstrukciju L-strukture M u kojoj je svaki element interpretacija nekog zatvorenog terma, dok emo u drugoj dokazati da je M model teorije H. 1. Konstrukcija. U ovoj fazi koristi emo samo aksiome H2 i H3. Neka je C skup svih zatvorenih terma jezika L. Na skupu C definiximo binarnu relaciju: E(s, t) ako i samo ako (s = t) H. Pokaжimo prvo da je E relacija ekvivalencije. Refleksivnost sledi iz uslova H2. Pretpostavimo da (s = t) H. Oznaqimo sa φ(x) atomsku formulu t = x. Tada φ(t) H pa, prema H3, φ(s) H. Znaqi (t = s) H, qime je simetriqnost relacije E dokazana. Preostaje da proverimo tranzitivnost. Pretpostavimo da vaжi (s = t), (t = u) H i neka je ψ(x) formula x = u. Tada ψ(t) H pa, prema H3, vaжi ψ(s) H, qime je tranzitivnost relacije E dokazana. Neka [t] E oznaqava klasu ekvivalencije terma t C i neka je M = {[t] E t C} koliqniqki skup. Na skupu M, kao nosaqu, definisa emo strukturu M jezika L. Prvo 18

19 definiximo interpretacije simbola konstanti: c M = [c] E. Slede e, pokaжimo da je uslovom f M ([t 1 ] E,..., [t n ] E ) = [f(t 1,..., t n )] E korektno definisana funkcija f M : M n M koja je interpretacija funkcijskog znaka f duжine n. Treba pokazati da za zatvorene terme s i, t i : ako [s i ] E = [t i ] E vaжi za 1 i n, tada [f(s 1..., s n )] E = [f(t 1,..., t n )] E. Pretpostavimo da (s i = t i ) H vaжi za sve 1 i n. Dovoljno je dokazati: (f(s 1, s 2,..., s n ) = f(t 1,..., t k, s k+1,..., s n )) H za sve 1 k n. (2.1) Dokaz provodimo indukcijom po k. Za k = 1, neka je φ 1 (x) formula f(s 1, s 2,..., s n ) = f(x, s 2,..., s n ). Tada φ 1 (s 1 ) H pa, prema aksiomi H3, zakljuqujemo φ 1 (t 1 ) H. Dakle, (f(s 1, s 2,..., s n ) = f(t 1, s 2,..., s n )) H, qime je uslov (2.1) dokazan za k = 1. Pretpostavimo sada da za k < n vaжi: (f(s 1, s 2,..., s n ) = f(t 1,..., t k, s k+1,..., s n )) H. Oznaqimo sa φ k+1 (x) formulu f(s 1, s 2,..., s n ) = f(t 1,..., t k, x, s k+2,..., s n )). Prema induktivnoj hipotezi φ k+1 (s k+1 ) H pa, prema H3, vaжi φ k+1 (t k+1 ) H. Time je induktivni korak kompletiran. Neka je R relacijski simbol duжine n i pretpostavimo da (s i = t i ) H vaжi za sve 1 i n. Kao u sluqaju funkcijskih pokaжe se da za sve k n vaжi: R(s 1..., s n ) H ako i samo ako R(t 1,..., t k, s k+1,..., s n ) H, (2.2) pa je uslovom: ([t 1 ] E,..., [t n ] E ) R M ako i samo ako R(t 1,..., t n ) H korektno definisana n-arna relacija na M. Time je kompletirana definicija strukture M. Pokaжimo da je svaki element domena interpretacija nekog zatvorenog terma jezika L. Kako je svaki element domena oblika [t] E, dovoljno je dokazati za svaki zatvoren term jezika L vaжi t M = [t] E. (2.3) Ovo tvrđenje dokazujemo indukcijom po sloжenosti terma t. Ako je t simbol konstante tada c M = [c] E vaжi po definiciji interpretacije. Pretpostavimo da t M i = [t i ] E vaжi za 1 i n i da je t oblika f(t 