4. Predavanje. October 18, 2016
|
|
- Μορφευς Μιχαηλίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4. Predavanje October 8, 206 Osnovi elektrostatike Kao što je rečeno na početku, elektromagnetna interakcija je do sada najbolje shvaćena. Ova interakcija doživela je i najširu primenu. Moderna civilazacija bitno zavisi od trenutno postojećih i buduće izmišljenih naprava koje se baziraju na manipulaciji naelektrisanih čestica. Med utim do samo pre nešto više od 200 godina, razumevanje električnih pojava bilo je na nivou razlikovanja dve vrste naelektrisanja, receptu za naelektrisavanje različitih materijala i konstatacije da usled naelektrisavanja tela, ona mogu da se privlače ili odbijaju. Formulisanjem zakona Kulona u matematičkoj formi (784.), učinjen je bitan napredak i postavljena polazna osnova za razumevanje elektromagnetnih pojava.. Kulonov zakon Kulonov zakon definiše silu izmed u dva tačkasto naelektrisana tela: F 2 = 4πε 0 2 r 2 r 0 () F 2 2 F 2 r 0 r Slika Uz definiciju Kulonovog zakona. Prikazan je primer kada su naelektrisanja raznoimena (npr. > 0 i 2 < 0 ili < 0 i 2 > 0.) Dva tačkasta naelektrisanja koja miruju odbijaju se ili privlače silom koja je proporcionalna njihovim količinama naelektrisanja, a obrnuto proporcionalna kvadratu njihovog med usobnog rastojanja. U konstanti proporcionalnosti figuriše permitivnost vakuuma ε 0 = 8, F/m. Poznato je da količina naelektrisanja može biti pozitivna ili negativna, shodno tome ispred količine naelektrisanja treba staviti odgovarajući predznak. S obzirom na ovu činjenicu, za razliku od gravitacione sile (Njutnov zakon gravitacije) koja je evek privlačna električna sila može biti i odbojna. Istoimena naelektrisanja ( ili - -) se med usobno odbijaju, a raznoimena (- ili -) se privlače. Ukoliko želimo da izračunamo samo intenzitet Kulonove sile, treba izostaviti vektorske oznake i predznake naelektrisanja: F = 2 4πε 0 r 2 (2) Za elektrostatičku silu važi princip superpozicije. U tom smislu razmotrimo jedan eksperiment koji je prikazan na Slici 2. Pretpostavimo da raspolažemo sa tri tačkasta naelektrisanja, 2 i 3. Pretpostavimo da smo izmerili silu F izmed u i 2 kada su se ona nalazila na rastojanju r = 0cm, a 3 se nalazi jako daleko. Zatim smo umesto 2 stavili 3 pri čemu smo 2 premestili na veliko rastojanje od i 3, i izmerili silu F 2. U trećem eksperimentu, vratili smo 2 odmah uz 3 i izmerili silu F 3. Ispostavilo bi se da je ukupna sila sada jednaka zbiru prethodne dve F 3 = F F 2. Zaključak je da se sila kojom dva naelektrisanja deluju ne menja zbog prisustva trećeg naelektrisanja.
2 F 2 0cm VELIKA 2 UDALJENOST 3 F 3 0cm VELIKA 3 UDALJENOST 2 2 0cm 3 F 3 F 2 Slika 2 Eksperiment koji demonstrira princip superpozicije. Dakle isto kao i kod gravitacione sile važi princip superpozicije. Odnosno ukoliko želimo da izračunamo ukupnu silu izmed u naelektrisanja koje je nepravilno raspored eno i tačkastog naelektrisanja, nepravilno telo se izdeli na mnogo tačkastih a zatim nad e vektorski zbir svih pojedinačnih sila. n F R = F i (3) Ispravnost Kulonovog zakona ispitana je na vrlo malim rastojanjima, reda veličine 0 8 m, ali i na rastojanjima reda veličine kilometara. Novija saznanja iz teorije kvantne elektrodinamike donose činjenicu da ukoliko Kulonov zakon nebi važio na velikim rastojanjima, tada bi foton morao imati masu mirovanja različitom od nule. Med utim ovo bi impliciralo da bi se u vakuumu crvena i plava svetlost prostirala različitim brzinama, što se neopaža. Robert Miliken, početkom prethodnog veka, eksperimentalno je utvrdio da je količina naelektrisanja uvek celobrojni umnožak jedne iste količine naelektrisanja koje se naziva elementarno naelektrisanje. Ovo se može