Elektrotechncká fakulta, Žlnská unverzta v Žlne Katedra Telekomunkácí DIPLOMOVÁ PRÁA Peter KORTIŠ
POĎAKOVANIE hcel by som poďakovať vedúcemu mojej dplomovej práce Ing. Vladmírov Hottmarov za jeho odbornú pomoc, cenné rady a ústretovosť pr tvorbe dplomovej práce. Ďakujem aj ostatným, ktorí m pomohl pr tvorbe tejto dplomovej práce.
OBSAH ZOZNAM POUŽITÝH SKRATIEK A SYMBOLOV:...I. ÚVOD:.... GENERÁTORY PSEUDONÁHODNÝH POSTUPNOSTÍ..... ROVNOMERNÉ PSEUDONÁHODNÉ POSTUPNOSTI A MOŽNOSTI IH GENEROVANIA..... KONGRUENTNÉ METÓDY... 5.3. ZMIEŠANÁ KONGRUENTNÁ METÓDA... 6.4. MULTIPLIKATÍVNA KONGRUENTNÁ METÓDA....5. ADITÍVNA KONGRUENTNÁ METÓDA... 3.6. GENEROVANIE ČÍSEL Z INTERVALOV S ĽUBOVOĽNÝMI TYPMI OHRANIČENIA... 5.7. INIIALIZÁIA GENERÁTORA... 5.8. ZHRNUTIE VLASTNOSTÍ KONGRUENTNÝH GENERÁTOROV... 7 3. KOMBINOVANIE GENERÁTOROV... 8 3.. PERTUBAČNÁ METÓDA... 8 3.. VIANÁSOBNÁ METÓDA... 3.3. METÓDA SHUFFLE... 3 4. GENEROVANIE PSEUDONÁHODNÝH ČÍSEL SO ZADANÝM ROZDELENÍM... 7 4.. METÓDA INVERZNEJ TRANSFORMÁIE... 7 4... Metóda nverznej transformáce s využtím apromáce... 8 4... Metóda nverznej transformáce s využtím nterpoláce... 9 4..3. Metóda nverznej transformáce pre dskrétne rozdelena... 3 4.. METÓDA ODMIETANIA... 3 4.3 KOMPOZIČNÁ METÓDA... 33 5. GENEROVANIE VYBRANÝH SPOJITÝH ROZDELENÍ... 34 5.. ROVNOMERNÉ ROZDELENIE... 34 5.. NORMÁLNE (LAPLAE GAUSSOVE) ROZDELENIE... 35 5... Metóda s využtím centrálnej lmtnej vety... 35 5... Buteherova-Kahnova metóda... 36 5..3. Mulleremova metóda... 37 5..4. Inverzná metóda... 37 5.3. EXPONENIÁLNE ROZDELENIE... 38 5.4. GAMA ROZDELENIE... 39 5.5. BETA ROZDELENIE... 4 5.6. χ ROZDELENIE... 4 5.7. STUDENTOVE ROZDELENIE... 4 5.8. FISHER-SNEDEOROVE ROZDELENIE... 43 5.9. ERLANGOVE ROZDELENIE... 44 5.. RAYLEIGHOVE ROZDELENIE... 45 6. GENEROVANIE VYBRANÝH DISKRÉTNYH ROZDELENÍ... 46 6.. BINOMIKÉ ROZDELENIE... 46 6.. POISSONOVE ROZDELENIE... 47 6.3. GEOMETRIKÉ ROZDELENIE... 47 6.3. ROVNOMERNÉ DISKRÉTNE ROZDELENIE... 48 7. TESTOVANIE GENERÁTOROV PSEUDONÁHODNÝH POSTUPNOSTÍ... 5 7.. FREKVENČNÝ TEST... 5 7.. POKEROVÝ TEST... 5 7.3. TEST DĹŽKY MEDZERY MEDZI ČÍSLIAMI... 5 7.4. TEST DĹŽKY MEDZERY MEDZI PSEUDONÁHODNÝMI ČÍSLAMI... 5 7.5. TEST AUTOKORELÁIE... 5 7.6. χ TEST... 53
8. ZÁVER... 55
Zoznam použtých skratek a symbolov: D(X) Rozptyl náhodnej premennej X E(X) Stredná hodnota náhodnej premennej X F() Dstrbučná funkca f() Hustota pravdepodobnost F - () Inverzná funkca ku dstrbučnej funkc P(A) Pravdepodobnosť nastata javu A R (k) Autokorelačná funkca
. Úvod: Pr modelovaní náhodných javov sú potrebné náhodné čísla. Ne je dôležté, akým spôsobom sa náhodné čísla získajú, musa však spĺňať požadované krtéra. V pra sa môžu vyskytovať rôzne zdroje náhodných čísel založené na rôznych prncípoch, napr. šum elektrckého zoslňovača, tepelný šum volfrámového vlákna, výstrelový šum dódy alebo mpulzný šum rádoaktívneho žarča. Aj naprek svojm výhodám, ako je napr. veľká rýchlosť generovana náhodných čísel, sa z nástupom číslcových počítačov vyvnul né (artmetcké) metódy. Teto metódy sú v súčasnost najpoužívanejše.
. Generátory pseudonáhodných postupností Pre generovane náhodných postupností na počítač bol vypracované metódy pre realzácu náhodných postupností pomocou rekurentných vzťahov typu ( X, X,, X ) ; m X K. () n+ = f n n n m Teto postupnost sa nazývajú pseudonáhodné, pretože je v nch presne daný vzťah medz predchádzajúcm a nasledujúcm členom postupnost. Teto postupnost sú postupnosťam dskrétnych čísel, pretože počítač pracuje s obmedzeným počtom bnárnych, alebo dekadckých mest. Vzhľadom na to, že ne je možné presne určť (teda aj vygenerovať) ľubovoľné reálne číslo pr obmedzenom počte desatnných mest, je zrejmé, že generované čísla ne sú náhodné (v zmysle matematckej defníce), ale sú to len konečné desatnné zlomky. Z uvedeného tež vyplýva, že peróda pseudonáhodných čísel nemôže byť nekonečne veľká. Aj naprek uvedeným skutočnostam je rozdel medz náhodným a pseudonáhodným číslam mnmálny a pr vyššom počte dekadckých mest zanedbateľne malý (pozr kaptolu.). Z praktckého hľadska je chyba pr smulác s využtím pseudonáhodných čísel zanedbateľne malá a ne je nutné ju uvažovať... Rovnomerné pseudonáhodné postupnost a možnost ch generovana Majme pseudonáhodnú postupnosť čísel X: { X } = X, X, K, X, ; n K X ;) =,, K. Ak sa obmedzíme na b bnárnych mest a neuvažujeme chyby vplyvom zaokrúhlena, tak pre prrodzené číslo P= b môže X nadobúdať hodnoty z množny P,,, L, ; a to každú hodnotu s pravdepodobnosťou. Ak zavedeme namesto P P P P postupnost { X } postupnosť { }, prčom vzťah medz oboma postupnosťam je = X P ; =,, K, P, potom postupnosť { } nadobúda hodnoty z množny {,,, K, P } E ( ) =. Potom štatstcké charakterstky postupností sú nasledovné: P = P = P P ( P ) ( P ) =
P ( ) ( )( ) = P P = K = E P = P D( ) = E( ) [ E( ) ] = K = E D = P ( X ) ( X ) 6 P = Rozdel medz strednou hodnotou pseudonáhodnej postupnost E ( X ) a požadovanou strednou hodnotou je pre veľké P zanedbateľne malý ( pre P > 4,768. 7 ). To sté tvrdene samozrejme platí aj pre rozptyl a ostatné štatstcké charakterstky. Požadavky kladené na pseudonáhodnú postupnosť a teda aj na generátor tejto postupnost sú: Dobré a stablné štatstcké charakterstky. Pseudonáhodná postupnosť sa musí svojm vlastnosťam čo najmenej odlšovať od náhodnej postupnost. Taktež je nutné, aby bola svojm vlastnosťam pokaľ možno čo najvac nezávslá od počatočných podmenok, čo zaručí stabltu jej štatstckých charakterstík. Dlhá peróda. Ako už bolo poukázané, pseudonáhodná postupnosť je perodcká, prčom mamálna dĺžka peródy je daná spôsobom generovana postupnost a faktom, že čísla v postupnost sú dskrétne. Pr praktckej realzác generátora pseudonáhodnej postupnost je však vplyv toho, že čísla postupnost sú dskrétne, zanedbateľne malý a ne je nutné sa ním zaoberať. Pseudonáhodná postupnosť môže, ale nemusí, obsahovať na svojom začatku úsek, ktorý sa neopakuje a nazýva sa úsekom aperodcty, avšak musí obsahovať opakujúc sa úsek, ktorého dĺžka sa nazýva peróda. Je snahou, aby peróda bola čo najdlhša. Vysoká rýchlosť a efektvta vytvárana postupnost. Je snaha, aby sa pseudonáhodná postupnosť dala vygenerovať v čo najkratšom čase s mnmálnym nárokm na zaťažene mkroprocesora a veľkosť pamäte počítača. Ďalej je nutné, aby sa daná postupnosť dala čo najľahše pretransformovať do nej postupnost s ným charakterstkam (tvorba náhodných čísel s ným ako s rovnomerným rozdelením hustoty pravdepodobnost). Ukazuje sa, že z tohto hľadska najlepše vyhovuje postupnosť čísel z ntervalu < ;), poprípade ( ; >, < ; >, ( ;). 3
