Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie informácie nájdete v rozsiahlych učebniciach [, 4]. Definícia Nech funkcia f je definovaná v okolí bodu. Deriváciou funkcie f v bode podľa premennej ) nazývame číslo za predpokladu, že limita v ) eistuje. f ) lim h 0 f + h) f) h ) Poznámka Ak budeme meniť bod, získame funkciu, ktorú tiež označujeme f ). Túto funkciu môžeme následne ďalej derivovať, čím získame. f ),..., n-tú deriváciu f n) ). Poznámka Počítanie derivácií na základe ) by bolo veľmi nepraktické. V prai sa používajú pravidlá a vzorce na derivovanie, uvedené nižšie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie Nech funkcie f a g majú na množine M deriváciu. Potom na množine M platí: c f) c f), kde c je číslo konštanta, ) f + g) f) + g), ) f g) f) g), 4) f g) f) g) + f) g), ) ) f f) g) f) g), g g) kde g 0. 6) Derivácie elementárnych funkcií Pre každé z príslušného definičného oboru platia nasledujúce vzorce:. c) 0, kde c je číslo konštanta,. a ) a a, kde a je reálne číslo,. e ) e, 4. a ) a ln a,. ln ), 6. log a ) ln a, 7. sin ) cos, 8. cos ) sin, 9. tg ) cos, 0. cotg ) sin,. arcsin ),. arccos ),. arctg ) +, 4. arccotg ) +,. [ f g) )] f g g) ) g ), 6. f) g) ) e g) ln f) ), kde f) > 0.
Poznámka Namiesto funkcie premennej by sme mohli použiť funkciu nejakej inej premennej, napríklad funkciu gt) premennej t. Potom by sme hovorili o derivovaní podľa premennej t, čo by sme mohli označiť, napríklad, [gt)] t, g tt), alebo stručne g t. Ako vidíme vo vzorcoch vyššie, značka sa zvykne vypustiť, keď je zrejmé, o akú deriváciu sa jedná. Derivácie sa používajú aj pre funkcie viacerých premenných, v tom prípade sa derivácie nazývajú parciálne a je potrebné ich vyznačiť napríklad pomocou spodného indeu). Poznámka 4 Vzorec sa zvykne označovať ako derivácia zloženej funkcie. Ak skombinujeme tento vzorec s inými, dostaneme všeobecnejšie vzorce. Pritom môžeme použiť aj iné symboly vzorec môžeme nazvať obrázkový. Napríklad sin ) cos ), čo chápeme zhruba vo význame derivácia sínusu je kosínus. Na deriváciu srdiečka podľa lístočku pritom nesmieme zabúdať. Algoritmus derivovania nielen) zložených funkcií Pri derivovaní zložitejších zložených výrazov môžeme použiť nasledujúci postup:. krok: Určíme vonkajšiu operáciu alebo funkciu daného výrazu.. krok: Predstavíme alebo napíšeme si obrázkový) vzorec na jej derivovanie.. krok: Vzorec použijeme, pričom v podstate dvakrát prekresľujeme obrázky symboly), ktoré sa vo výraze vyskytujú. 4. krok: Pri vzniku derivácií nových výrazov môžeme otvárať nové okná a v každom pokračovať od kroku. Príklad Zderivujme funkciu f) sin) + +. Riešenie. Pri skenovaní výrazu predpisu funkcie si môžeme všimnúť, že je poskladaný z operácií násobenia, sčítavania, odčítavania a troch funkcií sínusu,. odmocniny a. mocniny. Vonkajšou operáciou ktorú by sme na kalkulačke vykonávali ako poslednú pri dosadzovaní nejakej hodnoty ) je súčet. Preto ako prvé pravidlo použijeme vzťah ). Ďalej zapíšeme vzorce tak, ako by sa mohli vyskytovať na papieri, keby sme chceli pomaly a precízne postupovať podľa uvedeného návodu. Nižšie postup okomentujeme. sin) + + ) sin) ) + + ) sin) + cos) + + ). ) ) ) sin) sin) + sin) sin) + cos) sin) + cos) + ) + ) /) + ) / + ) +) + ) ) ) + ) + 0