izraziti u vidu formule: i= = Ne (4) N = 0, ±, ±2, ±3,... i e =, C. Danas kada imamo jasnu sliku o strukturi materije i strukturi atoma, nije teško da se prihvati činjenica o kvantizaciji naelektrisanja. Jezgro se sastoji od neutralnih čestica neutrona i pozitivno naelektrisanih čestica protona. Svaki proton je naelektrisan jednim pozitivnim elementarnim naelektrisanjem. Omotač atoma čine elektroni koji su negativno naelektrisani takod e sa po jednim negativnim naelektrisanjem. Naelektrisavanje tela vrši se samo prelaskom elektrona sa jednog tela na drugo. S obzirom da je masa elektrona zanemarljiva u odnosu na masu atomskog jezgra, pri naelektrisavanju tela promena mase tela se ne opaža. Pozitivno naelektrisana tela imaju samo manjak elektrona, dok negativna imaju višak. S obzirom da u klasičnim demonstracijama naelektrisavanja tela ebonitnim i staklenim šipkama dolazi do premeštanja velikog broja elektrona, elementarnost naelektrisanja se tu ne opaža. Eksperiment kojim je Miliken dokazao da postoji najmanja količina naelektrisanja prikazan je na Slici 3. gornja metalna ploca rupica za ubrizgavanje ulja izvor napona koji se moze regulisati donja metalna ploca mikroskop vidno polje mikroskopa Slika 3 Principijalna šema aparature koju je koristio Miliken za odred ivanje elementarnog naelektrisanja. 2
3 Dve metalne paralelne ploče jednakih dimenzija priključene su na izvor napona koji se može regulistai. Pomoću ovog izvora postiže se da ploče mogu biti naelektrisane istim količinama naelektrisanja ali suprotnog znaka. Polaritet ploča se takod e može menjati. Gornja može biti pozitvno naelektrisana, a donja negativno ili obrnuto. Takod e, ploče mogu biti i neutralne. Na gornjoj ploči nalazi se mikronska rupica kroz koju se ubrizgava ulje, koje se raspršuje na vrlo sitne kaplice. Prilikom raspršivanja, kapljice se naelektrišu usled trenja. Pojedinačne kapljice zatim se posmatraju mikroskopom koji ima mernu skalu za dužinu. Kada su ploče neutralne kapljica pod dejstvom gravitacione sile pada naniže ali zbog sile viskoznog trenja, koja deluje suprotno od smera kretanja, kapljica počne da se kreće stalnom brzinom. Odnosno gravitaciona sila i sila viskoznog trenja se izjednače: mg = 6πηrv (5) gde je m masa uočene kapljice, g ubrzanje zemljine teže, η koeficijent viskoznosti, r poluprečnik kapljice i v brzina kretanja kapljice. Radi jednostavnosti, u ovom razmatranju zanemarena je sila potiska vazduha. Gustina kapljice, s obzirom da je ona sfernog oblika, data je izrazom: ρ = 3m 4πr 3 (6) Ako pomoću (6) iz (5) eliminišemo poluprečnik kapljice r, nalazimo gravitacionu silu koja deluje na kapljicu: 62η mg = π 3 v 3 (7) ρg Gustina kapljice jednaka je gustini ulja pa je prethodno merljiva veličina. Koeficijent viskoznosti vazduha takod e je poznata veličina u datim uslovima. Sledi da se gravitaciona sila mg može odrediti posmatranjem kretanja kapljice kroz mikroskop, odnosno mereći njenu brzinu kada ploče nisu naelektrisane. Sledeći korak u eksperimentu, podrazumeva uključivanje napona i zaustavljanje kapljice. Tada su električna sila i gravitaciona sila izjednačene: U d = mg (8) gde je U napon, a d razmak izmed u ploča. Iz ovih razmatranja može se zaključiti, da je za merenje količine naelektrisanja svake kapljice potrebno izmeriti njenu brzinu i napon pri kome se kapljica zaustavlja. Ponavljajući eksperiment više hiljada puta, Miliken je utvrdio da se količine naelektrisanja kojom se naelektrišu kapljice uvek razlikuju za celobrojni umnožak naelektrisanja koje iznosi e =, C. Vrednost za elementarno naelektrisanje koje je dobijeno savremenim metodama iznosi e =, C. Njegova merenja definitivno su pokazala da postoji ne deljiva količina