Estujú rôzne metódy generovana pseudonáhodnej postupnost. Pravdepodobne prvou artmetckou metódou generovana pseudonáhodných čísel je metóda John von Neumanna, tež nazývaná aj ako metóda kvadratckého stredu. Táto metóda je založená na nasledujúcom prncípe: Zvolené ľubovoľné n cferné celé číslo sa umocní na druhú mocnnu. Tým sa získa číslo s n cfram, z ktorých vybereme n stredných cfer. Teto cfry predstavujú opäť n cferné číslo, ktoré sa opätovne umocní a celý postup sa opakuje. Po vykonaní nekoľkých opakovaní (-3) sa posledné získané číslo predelí číslom získame číslo z ntervalu < ;). Nasledujúca ukážka je pre n=4. 3 = 34 = 57 = 35 = 336 3 = 5756 = 7359 = 3365 = 3344 X X atď. =.34 =.35 n, čím Táto metóda sa však v súčasnost už nepoužíva, pretože má jeden veľký nedostatok. V prebehu generovana sa po určtom počte opakovaní vždy vyskytne vac nulových cfer. Po umocnení sa teto nulové cfry nestrácajú, ba dokonca ch počet narastá, takže po určtom počte opakovaní sa všetky cfry rovnajú nule a tým dôjde ku tzv. vynulovanu generátora. Ukážka vynulovana generátora: = 45 = 5 X =.45 = 484 = = 4 = 6 X = 3 = 3 atď. =.4 Je zrejmé, že postupnosť núl už ne je náhodná a teda je nepoužteľná. Ďalšou metódou je metóda založená na fakte, že množna čísel ( α. ) frac pre =,, K obsahuje ľubovoľné číslo z ntervalu < ;), kde funkca frac vraca zlomkovú časť argumentu ( napr.: frac(5.784)=.784) a číslo α je raconálne číslo (číslo, ktoré sa nedá napísať v tvare konečného zlomku (napr.: π = 3.4596... ; ). Výsledná postupnosť čísel je síce veľm dobre rovnomerne rozdelená, avšak korelačné vlastnost sú nevyhovujúce. n [ ] Podobnou metódou je metóda daná vzťahom X = frac ( + α ) raconálne číslo a n je prrodzené číslo. +, kde α je opäť X Estujú aj ďalše možnost generovana pseudonáhodných postupností čísel, avšak v súčasnost najpoužívanejše sú tzv. kongruentné metódy. 4
.. Kongruentné metódy Teto metódy sú založené na rekurentnom vzťahu susedných členov a na výpočte zvyšku po celočíselnom delení veľkých čísel. Prncíp týchto metód sa dá vyjadrť vzťahom: ( mod P) X n+ a X n + a X n + K + am X n m + b () Uvedený vzťah je vlastne konkrétnou realzácou vzťahu () a naznačuje, že nový člen postupnost sa vypočíta z predchádzajúcch prvkov s využtím bežných artmetckých operácí, ako je sčítane a násobene, a pomocou delena modulo P. Vysvetlene pojmu kongruence: Dve celé čísla a y sú kongruentné modulo P, ak ch rozdel je delteľný číslom P (bez zvyšku). Označujeme to y ( mod P) dvojce čísel sú kongruentné: 7 5 ( mod ) ; 5 ( mod 5) ; 3 4 ( mod 7).. Napríklad uvedené Pr praktckej realzác generátora produkujúceho postupnosť čísel s rovnomerným rozdelením sa najčastejše používa zjednodušený vzťah () v nasledovnom tvare: n+ λ n + µ X = / P n n ( mod P) kde λ je multplkatívna konštanta, prčom λ >, µ je adtívna konštanta, prčom µ, P je modul, prčom P >, P > λ, P > µ, (3) je začatočná hodnota, prčom je celé číslo s vlastnosťam < P, je zostatok po delení čísla λ + µ konštantou P. n+ Je zrejmé, že členy postupnost { } { } X sú čísla (zlomky) z ntervalu < ;). n sú celé čísla z ntervalu < ; P ) a členy postupnost Ako už bolo uvedené, generovaná postupnosť čísel je vytváraná rekurentne, čo znamená že je možné určť nasledujúce členy pomocou predchádzajúcch. Pr uvedenej kongruentnej metóde vo vzťahu (3) je vzťah medz členm n+ n+ λ n + µ ( mod P) n+,, n+, n+ k ( mod P) = λ + ( λ ) ( mod P) λ n+ + µ n + µ K a členom n nasledovný: opakovaným dosadením sa dá ukázať, že platí vzťah: k k λ n+ k λ n + µ ( mod P) (4) λ 5
Z uvedeného vyplýva, že estuje jednoznačná väzba medz členm postupnost. Vzťah (4) je možné s výhodou použť, ak požadujeme postupnosť k,, K pre väčše hodnoty k. Je, k samozrejme možné tež k -krát použť základný vzťah (3), avšak časová náročnosť takéhoto postupu je k- krát nžša. Sú známe teto tr typy kongruentných metód:. Zmešaná. Multplkatívna 3. Adtívna.3. Zmešaná kongruentná metóda X Táto metóda generovana využíva vzťah (3), teda λ + ( mod P) n+ n µ, = P. Vytvorená postupnosť má mamálnu peródu P pr ľubovoľnej počatočnej n n / podmenke, avšak ba v prípade, že sú dodržané nasledujúce podmenky []:. µ a P sú navzájom nesúdelteľné,. λ je násobok k pre každé prvočíslo k, ktoré je delteľom P, 3. λ je násobok štyroch, ak P je násobok štyroch, 4. ak je P párne, potom čísla λ a µ musa byť nepárne Fakt, že je možné pre ľubovoľnú začatočnú hodnotu dosahnuť mamálnu peródu P, umožňuje ncalzovať generátor ľubovoľnou prípustnou hodnotou. Generátor potom generuje postupnosť zloženú z čísel,,, K, P, prčom každé z čísel sa v ľubovoľnom úseku postupnost s dĺžkou rovnajúcou sa peróde vyskytuje práve raz. Dôvodom toho, že čísla λ a µ musa byť nepárne, je nasledujúc fakt: Pr sčtovaní dvoch celých čísel platí: párne + párne = párne párne + nepárne = nepárne + párne = nepárne nepárne + nepárne = párne Pr násobení dvoch celých čísel platí: párne. párne = párne párne. nepárne = nepárne. párne = párne 6
nepárne. nepárne = nepárne Ak sa uvedené skutočnost aplkujú na čísla λ a µ zo vzťahu (3), prčom sa predpokladá P párne, tak pre členy postupnost { } za nžše určených podmenok platí: ak λ a µ sú párne, tak (pre ak λ je párne a µ je nepárne, tak ak λ je nepárne a µ je párne, tak =,, K ) je vždy párne, (pre (pre =,, K ) je vždy nepárne, =,, K ) je buď párne, alebo nepárne (závsí od toho, č je začatočná hodnota párna, alebo nepárna) ak λ a µ sú nepárne, tak (pre =,, K ) je stredavo párne a nepárne. Ak sa požaduje mamálna možná peróda, teda peróda rovnajúca sa P, tak sa musa v postupnost vyskytovať všetky čísla,,, K, P, teda čísla párne aj nepárne. To sa však dá dosahnuť ba ak λ a µ sú nepárne. Je zrejmé, že takých dvojíc λ a µ, ktoré spĺňajú uvedené podmenky.-4. je vac. Ne všetky dvojce sú však vhodné, pretože podmenky.-4. zaručujú ba to, že peróda sa bude rovnať mamálnej možnej peróde, teda modulu P. Generovaná postupnosť, však musí spĺňať aj né krtéra, ako je napr. mnmálna sérová koreláca (autokoreláca). Preto sa v lteratúre [] objavujú konkrétne ukážky už overených generátorov, ako sú napr.: 8 35 4 35 ( + ) + 3 ( mod ) ; ( + 5) + ( mod ) n+ n. n+ n Ukazuje sa totž, že adtívna konštanta µ má vplyv ba na dĺžku peródy, zataľ čo multplkatívna konštanta λ má vplyv aj na ostatné štatstcké vlastnost generovanej pseudonáhodnej postupnost []. Obr. : Hustota rozložena pravdepodobnost (zmešaná kongruentná metóda) 7