1,..., t n ), gde je f funkcijski znak duжine n. Imamo: t M = f M (t M 1,..., t M n ) = f M ([t 1 ] E,..., [t n ] E ) = [f(t 1,..., t n )] E = [t] E ; Prva jednakost u ovom nizu je posledica definicije interpretacije terma, druga sledi iz pretpostavki o termima t i, tre a je posledica definicije interpretacije f M, dok je qetvrta posledica definicije terma t. 2. Zadovoljivost H u M. Dokaжimo prvo da za svaku atomsku reqenicu φ jezika L vaжi: Imamo dva podsluqaja: φ je oblika t 1 = t 2. Imamo niz ekvivalencija: φ H ako i samo ako M = φ (2.4) 19

20 (t 1 = t 2 ) H akko [t 1 ] E = [t 2 ] E akko t M 1 = t M 2 akko M = t 1 = t 2. Prva ekvivalencija je posledica definicije relacije E, druga vaжi zbog uslova (2.3), dok je tre a posledica definicije zadovoljenja u modelu M. φ je oblika R(t 1,..., t n ). U ovom sluqaju zakljuqak sledi iz niza ekvivalencija: R(t 1,..., t n ) H akko ([t 1 ] E,... [t n ] E ) R M akko (t M 1,... t M n ) R M akko M = R(t 1,..., t n ). Prva ekvivalencija je posledica definicije relacije R M, druga vaжi zbog uslova (2.3), dok tre a sledi iz definicije zadovoljenja u modelu M. Ovim je dokaz (2.4) zavrxen. Slede e, dokaжimo da za svaku reqenicu φ jezika L vaжi: Ako φ H tada M = φ, i ako φ H tada M = φ. (2.5) Dokaz vrximo indukcijom po sloжenosti reqenice φ. Ako je φ atomska, prvi deo uslova sledi iz (2.4), a drugi deo iz H1 i (2.4). Pretpostavimo da uslov (2.5) vaжi za sve reqenice manje sloжenosti od φ. Imamo slede e sluqajeve: φ je oblika ψ. Pretpostavimo da vaжi ψ H. Prema induktivnoj hipotezi drugi deo tvrđenja uslova (2.5) vaжi za ψ umesto φ, pa zakljuqujemo da vaжi M = ψ. Ovim je prvi deo tvrđenja uslova (2.5) za φ dokazan. Da dokaжemo drugi deo, pretpostavimo φ H. Tada ψ H pa, prema H4, vaжi ψ H. Primenom induktivne hipoteze zakljuqujemo M = ψ. Samim tim je M = ψ, pa vaжi i drugi deo tvrđenja uslova (2.5). φ je oblika ψ 1 ψ 2. Pretpostavimo ψ 1 ψ 2 H. prema H5 vaжi ψ 1, ψ 2 H. Prema induktivnoj hipotezi imamo M = ψ 1 i M = ψ 2, odakle zakljuqujemo M = ψ 1 ψ 2. Za drugi deo tvrđenja, pretpostavimo da (ψ 1 ψ 2 ) H. Prema drugom delu uslova H5, tada vaжi ψ i H za bar jedan i {1, 2}. Prema induktivnoj hipotezi imamo M = ψ 1, pa samim tim je i M = (ψ 1 ψ 2 ). φ je oblika ψ 1 ψ 2. Pretpostavimo ψ 1 ψ 2 H. Prema H6 tada vaжi ψ i H za neki i {1, 2}. Prema induktivnoj hipotezi imamo M = ψ i, odakle zakljuqujemo M = ψ 1 ψ 2. Za drugi deo tvrđenja, pretpostavimo (ψ 1 ψ 2 ) H. Prema drugom delu uslova H6 tada vaжi ψ 1, ψ 2 H. Prema induktivnoj hipotezi imamo M = ψ 1 i M = ψ 2, pa samim tim i M = (ψ 1 ψ 2 ). φ je oblika xψ(x). Pretpostavimo prvo xψ(x) H. Za svaki zatvoren term t prema uslovu H6 vaжi ψ(t) H pa, prema induktivnoj hipotezi, vaжi i M = ψ(t). Prema lemi tada vaжi i M = ψ(t M ). Kako je svaki element modela M interpretacija nekog zatvorenog terma, zakljuqujemo da vaжi M = xψ(x). Da dokaжemo drugi deo tvrđenja, pretpostavimo da xψ(x) H. Prema H6 postoji zatvoren term t takav da ψ(t) H. Prema induktivnoj hipotezi imamo M = ψ(t), pa primenom leme dobijamo M = ψ(t M ) odakle zakljuqujemo M = xψ(x). 20

