Metoda konačnih volumena za probleme difuzije

Metoda konačnih volumena za probleme difuzije Uspostavljamo numeričku metodu baziranu na integraciji, tzv. metoda konačnih volumena (eng: finite volume) ili kontrolnih volumena (eng: control volume). Prvotno analiziramo najjednostavniji slučaj pronosa: stacionarana čista difuzija. Jednadžba procesa za stacionarnu difuziju može se jednostavno izvesti iz opće jednadžbe pronosa za karakteristiku φ kroz zanemarenje tranzijentnog i konvektivnog člana. Time se dobiva: div( Γ grad φ) + S = φ Integracija po kontrolnom volumenu, koja je ključni korak u uspostavi metode konačnih volumena, (za razliku od ostalih CFD tehnika) poprima slijedeću formu : GGO transformacija Uvodimo odgovarajuće tehnike u svrhu iznalaženja tzv. diskertizacijskih izraza za jednadžbu jednodimenzionalne stacionarne difuzije. () φ CV CV A CV div( Γ grad φ) dv + S dv = n ( Γ grad φ) da + S dv = φ

Metoda konačnih volumena (FV) za 1D stacionarnu difuziju Promatramo stacionarnu difuziju karakteristike φ u jednodimenzionoj domeni. Primjer: jednodimenzionalno vođenje topline u štapu. Jednadžba procesa glasi: d dφ Γ + S = dx dx Γ- koeficijent difuzije; S član izvora ; Rubne vrijednosti za φ u točkama A i B (pretpostavljamo da je to poznato). Prvo dijelimo prostornu domenu u niz diskretnih konačnih volumena. Rubovi (granice ili lica) kontrolnih volumena su pozicionirane na sredinu između dva susjedna čvora. Svaki čvor je okružen sa kontrolnim volumenom (ćelijom).

Metoda konačnih volumena (FV) za 1D stacionarnu difuziju Uobičajena konvencija za sustav notacije u FV ima formu: Opći čvor (točka) je identificirana sa P a njegovi susjedi u 1D geometriji, čvorovi na zapadnu i istočnu stranu, su identificirani sa oznakama W i E. Rub na zapadnoj strani kontrolnog volumena je označeno saw a na istočnoj strani sae. Udaljenosti između čvorovaw ip, te izmeđup ie, su označene sa WP i PE. Udaljenosti između rubova w i točkep te između točke P i rubae su označena sa wp i Pe. Širina kontrolnog volumena jeδx= we.

Metoda konačnih volumena (FV) za 1D stacionarnu difuziju Ključni korak u metodi konačnih volumena je integracija jednadžbe procesa po kontrolnom volumenu u svrhu dobivanja diskretizacijskih jednadžbi za čvornu točku P. V d dφ dφ dφ Γ dv + SdV = ΓA Γ + S V = dx dx dx dx V e w (1) A Površina presjeka lica kontrolnog volumena; ΔV - volumen ; - Srednja vrijednost intenziteta izvora S po kontrolnom volumenu Kako bi se izvela korisna forma diskretizacijske jednadžbe potrebno je definirati koeficijent difuzije Γ te gradient dφ/dx na rubovima e i w. Vrijednosti φ i Γ su definirane i evaluirane u čvorovima. Za proračun gradijenata (protoka) na rubovima kontrolnog volumena koristi se odgovarajuća aproksimativna raspodjela karakteristike (linearna najjednostavnija) između čvornih vrijednosti. Primjena takve prakse naziva se metoda centralnih diferencija.

Metoda konačnih volumena (FV) za 1D stacionarnu difuziju U proračunskoj mreži sa jednolikom raspodjelom čvorova vrijednosti linearne raspodjele za Γw i Γe je dana izrazima: Γ + Γ Γ = W P w 2 (2a) Član difuzivnog protoka je evaluiran jednakostima: dφ φ φ E P Γ A = ΓeAe dx e xpe (3) Γ P + Γ Γ e = 2 (2b) d A φ A φ φ Γ = Γ P W w w dx w xwp U praktičnim situacijama situations član izvora S može biti i funkcija ovisne varijable. U takvim slučajevima metoda konačnih volumena aproksimira član izvora sa linearnom formom: Supstitucijom jednadžbi 3,4,5 u jednadžbu 1 dobiva se 6, a daljnjom manipulacijom i jednadžba 7: E S V = S + S φ u p P (4) φe φ P φp φ W ΓeAe Γ waw + Su + SpφP = xpe xwp Γe Γ w Γ w Γ e A + A S φ = A φ + A φ + S xpe xwp xwp xpe e w p P w W e E u (5) (6) (7)