8 35 Generátor ( + ) + 3 ( mod ) dáva teto výsledky: n+ n (Všetky údaje a charakterstky sú získané zo súboru vygenerovaných čísel. Hodnoty v grafoch hustoty pravdepodobnost a dstrbučnej funkce sú premerným hodnotam v jednotlvých ntervaloch.) Z obr. je vdeť, že hustota pravdepodobnost sa nerovná jednej an v jednom ntervale, ale len prblžne zodpovedá tejto hodnote. Tento jav je zapríčnený tým, že generované čísla ne sú deálne rovnomerne rozložené v ntervale < ; >. Príčnou tohto javu je fakt, že generátor ne je v tomto ohľade deálny. Rovnomernosť rozložena čísel by bola deálna, ak sa výsledky získal zo všetkých zobrazenú na obr.. 35 P = čísel. Rovnaké tvrdena plata aj pre dstrbučnú funkcu Obr. : Dstrbučná funkca (zmešaná kongruentná metóda) Obr. 3: Autokorelačná funkca (zmešaná kongruentná metóda) 8
Z prebehu autokorelačnej funkce (necentrovaný a nenormovaný tvar) je vdeť, že generované čísla sú takmer navzájom nezávslé. Závslosť medz dvoma susedným číslam však ne je zanedbateľne malá, čo sa odzrkadľuje na hodnote strednej kvadratckej chyby autokorelačnej funkce funkce). Výsledok χ 6 MSE 3, (počítané pre prvých koefcentov autokorelačnej testu je χ 676 ; χ 97 (Na 5% hladne významnost čísla vyhovujú 5% rovnomernému normovanému rozdelenu.) Vzhľadom na náhodnosť čísel (generátor bol ncalzovaný náhodne) je nutné uvedené výsledky chápať skôr ako jednu z množstva možností a ne ako všeobecne platné a nemenné. Nasledujúc príklad uvádza generátor s peródou 8: Ak je peróda P = 3 = 8, potom je podľa horeuvedených podmenok nutné zvolť λ = 4.+ = 5, µ = 3. Pre 6 získame postupnosť: = = 6 X = 6 6 ( mod 6) 5.6 + 3 = ( mod 6) 8 5.+ 3 = X = 6 X = 8 6 atď. Postupnosť { } je nasledovná: 6,, 8,,, 5,, 5, 4, 9,, 3,, 3, 4, 7, 6,, 8.... Postupnosť { X } 7 6, 6 6, 6 8, 6 je nasledovná:... 6, 6 6 8, 6,,, 6 6 5 6 5 4,,,, 6 6 6 9 6, 6 3, 6, 6 3,, 6 Uvedený príklad ne je vhodný ako praktcká realzáca generátora, pretože jeho vlastnost sú nevyhovujúce (malá peróda,...), ale je vhodný pre lustrácu postupu generovana pseudonáhodnej postupnost. 4 6, 9
.4. Multplkatívna kongruentná metóda Táto metóda využíva vzťah (3), avšak od zmešanej kongruentnej metódy sa líš tým, že adtívna konštanta sa rovná nule ; µ =. Generovane je založené na vzťahoch ( mod P) n+ n, X n = n / P. (5) λ n V prípade voľby P = ; n > 3 je možné dosahnuť mamálnu dĺžku peródy P / 4 pr voľbe λ = 8 + 3, alebo λ = 8 + 5, kde je prrodzené číslo. Dôležtým rozdelom oprot zmešanej metóde je to, že je nutné ako počatočnú hodnotu zvolť ľubovoľné nepárne číslo []. Ak by bola počatočná hodnota párnym číslom, vznká nebezpečenstvo, že dôjde po určtom počte krokov ku vynulovanu generátora vplyvom delena ( mod P). Je síce možné ncalzovať generátor párnym číslom a pr výpočte sledovať č došlo ku vynulovanu generátora, prčom pr vynulovaní by sa generátor znova ncalzoval novou nou hodnotou. Takéto rešene je však pre praktckú realzácu generátora nevhodné, pretože testovane vynulovana generátora spôsobuje jeho spomalene. n V prípade voľby P = ; n > 3 sa dá dosahnuť najdlhša peróda P / pre λ = + a, kde je ľubovoľné prrodzené číslo a číslo a môže nadobúdať nasledujúce hodnoty 3,, 3, 9,, 7, 9, 37, 53, 59, 6, 67, 69, 77, 83, 9. Ako počatočnú hodnotu je nutné kvôl zabránenu vynulovana generátora volť nepárne číslo, ktoré ne je delteľné číslom 5 []. Pre zabezpečene dobrých vlastností generovanej postupnost pseudonáhodných čísel sa v lteratúre [] uvádzajú ďalše odporúčana:. Hodnota λ musí byť dostatočne veľká, čo je základná podmenka.. Hodnota λ by sa nemala volť blízko jednoduchého zlomku P, pretože sérová koreláca (ný názov pre autokorelačnú funkcu) počítaná pre generovanú postupnosť je veľká. 3. Hodnota λ by sa nemala volť blízko jednoduchého zlomku P, pretože aj naprek tomu, že sérová koreláca je malá, dochádza v generovanej postupnost ku zlému rozloženu trojíc. 4. Hodnota λ by mala obsahovať veľa bnárnych jednotek. Ak je počet jednotek malý, tak býva malé aj rešene základnej kongruence. Ak sú dodržané všetky uvedené krtéra a výberu hodnoty λ sa venuje dostatočná pozornosť, tak podľa [] neestuje lepša metóda generovana rovnomernej pseudonáhodnej postupnost, ako je multplkatívna metóda.
Pre generovane pseudonáhodných čísel sa využíva vzťah (5): ( mod P) n+ λ n, X n = n / P. Ilustračný príklad: P = 6, λ = 5, = 3 = 3, X = 3 6 ; ( mod 6) 5 3.5 =, ( mod6) 5.5 =, ( mod6) 7 3.5 =, ( mod6) 3 4 7.5 =, X = 5 6 ; X = 6 ; X = 7 3 6 ; X = 3 4 6 ; atď. Vzhľadom na to, že voľba vhodného parametra λ ne je jednoduchá, uvádzajú sa v lteratúre [] konkrétne realzáce generátorov: výsledok 4 35 3 35 6 + ( 5) n ( mod ) ; n+ ( + 3) n ( mod ); n + 35 n ( mod ) + n Teto generátory majú veľm nízky koefcent koreláce. 4 35 Generátor ( + 5) ( mod ) n n + dáva nasledujúce výsledky: (Všetky údaje sú získané zo súboru pseudonáhodných čísel.) Rovnomernosť rozložena čísel v ntervale < ; > ne je deálna, čomu nasvedčuje aj χ testu, ktorý je 5 χ, prčom χ 97. (Na 5% hladne významnost 5% Obr. 4: Hustota rozložena pravdepodobnost (multplkatívna kongruentná metóda)
dochádza k nezhode medz teoretckým a skutočným rozdelením hustoty pravdepodobnost.) Nerovnomernosť rozložena je však dobre vdteľná ba na grafe hustoty pravdepodobnost, na rozdel od grafu dstrbučnej funkce (pozr obr.4 a obr.5). Obr. 5: Dstrbučná funkca (multplkatívna kongruentná metóda) Autokorelačná funkca veľm dobre zodpovedá autokorelačnej funkc počítanej zo sérovo nezávslej postupnost čísel (s nulovou korelácou), čomu nasvedčuje aj hodnota strednej Obr. 6: Autokorelačná funkca (multplkatívna kongruentná metóda) kvadratckej chyby 7 MSE 4,3 (počítané pre prvých autokorelačných koefcentov). Uvedené výsledky sú výsledkam jednej vygenerovanej postupnost, ktorá pozostáva z pseudonáhodných čísel, a preto ch nemožno chápať ako všeobecne platné. Všetky uvedené údaje a charakterstky však veľm dobre popsujú vlastnost generátora, ktorého prncíp je založený na multplkatívnej metóde.