naelektrisanja i za ovo otkriće on je dobio Nobelovu nagradu 923. godine. Važna činjenica je da se u zatvorenom sistemu ukupna količina naelektrisanja održava. Nemoguće je da se neki zatvoreni sistem spontano naelektriše ili neutrališe. Proton može da se transformiše u jezgru atoma na neutron, ali raspad je praćen i emisijom čestice pozitrona koje upravo nosi isto naelektrisanje kao i proton. Neutron se opet može transformisati u proton, pri čemu dobijamo višak pozitivnog naelektrisanja, ali se u istom procesu stvara i elektron, pa je opet zadovoljen zakon održanja ukupne količine naelektrisanja. Ukoliko foton dovoljne energije prod e u blizini atomskog jezgra, moguć je proces stvaranja pozitron-elektron para. Med utim i ovde se ukupno naelektrisanje ne menja. U prirodi nije nad en proces koji narušava zakon održanja naelektrisanja. Zatvoreni sistem i neki od opisanih procesa ilustrovani su na Slici 4. 3
4 ZATVORENI SISTEM =const. p p p p p e p e n 0 0 n 0 ~ 0 p p Slika 4 Zatvoreni sistem u kome se ukupna količina naelektrisanja održava. U crtkanim kružnicama prikazani su procesi koji ne narušavaju zakon održanja ukupne količine naelektrisanja. S obzirom na sličnost Njutnovog zakona i Kulonovog zakona: umesto masa u Kulonovom zakonu figurišu količine naelektrisanja, moglo bi se zaključiti da u naelektrisanju i masi ima neke sličnosti. Na primer, prema specijalnoj teoriji relativnosti, ukoliko se brzina objekta povećava, raste i njegova masa. Dakle po analogiji imamo opravdanja da pretpostavimo da važi relacija = 0 / v2. c 2 Med utim eksperimenti pokazuju da to nije tako. Količina naelektrisanja nekog objekta nezavisna je od sistema referencije u kome se posmatra. Odnosno količina naelektrisanja nekog objekta ne zavisi od brzine njegovog kretanja. Ova zakonitost naziva se invarijantnost naelektrisanja, i može se zapisati u vidu formule: = inv. (9) Na primer u atomu vodonika, proton miruje, a elektron se kreće velikom brzinom oko protona. Ukoliko naelektrisanje nebi bilo invarijantno, atom nebi bio u potpunosti neutralan. Ni jedan eksperiment i sa drugim atomima nije pokazao odstupanje od invarijantnosti naelektrisanja. Na Slici 5 je prikazan zamišljen eksperiment koji dokazuje ovo pravilo. m m m v v m masa = 2m koliina naelektrisanja =2 2 2 masa = 2m/ -v c koliina naelektrisanja =2 Slika 5 Misaoni eksperiment koji pokazuje da je naelektrisanje invarijantno u odnosu na Lorencove transformacije. 4
5 .2 Pojam električnog polja Posmatramo usamljeno naelektrisanje 0. U odsustvu drugih naelektrisanja nema sile koje deluje na to naelektrisanje. Med utim ukoliko u blizini 0 postavimo tačksto naelektrisanje, očigledno dolazi do promene, tj. javlja se električna sila na naelektrisanje 0. Kažemo da naelektrisanje stvara električno polje u prostoru, koje deluje na naelektrisanje 0. Do egzaktne definicije električnog polja dolazimo pomoću Kulonovog zakona. F = 0 4πε 0 r 2 r 0 = 0E (0) U tom smislu električno polje tačkastog naelektrisanja je: E = 4πε 0 r 2 r 0 () Intenzitet električnog polja izražava se u jedinicama N/C (Njutn po Kulonu) ili V/m (Volt mo metru). Za električno polje isto kao i za silu važi princip superpozicije: E = E E 2... E n (2) Električno polje u nekoj tački jednako je vektorskom zbiru električnih polja koja potiču od svih prisutnih naelektrisanja. Uobičajno je da se električno polje vizuelno prikaže u vidu linija sila električnog polja (Slika 6). - a) b) Slika 6 Linije sila električnog polja tačkastog naelektrisanja. a) pozitivno naelektrisanje b) negativno naelektrisanje. Linije sila električnog polja tačkastog naelektrisanja su zrakaste linije koje se simetrično pružaju u sve pravce prostora. Strelica odred uje smer vektora