Metoda konačnih volumena (FV) za 1D stacionarnu difuziju Primjenom simbolnih oznaka aw, ae i ap za koeficijente uz φw,φe i φp u jednadžbi 7 može se pisati : a φ = a φ + a φ + S p P w w E E u (8) Vrijednosti za Su isp mogu se dobiti iz modela izvora 5. Jednadžbe 8 i 5 predstavljaju diskretiziranu formu jednadžbe. Diskretizacijska jednadžba tipa 8 mora se postaviti za svaki čvor kako bi se moglo dobiti rješenje. Za kontrolni volumen neposredno uz granicu domene, generalna diskretitacijska jednadžba 8 je modificirana s ciljem uvlačenja (inkorporiranja) rubnog uvjeta. Rezultirajući sustav linearnih algebarskih jednadžbi je potrebno rješiti za iznalaženje raspodjele karakteristike φ u čvornim točkama. Bilo koja prigodna tehnika rješavanja matričnog sustava se može koristiti za tu zadaću. Γ aw w WP A w ap Γ e PE A e ae aw + ae SP

PRIMJER 1 1D stacionarna difuzija Rješenje jednostavnog problema difuzije uključujući pronos topline kondukcijom (vođenjem) daje se u nastavku. Jednadžba procesa kojom se opisuje 1D stacionarno vođenje glasi: d dt k + S = dx dx Termalna vodljivostk zauzima mjesti od Γ u jednadžbi a ovisna varijabla je temperatura T. Član izvora može biti toplina generirana električnom energijom koja prolazi kroz štap. Prvo analiziramo slučaj vođenja topline u izoliranom štapu bez člana izvora (eng: source-free). Na rubovima su konstantne temperature od 1 C i 5 C. 1D problem skiciran na slici je opisan jednadžbom: (9) d dt k = dx dx (1) Potrebno je proračunati raspodjelu temperature u štapu. Termalna vodljivost k iznosi1 W/m.K, a konstantna površina poprečnog presjeka A definirana je sa vrijednosti 1 2 m 2.

PRIMJER 1 1D stacionarna difuzija Ukupnu duljinu štapa dijelimo na pet jednakih kontrolnih volumena ( =.1 m). Proračunska mreža sadrži pet čvorova. Čvorovi 2, 3 i 4 imaju susjedne čvorove sa lijeve i desne strane uvrijednosti temperature su definirane za values to the east and west are available as nodal values. Shodno tome, diskretizacijske jednadžbe oblika 7 mogu se zapisati za kontrolni volumen omeđen sa tim čvorovima: k k k k A + A T = A T + A T x x x x e w w e e w P w W e E PE WP WP PE Termalna vodljivost (ke= kw= k), udaljenost među čvorovima () i poprečni presjeci (Ae= Aw= A) su konstantni. Prema tome, jednadžba za čvorne točke 2, 3 i 4 je: aptp = awtw + aete aw k A ae k A ap a + a W E

PRIMJER 1 1D stacionarna difuzija Čvorovi 1 ni 5 su rubni čvorovi. Integracija jednadžbe 1 po kontrolnom volumenu oko čvora 1 daje jednadžbu 11. Protok kroz rub kontrolnog volumena A aproksimiran je usvajanjem pretpostavke linearnih odnosa između temperature u rubnoj točki A i čvoru P. Jednadžba 11 može se preformulirati da se dobije izraz 12. TE TP TP TA ka ka = x x /2 2 2 (11) k k, k A A T k + P = Tw + A TE + A TA (12) Usporedimo jednadžbe 7 s jednadžbom 12. Rubni uvjet izražen je sa konstantnom temperaturom i unosi se u proračun kao član izvora (Su + SPTP) sa Su=(2kA/)TA i SP= 2kA/. Poveznica sa zapadnim rubom je ukinuta postavljanjem koeficijenta aw jednakim nuli. Kako bi se dobila diskretizacijska jednadžba za rubni čvor 1 koristi se jednadžba 12. Nakon njenog preuređenja dobiva se slijedeća forma: aptp = awtw + aete + Su x x x x aw a E ka ap aw + ae SP SP 2kA S U 2kA TA