.5. Adtívna kongruentná metóda Generátory založené na adtívnej metóde využívajú vzťah: ( mod P) ; n > j (6) n+ n + n j Adtívna metóda je vďaka svojej jednoduchost výpočtovo nenáročná (ne je potrebné násobene), čo ju uprednostňuje pre použte v aplkácách požadujúcch čo najkratší procesný čas. V lteratúre [] je uvedená modfkáca vzťahu (6), ktorá podľa [] dáva veľm dobré štatstcké výsledky. Modfkáca využíva nasledujúc vzťah: n+ n + n 3 ( mod P) ; P je prvočíslo. Nevýhodou tejto metódy je nutnosť nájsť dostatočne veľké prvočíslo P, aby mnmálna vzdalenosť dvoch vygenerovaných čísel bola čo najmenša. Estujú aj né modfkáce, ktoré nevyžadujú, aby bol modul P prvočíslom: ( mod ) * n+ n + n. Výsledok n+ sa získa z medzvýsledku * n+ výmenou prvých troch dekadckých číslc ležacch vľavo za posledné tr dekadcké číslce ležace vpravo. Algortmus výmeny číslc je znázornený na obrázku 7: 3 4 5 6 7 8 9 7 8 9 3 4 5 6 Obr. 7: Algortmus výmeny číslc (modfkovaná adtívna kongruentná metóda) elý postup generovana sa opakuje, prčom sa pr výpočte využíva predošlý výsledok n+. Generátor založený na adtívnej kongruentnej metóde je nutné ncalzovať nenulovým počatočným hodnotam, aby sa predšlo vynulovanu generátora. Generátor ( mod 8763489) n+ n + n 3 dáva nasledujúce výsledky: ; kde číslo 8763489 je prvočíslo (Všetky grafy a charakterstky sú získané z pseudonáhodnej postupnost čísel.) Rozložene čísel v ntervale < ; > ne je deálne, čo potvrdzuje aj výsledok χ testu χ 5, prčom krtcká hodnota pre daný počet testovaných ntervalov () je 3
χ 5% 97. Možno teda povedať, že na 5% hladne významnost nezodpovedá rozdelene Obr. 8: Hustota rozdelena pravdepodobnost (adtívna kongruentná metóda) Obr. 9: Dstrbučná funkca (adtívna metóda) Obr. : Autokorelačná funkca (adtívna metóda) 4
vygenerovaných čísel rovnomernému normovanému rozdelenu. Autokorelačná funkca prblžne zodpovedá autokorelačnej funkc počítanej z postupnost navzájom nezávslých čísel, takže možno tvrdť, že sérová koreláca je vyhovujúca. Stredná kvadratcká chyba počítaná z prvých desatch koefcentov je 6 MSE,..6. Generovane čísel z ntervalov s ľubovoľným typm ohrančena Všetky doteraz uvedené generátory generoval čísla z ntervalu ;). Sú však prípady, keď je nutné generovať čísla aj z rozdelne ohrančených ntervalov, teda z ntervalov ;, ( ; a ( ;). Pre generácu čísel z týchto ntervalov ne je potrebné významne menť doteraz popísané postupy generáce. Sústredíme sa ďalej ba na kongruentné metódy, teda metódy ktoré generujú pseudonáhodnú postupnosť celých čísel z ntervalu ( ; P. V prípade jednoduchého predelena modulom P sa získavajú čísla X z ntervalu ;). Tento postup už bol uvedený v predošlých kaptolách. Proces získavana čísel z ných typov ntervalov je nasledovný: Čísla X z ntervalu ; sa získajú pomocou vzťahu: X čísla X z ntervalu ( ; sa získajú pomocou vzťahu: X čísla X z ntervalu ( ;) prčom proces generovana čísel sa získajú pomocou vzťahu: X = P, + =, P + = P +, z ntervalu ( ; P zostáva nezmenený..7. Incalzáca generátora V predošlých kaptolách sa hovorlo ba o tom, akým číslom treba ncalzovať generátor, ale nebolo povedané akým spôsobom sa dá ncalzačné číslo získať. 5
Požadavky kladené na získana ncalzačného čísla sú: Incalzačné číslo musí spĺňať požadavky, ktoré naň klade metóda generovana (napr.: Nemožno ncalzovať multplkatívny kongruentný generátor celým nepárnym číslom mmo ntervalu < ; P->.) Incalzačné číslo musí byť získané spôsobom, ktorý znemožňuje vytvorene dvoch rovnakých ncalzačných čísel. Proces získavana ncalzačného čísla musí byť náhodný. Štandartne sa ncalzačné čísla získavajú z okamžtej hodnoty času, poprípade aj dátumu. Jeden z možných postupov je nasledovný: Pomocné číslo D sa určí ako súčet delčích príspevkov od jednotlvých položek s ohľadom na rád desatky (pozr obr. ). Ak by sa určovalo číslo D napr. počas Štedrého večera v roku 999 v čase :5:3.368, tak by hodnota D bola 368 + 47 + 45 + + 999 = 368 476 5. Mamálna možná hodnota čísla (za predpokladu, že rok bude menší ako je rok ) je: 999 + 8 + 54 + + 99 = 87 5. Incalzačné číslo sa určí ako zaokrúhlená hodnota podelu pomocného čísla v danom okamhu vynásobeného modulom P zmenšeným o jedna a čísla 87 5. elý výpočet sa dá popísať vzorcom: ( P ) D = Round 875. (Výsledkom funkce Round je zaokrúhlený argument funkce na celé číslo.) V prípade, že je požadované párne alebo nepárne ncalzačné číslo, tak je možné ho odčítaním jednotky upravť. Postup získana hodnoty (a z nej ncalzačného čísla ) nemusí byť až tak komplkovaný, ako je uvedené vyšše. Mnohokrát totž postačuje využť na ncalzácu sekundy + mnúty - 8 rok 999 99 = D mlsekundy - 999 Deň + hodna - 54 mesac - Obr. : Spôsob akým sa získavajú jednotlvé číslce konštanty D 6
aktuálny čas (mlsekundy, sekundy, mnúty a hodny). Je dôležté aby cfry D pr vyšších rádoch bol ovplyvňované mlsekundam a aby cfry D pr nžších rádoch bol ovplyvňované hodnam. Inak by sa generátor, ktorý by sa ncalzoval v prebehu nekoľkých sekúnd vackrát po sebe, ncalzoval prblžne rovnakým hodnotam, čo je v rozpore s požadavkou náhodnost ncalzáce..8. Zhrnute vlastností kongruentných generátorov Pr zhodnotení epermentálne získaných výsledkov možno povedať, že an jedna kongruentná metóda (zmešaná, multplkatívna, adtívna) nedáva výsledky, ktoré by bol vo všetkých ohľadoch vyhovujúce (požaduje sa poztívny výsledok χ testu na hladne významnost 5% a prebeh autokorelačnej funkce čo najvac sa blížac deálnemu prebehu autokorelačnej funkce,...). Ukazuje sa však, že každý z generátorov má svoje výhody nevýhody. Nasledujúca tabuľka je zostavená na základe výsledkov testov jednotlvých generátorov. (Generátory uvedené pr jednotlvých metódach (zmešaná, multplkatívna, adtívna) sú odporúčané v lteratúre. Možno teda tvrdť, že každý z týchto generátorov patrí do skupny najkvaltnejších generátorov využívajúcch danú kongruentnú metódu. Preto vlastnost vybraných generátorov možno s malou nepresnosťou pokladať aj za vlastnost jednotlvých metód.) Typ použtej kongruentnej metódy Použtý generátor Zmešaná metóda 8 35 ( + ) + 3 ( mod ) n+ n Multplkatívna metóda + 4 35 ( 5) ( mod ) n+ n Adtívna Metóda n+ n + n 3 ( mod 8763489) Výsledok χ testu vyhovujúc nevyhovujúc nevyhovujúc Prebeh autokorelačnej funkce nevyhovujúc vyhovujúc vyhovujúc Natíska sa teda otázka, č by nebolo možné skombnovať jednotlvé generátory takým spôsobom, aby sa ch výhody znásobl a nevýhody čo najvac potlačl. 7