električnog polja. Pozitivna naelektrisanja kažemo da su izvori električnog polja, a negativna naelektrisanja ponori električnog polja. U tom smislu, ukoliko u prostoru postoji naelektrisanje, dodeljena je pored geoemtrijskih karakteristika još jedna osobina prostora. U opštem slučaju za proizvoljan raspored naelektrisanja električno polje je vektor koji je funkcija tri kordinate i vremena: E = E(x, y, z, t), (3) med utim u elektrostatici razmatraju se samo polja koja ne zavise od vremena. Ili koja promene svoju konfiguraciju u vrlo kratkom vremenskom intervalu, odnosno pred u iz jednog statičnog stanja u drugo statično stanje. Uopšte konfiguracija električnog polja odred ena je rasporedom naelektrisanja i može imati vrlo nepravilni oblik (Slika 7). U oblasti gde su linije gušće, električno polje ima veći intenzitet. Takod e u svakoj tački linije sila, vektor električnog polja je tangenta. 5
6 B E E A Slika 7 Primer neke konfiguracije linije sila električnog polja. U blizini tačke A linije su red e nego u tački B. Sledi da je intenzitet u tački B veći nego u A. Takod e vidi se da su vektori električnog polja tangente na linije sila. Na Slici 9 prikazana je konfiguracija nekog električnog polja koja se dobija svremenim programskim paketima. Slika 8 Primer neke konfiguracije električnog polja dobijenim pomoću savremenog softvera. Za neke jednostavne raspodele naelektrisanja funkcija E(x, y, z) se može odrediti egzaktno. Najjednostavniji primer su dve planparalelne metalne ploče naelektrisane istom količinom naelektrisanja ali suprotnog znaka (Slika 9). Ukoliko je rastojanje izmed u ploča mnogo manje od dimenzija ploča, električno polje izmed u ploča je homogeno. Koristeći tzv. Gausovu teoremu, može se pokazati da je intenzitet električnog polja unutar ploča dato izrazom: E = gde je količina naelektrisanja kojom su naelektrisane ploče, ε 0 permitivnost vakuuma i S površina ploča. ε 0 S (4) Slika 9 Homogeno električno polje formirano izmed u dve naelektrisane planparalelne metalne ploče. U oblasti krajeva električno polje nije homogeno, ali vrlo brzo slabi. Vrlo važne konfiguracije električnog polja su one koje se dobijaju od dve tačke naelektrisane istim količinama naelektrisanja, ali suprotnog znaka. Ovakava konfiguracija naziva se električni dipol, a odgovarajuće poljpolje dipola (Slika 0). 6
7 .2. Električno polje dipola Slika 0 Električno polje dipola Električno polje dipola se može egzaktno izračunati u celom prostoru. Ovde ćemo samo računati polje duž x i y-ose kada se dipol nalazi u x y-ravni (Slika ). y E A E E - - l 0 Slika Dva tačkasta naelektrisanja suprotnog znaka koja se nalaze na rastojanju l na osi x. Neka se naelektrisanja i nalaze na rastojanju l. Prema definiciji električnog polja za tačkasto naelektrisanje, intenzitet električnog polja u tački B koji potiče od pozitivnog naelektrisanja je: E E = 4πε 0 (x l/2) 2 (5) B x a od negativnog: E = 4πε 0 (x l/2) 2 (6) Ukupan intenzitet u B je dat razlikom izmed u E i E E = ( ) 4πε 0 (x l/2) 2 (x l/2) 2 (7) 7
8 Odnosno, ako svedemo na zajednički sadržalac: Na vrlo velikim rastojanjima x >> l relacija se svodi na: E = 2lx 4πε 0 (x 2 (l/2) 2 ) 2 (8) E = 2πε 0 l x 3 = 2πε 0 p x 3 (9) Proizvod l se naziva dipolni moment i obično se označava sa p. Dipolni moment je vektorska veličina koja ima pravac spajanja dva tačkasta naelektrisanja suprotnog znaka. Smer je od negativnog ka pozitivnom naelektrisanju. Vidimo da električno polje dipola opada sa trećim stepenom rastojanja od x-ose. U tački A vidimo da se y komponente električnog polja poništavaju. Zbog toga je ukupno električno polje na y osi dato sa: E = 2E cos θ (20) Intenzitet električnog polja pozitivnog naelektrisanja je: Sa slike