PRIMJER 1 1D stacionarna difuzija Kontrolni volumen oko čvora pet tretira se na sličan način. Njegova diskretizacijska jednadžba ima oblik: TB TP TP Tw ka ka = x/2 x Kao i u prethodnom slučaju, pretpostavlja se linearna raspodjela temperature između čvora P i rubne točke B za aproksimaciju protoka topline kroz rub kontrolnog volumena. Jednadžba 13 može se preurediti: k 2 k k 2 A A T A T, T k + = + + A T x x x x Diskretizacijska jednadžba za čvor 5 je: aptp = awtw + aete + Su P w E B aw ka (13) Proces diskretizacije rezultira jednom jednadžbom za svaki čvor od 1 do 5. Unosom zadanih vrijednosti dobiva seka/ = 1, te su stvoreni preduvjeti za iznalaženja koeficijenata u diskretizacijskim jednadžbama. ae ap aw + ae SP SP 2kA SU 2kA TB

PRIMJER 1 1D stacionarna difuzija Rezultantni sustav algebarskih jednadžbi za ovaj primjer glasi: 3 T1= 1T2+ 2TA 2 T2= 1T1+ 1T3 2 T3= 1T2+ 1T4 2 T4= 1T3+ 1T5 3 T5= 1T4+ 2TB Čvor 1 2 3 4 5 aw 1 1 1 1 Ovaj set jednadžbi može se preurediti kako bi se dobio sustav 14. Rješenje sustava jednadžbi 14 daje stacionarnu raspodjelu temperatura za analiziranu situaciju. Rezultantna matrična jednadžba može se riješiti upotrebom softwere-skih paketa poput MATLAB. ZaTA= 1 itb= 5 rješenje sustava 14 daje rezultantni vektor 15: ae 1 1 1 1 SU 2T A 2T B SP ap = aw + ae SP -2-2 3 2 2 2 3 3 1 T1 2TA 1 2 1 T 2 1 2 1 T3 = 1 2 1 T4 1 3 T 5 2TB T1 14 T 2 22 (14) T3 = 3 (15) T4 38 T 5 45

PRIMJER 1 1D stacionarna difuzija Točno rješenje je linearna distribucija između specificiranih temperatura na rubovima: T = 8x + 1. Numeričkim modelom proračunate vrijednosti koincidiraju sa točnim (analitičkim) rješenjem.

PRIMJER 2 1D stacionarna difuzija Analiziramo problem u kojem je uključen izvor drugačiji od onog koji je primijenjen za definiranje rubnih uvjeta u prethodnom primjeru. Slika prikazuje veliku ploču debljine L = 2cm s konstantnom toplinskom vodljivosti k =.5 W/m.K i jednolikog generiranja toplineq = 1kW/m 3. Rubovi (lica)a ib izloženi su konstantnim temperaurama od 1 C i 2 C. d dt Dimenzije u y i z smjeru su toliko velike k + q = dx dx da je temperaturni gradijent uxsmjeru jedini relevantan. Jednadžba procesa (16) izražena je izrazom 16. Domena je podijeljena u pet kontrolnih volumena sa =.4 m; Promatra se jedinična površina u y z ravnini.

PRIMJER 2 1D stacionarna difuzija Formalna integracija jednadžbe procesa po kontrolnom volumenu daje: V d dt k dv + qdv = dx dx V Tretman prvog člana gornje jednadžbe istovjetan je kao i u prethodnom primjeru. Drugi integral je član izvora, a procijenjuje se proračunom srednjeg generiranja ( S V = q V ) u svakom kontrolnom volumenu. Jednadžba 17 može se zapisati: dt dt ka ka + q V = dx e dx w Gornje jednadžbe mogu se preurediti na način: kea kwa kwa kea + TP = Tw + TE + qa x x x x x (17) E P P W (18) kea kwa qa x (19) (2) Ta jednadžba u općem slučaju poprima oblik iskazan izrazom 8: aptp = awtw + aete + Su (21) T T T T + = /2 x x a W ka a E ka a P S P SU aw + ae SP qa