3. Kombnovane generátorov Vhodným kombnovaním generátorov sa dá dosahnuť mnohonásobné predĺžene peródy a tež sa dajú významne zlepšť štatstcké vlastnost výsledného generátora. Daňou za teto výhody je nárast doby potrebnej pre vygenerovane náhodného čísla a v nektorých prípadoch aj potreba nekoľkonásobne väčšej čast operačnej pamäte. Je známych nekoľko metód pre kombnovane generátorov:. Pertubačná metóda. Vacnásobná metóda 3. Metóda shuffle 3.. Pertubačná metóda Pertubačná metóda (Slovo pertubáca znamená rušvý vplyv, ktorý vyvoláva nepravdelnost; rušene.) používa dva generátory. Ak označíme prvý generátor = f ( ) + a druhý generátor D + = f ( D ), tak potom pre výsledný zložený generátor E = + f (, D ) platí: E + f = f ( ) ; k( Q + ) ( D ) ; = k( Q + ) ; k N Konštanta Q môže nadobúdať jednu z nasledovných hodnôt: Q =,, 3... Prncíp tejto metódy je založený na stredaní generátorov a to tak, že po Q číslach vygenerovaných prvým generátorom sa vygeneruje jedno číslo pomocou druhého generátora. elý postup sa cyklcky opakuje. Rovnomernosť rozložena generovaných čísel závsí od rovnomernost rozložena čísel oboch generátorov a od konštantyq. V prípade, že oba generátory sú v prncípe rovnaké 8 35 (napr.: ( + ) + 3 ( mod ) ), potom konštanta Q nemá vplyv na rovnomernosť n+ n rozložena čísel. V prípade, že sú použté generátory z hľadska rovnomernost rozložena čísel (myslí sa v ntervale < ; > ) rôzne, potom vplyv prvého generátora = f ( ) rovnomernosť rozložena je Q -krát väčší ako vplyv druhého generátora D = f ( ) + na + D. 8
Pertubačná metóda nemôže zlepšť rovnomernosť rozložena pseudonáhodných čísel, avšak má vplyv na sérovú korelácu a tým aj na náhodnosť čísel. Teto tvrdena sú lustrované na nasledujúcch obrázkoch, kde ľavý stĺpec prslúcha jednoduchému zmešanému 8 35 kongruentnému generátoru n+ ( + ) n + 3 ( mod ) 8 35 rovnakých generátorov ( + ) + 3 ( mod ) a pravý stĺpec prslúcha dvojc skombnovaných pomocou n+ n pertubačnej metódy s konštantou Q =. (Výsledky sú získané zo súboru čísel.) Obr. : Vplyv pertubačnej metódy na rovnomernosť rozložena čísel Vľavo: bez pertubačnej metódy Vpravo: s pertubačnou metódou Výsledky χ testu sú: Bez použta pertubačnej metódy 365 χ, s použtím pertubačnej metódy χ 74, prčom χ 97 vyhovujúce. 5 % =. Na 5% hladne významnost sú oba generátory Autokorelačná funkca generátora používajúceho pertubačnú metódu má podstatne lepší 7 prebeh ( MSE = 6,4. ) 6 generátora ( 3,88. ) MSE (pozr obr. 3)., ako autokorelačná funkca jednoduchého kongruentného Obr. 3: Vplyv pertubačnej metódy na prebeh autokorelačnej funkce Vľavo: bez pertubačnej metódy Vpravo: s pertubačnou metódou 9
Vlastnost pertubačnej metódy: nenáročnosť na strojový čas a množstvo operačnej pamäte a z toho vyplývajúca vysoká rýchlosť generovana pseudonáhodných čísel potrebuje obdva generátory s veľm dobrou rovnomernosťou rozložena čísel a súčasne s čo najlepším možným prebehom autokorelačnej funkce, pretože táto metóda nedokáže dostatočne účnne rozbť korelácu (len ju merne potlačí). (Pozn.: Rozbtím koreláce sa myslí zmenšene sérovej závslost medz generovaným číslam ; jedná sa o zvyšovane náhodnost generovaných čísel.) Nžša účnnosť tejto metódy pr rozbíjaní koreláce spočíva vo vysokých požadavkách kladených na obdva generátory (rovnomernosť, koreláca). Preto sa vyvnul né metódy, ktoré umožňujú kombnovať aj menej kvaltné generátory (buď majú takmer deálne rozložene čísel, alebo vynkajúc prebeh autokorelačnej funkce, teda reálne estujúce generátory), prčom sa vhodnou kombnácou týchto generátorov ch výhody znásoba a nevýhody potlača. 3.. Vacnásobná metóda generátor Táto metóda používa generátor pre samotné generovane pseudonáhodných čísel a D ako pomocný generátor. Zložený generátor označme ako E f (, D ) =. Generátor generuje čísla s rovnomerným normovaným rozdelením, na rozdel od generátora D, ktorý generuje čísla,, 3,..., d-, d, kde d je prrodzené číslo väčše ako. Hodnota vygenerovaná generátorom D určuje počet čísel, ktoré musí generátor vygenerovať, aby sa získalo jedno jedné pseudonáhodné číslo z výsledného zloženého generátora E, prčom za výsledné číslo generátora E sa považuje posledné vygenerované číslo generátorom. elý postup generovana jedného pseudonáhodného čísla je znázornený na vývojovom dagrame (Obr. 4).
Štart k = koľko = D X = k = k + k < koľko? Áno Ne Výstup X Požadavky kladené na generátory Generátor a D : musí generovať postupnosť čísel s čo najvyrovnanejším rozdelením, prčom na prebeh autokorelačnej funkce sa klade menší dôraz. Nemožno však použť generátor, ktorý generuje slne korelovanú postupnosť, ako je napr.: 8 35 ( ) ( mod ) n+ + n. Vhodným generátorm spĺňajúcm teto podmenky sú generátory založené na zmešanej kongruentnej metóde, ako sú napr.: 8 35 4 35 ( + ) + 3 ( mod ); ( + 5) + ( mod ) n+ n Je vhodné, aby generátor Stop Obr. 4: Vývojový dagram pre generácu jedného čísla pomocou vacnásobnej metódy. n+ n D generoval postupnosť čísel s dobrým prebehom autokorelačnej funkce, prčom rovnomernosť rozdelena čísel má mnmálny vplyv na kvaltu (kvaltou sa myslí rovnomernosť rozložena a náhodnosť čísel) zloženého generátora. Vplyv generátora D na kvaltu výsledného zloženého generátora (hodnotené podľa rovnomernost rozložena čísel a prebehu autokorelačnej funkce) je nekoľkonásobne menší, ako vplyv generátora. Veľm zjednodušene sa dá povedať, že ak sa ako generátor použje kvaltný generátor, ako sú napríklad generátory uvedené v predošlom odseku, tak generátor generátor. D môže byť ľubovoľný
8 35 Vacnásobná metóda dáva pre n+ ( + ) n + 3 ( mod ) 3 35 pre D ( + 3) D ( mod ) n n ako hlavný generátor, + ako pomocný generátor a pre konštantu d = nasledujúce výsledky: (Všetky výsledky sú získané zo súboru pseudonáhodných čísel.) Obr. 5: Vplyv vacnásobnej metódy rovnomernosť rozložena čísel Vľavo: bez použta vacnásobnej metódy Vpravo: s použtím vacnásobnej metódy Výsledok χ testu je 86 χ bez a χ 83 s použtím vacnásobnej metódy, prčom χ 5% 97. Na 5% hladne významnost je generátor vyhovujúc. Obr. 6: Vplyv vacnásobnej metódy na prebeh autokorelačnej funkce Vľavo: bez použta vacnásobnej metódy Vpravo: s použtím vacnásobnej metódy Prebeh autokorelačnej funkce je taktež vyhovujúc. Stredná kvadratcká chyba počítaná z prvých desatch koefcentov autokorelačnej funkce je = 6 MSE,93. pre kongruentný generátor a 8 MSE 9,79. pre generátor využívajúc vacnásobnú metódu s konštantou d=. Vacnásobná metóda má nasledujúce vlastnost: Požadavky kladené na generátory ne sú vysoké, takže odpadajú problémy pr výbere generátora.