se vidi da je: Ako (2) i (22) uvrstimo u (20) nalazimo: E = 4πε 0 (y 2 (l/2) 2 ) cos θ = E = 4πε 0 (2) l/2 y 2 (l/2) 2 (22) l (y 2 (l/2) 2 ) 3 2 Opet ako razmatramo velika rastojanja od dipola y >> l, nalazimo: (23) E = 4πε 0 l y 3 = 4πε 0 p y 3 (24) I ovde vidimo da električno polje dipola u pravcu y-ose opada sa trećim stepenom rastojanja. Konfiguracija od dva suprotno naelektrisana tačkasta naelektrisanja koja se nalaze na fiksnom rastojanju ili konfiguracija koja se može svesti na ovu sliku je česta pojava kod molekula. Na primer ako bi molekul vodonika (sastoji se od jednog protona i jednog elektrona) zamrznuli u jednom trenutku vremena, mogli bi smo reći da je dipolni moment molekula vodonika različit od nule. Med utim, prema kvantnoj fizici, ne može se utvrditi tačna pozicija elektrona koji se nalazi oko jezgra. Elektronu se pripisuje oblak naelektrisanja koji je simetrično raspored en oko jezgra (Slika 2.a). Shodno tome, proton kao da se nalazi u naelektrisanoj sferi, pa nema električnog dipola. Med utim ako se atom vodonika unese u električno polje, doći će do redistribucije elektronskog oblaka, odnosno pojaviće se oblast gde se elektron češće nalazi. U tom smislu dolazi i do narušavanja simetrije, odnosno pojave električnog dipola atoma vodonika. Pojava dipolnog momenta koji je izazvan spoljašnjim poljem naziva se indukovani dipol (Slika 2.b.). klasična slika E=0 E0 kvantna slika e e e p p p e e e a) b) Slika 2 a) Simetrična distribucija elektrona oko jezgra atoma vodonika- nema dipolnog momenta. b) U prisustvu električnog polja dolazi do redistribucije elektronskog oblaka, odnosno pojave indukovanog dipola. 8
9 Permanentne ili stalne dipolne momente imaju neki molekuli koji su prikazani na Slici 3. Molekul vode ima veliki dipolni moment, a to je jedan od uzroka što je voda idelana sredina za odvijanje mnogih hemijskih procesa relevantnih za život. HLOROVODONIK Cl H 30 p=3,44 0 Cm AMONIJAK H N H H 30 p=4,77 0 Cm UGLJEN MONOKSID VODA C O 3 p=3,34 0 Cm H O H 30 p=6,4 0 Cm Slika 3 Neki molekuli sa stalnim dipolnim momentom. Električni dipol u homogenom električnom polju teži da se orjentiše u pravcu polja. U nehomogenom polju, on se i pomera u pravcu najbrže promene polja (Slika 4). E E - p F - p Slika 4 Električni dipol u homogenom i nehomogenom električnom polju..3 Električni potencijal Električno polje je vektorska veličina koja se može izračunati iz raspodele naelektrisanja. Električno polje je poznato ako poznajemo sve tri komponente u funkciji tri kordinate: E x = E x (x, y, z) E y = E y (x, y, z) E z = E z (x, y, z) (25) Med utim, može se uvesti skalarna veličina koja se naziva električni potencijal, a takod e nosi kompletnu informaciju o konfiguraciji električnog polja. ϕ = ϕ(x, y, z) (26) Jedinica za potencijal je V (Volt). Potencijal koji stvara tačkasto naelektrisanje u vakuumu može se izračunati pomoću formule: ϕ = 4πε 0 r Potencijal je brojno jednak radu potrebnom da se jedinično naelektrisanje prenese iz beskonačnosti na rastojanje r od taǩastog naelektrisanja. Potencijal je aditivna veličina: n ϕ = ϕ i (28) i= Dakle ako u nekoj tački prostora želimo da izračunamo električni potencijal, treba sabrati sve potencijale od prisutnih naelektrisanja. Napon predstavlja razliku potencijala izmed u dve tačke: (27) U = ϕ ϕ 2 (29) 9