PRIMJER 2 1D stacionarna difuzija Jednadžba 21 je važeća za kontrolne volumene koji pokrivaju čvorove 2, 3 i 4. Za implementaciju Trubnih uvjeta na poziciji rubnih čvorova 1 i 5 primjenjujemo linearnu aproksimaciju za temperature između rubnih točaka i susjednih čvorova (rubnih čvorov). U čvoru 1 temperatura na zapadnoj granici je pozata. Integracija jednadžbe 16 po kontrolnom volumenu oko čvora 1 daje 22 a linearna aproksimacija za temperature između A i P daje 23: dt dt ka ka + q V = dx e dx w T T T T A /2 x x (22) E P P A k A k A + qa x = (23) e Gornja jednadžba može se preurediti koristeći uvjetke= ka= k u cilju dobivanja diskretizacijske jednadžbe za rubni čvor 1: aptp = awtw + aete + Su (24) aw ae ka ap aw + ae SP SP 2kA SU 2kA qaδ x + T A

PRIMJER 2 1D stacionarna difuzija Za rubni čvor 5, temperatura na istočnom rubu kontrolnog volumena je poznata. Čvor je tretiran na sličan način kao i rubni čvor 1. Za rubni čvor 5 imamo: dt dt ka ka + q V = dx e dx w aw ka ae B P P w (25) kba kwa + qa x = (26) ap aw + ae SP Uvrštavanjem numeričkih vrijednosti za A = 1,k =.5 W/m.K, q = 1kW/m 3 i =.4 m dobivaju se koeficijenti diskretizacijskih jednadžbi (vidi tablicu). Čvor 1 2 3 4 5 aw 125 125 125 125 ae 125 125 125 125 SU 4+25T A 4 4 4 4+25T B T T T T x /2 x SP 2kA SU 2kA qaδ x + T SP P W E P -25-25 B a = a + a S 375 25 25 25 375

PRIMJER 2 1D stacionarna difuzija Jednadžbe pisane u matričnoj formi 27 daju vektorsko rješenje 28. 375 125 T1 29 125 25 125 T 2 4 125 25 125 T3 = 4 125 25 125 T4 4 125 375 T 5 54 T1 15 T 218 T3 = 254 T4 258 T 5 23 2 (27) (28) Analitičko rješenje dobiva se dvostrukom integracijom jednadžbe 16 po x uz zadane rubne uvjete. Time se dobiva izraz : T TB TA q = + ( L x) + 2 x T L k A Usporedba numeričkih i analitičkih rezultata dana je na slici.

Metoda konačnih volumena (FV) za 3D stacionarnu difuziju Stacionarni slučaj difuzije u 3D je definiran jednadžbom: φ φ φ Γ + Γ + Γ + Sφ = x x y y z z (29) 3D proračunska mreža je korištena za diskretizaciju prostorne domene. Tipični kontrolni volumen je prikazan na slici. Pripadna ćelija za P sada ima šest susjednih čvorova identificiranih kao W (zapad), E (istok), S (jug), N (sjever), B (dno) i T (vrh). Kao i prije, notacijaw, e, s, n, b tet je korištena za odgovarajuće rubove (lica) ćelija. Integracija jednadžbe 29 po 3D kontrolnom volumenu daje izraz 3: φ φ φ φ ΓeAe Γ waw nan sas x e x + Γ w y Γ y + n s φ φ + ΓtAt Γ bab + S V = z t z b

Metoda konačnih volumena (FV) za 3D stacionarnu difuziju Ponavljajući proceduru izvedenu za 1D slučaj dobiven je diskretizirani oblik jednadžbe 3 u slijedećoj formi: ( φ φ ) ( φ φ ) ( φ φ ) ( φ φ ) E P P w N P P S ΓeAe Γ waw + ΓnAn Γ SAS + xpe x WP ypn y SP Izraz 31 može se srediti da daje diskretizacijsku jednadžbu za unutrašnje čvorove: aw Γ A ( φ φ ) ( φ φ ) T P P B + ΓtAt Γ bab + Su + SP P = zpt z BP w w WP ae Γ A e e PE as Γ A δy s S SP an Γ A δy n n PN ( φ ) a φ = a φ + a φ + a φ + a φ + a φ + a φ + S P P W W E E S S N N B B T T u ab Γ A δz b b BP (31) Rubni uvjeti se mogu uvući prekidanjem veza sa odgovarajućim rubovima (licima) te modifikacijom člana izvora na već prethodno prikazan način. at Γ A δz t t PT ap aw + ae + as + an + ab + at SP