Metóda dáva uspokojvé výsledky (z hľadska rovnomernost rozložena a náhodnost generovaných pseudonáhodných čísel). Nároky na pamäť sú mnmálne, avšak čas potrebný pre vygenerovane náhodného čísla je neúmerne vysoký (pr voľbe d > ), pretože stredný počet čísel vygenerovaných generátorom pre získane jednej hodnoty výsledného generátora E sa rovná d +. (Hodnota d určuje mamálny možný počet čísel potrebných pre získane jedného výsledného pseudonáhodného čísla.) 3.3. Metóda shuffle Metóda shuffle je metódou využívajúcou pomocné pole, preto sa nekedy nazýva aj ako metóda s pomocným poľom. (Pozn.: Slovo shuffle znamená mešať, zamešane.) Táto metóda používa generátor pre zaplnene pomocného poľa bunek. Generátor D potom určuje nde bunky, z ktorej sa vyzdvhne nasledujúca hodnota výsledného generátora E. Takto uvoľnená bunka je opäť zaplnená hodnotou z generátoru. Veľkosť pomocného poľa sa doporučuje 8, ale často postačujú aj hodnoty 64, 3, ba dokonca len 6 bunek []. Algortmus vygenerovana jedného čísla je popísaný vývojovým dagramom na obr.7: Štart nde = D X = Pole[nde] Pole[nde] = Výstup X Stop Obr. 7: Vývojový dagram generáce jedného čísla pomocou metódy shuffle 3
Rovnomernosť rozložena čísel výsledného generátora E je daná len rovnomernosťou rozložena čísel generátora najrovnomernejším rozložením čísel.. Z toto dôvodu je nutné volť generátor s čo Korelačné vlastnost zloženého generátora závsa od korelačných vlastností parcálnych generátorov a od dĺžky pomocného poľa. V prípade, že náhodnosť generátora 8 35 (napr. generátor ( + ) ( mod ) n n je veľm zlá + ), je nutné dĺžku poľa radkálne predĺžť až na stovky, č dokonca tsícky bunek, pretože prebeh autokorelačnej funkce je pre menšu dĺžku poľa nevyhovujúc. V prípade, že generátor má vyhovujúc, alebo takmer vyhovujúc prebeh autokorelačnej funkce (napr. jeden z dvoch odporúčaných kongruentných zmešaných generátorov v kaptole.3.), tak je dĺžka pomocného poľa postačujúca už pr hodnotách 8 a menej (súhlasí s predošlým tvrdením z lteratúry []). generátor 8 35 Veľm zaujímavá je kombnáca generátora n ( + ) n ( mod ) 4 35 a generátora ( + 5) ( mod ) n n + slúžaceho ako + slúžaceho ako generátor D. Prvý z dvojce generátorov dáva ecelentné výsledky z hľadska rovnomernost rozložena čísel, ale jeho autokorelačná funkca je evdentne nevyhovujúca. Druhý generátor síce nedosahuje dobré výsledky čo do rovnomernost rozložena, avšak korelačné vlastnost sú vynkajúce. Pr použtí pomocného poľa s dĺžkou 9999 bunek je možné takmer úplne narušť slnú korelácu generátora, prčom rovnomernosť rozložena sa zachová. Výsledný generátor potom vynkajúce vlastnost (rovnomernosť, náhodnosť). E má Pre lustrácu vlastností metódy shuffle sú uvedené aj charakterstky parcálnych generátorov: n 8 35 4 35 + ( ) n ( mod ), n+ ( + 5) n ( mod ) + Obr. 8: Porovnane rovnomernost rozložena čísel parcálnych generátorov metódy shuffle 4
Obr. 9: Porovnane autokorelačných funkcí parcálnych generátorov metódy shuffle Výsledky χ testu: χ 7, 4 a χ 6, prčom χ 97. Výsledný generátor má nasledovné charakterstky: 5% Obr. : Hustota rozložena pravdepodobnost (metóda shuffle) χ 4,4, prčom χ 97, teda na 5% hladne významnost generátor z hľadska 5% rozdelena generovaných čísel vyhovuje. Obr. : Autokorelačná funkca (metóda shuffle) 5
Stredná kvadratcká chyba počítaná z prvých desatch koefcentov autokorelačnej funkce 8 MSE 9,5. potvrdzuje vynkajúc prebeh autokorelačnej funkce. Estuje aj modfkovaná metóda shuffle, ktorá využíva ba jeden generátor. Pred začatím generovana čísel je nutné naplnť pomocné pole číslam z generátora. Vlastné generovane prebeha tak, že sa vygeneruje jedno číslo z ntervalu < ; >, ktoré po prenásobení konštantou a následnom zaokrúhlení udáva nde bunky pomocného poľa, ktorá obsahuje výsledné číslo. Do vybranej bunky sa potom vloží už predtým vygenerované číslo. Vývojový dagram generáce jedného čísla je znázornený na obr.. Štart číslo = nde = Trunc(L.číslo) X = Pole[nde] Pole[nde] = číslo Výstup X Stop Obr. : Vývojový dagram generáce jedného čísla pomocou modfkovanej metódy shuffle Modfkovaná metóda shuffle v porovnaní s pôvodnou metódou shuffle nedosahuje až také dobré výsledky. Príčnou je fakt, že po určtom čase sa prvky v pomocnom pol usporadajú vzostupne, čoho následkom sa vplyv metódy na znáhodňovane čísel stráca. Z tohto dôvodu sa neodporúča modfkovanú metódu používať. 6
4. Generovane pseudonáhodných čísel so zadaným rozdelením Všetky doteraz popísané metódy generovana pseudonáhodných čísel generoval čísla s rovnomerným normovaným rozdelením (výskyt ľubovoľného čísla z ntervalu < ; > je rovnako pravdepodobný a mmo tohto ntervalu je pravdepodobnosť výskytu nulová). V pra sú však potrebné aj generátory ných rozdelení, ako je rovnomerné normované rozdelene. Jednou z možností, ako vygenerovať pseudonáhodné čísla s ným ako rovnomerným normovaným rozdelením, je navrhnúť nové metódy pre generovane tohto rozdelena. Tento postup sa však nepoužíva. Namesto toho sa čísla s rovnomerným normovaným rozdelením transformujú na čísla s požadovaným rozdelením. Estujú rôzne metódy transformáce počnúc jednoduchým analytckým a končac zložtejším numerckým. Všetky teto metódy sa dajú zatredť do troch základných skupín: Metóda nverznej transformáce Metóda odmetana Kompozčná metóda 4.. Metóda nverznej transformáce Táto metóda sa tež zvykne nazývať ako nverzná metóda. Ak je potrebné vytvárať náhodné čísla s rozdelením, ktorého dstrbučná funkca je F ( y), tak sa postupnosť pseudonáhodných čísel,,... s rovnomerným normovaným rozdelením, 3 pretransformuje do postupnost čísel y,,... y pomocou vzťahu (7), kde funkca F ( ), y3 je nverzná funkca ku dstrbučnej funkc F ( ). ( ) y = F (7) Prncíp tejto metódy sa dá vysvetlť nasledujúcm vzťahom: P { y < y} = P F ( ) { < y} = P < F( y) { } F( y) = Z uvedeného vzťahu jednoznačne vyplýva, že ak pre náhodnú premennú y platí vzťah (7), potom náhodná premenná y má dstrbučnú funkcu F ( y). 7