10 a jedinica je takod e Volt. Rad pri premeštanju naelektrisanja izmed u tačaka gde vlada potencijalna razlika U jednak je: A = U (30) Jedinica za električni rad je ista kao i u mehanici (Džul). Med utim u razmatranju mikroskopskih pojava koristi se jedinica ev (elektronvolt). Rad od jednog elektron volta izvrši električno polje pri premeštanju elementarnog naelektrisanja izmed u tačaka gde vlada potencijlana razlika od jedan volt. Iz ove definicije sledi veza: ev =, J. Pretpostavimo da imamo dva tačkasta naelektrisanja i 2 na rastojanju r. S obzirom na definiciju potencijala (27), energija elektrostatičke interakcije ova dva naelektrisanja jednaka je E p = ϕ 2 2 (3) gde je ϕ 2 potencijal koji stvara naelektrisanje u tački gde se nalazi 2. Med utim energija interakcije može se napisati i kao: E p = ϕ (32) gde je ϕ potencijal koji stvara naelektrisanje 2 u tački gde se nalazi naelektrisanje. Zbog jednakosti (3) i (32), električna energija interakcije je: Relacija (33) može se uopštiti na sistem od n tačkastih naelektrisanja: E p = 2 (ϕ ϕ 2 2 ) (33) E p = n ϕ i i (34) 2 i= koja kaže da se ukupna energija interakcije n tačkastih naelektrisanja računa kao polovina zbira proizvoda ukupnog potencijala i naelektrisanja u svih n tačaka. Vrlo važan pojam u elektrostatici je kapacitet. U tom smislu razmatramo provodno telo proizvoljnog oblika koje je naelektrisano količinom naelektrisanja (Slika 5). Slika 5 Provodno telo naelektrisano količinom naelektrisanja do potencijala ϕ. Naeelektrisanje na ovom provodniku će se tako rasporediti da je potencijal na površini ovog tela svuda isti i znosi ϕ. U suprotnom, ukoliko bi postojala razlika potencijla na površini provodnog tela javio bi se tok eletrične struje, a u elektrostatici sva naelektrisanja miruju. Može se uspostaviti relacije izmed u količine naelektrisanja provodnog tela i potencijala ovog provodnog tela: = Cϕ (35) Količina naelektrisanja nekog provodnog tela srazmerna je potencijalu na kom se nalazi to telo. Konstanta proporcionalnosti C naziva se kapacitet, a jedinica je Farad (F)..4 Kondenzatori Sistem od dva med usobno izolovana provodnika naelektrisana istom količinom naelektrisanja ali suprotnog znaka naziva se kondenzator. Za kondenzator važi veza: = CU (36) gde je C kapacitet kondenzatora, a U razlika potencijala izmed u ova dva provodnika. Kondenzatori imaju veliku primenu u elektrotehnici, tj. neizostavni su deo praktično svih električnih kola. Najjednostavniji kondenzator je izrad en u vidu dve med usobno izolovane planparalelne provodne ravni. Ovaj kondenzator naziva se pločasti kondenzator (slika 6). 0
11 S U d - Slika 6 Pločasti kondenzator priključen na napon U. Pomoću tzv. Gausove teoreme može se pokazati da je kapacitet pločastog kondenzatora: S C = ε 0 ε r (37) d gde je ε r relativna permitivnost date sredine (u ovom slučaju to se odnosi na meterijal izmed u ploča), S površina ploče i d normalno rastojanje izmed u njih. Kako je kapacitet srazmeran površini ploča, kondenzatori sa većim kapacitetom imaju i veće dimenzije. Zbog toga oni zauzimaju najviše prostora u odnosu na druge komponente u električnim kolima. Kondenzatori vremenom mogu izgubiti karakteristike i čest su uzrok kvara električnih kola. Pored kapaciteta svaki kondenzator okarakterisan je i maksimalnim naponom na koji može biti priključen (slika 7). Slika 7 Kondenzatori u raznim varijantama. Mogu se vezati redno i paralelno. U tom smislu može se definisati ekvivalentni kapacitet redne i ekvivalentni kapacitet paralelne veze..4. Redna veza kondenzatora Razmotrimo redno vezane kondenzatore kao što je prikazano na Slici 8. A U U 2 U 3 U n C C 2 C 3 C n B A U C e Slika 8 Redno vezani kondenzatori i njihov ekvivalentni kapacitet. Šematska oznaka kondenzatora su dve paralelne linije, koje predstavljau ploče naelektrisane istim količinama naelektrisanja, ali suprotnog znaka. Celokupan niz od n kondenzatora može se zameniti jednim kondenzatorom koji ima tzv. ekvivalentni kapacitet. Ukupan napon izmed u tačaka A i B je: a s obzirom na relaciju (36), sledi: B U = U U 2 U 3... U n (38) =... (39) C e C C 2 C 3 C n odnosno ekvivalenti kapacitet redno vezanih kondenzatora je dat obrascem: C e = C C 2 C 3... C n (40)