Po použití pravidla derivácia súčtu je súčet derivácií vznikli dve nové úlohy na derivovanie. Na každú z týchto úloh sme si otvorili nové okno. V hornom okne sme identifikovali súčin ako vonkajšiu operáciu a prekreslili sme vzorec ) s tým, že namiesto f sme nakreslili a namiesto g sme nakreslili sin). Ďalej sme už priamo použili vzorce na derivovanie elementárnych funkcií. V spodnom okne sme ako vonkajšiu funkciu identifikovali. odmocninu. Odmocniny je potrebné zapísať v tvare mocnín a na derivovanie použiť vzorec. Ten sme si predstavili ako obrázkový vzorec /) ) / ) a následne ho odkreslili, pričom namiesto srdiečka sme dvakrát namaľovali +. Na novú deriváciu sme si ďalšie pomocné okno a ako vonkajšie sme identifikovali operácie odčítavania a sčítavania. Po použití kombinácie pravidiel na derivovanie rozdielu a súčtu sme následne použili vzorce na derivovanie elementárnych funkcií. Následne sme okná pozatvárali výsledné vzorce sme postupne prepisovali tam, odkiaľ sme príslušné úlohy na derivovanie dostali. Poznámka Po istej dobe tréningu nebude potrebné otvárať nové okná, pretože výsledky jednoduchších derivácií dokážeme rovno vypísať. Avšak môže byť užitočné si okná otvoriť, napríklad v tomto prípade sa hodí okno na derivovanie. odmocniny, avšak namiesto +) by bolo možné rovno napísať, čím sa jednak skráti zápis a odpadne otváranie ďalšieho okna. Príklad Zderivujme funkciu f) ln + + k ), kde k je konštanta. Výslednú deriváciu upravme zjednodušme). Riešenie. Pri riešení tejto úlohy len vypíšeme príslušné vzťahy komentár vysvetlenie jednotlivých krokov postupu si skúste doplniť sami). [ ln + + k )] + + k + + k ) + + k + k + + k + + k ) ) + + k ) + + k + k + + k + k ) + k) /) + k) / + k) + k + k. + k) ) + k) + 0 V odporúčanej literatúre [,, ] uvedenej na konci tohto tetu je možné nájsť ďalšie riešené príklady alebo neriešené úlohy.
Úlohy V úlohách 0 zderivujte funkciu f). Výsledky sa snažte upraviť, ak to pokladáte za možné.. f) 4 7 + 0. f) + 6. f) 6 + + 4. f). f) 6. f) e + 7. f) + 7 + ) 8. f) ln log + log 9. f) sin 4 cos + tg + cotg 0. f) arctg arccotg +arcsin + 4 4 + arccos. f) + +. f) log + 0 0. f) tg + arctg sin 4. f) + 4) cos. f) e ) tg 6. f) 4 + 7 + ) + + ) 7. f) ) ln + e ln 8. f) sin + + 9. f) + cotg 0. f) + arctg. f) log 0 0. f) e + cos) 6 sin. f) arctg 4 arcsin + ) 4. f) ln + ) + log ). f) + + 4) + e + ) / 6. f) + tg 7. f) sin 8. f) ln cos e 9. f) arcsin 0. f) e + ) Výsledky:. 4 +. + 8 7, > 0. 4.. 8 +, > 0 7, > 0, > 0 6. e ln + ) ln 4 7. ) ln + 4 ln 4 + 4 ln 4 8. ln 0 + ln 9. cos + 4 sin + cos sin 0. +. 6 + + 4
.. ln 0 + 0 ln 0 0 9 cos + + cos 4. cos + 4) sin. e ln ) tg + e cos 6. 4 7 4 6 60 + 4 + + + 0 7. e ) ln + + e 8. 9. + + ) cos + ) sin + + ) cotg + + sin cotg ) k π, k Z 0. f) arctg arctg sin + + ), cos. 0 0 ln 0 + 0 ln 0 log 0 0 ). e sin) cos. 4. 4 + 6 + ) + + ln 0 ). f) + ) + + 4) 4 + + e + ) / e + ) 6. 7. + cos tg cos sin sin e e 8. e tg e cos e 9. 0. 6e + ) e + 6e + ) Odporúčaná literatúra [] Baculíková, B. Grinčová, A.: Matematika. Vzorové a neriešené úlohy, Košice, 0, 0 s., ISBN 978-80--0-0, http://web.tuke.sk/fei-km/sites/default/files/prilohy/ /Vzorove_a_neriesene_ulohy_0_0.pdf [] Eliaš, J. Horváth, J. Kajan, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky.. časť,. vydanie, Alfa, Bratislava, 979, 6 s. [] Ivan, J.: Matematika, Alfa, SNTL, 98, 704 s. [4] Kluvánek, I. Mišík, L. Švec, M.: Matematika I, SVTL, 96, Alfa, SNTL, 97, 78 s. [] Matematika I, elektronické učebné tety projektu IT4KT, http://it4kt.cnl.sk/c/mat/ student/07.html