Postup transformáce náhodnej premennej pomocou nverznej metódy sa dá veľm názorne zobrazť grafcky (pozr obr. 3). Inverzná metóda sa z výhodou používa ak je známe analytcké vyjadrene nverznej funkce ku dstrbučnej funkc požadovaného rozdelena pomocou elementárnych funkcí (napr.: eponencálne rozdelene). V tomto prípade sa jednoducho aplkuje vzťah (7) na vygenerované pseudonáhodné číslo. Inverznú metódu je možné použť aj v prípade, keď ne je možné vyjadrť nverznú funkcu ku dstrbučnej funkc pomocou elementárnych funkcí (napr.: Gaussove rozdelene). V tomto prípade sa nedá pramo použť vzťah (7). Je však možné použť jednu z nasledujúcch numerckých metód: apromácu nterpolácu. y h y d Obr. 3 4... Metóda nverznej transformáce s využtím apromáce Ak sa funkca F ( ) apromuje funkcou ( ) F apro vzťah y = F ( ). Je snahou, aby sa funkce F ( ) a ( ) apro F apro, potom sa vzťah (7) zmení na líšl čo najmenej, teda aby h ( apro ) výraz F ( ) F ( ) d d bol čo najmenší. Hrance ntegrálu sú hrančné hodnoty d = ma y F y = a náhodnej premennej y pre daný typ rozdelena, prčom platí: ( ): ( ) ( y) : F( ) h = mn y =. Ináč povedané náhodná premenná y sa mmo ntervalu < d; h > vyskytuje s nulovou pravdepodobnosťou. Pozn.: Hodnoty d a h nemusa byť konečné čísla, pretože napríklad pre Gaussove rozdelene platí: Aj naprek tomu, že funkcu F ( ) d = ; h =. je možné takmer vždy apromovať (mysla sa spojté náhodné premenné), tento postup sa vždy nepoužíva, pretože apromačná funkca je buď prílš zložtá, alebo jej hľadane je prílš zdĺhavé a náročné. V takomto prípade je vhodné nterpolovať funkcu F ( ). 8
4... Metóda nverznej transformáce s využtím nterpoláce Prncíp tejto metódy spočíva vo vytvorení tabuľky hodnôt funkce F( y) = pre jednotlvé hodnoty náhodnej premennej y. Vytvorená tabuľka udáva nelen hodnoty dstrbučnej funkce F( y) = pre určté hodnoty y, ale udáva aj hodnoty y pre určté hodnoty F ( y), čo je vlastne predps pre y F ( F( y) ) = F ( ) Pozr obr. 4: =. y=f - (F(y)) ; y=f - () y y y 3... y n F(y ) F(y ) F(y 3 )... F(y n ) =F(y) Vytvorená tabuľka môže teda slúžť ako tabuľka funkce F ( y) aj F ( ). Pre generovane je potrebná ba možnosť získana nverznej funkce ku dstrbučnej funkc. Zostavená tabuľka síce umožňuje získať hodnoty funkce F ( ) hodnoty. Preto sa hodnota funkce F ( ) pre určté hodnoty, ne však pre ľubovoľné vypočíta z tabuľky pomocou nterpoláce. Je možné nterpolovať hodnoty medz dvoma susedným hodnotam úsečkou, avšak takáto nterpoláca je značne nepresná, pretože dstrbučné funkce spojtých náhodných premenných sú hladké krvky. Oveľa lepše výsledky sa dosahnu pr použtí Lagrangeovho nterpolačného vzorca pre tr uzlové body. y ( j+ ) ( j+ ) ( ) ( ) ( j ) ( j+ ) ( ) ( ) ( j ) ( j+ ) y ( ) ( ) = y j + y j+ + j+ j j+ j j+ j+ j j+ j+ j+ j j+ j+, kde y j, y j+, y j+ ; j, j+, j+ sú známe hodnoty z tabuľky, je hodnota dstrbučnej funkce v bode y. Význam jednotlvých parametrov sa dá ľahko vyčítať z obrázku 5. V podstate sa jedná o preložene trojce bodov nterpolovanej funkce F ( ) (8) pomocou kvadratckej funkce, prčom táto prechádza presne danou trojcou bodov. Požadovaná hodnota F ( ) Obr. 4: Väzba medz náhodnou premennou a jej dstrbučnou funkcou pre hodnotu sa určí zo vzťahu (8), prčom platí F ( ) = y. 9
F - () y 3 y y F - () y 3 y y y y 3 3 Obr. 5: K vysvetlenu parametrov zo vzťahu (8) 4..3. Metóda nverznej transformáce pre dskrétne rozdelena Pr generovaní čísel s dskrétnym rozdelením ne je možné pramo použť metódu nverznej transformáce. Je potrebné použť jej modfkácu, ktorá využíva vzťah (9). Pre dstrbučnú funkcu dskrétnej náhodnej premennej platí: ( ) = P( X < ) = P( t) F, (9) t< Štart suma = P() = Generuj pseudonáhodné číslo Y Y suma? Ne = + suma = suma + P() Áno Výstup Stop Obr. 6: Vývojový dagram generáce jedného čísla s dskrétnym rozdelením 3
kde P ( t) je pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobúda hodnotu t. Generovane náhodných čísel s dskrétnym rozdelením sa uskutočňuje podľa algortmu znázorneného vývojovým dagramom (obr.6). Pr generovaní nektorých typov dskrétnych rozdelení sa kvôl zvýšenu rýchlost generovana merne modfkuje postup zobrazený na obr.6. Prncíp však zostáva nezmenený. 4.. Metóda odmetana Za predpokladu, že rozdelene velčny δ je ohrančené na ntervale a; b (mmo tohto ntervalu sa hustota pravdepodobnost f ( ) rovná nule) sa pomocou kladnej konštanty k sa pretransformuje f ( ) do jednotkového ntervalu [], []: ( ) ; ; k f () Pozn.: Konštanta k sa môže zvolť ako obrátená hodnota mama ( ) elý postup generovana spočíva v nasledujúcch troch bodoch: f pre a; b.. Vygeneruje sa dvojca čísel a s rovnomerným rozdelením na ntervale ;. a + b a. Vypočíta sa ( ) a; b. =, teda číslo s rovnomerným rozdelením na ntervale 3. Ak je splnená podmenka k f ( ), potom sa číslo chápe ako vygenerovaná hodnota velčny δ. V opačnom prípade sa dvojca náhodných čísel zahodí a prechádza sa ku kroku, tj. ku generovanu dvojce čísel a. Pozr obr. 7. (Obrázok je nakreslený pre mamum z f ( ) rovnajúcemu sa k.) Prncíp metódy odmetana spočíva v náhodnom generovaní bodov ležacch v štvorc abcd, prčom ak bod leží pod krvkou f ( ) (vyšrafovaná oblasť na obr. 7), potom sa -ová súradnca bodu pokladá za pseudonáhodné číslo s hustotou pravdepodobnost f ( ), v opačnom prípade sa pseudonáhodné číslo nezíska a postup sa opakuje. 3
f() k d c k f() Výhody metódy odmetana sú: a Metóda umožňuje generovane pseudonáhodných čísel s ľubovoľným spojtým rozložením hustoty pravdepodobnost daným buď pomocou predpsu, alebo jednoducho ako tabuľku bodov a f ( ), prčom je potrebné použť apromácu alebo nterpolácu f ( ) (postup nterpoláce je podobný ako v kaptole 4.. Metóda nverznej transformáce s využtím nterpoláce.) Obr. 7: Schéma generovana náhodných čísel s hustotou rozložena f() pomocou metódy odmetana b Nevýhody tejto metódy sú: Požadavka na ohrančenosť hustoty pravdepodobnost. Toto obmedzene je možné zanedbať, ak zvolíme hodnoty a a b tak, aby pravdepodobnosť výskytu náhodného čísla mmo ntervalu a; b bola mnmálna. (napr. pre Gaussovské rozdelene stačí volť a = µ 4σ, b = µ + 4σ.) Nutnosť výpočtu f ( ) pre každé generované číslo, čo spôsobuje spomalene generáce. Nutnosť generáce nekoľkých dvojíc čísel a pre vygenerovane jedného pseudonáhodného čísla s požadovaným rozdelením. Stredná hodnota z počtu dvojíc potrebných pre vygenerovane jedného čísla sa rovná pomeru obsahu štvorca a obsahu plochy pod krvkou f ( ). Následkom je veľká strata strojového času. náročná. Aj naprek svojej unverzálnost sa metóda používa menej často, pretože je časovo 3