12 .4.2 Paralelna veza kondenzatora Razmotrimo paralelno vezane kondenzatore priključene na napon U kao što je prikazano na Slici 9. A 2 3 n U U C C 2 C 3 C n B Slika 9 Paralelno vezani kondenzatori i njihov ekvivalentni kapacitet. Ukupno naelektrisanje u tački A je: odnosno prema (36), sledi: C e = n (4) C e U = C U C 2 U C 3 U... C n U (42) Nakon skraćivanja napona, nalazimo izraz za izračunavanje ekvivalentnog kapaciteta paralelno vezanih kondenzatora: C e = C C 2 C 3...C n (43).4.3 Energija kondenzatora Razmotrimo kondenzator koji ima kapacitet C. Potencijal ploče naelektrisane pozitivnom količinom naelektrisanja je ϕ, a potencijal negativne ploče je ϕ. Prema (34) ukupna energija interakcije naelektrisanih ploča je: S obzirom da je kod kondenzatora =, sledi: E p = 2 (ϕ ϕ ) (44) E p = 2 (ϕ ϕ ) = 2 (ϕ ϕ ) (45) Razlika potencijala je napon izmed u ploča kondezatora ϕ ϕ = U, pa sledi izraz za energiju kondenzatora: E p = U (46) 2 A B odnoosno s obzirom na (36): E p = 2 CU 2 (47) PRVI ZADATAK Odrediti energiju interakcije tačkastih naelektrisanja = e, 2 = 5e i 3 = 8e, koja se nalaze u temenima jednakostraničnog trougla stranice a = 0nm. e je elementarno naelektrisanje i iznosi e =, C; ε 0 = 8, F/m REŠENJE Na slici je ilustrovana situacija opisana u zadataku. 3 3 a a 2 a 2 2
13 Potencijal u tački je: u tački 2: i u tački 3: S obzirom na (34) sledi: ϕ = 4πε 0 a ( 2 3 ) () ϕ 2 = 4πε 0 a ( 3 ) (2) ϕ 3 = 4πε 0 a ( 2 ) (3) E p = 2 (ϕ ϕ 2 2 ϕ 3 3 ) (4) Ako uvrstimo izraze (), (2) i (3) u (4), nakon sred ivanja nalazimo: E p = 4πε 0 a ( ) (5) Brojna vrednost je: E p = 8, J. U jedinicama ev E p = 5, 32eV. DRUGI ZADATAK Kondenzator kapaciteta C = 2µF, naelektrisan do napona U = 60V, priključili smo paralelno na krajeve redno vezanih kondenzatora C 2 = 3µF i C 3 = 5µF koji su bili nenaelektrisani. Kolika će pri tome proteći količina naelektrisanja kroz spoj? Kolika je promena ukupne energije kondenzatora? REŠENJE Situacija pre spajanja i nakon spajanja prikazana je na Slici. U C U ' ' C C 2 C 3 2 C e Ekvivalentni kapacitet redne veze kondenzatora C 2 i C 3 je prema (40): odnosno: Naelektrisanje kondenzatora C pre spajanja je prema (36): C e = C 2 C 3 () C e = C 2C 3 C 2 C 3 =, 875µF (2) = C U = 20µC (3) Izvesna količina naelektrisanje nakon spajanja kondenzatora pred e sa C na ekvivalentni kondenzator C e, pa se za novu raspodelu naelektrisanja može napisati: pri čemu je: i = 2 (4) = C U (5) 2 = C e U (6) Kombinacijom (4), (5) i (6) nalazimo napon na C i C e nakon preraspodele naelektrisanja: U = C C C e U = 3V (7) 3
14 Na osnovu (5) i rešenja (7) sledi naelektrisanje na kondenzatoru C nakon spajanja: = C U = 62µC (8) Naelektrisanje koje protekne kroz spoj je: = = 58µC (9) Energija kondenzatora pre spajanja je prema (47) E p = 2 C U 2 = 3, 6mJ (0) A nakon spajanja: E p2 = 2 C U 2 2 C eu 2 =, 86mJ () Promena energije je: E = E p E p2 =, 74mJ (2) Pri spajanju kondenzatora izvestan deo energije se transformisao u toplotu! Zadaci za samostalni rad: 5.; 5.2; 5.3; 5.4; 5.5; 5.6; 5.7; 5.8; 5.9; 5.0; 5.; 5.2; 5.3; 5.4; 5.5; 5.6 Literatura: Zbirka zadataka iz fizike - mašinski odsek, Ljuba Budinski-Petković, Ana Kozmidis-Petrović, Milica Vučinić Vasić, Ivana Lončarević, Aleksandra Mihailović, Dušan Ilić, Robert Lakatoš. FTN Izdavaštvo, Novi Sad. 4
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα1.2. Provodnici, izolatori i poluprovodnici
1 1. Električno polje 1.1. Naelektrisanje Postoje dva tipa naelektrisanja. Jedan tip nazvan je pozitivno naelektrisanje, a drugi negativno naelektrisanje. Jedinica za količinu naelektrisanja je kulon (C).