21 φ je oblika xψ(x). Pretpostavimo prvo xψ(x) H. Uslov H7 garantuje da postoji zatvoren term t takav da je ψ(t) H. Prema induktivnoj hipotezi vaжi M = ψ(t), pa prema lemi vaжi M = ψ(t M ). Zakljuqujemo M = xψ(x). Da dokaжemo drugi deo tvrđenja, pretpostavimo xψ(x) H. Prema H7 za svaki zatvoren term t vaжi ψ(t) H. Prema induktivnoj hipotezi imamo M = ψ(t), pa primenom leme dobijamo M = ψ(t M ). Kako je svaki element modela oblika t M, zakljuqujemo M = xψ(x). Ovim je tvrđenje uslova (2.5) u potpunosti dokazano. Primetimo da iz njega neposredno sledi da je M model teorije H, qime je dokaz teoreme kompletiran. 2.2 Teorema kompaktnosti Teorija T jezika L je zadovoljiva ako ima model; T je konaqno zadovoljiva ako je svaki njen konaqan podskup zadovoljiv. Teorema kompaktnosti. Svaka konaqno zadovoljiva teorija ima model. Teorija T je maksimalna ako za svaku reqenicu φ vaжi: ili φ T ili φ T. Primetimo da maksimalnost ne povlaqi zadovoljivost. Lema Svaka konaqno zadovoljiva teorija T se moжe proxiriti do maksimalne, konaqno zadovoljive teorije istog jezika. Dokaz. Pretpostavimo da je T konaqno zadovoljiva i da je φ reqenica jezika L. Tvrdimo da je bar jedna od teorija T {φ} i T { φ} je konaqno zadovoljiva. U suprotnom, postoje konaqne teorije T 0, T 0 T takva da nijedna od teorija T 0 {φ} i T 0 { φ} nije zadovoljiva. Kako je teorija T 0 T 0 konaqna podteorija teorije T, ona je zadovoljiva: postoji M = T 0 T 0. U modelu M zadovoljena je taqno jedna od reqenica φ i φ; bez umanjenja opxtosti, neka je to φ. Tada je M model teorije T 0 {φ} xto je u kontradikciji sa pretpostavkom da ta teorija nije zadovoljiva. Time je tvrđenje dokazano. Ostatak dokaza leme je rutinska primena aksiome izbora. Posmatrajmo skup svih konaqno zadovoljivih teorija T T parcijalno uređen inkluzijom. Prema Hausdorfovom principu maksimalnosti ovo parcijalno uređenje ima maksimalan (u odnosu na inkluziju) lanac L. Neka je T unija svih elemenata tog lanca L. Pokaжimo da je T konaqno zadovoljiva teorija. Svaka konaqna podteorija T 0 T je sadrжana u nekoj teoriji koja pripada lancu L, a ta teorija je konaqno zadovoljiva, pa je T 0 zadovoljiva. Prema tome, T je konaqno zadovoljiva. Slede e, tvrdimo da je T maksimalna teorija. Zaista, ako je φ reqenica jezika L, tada je prema gornjem tvrđenju bar jedna od teorija T {φ} i T { φ} konaqno zadovoljiva pa, zbog maksimalnosti izabranog lanca, ta teorija ne moжe biti pravi nadskup teorije T. Samim tim, bar jedna od reqenica φ i φ pripada teoriji T, pa je T maksimalna teorija. Lema Pretpostavimo da teorija T jezika L zadovoljava slede e uslove: 1. T je maksimalna. 2. T je konaqno zadovoljiva. 21