4.3 Kompozčná metóda kde Podstata tejto metódy spočíva v rozložení funkce f ( ) do tvaru []: = ( ) p g ( ) f, () p sú pravdepodobnost a g ( ) je funkca nahradzujúca ( ) f. Samozrejme sa požaduje, aby generovane čísel s rozdelením g ( ) bolo jednoduché a aby zaberalo čo najmenej času. Preto sa v prípadoch, keď je možné prevesť rozklad f ( ) vacerým spôsobm, sa vyberá ten, pre ktorý platí: kde p T mn, T sú stredné doby potrebné pre generovane hodnôt s rozdelením ( ) g. Kompozčná metóda je veľm ctlvá na kvaltu generovaných čísel s rozdelením popísaným g ( ). Od pseudonáhodných čísel sa požaduje nelen výborná zhoda s hustotou pravdepodobnost g ( ), ale aj mamálna možná nekorelovateľnosť čísel. V prípade, že sú čísla čo len trochu navzájom závslé, tak výsledný generátor produkuje pseudonáhodné čísla s ným ako požadovaným rozdelením. Kompozčná metóda sa využíva prevažne vtedy, ak sa nepožaduje slná zhoda medz skutočným a požadovaným rozdelením ( χ test na hladne významnost väčšej ako %). Táto metóda môže byť v nektorých špecálnych prípadoch najrýchlejšou metódou pre generovane. Podrobnejše nformáce sú uvedené v nektorých kaptolách zaoberajúcch sa generovaním pseudonáhodných čísel s konkrétnym rozdelenam. 33
5. Generovane vybraných spojtých rozdelení 5.. Rovnomerné rozdelene Náhodná velčna X má rovnomerné rozdelene, ak má konštantnú hustotu pravdepodobnost v celom ntervale hodnôt, ktoré môže nadobudnúť [3], [4]. Ak je obor hodnôt náhodnej velčny vymedzený ntervalom a; b, potom hustota pravdepodobnost je f f R R ( ) = b a ; a b ( ) = ; < a alebo > b a dstrbučná funkca F F F R R R ( ) ( ) = = a < a a dt = b a b a ( ) = ; > b ; ; a b,, () Základné charakterstky rozdelena (stredná hodnota, rozptyl, centrálne momenty treteho a štvrtého rádu v tomto poradí) sú: E D ( X ) = f ( ) d = ( X ) = ( E( X )) f ( ) ( ) ( ( ) ) 3 X E X f ( ) b a (3) b a d =, (4) b a d = b a b a µ 3 = d =... =, 4 ( X ) = ( E( X )) f ( ) ( b a) µ 4 d =... =. 8 4 d = b a ( b a), (5) Vlastné generovane pseudonáhodných čísel s rovnomerným rozdelením pravdepodobnost sa vykonáva pomocou metódy nverznej transformáce, čo vede na jednoduchý vzťah: ( b a) = a + y, (6) kde y má rovnomerné normované rozdelene a má rovnomerné rozdelene. 34
Špecálnym prípadom rovnomerného rozdelena ( = ; b = ) a je rovnomerné normované rozdelene. Generáca čísel s týmto rozdelením je základom pre generovane čísel s ným rozdelenam. Spôsob generáce je podrobne popísaný v predošlých kaptolách. Konkrétny príklad prebehu hustoty pravdepodobnost pre a = 3 a b = 5 je na obr. P. Výsledky χ testu sú: 6, 5 χ pre χ 95, 5. (Získané z postupnost čísel.) 5% 5.. Normálne (Laplace Gaussove) rozdelene Je jedným z najdôležtejších rozdelení spojtej náhodnej velčny [3]. Hustota pravdepodobnost a dstrbučná funkca sú dané predpsom: ( ) ( µ ) σ fg = e ; σ π < < (7) ( ) = f ( t) F dt ; < < (8) G, kde µ je stredná hodnota a G σ je rozptyl. Dstrbučnú funkcu ne je možné vyjadrť pomocou konečného počtu elementárnych funkcí a je potrebné ju počítať numercky. metód: Pre generovane náhodných čísel s normálnym rozdelením je možné použť vacero Metóda s využtím centrálnej lmtnej vety Buteherova-Kahnova metóda Mulleremova metóda Inverzná metóda 5... Metóda s využtím centrálnej lmtnej vety Jeden z tvarov centrálnej lmtnej vety je veta Lndberg-Lévyho [3], ktorá hovorí: Súčet (a teda aj premer) n vzájomne nezávslých náhodných velčín, ktoré sú dstrbuované s konečnou strednou hodnotou a konečným rozptylom má pre dosť veľké n prblžne normálne rozdelene. Možno teda tvrdť, že súčet n pseudonáhodných čísel s rovnomerným 35
normovaným rozdelením má normálne rozdelene. Treba len určť parametre µ a Rovnomerné normované rozdelene má podľa vzťahov (4), (5) nasledujúce parametre: E ( Y ) = a D ( Y ) = Normálne rozdelene bude mať teda parametre: Potom čísla kde E ( X ) = µ a D ( X ) = σ = n n = y n j= j = n n, (9) σ. y j majú rovnomerné normované rozdelene, majú pre dostatočne veľké n prblžne normálne rozdelene s parametram µ = a σ =, teda normované normálne rozdelene. Výhodné je volť n =, pretože sa vzťah (9) zjednoduší na tvar: = 6 () y j j= Pseudonáhodné čísla z s normálnym rozdelením s parametram µ a σ sa získajú z čísel s normovaným normálnym rozdelením pomocou transformáce: z σ + µ () = Uvedená metóda je jednoduchá, avšak vyžaduje kvaltný generátor čísel y j (veľm dôležtá je nekorelovateľnosť). Pre n = nedáva metóda uspokojvé výsledky z hľadska zhody medz požadovaným a skutočným rozdelením pravdepodobnost. Výsledky získané touto metódou pre µ =, σ = 3 sú: χ 574 pr χ 57 5%. Prebeh hustoty pravdepodobnost je na obr.p. Aj naprek nedostatočnej zhode s normálnym rozdelením sa metóda veľm často používa. 5... Buteherova-Kahnova metóda Táto metóda generuje ba kladné čísla, takže je nutné k nm prdávať znamenka ± s pravdepodobnosťou P =. 5. Generovane sa uskutočňuje nasledovne []:. Generujú sa čísla a s rovnomerným normovaným rozdelením. 36
( ln ). Ak je < e, tak sa treba navrátť späť ku kroku. 3. Vygeneruje sa číslo 3 s rovnomerným normovaným rozdelením. 4. Výsledné číslo s normálnym rozdelením s parametram µ = a σ = sa určí zo =, kde sgn (sgnum) je funkca určujúca znamenko. vzťahu sgn (.5 3 ) ln Pseudonáhodné čísla s normálnym rozdelením s parametram µ a σ sa získajú pomocou vzťahu (). Uvedená metóda aj naprek svojej zložtost dáva veľm zlé výsledky, čo je vdeť veľm dobre na obr. P3 ( pre µ =, σ = 3 ). Výsledky χ testu sú 35 χ pre χ 57. 5% 5..3. Mulleremova metóda Metóda umožňuje získať dvojcu čísel a + s normovaným normálnym rozdelením zo vzťahov: ( ) cos( π ) = ln, () ( ) sn( π ) + = ln, (3) kde a sú čísla s rovnomerným normovaným rozdelením. Opäť je možné použť vzťah () na získane čísel s normálnym rozdelením s µ alebo σ. Uvedená metóda dáva lepše výsledky ako predošlé dve metódy, avšak zhoda medz skutočným a požadovaným rozdelením ne je vyhovujúca. Výsledky χ testu sú χ 57 pre χ 57. Hustota pravdepodobnost pre túto realzácu ( µ =, σ = 3 ) je zobrazená 5% na obr. P4. 5..4. Inverzná metóda Aj naprek tomu, že dstrbučnú funkcu normovaného normálneho rozdelena nemožno vyjadrť pomocou konečného počtu elementárnych funkcí, je možné ju apromovať napríklad nasledujúcm spôsobom []: 37