Διαβάστε περισσότεραElektrostatika. Dr Željka Tomić
Elektrostatika Dr Željka Tomić 23.12.2015 1 Elektrostatika KRZNO Ebonit Šipka Svila - - - - - - - +++++++ staklo Elektron Proton eutron 3 Naelektrisanje elektrona elementarno nalektrisanje e = 1,6022 10-19
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραRad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραElektrodinamika 2. zadaci sa prošlih rokova, emineter.wordpress.com
Elektrodinamika zadaci sa prošlih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 5. jul 016. 1. Kružnica radijusa R deli ravan u kojoj se nalazi na dve oblasti. Unutrašnja oblast se održava na nultom potencijalu,
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραRAD, SNAGA I ENERGIJA
RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραOsnovna struktura atoma. summer school Borov model atoma
Osnovna struktura atoma Borov model atoma Osnovna struktura atoma Atom se sastoji od jezgre i omotača Jezgro čine protoni i neutroni koji su električki neutralni Elektroni su negativne naelektrisanja (-)
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić
OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραElektrodinamika 1. zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com. Pismeni ispit, 18. januar 2016.
Elektrodinamika 1 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 18. januar 016. 1. Zapreminska gustina naelektrisanja u prostoru ima oblik ρ( r) = αδ(ρ + z a )ν(z), gde su ρ i z cilindri
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραElektrične pojave. Glava Elektrostatika
Glava 10 Električne pojave 10.1 Elektrostatika Još u antičkoj grčkoj, oko 500 godina pre nove ere, je bilo poznato da ćilibar, kada se protrlja, privlači komadiće slame. Današnja reč za elektricitet je
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραTest pitanja Statika fluida
Test pitanja Statika fluida 1. Agregatna stanja. čvrsto stanje - telo ima određeni oblik i zapreminu; tečno stanje - telo ima određenu zapreminu, a oblik zavisi od suda u kome se nalazi; gasovito stanje
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραHEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραOTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραSilu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će
Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će se bez obzira na masu kretati istim ubrzanjem Zanimljivo
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα1 Kinematika krutog tela
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, IV predavanje, 2017. 1 Kinematika krutog tela Kruto telo je sistem materijalnih tačaka čija se međusobna udaljenost ne menja tokom vremena. Kruta tela
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραV(x,y,z) razmatrane povrsi S
1. Napisati izraz koji omogucuje izracunavanje skalarne funkcije elektricnog potencijala V(x,y,z) u elektrostaskom polju, ako nema prostornoo rasporedjenih elekricnih naboja. Laplaceova diferencijalna
Διαβάστε περισσότερα1.1 Polusfera poluprečnika R ravnomerno je površinski naelektrisana naelektrisanjem σ > 0. Naći električno polje E u centru sfere.
1 Uvodni zadaci 1.1 Polusfera poluprečnika R ravnomerno je površinski naelektrisana naelektrisanjem σ > 0. Naći električno polje E u centru sfere. 1.2 Lopta poluprečnika R naelektrisana je zapreminski
Διαβάστε περισσότεραM. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VII predavanje, 2017.
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VII predavanje, 2017. Konzervativne sile i potencijalna energija 1 Konzervativne sile Definicija konzervativne sile. Sila je konzervativna ako rad te sile
Διαβάστε περισσότεραVektorska analiza doc. dr. Edin Berberović.
Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović eberberovic@mf.unze.ba Vektorska analiza Vektorska algebra (ponavljanje) Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) Jednostavna analiza (diferenciranje) Učenje
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότερα5. Predavanje. October 25, 2016
5. Predavanje October 25, 2016 1 Električne struje Za razliku od struja koje su vidljive: morske struje, rečne struje, strujanje vazduha itd., električne struje nisu direktno vidljive, već se celokupno
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραInduktivno spregnuta kola
Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje
Διαβάστε περισσότερα