22 3. (Henkinov uslov) Za svaku formulu ϕ(x) jezika L vaжi: ako x ϕ(x) T tada ϕ(c) T za neki simbol konstante c jezika L. Tada je T Hintikin skup reqenica jezika L. Dokaz. Ispunjenost uslova H0-H6 je neposredna posledica maksimalnosti i konaqne zadovoljivosti teorije T. Za proveru ispunjenosti prvog dela uslova H7 pretpostavimo da vaжi xφ(x) T. Neka je t zatvoren term jezika L. Kako skup { xφ(x), φ(t)} oqito nije zadovoljiv, zbog maksimalnosti mora biti φ(t) / T. Odavde, zbog maksimalnosti, dobijamo φ(t) T, xto potvrđuje ispunjenost prvog dela uslova H7. Radi provere drugog dela, pretpostavimo xφ(x) T. Kako skup { xφ(x), x φ(x)} nije zadovoljiv, zakljuqujemo x φ(x) / T odakle, zbog maksimalnosti, sledi x φ(x) T. Prema Henkinovom uslovu vaжi φ(c) T za neki simbol konstante, qime smo pokazali ispunjenost uslova H7. Ispunjenost uslova H8 se proverava na sliqan naqin. Kao neposrednu posledicu Leme i Teoreme imamo: Posledica Svaka maksimalna, konaqno zadovoljiva teorija koja ispunjava Henkinov uslov je zadovoljiva. Neka su L L jezici prvog reda i neka je T teorija jezika L. Nju moжemo posmatrati i kao teoriju jezika L. Nije texko pokazati da se zamena jezika ne utiqe na (konaqnu) zadovoljivost teorije. Zaista, ako T ima model (jezika L), tada taj model obogatimo do modela jezika L proizvoljno interpretiraju i simbole jezika L L, qime ne utiqemo na zadovoljivost L-reqenica, pa je novodobijena struktura takođe model teorije T. Na sliqan naqin se pokaжe i obrnuta implikacija. Lema Ako je T konaqno zadovoljiva teorija jezika L i C skup novih simbola konstanti mo i L + ℵ 0, tada postoji maksimalna, konaqno zadovoljiva teorija T T jezika L C = L C takva da za svaku formulu φ(x) jezika L vaжi: ako xφ(x) T tada φ(c) T za neki c C. Dokaz. Neka je κ = L + ℵ 0 i neka je C = {c i i < κ} numeracija elemenata skupa C. Prema Lemi 2.2.1, postoji maksimalna, konaqno zadovoljiva teorija T 0 T jezika L. Prema prethodnom razmatranju, T 0 je konaqno zadovoljiva teorija jezika L C. Neka je {φ i (x) i < κ} numeracija svih formula φ(x) jezika L takvih da xφ(x) T 0. Za ξ κ definiximo T ξ = T 0 {φ j (c j ) j < ξ}. Tada je (T ξ ξ κ) rastu i (u odnosu na inkluziju) lanac teorija, jer je T ξ+1 = T ξ {φ ξ (c ξ )} i T η = i<η T i za graniqne ordinale η. 1 Tvrdimo da je teorija T ξ (jezika L C ) konaqno zadovoljiva za svaki ξ κ. Dokaz provodimo indukcijom po ξ. Za ξ = 0 tvrđenje oqito vaжi. Pretpostavimo da ono vaжi za sve i < ξ i dokaжimo da vaжi i za ξ. Imamo dva sluqaja: Sluqaj 1. ξ je graniqni ordinal. U ovom sluqaju vaжi T ξ = i<ξ T i, pa je konaqne zadovoljivost teorije T ξ posledica konaqne zadovoljivosti teorija T i za i < ξ, jer je svaka konaqna teorija T T ξ sadrжana u nekoj teoriji T i. 1 Za ovakav lanac se kaжe i da je neprekidan. 22